VILNIAUS UNIVERSITETAS FINANSIŠKAI STABILIOS BONUS MALUS SISTEMOS SUDARYMAS

Transkriptas

1 VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS TIKIMYBIŲ TEORIJOS IR SKAIČIŲ TEORIJOS KATEDRA Tomas Antanaitis FINANSIŠKAI STABILIOS BONUS MALUS SISTEMOS SUDARYMAS Magistro baigiamasis darbas Leidžiu ginti... Darbo Vadovas doc. dr. G. Misevičius Vilnius, 9

2 Turinys Įvadas Bonus-malus sistemų aprašymai Tikimybiniai modeliai Neigiamas binominis skirstinys Sud tinis Puasono skirstinys Draud jų pasiskirstymas bonus-malus sistemoje Optimali bonus-malus sistema Optimali BMS su begaliniu klasių skaičiumi Optimali BMS su baigtiniu klasių skaičiumi BMS įvertis Išvados... 3 Summary... 3 Naudotos literatūros ir šaltinių sąrašas... 3 Priedas Nr. Parametrų įvertinimas momentų metodu Priedas Nr. Parametrų įvertinimas maksimalaus tik tinumo funkcijos metodu Priedas Nr. 3 Kvadratin s funkcijos minimizavimas... 35

3 Rezium Darbe konstruojame bonus-malus sistemas, kurios yra finansiškai stabilios b gant metams. Pasinaudodami sud tiniu Puasono skirstiniu randame begalin s bonus-malus sistemos koeficientus. Išsprendę kvadratinio minimizavimo uždavinį randame baigtin s bonus-malus sistemos koeficientus. Raktiniai žodžiai Bonus-malus sistema, neigiamas binominis pasiskirstymas, sud tinis Puasono pasiskirstymas, maksimalaus tik tinumo funkcija, Bajeso teorema, stacionarus pasiskirstymas 3

4 Įvadas Turbūt teisūs yra tie, kurie draudimo rinką vadina šalies ūkio (ekonomikos) veidrodžiu, tod l reikia nepamiršti, kad 6 ir 7 metai buvo itin s kmingi visam šalies ūkiui, sparčiai augo Lietuvos makroekonominiai rodikliai, did jo ir šalies gyventojų bei įmonių pajamos. Šiuo metu Lietuvos ūkis įženg į ekonominio vystymosi l t jimo fazę, tod l Lietuvos draudimo rinkos laukia nauji iššūkiai, siekiant ir toliau efektyviai vystyti draudimo verslą, esant ne tokioms palankioms makroekonomin ms sąlygoms. Pagrindinis aktuarų tikslas yra ir bus rūpestis, kad draudimo Įmon s veiklos sistema būtų patikima, veiksminga, saugi ir stabili. B gant metams, draudimo rinkoje vyksta ne tik kiekybiniai, bet ir kokybiniai pokyčiai, keičiasi ne tik draudimo verslo mastas, bet ir verslo aplinka, verslo kultūra, mentalitetas, kartu keičiasi ir aktuarų uždaviniai įgyvendinant pagrindinį jų tikslą. Savo kasdienin je veikloje jie remiasi aiškumo, nuoseklumo, skaidrumo principais. Pagrindinis draudimo principas kiekvienas apdraustasis draudimo kompanijai perduoda savo riziką. Tod l vienas pagrindinių aktuaro uždavinių sudaryti tokią draudimo kainodarą, kuri būtų teisinga prieš visus draud jus (už didesnę draudiko prisiimamą riziką draud jai mok tų daugiau, už mažesne riziką mažiau), padengtų veiklos kaštus ir neštų draudikui jo norimą pelną. Šiam tikslui pasiekti aktuarai dažnai grupuoja draud jus į klases su tam tikrais draud jų požymiais. Toje pačioje klas je mokama vienoda įmoka. Pirminiai požymiai pagal kuriuos draud jai skirstomi į klases praktikoje vadinami a priori požymiais (tai yra tokie požymiai, kurie gali būti ir yra nustatomi draudimo sutarties sudarymo momentu, dar prieš draud jui pradedant vairuoti). Transporto priemonių valdytojų civilin s atsakomyb s (toliau TPVA) draudime draud jai skirstomi pagal juridinį statusą, amžių, lytį, vietovę, transporto priemon s tipą, jos naudojimo pobūdį, kilometražą, kartais netgi pagal draud jo turimą transporto priemonių skaičių, šeimyninę pad tį. Nepaisant šio rūšiavimo, daug pakankamai svarbių faktorių negali būti įvertinti sutarties sudarymo metu (kiekvieno draud jo individualus reakcijos laikas, vairavimo būdas, agresyvumas ar vietov s kelių žinojimas). Galiausiai šios rizikų klas s vis dar yra pakankamai nehomogenin s. Pagrįsta būtų manyti, kad šiuos faktorius geriausiai atspindi draud jo sukeltų įvykių istorija (įvykių skaičius per tam tikrą (pakankamą) laiko periodą). Tokiu būdu draudimo įmoka yra nustatoma kiekvienais draudimo metais, priklausomai nuo draud jo praneštų įvykių skačiaus per pastaruosius metus. 4

5 Kainodaros sistema, kurioje draud jai yra baudžiami priemokomis už padarytus įvykius ir skatinami nuolaidomis už draudimo metus be įvykių yra naudojama daugelyje išsivysčiusių šalių. Draud jų rūšiavimas, pagal jau faktinius (a posteriori) draud jų požymius yra praktiškas būdas suskirstyti draud jus į klases su panašia draudiko prisiimama rizika. Neapsiribojant drausmingų vairuotojų paraginimu ir nedrausmingų nubaudimu, aktuarai siekia suskirstyti draudimo portfelį į klases su giminingomis savyb mis. Tokia kainodaros sistema vadinama nuolaidų priemokų sistema (bonusmalus system, toliau BMS). Tokioje sistemoje draudimo įmoka priklauso nuo draud jo klas s, jo įvykių istorijos, bei taisyklių, kuriomis grindžiama sistema. Dažniausiai praktikoje naudojamos BMS su baigtiniu klasių skaičiumi, kur draud jai esantys toje pačioje klas je, moka vienodą draudimo įmoką. Nauji draud jai pradeda dalyvauti sistemoje tam tikroje klas je (priklausomai nuo jų a priori savybių ar sistemos taisyklių). Šios klas s įmoka laikysime lygią %. Klas s žemiau % yra nuolaidų klas s ir jose taikomi nuolaidų koeficientai, klas s aukščiau % - priemokų klas s, kuriose taikomi priemokų koeficientai. Kiekvienais metais draud jai sistemos klas mis juda aukštyn arba žemyn, priklausomai nuo jų sukeltų įvykių skaičiaus ir sistemoje galiojančių taisyklių. Kiekvienoje klas je įmoka nustatoma prie bazin s įmokos pridedant priedus ar taikant nuolaidas priklausomai nuo klas s charakteristikų. Šiuo metu draudimo Įmon s tobulina savo rizikos vertinimo metodus ir klientų segmentavimo procesus, ieško optimalaus verslo valdymo modelio. Darbe aptarsime bei sukursime optimalią ir finansiškai stabilią draudimo kainodaros sistemą vienoje pagrindinių ne gyvyb s draudimo rūšių transporto priemonių valdytojų civilin s atsakomyb s privalomajame draudime. Naudodami Sud tinį Puasono skirstinį apskaičiuosime BMS parametrus. Minimizuodami kvadratinę funkciją, skirtumo tarp optimalios BMS su begaliniu klasių skaičiumi įmokos ir BMS su baigtiniu klasių skaičiumi įmokos, sudarysime finansiškai stabilią sistemą. 5

6 . Bonus malus sistemų aprašymai Siekiant kuo tikslesnių rezultatų ir atsižvelgiant į tai, kad įvykių skaičiaus intensyvumo apskaičiavimas: E [ N(t+) N(t) N(t) = k ] reikalauja pakankamai ilgo laikotarpio steb jimo duomenų, o tai šiuo metu neįmanoma Lietuvos TPVA draudimo rinkoje, darbe naudosime realius, 6 metų Įmon s duomenis. Atsižvelgiant į faktą, kad nagrin jami duomenys yra vienerių metų, sukursime įmokų nuolaidų/priemokų sistemą, kuri priklausys tik nuo bendro praneštų autoįvykių skaičiaus ir nepriklausys nuo laiko momento, kada tie įvykiai įvyko. Tokia sistema yra artima bonus malus sistemai su begaliniu klasių skaičiumi. Duomenys atrinkti pagal šiuos požymius: draud jas yra fizinis asmuo, draudžiama transporto priemon yra lengvasis automobilis, draudimo sutartis įsigaliojo 6 metais ir galiojo-erius metus, t.y. nebuvo nutraukta. Laikysime, kad iki 9 m. balandžio -os dienos visi įvykiai, įvykę pagal analizuojamas sutartis jau yra pranešti, t.y. įvykusių, bet nepraneštų, įvykių numatomų išmok jimų techninis atid jinys yra lygus nuliui ( IBNR = ). Apibr žkime tuo metu Įmon je galiojusią (šiandien nežymiai pakitusi) kainodaros sistemą: draudimo įmoka nustatoma atsižvelgiant į draud jo, automobilio, vietov s ir kt. charakteristikas, kurios nustatomos draudimo sutarties sudarymo metu (a priori požymiai), draudimo įmoka koreguojama papildomais koeficientais, kurie aprašomi sistema: s =,,3 8 klasių skaičius, čia mažiausios kainos klas ir 8 didžiausios kainos klas. Pradin sistemos klas yra 4-ta. Jei draud jas per draudiminius metus netur jo įvykių, t.y. jei draudimo kompanijai nepraneš apie draudiminius įvykius, tai jis pereina viena klase žemyn arba, jei jis buvo 6

7 priemokos klas je, tai iškart leidžiasi į 3 klasę. T.y. už įvykusį(-sius) įvykį(-ius) draud jas baudžiamas tik pirmais metais po įvykio(-ių). Jei įvykių buvo, tai už įvykį kyla aukštyn į 5 klasę, už į 6 klasę, o už 3 ir daugiau į 7 klasę. Į 8 klasę draud jas patenka, jei draudiminį įvykį suk l būdamas neblaivus. Į šį rodiklį darbe neatsižvelgsime, tod l laikysime, kad Įmon s sistema yra su 7-niomis klas mis. Priemokos ir nuolaidos (procentais) tuo metu buvo sekančios:. lentel. Įmon je galiojusios sistemos klasių įmokų koeficientai. i i Akivaizdu, kad kaina P, kurią draud jas mok s būdamas klas je i yra lygi:,, i P čia P - pradin įmoka. Apibr žkime darbe aptariamas bonus-malus sistemas: BMS : s =,,,3 8 klasių skaičius, čia mažiausios kainos klas ir 8 didžiausios kainos klas. Pradin sistemos klas yra 4-ta. Jei draud jas per draudiminius metus netur jo įvykių, t.y. jei draudimo kompanijai nepraneš apie draudiminius įvykius, tai jis pereina viena klase žemyn. Jei įvykių buvo, tai draud jas kyla aukštyn iškart į 8 klasę, nepaisant praneštų įvykių skaičiaus BMS : s =,,,3 klasių skaičius, čia mažiausios kainos klas ir didžiausios kainos klas. Pradin sistemos klas yra 6-ta. Jei draud jas per draudiminius metus netur jo įvykių, tai jis pereina viena klase žemyn. Jei įvykių buvo, tai draud jas už kiekvieną įvykį kyla aukštyn per penkias klases. 7

8 BMS 3: BMS 3 bus sistema su tokiomis pačiomis per jimo taisykl mis, kaip sistema BMS, bet su 9-ka klasių ir pradin sistemos klas bus -ta. Bendros visoms sistemoms taisykl s: kai pasiekiama žemiausia klas, tai nuolaida nebedid ja, nors ir nebuvo pranešta apie įvykius. kai pasiekiama aukščiausia klas, tai priemoka nebedid ja, nors ir pranešama apie įvykius. Sistema yra uždara, t.y. nauji draud jai neįeina į sistemą, o esantieji jos nepalieka, bent jau pirmus 4 metų, laikysime, kad toks yra vairavimo stažo vidurkis. B gant metams dauguma draud jų apsistoja ties žemiausiomis, t.y. didžiausių nuolaidų, klas mis. Bendra, Įmon s surenkama įmokų suma maž ja, nes priemokos neatperka suteikiamų nuolaidų. Po 3 metų, vienos pirmųjų Belgijos BMS vidutin metin TPVA įmoka nukrito iki 7%, o Japonijos - iki 4%. Mūsų tikslas - surasti tokius kiekvienos klas s priemokų/nuolaidų koeficientus (procentais), kad BMS b gant metams išliktų finansiškai stabili, t.y fii, čia f i - tikimyb, kad draud jas bus klas je i. i 8

9 . Tikimybiniai modeliai Jau įprasta, kad transporto priemonių avarijų skaičiaus aprašymui naudojamas Puasono skirstinys. Laikysime, kad kiekvieno draud jo, esančio portfelyje, avarijų skaičius pasiskirstęs pagal Puasono d snį, įvykio įvykimo dažniai nepriklauso vienas nuo kito ir yra atsitiktiniai dydžiai... Neigiamas binominis skirstinys Laikysime, kad tikimyb jog draud jas per t metų k kartų sukels avariją lygi: ( k, t ) k Λt ( Λt) Π Λ = e. k! Tada tikimyb, jog a.d. įgys reikšmę k per laikotarpį (,t] apskaičiuojama: ( ) ( t) k λ λ t Π k, t = e U ( λ) dλ, k, k! čia Λ atsitiktinis dydis pasiskirstęs su tankio funkcija U(λ ). Jei laikysime, kad Λ yra pasiskirstęs pagal gama 3 d snį su parametrais µ ir η, tai µ U λµ η = λ Γ ( η) η η λµ (, ) e, čiaλ >, η>. Tuomet a.d. įgys reikšmę k su tikimybe: Γ ( k+ η ) µ t P( Nt = k) =, k! Γ ( η ) t+ µ t+ µ čia k =,,,... η k 9

10 Kadangi mes nagrin jame tik vienerių metų duomenis, tai t =. Matome, kad tokiu atveju gaunamas neigiamas binominis pasiskirstymas (toliau NB): B µ η, + µ. Teorinius momentus sulyginę su empiriniais, įvertinsime parametrus η, µ. Rasime neigiamo binominio skirstinio teorinį vidurkį ir teorinę dispersiją. Pažym kime, užrašoma: µ p=, tada neigiamo binominio skirstinio tankio funkcija + µ Γ ( k+ η) η k P( N = k) = p ( p), k! Γ( η) čia k =,,,... Tuomet η Γ ( k+ η) p Γ ( k+ η) E( N) = p p = p k! Γ( η) Γ( η) k! η k k ( ) ( ). k= k= Pasinaudoję gama funkcijos savybe: Γ ( k+ η) = ( k+ η ) Γ ( k+ η ), gauname: η η p ( p) Γ ( k+ η ) p ( p) Γ ( k+ η ) E( N) = η p + p Γ( η) ( k )! Γ( η) ( k )! k k ( ) ( ). k= k= V l pasinaudoję gama funkcijos savybe: Γ ( k+ η ) = ( k+ η ) Γ ( k+ η ), gauname: η η p ( p) Γ ( k+ η ) k p ( p) Γ ( k+ η ) k E( N) = η ( p) + η ( p) + Γ( η) ( k )! Γ( η) ( k )! p p Γ k+ + η Γ( η) ( k 3)! k= k= η 3 ( ) ( η ) k 3. k= 3 ( p) ()

11 Remdamiesi šia gama funkcijos savybe procedūrą tęsiame toliau ir gauname begalinę eilutę. Pasinaudoję tuo, kad η p Γ ( l+ η) l ( p) =, Γ( η) l! l () eilutę užrašome taip: η ( p ( p) ( p)...). Kadangi < ( p) <, tai ši eilut konverguoja ir jos suma lygi: η( p), iš čia p E( N) = η. µ Suskaičiuokime teorinę dispersiją naudodamiesi formule: Var( N) E( N ) ( E( N)) =. Tiesioginis teorin s dispersijos radimo būdas yra gana neefektyvus, tam, kad jį palengvinti, pasinaudosime generuojančių funkcijų savyb mis. Pirmiausiai rasime NB skirstinio generuojančią funkciją ir pasinaudoję sąryšiu: E N čia ψ ( s) - generuojančioji NB funkcija. Rasime teorinę dispersiją. Ieškome NB generuojančios funkcijos: ( ) () E( N ) = ψ + (), η p Γ ( k+ η) k k ψ ( s) = ( p) s. Γ( η) k! k= Tam, kad rasti paprastesnę generuojančios funkcijos išraišką, sudarysime paprastąją diferencialinę lygtį, su pradine sąlyga, ir ją išspręsime. Diferencijuojame generuojančią funkciją pagal kintamąjį s:

12 ψ p Γ ( η+ k) Γ( η) ( k )! η k k ( s) = ( p) ( p) s = k= η η η p ( p) Γ ( η+ k ) k k sp ( p) Γ ( η+ k ) k k = ( p) s + ( p) s. Γ( η) ( k )! Γ( η) ( k )! k= k= Tęsdami šį procesą toliau, gausime: ( s) = ( p) ( s)( + ( p) s+ ( p) s +...). (3) ψ η ψ Su sąlyga s<, skliausteliuose esanti eilut konverguoja ir (3) perrašome: p ( p) ψ ( s) = ηψ ( s) ( p ) s, su pradine sąlyga ψ () =. Sprendžiame aukščiau gautą diferencialinę lygtį: ir gauname ψ ( s) η( p) = ψ ( s) ( p) s čia konstanta. ψ ( s) = ( p) s η, Konstantą randame iš pradin s sąlygos ψ () =. Gauname = p η. Iš čia generuojančioji NB funkcija: Randame: p ψ ( s) =. ( p) s η ( p) ( p) ψ = η + η p p (). Pasinaudoję generuojančios funkcijos savybe (), gauname:

13 p + µ Var( N) = =. η p η µ Teorinį vidurkį ir teorinę dispersiją sulyginame su empiriniais vidurkiu ir dispersija. Gauname lygčių sistemą: η =,65.., µ + µ η =, µ Iš čia µ, 44, η, 7. Lentel je pateikiame neigiamo binominio ir paprasto Puasono (su parametru Λ, 65 ) skirstinių realizacijas.... lentel. Darbe naudojamų duomenų pasiskirstymas ir realizacijos. Įvykių skaičius, kiekis Sutarčių skaičius Neigiamas Binominis Puasono su parametru Λ ,76 656, ,85 48,96,83 35,595 3,48,983 Jei portfelį suskaidysime į keletą grupių, su panašiomis draudimin mis rizikomis, tai tur sime sud tinį Puasono procesą. Šiame darbe jį panagrin sime detaliau... Sud tinis Puasono skirstinys Pasiūlysime naudoti sud tinį Puasono skirstinį ir laikysime, kad Λ tankio funkcija U ( λ ) n ra žinoma. Tokiu atveju, Simar metais parod, kad maksimalaus tik tinumo funkcijos įvertis yra geriausias, kai U ( λ) yra diskretus pasiskirstymas. Tuomet: 3

14 r j j Π ( k, t) = p je, k, k! j= j= k λ λ < λ < λ... < λ, r p j =, p. j r Simar 6 taip pat įrod, kad tokia funkcija U ( λ) yra vienintel, jei r tenkina šią sąlygą: u+ r min v,, čia apibr šime: r homogeninių rizikų klasių skaičius, u - maksimalus draud jo sukeltų avarijų skaičius, o v - klasių, kuriose praneštų įvykių skaičius nelygus, skaičius. Iš mūsų turimų duomenų gauname, kad r =. Parametrų λ, λ, p, p pradinius artinius apskaičiuosime pasinaudoję momentų 4 metodu ir juos patikslinsime pasinaudoję maksimalaus 4 tik tinumo funkcijos metodu. Iš pradinių teorinių momentų formul s: α N = k N λ λ k e k= k! ir sąryšių: k = ; k! ( k )! k = + ; k! ( k )! ( k )! 3 k 3 = + +, k! ( k 3)! ( k )! ( k )! užrašome pirmus tris pradinius teorinius momentus: α = pλ + p λ, α = pλ + p λ + pλ + p λ, α = pλ + p λ + 3( pλ + p λ ) + pλ + p λ

15 Teorinius pradinius momentus prilyginame empiriniams momentams ir gauname netiesinę lygčių sistemą su keturiais nežinomaisiais : λ p+ λ p = x, λ p+ λ p = x x, 3 3 λ p+ λ p = x3 3x+ x, p+ p =, čia xi, i=,,3 - pradiniai empiriniai momentai. Išsprendę randame pradinius artinius (detaliau žr. priedą nr. ): λ, 7%, λ 3, 68%, p 65,3%, p 34, 67%.... lentel. Duomenų atvaizdavimas sud tiniu Puasono skirstiniu. Įvykių skaičius, kiekis Sutarčių skaičius Sud tinis Puasono (momentu metodu) , ,69 3,94 3 8,735. Įvertinkime parametrus maksimalaus tik tinumo funkcijos metodu. Mūsų atveju maksimalaus tik tinumo funkcija L yra lygi: α α α α 3 k k k k3 L=Π k Π k Π k Π k (,) (,) (,) (,), čia k, k, k, k 3 yra i-ojo draud jo praneštų įvykių skaičius. Funkcija L logaritmuojame: 3 3 ki λ λ j j l= αk ln Π ( k,) ln. i i = αk p i je i= i= j= ki! Ieškome tokio sprendinioλ, λ, p, p, su kuriuo funkcija įgytų maksimalią reikšmę. Tam tikslui pasiekti reikia išspręsti sekančią lygčių sistemą: 5

16 l =, λ l =, λ l =, p l =. p Panaudoję pradinį sprendinio artinį (momentu metodu gautas parametrų reikšmes) Niutono Rafsono metodu randame maksimalaus tik tinumo funkcijos sprendinio įvertį. (detaliau žr. priedą nr. ): λ 3,6%, λ 4,93%, p 7,%, p 7,9%.... lentel. Duomenų atvaizdavimas sud tiniu Puasono skirstiniu. Įvykių skaičius, kiekis Sutarčių skaičius Sud tinis Puasono (didž. tik tin. metodu) , ,69,77 3 9,7. Matome, kad sud tinis Puasono skirstinys, kai parametrai įvertinami maksimalaus tik tinumo funkcijos metodu, tiksliausiai atvaizduoja realius duomenis...3. lentel. Duomenų atvaizdavimas tikimybiniais modeliais. Įvykių skaičius Sutarčių skaičius Neigiamas Binominis Puasono su parametru Λ Sud tinis Puasono momentų m. didž. tik tinumo m. 6.39, 6.44,7 6.56, , ,7 3.9, 3.875,85 4.8, ,69 3.9,69,,8 35,6 3,94,77 3,,5,98 8,74 9,3. 6

17 Sud tinis Puasono skirstinys suskaid mūsų portfelį į dvi dalis: 7% draud jų pasiskirstę su parametru λ, 36 ir 8% su parametru λ, lentel. Nuokrypio matas. Neigiamas binominis,79 Puasono su parametru Λ 59,839 Sud t. Puasono momentų m., Sud t. Puasono maks. tik tinumo f. M.,86 χ 3 kriterijaus,95 kvantilio reikšm 7,85. Iš lentel s matome, kad tik Puasono pasiskirstymas su parametru Λ neatitinka steb jimo duomenų. Tiksliausiai nagrin jamą portfelį aprašo sud tinis Puasono pasiskirstymas, kai parametrai įvertinti maksimalaus tik tinumo funkcijos metodu. 7

18 3. Draud jų pasiskirstymas bonus-malus sistemoje Tegu p( k ) - tikimyb, kad vairuotojas, esantis klas je s (su įvykių dažniu λ ), padaro k įvykių per metus. Šio vairuotojo, per jimo tarp klasių, tikimybių matrica Q mūsų aprašytose bonus-malus sistemose yra: 3.. lentel. Per jimo tarp klasių tikimybių matrica. BMS s p() p(k>=) p() p(k>=) p() p(k>=) 3 p() p(k>=) 4 p() p(k>=) 5 p() p(k>=) 6 p() p(k>=) 7 p() p(k>=) 8 p() p(k>=) BMS s p() p() p() p(k>=3) p() p() p() p(k>=3) p() p() p(k>=) 3 p() p() p(k>=) 4 p() p() p(k>=) 5 p() p() p(k>=) 6 p() p() p(k>=) 7 p() p(k>=) 8 p() p(k>=) 9 p() p(k>=) p() p(k>=) p() p(k>=) p() p(k>=) 8

19 BMS 3 s p() p() p() p(3) p(k>=4) p() p() p() p(3) p(k>=4) p() p() p() p(3) p(k>=4) 3 p() p() p() p(k>=3) 4 p() p() p() p(k>=3) 5 p() p() p() p(k>=3) 6 p() p() p() p(k>=3) 7 p() p() p() p(k>=3) 8 p() p() p(k>=) 9 p() p() p(k>=) p() p() p(k>=) p() p() p(k>=) p() p() p(k>=) 3 p() p(k>=) 4 p() p(k>=) 5 p() p(k>=) 6 p() p(k>=) 7 p() p(k>=) 8 p() p(k>=) Kiekvienai BMS sistemai turime nesuskaidomą Markovo grandinę 8, kuri neturi ciklų. Tuomet stacionarus tikimybių skirstinys yra: f ( λ) = f ( λ) lim Q n, n čia f ( ) λ žymi bet kokį pradinį vairuotojų pasiskirstymą bonus-malus sistemoje. Stacionarus tikimybių skirstinys yra nepriklausomas nuo f( λ ). Stacionarus tikimybių skirstinys taip pat gali būti rastas išsprendus: f ( λ) = f ( λ) Q su sąlyga s f ( i; λ) =, i= čia f ( i; λ) yra i-sis vektoriaus f ( λ) komponentas (mūsų atveju BMS klas ). Sud tinio Puasono skirstinio atveju: 9

20 r = i i. i= f p f ( λ ) Draud jų pasiskirstymas po T metų bonus malus sistemoje yra: ft ( λ) = Q T f ( λ). Kad vaizdžiau matytųsi draud jų pasiskirstymas tarp klasių, laikysime, kad pradinis draud jų skaičius yra,. Jei vairavimo stažo vidurkis - 4 metų, tai pagal mūsų duomenis ir BMS taisykles gauname: 3.. lentel. Stacionarus vairuotojų pasiskirstymas. BMS Klas \ T 3 4 f T , , , , , , , , ,684 BMS Klas \ T 3 4 f T , , , , , , , , , , , , ,46

21 BMS 3 Klas \ T 3 4 f T , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,869.

22 4. Optimali bonus malus sistema 4.. Optimali BMS su begaliniu klasių skaičiumi Kaip jau min ta, mūsų B-M sistema nepriklausys nuo to, kuriuo metu įvyko įvykis, tod l mes nagrin jame tik bendrą praneštų įvykių skaičių, neatsižvelgiant į tai, kada įvykiai įvyko. Naudodamiesi Bajeso teorema, galime užrašyti: ( λ ( ) ( ) = t,..., ( ) ( ) = ) du N t N t k N N k ( ) ( ) = t,..., ( ) ( ) = λ ( λ) ( ) ( ) =,..., ( ) ( ) = P N t N t k N N k du = P N t N t kt N N k λt k e λ t k = j= j λt k e λ t k j= j du du ( λ) ( λ), čia k t = k j. j= Pirmaisiais draud jo buvimo B-M sistemoje metais draudimo įmoka vertinama pagal pirminius (a priori) draud jo duomenis, nes n ra jokios praeities informacijos apie jo nešamą draudiminę riziką: E[ N()] = E[ Λ ]. Kadangi įvykių praeitis (įvykimo momentas) n ra svarbi, tai t -siais metais atsižvelgiame į informaciją, kuri susideda iš įvykių skaičiaus per pirmuosius t metų. Draud jų, kurie suk l k įvykių per pirmuosius t metų, tik tinas įvykių dažnis t+ ais metais apskaičiuojamas:

23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E N t+ N t N t = k = E Λ N t = k k+ =. t ( k+, t) ( k, t) Tariant, kad pirmoji sumok ta įmoka yra, (4) formul s 7 sudaryti BMS įmokų lentelę, priklausančią nuo k ir t : pagalba galime ( t, k ) ( k+, t) (, ) k+ = E Λ t k t. (4) Patikrinę žemiau pateiktas sąlygas įsitikinsime, kad aukščiau apibr žta bonusmalus sistema yra optimali:. Sistema yra finansiškai stabili kiekvienais metais ( ) ( k, t) E Λ N( t) = k = EΛ t k=.. Kuo daugiau draudiminių įvykių draud jas praneša draudikui, tuo didesn draudimo įmoka: ( ) ( ) E Λ N t = k+ > E Λ N t = k t,k. 3. Draudimo įmoka visada maž ja, kai nebepranešama apie naujus draudiminius įvykius: d E Λ N t k dt ( ) = t,k. Formul (4) gali būti perrašoma: ( k+, t) (, ) k+ = EΛ t k t EΛ m j= m j= p e j p e j λ jt k+ λ j λ jt λ k j. 3

24 Stacionari BMS įmoka laikui neapr žtai augant apskaičiuojama : m λ jt k+ p je λ j j= lim t m EΛ λ jt k p je λ j j= = minλ j λ j EΛ 4.. lentel. Optimali B-M sistema su begaliniu klasių skaičiumi, k 8. t k ,9 59,5 7,7 3,7 7,8 8,73 8,93 8,98 8,99 9,5 54,48 4,83 3,8 7,66 8,7 8,9 8,97 8, ,4 49,37,9,38 7,5 8,66 8,9 8,97 8, ,3 44,9 99,53,59 7,3 8,6 8,9 8,97 8,98 5 8,86 38,98 96,55,7 7, 8,57 8,9 8,97 8, ,93 33,77 93,34 9,75 6,88 8,5 8,89 8,97 8, , 8,6 89,89 8,68 6,63 8,47 8,87 8,96 8, ,7 3,5 86, 7,48 6,34 8,4 8,86 8,96 8,98 9 7,43 8,5 8,3 6,6 6, 8,33 8,84 8,96 8,98 68,33 3,66 78,7 4,7 5,66 8,5 8,83 8,95 8,98 5 6,37 9,8 54,65 4,9 3, 7,67 8,7 8,9 8,97 56,56 76,3 8,77 9, 8,7 6,64 8,47 8,87 8, ,76 65,73 4,6 69,43,38 4,8 8,6 8,78 8,94 3 5,5 59,7 85,5 44,54 99,73,65 7,33 8,6 8,9 35 5,5 55,7 7,58 8,85 8,57 6,6 6,4 8,33 8,85 4 5,73 53, 6,75 96,3 6, 7,39 3,77 7,8 8,73 5 5,9 5, 54,3 67,6 9,43 74,7 3,6 5,3 8,7 4.. Optimali BMS su baigtiniu klasių skaičiumi Dabar mes gal sime aproksimuoti mūsų analizuojamas bonus malus sistemas analogiškomis lentel mis. 8 lentel je pateiktos kiekvienos sistemos aproksimacijos koeficientų lentel s, kai k=,,, 3 ir t =,...,. Koeficientas i parodys įmokos P dalį, kuri turi būti mokama už draudiminę apsaugą, kai draudikui draud jas jau yra pranešęs k įvykių per laikotarpį t. Su šiomis k ir t reikšm mis yra ne viena klas, kur konkrečiu laiko momentu gali būti draud jas. Draud jo klas konkrečiu laiko momentu priklauso ne tik nuo jo praneštų įvykių skaičiaus, bet ir nuo laiko, kada tie įvykiai įvyko. Ne paslaptis, kad draud jui geriausia situacija, kai visi įvykiai įvyksta per vienerius metus, po tų blogų metų jis dažniausiai būna aukščiausioje klas je ir pasimokęs iš savo klaidų, kasmet lipa žemyn nuolaidų link. Jei ši situacija lemia, kad draud jo visų metų draudimo įmokų suma yra mažiausia, tai reiškia, kad tokia situacija yra pati nepalankiausia draudikui, nes žalos padaroma tiek pat, o įmokų gaunama mažiau. 4

25 Šiame darbe yra atstovaujami draudiko interesai, tod l imsime pačią nepalankiausią situaciją draudikui ir netgi tokiais atvejais reikalausime, kad įmokų sistema būtų stabili. Dažniau pasitaikanti problemin situacija susidaro, kai imamas ilgas laiko tarpas ir pasiekiama žemiausia klas. Šiame darbe vairavimo laikotarpį apribosime t =. 4.. lentel. BMS aproksimacijos koeficientai. BMS t \ k BMS t \ k

26 BMS 3 t \ k funkciją: Optimalioms koeficientų i reikšm ms apskaičiuoti minimizuosime kvadratinę fi( t, k ) ( i( t, k ) ( t, k ) ), (5) ( t, k ) čia i( t, k ) f tikimyb, kad draud jas bus klas je i(t,k), i( t, k ) ieškomas įmokos koeficientas, ( t, k ) įmokos koeficientas iš BMS su begaliniu klasių skaičiumi, i(t,k) indeksas, atitinkantis (t,k) koordinates iš aproksimuojančių koeficientų lentel s. Pavyzdžiui, nagrin jant BMS i(8,)=, o BMS i(8,)=5. Rastiems koeficientams i reikalausime:. Kad aukštesnę klasę atitiktų didesn kaina: i i, i = +,,..., k. Taikant praktikoje naudosime: i + i a, a = konst.. Pradin s klas s kaina, t.y. BMS: 4 =, BMS : 6 =, BMS3: =. 3. Kad užtikrinti sistemos finansinį stabilumą: fii. i 6

27 Minimizavę (5) ir suradę koeficientus, turime: 4.3. lentel. bonus malus sistemų klasių įmokos. klas BMS BMS BMS 3 Įmon s sistema BMS įvertis Praktikoje bonus malus sistemų palyginimui naudojami tam tikri koeficientai. Vienas pagrindinių ir svarbiausių koeficientų tai nusistov jusios vidutin s įmokos koeficientas RSAL 5 (relative stationary average premium level). Šis koeficientas, išreikštas procentais, apibr žia reliatyvią vidutinę draud jo poziciją. Apskaičiuojamas sekančiai: Vid. stac. įmoka Min. įmoka RSAL=, Maks. įmoka Min. įmoka čia: Vid. Stac. Įmoka vidutin įmoka, kuri nusistovi sistemoje po tam tikro metų skaičiaus; Min. įmoka minimali sistemos įmoka; Maks. įmoka maksimali sistemos įmoka. 7

28 Maža RSAL reikšm rodo didelę draud jų sankaupą maksimalių nuolaidų klas je. Aukšta kad reikalingas geresnis išsiskaidymas per klases. Idealiu atveju RSAL reikšm yra 5%, tačiau praktikoje naudojamose bonus malus sistemose prie tokios reikšm s kol kas priart ti nepavyko. Pirmasis -tukas analizuotų pasaulio 5 BMS pagal RSAL koeficientus atrodo taip: 4.4. lentel. Pasaulio BMS pagal RSAL koeficientus. Nr. BMS RSAL Kenijos 8,79% Ispanijos 5,67% 3 Malaizijos,7% 4 Suomijos (nauja) 6,4% 5 Švedijos 4,% 6 Danijos,78% 7 D. Britanijos,37% 8 Taivanio 9,55% 9 Suomijos (sena) 8,46% Honkongo 8,35% Mūsų pasiūlytoms 3 BMS atitinkamai RSAL koeficientai yra: RSAL =8,4%, RSAL =6,66%, RSAL 3=5,34%. Svarbu palyginti ir vidutinę sistemos įmoka po pirmųjų draudimo metų: čia laikyta, kad bazin įmoka P=. BMS = 3,53, BMS = 5,3, BMS 3 = 8,7, Matome, kad BMS draud jų sklaida tarp klasių po daugelio metų yra pakankamai gera ir geriausia iš nagrin jamų BMS, o ir pirmaisiais metais iš draud jų neimamos nepagrįstai didel s įmokos. Šio darbo tikslas sukurti finansiškai stabilią įmokų sistemą, bet tuo pačiu siekiant išlikti kuo teisingesniais draud jų atžvilgiu. Svarbu pasteb ti, kad BMS per visą laikotarpį išlieka ir stabili, ir pakankamai teisinga draud jų atžvilgiu. B gant metams šios sistemos vidutin įmoka svyruoja tarp 96,79% ir 5,9%, kai tuo tarpu BMS tarp 99,95% ir 3,7%, BMS 3 tarp 98,79% ir 53,5%. 8

29 4.5. lentel. BMS finansinis stabilumas b gant metams. BMS t t t t 3,53,, 3, 5,9,, 3, 3,4 3, 3, 33, 4 96,79 4, 4, 34, 5 98,3 5, 5, 35, 6 98,98 6, 6, 36, 7 99,68 7, 7, 37, 8, 8, 8, 38, 9, 9, 9, 39,,, 3, 4, BMS t t t t 5,3,6,45 3,3,93,,3 3,5 3 3,7 3, 3,3 33,5 4 8,8 4,4 4 99,95 34,3 5,95 5,45 5, 35, 6,5 6,5 6, ,98 7 4,54 7,5 7,5 37, 8 5, ,95 8, 38, 9 5,37 9,3 9,3 39, 4,5, ,97 4, BMS 3 t t t t 8,7 5,63 4, ,57 3,5 3,8 5,9 3,5 3 43,73 3 5,4 3,83 33,8 4 53,5 4 7, ,59 34,96 5 4,73 5 9,79 5, ,93 6,93 6,67 6, ,79 7 4,89 7 6,64 7, ,3 8 8,4 8,76 8, ,58 9,6 9,86 9, ,94,7 3,4 3 99,7 4, Atsižvelgiant į aukščiau išd stytą ir priimant d mesin, kad Lietuvos draudimo rinka yra pakankamai maža, o konkurencin situacija įtempta, siūlome taikyti pirmąją sistemą. 9

30 5. Išvados Taikydami sud tinį Puasono skirstinį TPVA draudiminių rizikų portfelį suskaid me į dvi dalis. Tai leido pakankamai tiksliai atvaizduoti realius Įmon s duomenis. Išsprendę kvadratinio minimizavimo uždavinį parod me kaip sudaryti bonus malus sistemą, kuri: Yra finansiškai stabili. B gant metams išlieka teisinga tiek draudiko tiek ir draud jo atžvilgiu. Yra nepriklausoma nuo draud jo asmeninių charakteristikų, kurių neįmanoma tiksliai įvertinti sutarties sudarymo metu. Tuo pačiu išsprendžiama aktuali draud jo diskriminacijos, d l vienokių ar kitokių jo savybių, problema. Nepaisant teigiamų sukonstruotos BMS savybių, turime pamin ti ir trūkumus: Darbe naudojami vienerių metų duomenys, tod l reik tų ilgesnio periodo duomenų, kad įvertinti gautą sistemą. Mūsų sistema yra su baigtiniu klasių skaičiumi, tod l ji tampa finansiškai stabili tik po kurio laiko, tačiau sistemos permokos atperka trūkumus. (žr. 4.5 lentelę) Laikome, kad sistema uždara, bet praktikoje draud jas kiekvienais metais gali laisvai rinktis draudimo įmonę. Darbas gali būti tęsiamas įvedant papildomų sąlygų, tokių kaip: Jei draud jo sukeltų avarijų žala viršija tam tikrą lygį, tai jis baudžiamas papildomomis baudomis. Įvesti draud jo startin s pozicijos priklausomybę nuo draud jo pradinių (a priori) duomenų (transporto priemon s eksploatavimo vietov s, darbinio tūrio, draud jo amžiaus ar kt.) Galima apriboti didžiausią nuolaidą ir didžiausią baudą, įvedant sąlygas: n A, B, čia A ir B tam tikros, iš anksto parinktos konstantos. Šios ir panašios sąlygos gali būti įtrauktos ir įtakoti bonus malus sistemos sudarymą, ypatingai užtikrinant jos finansinį stabilumą b gant metams. 3

31 onstruction of financially balanced bonus malus system Tomas Antanaitis Mixed Poisson fit is applied to a motor third party liability insurance portfolio in order to construct a bonus malus system with finite number of classes. The premiums for a bonus-malus system which stays in financial equilibrium over the years are calculated. This is done by minimizing a quadratic function of the difference between the premiums for an optimal BMS with an infinite number of classes and the premiums for a BMS with finite number of classes, weighted by the stationary probability of being in a certain class, and by imposing various constraints on the system. 3

32 Naudotos literatūros ir šaltinių sąrašas. Bagdonavičius V., Golokvosčius P., Kašuba R., Kubilius J., Kudžma R., Mackevičius V., Mačys J., Misevičius E., Rumšas P., Svecevičius B., Vaškas P. Matematikos terminų žodynas Mokslo ir enciklopedijų leidykla, oene G., Doray L.G. A financially balanced bonus-malus system Astin bulletin, Vol. 6, No., 7 6, Kruopis J. Matematin statistika V.: Mokslas, Kubilius J. Tikimybių teorija ir matematin statistika V.: Vilniaus univ., Lemaire J., Zi H., A comparative analysis of 3 bonus-malus systems - Astin bulletin, Vol. 4, No., 87 39, Simar L. Maximum likelihood estimation of a compound Poisson process The Annals of Statistics, Vol. 4, No. 6, 9, Walhin J.F., Paris J., Using mixed Poisson processes in connection with bonus-malus systems - Astin bulletin, Vol. 9, No., 8 99, Walhin J.F., Paris J., The true claim amount and frequency distributions within a bonus-malus system - Astin bulletin, Vol. 3, No., 39 43,. 3

33 Priedas Nr. Parametrų įvertinimas pasinaudojant momentų metodu > restart: x[]:= : x[]:= : x[3]:= : l:=x*p+x*p-x[]=: l:=(x)^*p+(x)^*p-x[]=: l3:=(x)^3*p+(x)^3*p-x[3]=: l4:=(x)^4*p+(x)^4*p-x[4]=: l7:=p+p-=:evalf(fsolve({l,l,l3,l7})): 33

34 Priedas Nr. Parametrų įvertinimas maksimalaus tik tinumo funkcijos metodu NIUTONO - RAFSONO METODAS > restart: with(linearalgebra):with(vectoralculus): PRADINES SALYGOS. > N[]:=639: N[]:=39: N[]:=: N[3]:=: N[4]:=: > F:=(x,lambda,lambda,n)->ln(x*exp(-lambda)*(lambda)^n+(- x)*exp(-lambda)*(lambda)^n): > S:=sum(N[n]*F(x,lambda,lambda,n),n=..4): x[]:= : lambda[]:= : lambda[]:= : Niteraciju:=: st:=time(): N-R iteraciju pradzia. > for i from by to Niteraciju do Matrix([[diff(S,x)],[diff(S,lambda)],[diff(S,lambda)]]): M:=unapply(%,(x,lambda,lambda)): f:=evalf(m(x[i],lambda[i],lambda[i])): Hessian(S,[x,lambda,lambda]): H:=unapply(%,(x,lambda,lambda)): HH:=evalf(H(x[i],lambda[i],lambda[i])): Theta:=MatrixInverse(HH): kappa:=matrixmatrixmultiply(theta,f): Dzeta:=Matrix([[x[i]],[lambda[i]],[lambda[i]]])-kappa: x[i+]:=dzeta[,]:lambda[i+]:=dzeta[,]:lambda[i+]:=dzeta[ 3,]:fIndex:=i+: end do: LAIKAS per kuri randamos iteracijos. > total:=(time()-st): REIKSMES SURASTOS N-R METODU. > x[findex]:lambda[findex]:lambda[findex]: 34

35 Priedas Nr. 3 Kvadratin s funkcijos fi( k, t) ( i ( k, t) ( k, t) ) minimizavimas ( k, t) BMS > restart: sqf:=[ , , , , , , , , ]: sq[]:=[ , , ,3.73]: sq[]:=[ , , ,3.85]: sq[3]:=[ , ,.939, ]: sq[4]:=[ , , , ]: sq[5]:=[ , , ,.7466]: sq[6]:=[ , , , ]: sq[7]:=[ ,8.6943, , ]: sq[8]:=[ , ,86.638, ]: sq[9]:=[7.4345,8.5395, , ]: sq[]:=[68.333,3.658,78.67,4.7]: for j from by to do f[j]:=sqf[j]:end do: for l from by to do for s from by to 4 do [s-,l]:=sq[l][s]: end do: end do: c[4]:=: P:=f[]*((c[]-[,4])^+(c[]-[,5])^+(c[]- [,6])^+(c[]-[,7])^+(c[]-[,8])^)+ f[]*((c[]- [,3])^+(c[]-[,8])^+(c[]-[,8])^+(c[]-[3,8])^)+ f[3]*((c[]-[,])^+(c[]-[,7])^+(c[]-[,7])^+(c[]- [3,7])^)+ f[4]*((c[3]-[,])^+(c[3]-[,6])^+(c[3]- [,6])^+(c[3]-[3,6])^)+ f[5]*((c[4]-[,5])^+(c[4]- [,5])^+(c[4]-[3,5])^)+ f[6]*((c[5]-[,4])^+(c[5]- [,4])^+(c[5]-[3,4])^)+ f[7]*((c[6]-[,3])^+(c[6]- [,3])^+(c[6]-[3,3])^)+ f[8]*((c[7]-[,])^+(c[7]- [,])^+(c[7]-[3,])^)+ f[9]*((c[8]-[,])^+(c[8]- [,])^+(c[8]-[3,])^): with(optimization): QPSolve(P,{c[8]-c[7]>=,c[7]-c[6]>=,c[6]- c[5]>=,c[5]-c[4]>=,c[4]-c[3]>=5,c[3]-c[]>=5,c[]- c[]>=,c[]- c[]>=5,f[]*c[]+f[]*c[]+f[3]*c[]+f[4]*c[3]+f[5]*c[4]+f[6]*c [5]+f[7]*c[6]+f[8]*c[7]+f[9]*c[8]>=},assume=nonnegative): 35

36 BMS > restart: sqf:=[ ,.38966, , ,.43739, , ,.93858,.94979, , , , ]: sq[]:=[95.93,59.498,7.67,3.73]: sq[]:=[9.5,54.48,4.833,3.8]: sq[3]:=[88.4,49.368,.9,.378]: sq[4]:=[85.6,44.88,99.53,.594]: sq[5]:=[77.9,45.98,6.3,6.49]: sq[6]:=[78.99,33.768,93.337,9.75]: sq[7]:=[76.8,8.6,89.89,8.676]: sq[8]:=[73.7,3.54,86.,7.48]: sq[9]:=[7.43,8.53,8.3,6.6]: sq[]:=[68.333,3.658,78.67,4.7]: for j from by to 3 do f[j]:=sqf[j]:end do: for l from by to do for s from by to 4 do [s-,l]:=sq[l][s]: end do: end do: c[6]:=: P:=f[]*((c[]- [,6])^+(c[]-[,7])^+(c[]-[,8])^)+ f[]*((c[]-[,5])^)+ f[3]*((c[]-[,4])^)+ f[4]*((c[3]-[,3])^)+ f[5]*((c[4]-[,])^+(c[4]-[,8])^)+ f[6]*((c[5]- [,])^+(c[5]-[,7])^+(c[5]-[,8])^+(c[5]-[3,8])^)+ f[7]*((c[6]-[,6])^+(c[6]-[,7])^+(c[6]-[3,7])^)+ f[8]*((c[7]-[,5])^+(c[7]-[,6])^+(c[7]-[3,6])^)+ f[9]*((c[8]-[,4])^+(c[8]-[,5])^+(c[8]-[3,5])^)+ f[]*((c[9]-[,3])^+(c[9]-[,4])^+(c[9]-[3,4])^)+ f[]*((c[]-[,])^+(c[]-[,3])^+(c[]-[3,3])^)+ f[]*((c[]-[,])^+(c[]-[,])^+(c[]-[3,])^)+ f[3]*((c[]-[,])^+(c[]-[3,])^): with(optimization): QPSolve(P,{c[]-c[]>=5,c[]- c[]>=5,c[]-c[9]>=5,c[9]-c[8]>=5,c[8]-c[7]>=5,c[7]- c[6]>=5,c[6]-c[5]>=3,c[5]-c[4]>=3,c[4]-c[3]>=3,c[3]- c[]>=3,c[]-c[]>=3,c[]- c[]>=3,f[]*c[]+f[]*c[]+f[3]*c[]+f[4]*c[3]+f[5]*c[4]+f[6]*c [5]+f[7]*c[6]+f[8]*c[7]+f[9]*c[8]+f[]*c[9]+f[]*c[]+f[]*c []+f[3]*c[]>=},assume=nonnegative): 36

37 BMS 3 > restart: sqf:=[ ,.89887,.39736, , ,.46, ,.46875, , ,. 383,.8778, ,.99377, , , ,.98467,.94539]: sq[]:=[95.93,59.498,7.67,3.73]: sq[]:=[9.5,54.48,4.833,3.8]: sq[3]:=[88.4,49.368,.9,.378]: sq[4]:=[85.6,44.88,99.53,.594]: sq[5]:=[77.9,45.98,6.3,6.49]: sq[6]:=[78.99,33.768,93.337,9.75]: sq[7]:=[76.8,8.6,89.89,8.676]: sq[8]:=[73.7,3.54,86.,7.48]: sq[9]:=[7.43,8.53,8.3,6.6]: sq[]:=[68.333,3.658,78.67,4.7]: for j from by to 9 do f[j]:=sqf[j]:end do: for l from by to do for s from by to 4 do [s-,l]:=sq[l][s]: end do: end do: c[]:=: P:=f[]*((c[]-[,])^)+ f[]*((c[]-[,9])^)+ f[3]*((c[]-[,8])^)+ f[4]*((c[3]-[,7])^)+ f[5]*((c[4]-[,6])^)+ f[6]*((c[5]-[,5])^)+ f[7]*((c[6]-[,4])^+(c[6]-[,])^)+ f[8]*((c[7]-[,3])^+(c[7]-[,9])^)+ f[9]*((c[8]-[,])^+(c[8]-[,8])^)+ f[]*((c[9]- [,])^+(c[9]-[,7])^+(c[9]-[,])^+(c[9]-[3,])^)+ f[]*((c[]-[,6])^+(c[]-[,9])^+(c[]-[3,9])^)+ f[]*((c[]-[,5])^+(c[]-[,8])^+(c[]-[3,8])^)+ f[3]*((c[]-[,4])^+(c[]-[,7])^+(c[]-[3,7])^)+ f[4]*((c[3]-[,3])^+(c[3]-[,6])^+(c[3]-[3,6])^)+ f[5]*((c[4]-[,])^+(c[4]-[,5])^+(c[4]-[3,5])^)+ f[6]*((c[5]-[,])^+(c[5]-[,4])^+(c[5]-[3,4])^)+ f[7]*((c[6]-[,3])^+(c[6]-[3,3])^)+ f[8]*((c[7]- [,])^+(c[7]-[3,])^)+ f[9]*((c[8]-[,])^+(c[8]- [3,])^): with(optimization): QPSolve(P,{c[8]-c[7]>=5,c[7]- c[6]>=5,c[6]-c[5]>=5,c[5]-c[4]>=5,c[4]-c[3]>=5,c[3]- c[]>=5,c[]-c[]>=5,c[]-c[]>=5,c[]-c[9]>=5,c[9]- c[8]>=5,c[8]-c[7]>=5,c[7]-c[6]>=5,c[6]-c[5]>=3,c[5]- c[4]>=3,c[4]-c[3]>=3,c[3]-c[]>=3,c[]-c[]>=3,c[]- c[]>=3,f[]*c[]+f[]*c[]+f[3]*c[]+f[4]*c[3]+f[5]*c[4]+f[6]*c [5]+f[7]*c[6]+f[8]*c[7]+f[9]*c[8]+f[]*c[9]+f[]*c[]+f[]*c []+f[3]*c[]+f[4]*c[3]+f[5]*c[4]+f[6]*c[5]+f[7]*c[6] +f[8]*c[7]+f[9]*c[8]>=},assume=nonnegative): 37