Šturmo ir Liuvilio uždavinio su dvitaške nelokaliąja sąlyga spektro tyrimas
|
|
- Rūta Urbonas
- prieš 3 metus
- Peržiūrų:
Transkriptas
1 VILNIAUS UNIVERSITETAS Kristina BINGELĖ Šturmo ir Liuvilio uždavinio su dvitaške nelokaliąja sąlyga spektro tyrimas DAKTARO DISERTACIJOS SANTRAUKA Gamtos mokslai Matematika N 001 VILNIUS 2019
2 Disertacija rengta metais Vilniaus universitete. Mokslinis vadovas: Prof. dr. Artūras Štikonas (Vilniaus universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Gynimo taryba: Pirmininkas Prof. habil. dr. Konstantinas Pileckas (Vilniaus universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Nariai: Prof. habil. dr. Raimondas Čiegis (Vilniaus Gedimino technikos universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Prof. dr. Pranas Katauskis (Vilniaus universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Prof. habil. dr. Antanas Laurinčikas (Vilniaus universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Prof. habil. dr. Grigory Panasenko (Liono universitetas, gamtos mokslai, matematika N 001) Disertacija ginama viešame Gynimo tarybos posėdyje 2019 m. gruodžio 13 d. 14 val. Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto 102 auditorijoje. Adresas: Naugarduko 24, LT-03225, Vilnius, Lietuva. Tel ; e-paštas: mif@mif.vu.lt. Disertaciją galima peržiūrėti VU interneto svetainėje adresu:
3 VILNIUS UNIVERSITY Kristina BINGELĖ Investigation of Spectrum for a Sturm Liouville problem with Two-Point Nonlocal Boundary Conditions SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION Natural sciences, Mathematics N 001 VILNIUS 2019
4 Doctoral dissertation was written between 2011 and 2019 at Vilnius University. Academic supervisor: Prof. dr. Artūras Štikonas (Vilnius University, Natural sciences, Mathematics N 001) This doctoral dissertation will be defended in a public meeting of the Dissertation Defence Panel: Chairman Prof. habil. dr. Konstantinas Pileckas (Vilnius University, Natural sciences, Mathematics N 001) Members: Prof. habil. dr. Raimondas Čiegis (Vilnius Gediminas Technical University, Natural sciences, Mathematics N 001) Prof. dr. Pranas Katauskis (Vilnius University, Natural sciences, Mathematics N 001) Prof. habil. dr. Antanas Laurinčikas (Vilnius University, Natural sciences, Mathematics N 001) Prof. habil. dr. Grigory Panasenko (University of Lyon, Natural sciences, Mathematics N 001) The dissertation shall be defended at a public/closed meeting of the Dissertation Defence Panel at 2:00 PM on 13th of December 2019 in Room 102 of the Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University. Address: Naugarduko 24, LT-03225, Vilnius, Lithuania. Tel ; mif@mif.vu.lt. The text of this dissertation can be accessed on the website of Vilnius University:
5 1 Įžanga Disertacijoje yra nagrinėjami diferencialinis Šturmo ir Liuvilio uždavinys su pirmąja klasikine ir antrąja nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga ir šio uždavinio diskretusis analogas. Šiomis lygtimis aprašom įvairios realaus gyvenimo situacijos, neatitinkančios klasikinių uždavinių sąlygų. Diferencialinėmis lygtimis su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis gali būti aprašoma daug šiuolaikinės fizikos (šiluminio laidumo ir difuzijos [Ionkin 1977], tamprumas [Gordeziani 2000], šiluminio laidumo [Day 1982, 1983], biologijos ir biotechnologijų [Schuegerl 1987], [Nakhushev 1995], cheminės difuzijos, populiacijų dinamikos, medicinos mokslų ir kitų sričių [Gordeziani, Davitashvili 1999]) uždavinių. Aukštesnės eilės diferencialinių lygčių kraštiniai uždaviniai paprastai atsiranda iš techninių taikymų. Dažniausiai tai būna daugiataškiai uždaviniai n-tosios eilės paprastosioms diferencialinėms lygtims. Šiems uždaviniams pastaruoju metu mokslinėje literatūroje skiriama nemažai dėmesio, jie tiriami tiek užsienio, tiek Lietuvos mokslininkų darbuose. Gana nauja sritis, susijusi su šio tipo uždaviniais, yra diferencialinių lygčių su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis spektro tyrimas. Tikrinių reikšmių uždaviniai su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis yra glaudžiai susiję su diferencialinių lygčių kraštiniais uždaviniais [Boucherif 2001], [Infante 2003], tačiau tokio tipo uždaviniai yra kur kas mažiau nagrinėti negu klasikinių kraštinių sąlygų atvejai. Panašūs uždaviniai operatoriams su daugiataškėmis kraštinėmis sąlygomis nagrinėjami darbuose [Cao, Ma 2000], [Gulin, Morozova 2003]. Tačiau tikrinių reikšmių uždaviniai diferencialiniams operatoriams su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis yra kur kas mažiau nagrinėti negu klasikinių kraštinių sąlygų atvejai. 1
6 2 Disertacijos mokslinė problema ir tyrimo objektas Diferencialinių uždavinių su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis spektro tyrimas yra svarbus nagrinėjant diferencialinių ir diskrečiųjų uždavinių sprendinio egzistavimą ir vienatį, tiriant baigtinių skirtumų schemų stabilumą ir pagrindžiant iteracinius metodus šiems uždaviniams. Spektro struktūros tyrimas taip pat labai svarbus ir gali būti nagrinėjamas kaip atskiras tokio tipo uždavinys. Disertacijoje pateikiami rezultatai praplečia ir papildo iki šiol kitų mokslininkų gautus rezultatus, nes tiriamos panašių uždavinių spektro struktūra ir spektro struktūros priklausomybė nuo nelokaliųjų kraštinių sąlygų parametrų. Disertacijoje ištirta Šturmo ir Liuvilio uždavinio su viena klasikine sąlyga kairiajame krašte ir kita nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga, priklausančia nuo dviejų parametrų (o diskrečiuoju atveju dar ir nuo tinklelio taškų skaičiaus), spektro struktūra ir priklausomybė nuo šių parametrų. Pagrindinis disertacijos tyrimų objektas yra Šturmo ir Liuvilio uždavinys su viena klasikine (Dirichlė tipo u(0) = 0 arba Neimano tipo u (0) = 0) kraštine sąlyga ir kita nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga. Disertacijoje nagrinėjamos keturių tipų dvitaškės nelokaliosios kraštinės sąlygos, priklausančios nuo parametrų ξ ir γ. Taip pat tiriami diskretieji Šturmo ir Liuvilio uždaviniai su Dirichlė arba Neimano tipo klasikine kraštine sąlyga ir dviejų tipų neliokaliosiomis taškinėmis sąlygomis, kurios aproksimuoja dvitaškes difrerencialinio uždavinio sąlygas. 2
7 3 Tikslas ir uždaviniai Pagrindinis disertacijos tikslas yra ištirti diferencialinio ir diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio su viena klasikine ir antrąja dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga spektro struktūrą. Diferencialinio Šturmo ir Liuvilio uždavinio atveju nagrinėjamos dvitaškės nelokaliosios sąlygos: u(1) = γu(ξ), u (1) = γu(ξ), u(ξ) = γu(1 ξ), u(1) = γu (ξ), u (1) = γu (ξ), kai γ R ir ξ [0, 1]. Pagrindiniai uždaviniai: - rasti pastoviąsias tikrines reikšmes, nepriklausančias nuo parametro γ; - rasti charakteristinės funkcijos nulius, polius, kritinius taškus; - aprašyti spektrines kreives, ištirti jų savybes; - ištirti spektrinės srities priklausomybę nuo nelokaliųjų sąlygų parametro ξ ir nustatyti bifurkacijos taškus ir tipus. Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio atveju nagrinėjamos nelokaliosios kraštinės sąlygos: U n = γ U m+1 U m 1, U n = γu m. 2h Kairiajame krašte pasirinkta viena iš sąlygų U 0 = 0, U 1 = U 0. Diskretusis uždavinys gautas aproksimuojant diferencialinį uždavinį baigtinių skirtumų schema. Pagrindiniai uždaviniai: 3
8 - rasti pastoviąsias tikrines reikšmes, nepriklausančias nuo parametro γ; - rasti charakteristinės funkcijos nulius, polius, kritinius taškus; - nustatyti šių taškų priklausomybę nuo tinklo taškų skaičiaus; - ištirti spektrinių kreivių elgseną ypatingų taškų aplinkoje; - surasti ryšius tarp šių taškų skaičiaus. 4 Tyrimų metodika Tiriant diferencialinį ir diskretųjį Šturmo ir Liuvilio uždavinius su dvitaške nelokaliąja sąlyga, naudojamas charakteristinės funkcijos (angl. Characteristic Function) metodas [166, Štikonas, Štikonienė 2009], [102, 104, Pečiulytė, Štikonas 2006, 2007]. Šio uždavinio spektro savybės priklauso nuo charakteristinės funkcijos, nulių, polių, pastoviųjų tikrinių reikšmių taškų ir kritinių taškų pasiskirstymo. Ir realiosios, ir kompleksinės spektro dalies tyrimas yra papildytas skaitiniais eksperimentais, kurių rezultatai iliustruoti charakteristinių funkcijų ir spektrinių kreivių grafikais. 4
9 5 Darbo struktūra ir pagrindiniai rezultatai Disertacijoje ištirta diferencialinio ir diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio su viena klasikine pradine sąlyga kairiajame krašte ir kita nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga spektro struktūra ir priklausomybė nuo nelokaliosios sąlygos parametrų. Įrodyti teiginiai apie charakteristinės funkcijos savybes. Disertacijoje tiriamos spektrinių kreivių savybės ir bifurkacijos. Disertaciją sudaro įvadas, trys skyriai, bendrosios išvados ir literatūros sąrašas. Disertacijos apimtis-137 puslapiai, literatūros saraše 174 įrašai. Pagrindinės sąvokos apibrėžtos pirmajame skyriuje ir iš dalies įvade. Disertacijos įvade pateikti kitų autorių rezultatai tiriant uždavinius su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis. Gana plačiai paminėti Lietuvos mokslininkų grupės (M. Sapagovas, R. Čiegis, A. Štikonas, O. Štikonienė ir kt.) darbai šia tematika. Daugelį rezultatų galima rasti apžvalginiame straipsnyje [162, Štikonas 2014]. Pristatytas charakteristinės funkcijos metodas [166, Štikonas, Štikonienė 2009] ir pagrindiniai kitų autorių rezultatai taikant šį metodą [102, 104, Pečiulytė, Štikonas 2006, 2007], [160, Štikonas 2007]. Straipsnyje [166] šis metodas buvo naudojamas tiriant uždavinio u = λu, t (0, 1), (1) u(0) = 0, u(1) = γu(ξ), (2) spektrą. Kompleksinės tikrinės reikšmės ir spektrinės kreivės išsamiai pradėtos tirti darbuose [166], [A3, A. Skučaitė, K. Skučaitė- Bingelė, S. Pečiulytė, A. Štikonas 2010]. Šturmo ir Liuvilio uždavinys su integraline nelokaliąja sąlyga visiškai ištirtas [155, A. Skučaitė, Štikonas 2015], šiame straipsnyje taip pat pirmą kartą apibrėžta spektrinės kreivės sąvoka. 5
10 Toliau aprašomi pagrindiniai disertacijos rezultatai. Formuluojant teoremas, lemas ir išvadas, skliausteliuose pateikti disertacijoje naudojami pavadinimai anglų kalba. Teiginių numeracija skliausteliuose reiškia disertacijoje naudotą numeraciją skyrius.numeris. 6
11 5.1 1 skyrius. Diferencialinis Šturmo ir Liuvilio uždavinys su dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga Pirmajame disertacijos skyriuje tiriamas Šturmo ir Liuvilio uždavinys su viena klasikine pradine sąlyga kairiajame krašte ir kita nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga u = λu, t (0, 1), (3) u(0) = 0, (4) u(1) = γu (ξ) (5) su parametrais γ R ir ξ [0, 1]. Šio skyriaus rezultatai publikuoti straipsnyje [A1, K. Bingelė, A. Bankauskienė, A. Štikonas, 2020]. Apibrėžkime atvaizdį λ : C C, λ(q) = (πq) 2. Tada atvirkštinis atvaizdis yra daugiareikšmis ir taškas λ = 0 yra pirmosios eilės šakojimosi taškas (angl. Branch Point). Taškas q = 0 (angl. Ramification Point) yra svarbus analizuojant nagrinėjamą uždavinį. Apibrėžkime aibes C q := R q C + q C q, kur R q := R q R + q R 0 q, R q := {q = x + ιy C : x = 0, y > 0}, R + q := {q = x + ιy C : x > 0, y = 0}, R 0 q := {q = 0}, C + q := {q = x + ιy C : x > 0, y > 0} ir C q := {q = x + ιy C : x > 0, y < 0}. Atvaizdis λ = (πq) 2 yra bijekcija iš srities C q į kompleksinę plokštumą C λ. Kiekvieną Šturmo ir Liuvilio uždavinio tikrinę reikšmę λ atitinka tikrinės reikšmės taškas q C q. Realiąsias tikrines reikšmes atitinka tikrinių reikšmių taškai q R q ={q C q : λ = (πq) 2 R}. Netrivialus Šturmo ir Liuvilio uždavinys (3) (5) egzistuoja tada, kai q C q yra lygties sin(πq) πq = γ cos(ξπq) (6) 7
12 šaknis. Apibrėžkime dvi sveikąsias funkcijas: Z(z) := sin(πz) ; P ξ (z) := cos(ξπz), z C. (7) πz Šių funkcijų nulių taškai yra svarbūs analizuojant ir aprašant Šturmo ir Liuvilio uždavinio spektrines kreives. Be to, funkcijos Z(q), q C q, nulių taškai z k sutampa su klasikinio uždavinio, kai γ = 0, tikrinių reikšmių taškų aibe: Ẑ := {z l = l N}, N = {1, 2, 3,... }. (8) Kai ξ 0, visi funkcijos P ξ (q), q C q nuliai yra paprasti (nekartotiniai), realūs teigiami skaičiai, priklausantys aibei Z ξ := {p k = (k 1/2)/ξ, k N}. (9) Pastoviosios tikrinės reikšmės nepriklauso nuo nelokaliųjų sąlygų parametro γ [166]. Kiekvienai pastoviajai tikrinei reikšmei λ C λ egzistuoja pastoviosios tikrinės reikšmės taškas q C q. Pastoviųjų tikrinių reikšmių taškai yra sistemos Z(q) = 0, P ξ (q) = 0, (10) šaknys. Pastoviųjų tikrinių reikšmių taškų aibę žymėsime C ξ. Kai ξ Q, laikysime, kad ξ = m/n, m, n N, 0 < m n, ir gcd(m, n) = 1, čia gcd(m, n) yra dviejų (teigiamų) sveikųjų skaičių m ir n didžiausias bendras daliklis. Taip pat naudosime žymėjimus N o := {2k 1, k N}, N e := {2k, k N}. 1.1 lema (Lemma 1.6). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (3) (5) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m N o, n N e, reikšmėms ir yra lygios λ s = (πc s ) 2, c s := (s 1/2)n, s N. 8
13 Apibrėžkime meromorfinę funkciją: γ c (z) = γ c (z; ξ) := Z(z), z C. (11) P ξ (z) Meromorfinę funkciją γ c srityje C q vadiname kompleksine charakteristine funkcija [166]. Jeigu c C ξ, t. y. Z(c) = 0 ir P ξ (c) = 0, turime kompleksinės charakteritinės funkcijos pašalinamąjį singuliarųjį izoliuotąjį tašką ir šių taškų (kai m N o, n N e ) seką c s = p ks = z ls, k s = m(s 1/2) + 1/2, l s = n(s 1/2), s N. (12) Kompleksinė-realioji charakteristinė (arba tiesiog charakteristinė) funkcija [166] γ = γ(q) yra išraiška kompleksinės charakteristinės funkcijos γ c srityje D ξ := {q C q : Imγ c (q) = 0}, t. y. γ : D ξ R. Charakteristinė funkcija γ(q) aprašo parametro γ reikšmes taškuose q D ξ, tokias, kurioms egzistuoja nepastoviosios tikrinės reikšmės λ = (πq) 2. Tokiems γ 0 R nepastoviųjų tikrinių reikšmių taškų aibė E ξ (γ 0 ) := γ 1 (γ 0 ). Taigi D ξ = γ R E ξ (γ). Spektrinė sritis yra aibė N ξ = D ξ C ξ fiksuotai ξ reikšmei. Šturmo ir Liuvilio uždaviniui (3) (5) su dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga egzistuoja trijų tipų kritiniai taškai: pirmosios, antrosios ir trečiosios eilės. Kritinių taškų aibę pažymėkime K ξ. 1.2 pastaba (Remark 1.11). Kai ξ = ξ c = 1 3, taškas q = 0 yra trečiosios eilės kritinis taškas plokštumoje C q, bet tikrinė reikšmė λ = 0 yra tik pirmosios eilės kritinis taškas, nes λ = 0 yra atvaizdžio λ = (πq) 2 šakojimosi taškas. Jeigu ξ ξ c, taškas λ = 0 nėra kritinis taškas. Jei q 0 D ξ = γ R E ξ (γ) ir γ c (q 0 ) 0, t. y. q 0 nėra kritinis taškas, E ξ (γ) yra glodi parametrinė kreivė N : (γ 0 δ 1, γ 0 +δ 2 ) R C q taško q 0 aplinkoje ir N (γ 0 ) = q 0. Galime pridėti rodykles 9
14 šioms kreivėms. Rodyklė rodo kryptį, kuria parametro γ reikšmė didėja. Tikrinių reikšmių taškai E ξ (γ) juda šiomis kreivėmis kintant parametrui γ. Vadiname šias kreives spektrinėmis kreivėmis. Charakteristinės funkcijos nulių taškai nėra kritiniai taškai ir jų aplinkoje spektrinė kreivė priklauso R + q. Kritiniame taške q 0 parametro γ reikšmė yra 0 < γ(q 0 ) <, ir galime tarti, kad šiame kritiniame taške kelios spektrinės kreivės susikerta, kai γ = γ(q 0 ). k-tosios eilės kritiniame taške spektrinės kreivės keičia kryptį ir spektrinių kreivių sudaromas posūkio kampas yra π/(k + 1). Naudojame dešiniosios rankos taisyklę, t. y. spektrinės kreivės kritiniame taške pasuka dešinėn. Spektrines kreives numeruojame taip: jeigu taškas q = l Z ξ, kai γ = 0, yra spektrinės kreivės taškas, tokią spektrinę kreivę vadinsime reguliariąja spektrine kreive N l. Kritinius taškus numeruojame spektrinių kreivių, einančių per kritinį tašką, indeksų seka. Taigi N l = {N (γ), γ R, N (0) = l}, l Z ξ. Kai ξ = 1, turime papildomą pusiau reguliariąją spektrinę kreivę N 0 := {N (γ), γ (0; + ), N (1) = 0} = R q [0; 1/2). Visiems pastoviųjų tikrinių reikšmių taškams c j C ξ apibrėžiame nereguliariąją spektrinę kreivę (sudarytą tik iš vieno taško) N j = {c j }. Pastebime, kad nereguliarioji spektrinė kreivė gali sutapti su reguliariosios spektrinės kreivės tašku. Jeigu ξ [0, 1] reikšmė didėja nuo 0 iki 1, funkcijos P ξ (q) nulių taškai p k = (k 1/2)/ξ, k N, juda į kairę, o funkcijos Z(q) nuliai z l = l, l N, nekinta. Kai p k sutampa su z l, gauname pastoviosios tikrinės reikšmės tašką c s = p ks = z ls = n(s 1/2), s N. Šiuo atveju atsiranda kilpos tipo kreivė, kurią sudaro dvi spektrinės kreivės. Gauname nulio ir poliaus tipo bifurkaciją β ZP : (z ls, p ks ) c s (b ls+1,ls, p ks, z ls, b ls,ls+1). Bifurkacija β ZP suformuoja tokį kritinių taškų išsidėstymą b ls 1,ls+1, b ls+1,ls, p ks, z ls, b ls,ls+1 ir kilpos tipo kreivę (kurią suformuoja spektrinės N ls ir N ls+1) kompleksinėje spektro dalyje 10
15 C q. Kol parametro ξ reikšmė didėja, ši kilpos tipo kreivė plečiasi, o poliaus taškas p ks juda kairėn stumdamas kritinį tašką b ls+1,ls link kito kritinio taško b ls 1,ls+1. Šie du pirmosios eilės kritiniai taškai yra tarp nulio taško z ls 1 ir poliaus taško p ks. Kai ξ = ξ 2b, šie du kritiniai taškai susijungia į vieną antrosios eilės kritinį tašką b ls 1,ls+1,l s ir gauname antrosios eilės kritinio taško bifurkaciją β 2B. Kai ξ ξ 2b, kilpos tipo kreivė (kurios viduje taškai p ks ir z ls ) išnyksta ir turime dvi spektrines kreives N ls ir N ls+1, kurios kertasi pirmosios eilės kritiniame taške b ls,ls+1. Taigi β 2B : (b ls 1,ls+1, b ls+1,ls ) b ls 1,ls+1,l s. Šios dvi bifurkacijos β ZP ir β 2B pakeičia taškų seką (b ls 1,ls, z ls, p ks ) (p ks, z ls, b ls,ls+1), kai z ls 1. Jei ξ = 1/2, kilpos tipo kreivė apie tašką q = 1 egzistuoja, kai 1/2 < ξ < 1. Kai parametro ξ reikšmė didėja, vis daugiau nulių ir polių taškų pereina į kilpos vidų. Ši kilpa išnyksta, kai ξ = skyrius. Spektrinės kreivės uždavinio su kito tipo nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis Antrajame disertacijos skyriuje nagrinėjama keletas diferencialinių Šturmo ir Liuvilio uždavinių su viena klasikine Dirichlė arba Neimano kraštine sąlyga ir kita nelokaliąja dvitaške sąlyga. Pagrindiniai šio skyriaus rezultatai publikuoti straipsniuose [A6, K. Skučaitė, S. Pečiulytė, A. Štikonas 2009], [A5, K. Skučaitė- Bingelė, A. Štikonas 2011] (su Dirichlė sąlyga ir Neimano sąlyga), [A4, K. Skučaitė-Bingelė, A. Štikonas 2013] (simetrinė nelokalioji sąlyga). 11
16 5.2.1 Šturmo ir Liuvilio uždavinys su klasikine Dirichlė tipo ir kita dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga Nagrinėkime Šturmo ir Liuvilio uždavinį su viena klasikine kraštine sąlyga u = λu, t (0, 1), (13) u(0) = 0 (14) ir antrąja nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga u (1) = γu(ξ), (15 1 ) u (1) = γu (ξ) (15 2 ) su parametrais γ R ir ξ [0, 1]. Indeksas formulės numeracijoje nurodo nelokaliosios sąlygos atvejį. Šio uždavinio realiosios tikrinės reikšmės tiriamos straipsniuose [100, , 107]. Netrivialusis sprendinys (tikrinė funkcija) egzistuoja tada, kai q yra sekančios lygties šaknis: Apibrėžkime fukcijas: Z(z) := cos(πq); cos(πq) = γ sin(ξπq), (16 1 ) πq cos(πq) = γ cos(ξπq). (16 2 ) P ξ (z) := sin(ξπq), z C, (17 1 ) πq Z(z) := cos(πq); P ξ (z) := cos(ξπq), z C. (17 2 ) Funkcijos Z(q), q C q nulių aibė yra Ẑ := {z l = l 1/2, l N}. (18) Kai ξ 0 visi funkcijos P ξ (q), q C q, nuliai paprasti, realūs ir teigiami: Z ξ := {p k = k/ξ, k N}, (19 1 ) Z ξ := {p k = (k 1/2)/ξ, k N}. (19 2 ) 12
17 2.1 lema (Lemma 2.3). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (13) (15 1 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m N e, n N o, reikšmėms ir tikrinės reikšmės lygios λ s = (πc s ) 2, c s := (s 1/2)n, s N. 2.2 lema (Lemma 2.4). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (13) (15 2 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m, n N o, reikšmėms ir tikrinės reikšmės lygios λ s = (πc s ) 2, c s := n(s 1/2), s N. Šturmo ir Liuvilio uždavinio (3) (5) meromorfinė kompleksinė charakteristinė funkcija yra γ c (q) = Z(q) πq cos(πq) = P ξ (q) sin(ξπq), q C q, (20 1 ) γ c (q) = Z(q) P ξ (q) = cos(πq) cos(ξπq), q C q. (20 2 ) 2.3 pastaba (Remark 2.7). Pirmuoju atveju, kai ξ = 1, kompleksinė charakteristinė funkcija γ c = πq cos(πq)/ sin(πq) yra tokia pati kaip pirmojo skyriaus Šturmo ir Liuvilio uždavinio kompleksinė charakteristinė funkcija γ = πq cos(πq)/ sin(πq), kai ξ = 1, t. y. realioji charakteristinė funkcija ir spektrinės kreivės elgiasi vienodai. Čia γ = γ 1. Pirmosios nelokaliosios sąlygos atveju, kai parametras ξ mažėja, tai funkcijos P ξ (q) nuliai p k = k/ξ, k N, juda į dešinę, o funkcijos Z(q) nuliai z l = l 1/2, l N, nejuda (lieka pastovūs visiems ξ). Tokį pat bifurkacijos tipą turėjome pirmajame skyriuje, kai parametro ξ reikšmė didėjo. Pažymėkime tokį atvirkštinės nulio ir poliaus bifurkacijos tipą β 1 ZP : (b l s 1,l s, p ks, z ls, b ls,ls+1) c s (z ls, p ks ). Prieš įvykstant β 1 ZP bifurkacijai turime taškų seką b l s 1,l s, z ls, p ks, b ls,ls 1, b ls 1,ls+1 ir kilpos tipo kreivę (susiformavusią iš spektrinių kreivių N ls 1 ir N ls dalių) kompleksinėje spektro 13
18 dalyje C q. Turime atvirkštinę antrosios eilės kritinio taško bifurkaciją β 1 2B. Kai ξ ξ 2b, kilpos tipo kreivė (kurios viduje buvo taškai p ks ir z ls ) išnyksta ir mes gauname dvi spektrines kreives N ls 1 ir N ls, kurios kertasi kritiniame taške b ls 1,ls. Taigi β 1 2B : b l s,l s 1,l s+1 (b ls,ls 1, b ls 1,ls+1). Taigi šios dvi bifurkacijos β 1 2B and β 1 ZP pakeičia taškų seką (b ls 1,l s, z ls, p ks ) (p ks, z ls, b ls,l s+1), kai z ls 1. Antrosios nelokaliosios sąlygos atveju kompleksinių tikrinių reikšmių spektras nėra toks sudėtingas. Apibrėžiame tokio tipo bifurkaciją kaip simetrinę nulio ir poliaus bifurkaciją β 0 ZP : (b l s 1,l s, z ls, p ks ) c s = b ls 1,l s+1 (p ks, z ls, b ls,l s+1) Šturmo ir Liuvilio uždavinys su klasikine Neimano tipo ir kita dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga Nagrinėkime Šturmo ir Liuvilio uždavinį u = λu, t (0, 1), (21) su viena klasikine (Neimano tipo) taškine sąlyga u (0) = 0 (22) ir antra dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga (0 ξ 1): u (1) = γu(ξ), (23 1 ) u (1) = γu (ξ), (23 2 ) u(1) = γu (ξ), (23 3 ) u(1) = γu(ξ), (23 4 ) kur parametrai γ R ir ξ [0, 1]. Nagrinėsime uždavinį (21) (23) su sąlygomis ξ [0, 1] pirmuoju atveju, ξ (0, 1) antruoju atveju, ξ (0, 1] trečiuoju atveju ir ξ [0, 1) ketvirtuoju atveju. 14
19 2.4 teorema (Theorem 2.9). Šturmo ir Liuvilio uždaviniai (13) (15 2 ) ir (21) (23 4 ) sutampa visoms parametrų γ ir ξ reikšmėms. 2.5 išvada (Corollary 2.10). Šturmo ir Liuvilio uždavinių (13) (15 2 ) ir (21) (23 4 ) spektrinės kreivės ir spektrinė sritis N ξ yra tokios pačios. Apibrėžkime funkcijas: Z(z) := πz sin(πz); P ξ (z) := cos(ξπz), z C, (24 1 ) Z(z) := πz sin(πz); P ξ (z) := πz sin(πzξ), z C, (24 2 ) Z(z) := cos(πz); P ξ (z) := πz sin(πzξ), z C. (24 3 ) Funkcijos Z(q), q C q, nulių taškų aibė Ẑ := {z l = l, l N 0 }, (25 1,2 ) Ẑ := {z l = l 1/2, l N}. (25 3 ) Funkcijos P ξ (q), q C q, visi nuliai yra paprasti ir neneigiami: Z ξ := {p k = (k 1/2)/ξ, k N}, (26 1 ) Z ξ := {p k = k/ξ, k N 0 }. (26 2,3 ) 2.6 lema (Lemma 2.15). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (21) (23 1 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m N o, n N e, reikšmėms, ir šios pastoviosios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = (πc s ) 2, c s := n(s 1/2), s N. 2.7 lema (Lemma 2.16). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (21) (23 2 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m, n N, reikšmėms, ir šios pastoviosios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = (πc s ) 2, c s := ns, s N 0. 15
20 2.8 lema (Lemma 2.17). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (21) (23 3 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m N e, n N o, reikšmėms, ir šios pastoviosios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = (πc s ) 2, c s := n(s 1/2), s N. Šturmo ir Liuvilio uždavinio (21) (23) kompleksinę charakteristinė funkcija yra πq sin(πq) γ c (q) : cos(ξπq), (27 1) γ c (q) := sin(πq) sin(ξπq), (27 2) γ c (q) := cos(πq) πq sin(ξπq). (27 3) Šturmo ir Liuvilio uždaviniams (21) (23 1 ) ir (21) (23 2 ) neigiami kritiniai (b R q ) taškai neegzistuoja [107]. Šturmo ir Liuvilio uždaviniui (21) (23 3 ) turime vieną neigiamą kritinį tašką, kai 0 < ξ < 1 [107]. Šturmo ir Liuvilio uždaviniams (21) (23 1 ) ir (21) (23 2 ) egzistuoja pirmosios ir antrosios eilės kritiniai taškai. Šturmo ir Liuvilio uždaviniui (21) (23 2 ) egzistuoja nenuliniai pirmosios eilės kritiniai taškai ir kritinis taškas b = 0, turintis antrosios eilės kritinio taško savybes srityje C q. 2.9 teorema (Theorem 2.25). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (21) (23 2 ) spektras turi vieną papildomą paprastą tikrinę reikšmę λ = 0, kurios neturi Šturmo ir Liuvilio uždavinio (1) (2) spektras, visiems γ ir ξ (0, 1). Pirmosios nelokaliosios sąlygos atveju turime dviejų tipų bifurkacijas β 1 ZP : (b l s 1,l s, p ks, z ls, b ls,ls+1) c s (z ls, p ks ) ir β 1 2B : b ls,ls 1,l s+1 (b ls,ls 1, b ls 1,ls+1). Pavyzdžiui, tokio tipo bifurkacijos egzistuoja, kai ξ = 1/2, 1/4, 3/4. Šių dviejų tipų bifurkacijos 16
21 β 1 2B ir β 1 ZP pakeičia taškų išsidėstymo seką (b l s 1,l s, z ls, p ks ) (p ks, z ls, b ls,l s+1). Antrosios nelokaliosios sąlygos atveju turime du bifurkacijų tipus β 0 ZP : (b l s 1,l s, z ls, p ks ) c s = b ls 1,l s+1 (p ks, z ls, b ls,l s+1) (kaip straipsnyje [166]). Trečiosios nelokaliosios sąlygos atveju turime du bifurkacijos tipus β ZP : (b ls 1,l s, p ks, z ls, b ls,l s+1) c s (z ls, p ks ) ir β 2B : b ls,l s 1,l s+1 (b ls,l s 1, b ls 1,l s+1). Šių dviejų tipų bifurkacijos β ZP ir β 2B pakeičia taškų išsidėstymo seką (b ls 1,l s, z ls, p ks ) (p ks, z ls, b ls,l s+1) Šturmo ir Liuvilio uždavinys su viena simetrine nelokaliąja sąlyga Nagrinėkime Šturmo ir Liuvilio uždavinį su viena klasikine taškine sąlyga u = λu, t (0, 1), (28) u(0) = 0 (29) ir antrąja nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga su parametrais γ R ir 0 < ξ < 1, ξ 1/2. u(ξ) = γu(1 ξ) (30) 2.10 lema (Lemma 2.28). Tikrinė reikšmė λ = 0 egzistuoja tada ir tik tada, kai γ = ξ 1 ξ. Ši lygtis turi netrivialųjį sprendinį, jeigu q yra lygties sin(ξπq) = γ sin ( (1 ξ)πq ) πq πq šaknis. Apibrėžkime funkcijas Z ξ (z) := sin(ξπz) πz ; P ξ (z) := Z 1 ξ (z) = sin ( (1 ξ)πz ) 17 πz (31). (32)
22 Funkcijų Z ξ (q) ir P ξ (q) = Z 1 ξ (q), q C q nulių taškų aibės yra Ẑ ξ := {z l = l/ξ, l N}, (33) Z ξ := {p k = k/(1 ξ), k N}. (34) 2.11 lema (Lemma 2.29). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (28) (30) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja tik racionaliosioms parametro ξ = m/n (0, 1), m, n N, ξ 1/2, reikšmėms, ir jos lygios λ s = (πc s ) 2, c s = ns, s N. Šturmo ir Liuvilio uždaviniui (28) (30) apibrėžiame kompleksinę charakteristinę funkciją γ c (q) = Z(q) Z 1 ξ (q) = sin(ξπq) sin ( (1 ξ)πq ), q C q. (35) 2.12 teorema (Theorem 2.33). Šturmo ir Liuvilio uždavinio (28) (30) spektras, kai 1/2 < ξ < 1, sutampa su Šturmo ir Liuvilio uždavinio (1) (2) spektru skyrius. Diskretieji Šturmo ir Liuvilio uždaviniai Šiame skyriuje tiriami diskretieji Šturmo ir Liuvilio uždaviniai, atitinkantys diferencialinius Šturmo ir Liuvilio uždavinius, nagrinėtus disertacijos pirmajame ir antrajame skyriuose. Pagrindiniai šio skyriaus rezultatai publikuoti straipsniuose [A5, K. Skučaitė-Bingelė and A. Štikonas 2011] ir [A2, K. Bingelė, A. Bankauskienė and A. Štikonas 2019]. Įveskime tolygų tinklą ir naudokime žymėjimus ω h = {t j = jh, j = 0, n; nh = 1}, kai 2 n N, ir N h := (0, n) N, N h := N h {0, n}. Padarykime prielaidą, kad parametro ξ reikšmė sutampa su tinklo tašku, t. y. ξ = mh = m/n, 0 m n. 18
23 Pažymėkime didžiausią bendrą daliklį K := gcd(n, m) ir N := n/k, M := m/k. Tada ξ = M/N. Diferencialinę lygtį u = λu aproksimuojame baigtinių skirtumų schema U j 1 2U j + U j+1 h 2 + λu j = 0, j = 1, n 1. (36) Apibrėžkime bijekciją λ = λ h (q) = 4 h 2 sin 2 (πqh/2) = 2 h 2 ( 1 cos(πzh) ) (37) tarp C λ := C ir C h q, kur C h q := R y {0} R h x {n} R h+ q C h+ y C h q, R h x := {q = x: 0 < x < n}, R y := {q = ıy : y > 0}, R h+ y := {q = n + ıy : y > 0}, C h+ q := {q = x + ıy : 0 < x < n, y > 0}, C h q := {q = x + ıy : 0 < x < n, y < 0}. Bendrasis lygties (37) sprendinys U j, j N h yra lygus: U j = C 1 sin(πqt j ) (1 hq)πq + C 2 cos(πqt j ). (38) Uždavinys su viena klasikine Dirichlė sąlyga ir antrąja nelokaliąja kraštine sąlyga Nagrinėsime diskretųjį Šturmo ir Liuvilio uždavinį: U j 1 2U j + U j+1 h 2 + λu j = 0, j = 1, n 1, (39) U 0 = 0, (40) su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis (0 < m < n) U n = γ 2h (U m+1 U m 1 ), (41 1 ) U n = γu m. (41 2 ) 19
24 Jeigu (38) įstatysime į kraštines sąlygas, gausime lygtį q C h q : sin(πq) πq Apibrėžkime funkcijas: sin(πq) πqh πq sin(πqh) = γ cos(ξπq), (42 1) 1 1 hq = γ sin(ξπq) 1 πq 1 hq. (42 2) Z h πzh (z) := Z(z) sin(πzh), sin(πz) Z(z) :=, (43 1 ) πz Z h 1 (z) := Z(z) πz(hz 1), Z(z) := sin(πz); (43 2) Pξ h (z) = P ξ(z) := cos(ξπz), (44 1 ) Pξ h (z) = P 1 ξ(z) πz(hz 1), P ξ(z) := sin(ξπz). (44 2 ) Funkcijos Z h (q), q C h q, nulių taškų aibė yra Ẑ := N h = {1,..., n 1}. (45) Funkcijos P h ξ (q), q Ch q visi nuliai yra paprasti: Z ξ := {p k = (k 1/2)/ξ, k = 1, m}, (46 1 ) Z ξ := {p k = k/ξ, k = 1, m 1}. (46 2 ) 3.1 lema (Lemma 3.5). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (39) (41 1 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja, kai ξ = M/N (0, 1), M N o, N N e, ir šios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = λ h (c s ), c s := (s 1/2)N, s = 1, K. 3.2 lema (Lemma 3.6). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (39) (41 2 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja, kai ξ = M/N (0, 1), M, N N, K > 1, ir šios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = λ h (c s ), c s := Ns, s = 1, K 1. 20
25 Apibrėžkimekompleksinę charakteristinę funkciją γ c : C h q C: γ c (q) := Z(q) P ξ (q) πqh sin(πqh) = sin(πq) πq cos(ξπq) πqh sin(πqh), (47 1) γ c (q) := Z(q) P ξ (q) = sin(πq) sin(ξπq). (47 2) 3.3 lema (Lemma 3.10). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (39) (41 2 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi n m-eilės poliaus tašką. 3.4 lema (Lemma 3.11). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (39) (41 1 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi n m 1-eilės poliaus tašką, kai m < n 1. Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (39) (41 1 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi pašalinamą singuliarųjį tašką, kai m = n 1 ir γ c ( ) = 2h. Šis taškas taip pat yra pirmosios eilės kritinis taškas Uždavinys su viena klasikine Neimano tipo sąlyga ir antrąja nelokaliąja kraštine sąlyga Nagrinėkime diskretųjį Šturmo ir Liuvilio uždavinį: U j 1 2U j + U j+1 h 2 + λu j = 0, j = 1, n 1, (48) U 0 = U 1 (49) su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis (0 < m < n) U n = γ 2h (U m+1 U m 1 ), (50 1 ) U n = γu m. (50 2 ) Ieškome netrivialaus sprendinio, kuris turi tokią išraišką U j = C cos ( πq(t j h/2) ). (51) cos(πqh/2) 21
26 Įstatę sprendinį (51) su C 0 į nelokaliąją kraštinę sąlygą, gausime lygtį q C h q : cos ( πq(1 h/2) ) cos(πqh/2) cos ( πq(1 h/2) ) cos(πqh/2) Apibrėžkime funkcijas: = γ sin ( πq(ξ h/2) ) sin(πqh/2), (52 1 ) h/2 = γ cos ( πq(ξ h/2) ). (52 2 ) cos(πqh/2) Z h (z) := cos ( πz(1 h/2) ) ; (53) cos(πzh/2) Pξ h (z) := sin ( πz(ξ h/2) ) sin(πzh/2), (54 1 ) h/2 Pξ h (z) := cos ( πz(ξ h/2) ). (54 2 ) cos(πzh/2) Funkcijos Z h (q), q C h q, nulių taškų aibė yra Ẑ := { z l = l 1/2 1 h/2 = 2l 1 2n 1 n, l = 1, n 1 }. (55) Funkcijos P h ξ (q), q Ch q, nulių taškų aibė yra Z ξ := Z ξ := { k p k = ξ h/2 = 2k } 2m 1 n, k = 0, m 1, (56 1 ) { p k = k 1/2 ξ h/2 = 2k 1 } 2m 1 n, k = 1, m 1. (56 2 ) 3.5 lema (Lemma 3.17). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (48) ( 50 1 ) pastoviosios tikrinės reikšmės neegzistuoja. Jeigu ξ = m/n Q ir gcd(2n 1, 2m 1) = K, naudosime žymėjimus N = ( (2n 1)/K + 1 ) /2, M = ( (2m 1)/K + 1) ), Taigi gcd(2n 1, 2M 1) = 1 ir K N o. 22
27 3.6 lema (Lemma 3.18). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (48) ( 50 2 ) pastoviosios tikrinės reikšmės egzistuoja, kai ξ = m/n (0, 1), K > 1, ir šios tikrinės reikšmės yra lygios λ s = λ h (c s ), c s := n/k (2s 1), s = 1, (K 1)/2. Apibrėžkime kompleksinę charakteristinę funkciją γ c (q) := cos ( πq(1 h/2) ) sin ( πq(ξ h/2) ) h sin(πqh), (57 1) γ c (q) := cos ( πq(1 h/2) ) cos ( πq(ξ h/2) ). (57 2) 3.7 lema (Lemma 3.20). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (48) (50 1 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi n m 1-eilės poliaus tašką, kai m < n 1. Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (48) (50 1 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi pašalinamą singuliarųjį tašką, kai m = n 1 ir γ c ( ) = 2h. Šis taškas yra pirmosios eilės kritinis taškas, kai n > lema (Lemma 3.20). Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio (48) (50 2 ) kompleksinė charakteristinė funkcija taške q = turi n m-eilės poliaus tašką. Mes turime vieną neigiamą kritinį tašką b R h q, kai m+1 < n. Jeigu m + 1 = n, neigiami kritiniai taškai neegzistuoja. Jeigu n = m + 1 > 2, turime pirmosios eilės kritinį tašką taške q =, be to, kai ξ = 1/2, taške q = pašalinamas singuliarusis taškas. 6 Rezultatų sklaida Disertacijos rezultatai pristatyti 7 tarptautinėse mokslinėse konferencijose: 23
28 MMA2018, Sigulda, Latvija, 2018 m. gegužės 29 d. birželio 1 d. Sturm Liouville problem with two-point nonlocal boundary condition MMA2017, Druskininkai, Lietuva, 2017 m. gegužės 30 d. birželio 2 d. Investigation of spectrum curves for Sturm Liouville problem with two-point nonlocal boundary condition MMA2014, Druskininkai, Lietuva, 2014 m. gegužės d. Investigation of critical points for Strum Liouville problem with two-point nonlocal boundary condition MMA2013, Tartu, Estija, 2013 m. gegužės d. Investigation of eigenvalues for stationary problem with two Bicadze Samarskii type nonlocal boundary conditions MMA2012, Talinas, Estija, 2012 m. birželio 6 9 d. Investigation of complex eigenvalues for stationary problems with two-point nonlocal boundary condition MMA2011, Sigulda, Latvija, 2011 m. gegužės d. Investigation of Complex Eigenvalues for Stationary Problem with Two-Point Nonlocal Boundary Conditions MMA2010, Druskininkai, Lietuva, 2010 m. gegužės d. Investigation of Complex Eigenvalues for Stationary Problem with Nonlocal Boundary Conditions Investigation Discrete Sturm Liouville problem with Nonlocal Boundary Condition ir kiti rezultatai pristatyti Lietuvos matematikų draugijos konferencijose (LMD) ir Matematikos ir matematinio modeliavimo (MMM) konferencijose: 24
29 LMD, Kaunas, Lietuva, 2018 m. birželio d. Investigation of Spectrum Curves for a Sturm Liouville Problem with Two-Point Nonlocal Boundary Conditions LMD, Vilnius, Lietuva, 2017 m. birželio d. Investigation of spectrum curves for Sturm Liouville problem with two-point nonlocal boundary condition LMD, Vilnius, Lietuva, 2014 m. birželio d. The dynamics of Sturm Liouville problem s with integral BCs bifurcation points LMD, Vilnius, Lietuva, 2013 m. birželio d. Inverstigation of the spectrum for Sturm Liouville problems with a nonlocal boundary condition LMD, Vilnius, Lietuva, 2011 m. birželio d. Investigation of complex eigenvalues for a stationary problem with two-point nonlocal boundary condition LMD, Šiauliai, Lietuva, 2010 m. birželio d. Investigation of complex eigenvalues for a stationary problem with two-point nonlocal boundary condition MMM2010, Kaunas, Lietuva, 2010 m. birželio 8 9 d. Investigation Sturm Liouville problems with two-point nonlocal boundary condition LMD, Vilnius, Lietuva, 2009 m. birželio d. Investigation of complex eigenvalues for stationary problems with nonlocal boundary condition MMM2009, Kaunas, Lietuva, 2009 m. balandžio 2 3 d. Investigation of complex eigenvalues for Sturm Liouville problems with nonlocal two-point boundary condition Stažuotės: Doktorantūros studijose buvo plečiamos matematinės žinios vasaros mokykloje JISD2014, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Ispanija, 2014 m. birželio 16 20,. 25
30 7 Publikacijų sąrašas Disertacijos rezultatai publikuoti 6 moksliniuose straipsniuose: [A1] Kristina Bingelė, Agnė Bankauskienė, Artūras Štikonas. Investigation of spectrum curves for the Sturm Liouville problem with two-point nonlocal boundary condition. Math. Model. Anal., 25(1):53 70, [A2] Kristina Bingelė, Agnė Bankauskienė, Artūras Štikonas. Spectrum Curves for a discrete Sturm Liouville problem with one integral boundary condition. Nonlinear Anal. Model. Control, 24(5): , [A3] Agnė Skučaitė, Kristina Skučaitė-Bingelė, Sigita Pečiulytė, Artūras Štikonas. Investigation of the spectrum for the Sturm Liouville problem with one integral boundary condition. Nonlinear Anal. Model. Control, 15(4): , [A4] Kristina Skučaitė-Bingelė, Artūras Štikonas. Inverstigation of the spectrum for Sturm-Liouville problems with a nonlocal boundary condition. Liet. Matem. Rink. Proc. LMR, Ser. A, 54:73 78, [A5] Kristina Skučaitė-Bingelė, Artūras Štikonas. Investigation of complex eigenvalues for a stationary problem with two-point nonlocal boundary condition. Liet. Matem. Rink. LMD darbai, 52: , [A6] Kristina Skučaitė-Bingelė, Sigita Pečiulytė, Artūras Štikonas. Investigation of Complex Eigenvalues for Stationary Problem with Two-Points Nonlocal Boundary Condition. Mathematics and Mathematical Modelling, 5:24 32,
31 8 Išvados Doktorantūros studijų Vilniaus universitete metu tirtas Šturmo ir Liuvilio uždavinys su viena klasikine ir antrąja nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga. Iš disertacijoje gautų rezultatų galime daryti tokias išvadas: Pirmajame disertacijos skyriuje ištirta Šturmo ir Liuvilio uždavinio su viena klasikine (Dirichlė tipo taškine sąlyga) ir antrąja nelokaliąja dvitaške kraštine sąlyga spektro priklausomybė nuo dviejų parametrų γ and ξ. Priklausomybė nuo parametro γ R aprašoma charakteristine funkcija srityje C q. Nustatėme ypatingus šios meromorfinės funkcijos taškus: nulius, polius, kritinius taškus ir pastoviųjų tikrinių reikšmių taškus. Radome charakteristinės funkcijos pirmosios ir antrosios išvestinės reikšmes pastoviųjų tikrinių reikšmių taškuose ir šakojimosi taške q = 0. Gavome naujų Šturmo ir Liuvilio uždavinio kompleksinės spektro dalies rezultatų. Fiksuotam parametrui ξ nelokaliosiose kraštinėse sąlygose spektriniai taškai aprašo spektrines kreives. Kiekviena spektrinė kreivė yra spektrinio taško trajektorija srityje C q. Spektrinės kreivės gali būti reguliariosios (γ R), pusiau reguliariosios γ (0, + ) ir nereguliariosios (pastoviųjų tikrinių reikšmių taškai). Bendras spektrinių kreivių vaizdas (spektrinė sritis) priklauso nuo parametro ξ. Bifurkacijos taškuose spektrinių kreivių vaizde įvyksta kokybinis pokytis. Nustatėme nagrinėto Šturmo ir Liuvilio uždavinio bifurkacijų tipus. Antrajame skyriuje ištirti Šturmo ir Liuvilio uždaviniai su kitomis nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis: tyrėme du 27
32 Šturmo ir Liuvilio uždavinius su viena klasikine Dirichlė tipo taškine sąlyga ir dvitaške nelokaliąja kraštine sąlyga, keturis Šturmo ir Liuvilio uždavinius su viena klasikine Neimano tipo kraštine sąlyga ir dvitaške kraštine sąlyga ir Šturmo ir Liuvilio uždavinį su simetrine nelokaliąja sąlyga. Visais atvejais gavome panašius rezultatus, kaip ir nagrinėdami Šturmo ir Liuvilio uždavinį pirmajame disertacijos skyriuje. Trečiajame skyriuje ištirtas diskrečiųjų Šturmo ir Liuvilio uždavinių spektras: tyrėme du diskrečiuosius Šturmo ir Liuvilio uždavinius su viena klasikine Dirichlė tipo taškine sąlyga ir antrąja nelokaliąja dvitaške arba tritaške nelokaliąja kraštine sąlyga, du diskrečiuosius Šturmo ir Liuvilio uždavinius su viena klasikine Neimano tipo kraštine ir dvitaške arba tritaške taškine nelokaliąja kraštine sąlyga. Diskretusis Šturmo ir Liuvilio uždavinys priklauso nuo papildomo parametro h. Diskrečiojo Šturmo ir Liuvilio uždavinio charakteristinė funkcija apibrėžta srityje C h q ir ryšys tarp tikrinių reikšmių ir taško q C h q yra sudėtingesnis. Diskrečiuoju atveju galime tirti spektrines kreives prie taško q =. Nustatyta, kad šis taškas yra arba poliaus taškas, arba pašalinamas singuliarusis taškas. Diskrečiajam Šturmo ir Liuvilio uždaviniui turime du šakojimosi taškus q = 0 ir q = n. Šiame skyriuje aprašėme naujus rezultatus, gautus tiriant neigiamas ir dideles teigiamas (λ > 4/h 2 ) tikrines reikšmes. 28
33 9 Summary In the thesis the spectrum of Sturm Liouville Problem (SLP) with one classical condition (Dirichlet or Neumann type BC) on the left side of the interval and another different type nonlocal two point boundary conditions (NBCs) or symmetrical type NC on the right side of the interval is investigated. We obtain general properties of the Characteristic Function and Spectrum Curves for such a problem. In the disertation we consider the following problems: u = λu, t (0, 1), u(0) = 0 or u (0) = 0, u(1) = γu (ξ) or u(1) = γu (ξ) or u (1) = γu (ξ) or u (1) = γu (ξ), where γ R and ξ [0, 1]; and discrete problems: or u(ξ) = γu(1 ξ), U j 1 2U j + U j+1 h 2 + λu j = 0, j = 1, n 1, U 0 = 0 or U 1 = U 0, U n = γ 2h (U m+1 U m 1 ) or U n = γu m, where h = 1/n, 2 < n N, 0 < m < n. Characteristic Function is used for investigation of the Spectrum Curves for such type of problems. The properties of the Spectrum Curves for such type problems depend on Constant Eigenvalue Points and zeroes, poles, Critical Points of CF. Investigations of real and complex parts of the spectrum are provided with the results of numerical experiments. For fixed parameter ξ in NBC Spectrum points define the Spectrum Curves. Each Spectrum Curve is the trajectory of a Spectrum Point in domain C q. We have regular Spectrum Curves 29
34 (γ R), semi-regular Spectrum Curves (γ (0, + )) and nonregular Spectrum Curves (Constant Eigenvalues Points). The global view of Spectrum Curves (Spectrum Domain) depends on parameter ξ. At bifurcation points this view undergoes qualitative changes. We find bifurcation types for these SLP. Characteristic Function for discrete SLP is defined on domain C h q and a relation between eigenvalues and q C h q is more complicated. For discrete case we can investigate Spectrum Curves near point q =. This point is either Pole Point or Removable Singularity Point. For dslp we have two Ramification Points q = 0 and q = n. We get new results about negative and large positive (λ > 4/h 2 ) eigenvalues. 30
35 10 Trumpos žinios apie autorę Gimimo data ir vieta: Išsilavimas: 1986 m. balandžio 19 d., Prienai Šeštokų vidurinė mokykla; 2009 Vytauto Didžiojo universiteto taikomosios matematikos bakalauras; Vilniaus Edukologijos universitetas, Profesinių kompetencijų tobulinimo institutas, laipsnio nesuteikiančios mokyklinės pedagogikos studijos; 2011 Vytauto Didžiojo universiteto taikomosios matematikos magistras. Mokslinio darbo patirtis: 2014, 2017 Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutas, Skaičiavimo metodų skyrius, jaunesnioji mokslo darbuotoja; Vilniaus universitetas, Taikomosios matematikos institutas; jaunesnioji mokslo darbuotoja, jaunesnioji asistentė. Pedagoginio darbo patirtis: 2009 Kauno r. Kulautuvos vidurinė mokykla, matematikos ir informacinių technologijų mokytoja; 2009 Kauno Žaliakalnio pagrindinė mokykla, matematikos mokytoja; Vilniaus Gedimino technikos universitetas, asistentė. Kita darbo patirtis: 31
36 2013 iki dabar Vtex, elektroninių duomenų redaktorė, Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos institutas, skaičiavimo metodų skyrius, reikalų tvarkytoja. 32
37 Literatūra [1] S. Pečiulytė and A. Štikonas. Šturmo Liuvilio uždavinys diferencialiniam operatoriui su viena dvitaške nelokialiąja antrojo tipo kraštine sąlyga. Liet. Mat. Rink., 45(Special Issue): , [2] S. Pečiulytė and A. Štikonas. Sturm Liouville problem for stationary differential operator with nonlocal two-point boundary conditions. Nonlinear Anal. Model. Control, 11(1):47 78, [3] S. Pečiulytė and A. Štikonas. Distribution of the critical and other points in boundary problems with nonlocal boundary condition. Liet. Mat. Rink., 47(Special Issue): , [4] S. Pečiulytė and A. Štikonas. On positive eifgenfunctions of Sturm Liouville problem with nonlocal two-point boundary condition. Math. Model. Anal., 12(2): , [5] S. Pečiulytė, O. Štikonienė and A. Štikonas. Investigation of negative critical point of the characteristic function for problems with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal. Model. Control, 13(4): , [6] A. Skučaitė and A. Štikonas. Spectrum curves for Sturm Liouville Problem with Integral Boundary Condition. Math. Model. Anal., 20(6): , [7] A. Štikonas. The Sturm Liouville problem with a nonlocal boundary condition. Lith.Math.J.,47(3): , [8] A. Štikonas. A survey on stationary problems, Green s functions and spectrum of Sturm Liouville problem with nonlocal boundary conditions. Nonlinear Anal. Model. Control, 19(3): , [9] A. Štikonas and O. Štikonienė. Characteristic functions for Sturm Liouville problems with nonlocal boundary conditions. Math. Model. Anal., 14(2): ,
38 PASTABOS 34
39
40 Vilniaus universiteto leidykla Saulėtekio al. 9, LT Vilnius El. p. Tiražas 35 egz.
LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d
LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant
Detaliau* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak
1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra
DetaliauAtranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų
Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują
DetaliauPS_riba_tolydumas.dvi
Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos
DetaliauDiferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas.
Turinys Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 2017-05-29 Egzamino klausimai: 1) Diferencialinės
Detaliau9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l
9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios
DetaliauL I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V
L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos
DetaliauMicrosoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]
Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų
DetaliauMatricosDetermTiesLS.dvi
MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas
DetaliauIsvestiniu_taikymai.dvi
IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės
DetaliauAlgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul
lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais
DetaliauTAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.
00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite
Detaliau10 Pratybos Oleg Lukašonok 1
10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai
DetaliauQR algoritmas paskaita
Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai
DetaliauLietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)
Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.
DetaliauGRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta
GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą
DetaliauTeorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t
Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis
Detaliau4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun
skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej
DetaliauPowerPoint Presentation
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to
DetaliauTIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil
TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų
DetaliauVI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali
VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu
DetaliauMicrosoft PowerPoint Ekstremumai_naujas
Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.
Detaliaulec10.dvi
paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v
DetaliauPrinting AtvirkstineMatrica.wxmx
AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],
Detaliau(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)
-as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.
DetaliauTAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee
001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;
DetaliauDISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},
DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai
DetaliauGENEROLO JONO ŽEMAIČIO LIETUVOS KARO AKADEMIJA LIETUVOS MATEMATIKŲ DRAUGIJA LIETUVOS MATEMATIKŲ DRAUGIJOS LX KONFERENCIJOS PROGRAMA 2019 m. birželio 1
GENEROLO JONO ŽEMAIČIO LIETUVOS KARO AKADEMIJA LIETUVOS MATEMATIKŲ DRAUGIJA LIETUVOS MATEMATIKŲ DRAUGIJOS LX KONFERENCIJOS PROGRAMA 2019 m. birželio 19-20 d. Vilnius KONFERENCIJOS PROGRAMINIS KOMITETAS
DetaliauLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS
STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: IFEB B029 Pavadinimas lietuvių kalba: Atsinaujinančiosios energetikos sistemos. Pavadinimas anglų kalba: Renewable energy systems. Dalyko apimtis: 6 kreditai, 160 valandos,
DetaliauIII. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa
III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota
DetaliauMicrosoft Word - 8 Laboratorinis darbas.doc
Laboratorinis darbas Nr. 8 MOP (metalo sido puslaidininkio) struktūrų tyrimas aukštadažniu -V charakteristikų metodu Darbo tikslas: 1. Nustatyti puslaidininkio laidumo tipą. 2. Nustatyti legiravimo priemaišų
DetaliauDoc. dr. Irena SMETONIENĖ KALBŲ MOKYMAS UGDYMO SISTEMOJE: NUO IKIMOKYKLINIO UGDYMO IKI UNIVERSITETINIO LAVINIMO (Pranešimo, skaityto 6-ojoje Lietuvos
Doc. dr. Irena SMETONIENĖ KALBŲ MOKYMAS UGDYMO SISTEMOJE: NUO IKIMOKYKLINIO UGDYMO IKI UNIVERSITETINIO LAVINIMO (Pranešimo, skaityto 6-ojoje Lietuvos kalbų pedagogų asociacijos konferencijoje Kalbos, kultūra
DetaliauXI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo
XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL STUDIJŲ PAKOPŲ APRAŠO PATVIRTINIMO 2011 m. lapkričio 21 d. Nr. V-2212 Vilnius Sie
LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL STUDIJŲ PAKOPŲ APRAŠO PATVIRTINIMO 2011 m. lapkričio 21 d. Nr. V-2212 Vilnius Siekdamas užtikrinti aukštųjų mokyklų skirtingų pakopų
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTRO
LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL STUDIJŲ PAKOPŲ APRAŠO PATVIRTINIMO 2011 m. lapkričio 21 d. Nr. V-2212 Vilnius Siekdamas užtikrinti aukštųjų mokyklų skirtingų pakopų
DetaliauProgramų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF
Programų sistemų inžinerija 2014-02-12 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt SWEBOK evoliucija Nuo SWEBOK Guide to the Software Engineering Body of Knowledge, 2004 Version. IEEE, 2004. prie
DetaliauNeiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį
Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį. Albertas Gimbutas 2018 m. birželio 19 d. Vadovas: Prof. habil. dr. Antanas
DetaliauDISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf
DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių
DetaliauAlgoritmø analizës specialieji skyriai
VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo
DetaliauSlide 1
Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje
Detaliau455028e c5-8ece-1a583714e0ff
LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO, MOKSLO IR SPORTO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL DOKTORANTŪROS TEISĖS SUTEIKIMO 2019 m. vasario 22 Nr. V-160 Vilnius Vadovaudamasis Lietuvos Respublikos mokslo ir studijų įstatymo
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto, Lietuvos agrarinių ir miškų mokslų centro Agronomijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. vasario 28 d. posėdžio Nr. 137 ATVIRO KONKURSO Į AGRONOMIJOS
DetaliauPowerPoint Presentation
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.
DetaliauPriedai
Priedai Priedas Nr. 3 Įvesti duomenys Na- smūgių dažnumas į 1km' Na= 2 v 4 4 C2= 1 - objekto konstrukcija L- objekto ilgis L= 24 C3= 1 - objekto vertė W- objekto plotis W= 12 C4= 1 - žmonių kiekis objekte
DetaliauProjektas
1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS
DetaliauMATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at
MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu
DetaliauMokinių pasiekimai Vilniaus mieste. Tarptautinių ir nacionalinių tyrimų duomenys
NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS Mokinių pasiekimai Vilniaus mieste. Tarptautinių tyrimų duomenys Dr. Rita Dukynaitė Vilnius, 2015-10-07 Esminiai akcentai iš tarptautinių tyrimų Lygmuo Lytis Socialinis, ekonominis,
DetaliauPriedas
Vilniaus Gedimino technikos universitetas skelbia konkursą išvardintose katedrose ir mokslo padaliniuose užimti šias pareigas: I. GAMTOS IR TECHNOLOGIJOS MOKSLŲ SRITYSE APLINKOS INŽINERIJOS FAKULTETE 1.
DetaliauLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS
ALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS Agronomijos fakultetas Žemdirbystės katedra STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: AFŽEB07E Pavadinimas lietuvių kalba: Mokslinių tyrimų metodika Pavadinimas anglų kalba:
DetaliauPrinting triistr.wxmx
triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš
DetaliauG E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos
DetaliauElektronu igreitejimo stipriame elektriniame lauke itaka fotolaidžios terahercu antenos savybems
Elektronu igreitejimo stipriame elektriniame lauke itaka fotolaidºios terahercu antenos savybems Gediminas lekas 2019 05 07 VGTU Matematinio Modeliavimo Katedros seminaras 1 / 42 Padeka Podoktorant uros
DetaliauALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS
Programos kodas Dėstomoji kalba Studijų sritis ir kryptis (šaka) Studijų pakopa Suteikiamas kvalifikacinis laipsnis MIŠKŲ IR EKOLOGIJOS FAKULTETAS Antrosios pakopos studijų programa LAUKINIŲ GYVŪNŲ IŠTEKLIAI
DetaliauProjektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr
Studijų programos aprašas Studijų programos pavadinimas Informatika Aukštojo mokslo institucija (-os), padalinys (-iai) Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos fakultetas, Informatikos katedra
DetaliauRegioniniu s vietimo valdymo informaciniu sistemu ple tra ir s vietimo politikos analize s specialistu kompetencijos tobulinimas (II etapas) Bendradar
Regioniniu s vietimo valdymo informaciniu sistemu ple tra ir s vietimo politikos analize s specialistu kompetencijos tobulinimas (II etapas) Bendradarbiaujant su: Pristatymas: Nepakankamas te vu mokyklos
DetaliauMicrosoft PowerPoint - ikaitinti_kunai02.ppt
Šviesos šaltiniai Nekoherentiniai šviesos šaltiniai. Šviesos šaltinių rūšys. Absoliučiai juodo kūno spinduliavimas. Kaitinimo lempos. Dujų išlydžio lempos. Šviestukų veikimo fizikiniai principai ir technologijos.
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIUS PAŽYMA DĖL STRAIPSNIO-INTE
LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIUS PAŽYMA DĖL STRAIPSNIO-INTERVIU KULTŪRINIS ELITAS YRA UZURPAVĘS KULTŪRĄ IR ATSIRIBOJĘS
DetaliauDB sukūrimas ir užpildymas duomenimis
DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio
DetaliauVERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA
PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO
DetaliauVadybos(administravimo) koncepcijų realizavimas praktikoje
ISSN 1648 2603 (print) ISSN 2029-2872 (online) VIEŠOJI POLITIKA IR ADMINISTRAVIMAS PUBLIC POLICY AND ADMINISTRATION 2013, T. 12, Nr. 1 / 2013, Vol. 12, No 1, p. 148 153 Viešojo administravimo studijų krypties
DetaliauMicrosoft PowerPoint - Pilietiskumas_klasteris [Compatibility Mode]
Mokslo ir tyrimų klasteris Pilietiškumas ir tapatumas šiuolaikinėje visuomenėje Pilietiškumo kaita, tapatumo iššūkiai: dalyvavimo ir įgalinimo strategijų ieškant Vadovas: prof. dr. Artūras Tereškinas,
DetaliauLIETUVOS MUZIKOS IR TEATRO AKADEMIJOS SENATAS NUTARIMAS DĖL LIETUVOS MUZIKOS IR TEATRO AKADEMIJOS STUDIJŲ PROGRAMŲ REGLAMENTO NAUJOS REDAKCIJOS PATVIR
LIETUVOS MUZIKOS IR TEATRO AKADEMIJOS SENATAS NUTARIMAS DĖL LIETUVOS MUZIKOS IR TEATRO AKADEMIJOS STUDIJŲ PROGRAMŲ REGLAMENTO NAUJOS REDAKCIJOS PATVIRTINIMO 219 m. balandžio 24 d. Nr. 9-SN Vilnius Vadovaudamasis
DetaliauProjektas PATVIRTINTA Alytaus Sakalėlio pradinės mokyklos direktoriaus įsakymu Nr. V- ALYTAUS SAKALĖLIO PRADINĖS MOKYKLOS ELEKTRONINIO DIENYNO T
PATVIRTINTA Alytaus Sakalėlio pradinės mokyklos direktoriaus 2019- įsakymu Nr. V- ALYTAUS SAKALĖLIO PRADINĖS MOKYKLOS ELEKTRONINIO DIENYNO TVARKYMO NUOSTATAI I SKYRIUS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Alytaus Sakalėlio
DetaliauAB Linas Agro Group 2018 m. spalio 31 d. eilinio visuotinio akcininkų susirinkimo BENDRASIS BALSAVIMO BIULETENIS GENERAL VOTING BALLOT at Annual Gener
AKCININKAS THE SHAREHOLDER FIZINIS ASMUO / NATURAL PERSON Vardas, pavardė Name, surname Asmens kodas Personal code JURIDINIS ASMUO / LEGAL PERSON Juridinio asmens pavadinimas Name of legal person Juridinio
DetaliauSlide 1
Dalelių filtro metodo ir vizualios odometrijos taikymas BPO lokalizacijai 2014 2018 m. studijos Doktorantas: Rokas Jurevičius Vadovas: Virginijus Marcinkevičius Disertacijos tikslas ir objektas Disertacijos
DetaliauMicrosoft Word - Attachment_5.Magistro_darbu_reikalavimai.doc
Vertimo studijų katedros MAGISTRO DARBŲ reikalavimai Magistro darbas yra kvalifikacinis darbas, savarankiška studija, kurioje atskleidžiami studento (-ės) mokslo tiriamojo darbo įgūdžiai. Darbe pateikiami
DetaliauIndividualus projektas Programa TE-PM, TE-PS, TE-SL, TEstream 4, TEstream 6, TEstream 8, TEstreamOBD 4, TEstreamOBD 6, TEstreamOBD 8 sistemų naudotoja
Individualus projektas Programa TE-PM, TE-PS, TE-SL, TEstream 4, TEstream 6, TEstream 8, TEstreamOBD 4, TEstreamOBD 6, TEstreamOBD 8 sistemų naudotojams Alternatyvus valdymo pultas telefone ViPGaS programos
Detaliaudoktoranturos studiju vadovas-galutinis.p65
Doctores philosophiae: ad salutem ac prosperitatem Lituaniae Nacionalinio tapatumo išsaugojimas globalizacijos sąlygomis: socialinių humanitarinių mokslų doktorantūros studijų programų atnaujinimas ir
DetaliauProjektas
1 priedas PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto su Mykolo Romerio universitetu, Aleksandro Stulginskio universitetu, Klaipėdos universitetu, Šiaulių universitetu Vadybos mokslo krypties doktorantūros
DetaliauMicrosoft Word - SDH2.doc
PATVIRTINTA AB Lietuvos geleţinkeliai Geleţinkelių infrastruktūros direkcijos direktoriaus 2009-11-30 įsakymu Nr. Į (DI-161) SDH SĄSAJOS TECHNINIS APRAŠAS TURINYS I. BENDROJI DALIS... 4 II. TAIKYMO SRITIS...
DetaliauVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro
DetaliauLMR200.dvi
Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos
DetaliauMicrosoft Word - Liuminescencija_teorija
2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos
DetaliauAlgoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų
DetaliauPowerPoint Presentation
Duomenų archyvai ir mokslo duomenų valdymo planai 2018-06-13 1 Re3Data duomenų talpyklų registras virš 2000 mokslinių tyrimų duomenų talpyklų; talpyklos paiešką galima atlikti pagal mokslo kryptį, šalį,
DetaliauGYVENIMO APRAŠYMAS BENDROJI INFORMACIJA Vardas: Pavardė: Marija Kučinskienė Mokslo vardas ir laipsnis: Profesorė, socialinių mokslų daktarė Pareigos:
GYVENIMO APRAŠYMAS BENDROJI INFORMACIJA Vardas: Pavardė: Marija Kučinskienė Mokslo vardas ir laipsnis: Profesorė, socialinių mokslų daktarė Pareigos: Profesorė Telefono numeris: + 370 5 2366 137 El. pašto
DetaliauVILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Mantas JUKNYS TEMPIAMŲJŲ GELŽBETONINIŲ ELEMENTŲ DISKREČIŲ PLYŠIŲ MODELIO FIZIKINIŲ PARAMETRŲ EKSPERIMENTINIA
VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Mantas JUKNYS TEMPIAMŲJŲ GELŽBETONINIŲ ELEMENTŲ DISKREČIŲ PLYŠIŲ MODELIO FIZIKINIŲ PARAMETRŲ EKSPERIMENTINIAI IR SKAITINIAI TYRIMAI DAKTARO DISERTACIJA TECHNOLOGIJOS
DetaliauBENDROJI INFORMACIJA
GYVENIMO APRAŠYMAS BENDROJI INFORMACIJA Vardas: Pavardė: Mokslinis vardas ir laipsnis: Pareigos: Mindaugas Krutinis Docentas, technologijos mokslų daktaras Docentas Telefono numeris: +370 656 32656 El.
DetaliauPowerPoint Presentation
PARAIŠKOS DĖL PROJEKTO FINANSAVIMO PILDYMAS IR TEIKIMAS Indrė Dagilienė 2018 m. spalio 25-26 d. Vilnius-Kaunas Paraiškos pildymas Paraiška pildoma vadovaujantis projektų finansavimo sąlygų Aprašo Nr. 4
DetaliauDuomenų vizualizavimas
Duomenų vizualizavimas Daugiamačių duomenų vizualizavimas: projekcijos metodai Aušra Mackutė-Varoneckienė Tomas Krilavičius 1 Projekcijos metodai Analizuojant daugiamačius objektus, kuriuos apibūdina n
DetaliauVienlusčių įtaisų projektavimas
Vienlusčių įtaisų projektavimas 5 paskaita Baigtiniai būsenų automatai Baigtinis būsenų automatas: angl. Finite State Machine (FSM) FSM yra nuosekliai būsenas keičiantis automatas su "atsitiktine" kitos
DetaliauMatematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir
Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tiriant judėjimą, išreiškiamą priklausomybėmis tarp kintamųjų
DetaliauPowerPoint Presentation
2007-2013 metų ES struktūrinės paramos poveikio Lietuvos miestams ir miesteliams vertinimo rezultatų pristatymas Neringa Viršilienė, ESTEP vertinimo grupės vadovė, vertinimo ekspertė Mindaugas Sereičikas,
DetaliauBALSO SKAMBUČIŲ UŽBAIGIMO JUDRIOJO RYŠIO TINKLE SĄNAUDŲ APSKAIČIAVIMO PAAIŠKINIMAS IR SKAMBUČIŲ INICIJAVIMO SĄNAUDŲ SKAIČIAVIMO PRINCIPŲ PAAIŠKINIMAS
BALSO SKAMBUČIŲ UŽBAIGIMO JUDRIOJO RYŠIO TINKLE SĄNAUDŲ APSKAIČIAVIMO PAAIŠKINIMAS IR SKAMBUČIŲ INICIJAVIMO SĄNAUDŲ SKAIČIAVIMO PRINCIPŲ PAAIŠKINIMAS I. ĮŽANGA Lietuvos Respublikos ryšių reguliavimo tarnybos
DetaliauSuvestinė redakcija nuo Įsakymas paskelbtas: TAR , i. k LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUV
Suvestinė redakcija nuo 2016-07-02 Įsakymas paskelbtas: TAR 2015-12-31, i. k. 2015-21227 LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS TERITORIJOS M 1:5 000 KONTROLINIŲ ŽEMĖS
DetaliauLT Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 79/11 DIREKTYVOS KOMISIJOS DIREKTYVA 2007/16/EB 2007 m. kovo 19 d. įgyvendinanti Tarybos direktyv
2007 3 20 Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 79/11 DIREKTYVOS KOMISIJOS DIREKTYVA 2007/16/EB 2007 m. kovo 19 d. įgyvendinanti Tarybos direktyvą 85/611/EEB dėl įstatymų ir kitų teisės aktų, susijusių
Detaliau1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ
Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas. Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v (x) = + x ) e x, x (, ). () Čia yra filtro parametras. Kad
DetaliauVadovu sarasas__ir moksliniai interesai_internetui. doc
2010-2011 m. m. bakalauro ir magistro baigiamųjų darbų vadovai ir jų mokslinių interesų sritys Edukologijos katedra Kūno kultūra priešmokyklinis Meninis vaiko doc. dr. Aušrin Gumuliauskien 1 - - - - 2
DetaliauRegister your product and get support at Indoor wireless headphones SHC8535 SHC8575 LT Vartotojo vadovas
Register your product and get support at www.philips.com/welcome Indoor wireless headphones SHC8535 SHC8575 LT Vartotojo vadovas SHC8535 SHC8535 A a b B a c d b e f c C D E F a G b H I 1 Kas yra rinkinyje
DetaliauMicrosoft Word - 3_GM.doc
GAMTOS MOKSLŲ FAKULTETAS Fakulteto adresas: P. Višinskio g. 19, LT-77156 Šiauliai, tel. 595720, el. paštas all@fm.su.lt. Dekanas doc. dr. Alfredas Lankauskas. Administratorė Roma Manionienė. Fizikos katedra
DetaliauEkonomikos inžinerijos studijų programos (valstybinis kodas: 612L10009) specializacijų aprašai Specializacija E-verslo ekonomika Specializaciją kuruoj
Ekonomikos inžinerijos studijų programos (valstybinis kodas: 612L10009) specializacijų aprašai Specializacija E-verslo ekonomika Specializaciją kuruoja Verslo technologijų katedra, Tel.: 8 (5) 2744882,
DetaliauSocialiniai tinklai ir bendrinimas Dalyviai turės progą pagalvoti apie privatumą, kai internete bendrina informaciją ir bendrauja su kitais, o ypač, k
Socialiniai tinklai ir bendrinimas Dalyviai turės progą pagalvoti apie privatumą, kai internete bendrina informaciją ir bendrauja su kitais, o ypač, kai naudojasi socialiniais tinklais. Dalyviai gebės
Detaliau