4. Linearno programiranje 21

Transkriptas

1 4. Linearno programiranje Simpleks metod S impl ek s met od ot generira niza od t oq k i x k t ak a d a s it e od niv se b azni d opu st l iv i rex enija na s ist emot od ograniq u v aq i rav enst v a za LP -zad aq at a d ad ena v o st and ard en ob l ik. N ajnapred d av ame nek ol k u t v rd enja na k oi se b azira s impl ek s met od ot. D a ja razgl ed ame zad aq at a na l inearno programiranje d ad ena v o st and ard en ob l ik, od nos no m in z = c, x Ax = b (4.10) k ad e c R n, b R m, A e m n mat ric a. B ez gu b enje na opx t ost a, moж e d a pret post av ime d ek a rangot na mat ric at a A e ed nak ov na m (t ogax m n). T ogax, so el ement arni t ransf ormac ii moж eme s ist emot d a go d ov ed eme d o sl ed niot ek v iv al ent en ob l ik Ax = b (4.11) A x = b (4.12) k ad e mat ric at a A od red m n e t ak v a d a A = [E A ], pri x t o E e ed iniq na mat ric a od red m, A e mat ric a od red m (n m), i b R m. A k o od posl ed niot ob l ik (4.1 2 ) gi izrazime prv it e m k omponent i na v ek t orot x, od nos no x j = b j a jkx k, j = 1, 2,..., m, k=m+1 i gi zamenime v o f u nk c ijat a na c el t a, ḱ e d ob ieme m z = c, x = c j x j = c j (b j a jkx k ) + k=m+1 j=m+1 c j x j = z 0 + c, x, k ad e z 0 = m c jb j i c = (0,..., 0, c m+1,..., c n) T, c j = c j m k=1 c ka kj, j = m + 1,..., n. N a ov oj naq in d ob iv ame ek v iv al ent na zad aq a na zad aq at a (4.1 0 ), a t oa e zad aq at a m in z = z 0 + c, x A x = b (4.13 ) k ad e ob l ik ot na A i c e d ad en pogore, od nos no prv it e m k ol oni na mat ric at a A se t ak v i d a k ol onat a A j ima 1-c a na j-t ot o mest o i ost anat it e se nu l i, j = 1,..., m, d od ek a k aj v ek t orot c prv it e m k omponent i se nu l i.

2 22 4. Linearno programiranje Zabelexka 4.6. B id ejḱ i prv it e m k ol oni na mat ric at a A od s ist emot (4.1 2 ) se l inearno nezav is ni, od nos no mnoж est v ot o od b azni ind ek s i e B = {1, 2,..., m}, pa s pored D ef inic ija 4.2 znaq i d ek a za b aznot o rex enie x na ov oj s ist em v aж i x j = 0, j = m + 1,..., n, i ot k ak o ov ie v red nost i ḱ e se zamenat v o s ist emot (4.1 2 ) se d ob iv a d ek a ost anat it e k omponent i na b aznot o rex enie se x j = b j, j = 1,..., m. T eo r em a 4.8. Neka vo zadaqata (4.13) imame deka b 0 i c 0. Togax, baznoto rexenie koe odgovara na mnoжestvoto od bazni indeksi B = {1, 2,..., m} e optimalno rexenie na zadaqata (4.10). D o kaz. P O K A Ж A N O N A Q A S (i v o V u j cić, A sić, M ili cić, T eorema ) T eo r em a 4.9. Neka vo zadaqata (4.13) imame deka b 0 i neka za nekoj k {m + 1,..., n} vaжi c k < 0 i a ik 0, i = 1, 2,..., m. Togax, f u nkc ijata na c elta na zadaqata (4.10) e neograniqena od dolu na nejzinata dopu stliva oblast. D o kaz. P O K A Ж A N O N A Q A S (i v o V u j cić, A sić, M ili cić, T eorema ) T eo r em a Neka vo zadaqata (4.13) imame deka b 0 i neka za nekoj k {m+ 1,..., n} i s {1,..., m} vaжi c k < 0 i a s k > 0. Togax, postoi bazno dopustlivo rexenie x na zadaqata (4.10) taka da c, x c, x kade x e bazno rexenie na zadaqata (4.13) koe odgovara na mnoжestvoto od bazni indeksi B = {1, 2,..., m}. D o kaz. P O K A Ж A N O N A Q A S (i v o V u j cić, A sić, M ili cić, T eorema ) D a ja razgl ed ame zad aq at a na l inearno programiranje d ad ena v o ob l ik ot m in z = z 0 + c, x Ax = b (4.14) k ad e z 0 R, c R n, b R m, A e m n mat ric a so rang ed nak ov na m. N a sek oja zad aq a od ob l ik ot (4.1 4 ) i se prid ru ж u v a LP -t ab l ic a d ad ena so: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m c 1 c 2 c n z 0 (4.15 )

3 4. Linearno programiranje 23 Definicija 4.3. A k o v o zad aq at a (4.1 4 ) mat ric at a A ima t oq no m b azni k ol oni A j, j B k oi se ed iniq nit e v ek t ori v o R m, pri t oa sood v et nit e k omponent i na v ek t orot c se nu l i t.e. c j = 0, j B, i b 0, t ogax LP -t ab l ic at a k oja od gov ara na ov aa zad aq a se narek u v a simpleks tablica, a zad aq at a e d ad ena v o kanonski oblik. T ak a na primer, ak o v o zad aq at a (4.1 3 ) imame d a b 0, t ogax t aa e d ad ena v o k anons k i ob l ik. Zabelexka 4.7. B aznot o rex enie x, k ad e x j = b j, j B i x j = 0, j / B, za zad aq a d ad ena v o k anons k i ob l ik e i nejzino b azno d opu st l iv o rex enie, zat oa x t o b 0. Definicija 4.4. Z a elementarna transf ormacija na LP -t ab l ic a se s met a nek oja od sl ed nit e t ransf ormac ii: 1 ) mnoж enje na b il o k oja os nov na red ic a (1 i m) so b roj α razl iq en od nu l a, oznak a H i (α), 2 ) d od av anje na i-t at a red ic a (1 i m + 1) j-t at a os nov na red ic a (1 j m) pomnoж ena so nek oj b roj α, pri t oa i j, oznak a H ij (α). Zabelexka 4.8. Z ad aq it e k oi od gov araat na ek v iv al ent ni LP -t ab l ic i, od nos no k oga ed nat a LP -t ab l ic a e d ob iena od d ru gat a so pomox na ek v iv al ent ni t ransf ormac ii na LP -t ab l ic i, se ek v iv al ent ni t.e. imaat ed nak v i d opu st l iv i ob l ast i i ed nak v o d ef inirani f u nk c ii na c el na d opu st l iv it e ob l ast i. I meno, ak o pri el ement arnat a t ransf ormac ija ne se menu v a f u nk c ijat a na c el t a, t ogax od el ement arni t ransf ormac ii v o l inearna al geb ra, jas no e d ek a nov od ob ienat a zad aq a e ek v iv al ent na na d ad enat a. N ek a e izv rx ena el ement arnat a t ransf ormac ija H m+1,i (α), za nek oj i { 1,...,m} i α R. T ogax, s ist emot rav enk i ost anu v a nepromenet, a f u nk c ijat a na c el t a od po t ransf ormac ijat a e s menet a v o c j x j + z 0 (c j + αa ij )x j + (z 0 αb i ) = ( c j x j + z 0 + α a ij x j b i ). B id ejḱ i, za sek oj x X v aж i n a ijx j = b i, imame d ek a v red nost a na f u nk c i- jat a na c el t a ost anu v a nepromenet a na X.

4 24 4. Linearno programiranje S impl ek s al gorit amot se primenu v a na zad aq i v o k anons k i ob l ik, od nos no zad aq i k aj k oi sood v et nat a LP -t ab l ic a e s impl ek s t ab l ic a. ALGORITAM 4.1 (Simpleks metod). Qekor 0. D ov ed i ja d ad ena LP -zad aq a (4.1 4 ) v o k anons k i ob l ik. Z emi go za poq et no prib l iж u v anje x 0 nejzinot o b azno d opu st l iv o rex enie. S t av i k = 0. Qekor 1. A k o c 0, t ogax od i na Q ek or 6. Qekor 2. A k o post oi c j < 0 za k oj a ij 0, t ogax od i na Q ek or 7. Qekor 3. N ajd i r {1,..., n} i s {1,..., m} za k oi c r < 0 i b s a sr = m in { b i a ir a ir > 0}. Qekor 4. S o pomox na el ement arni t ransf ormac ii na LP -t ab l ic a naprav i ja r-t at a k ol ona ed iniq na so 1 -c a na s-t ot o mest o t.e. a sr = 1, a ir = 0, i s i c r = 0. Qekor 5. Z emi go za sl ed no prib l iж u v anje x k+ 1 b aznot o d opu st l iv o rex enie k oe od gov ara na nov od ob ienat a s impl ek s t ab l ic a. S t av i k = k + 1 i od i na Q ek or 1. Qekor 6. Z a opt imal no rex enie na d ad enat a zad aq a zemi go prib l iж u v anjet o x k, a za opt imal na v red nost na f u nk c ijat a na c el t a zemi ja v red nost a z 0. S TO P. Qekor 7. F u nk c ijat a na c el t a e neograniq ena od d ol u na mnoж est v ot o d o- pu st l iv i t oq k i. S TO P. Teorema Algoritamot na simpleks metodot Algoritam 4.1 e dobro definiran. D oka z. Treb a d a pok aж eme d ek a sek oj od q ek orit e moж e d a se izv rx i t oq no. (P O K A Ж A N O N A Q A S ) Teorema N eka zadaq ata (4.14) e nedegenerirana L P -zadaq a. T ogax, agoritamot na simpleks metodot generira koneq na niza od toq ki {x k }.

5 4. Linearno programiranje 25 Dokaz. O d pret post av k at a za ned egeneriranost i T eorema imame d ek a z(x k+1 ) < z(x k ). B id ejḱ i sek oja it erac ija x k e b azno d opu st l iv o rex enie (Qek or 5 od A l gorit am 4.1 ) i od T eorema 4.6 imame d ek a sek oe b azno d o- pu st l iv o rex enie x k e ek st remna t oq k a. O d k oneq nost a na mnoж est v ot o od ek st remni t oq k i (ima najmnogu ( n m) ek st remni t oq k i) i st rogat a monot onost na nizat a {z(x k )}, imame d ek a nizt a {x k } generirana so A l gorit am 4.1 e k oneq na. Z ab e l e x ka 4.9. A k o se ot st rani pret post av k at a za ned egeneriranost na LP - zad aq at a (4.1 4 ) v o T eorema 4.1 2, ne mora nizat a {x k } d a e k oneq na (B ea le, ). N a primer, A l gorit mot 4.1 primenet na zad aq at a m in { 3 4 x x x 3 + 6x 4 } 1 4 x 1 60x x x x 1 9 0x x 3 + 3x 4 0 x 3 1 x 1,x 2,x 3,x 4 0 generira b es k oneq na niza od prib l iж u v anja {x k }. Prime r 4.3. D a ja rex ime zad aq at a (4.6 ) od P rimer 4.2 so s impl ek s met od ot. V o P rimer 4.2 v eḱ e ja pret v oriv me d ad enat a zad aq a v o st and ard en ob l ik (4.7 ). J a f ormirame LP -t ab l ic at a k oja od gov ara na ov oj st and ard en ob l ik S l ed en q ek or e d a so el ement arni t ransf ormac ii ov aa LP -t ab l ic a d a ja d ov ed eme d o s impl ek s t ab l ic a (mat ric at a A na s ist emot ograniq u v anja d a ima t oq no t ri b azni k ol oni, sood v et nit e k omponent i na v ek t orot c d a se nu l i i b 0). V o posl ed nat a LP -t ab l ic a x est at a i sed mat a k ol ona se b azni so nu l i na sood v et nit e mest a v o v ek t orot c i zad ov ol en e u sl ov ot b 0. S ogl ed u v ame d ek a v eḱ e is pol net iot u sl ov b 0 ne b i go naru x il e d ok ol k u ja naprav ime prv at a k ol ona b azna so 1 -c a v o t ret at a red ic a. Z at oa, gi primenu v ame el ement arnit e t ransf ormac ii H 13 ( 1), H 23 ( 1) i H 43 ( 3)

6 26 4. Linearno programiranje P osl ed nat a LP -t ab l ic a e s impl ek s t ab l ic a. B aznot o d opu d t l iv o rex enie k oe od gov ara na ov aa t ab l ic a, go zemame za poq et na it erac ija na s impl ek s met od ot, t oa e t oq k at a x 0 = (2, 0, 0, 0, 0, 8, 3, 0) najd eno s pored Z ab el ex k a 4.7. S ega, b arame negat iv na k omponent a od v ek t orot c. I mame c 2 = 1 < 0, s pored Q ek or 3 od s impl ek s al gorit mot r = 2 d od ek a s e onaa v red nost na i za k oja k ol iq nik ot b i /a i2, a i2 > 0 e minimal en. B id ejḱ i m in { 2, 3} = 2 = a b 3, zak l u q u v ame d ek a s = 3, x t o znaq i d ek a so sl ed nit e el ement arni t ransf ormac ii t reb a d a ja naprav ime v t orat a (r = 2) k ol ona b azna so 1 -c a v o t reat a (s = 3) red ic a. G i primenu v ame t ransf ormac c iit e H 23 ( 1) i H 43 (1) B aznot o d opu st l iv o rex enie k oe od gov ara na posl ed nat a s impl ek s t ab l ic a go zemame za sl ed na it erac ija, t oa e t oq k at a x 1 = (0, 2, 0, 0, 0, 8, 1, 0). V o posl ed nat a s impl ek s t ab l ic a se u x t e ima k omponent i na v ek t orot c k oi se negat iv ni, zat oa pov t orni go izv rx u v ame Q ek or 3 od s impl ek s al gorit mot. O d c 3 = 1 < 0 imame d ek a r = 3, d od ek a ed inst v en k and id at za s e s = 1 (samo a 13 > 0 od s it e el ement i od t ret at a k ol ona na mat ric at a A). Z naq i, ja prav ime t ret at a k ol ona b azna so 1 -c a v o prv at a red ic a, pa gi primenu v ame t ransf ormac iit e H 21 (1) i H 41 (1) Z a sl ed na it erac ija go zemame b aznot o d opu st l iv o rex enie x 2 = (0, 2, 8, 0, 0, 0, 9, 0) k oe od gov ara na posl ed nat a s impl ek s t ab l ic a. B id ejḱ i c 4 = 1 < 0 zak l u q u v ame d ek a r = 4, d od ek a ed inst v en k and id at za s e s = 2. Z naq i, ja prav ime b azna q et v rt at a k ol ona so 1 -c a v o v t orat a red ic a. G i primenu v ame t ransf ormac iit e H 32 (1) i H 42 (1) P a, sl ed na it erac ija e x 3 = (0, 11, 8, 9, 0, 0, 0, 0). B id ejḱ i posl ed nat a s impl ek s t ab l ic a e so s v ojst v o d a c 0 zak l u q u v ame d ek a b aznot o d opu st l iv o rex enie

7 4. Linearno programiranje 27 k oe od gov ara na ov aa s impl ek s t ab l ic a e opt imal nit o rex enie za zad aq at a (4.7 ) t.e. x = x 3 = (0, 11, 8, 9, 0, 0, 0, 0) so optimalna vrednost na funkcijata na celta 13. So ogled na napravenite smeni na promenlivi x 1 x 1 x 4 i x 3 x 3 x 5 vo Primer 4.2 pri pretvaranjeto vo standarden oblik, zakluquvame deka optimalno rexenie na zadaqata (4.6) e x = ( 9, 11, 8) so ista optimalna vrednost na funkcijata na celta Dvofazen simpleks metod Da ja razgledame zadaqata na linearno programiranje dadena vo oblikot min z = z 0 + c, x Ax = b (4.16) kade z 0 R, c R n, b R m, A e m n matrica so rang ednakov na m i pri toa vaжi b 0 (dokolku uslovot b 0 ne e ispolnet, t.e. postoi b i < 0 za nekoj i {1,..., m}, togax ja mnoжime i-tata ravenka od sistemot Ax = b so 1). Ako zadaqata (4.16) e vo kanonski oblik, togax na nea go primenuvame simpleks metodot. Ako taa ne e vo kanonski oblik, ja formirame nejzinata pomoxna zadadaqa na linearno programiranje so voveduvanje na vextaqki promenlivi x n+1,..., x n+m, odnosno min w = d, x [A E]x = b (4.17) kade d R n+m, d j = 0, j = 1,..., n i d j = 1, j = n + 1,..., n + m (xto znaqi deka w = d, x = x n x n+m ), i E e ediniqnata matrica od red m. Soodvetnata LP-tablica za pomoxnata zadaqa (4.17) e a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m (4.18) Lesno se vooquva deka dokolku sekoja osnovna redica (1 i m) od LPtablicata (4.18 ) ja pomnoжime so 1 i ja dodademe na poslednata (m + 1)- va redica, odnosno gi primenime elementarnite transformacii H m+1,i ( 1), i = 1,..., m, ḱe dobieme simpleks tablica. T ogax, zadaqata koja odgovara na

8 28 4. Linearno programiranje ovaa s impl ek s t ab l ic a e vo k anons k i ob l ik, od nos no pomox nat a zad aq a (4.1 7 ) zapix ana vo ek vival ent en k anons k i ob l ik e m in w = w 0 + h, x [A E]x = b (4.1 9 ) k ad e w 0 = m i=1 b i, h j = m i=1 a ij, j = 1,..., n i h j = 0, j = n + 1,..., n + m. S ega, na zad aq at a (4.1 9 ) moж e d a se primeni s impl ek s met od ot. Dvof azniot s impl ek s al gorit am se primenu va na zad aq i k oi ne se vo k anons k i ob l ik, od nos no zad aq i k aj k oi sood vet nat a LP -t ab l ic a ne e s impl ek s t ab l ic a. P ri t oa, vo prvat a f aza, se f ormira pomox na LP -zad aq a k oja l es no se d oved u va d o k anons k i ob l ik i na nea se primenu va s impl ek s met od ot. A, vo vt orat a f aza, se el iminiraat s it e vex t aq k i promenl ivi i povt orni se primenu va s impl ek s met od ot. ALGORITAM 4.2 (Dvofazen simpleks metod). I faza. Qekor I.0. Z a zad aq at a (4.1 6 ) k oja ne e vo k anons k i ob l ik, ob razu vaj ja pomox nat a zad aq a (4.1 7 ) i d oved i ja d o k anons k i ob l ik (4.1 9 ). Qekor I.1. N ajd i ja opt imal nat a vred nost w na zad aq at a (4.1 9 ) so pomox na s impl ek s met od. Qekor I.1.1. A k o w 0, t ogax d opu st l ivat a ob l ast na zad aq at a (4.1 6 ) e prazno mnoж est vo. S T O P. Qekor I.1.2. A k o w = 0, t ogax premini na II f aza. II faza. Qekor II.0. O d posl ed nat a s impl ek s t ab l ic a d ob iena pri rex avanje na zad aq at a (4.1 9 ) vo I f aza, Q ek or I.1, ot st rani gi s it e k ol oni k oi od govaraat na vex t aq k it e promenl ivi (n + 1 j n + m) i ne se ed iniq ni (so t oa se ot st ranu vaat i samit e vex t aq k i promenl ivi), d od ek a posl ed nat a (m + 1 )-va red ic a zameni ja so red ic at a c 1 c 2 c n 0 0 z 0 k oja ima (n+k+1 ) el ement i, k ad e k e b rojot na preost anat i vex t aq k i promenl ivi.

9 4. Linearno programiranje 29 Qekor II.1. S o k orist enje na el ement arni t ransf ormac ii na LP -t ab l ic a posl ed nat a LP -t ab l ic a se d ov ed u v a d o s impl ek s t ab l ic a, t ak a d a s it e el ement i od posl ed nat a (m + 1 )-v a red ic a k oi od gov araat na ed iniq ni k ol oni na mat ric at a A se d ov ed u v aat d o nu l a. Qekor II.2. A k o v o posl ed no d ob ienat a s impl ek s t ab l ic a nema k ol oni k oi od gov arrat na v ex t aq k it e promenl iv i, od i na Q ek or II.4. Qekor II.3. N ek a v o posl ed no d ob ienat a s impl ek s t ab l ic a ost anat a e k ol onat a k oja od gov ara na v ex t aq k at a promenl iv a x t. N ek a t aa k ol ona ima ed inic a v o s-t at a red ic a, i ost anat it e el ement i i se nu l i. Qekor II.3.1. A k o s it e preost anat i el ement i v o s-t at a red ic a se nu l i, t ogax ot st rani gi s-t at a red ic a i k ol onat a k oja od gov ara na v ex t aq k at a promenl iv a x t. O d i na Q ek or II.2. Qekor II.3.2. N ek a meǵu preost nat it e el ement i od s-t at a red ic a v o r-t at a k ol ona ima el ement razl iq en od nu l a. S o pomox na el e- ment arni t ransf ormac ii na LP -t ab l ic a naprav i ja r-t at a k ol ona ed iniq na so ed inic a v o s-t at a red ic a i ot st rani ja k ol onat a k oja od gov ara na v ex t aq k at a promenl iv a x t. O d i na Q ek or II.2. Qekor II.4. N a d ob ienat a s impl ek s t ab l ic a primeni go s impl ek s met o- d ot. A k o se d ob ie rex enie, t ogax d ob ienot o rex enie zemi go za opt imal no rex enie na zad aq at a (4.1 6 ). Teorema Algoritamot na dvofazniot simpleks metod Algoritam 4.2 e dobro definiran. Dokaz. Treb a d a pok aж eme d ek a sek oj od q ek orit e moж e d a se izv rx i t oq no. (P O K A Ж A N O N A Q A S ) 4.6 Du al en s i mp l eks met od D u al niot s impl ek s met od generira niza od t oq k i x k k oi se b azni rex enija i gi zad ov ol u v aat u sl ov it e za opt imal nost, os v en moж eb i u sl ov ot za nenegat iv nost na k omponent it e. D a ja razgl ed ame zad aq at a na l inearno programiranje d ad ena v o ob l ik ot m in z = z 0 + c,x Ax = b (4.20)

10 30 4. Linearno programiranje k ad e z 0 R, c R n, b R m, A e m n mat ric a so rang ed nak ov na m, na k oja i od gov ara LP -t ab l ic at a a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m c 1 c 2 c n z 0 (4.2 1) Definicija 4.5. A k o v o zad aq at a (4.2 0 ) mat ric at a A ima t oq no m b azni k ol oni A j, j B k oi se ed iniq nit e v ek t ori v o R m, pri t oa sood v et nit e k omponent i na v ek t orot c se nu l i t.e. c j = 0, j B, i c 0, t ogax LP -t ab l ic at a k oja od gov ara na ov aa zad aq a se narek u v a dualna simpleks tablica. Zabelexka A k o i b 0, t ogax d u al nat a s impl ek s t ab l ic a e i s impl ek s t anl ic a, pa s pored al gorit mot na s impl ek s met od ot A l gorit am 4.1, b aznot o d opu st l iv o rex enie k oe i od gov ara e i opt imal no rex enie za d ad e- nat a zad aq a. D u al niot s impl ek s al gorit am se primenu v a na zad aq i k aj k oi sood v et nat a LP -t ab l ic a e d u al na s impl ek s t ab l ic a. ALGORITAM 4.3 (Dualen simpleks metod). Qekor 0. Transf ormiraj ja LP -t ab l ic at a na d ad enat a LP -zad aq a (4.2 0 ) v o d u - al na s impl ek s t ab l ic a. Z emi go za poq et no prib l iж u v anje x 0 nejzinot o b azno rex enie. S t av i k = 0. Qekor 1. A k o b 0, t ogax od i na Q ek or 6. Qekor 2. A k o post oi b i < 0 za k oj a ij 0, t ogax od i na Q ek or 7. Qekor 3. N ajd i s {1,...,m} i r {1,...,n} za k oi b s < 0 i c r a sr = m a x { c j a sj a sj < 0}. Qekor 4. S o pomox na el ement arni t ransf ormac ii na LP -t ab l ic a naprav i ja r-t at a k ol ona ed iniq na so 1 -c a na s-t ot o mest o t.e. a sr = 1, a ir = 0, i s i c r = 0.

11 4. Linearno programiranje 31 Qekor 5. Z emi go za sl ed no prib l iж u v anje x k+1 b aznot o rex enie k oe od gov ara na nov od ob ienat a d u al na s impl ek s t ab l ic a. S t av i k = k + 1 i od i na Q ek or 1. Qekor 6. Z a opt imal no rex enie na d ad enat a zad aq a zemi go prib l iж u v anjet o x k, a za opt imal na v red nost na f u nk c ijat a na c el t a zemi ja v red nost a z 0. S TO P. Qekor 7. D opu st l iv at a ob l ast na d ad enat a zad aq a e prazno mnoж est v o. S TO P. Teorema Algoritamot na dualniot simpleks metod Algoritam 4.3 e dobro definiran. Dokaz. Treb a d a pok aж eme d ek a sek oj od q ek orit e moж e d a se izv rx i t oq no. (P O K A Ж A N O N A Q A S ) Z ab el ex ka R azl ik at a meǵu s impl ek s met od ot i d u al niot s impl ek s met od e v o t oa x t o s impl ek s met od ot post ojano generira b azni d opu st l iv i rex - enija, d od ek a d u al niot s impl ek s met od generira b azni rex enija od k oi posl ed - not o e b azno d opu st l iv o resenie (v o sl u q aj na k oneq na niza {x k }).