3 užsiėmimas. Tiesinės n-osios eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "3 užsiėmimas. Tiesinės n-osios eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais"

Transkriptas

1 užsiėmimas. Tiesinės n-osios eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais Homogeninėlygtis a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0, kur a n, a n 1, a 1, a 0 konstantos.bendrojosprendinioieškosimepavidalu y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n, kur y 1, y 2, y n tiesiškainepriklausomiatskiriejisprendiniai.jierandami išsprendus algebrinę lygtį a n k n + a n 1 k n a 2 k 2 + a 1 k + a 0 = 0 Tarkime, ši lygtis turi turi a) mskirtingųrealiųjųšaknų k m,kiekvienąišjųatitinkaatskirasissprendinys y m = e kmx ; b) jvienodųrealiųjųšaknų(k 1 = k 2 =... = k j ),jasatitinkasprendiniai y 1 = e k 1x, y 2 = xe k 1x,... y j = x j e k 1x ; c)kompleksinesšaknis k 1,2 = α ± βikartotinumo tatitiks y 1 = e αx cos(βx), y 2 = xe αx cos(βx),...y t = x t 1 e αx cos(βx); y t+1 = e αx sin(βx), y t+2 = e Pavyzdžiai αx sin(βx),... y 2t = x t 1 e αx sin(βx). 1. y 2y y + 2y = 0. k 2k 2 k + 2 = 0, k 1 = 1, k 2 = 1, k = 2

2 2. Šaknys yra realiosios ir skirtingos, todėl y = C 1 e x + C 2 e x + C e 2x. 2. y 7y + 15y 9y = 0. k 7k k 9 = 0, k 1 = 1, k 2 = k = Šaknys yra realiosios ir y = C 1 e x + C 2 e x + C xe x.. y IV 16y = 0 k 4 16 = 0, k 1 = 2, k 2 = 2, k = 2i, k 4 = 2i y = C 1 e 2x + C 2 e 2x + C cos 2x + C 4 sin 2x. 4. y IV 4y + 8y 8y + 4y = 0 k 4 4k + 8k 2 8k + 4 = 0, k 1,2 = 1 ± i, kartotinumo2 y = C 1 e x cosx + C 2 e x sin x + C e x x cosx + C 4 e x x sin x. 5. y 6 + 2y IV + y = 0 k 6 + 2k 4 + k 2 = 0, k 1,2 = 0, k,4 = i, k 5,6 = i; y = C 1 + C 2 x + (C + C 4 x) cosx + (C 5 + C 6 x) sin x. 6. y 8 + 2y 6 2y y = 0 k 8 +2k 6 2k 2 1 = 0, k 1 = 1, k 2 = 1, k = k 4 = k 5 = i, k 6 = k 7 = k 8 = i

3 y = C 1 e x + C 2 e x + (C + C 4 x + C 5 x 2 ) cosx + (C 6 + C 7 x + C 8 x 2 ) sin x. Nehomogeninėlygtis a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = f(x) Bendrąjįsprendinįrandamepavidalu Y = y 0 + y a,kur y 0 -homogeninės lygtiessprendinys(homogeninęlygtįgauname,funkciją f(x)pakeitusnuliu),oy a galima rasti tokiu būdu: A.Jeigu f(x) = e ax P m (x),kur P m (x) m-osioseilėsdaugianaris,tai y a = x t e ax Q m (x),kur Q m (x) m-osioseilėsdaugianarissunežinomaiskoeficientais, o t šaknies akartotinumas; B.Jeigu f(x) = e ax (P m (x) cos(bx) + Q t (x) sin(bx)),tai y a = x r e ax (S j (x) cos(bx) + T j (x) sin(bx)),kur j = max(m, t),os j (x)ir T j (x) j-osioseilėspolinomaisunežinomaiskoeficientais,or šaknies α ± βi kartotinumas. Pavyzdžiai 7. y + y = e 2x (x 2 + x + 1) Pirmasžingsnis:Sprendžiamehomogeninęlygtį y + y = 0. k + 1 = 0, k 1 = 1, k 2, = 1 i 2 ± 2, ( ( ) ( )) y 0 = C 1 e x + e 1 2 C 2 cos 2 x + C sin 2 x Antrasžingsnis:Sudarome y a : Kadangi f(x) = e 2x (x 2 +x+1),tai a k 1,2,, P n (x) = x 2 +x+1 antrosios eilėspolinomasir y a = e 2x (Ax 2 + Bx + C).Randameišvestines: y a = e2x (2Ax + B + 2Ax 2 + 2Bx + 2C); y a = e2x (2A + 8Ax + 4B + 4Ax 2 + 4Bx + 4C); y a = e 2x (12A + 24Ax + 12B + 8Ax 2 + 8Bx + 8C). Įstatomeišvestinesįdiferencialinęlygtįirpadalinameabipusesiš e 2x : 12A + 24Ax + 12B + 9Ax 2 + 9Bx + 9C = x 2 + x + 1.

4 4 x 2 : 9A = 1, A = 1; 9 x : 24A + 9B = 1, B = 5 const 12A + 12B + 9C = 1, C = 17 Y = y 0 +y a = C 1 e x +e y + y = x 4. ( C 2 cos ( ) 2 x ; C sin ( )) 2 x +e 2x ( 1 9 x x17 81 ). Pirmasžingsnis: k + k = 0, k 1 = 0, k 2, = ±i y 0 = C 1 + C 2 cosx + C sin x. Antrasžingsnis: f(x) = x 4 = e 0 x x 4,Kadangi a = 0yrašakniskartotinumo 1,oP n (x) = x 4 4-osioseilėspolinomas,tai y a = x(ax 4 + Bx + Cx 2 + Dx + E) = Ax 5 + Bx 4 + Cx + Dx 2 + Ex Diferencijuojame: y a = 5Ax 4 + 4Bx + Cx 2 + 2Dx + E; y a = 20Ax + 12Bx 2 + 6Cx + 2D; y a = 60Ax Bx + 6C. Įstatome išvestines į diferencialinę lygtį: ir 60Ax Bx + 6C + 5Ax 4 + 4Bx + Cx 2 + 2Dx + E = x 4 x 4 : 5A = 1, A = 1 5 ; x : 4B = 0, B = 0; x 2 : 60A + C = 0, C = 4; x : 24B + 2D = 0, D = 0; const 6C + E = 0, E = 24. y a = 1 5 x5 4x + 24x, Y = C 1 + C 2 cosx + C sin x x5 4x + 24x.

5 5 9. y y + y y = 2e x. Pirmasžingsnis: k k 2 + k 1 = 0, k 1,2, = 1, y 0 = (C 1 + C 2 x + C x 2 )e x. Antrasžingsnis:Kadangi f(x) = 2e 1 x, P n (x) = 2 = const, a = 1 šaknis kartotinumo,tai y a = Ax e x. Randame išvestines: y a = (Ax + Ax 2 )e x ; y a = (Ax + 6Ax 2 + 6Ax)e x ; y a = (Ax + 9Ax Ax + 6A)e x. Įstatomeišvestinesįdiferencialinęlygtįirpadalinameiš e x : Ax +9Ax 2 +18Ax+6A (Ax +6Ax 2 +6Ax)+(Ax +Ax 2 ) Ax = 2, 6A = 2, A = 1 ir y = (C 1 + C 2 x + C x 2 )e x + 1 x e x. 1. y y 4y + 4y = 0; 2. y 6y + 11y 6y = 0;. y y 2y = 0; 4. y y + y y = 0; 5. y IV 81y = 0; Užduotys savarankiškam darbui 6. y IV 6y + 14y 14y + 5y = 0; 7. y (5) + 4y IV + y 10y 4y + 8y = 0; 8. y (6) + 8y IV + 16y = 0; 9. y (8) y (6) 9y IV 11y 4y = 0;

6 6 10. y (9) + 2y (7) + y (5) = 0; 11. y y + y y = (x + 1)e 2x ; 12. y 7y + 6y = x 2 ; 1. y IV 8y + 2y 28y + 12y = x; 14. y IV 2y + y = 8e x + 8e x + 12 sin x 12 cosx; 15. y (5) y = x; 16. y (6) + y IV + y + y = 9 sin 2x; 17. y + 2y + 5y = 4xe x 68 cos2x + x; 18. y IV y 4y = x e x + 4 cosx.