VYTAUTO DIDŽIOJO UNIVERSITETAS. Ignas Anfalovas. Trijų kūnų uždavinio analitiniai sprendimo metodai. Magistro baigiamasis darbas

Transkriptas

1 VYTAUTO DIDŽIOJO UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS MATEMATIKOS IR STATISTIKOS KATEDRA Ignas Anfalovas Trijų kūnų uždavinio analitiniai sprendimo metodai Magistro baigiamasis darbas Taikomosios matematikos studijų programa, valstybinis kodas 621G12001 Vadovas Prof. habil. dr. Vytautas Kleiza (Moksl. laipsnis, vardas, pavardė) (Parašas) (Data) Apginta doc. dr. Daiva Vitkutė-Adžgauskienė (Fakulteto dekanas) (Parašas) (Data) Kaunas, 2017

2 Turinys Santrauka... 3 Abstract Apžvalga Istorija N-kūnų problema Darbo tikslai Dviejų kūnų uždavinys Analitiniai sprendiniai Geometrinis metodas Skaitiniai sprendiniai Dalinių išvestinių metodas Bulirsch-Stoer metodas Trijų kūnų uždavinys Skaitiniai sprendimo metodai Sprendimas konverguojančių laipsninių serijų forma Lie serijų metodas Eulerio metodas Eulerio metodo klaidų skaičiavimas Runge-Kutta metodas Runge-Kutta metodo tikslinimas Susidūrimų taškai bei reguliarizavimas Tamsiosios energijos įtaka trijų kūnų sistemai Skaitinio metodo pasirinkimas Analitiniai trijų kūnų uždavinio sprendiniai: Gravitacinis potencialas bei pseudo-potencialas Lagranžo taškai Lagranžo taškų stabilumas bei pritaikymas Periodiniai sprendiniai Lagranžo periodinis sprendinys Kiti periodiniai sprendiniai

3 KAM TORI metodas bei stabilumas Pilnasis Sundmano sprendinys Išvados Literatūros sąrašas Priedai

4 Santrauka Magistro darbo autorius: Magistro darbo pavadinimas: Vadovas: Ignas Anfalovas Analitiniai trijų kūnų uždavinio sprendiniai Prof. habil. dr. Vytautas Kleiza Darbas pristatytas: Vytauto Didžiojo Universitetas, Informatikos fakultetas, Kaunas, 2017 gegužė. Puslapių skaičius: 59 Lentelių skaičius: 2 Paveikslų skaičius: 26 Priedų skaičius: 4 Šiame magistro darbe tyrinėjami skirtingi klasikinio N-kūnų uždavinio atvejai. Magistrinis darbas trijų tiriamųjų darbų junginys. Pirmajame tiriamajame darbe buvo tyrinėtas dviejų dangaus kūnų uždavinys, magistriniame darbe pasinaudota tiriamojo darbo informacija apie dviejų kūnų uždavinio geometrinį sprendimo metodą bei apie skaitinį metodą naudojantis dalinėmis išvestinėmis. Antrajame tiriamajame darbe nagrinėti trijų kūnų uždavinio skaitiniai sprendimo metodai, iš šio darbo pasinaudota medžiaga apie Eulerio bei Runge-Kutta metodus. Trečiajame darbe nagrinėta trijų kūnų uždavinio analitiniai sprendimo metodai ir iš šio darbo pasinaudota informacija apie gravitacinį potencialą, KAM TORI teoriją bei Lagranžo taškus. Paskutinė magistrinio darbo versija buvo papildyta dviejų kūnų uždavinio skaitiniu Bulirsch- Stoer metodu, trijų kūnų uždavinio skaitiniais sprendiniais: konverguojančių laipsninių serijų metodu, Lie serijų metodu; skaitinių metodų tikslinimo procesais laiko žingsnio dvigubinimu bei reguliarizavimu; taip pat įtraukta vėliausi tyrimai apie tamsiosios energijos įtaką trijų kūnų sistemai. Analitinių trijų kūnų uždavinio sprendimų skyriuje papildyta informacija apie Lagranžo taškų panaudojimą, periodinius sprendinius bei pilnąjį Sundmano sprendinį. 3

5 Abstract Author of Master Thesis: Full title of Master Thesis: Supervisor: Presented at: Ignas Anfalovas Analytical Solutions for the Three-Body Systems Prof. habil. dr. Vytautas Kleiza Vytautas Magnus University, Faculty of Informatics, Kaunas, May Number of pages: 59 Number of tables: 2 Number of pictures 26 Number of appendices: 4 This master thesis analyses different aspects of the three-body problem. The thesis involves information used in previous research works. The first research work was about analytical and numerical solutions for a two-body systems; the thesis uses information about the analytical geometrical solution method and the numerical method of partial derivatives. A second research work focused on numerical solutions for a three-body problem; the thesis uses information about the Euler s and Runge-Kutta numerical solutions. The third research work analysed analytical solutions and the thesis uses the information about gravitational potential, KAM TORI and Lagrange s points. The last version of thesis involved complemented information about Bulirsch-Stoer numerical method for a two-body problem, converging power series, Lie series numerical methods for the three-body problem, error reducing processes like double-stepping and regularization. Furthermore, latest research about the effect of dark energy on the three-body system was involved and analysed. The analytical solutions for the three-body systems part was complemented with information about the practical uses of Lagrange s points, periodical solutions and a complete general Sundman s solution. 4

6 1. Apžvalga 1.1. Istorija Nuo senų senovės žmonės domėjosi dangumi, žvaigždėmis, planetomis ir kitais dangaus kūnais. Net majai, kurių civilizacija gyvavo maždaug nuo 1000 m. pr. m. e., itin domėjosi astronomija. Greta religijos, majų kultūroje labai gerai išvystyta buvo ir matematika bei astronomija, tad nenuostabu, kad didžioji visuomenės dalis buvo dvasininkai-astronomai. Vienas iš pažangiausių matematikos pasiekimų kasdieniniame majų gyvenime buvo nulio sąvoka, o astronomijoje - sudėtingo kalendoriaus, kuris rėmėsi saulės metais (18 mėnesių po 20 dienų ir papildomas 5 dienų laikotarpis), turėjo šventuosius metus (13 ciklų po 20 dienų) ir daug kitų ciklų, naudojimas. Majų astronomai turėjo tikslias Mėnulio ir Veneros pozicijų lenteles ir mokėjo numatyti Saulės užtemimus. Bėgant laikams žmonės vis labiau ir labiau domėjosi astronomija bei astrofizika, jos sąvokos, užduotys bei sampratos darėsi vis sunkesnės žmonės norėjo sužinoti ne tik ką jų kasdieniniame gyvenime nulems praskriejantis dangaus kūnas, tačiau ir kokią įtaką jam daro Žemė bei ar jie daro įtaką vienas kitam, kaip žinoti, kur judės tas dangaus kūnas, ar yra tikimybė jam nukristi į Žemę ir, galiausiai, kokią žalą jis gali padaryti žmonijai bei planetai. Tad mokslininkai pradėjo rinkti duomenis, kurti ir pritaikyti modelius, metai iš metų vis juos gerinant, ko l galiausiai 17 amžiuje N-dangaus kūnų judėjimo uždavinys pritraukė daugelio astronomų bei matematikų dėmesį. Šis uždavinys ganėtinai paprastas: turint N dangaus kūnų (tai gali būti planetos, asteroidai, žvaigždės, juodosios skylės ir t.t., o N dangaus kūnų skaičius), kurie vienas kitą veikia gravitacine jėga, kokios bus tų dangaus kūnų judėjimas? Kai, uždavinys nėra pernelyg sunkus ir sprendimo metodai rasti jau seniai, tačiau, kai N 3, uždavinys neturi vienareikšmio sprendimo būdo, kadangi net ir menkas pradinių sąlygų pokytis vėlesniuose skaičiavimuose duoda žymius pokyčius (šiuos pokyčius lengva įžvelgi įsivaizduojant švytuoklę, pakabintą ant dviejų laisvai judančiomis girnelėmis sujungtų strypų pakeitus pradinės sąlygas jau trečiame periode galima pastebėti judėjimo skirtumą). Toks trijų dangaus kūnų judėjimo uždavinys natūraliai kilo iš Izaoko Niutono (Isaac Newton) darbų. 17 amžiaus pradžioje Johanas Kepleris (Johannes Kepler) paskelbė žymiuosius planetų bei jų palydovų judėjimo dėsnius, kuriuose parodė, kad planetos sukasi aplink saulę elipse [1]. Niutonas suformalizavo šias idėjas ir 1687 jas publikavo knygoje Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" ( Natūraliosios filosofijos matematiniai principai ) ir dabar šis kūrinys yra 5

7 laikomas vienu svarbiausių mokslinių darbų mūsų istorijoje. Konkrečiau, formulė, nusakanti gravitacinę jėgą tarp bet kokių dviejų masės taškų (1.1.1) kur du masių ir taškai yra nutolę per atstumą, o universalioji gravitacinė konstanta. Kai kurie teigia, kad nuopelnai dėl šio dėsnio turėtų būti skirti ne Niutonui, o Robertui Hiukui (Robert Hooke), kuriam trūko labai nedaug iki eksperimentinio įrodymo, kad gravitacija veikia pagal atvirkštinių kvadratų dėsnį. Jis taip pat spėjo, kad šis sąryšis galioja ir planetų judėjime [2], o kaip tik šią idėją galiausiai ir išplėtojo Izaokas Niutonas, tačiau, nors daugelis nuopelnus dėl šio dėsnio skiria jam, visuomenėje priimta, kad tiek Izaokas Niutonas, tiek Robertas Hiukas smarkiai prisidėjo dangaus kūnų judėjimo supratimo vystyme. Įrodęs Keplerio pradėtus vystyti dėsnius, Niutonas susitelkė ties sistemomis, daug labiau komplikuotomis nei Saulės-Planetos sistema (dviejų kūnų saulės bei vienos planetos užduotis). Viena tokių Saulės-Žemės-Mėnulio sistema. Tačiau Niutono progresas šiame uždavinyje buvo apipintas sunkumų ir jau tik po Niutono mirties buvo pasiektas didesnis proveržis trijų dangaus kūnų judėjimo problemoje metais Aleksis Klodas Kleiro (Alexis Claude Clairaut) paskelbė, kad jis sėkmingai suformulavo trijų dangaus kūnų judėjimo aproksimacijas. Po šiokių tokių pakeitimų, šios aproksimacijos įtraukė mėnulio perigėjų (taškas, kuriame mėnulis yra arčiausiai žemės), kas ir buvo vienas iš Niutono tikslų metais už šį darbą Kleiro laimėjo Sank Peterburgo Akademijos prizą, o 1759 metais jo aproksimacijų koeficientų reikšmės buvo patikrintos, kai Halio kometa praskrido pro žemę per mėnesį nuo laiko, kurį Kleiro apskaičiavo, taip patekęs į pak laidos rėmus, kuriuos pats prieš tai ir sudarė [3]. Tuo metu Leonardas Euleris (Leonhard Euler) taip pat susitelkė ties trijų kūnų problema. Jis pasiūlė apsvarstyti apribotą trijų dangaus kūnų uždavinį pradinio uždavinio supaprastinimą, kai vienas iš kūnų turi nereikšmingą masę. Šis atvejis tapo žinomas kaip Eulerio trijų dangaus kūnų uždavinys. Panašiu metu kaip ir Euleris, Jozefas Lui Lagranžas (Joseph-Louis Lagrange) smarkiai pasistūmėjo pradiniame trijų dangaus kūnų judėjimo uždavinyje jis supaprastino uždavinį nuo 18 eilės diferencialinių lygčių sistemos iki 7 eilės dif. lygčių sistemos, taip gaudamas du pradinio uždavinio skaitinius sprendinius [4]. 6

8 Nežinodamas apie Lagranžo nuveiktus darbus, Karlas Gustavas Jakobis (Carl Gustav Jacob Jacobi) supaprastino pradinę dangaus kūnų problemą iki 6 eilės dif. lygčių sistemos, o apribotą uždavinį iki ketvirto lygio sistemos. Karlas Jakobis atrado judėjimo konstantą, šiomis dienomis žinomą kaip Jakobio integralą (Jacobi s integral), ir tai yra vienintelis išlikęs (reikalingas) apriboto uždavinio dydis metais Džodžas Hilas (George Hill) pademonstravo labai naudingą Jakobio integralo panaudojimą nusakant planetos, su nereikšminga mase, galimą judėjimą apribotame dangaus kūno uždavinyje. Trijų dangaus kūnų judėjimo problemos sprendimų ieškojimo klasikinio periodo pabaigą pažymėjo labai daug įtakos padaręs Henrio Puankarė (Jules Henri Poincaré) darbas. Devyniolikto amžiaus pabaigoje Švedijos karalius Oskaras Antrasis (King Oscar II) įsteigė prizą N- dangaus kūno uždavinio (problemos, kai yra svarstomi N dangaus kūnų) sprendėjui. Nors Puankarė neišsprendė uždavinio, jo darbas buvo svariai inovatyvus bei svarbus, todėl prizas vistiek atiteko jam. Tačiau galutinis jo priduotas sprendimas turėjo svarbią matematinę klaidą, kas ir privedė prie klaidingo sprendinio stabilumo, kai N=3. Po to, kai Puankarė savo lėšomis sunaikino visas buvusias kopijas bei išleido papildytą sprendimą, iškilo keletas įtakingų idėjų, kurios galiausiai privedė prie matematinio chaoso teorijos pradžios ir pakeitė pamatines dinamikos idėjas [5]. Pradinė N-kūnų problema, kai N=3, taip ir nebuvo išspręsta iki 1912 suomių mokslininko Karlo Sundmano (Karl Frithiof Sundman) darbų publikavimo, o N-kūnų problemą įveikti pavyko tik 1991 metais Kvidongui Vangui (Qiudong Wang), tačiau tiek Sundmano tiek Vango sprendimai artėjo (konvergavosi) link atsakymo labai lėtai, tad praktikoje buvo nepanaudojami, o ir pats Vangas, nors jo sprendimas ir atitiko karaliaus Oskaro Antrojo keltus reikalavimus, labiau vertino ir gyrė Puankarė darbą [5]. Per paskutinį šimtmetį, tobulėjant orbitų statistinei analizei, iškilo naujų N-kūnų analitinių uždavinio sprendimo būdų. Kadangi Puankarė parodė, kad N kūnų judėjimas yra chaotiškas, atsirado galimybė naudoti sisteminę orbitų analizę remiantis statistiniais pasiskirstymais. Dažniausiai originali trijų kūnų problema išsispręsdavo vienam kūnui visam laikui paliekant kitus du kūnus, kol pastarieji sukuria dvinarę (dviejų kūnų) sistemą. Tai tapo žinoma kaip pabėgimo orbita (escape orbit). Šių orbitų išsibarstymas buvo apskaičiuotas naudojant įvairius statistinius metodus, o gauti rezultatai palyginti su eksperimentinėmis reikšmėmis, gautomis naudojant galingus kompiuterius dvidešimtojo amžiaus pabaigoje [5]. 7

9 1.2. N-kūnų problema Klasikinė astrofizikinė N-kūnų problema iš pirmos pažiūros yra apgaulingai lengva bei nesudėtinga tiek savo išvaizda, tiek formulavimo paprastumu: kiekvienas kūnas iš N kūnų, kurių kiekvienas turi taškinį masės centrą, turintis masę jaučia pagreitį, susidarantį dėl gravitacinės traukos, kylančios iš visų kitų kūnų, dalyvaujančiu sistemoje: ( ) (1.2.1) kur itojo kūno koordinatės. Problemos formulavimas baigiamas pateikiant tam tikrus pradinius N kūnų greičio bei pozicijos dydžius (kai ). Lygtis (1.2.1) buvo pateikta bei nuolat naudojama I. Niutono (I. Newton), vėliau intensyviai studijuojama dar 300 metų. Šios užduoties sprendiniai aprašo įvairius painius astrofizikos fenomenus, tokius kaip Mėnulio judėjimas aplink Žemę, ar asteroidų žiede susidarančios Kirkvudo (Kirkwood) tuštumos [6]. Tačiau N-kūnų problemos sudėtingumą galima įžvelgti ir (2) lygtyje viskas slypi netiesiškume [6]. Pozicijos vektoriai kurie yra dvigubai diferencijuojami norint gauti tolesniuose skaičiavimuose reikalingus pagreičius, figūruoja dešinės lygties pusės vardiklyje, bei žymi kūnų atstumą tarp vienas kito. Kadangi kūnų pagreičio pokytis kyla iš atvirkštinių kvadratų sumos, net ir menkas pradinių sąlygų pokytis gali privesti prie visiškai kitokių rezultatų ilgalaikiuose rezultatuose. Izaokas Niutonas savo knygoje Natūraliosios filosofijos matematiniai principai (1687) yra paminėjęs: Jeigu neklystu, pilnas problemos sprendimas viršija bet kokio žmogaus proto ribas [7]. Ir ne be reikalo, analitiniai bendrosios problemos sprendiniai yra žinomi tik tam tikriems atvejams, kai sistema yra suvaržoma bei pažabojama iki kol analitiniai pertvarkymai tampa įmanomi. Prancūzų mokslininkas Henris Puankarė 1889 metais įrodė, jog trijų dangaus kūnų problemos sprendinys negali būti išreikštas per žinomas elementariąsias funkcijas [7], todėl dažnu atveju yra naudojamasi skaitinių metodų pagalba. Tačiau net ir skaitiniuose metoduose iškyla problemų, tarkim, kai kuriais atvejais sprendimas gali egzistuoti tik lokaliai (t.y., sprendimas negalimas, kai kūnai susiduria ir atstumas tarp jų tampa lygus 0) [6], [7]. 8

10 1.3. Darbo tikslai Šio magistrinio darbo tikslas panagrinėti N-kūnų uždavinius bei jų sprendimų metodus. Magistrinį darbą pradėsime nuo 2-kūnų sistemos nagrinėjimo, analitinių bei skaitinių 2-jų kūnų problemos sprendimų. Tuomet bus pereita prie sudėtingesnio 3-jų kūnų uždavinio bei skaitinių jo sprendimų metodų. Naudodami juos, stengsimės rasti sąlygas, kuriomis yra geriau naudoti vieną metodą negu kitą ir stengsimės išsiaiškinti, koks tai turėtų būti metodas, ką daryti, jeigu skaitiniu metodu gaunamas atsakymas turi per didelį nuokrypį nuo tikrosios vertės, kaip išvengti probleminių situacijų bei, naudodamiesi naujausia literatūra, bandysime įžvelgti tamsiosios energijos įtaką 3-jų kūnų sistemoje. Kaip nurodo darbo pavadinimas, kadangi yra tik tam tikros sąlygos, kada trijų kūnų uždavinį galima išspęsti analitiniais metodais, darbo pabaigoje bus tiriamos situacijos, kuomet analitiniai trijų kūnų uždavinio sprendimai yra galimi. 9

11 2. Dviejų kūnų uždavinys 2.1. Analitiniai sprendiniai Saulės bei Žemės judėjimas kosmose puikus dviejų kūnų problemos pavyzdys. Šį uždavinį įmanoma net ir dar labiau supaprastinti, naudojant kelis būdus, neiškraipančius rezultatų. Lengviausias panaudoti tai, kad Saulės masė yra žymiai didesnė negu Žemės, todėl galima teigti, kad, tam tikrame tikslumo lygmenyje, Saulė yra nejudanti, ir todėl yra adekvatu ją pasirinkti koordinačių sistemos pradžia O. Prisiminkime, kad dviejų objektų, su atitinkamomis masėmis m ir M, kurių pilna potencinė energija yra tik jų santykinis skirtumas, gali būti supaprastinti iki vieno kūno su redukuota mase μ : ( ) Kadangi žemės masė yra daug mažesnė už Saulės masę, galima laikyti, jog redukuota masė ( ) yra tiesiog vienos Žemės masė. Todėl nuo šiol nagrinėsime vieno kūno su mase judėjimą aplink fiksuotą masių centrą, kurį laikysime koordinačių sistemos centru Geometrinis metodas Parodėme, kaip atpažinti orbitos formą, tačiau tai nedavė mums jokios tiesioginės informacijos apie judėjimo laiką. Daugelyje situacijų mums prireikia nustatyti skriejimo laiką tarp dviejų orbitos taškų, o kad tai apskaičiuotume, naudosimės Keplerio antruoju dėsniu, kuris teigia, kad planetos spindulys-vektorius per vienodus laiko tarpus nubrėžia lygius plotus. Paveikslas 1: Elipsinės orbitos periodo apskaičiavimas 10

12 Įsivaizduokite judėjimą orbita nuo taško 0, į tašką 1. Pažymėkime šį laiką t 01. Jei judėjimas vyksta toliau bei grįžta į tašką 2, visas užtruktas laikas bus τ. Apibrėžkime laiką, per kur pasiekiamas taškas 1 kaip t 01 bei laiką pasiekti tašką 2 kaip t 02. Tuomet visas užtruktas laikas bus t 01 + t 02 = τ, kur τ yra orbitos apskriejimo periodas. Iš Keplerio antrojo dėsnio yra žinoma, kad vienodi plotai nubrėžiami per lygius laiko intervalus, tad laikas, kurį užtrunkama pasiekti tašką 1 yra duotas pagal ( ) kur πab visas elipsės plotas,. Dabar atliksime detalesnę analizę, kad galėtume nustatyti plotą A p kurį nubrėžė spindulys-vektorius iki taško P. Kaip matome (1) paveiksle, laikas, per kurį nukeliaujama iš pericentro, iki pasirinkto taško P, yra proporcingas kreivės plotui pažymėtam A p (A p plotas apibrėžtas tarp 0, π, P). Konkrečiau, kadangi visas orbitos periodas yra τ ir visas elipsės plotas yra πab, tuomet t p, laikas, per kurį nukeliaujama nuo π iki P, lygūs santykiui, parodančiam ploto A p dalį visame elipsės plote. ( ) Norint rasti plotą A p, nubrėžiame skritulį su spinduliu a bei centru, sutampančiu su elipsės centru. Pažymime tašką ant skritulio P` taip, kad jis būtų vertikalioje linijoje, sutampančioje su tašku P (esančiu elipsėje) bei užsibaigiančioje taške O`` ant abscisės ašies (pav.. (2)). Paveikslas 2: Apskritimas, nubrėžtas per elipsės pericentrą bei apicentrą, su centru, sutampančiu su elipsės centru. 11

13 Įvairūs geometriniai elipsinės orbitos parametrai turi standartinius pavadinimus, tarkim, pozicinis kampas θ yra dažnai vadinamas tikrąja anomalija. Skritulio spindulio linija nuo pradžios taško O` iki P` bei didžioji elipsės ašis apibrėžia kampą u, kuris yra vadinamas ekscentricitetine anomalija. Taip pat galima apibrėži ir trečiąją anomaliją, vadinamą taško P vidurkio anomalija M. ( ) kur t p yra skriejimo laikas nuo pericentro iki taško P. Tuomet, jeigu norime nustatyti skriejimo laiką elipsėje nuo taško 1 iki taško 2, galime panaudoti ( ) lygtį bei parašyti ( ) kur TOF skriejimo laikas (time of flight), taško 2. plotas, nubrėžtas skriejant nuo taško 1 iki Vidurkio anomaliją taške P taip pat galima užrašyti kaip ( ) kur A T visas elipsės užimamas plotas. Kai nubrėžtas plotas A p yra lygus visam elipsės plotui A T, laikas t yra lygus periodui τ, o vidurkio anomalija M π =2*π (indeksas π parodo, kad yra grįžtama į pericentro tašką π). Tad vidurkio anomalija gali būti laikoma viso kampo 2π, kurį objektas, skriejantis iki taško P, nubrėžtų per laiką τ, trupmena. Dėmesys šiuo momentu turėtų būti sutelktas ne į erdvinį kampą, o į laiką. Viskas, ko trūksta šiuo metu yra vidurkio anomalijos išraiška per orbitinius parametrus. Pradėsime gaudami bei santykį. Iš trigonometrijos žinome, kad arba tiesiog, kadangi, ( ) ( ) Dabar, kadangi norime rasti viso nubrėžto ploto A p formulę, išplėtosime ryšius tarp įvairų plotų, pavaizduotų (3) paveiksle. Plotas A 1 apskritime yra pleišto formos bei užimamas kampo u, tad A 1 = 12

14 a 2 u; didžiojo trikampio apskritime plotas, suformuotas kampo u yra A 2 =a 2 cos(u)sin(u)/2. Tad segmento O``P`π plotas yra ( ) ( ) Pasinaudojus ( ) lygtimi, galima apskaičiuoti mažo trikampio pagrindo plotą A 4 OO``P, kuris yra r cos(θ) = a cos(u) ae. Trikampio aukštis yra bsin(u), tad trikampio plotas A 4 = (1/2) (a cos(u) e) b sin(u). Šis plotas, kartu su segmento O``Pπ plotu, yra visas iki taško P nubrėžtas plotas. Galutinis tikslas rasti ankščiau minėto segmento O``Pπ plotą. Vertikalės segmentas, suformuotas išmetant didelį įterptą trikampį A 2 iš apskritimo arkinio segmento A 1, pavadinkime jį A 3, jis yra geometriškai panašus į lenktą segmentą, suformuotą išmetant mažąjį trikampį iš elipsėje nubrėžtos dalies. Kadangi elipsės aukštis yra b, o apskritimo a, norimas plotas gali būti gaunamas atitinkamą plotą padauginus iš b/a, t.y. ( ) ( ) Vidurkio anomalija taške P yra ( ) ( ) Panaudojus ( ), ( ) bei ( ) formulėmis, gauname vidurkio anomaliją taškui P, dar žinomą kaip Keplerio lytgį. ( ) kur u ekscentricitetinė anomalija taške P, parodyta (2) paveiksle. Keplerio lygtis susieja įvairias kūno, veikiamo išcentrinės jėgos, orbitos savybes, tad šia lygtimi yra pakankamai lengva naudotis, jeigu norime rasti laiką t p, per kurį palydovas atsidurs pozicijoje θ. Tik, šiuo atveju reikia apsiskaičiuoti u, naudojantis formule ( ). Be to, jeigu reikia rasti objekto poziciją θ duotuoju laiku t, tuomet reikia išspręsti Keplerio lygtį naudojant skaitinį Niutono metodą. 13

15 2.2. Skaitiniai sprendiniai Dalinių išvestinių metodas Analitiniai skaičiavimo metodai ne visada yra geriausias pasirinkimas - nors atsakymas ir visad yra tikslus, tačiau norint jį gauti dažnai tenka vykdyti įvairias sudėtingas matematines operacijas ir kaip tik dėl sudėtingumo iškilo svarba skaitiniams metodams: pasinaudojant kompiuteriu galima sudėtingas operacijas pakeisti ilgomis bei daug laiko sugaišinančiomis operacijomis, kurios neduoda tikslaus atsakymo, tačiau aproksimuoja skaičiavimus su tam tikru tikslumo lygiu. Vienas tokių metodų nurodo naudotis dalinėmis išvestinėmis, bei pradinėmis koordinatėmis. Šis metodas, kurį publikavo W. H. Goodyear [8], naudojamas tuomet, kai judėjimo trajektorijos yra apskritiminės, elipsinės, parabolinės, hiperbolinės, ar, tiesiog, tiesinės. Kaip parodė J. Danby savo knygoje Fundamentals of Celestial Mechanics, dviejų kūnų problema gali būti supaprastinta iki diferencialinių lygčių sprendinio [8]. kur ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) bei µ - teigiama konstanta. Šis sprendinys pozicijos koordinatėms x, y, z bei greičio koordinatėms laiku t yra bendras [8]. Metodo algoritmas pradedamas konstantų nustatymų, tam reikalingos pradinės sąlygos pradinės pozicijos bei pradiniai greičiai laiku :,,. ( ) Tuomet sprendžiame Keplerio lygtį ( ) bei gauname parametrą ψ bei jo transcendentines funkcijas 14

16 ( ) Spindulį r galima nustatyti iš sąryšio ( ) Tuomet žemiau pateiktos funkcijos, ( ) naudojamos tolesniuose skaičiavimuose nustatant koordinates: [ ] [ ] [ ]. ( ) Toliau pavaizduosime dviejų kūnų uždavinio problemos sprendimo pavyzdį. Turime du kūnus, kurių pozicijos yra: Taip pat suteiksime šiems kūnams greitį. Tarkime, kad pradinio greičio vektoriai bus tokie: Apskaičiuojame pradinės padėties vektoriaus modulį, kadangi mums to reikės vėliau: 15

17 Viskas, ko mums trūksta dabar, kad galėtume atlikti tolesnius skaičiavimus, - teorinis apsisukimo periodas. Jį mes skaičiuosime tik antram kūnui, kadangi pirmąjį fiksuosime koordinačių pradžioje (taške (0,0)). Tad: kur Taigi, naudodamiesi (32) lygtimi, tik pritaikant ją keliems kūnams dviejose dimensijose, bei prisimenant, kad padėties vektoriaus išvestinė greičio vektorius, aprašome lygtis naudodamiesi Dekarto koordinatėmis: Pradinės sąlygos (kai t=0): Lygčių sistema: ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) { [ ( ) ( ) ] Išsprendus šią lygčių sistemą, gaunamos atskiros pirmojo bei antrojo kūno judėjimo trajektorijos, kurios pateiktos (5) paveiksle. 16

18 Paveikslas 3: dviejų dangaus kūnų judėjimas elipsėmis. Mažesni taškai ant elipsių dangaus kūnai po vieno laiko vieneto, juoda linija bendras masių centras. Verta pastebėti, kad juoda tiesė (5) paveiksle abiejų kūnų masės centro judėjimo kreivė - tiesė, jeigu tarpusavyje sąveikauja du dangaus kūnai, judantys elipsėmis. Kaip jau minėjime ankščiau, mes taip pat parodysime vieno kūno judėjimą antrąjį kūną fiksuojant koordinačių plokštumos pradžioje (taške (0,0)). Tad: (6) paveiksle matoma gautoji pirmojo kūno judėjimo trajektorija, kai antrasis kūnas fiksuotas taške (0,0). Paveikslas 4: dviejų kūnų judėjimas, kai vienas iš jų fiksuotas. 17

19 Taip pat ganėtinai naudinga pasižiūrėti į abiejų kūnų tarpusavio atstumo bei greičio brėžinius (pav. (5)). Paveikslas 5: kūnų tarpusavio atstumo bei greičio vektorių trajektorijos Šiame brėžinyje galima įžvelgti atstumo bei greičio santykinį priešingumą: kuo atstumas tarp dviejų dangaus kūnų yra didesnis, tuo jų greitis yra mažesnis ir atvirkščiai kuo atstumas mažesnis, tuo greitis didesnis, kas logiškai paremia mūsų skaičiavimus Bulirsch-Stoer metodas Paskutiniu metu, kai atrandama vis daugiau sistemų su viena žvaigžde bei viena planeta, norima apskaičiuoti šių kūnų judėjimo trajektorijas tūkstančius ar milijonus metų į ateitį, norint išsiaiškinti planetos raidą, ar kada nors pateko, patenka ar pateks į gyvenamąją zoną ( habitable zone zona, kuria skriejantis dangaus kūnas išlaiko temperatūrą, kurioje vanduo išlieka skystas). Tokio tipo problemoms reikalingas skaitinis metodas, kuris būtų ne tik tikslus, bet ir lankstus bei greitas, o vienas tokių Bulirsch-Stoer integravimo metodas, kuris naudoja 6Nporuotas diferencialines lygtis per pasirinktą laiko žingsnių intervalą (time interval) išlaikydamas aukštą tikslumą [9]. Bulirsch-Stoer integravimo schema lygčiai - paprastas modifikuotas pusiaukelės metodas, kuriame pozicijos vektorius, sujungiant lygių požingsnių: yra nuolat keičiamas pagal laiko žingsnį 18

20 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) kur apytikrės tarpinės reikšmės laiko momentu. Nuokrypis nuo tikrosios reikšmės, susidaręs įvertinant, gali būti išreikštas laipsninių serijų, turinčių elementus tik su lyginiais laipsniais. Tai reiškia, jog eigoje patikslinti įverčiai gali būti sujungti į pasvertą vidurkį ir taip sudaryti tiksliausia įvertį, turintį auštą tikslumo lygį [6], [9], [10]. Bulirsch-Stoer metodo esmė to pasverto vidurkio bendrinimas, kad būtų galima nustatyti daugianario (polinomo) extrapoliaciją, naudojant įverčius, paliekant h vertes visad vienodas, tačiau keičiant N vertes. Kitais žodžiais, mes įvertinam kartų, rinkdamiesi N=2,4,6,8,, pritaikome rezultatus laipsnio daugianariui, tuomet extrapoliuojame iki, t.y. dydžio, kuris įvyktų, jeigu laiko žingsnis butų [6]. Šis procesas dar yra žinomas, kaip Ričardsono (Richardson) extrapoliacija. Paveikslas 6: Schematinė Ričardsono extrapoliacijos diagrama. Kairėje: funkcija integruojama nuo iki naudodama požingsnius (atviri apskritimai), (pilni kvadratai), (atviri trikampiai). Dešinėje: vertės braižomos kaip funkcija nuo (tiesi linija), po to extrapoliuojama iki (punktyrinė linija.) Daugianario lygtis duota pagal lygtį: ( ) Daugianario koeficientai gali būti surasti naudojantis Lagrandžo formule, kuri duoda 19

21 unikalų laipsnio daugianarį, einantį per taškus ir tuose taškuose atitinkamai įgaunantis reikšmes : ( ) Radus ( ) lygties koeficientus, ( ) išraišką galima įvertinti pasirinkus, ir taip gaunant. Paskutinis žingsnis konvergavimo nustatymas. Visa iki šiol aprašyta procedūra atliekama per naują, tik su kitomis reikšmėmis, tuomet palyginami du gauti įverčiai. Jeigu gautas nuokrypis mažesnis, negu pradžioje nustatytas konvergavimo kriterijus, tuomet laiko žingsniui gautas sprendinys laikas tinkamu, tačiau jeigu nuokrypis yra didesnis, didinamas, kol gaunamas tinkamas konvergavimas. Jeigu reikšmė tampa labai didele, tačiau konvergavimas nėra pasiekiamas, galima bandyti sumažinti laiko žingsnį, arba naudoti dvigubo žingsnio procesą, kuris bus aprašytas tolesniuose skyriuose [9]. Bulirsch-Stoer metodas yra smarkiai vertinamas dėl paprastumo, greitumo bei tikslumo [10], [7], taip pat išskiriama, kad, kitaip nei daugelis kitų egzistuojančiu skaitinių metodų, šis susitvarko su situacijomis, kai kūnai smarkiai priartėja vienas prie kito, tačiau taip pat paminima, jog šį metodą vertinga naudoti tiriant dviejų kūnų problemas [6]. 20

22 3. Trijų kūnų uždavinys 3.1. Skaitiniai sprendimo metodai Kadangi analitiniai sprendiniai egzistuoja tik tam tikromis situacijomis, kai kalbama apie daugiau negu dviejų dangaus kūnų sistemą, daugelis analitinius metodus bandė pakeisti skaitiniais, kurie, kaip žinome, nėra tokie tikslūs ir reikalauja daug operac ijų. Tačiau pasitelkus galingus šiuolaikinius kompiuterius skaitinių metodų naudojimas tampa vis paprastesnis, tad nenuostabu, jog skaitiniai metodai populiarėja ir yra nuolat tobulinami [11] Sprendimas konverguojančių laipsninių serijų forma Ieškant analitinių sprendinių trijų dangaus kūnų uždaviniui, atsirado nemažai idėjų spręsti šią problemą judesį reprezentuojant per konverguojančias laipsnines serijas, tinkamas elektroninių kompiuterių neskaitiniu pagrindu paremtomis programomis. Pirmąkart, tuomet dar tik įžvalgos į metodą buvo išplėtotos J. Steffensen, vėliau prie metodo tobulinimo prisijungė F. Rauch bei W. Riddell [12]. Šiame darbe pateiktas patobulintas originalaus varianto metodas, kurį pateikė Paskalis Skonzosas (Pasquale Sconzo). Šio metodo privalumas jis yra tinkamas naudoti visuose, net ir senuose, kompiuteriuose, laipsninės funkcijos sukonstruotos naudojantis gan paprastais analitiniais matematiniais veiksmais, metodą galima naudoti nepaisant kūnų masių bei nėra reikalo suvaržyti kurio nors kūno judėjimą. Rezultatas bus išreiškiamas per laipsnines serijas, priklausančias nuo reguliarizuojančio kintamojo, apibrėžtą diferencialiniu operatoriumi kur žymi neigiamą trijų dangaus kūnų sistemos potencialią energiją. Šis operatorius bus vadinamas LEVI-CIVITA operatoriumi. Tad pradedame naudodami atvirkštinį LEVI-CIVITA operatorių ant kintamojo kintamiesiems ir :, parašytą ( ) kur ( ) 21

23 Pakeitus išvestinių, priklausančios nuo naujo kintamojo, žymėjimą į brūkšninį, perrašome judėjimo lygtis iš ( ) kur, atstumas tarp kūnų, naudojamas pažymėti atitinkamus kūnus, į ( ) kur potencialo funkcija V yra laikoma kaip funkcija, priklausoma nuo u, o [ { } ] ( ) Sritį šioje vietoje limituojame taip, kad susidūrimai nebūtų galimi (tai aptarsime vėliau). Kadangi tuomet dvi funkcijas, priklausančias nuo u taip pat galime apibrėžti kaip, ( ) kurios neturi singuliarumo polių u=0 kaimynystėje (neighbourhood). Tad lygtis ( ) gali būti perrašyta kaip ir tuomet išspęsta laipsninių serijų metodu, pažymint, kad ( ) ( ) yra laipsninės serijos, išreiškiančios ( ) lygties sprendinį. Šių serijų konvergavimas u=0 rajone, net ir viengubo susidūrimo (tarp dviejų planetų) atveju, buvo pavaizduotas Sundmano darbe apie trijų kūnų problemos reguliarizavimą [12]. Laipsninių serijų ( ) tipui reikiamų konvergavimo sąlygų radimas bei palaipsninė tikslinimo procedūra yra aprašyta tolesniame autoriaus darbe, kuriame jis išryškina metodo paprastumą naudojantis kompiuterinėmis programomis [12], o reguliarizavimą mes taip pat apžvelgsime tolesnėje darbo eigoje. 22

24 Lie serijų metodas Nors Lie serijomis sprendžiant N-kūnų problemą mokslininkai naudojosi jau seniai (N-kūnų problemą Lie serijų pagalba sprendė Grobneris (Gröbner) (1967)) tik 1984 metais buvo pasiekta rimtesnių rezultatų, kai R. Dvorakas (Dvorak) išvedė kartojimosi formulę praktiškam serijos naudojimui. Trumpai priminsime apie Lie serijas bei Lie operatorių. Lie operatorius D, esantis ant daugybės dimensijų N: ( ) kur -erdvėje ant aibės D esančios holomorfinės funkcijos, kurios gali būti išskleistos į konverguojančias laipsnines serijas, o. Lie serijos tuomet išreiškiamos kaip: ( ) Kaip savo darbuose įrodė Grobneris, Lie serijos konverguoja D aibėje [11]. Perrašome (1.2.1) lygtį, pritaikydami ją trijų kūnų problemai: ( ) ( ) kur G gravitacinė konstanta, - i-tojo kūno, turinčio masę, pozicijos vektorius,. Įvedus naują kintamąjį, antros eilės diferencialinės lygtys gali būti paverstos į pirmos eilės dif. lygtis: ( ) ( ) ( ) kur,, o santykinis masės faktorius, išreiškiantis veikiamo kūno masės santykį su žvaigždės (arba didesnio kūno) mase,, kur Gauso konstanta). 23

25 Ankščiau apibūdintas Lie operatorius, trijų kūnų sistemai aprašytas Eglo bei Dvorako [13] išreikštas: ( ) ( ) ( ) bei ( ) lygčių atsakymas duotas serijų išplėtimu [13]: ( ) ( ) ( ) ( ) kur - laiko žingsnis. Lie serijų integravimo metodas įvardijamas kaip efektyvus ir greitas [11], tačiau taip pat pažymima, jog kaskart, norint įtraukti daugiau kūnus veikiančių jėgų, Lie integratorių reikia pertikrinti ir dažniausiai sukonstruoti per naują Eulerio metodas Norint išspręsti 4 priedo (3) bei (4) lygtis (ar bet kokią aukštesnės eilės diferencialinę lygtį) skaitiniu metodu, pradžioje galima perrūšiuoti antras išvestines, perrašant 3 antros eilės lygtis kaip 6 suporuotų pirmos eilės lygtis [6]. T.y., bet kokia antros eilės diferencialinė lygtis, turinti formą: ( ) gali būti perrašyta kaip porinių pirmos eilės diferencialinių lygčių pora ( ) ( ) 24

26 Tuomet, N antros eilės lygčių gali būti išreikšta kaip suporuota 2N pirmos eilės lygčių aibė: ( ) ( ) ( ) Jeigu perrašytume [ ] lengvesniems šešiadimenciniams fazinės erdvės koordinates kūnui i, tuomet visą trijų kūnų sistemą galime išreikšti per 18-dimensinį vektorių [ ] ( ) Vektoriaus elementai, pažymėsime juos, keliauja iš. Pavyzdžiui, kūno greičio x-komponentė atitinka elementą. Sistemos pokytis, kylantis iš ( ) bei ( ) lygčių, įgauna formą ( ) kur - 18 funkcijų, išvestų per lygčių ( ) bei ( ) dešiniąsias puses. Kai lygtys yra parašomos ( ) lygties forma, žymėjimas sustiprina idėją, kad, kitaip apibrėžiant funkcijas, vienas integravimo algoritmas gali būti naudojamas daugeliui problemų spręsti [6]. Verta pastebėti, jog (1.2.1) lygtis nepriklauso nuo laiko, užduoties integratorius gali dirbti ir su funkcijomis formose, kurios turi aiškią priklausomybę nuo laiko. Kai gali pasirodyti, jog 3 kūnų sprendimas sunkiai suvokiamų skaičiavimų tankumynas, svarbu suprasti, kad galiausiai tai tik fiksuotos pirmos eilės diferencialinių lygčių aibės integravimas [6]. Paprastosios diferencialinės lygtys apibūdina tolygų priklausomojo kintamojo pokytį (tarkim kūno pozicija arba greitis), priklausantį nuo nepriklausomo kintamojo kitimų (mūsų atveju tai - laikas). Kadangi, pozicijos bei greičiai yra žinomi pradiniu momentu, tad N-kūnų problema tampa pradinių sąlygų problema [6]. Paprasčiausias algoritmo sprendinys 3-jų kūnų sistemai pratęsiamas sukonstruojant diferencialinių lygčių skirtumo reprezentaciją per laiką : 25

27 ( ) Naudojantis šia formule galima apskaičiuoti atnaujintą priklausomų kintamųjų aibę,, naudojantis tik galima informacija laiku. (Svarbu pastebėti, jog viršutiniai indeksai n bei n+1 nurodo laiko žingsnius, o ne laipsnį). Kaskart pritaikant baigtinio skirtumo formulę ( ), kūnų trajektorijos yra pratęsiamos laiko intervalais h, o sprendinys statomas nuolat atnaujinant žinomą informaciją apie pradinius pozicijos bei greičio vektorius [6]. Šis metodas, vadinamas Eulerio metodu, Bodenheimerio yra vertinamas kaip labai paprastas ir labiau tinkamas mokymams bei sistemos sprendimo supratimui, tačiau norint atlikti produktyvų, didesnio tikslumo reikalaujantį darbą, autorius siūlo naudoti kitus metodus, kuriuos vėliau pateiksime ir mes Eulerio metodo klaidų skaičiavimas Kaip teigia Piteris Bodenheimeris (Peter Bodenheimer)(2006), bet kokiai baigtinei skirtumų schemai, kaip ( ), reikalinga diferencialinių lygčių sistemos diktuojamų variacijų aproksimacija, o trijų kūnų problemoje, didelę naudą teikia tai, jog sistemoje išsilaiko energija bei kampinis momentas, atitinkamai žymimi bei, kurie, kitais žodžiais, kūnui keliaujant sava trajektorija, išlieka nepakitę: ( ) bei ( ) kur - sistemos masės centro greitis, atstumas tarp i-tojo bei j-tojo kūno, o pilna sistemos masė: ( ) 26

28 Bodenheimeris savo (bei kolegų prisidėtoje) knygoje Numerical Methods in Astrophysics: An Introduction (2006) Eulerio metodo klaidų tikrinimui siūlo šią, bendrai žinomą klaidų skaičiavimo formulę: ( ) kur metodo pabaigoje užfiksuotas nuokrypis, - skaičiavimo pabaigoje užfiksuotas nuokrypis. Autorius įžvelgia, jog bei nekitimas smarkiai padidina skaičiavimų tikslumą, tačiau taip pat pabrėžia, jog tai yra labai apgaulinga, kadangi patogių metodų klaidų skaičiavimui nėra, tikslumas turėtų būti nustatomas kaitant laiko žingsnius h. Kaip pavyzdį atlikime nesunkų uždavinį: tarkime, kad turime Žemės masės kūną, judantį aplink 1 Saulės masės kūną 1 astronominio vieneto atstumu (atstumu tarp Žemės ir Saulės). Naudojantis ( ) bei ( ) lygtimis, mes naudojame Eulerio metodą 100 metų nuo skaičiavimų pradžios, tuomet pagal ( ) formulę paskaičiuojame gautus netikslumus. Rezultatai pateikiami paveiksle: Paveikslas 7: Eulerio metodo absoliučioji paklaida, prieš laiko žingsnių absoliučiąją funkciją, skaičiuojant Žemės dydžio planetos, nutolusios per 1 a.v. nuo Saulės dydžio kūno, judėjimą 100 metų intervale. Kaip matome (7) paveiksle, kuo didesnis yra laiko žingsnių dydis, tuo skaičiavimai yra tikslesni, didžiausia tikslumą pasiekiant, kai (metų), tačiau šią ribą viršijant, skaičiavimų netikslumai pradeda smarkiai augti. Šiuos netikslumus galima pateisinti dėl to, kad skaičiuojant kintamieji buvo pažymėti dvigubu tikslumu ( double precision double), kas reiškia, jog kompiuteris bandys išlaikyti tikslumą tik iki 14 skaitmens po kablelio [7]. Autorius taip 27

29 pat pateikia dar vieną klaidų priežastį pasiekus ankščiau minėtą tikslumo limitą, dėl apvalinimo klaidų, nebe tikslūs parametrai yra duodami tolesniems, žingsniais paremtiems, skaičiavimams, tad tuo metu tikslumas pradeda smarkiai kristi. Tuo metu Bodenheimeris (2006) Eulerio metodo netikslumą bei dėl to kylantį metodo panaudojimo sudėtingumą pagrindžia jo asimetrija: priklausomojo kintamojo prieaugis yra paremtas, skaičiuoto laiko intervalo pradžios metu, dydžiu. Bet koks netiesiškumas priveda prie atnaujintų priklausomų kintamųjų netikslumų Runge-Kutta metodas Ieškant lengvai panaudojamą, tačiau tuo pat metu ir tikslesnį už Eulerio metodą, galiausiai buvo suprasta, jog funkcija gali būti paskaičiuojama su bandomosiomis ar net tarpinėmis, jeigu įtraukiame numanomą priklausomybė nuo laiko. Tuomet gali būti sukurta aukštesnio laipsnio integravimo schema, kurioje iš esmės parodo geresnį orientavimąsi didėjant. Į apmąstymus įtraukus visus šiuos aspektus, buvo sugalvota, jog subtilesnis įvertis, naudojamas tiksliai kaskart atnaujinant per pasirinktą laiko žingsnį h, gali būti išgautas reikšmių pasverta suma [6]. Šią strategiją naudojantys metodai yra vadinami Runge-Kutta metodais, o svoriai, pritaikyti kiekvienam iš k kreivės įverčių, gali būti taip sureguliuoti, jog panaikintų Eulerio metodu Tayloro serijose (laipsniu ) susidariusį nuokrypį. ( ) Paprasčiausias Runge-Kutta integravimo algoritmas susidaro iš visų pirma kreivės bei Eulerio metodo panaudojimo nustatant įverčius taškuose, esančiuose pusiaukelėj nuo norimo laiko žingsnio intervalo h: ( ) ( ) Tikrosios reikšmės intervale ( ) yra įsisavinamos. Todėl geresnis įvertis duoda tikslesnę kreivės, reikalingos didėjimui per laiko žingsnio intervalus h nustatyti, reikšmę [6]. 28

30 Tarkime, kad turime klasikinę ketvirtos eilės schemą, sudarytą iš žemiau pateiktų operacijų, turinčių keturis išvestinių funkcijų įvertinimus: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) Tad, kaip matome vienas integravimo žingsnis susideda iš: 1. Pradinės kreivės įvertinimo. 2. Pirmojo kreivės įvertinimo pasirinkto laiko žingsnio pusiaukelėje. 3. Antrojo kreivės įvertinimo pasirinkto laiko žingsnio pusiaukelėje. 4. Kreivės įvertinimo žingsnio intervalo pabaigos taške. Keturios kreivės tuomet yra sukombinuojamos naudojant svorius atitinkamai ir taip gaunama vidutinė kreivė, kuri gali tiksliai sujungia Eulerio metodo žingsnį po intervalo h. Šio metodo veikimą gan paprastai galima įsivaizduoti panaudojant lengva uždavinį: Įsivaizduokite, kad turime dvi-dimencinę koordinačių plokštumą bei du kūnus, Žemę ir asteroidą, skriejantį link žemės. Vardan didesnio uždavinio supaprastinimo, fiksuokime Žemę koordinačių centre. Naudojantis anksčiau pateiktais (arba naujais) metodais apskaičiavome, kad asteroidas judės pagal pirmos eilės diferencialinę lygtį ( ) taip pat yra duotos pradinės sąlygos:. Mums svarbu, kur bus asteroidas, kai. Naudojantis Eulerio metodu paskaičiuojame pirmąjį įvertį mums reikiamu momentu ( ): 29

31 [ ] ( ) Antros eilės Runge-Kutta formulė duoda šiek tiek tikslesnę tarpinę reikšmę bei kreivės įvertį: ( ) Tuomet tikslesnis paskutinio taško sprendinys: ( ) kai tuo metu ketvirtos eilės Runge-Kutta schema, pavaizduota ( ) lygtimi, duoda reikšmę, kas yra ganėtinai artima tikrajai reikšmei. Piteris Bodenheimeris ketvirtos eilės Runge-Kutta integracijos metodą siūlo rinktis tuomet, kai skaičiavimo greitis nėra toks aktualus, o svarbiau sistemos suprogramavimo paprastumas [6]. Autorius išryškina idėją, jog norint panaudoti šį metodą gali reikti nemažai pamodifikuoti funkcijas, o toks pokyčių įvedimas jau prieš tai sukurtame specialiame kode gali užimti daug laiko. Tuo metu Michalas Križekas (Michal Křížek) savo straipsnyje Numerical experience with the three-body problem (1995) ( Skaitinė patirtis, sprendžiant 3-kūnų problemą ), Runge- Kutta metodą įvardijo kaip greitą bei patogų, tol kol atstumai tarp kūnų yra teigiami. Jis taip pat pateikė trumpą, tačiau įdomų uždavinį: Turime trijų kūnų sistemą Saulę, Neptūną bei Plutoną. Tuomet pradinės sąlygos: ( ) ir, naudojantis Keplerio trečiuoju dėsniu, teigiama, kad (( ) ) ir galiausiai. Uždavinys buvo išspręstas naudojant 4 eilės Runge-Kutta metodą, pateiktą ( ) formule, su mėnesių žingsnių intervalu. Šiuo uždaviniu buvo siekiama surasti Plutono judėjimo trajektorijos ekscentricitetą, kuris, kaip žinome yra. Rezultatai pateikti brėžinyje: 30

32 Paveikslas 8: Plutono judėjimo trajektorijos ekcentriciteto funkcija per laiką, skaičiuota naudojant 4 eilės Runge-Kutta metodą su mėnesių žingsnių intervalu. Kaip matome, gautoji ekcentriciteto formulė svyruojanti funkcija su periodu apytiksliai lygiu metams, maximali šios funkcijos vertė 0,035, tad tai yra pakankamai toli nuo tikrosios reikšmės (brėžinyje pažymėta punktyrine linija). Taip pat gauti rezultatai parodė, jog Plutono bei Neptūno orbitos nesikerta, kas yra priešinga realybei [7]. Autorius teigia, jog, pagal R. Malhotros (1993) atliktus skaičiavimus, užtenka metų iki kol išryškėja tikrasis Plutono ekscentricitetas, skaičiavimus pradedant nuo nulinio ekscentriciteto, tačiau naudojant Runge-Kutta 4 eilės diferencialinių lygčių metodą ekscentricitetas link tikrosios reikšmės priartėjo tik po metų [7] Runge-Kutta metodo tikslinimas Kaip buvo minėta, įvairūs skaitiniai metodai duoda iškreiptus ir netikslius rezultatus, kai kūnai smarkiai priartėja link vienas kito. Norint išlaikyti tikslumą mokslininkai sumąstė įvairių metodų kaip sumažinti šiuos nuokrypius nuo tikrųjų reikšmių. Šiame skyriuje pateiksime Runge- Kutta tikslinimo metodą, pademonstruotą tinkantį ir kitiems metodams, naudojantiems laiko žingsnių idėją [6]. Metodo esmė kai kūnai priartėja, reikia mažinti laiko žingsnių intervalą, arba, kitais žodžiais, kai yra didelis, laiko žingsnį reikia rinktis mažą, kad būtų išlaikytas tikslumas, tačiau jeigu yra vis dar gan didelis, o laiko žingsnis yra per mažas, skaičiavimai gali sustoti dė l per didelio operacijų skaičiaus. Šiuo atveju buvo pristatytas dvigubo žingsnio ( step-doubling ) metodas: 31

33 Visų pirma reikia papildyti sprendimų vektorių atliekant Runge-Kutta metodą dukart, pasirenkant laiko žingsnio dydį h ir taip aprėpiant laiko žingsnių intervalą 2h. Po šių žingsnių, reikia surasti sprendimų vektoriaus įvertį, pavadinkime jį. Tuomet su pradinėmis sąlygomis darkart naudojame Runge-Kutta metodą, tik šįkart jį atliekame vienąkart su pasirinktu laiko žingsniu 2h ir gauname antrąjį įvertį. Tad dvigubo žingsnio klaidų šalinimo metodas sprendiniui laiko momentu suteikia du įverčius, tarp kurių galime paskaičiuosi susidariusią klaidą [6]. Naudojame puikiai žinomą klaidų skaičiavimo formulę (73), tik pritaikytą šiam metodui ir gauname klaidos įvertį: ( ) Jeigu, kur iš anksto nustatytas laiko žingsnių tikslumo kriterijus, tuomet tinkamas konvergavimas link tikrosios reikšmės nėra pasiektas. Šiuo atveju laiko žingsnį reikia (pakartotinai) mažinti tol, kol klaidos įvertis bus mažesnis už nustatytą kriterijų. Kita vertus, įvertis, kur dar vienas galimas laiko žingsnių tikslumo kriterijus (su sąlyga, kad ), tuomet pasirinktas laiko žingsnių intervalas turėtų būti didesnis. Tad, kaip matome, tinkamai naudojamas prisitaikymo idėja remtas dvigubo žingsnio metodas gali smarkiai sumažinti klaidas, bei įverčių nutolimą nuo tikrosios reikšmės [14]. Tačiau taip pat yra pabrėžiama, jog standartiniuose trijų kūnų uždaviniuose, norint išlaikyti tikslumą tuose pačiuose skaičiavimuose naudojami tiek maži tiek dideli laiko žingsnių intervalai [6], mintį pagrindžiant pavyzdžiu, jog artimose dvinarėse žvaigždėse esantis gravitacinės energijos šaltinis kitiems kūnams kinta valandomis, kai tuo metu labiau galaktikose nutolusios žvaigždės užtruks milijonus metų, kol nukeliaus į kitą galaktikos pusę, tad toks paprastas metodas, kaip žingsnio dvigubinimas, ne visada yra tinkamiausias pasirinkimas, ir yra labiau pritaikytų metodų, kaip kūno sekimas, pritaikant jam savąjį laiko žingsnį Susidūrimų taškai bei reguliarizavimas Kaip minėjome, daugelis skaitinių metodų sunkiai susitvarko su situacijomis, kai kūnai priartėja arti vienas kito. Tačiau kas atsitiktų, jeigu visų trijų kūnų pradiniai greičiau būtų lygūs nuliui? Pasikliaujant nuojauta galima drąsiai spėti, jog tokiu atveju visi trys kūnai judės link bendro masės taško ir taip per tam tikrą laiką patirs trigubą susidūrimą. To susidūrimo metu, staiga visi sprendiniai (jeigu tokių sistemoje yra) tampa negalimi, o tai reiškia, jog tame taške turime trigubą susidūrimų singuliarumo (dar žinomo kaip kolapsaro) tašką. Atitinkamai ir su dvejais kūnais 32

34 kai turime dvigubą susidūrimą, turime dvigubo susidūrimo singuliarumo tašką (tikriausiai suprantama, jog vienas kūnas sistemoje nesusidurs su niekuo). Šiame darbo skirsnyje bus nagrinėjami bendrinio trijų dangaus kūnų judėjimo uždavinio susidūrimų kolapsaro taškai bei metodas, kaip šiuos taškus pašalinti, vadinamas reguliarizavimu. Visų pirma, parodysime kaip atrodys planetų judėjimas, kai visų k ūnų masės yra skirtingos, o pradiniai greičiai lygūs nuliui. (11) paveiksle parodytas tokių planetų judėjimas, rombo ženkliukas parodo baigtinę planetos vietą koordinačių plokštumoje. Paveikslas 9: trijų kūnų judėjimas, kai pradiniai greičio vektoriai yra lygūs 0; a) po vieno periodo; b) po dviejų periodų. Kaip ir buvo aptarta, aiškiai matosi, jog visi kūnai po truputį juda link bendro masės centro, kol galiausiai vienas kitą išsviedžia tolyn (aiškiai matosi (11a) paveiksle, juoda planeta išsviedžiama tolyn mėlynos planetos), o po to vėl pritraukia link masės centro. Remiantis prancūzo matematiko Polo Peinlevė (Paul Painlevé) darbais 19 a. pabaigoje, buvo nustatyta, jog susidūrimai tarp arba dviejų, arba trijų kūnų yra vieninteliai įmanomi kolapsarai trijų dangaus kūnų judėjimo uždavinyje ir šiuos singuliarumo taškus galima pašalinti nustatant tam tikras pradines sąlygas. Šalia kolapsarų esanti fazinės erdvės struktūra pakinta, tad sprendiniai (jeigu jie egzistuoja) nenustoja galioti šiuose taškuose, tačiau labai prie jų priartėja ir pradeda rodyti keistą veikseną. Peinlevė darbai apie kolapsarus buvo tęsiami galiausiai įrodant, jog pradinių sąlygų nenustatymas veda link susidūrimų, o nustatymas išvengimo, jeigu nenustatymo atveju susidūrimas įvyko per baigtinę laiko aibę [15]. Mūsų trijų dangaus kūnų su skirtinga mase, tačiau nuliniais pradiniais greičiais, pavyzdyje, sunku įžvelgti kolapsarus, kadangi trajektorijos gali kirstis jau po to, kai viena planeta yra toli nuo kitos praskridus. Tačiau gan lengvai singuliarumo taškus galima įžvelgti atstumų diagramoje. 33

35 Paveikslas 10: atstumų tarp planetų diagramos; a) po vieno periodo; b) po dviejų periodų. Singuliarumus galima pamatyti tuomet, kai viena iš kreivių kerta ašį, kas rodo, kad atstumas tarp dviejų planetų buvo lygus nuliui. Paveiksle (12a) matome atstumų diagramą po vieno periodo šioje diagramoje galima įmatyti netgi septynis dvigubus singuliarumus. Paveiksle (12b) matomas planetų atstumas po dviejų periodų tad tai yra pratęsta pirmosios diagramos forma; čia matyti vienuolika dvigubų kolapsarų (septyni iš jų iš pirmo periodo), bei vienas trigubas kolapsaras, kai periodas yra apytiksliai lygus 1,4. 20 a. pradžioje suomių matematikas Karlas F. Sundmanas (Karl F. Sundman) ištyrinėjo trigubų susidūrimų kolapsarus bei suformulavo ir įrodė dvi svarbias teoremas. Pirma, jis įrodė, jog trigubas susidūrimas įvyks tik tuomet, jeigu visų kūnų kampinis greitis bus nustatytas nuliui tuo pačiu metu, o antra, Sundmanas parodė, jog jeigu visi trys kūnai susiduria viename erdvės taške jie visi juda bendra gravitacijos centro plokštuma, o kai artėja link susidūrimo taško asimptotiškai artėja link vieno iš centrinių parametrų: Eulerio kolinearumo, arba Lagranžo lygiakraščio trikampio, šios teoremos bei įrodymai plačiau nagrinėjami Siegelio bei Mozerio darbe [16] (taip pat centrinių parametrų tema nagrinėjama 3.2. skyriuje). Sundmanas toliau studijavo dvigubus susidūrimus ir rezultatus panaudojo bendrajam trijų dangaus kūnų judėjimo uždavinio sprendimui. 20 a. pabaigoje buvo pradėtos nagrinėti variacinės trijų kūnų problemos su trigubais susidūrimais lygtys bei gauti hypergeometrinėmis funkcijomis paremti sprendiniai, galimi netgi ir su susidūrimais. Reguliarizavimas metodas, kai judėjimas pratęsiamas už sprendinyje pasitaikančio singuliarumo taško elastiškai atšokant, neprarandant ar neįgaunant energijos. Tad svarbus klausimas yra toks: ar įmanoma tokį sprendinį su kolapsaru tęsti taip, jog sprendinys išliktų prasmingas? 20 a. viduryje Sygelis (Siegel) įrodė, jog bendruoju atveju analitinis sprendinys, kuriame einama per trigubą susidūrimą yra neįmanomi praktiškai su visomis kūnų masėmis. Jo 34

36 darbas buvo pratęstas amerikiečių matematiko Ričardo Polo Makgihi (Richard Paul McGehee), kuris pristatė naują koordinačių sistemą, kuri leido jam padidinti trigubo susidūrimo singuliarumo tašką ir jį ištyrinėti. Naudodamas naująją sistemą jis nustatė, kad tame taške susidaro iškraipyta sfera su trimis link begalybės einančiais taškais [17]. Paveikslas 11: MakGihi (McGehee) koordinačių sistema su lengvai kintančiu kolapsaru Tamsiosios energijos įtaka trijų kūnų sistemai Kosminės antigravitacijos sąvoka, pirmąkart iškelta Einšteino prieš maždaug šimtą metų, pradžioje atrodė sudėtinga ir visiškai priešinga tuo metu vyravusiai Niutono gravitacijos sampratai, tačiau paskutiniu metu, kai Einšteino gravitacinės bangos buvo pirmąkart išmatuotos ir, kad ir kaip nebūtų keista, jos beveik atitiko Einšteino prognozuojamus rezultatus, antigravitacija (arba kosminė stūma) tapo nepakeičiamu naujojo visatos suvokimo elementu. Stebėjimai patvirtino Einšteino antigravitacija Visatos lygmenyje yra stipresnė už N iutono gravitaciją, tad galaktikos bėgant laikui vis tolsta ir nuo mūsų, ir vienos nuo kitų, vis spartėjančiu greičiu [18]. Tuo metu, kai Niutono gravitacija kyla iš visų kūnų, turinčių masę, Einšteino antigravitacija yra nepriklausoma nuo kūnų ji priklauso nuo tamsiosios energijos - nematomos ir tobulai vienalytės kosminė terpės, sudarančios maždaug 80% visos matomos visatos. Kadangi trijų kūnų sistema neturi praktiško ir bendro analitinio sprendinio, tinkamo praktinėms užduotims, tamsiosios energijos įtaką stebėsime pasitelkus ankščiau minėtus skaitinius metodus. 35

37 Prieš pradedant tyrinėti tamsiosios energijos įtaką trijų dangaus kūnų sistemai, pradžioje šiek tiek patyrinėsime pačią tamsiąją energiją bei jos savybes: Nors fizikinės tamsiosios energijos savybės šiuo metu dar nėra ištyrinėtos, tačiau tamsiosios energijos kaip terpės, kurioje plūduriuoja visa visata, yra galimas [18]. Kas keisčiausia, tamsioji energija nusakoma pagal vieną parametrą Einšteino kosmologinę konstantą. Naudojant ją, galima išreikšti tamsiosios energijos tankį: ( ) kur G gravitacinė konstanta. Paskutiniais stebėjimais buvo užfiksuotas tamsiosios energijos tankis (suapvalinta iki šimtųjų) [18]. Taip pat tolimesniems skaičiavimams reikės prisiminti universalią Hublo konstantą : Su ankščiau pateikta verte, (Mpc - Megaparsekai) [18]. Įtraukdami tamsiąją energiją į trijų kūnų pozicijos skaičiavimą, diferencialinę lygį (2) perrašome: ( ) ( ) ( ) Emel yanovas su kolegomis, savo straipsnyje Dark Energy in Three-Body problem (2015) išsprendė ( ) lygtį naudodamas skaitinę integraciją bei 4 eilės Runge-Kutta metodą bei Radau- Everhart (antros eilės Runge-Kutta metodas su kintančiu laiko žingsniu [14]) metodą skaičiavimų tikslumui ištirti. Pasirinktos pradinės sąlygos buvo pasirinktos tokios: Du kūnai, abu judėdami beveik apskritimine trajektorija, suformuoja dvinarę sistemą, kai trečiasis kūnas yra už kitų kūnų judėjimo trajektorijų, neturi pradinio greičio (santykinai, palyginus su sistemos gravitaciniu centru). Tokį sąlygų pasirinkimą autoriai pagrindžia idėja, jog prieš įtraukiant tamsiosios energijos skaičiavimus, su šiomis sąlygomis kūnai judėdavo gan nuspėjamomis trajektorijomis bei vieną trajektoriją laisvai galėdavai transformuoti į kitą naudodamas tiesinę skalę. Rezultatai pateikiami brėžiniuose apačioje: 36

38 Paveikslas 12: a) Trijų kūnų judėjimas neįtraukus tamsiosios energijos į skaičiavimus. Užtamsinti taškai nurodo pradines kūnų pozicijas. Tolimiausias atstumas nuo bendro masės centro 0,371 Mpc. b) Trijų kūnų judėjimas įtraukus tamsiosios energijos įtaką. Abejais atvejais trajektorijos skaičiuojamos 15,8 milijardų metų periodui. Kaip matome (12) paveiksle, nors pradžioje tamsioji energija ir neturi įtakos, kuo toliau kūnai yra vienas nuo kito, tuo labiau juos veikia Einšteino antigravitacija. Tyrimuose pabrėžiama, jog trijų kūnų sistemos yra stabilios bei smarkiai neiškrypsta nuo tamsiosios energijos sukeltų antigravitacijos bangų, tačiau taip pat išreiškiama, jog bendru atveju, tamsiosios energijos įtaka trijų kūnų sistemą padaro šiek tiek mažiau suvaržytą (galima naudoti platesnį pradinių sąlygų spektrą). Tyrimo autorius taip pat pamini, jog kūnams išsilaisvinant vienam nuo kito gravitacijos, kūnų judėjimo trajektorijos konverguoja link tiesinių, kadangi kūnų judėjimui įtaką (pakankama i nutolus nuo kitų kūnų) daro tik antigravitacija [18] Skaitinio metodo pasirinkimas Kai yra tiek daug skaitinių metodų, kuriuos galima naudoti 3-kūnų sistemoms tirti, skaičiavimų nuokrypius mažinti, kokį metodą geriausia rinktis? Viskas priklauso nuo sąlygų: kiek kūnų yra sistemoje, kurie iš jų dominuoja, kurie gali būti suvaržyti (nekreipiamas dėmesys į jų masę), kiek svarbus yra tikslumas, kiek svarbus yra skaičiavimo greitis ar kompiuterio naudojami resursai Tačiau daugmaž visi mokslininkai sutaria dėl vieno, Bulirsch-Stoer integravimo metodas yra tinkamiausias pasirinkimas dviejų kūnų sistemose dėl greičio, paprastumo ir tikslumo [6]. Tiesa, metodas susiduria su problemomis, kai kūnai priartėja vienas prie kito, tačiau 37

39 reguliarizacijos metodas, kuris nenaudoja daug kompiuterio resursų bei laiko, dar smarkiau padidina metodo tikslumą [10]. Kalbant apie kitas sąlygas, vieno aiškaus atsakymo taip pat nėra. Atlikti tyrimai rodo, jog Radau-Everhart integravimo metodas (dar žinomas kaip antros eilės Runge-Kutta metodas su kintančiu laiko žingsniu [14]) yra tinkamesnis už Lie serijų integravimo metodą tik tuomet, kai stebimų kūnų skaičius didesnis negu 50 [11]: Paveikslas 13: Lie ir Radau-Everhart metodų palyginimai skaičiavimo laiko bei įtraukiamų į skaičiavimus objektų skaičiumi Autorius taip pat pateikia kitokius skaičiavimus: asteroidas Apofis (2004MN4) turi nemažą galimybe 2036 metais praskristi labai arti žemės, o gal net į ją atsitrenkti. Kadangi, kaip jau yra paskaičiuota, 2029 metais asteroidas turėtų praskrieti žemę labai artimu atstumu. Įvertinus turimus duomenis, bei panaudojant Lie, Bulirsch-Stoer bei Radau-Everhart metodus buvo bandyta nustatyti, kokiu atstumu nuo žemės jis praskries. Lentelė 1: Lie, Bulirsch-Stoer bei Radau-Everhart metodų palyginimas Aiškiai matosi, jog visi metodai puikiai susitvarkė su užduotimi ir pateikė labai panašius rezultatus, tačiau pabrėžiama, jog, kadangi asteroidas praskris labai arti žemės, reguliarizavimas būtinas norint pašalinti klaidas [6]. 38

40 Kinoshita bei Nakai straipsnyje Numerical Integration Methods in Dynamical Astronomy (1989) pateikia panašias išvadas didėjant skaičiavimų laiko skalei bei kūnų skaičiui, skaitinių metodų svarba astronominėje dinamikoje auga sparčiu tempu. Renkantis skaičiavimų metodą svarbu suprasti ko sieki, tikslumo ar paprastumo. Jeigu reikia didelio tikslumo, paprastų dinaminių sistemų tyrimui autoriai siūlo naudoti aukštesnės eilės integratorių, kaip minėtą 4 eilės Runge-Kutta metodą [19] Analitiniai trijų kūnų uždavinio sprendiniai: Kaip buvo minėta skyriuje N-kūnų problema, analitiniai bendrosios problemos sprendiniai yra žinomi tik tam tikriems atvejams, kai sistema yra suvaržoma bei pažabojama iki kol analitiniai pertvarkymai tampa įmanomi. Tokie suvaržymai gali būti įvairūs: nuo sąlygos apribojimo (kaip, jau minėto, apriboto trijų kūnų uždavinio) iki tam tikrų taškų skaičiavimuose atsisakymo, tačiau dažniausi suvaržymai tam tikrų pradinių sąlygų paisymas. Įvairioms kosmoso misijoms, tokioms kaip erdvėlaivio judėjimas tarp planetų, arba nuo Žemės iki Mėnulio, projektuoti bei analizuoti pasitelkiamas ankščiau jau aptartas apribotas trijų kūnų dangaus judėjimo uždavinys, kuriame mažesniojo kūno (erdvėlaivio) masė yra veikiama kitų dviejų kūnų, tačiau didesnieji kūnai yra neveikiami erdvėlaivio. Apribotas trijų dangaus kūnų uždavinys paprasčiausiai suprantamas (analizuojamas) kaip koordinačių sistema besisukanti su dvejais pradiniais kūnais. Dviejų dangaus kūnų judėjimo problemos sprendimo metodas yra dviejų pradinių masių kūnams, besisukantiems pastoviu kampiniu greičiu Ω aplink savo masės centrus koordinačių plokštumoje, kuri sukasi kartu su kampiniu greičiu Ω, tuomet tie du kūnai yra stacionarūs. Trečiasis kūnas (erdvėlaivis) juda gravitaciniuose laukuose ir patiria papildomą pagreitį dėl koordinačių plokštumos sukimosi. Šiame skyriuje tirsime analitinius trijų kūnų uždavinio metodus bei sąlygas, kuriose šie metodai tampa galimi. 39

41 3.2.1 Gravitacinis potencialas bei pseudo-potencialas masės Tarkime, kad turime dviejų kūnų su mase ir sistemą. Tuomet pridedame mažos kūną, kuris neveikia kitų dviejų. Paveikslas 14: trijų kūnų sistema plokštumoje Šiuo atveju mes svarstysime tik plokštuminį judėjimo lygtis: judesį. Naudojantis (1.2.1) lygtimi perrašome, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ) Kūnų su mase ir judėjimo sprendinys Keplerio problema, kai du kūnai juda apskritiminėmis orbitomis aplink jų bendrą masės centrą su dažniu ( ) 40

42 kur yra atstumas tarp kūnų su mase ir. ( neigiamas). Mes galime panaudoti šias lygtis mažo kūno su mase, veikiamo dviejų kūnų su mase ir gravitacinių laikų, judėjimo lygties skaitinei išraiškai gauti, o bendru atveju analitinis sprendimas nėra galimas [6]. Tačiau persikeliant į koordinačių plokštumą, kur du, labai didelių masių ir kūnai yra stacionarūs, galima nemažai įžvelgti į kūno su mase judėjimą. Kadangi šių dviejų didesniųjų kūnų Keplerio problemos sprendimas yra sukimasis kampiniu greičiu Ω aplink savo masės centrą, jeigu mes fiksuotumėme koordinačių plokštumos pradžią masės centre ir pasuktume ją kampiniu greičiu Ω, pamatytume, kad ir kūnai nejuda jų greičiai ir, gauti Keplerio uždavinio sprendime, yra panaikinami sukimosi efekto, dėl kurio greičiai taškuose ir pasinaikina, kadangi ir yra atimami iš ir dėl besisukančios koordinačių plokštumos. Paveikslas 15: (14) paveiksle pavaizduota trijų kūnų sistema plokštumoje su kampiniu greičiu Ω. Tačiau pagreitis inercinėje erdvėje ir privalo būti pakeistas dėl besisukančios koordinačių plokštumos. Plokštuminio judesio ir pagreitis besisukančioje koordinačių plokštumoje yra duotas pagal lygtis ( ) ( ) ( ) 41

43 Šiuo atveju įtrauktas ir pagreitis kryptimi (statmenas plokštumai), kadangi jos nereikia keisti dėl koordinačių sistemos judėjimo [6]. Dabar pakeisime trijų kūnų judėjimo lygtis jų bendrame gravitaciniame lauke, modifikuodami pagreitį pagal formules ( ), ( ) ir ( ). Gravitacinės sąlygos nekinta, kadangi jos nėra veikiamos koordinačių plokštės sukimosi. Šiuo atveju, kai mūsų koordinačių plokštumoje didieji kūnai yra nejudantys, mus domins tik mažojo kūno su mase judėjimas. Taip pat įtraukėme ir lygtį, kuri yra gan nesudėtinga - nėra veikiamas plokštumos sukimosi, o pagal mūsų uždavinį, mažos masės judėjimas nepaveikia didelių masių judėjimo, o ir dviejų didelių masių objektų judėjimas yra plokštumoje, tad ir visad bus lygūs nuliui. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Savo patogumui nekreipiant dėmesio į apostrofus ( ) ir susikoncentravus tik ties kūno su mase judėjimu koordinačių plokštumoje, perrašome lygtis perkeldami išcentrinį pagreitį į dešinę pusę. Išcentrinis pagreitis gali būti perrašytas kaip ( ) Taip padarius pasimato, kad visa dešinioji pusė gali būti perrašyta panašiu būdu, kaip laipsninis funkcijos pokytis, tad gali būti vertinamas kaip potencialas, susijęs su susidariusiu jėgos lauku per, kuris apima ir gravitacinį potencialą, ir potencialą suformuotą išcentrinės jėgos. Kadangi Koriolio pagreitį palikome kairėje lygties pusėje, neturime paprastos lygties dalelės 42

44 judėjimui inercinėje erdvėje susidariusiame jėgos lauke nustatyti. Tačiau norint nustatyti jėgos lauko pokytį nejudančios dalelės atžvilgiu, tolesnė formuluotė duoda daug įžvalgų. Tad kūno su mase judėjimo lygtį koordinačių plokštumoje galima užrašyti kaip ( ) ( ) ( ) kur - kūnų su mase ir bendras gravitacinis potencialas. yra taške, o taške kaip parodyta brėžiniuose. Žinome, kad gravitacinis potencialas per masės vienetą kūnui su mase yra ( ) tad visas sukauptas potencialas yra ( ) kur išcentrinės jėgos efektas parašytas kaip potencialas Gravitacinį ir išcentrinį potencialą kartu nuo šiol pavadinsime pseudo-potencialu, kadangi, kai greitis nėra lygus nuliui, papildoma Koriolio efekto sąlyga privalo būti įtraukta, kad būtų galima nusakyt dalelės dinamiką: šiuo atveju neturime paprasto vaizdo, kaip dalelė keičia energiją tarp potencialios ir kinetinės. Ją mes naudosime kaimynystei (kūnų sistemai) tyrinėti bei nustatyti, ar yra taškų, kuriuose dalelė gali būti neveikiama jėgos (jėgos išsilygina). Savo patogumui, nusistatykime ir Tuomet gauname, kad o. Iš pradžių tirsime gravitacinį potencialą ties x ašimi, parodytą (104) lygtyje, lygindami jį su pseudo-potencialu. Rezultatai bus atskleidžiami brėžiniuose. Kaip pamename, bet kuriame taške Nors šiuo atveju mes domimės rezultatais, kai y=0, iškart galima pastebėti gravitacinio potencialo ir pseudo-potencialo skirtumus. 43

45 Paveikslas 16: Gravitacinio potencialo bei pseudo-potencialo brėžiniai Žiūrint į gravitacinio potencialo brėžinį, matome, kad dviejų didžiųjų kūnų gravitacinė trauka yra apylygi bei viena kitam priešinga (panašiai, kaip Žemės-Mėnulio sistemoje). Tačiau tyrinėjant pseudo-potencialą, iškart pastebime tris taškus, kuriuose gravitacinė bei išcentrinė jėga išsilygina. Kadangi šiuo metodu mes sukame visą koordinačių plokštumą, tik gravitacinė jėga neturi daug reikšmės išcentrinė jėga privalo būti įtraukta į jėgos įžvalgas, tačiau ją patogu lyginti ir su gravitacine jėga, norint įžvelgti skirtumus bei susidariusią situaciją. Toliau lyginsime d vidimensinio gravitacinio bei išcentrinio potencialo kontūrinius brėžinius pastovaus potencialo jėgų laukus (linijas) koordinačių sistemoje. Paveikslas 17: Gravitacinio potencialo ir išcentrinio potencialo kontūriniai jėgos laukų brėžiniai 44

46 Pirmasis paveikslas viršuje rodo pastovų gravitacinį potencialą tarp dviejų kūnų su mase ir, o antrasis išcentrinės jėgos, kuri šiuo atvėju yra, pastovus potencialas, brėžinyje pavaizduotas apskritimo linijomis. Tuomet šias dvi išraiškas sujungsime į visą potencialą dvejiems kūnams, besisukančioje koordinačių sistemoje, kurioje du didesnieji kūnai nejuda (aprašyta ( ) lygtimi). Tokiu būdu galėsime atsakyti į klausimą, ar yra taškų, kuriuose mažos masės kūnas, judantis šioje kaiminystėje, bus neveikiamas subalanciuotos (viena kitą atsveriančios) jėgos, kad tuose taškuose kūnas su mase galėtų nejudėti? Tokių taškų, dar žinomų kaip Lagranžo taškai, yra penki ir jie yra labai svarbūs tyrinėjant planetų judėjimą bei kosmoso misijų planavimą [6]. Paveikslas 18: dviejų kūnų su panašia mase potencialo kontūrinis brėžinys besisukančioje koordinačių plokštumoje Kaip matome, brėžinyje yra keletas regionų, kuriuos verta plačiau aptarti - yra trys taškai, kuriuose x kryptimi dalelei su maža mase nebus perduodama jėga. Tiesą sakant, dėl potencialo simetriškumo y ašimi, jokia jėga, veikianti y ašies kryptimi, taip pat nebus perduodama dalelei su maža mase, tad tie trys taškai yra balanso taškai galima sakyti, jog tuose taškuose dalelė bus neveikiama didžiųjų kūnų sukeltų gravitacinių jėgų (nors mes žinome, kad dalelė bus veikiama jėgų, jos tiesiog susibalansuoja viena kitą išminusuodamos). Tolesniame skyriuje mes labiau patyrinėsime šiuos taškus. 45

47 Lagranžo taškai Grįžkime prie ankščiau aptarto dviejų kūnų su didesne mase uždavinio (apribotojo trijų kūnų uždavinio), tačiau nebesirenkame tam tikrų reikšmių dydžiams tik patogumo dėlei pasiliekame. Tuomet ( ) ( ) ( ) kur, o ir. Išsireikšdami tokiu būdu mes siekiame atrasti taškus, kuriuose dalelę veikianti jėga būtų lygu nuliui. Tai yra sudėtingas uždavinys, kuriame reikia išspręsti 5 laipsnio daugianarį (polinomą). Tokį uždavinį įmanoma išspręsti skaitiniu metodu, tačiau bus daug paprasčiau gauti tarpinį analitinį sprendimą mažam α, kuris šiuo atveju rodo masės santykį. Vienintelis iškilęs apribojimas, kad Lagranžo taškai egzistuotų - α privalo būti mažas. Nurodant visas kryptimis dalelę veikiančias jėgas bei gautą rezultatą sulyginus su nuliu, gaunamos norimų trijų balanso taškų (taip pat žinomų, kaip Lagranžo taškai ir ) aproksimacijos. ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) Norint surasti likusius Lagranžo taškus, reikia rasti jėgų balansą, kai 46

48 Paveikslas 19: Dviejų didesniųjų kūnų su mase plokštumoje padėtys, bei jėgos, veikiančios besisukančioje Kaip matome brėžinyje viršuje, išcentrinė jėga veikia ta pačia kryptimi, kaip ir vektorius, tad jėgos balansas, jeigu toks egzistuoja, turės tik gravitacinius narius. Todėl kryptimi, statmenai ( ) ( ) duodanti sprendimą. Lagranžo taškas x ašyje (jeigu toks egzistuoja) turėtų būti pusiaukelėje tarp dviejų masių taškų. Tai išsiaiškinus galima pritaikyti ( ) formulę jėgoms, veikiančioms lygiagrečia kryptimi vektoriui ( ) ( ) Tad darome išvadą, kad Lagranžo taškas yra nutolęs nuo ir (simetriškai) nuo per atstumą. Tuomet žinome, kad yra teigiamoje y ašies dalyje, o atsispindi kitoje ašies pusėje. Tad, Lagranžo taškų ir pozicijos yra ( ) ( ) ( ) ( ) 47

49 Lagranžo taškų stabilumas bei pritaikymas kad Šiame skyriuje panagrinėsime Lagranžo taškų stabilumą bei jų pritaikymą. Tarkime, ( ) ( ) ( ) kur ir i-tojo Lagranžo taško x ir y koordinatės, o, ir nedideli galimi nuokrypiai. Tiriant taškų stabilumą, reikia išvesti lygtis mažiems svyravimams (nukrypimams) nuo stabilumo taško, o norint tai padaryti reikia išplėsti ( ) lygtį įvedant tuos mažus svyravimus, o kadangi Lagranžo taškuose potencialo skirtumas yra lygus nuliui, ( ) lygtis tampa ( ) ( ) ( ) Įvairios pseudo-potencialo antro lygio išvestinės Lagranžo taškams yra duotos apačioje, daugelis jų yra lygios nuliui. Toks skaičiavimas leidžia sukurti diferencialines lygtis, valdančias mažą judėjimo nuokrypį tuose Lagranžo taškuose. taškai -VXX -VYY -VZZ -VXY -VXZ -VYZ Lentelė 2: pseudo-potencialo antro lygio išvestinės Lagranžo taškams 48

50 Tad matome, kad taškai, bei yra nestabilūs, kadangi išvestinės turi skirtingus ženklus, kai tuo metu ir yra stabilūs taškai, kadangi išvestinių ženklai sutampa. ( ), ( ), bei ( ) lygtys duoda pagrindą erdvėlaivio laikymo Lagranžo taškuose analizei. Kadangi, nors maži jėgos impulsai kūnui su mase, esančiame Lagranžo taške, sukeltų nestabilų judesį, to judesio didėjimo greitis yra gan mažas, tuose taškuose būtų žymiai lengviau prisiparkuot savo erdvėlaivį, reikalaujant mažai kuro, tik kartas nuo karto pataisant savo trajektoriją. Daugelis misijų į kosmosą naudojo šiuos taškus savo reikmėms ir naudoja iki šiol: WIND satelitas jau nuo 2004 laikosi pirmajame Lagranžo taške, esančiame maždaug 1,5 milijono kilometrų atstumu nuo Žemės Saulės kryptimi. Paveikslas 20: Lagranžo taškai Saulės-Žemės-Mėnulio sistemoje Periodiniai sprendiniai 18 a. pabaigoje buvo pasiūlyti keli periodiniai sprendimai bendrai trijų dangaus kūnų judėjimo problemai, o tuos sprendimus išplatino Leonardas Euleris (Leonhard Euler) 1767 m. bei Džozefas Lui-Lagranžas (Joseph Louis-Lagrange) 1772 metais. Ir nors Euleris naudojo plokštuminę-linijinę, o Lagranžas plokštuminę-trikampinę dangaus kūnų parametrizaciją, abejais metodais buvo parodyta, jog planetos juda elipsinėmis orbitomis. Tačiau, kadangi šių metodų taikymas reikalauja, kad masės per smarkiai viena nuo kitų nesiskirtų, bei, kad kūnai turėtų tam tikras pradines sąlygas (parametrus), Eulerio bei Lagrandžo metodai dažniau vadinami ypatingais sprendimais. Tokie specialūs parametrai dangaus kūnų mechanikoje dar yra vadinami centriniais parametrais bei yra labai svarbūs kalbant apie orbitų stabilumą. 49

51 Eulerio periodinis sprendimas - šiuo atvėju, trys kūnai turi būti kolinearūs bei jų pradinė pozicija turi būti nustatyta pagal jų masę, tuomet bet kuriuo simuliacijos metu masės išlieka kolinearios, o atstumai tarp kūnų išlieka santykinai lygūs. Šis metodas pavaizduoja situaciją, kai du nelygių masių kūnai sukasi aplink trečią kūną su žymiai didesne mase. Nors sprendimo būdas yra ganėtinai įdomus, tokia sistema yra labai nestabili, o bet koks impulsas gali išardyti visą simetriją, dėl ko yra labai mažai šansų tokią sistemą aptikti realiame gyvenime. Paveikslas 21: Eulerio metodas trys kūnai visad išlieka kolinearūs. Kairiau kūnai su vienoda mase, dešiniau nelygių masių kūnai. Praėjus daug laiko po Eulerio bei Lagranžo sprendimų paskelbimo, iškilo naujas metodas aštuoniukės sprendimas (The Figure-Eight Solution). Pirmąkart skaitiniais metodais atrastas 1991 metais, tokio modelio egzistavimo galimybė buvo įrodyta 2001 Ričardo Montgomerio (Richard Montgomery). Kitaip nei kiti sprendiniai šis nutinka tik tada, kai kūnai yra trijų lygių masių, tačiau kad ir kaip keistai tai skambėtų, tokia sistema yra stabili. Aštuoniukės pavadinimas kilo dėl to, kad visi trys kūnai juda ta pačia, gulinčios aštuoniukės trajektorija, su centre esančia trajektorijos sankirta taip pat būnant ir masės centru. Nors šis sprendimas nėra toks na udingas, kaip Eulerio ar Lagranžo metodai, tačiau neseniai atrastas metodas davė naujų įžvalgų apie naują sritį N-kūnų choreografiją periodinius N-kūnų sprendimo metodus [15]. Paveikslas 22: Aštuoniukės sprendinys, kai trys vienodos masės kūnai seka tą pačią aštuoniukės trajektoriją. Dar vienas analitinis trijų kūnų uždavinio sprendimas Hilo sprendinys, išplėtotas amerikiečių matematiko, Džordžo Viliamo Hilo (George William Hill) nors turi nemažai praktinės 50

52 svarbos, kitaip nei Eulerio ar Lagranžo metodas, ne visad duoda aiškius atsakymus. Sprendinys gaunasi panašus į Saulės-Žemės-Mėnulio sistemą, kurioje du mažesnių masių kūnai sudaro dvinarę sistemą, kuri skries aplink trečiąjį daug didesnės masės kūną, esantį pakankamai toli. Paveikslas 23: Hilo sprendinys, primenantis gražią Saulės-Žemės-Mėnulio sistemą Lagranžo periodinis sprendinys Kaip jau buvo minėta, Lagranžo sprendime naudojama plokštuminė-trikampinė parametrizacija, kai trys dangaus kūnai yra išdėlioti lygiakraščio trikampio viršūnėse. Lagranžas įrodė, kad su tinkamomis pradinėmis sąlygomis parametrai tampa centriniais, o trijų dangaus kūnų trajektorijos viso judėjimo metu išlieka elipsinės (pavaizduota (2) paveiksle). Nepaisant to, kad kūnų judėjimo metu išsaugomi centriniai parametrai, o trikampis keičia dydį bei orientaciją, trikampis vis tiek išlieka lygiakraštis. Kadangi trikampį galima orientuoti dvejais būdais, šis metodas duoda du sprendinius, o daugiau apie Lagranžo sprendinių stabilumo bei nestabilumo regionus aprašė J.E.Mansilla [20]. Paveikslas 24: Lagranžo sprendinio iliustracija, kai trys dangaus kūnai yra išsidėstę lygiakraščio trikampio viršūnėse. 51

53 Kiti periodiniai sprendiniai 19 a. pabaigoje Wiliamas Hillas (William Hill) sutrumpino bendrąją problemą į periodinę problemą, dabar žinomą kaip Hillo problemą, o šiek tiek vėliau Henris Puankarė (Henri Poincaré) atrado metodą, kuris jam leido rasti periodines orbitas CR3BP (circular restricted three body problem) problemoje, kuris gali būti pritaikytas ir bendrajai problemai. Pagal jį [20], [6] tyrinėjama Hamiltono sistema bei, ( ) kur o,, ir t.t. yra nuo y priklausomos, tačiau su operuojančiais x ir y, periodinės funkcijos (su periodu 2π), µ - nuo masės priklausomas parametras, i=1,2,3. Jeigu, tuomet konstanta, o, kur ir integravimo konstanta. Kai reikšmės proporcingos sprendinys tampa periodiniu. Dar daugiau, jeigu, tuomet yra nesuskaičiuojamai daug konstantų, kas ir priveda prie periodinių sprendinių. Tuomet Puankarė norėjo sužinoti, ar šis analitinis metodas gali būti taikomas, kai išlieka labai mažas. Šioje situacijoje jis dare prielaidą, jog sprendiniai, kai yra, o, kur konstantos. Tuomet, kai, kur T mažiausias bendrasis daugiklis. Tuomet sprendiniai:, o tai rodo, jog jos yra periodinės, jeigu visi ir visi. Kadangi tik penkios lygtys, duotos (1.2.1) lygties, yra nepriklausomos (kadangi F= konstanta yra jų integralas), Puankarė parodė, jog penkios lygtys gali būti išpildytos, jeigu, ( ) kur periodinė funkcija, priklausoma nuo bei, bei kur išpildytos papildomos sąlygos: funkcijos Heseno forma, priklausoma nuo bei, privalo būti nelygi 0, o Heseno forma, priklausoma nuo taip pat nėra lygi 0; tuomet Heseno sąlyga. Taip pat, kur ɛ - skaičius, šiek tiek didesnis už 0, tuomet egzistuoja periodinis sprendinys bei su periodu. Naudodamas šį metodą Puankarė nustatė, jog su visomis mažomis reikšmėmis egzistuoja periodinės orbitos, o šios išvados galiausiai buvo apipavidalintos Puankarė-Bendiksono 52

54 (Bendixon) teorema [21] bei Puankarė-Birkhofo (Birkhoff) teorema. Pagal šias teoremas, periodiniai sprendiniai egzistuoja net neintegruojamoms Hamiltono sistemoms. Bendroje trijų dangaus kūnų problemoje svarbus su periodinėmis funkcijomis susijęs sprendimas buvo gautas Hadžidimetru (Hadjidemetriou) 20 a. pabaigoje. Jis įrodė, jos CR3BP sistemoje figūruojanti periodinė simetrinė orbita gali būti analitiškai ištęsiama iki bendrosios problemos, o naudojantis šiuo metodu buvo sukonstruotos periodinių orbitų šeimos, bei ištyrinėti jų stabilumai [22]. Dar daugiau, 1979 metais Katapodis pademonstravo, jog įmanoma Hadžidimetru 3D CR3BP sprendimą perkelti į 3D bendrosios problemos sprendimą [23]. 3D erdvėje trijų dangaus kūnų problema dažniausiai bandoma išspręsti skaitiniais metodais [24]. Tam, kad būtų galima greičiau bei lengviau apskaičiuoti problemos sprendinius, naudojantis Hadžidimetru principu problema buvo perstatyta taip, kad labiau tiktų skaitiniams skaičiavimams su kompiuteriu. Delibaltas 20 a. pabaigoje atrado 8 skirtingas periodines orbitas naudojant skirtingų masių kūnų judėjimo periodinius sprendinius. Taip pat reiktų atkreipti dėmesį į tai, jog yra metodų analitinio periodinio sprendinio konstravimui naudojant kompiuterinius eksperimentavimus [24]. Paveikslas 25: nauji periodiniai 3D sprendiniai: a) Aštuoniukės orbita; b) Drugelio orbita; c) Drugio orbita; d) Yarn o orbita; e) Ying-yang orbita; f) Ying-yang orbita realioje erdvėje. 53

55 Paskutiniu metu, kombinuojant analitinius bei skaitinius sprendimų metodus, buvo atrasti nauji periodiniai sprendiniai bendrinei trijų dangaus kūnų judėjimo problemai, kaip, pavyzdžiui, aštuoniukės orbita (Pav. 3a), kurią 2000 metais iš naujo atrado Šencinjeras bei Montgomeris [24]. Visai neseniai Šuvakovas bei Dmitrašinovicas atrado 13 naujų periodinių orbitų 3D trijų dangaus kūnų problemai, kai masės yra lygios, o kūnai neturi kampinio greičio (Pav.3b,c,d,e,f ) [25]. Šie autoriai pristatė naujas periodinių sprendinių klasifikacijas, tačiau pripažino, jog jų rezultatai negalėjo būti patvirtinti pavyzdžių stebėjimo būdu, kadangi, kiek žinoma, dar nebuvo atrastos tokios astronominės sistemos, turinčios šias ypatybės KAM TORI metodas bei stabilumas Kaip buvo minėta ankščiau, pagal Puankarė-Bendiksono bei Puankarė-Birkhofo teoremas netgi neintegruojamose Hamiltono sistemose egzistuoja periodiniai sprendiniai, tačiau šios teoremos neatsižvelgia į tai, kas nutiktų, jeigu integruojamose Hamiltono sistemos sprendiniuose gautos lygtys yra šiek tiek neramios (perturbed šiek tiek, nežymiai kintančios). Į šį klausimą giliau žvelgia KAM teorema [26]. Duota bendrine forma parašyta lygtis bei, ( ) kur,, o t laikas. (4) lygtis nurodo autonominę Hamiltono sistemą su n laisvės laipsnių. Hamiltono lygtis, kur funkcija H periodinė kintamajam q su periodu 2π, o µ - mažos reikšmės parametras. Jeigu kūno judėjimas yra ramus, tuomet, o (4) lygtis susiprastina iki ( ) kur. Aiškiai matoma, jog ( ) lygtis gali būti integruojama ten, kur trajektorijos fazinėje erdvėje tampa uždaros toro formoje, o sistema yra nedegraduojanti, kadangi Heseno matricos determinantas nėra lygus nuliui. 54

56 Jeigu sistemos kūno judėjimas tampa šiek tiek neramiu, KAM teorema mums nurodo, jog fazinėje erdvėje nesikeičiančios torų formos nėra sunykstančios, o tiesiog šiek tiek pasisuka. Bendriniame ir apribotame trijų kūnų judėjimo uždavinyje tai labai svarbus rezultatas, turintis daug panaudojimų. KAM teoremos įrodymas, atliktas Moserio (Moser) bei Arnoldo (Arnold) 20 a. antroje pusėje, taip pat pademonstravo tai, kad trijų dangaus kūnų judėjimo uždaviniui (kaip ir n dangaus kūnų uždaviniui) egzistuoja konverguojančių laipsninių progresijų sprendinys. Ši teorema yra labai patogi nustatant trijų kūnų problemos globalų stabilumą, tačiau kai kuriais atvejais ją galima panaudoti tik tada, kai trečias kūnas turi mažą masę [15]. (Daugiau apie Kolmogorovo teoremą, kuri yra KAM TORI metodo pagrindas, metodo įrodymą bei patį KAM TORI metodą galima rasti Alessandro Morbidelli knygoje MODERN CELESTIAL MECHANICS: Aspects of Solar System Dynamics (2011) trečiajame skyriuje). Paveikslas 16: Su OrbitFract programa nubrėžtas 250 KAM orbitų rinkinys Pilnasis Sundmano sprendinys 19 a. pabaigoje Peinlevė suformulavo spėjimą, kad, kai susidūrimai yra išskiriami pasirenkant tinkamas pradines sąlygas, bendrinė trijų dangaus kūnų judėjimo problema gali būti integruojama naudojant laipsnines eiles. Deja, Peinlevė niekada neįrodė savo spėjimo ar davė kokių rezultatų, tačiau jis davė stiprų pagrindą savo pasekėjams, kurie įnirtingai ieškojo sprendimų, tačiau, kuriems sunkiai sekėsi juos rasti. Vienintelis, kuriam pavyko Sundmanas, kuris 20 a. pradžioje (1907) suformulavo pilnąjį bendrinės problemos sprendinį [15]. 55