10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "10 Pratybos Oleg Lukašonok 1"

Transkriptas

1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

2 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai mažėjanti seka, kai k. ii) Jeigu C k - monotoniškai mažėjanti seka, tai ir i) P (lim inf n P ( k=1c k ) = lim k P (C k ) A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim k P ( n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai didėjanti seka, kai k. ii) Jeigu C k - monotoniškai didėjanti seka, tai P ( k=1c k ) = lim k P (C k )

3 Tikimybių pratybos 3 Borelio - Kantelio Lema Lema 2. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė. Tarkime A n A, n N. Jeigu eilutė o jeigu n=1 n=1 P (A n ) konverguoja, tai P (lim sup A n ) = 0, n P (A n ) diverguoja, tai P (lim sup A n ) = 1, n

4 4 Tikimybių pratybos 1. Kolmogorovo teorema Teorema 3. Jeigu {X n } yra nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka, tai kiekvieno jos asimptotinio įvykio tikimybė yra lygi 0 arba 1.

5 Tikimybių pratybos 5 Kas yra asimptotinis įvykis?

6 6 Tikimybių pratybos 2. Kovergavimas su tikimybe 1 Apibrėžimas 4. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka X n ir atsitiktinis dydis X. Jeigu X n (ω) X (ω), kai n, ω Ω \ D, ir P (D) = 0, čia D yra aibė tokių ω Ω, kuriuose atsitiktinių dydžių seka nekonverguoja į atsitiktinį dydį X, tai sakoma kad seka {X n }, kai n, konverguoja beveik visur mato P atžvilgiu arba konverguoja su tikimybe 1. P.S. X yra apibrėžta vienareikšmiškai, tik ten kur egzistuoja konvergavimas su tikimybe 1.

7 Tikimybių pratybos 7 3. Konvergavimas pagal tikimybe arba stochastinis konvergavimas Apibrėžimas 5. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka X n ir atsitiktinis dydis X. Sakoma, kad atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja pagal tikimybe kiek norima artima vienetui arba konverguoja stochastiškai į atsitiktinį dydį X, jeigu ε > 0, P (ω : X n (ω) X (ω) ε) = 0, kai n.

8 8 Tikimybių pratybos 4. Sąryšis tarp dviejų apibrėžimų Konvergavimas su tikimybe 1 stochastiškas konvergavimas. Teorema 6. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka {X n } ir atsitiktinis dydis {X }. Tuomet atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja su tikimybe 1 į atsitiktinį dydį X tada ir tik tada, kai ε > 0, P({ω : sup X n (ω) X (ω) ε}) 0 m n n Teorema 7. Jei atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja į atsitiktinį dydį X su tikimybe 1, tai ji taip pat stochastiškai konverguoja į tą patį dydį X. Įrodymas. Yra teisinga priklausomybė {ω : X n (ω) X (ω) ε} {ω : sup X m (ω) X (ω) ε} m n Todėl pagal tikimybinio mato savybę P({ω : X n (ω) X (ω) ε}) P({ω : sup X m (ω) X (ω) ε}) m n Tuomet, kai n ir remiantis 6 teorema, gauname įrodymą.

9 Tikimybių pratybos 9 Iš stochastinio konvergavimo neišplaukia konvergavimas su tikimybe 1. Pavyzdys Tarkime, kad Ω = [0, 1], A intervalo visų Borelio poaibių sistema, P - Lebego matas. Pažymėkime [ k 1 A nk = n, k ] (k = 1, n, n = 1, 2,...) n Tada atsitiktinių dydžių seka X nk = I Ank (ω). X 11, X 21, X 22, X 31, X 32, X 33,... konverguoja pagal tikimybę į 0, bet nekonverguoja nė viename intervalo [0, 1] taške.

10 10 Tikimybių pratybos 5. Koši konvergavimo sąlygos adaptavimas Žinome, bet kurios sekos {x n } Koši konvergavimo sąlygą: x n n x, ε > 0, N N : d(x n, x m ) < ε, kai n, m > N Konvergavimo su tikimybe 1 atvejis. Teorema 8. Atsitiktinių dydžiu seka {X n } konverguoja su tikimybe 1 tada ir tik tada, kai ε > 0, P( n=1{ω : sup X m (ω) X n (ω) ε}) = 0 m n Išvada 9. Jeigu X n yra atsitikinių dydžių seka ir kiekvienam ε > 0 P({ω : sup X m (ω) X n (ω) ε}) 0, kai n, m n tai seka {X n } konverguoja su tikimybe Stochastinio konvergavimo atvejis. Teorema 10. Atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja pagal tikimybę tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 P({ω : X m (ω) X n (ω) ε}) n,m 0

11 Tikimybių pratybos Didžiųjų skaičių dėsnis komentaras. Tegul duota tikimybinė erdvė {Ω, A, P} ir nagrinėjamas įvykis A A. Kyla šie klausimai? Ką galime pasakyti apie įvykio A įvykimą? Ar įvyks A realizuojant eksperimentą? Jeigu P(A) = ε, kur ε 0 yra kiek norima artimas nuliui, ar įvyks A? Jeigu P(A) = ε, kur ε 1 yra kiek norima artimas vienetui, ar įvyks A?

12 12 Tikimybių pratybos komentaras. Kiekvienos tikimybinės erdvės atveju reikia atsižvelgti į kitus parametrus kurie nulemia ar tam tiką mažą tikimybę galime atmesi ar nebegalime. Pavyzdys Tarkime matuojamas atstumas nuo miesto A iki B. Matavimo prietaiso paklaida yra ±0, 001 vienam kilometrui su tikimybe 0,1. Kada šią paklaidą galime atmesti, o kada ne?

13 Tikimybių pratybos Pirmoji formuluotė. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje duota atsitiktinių dydžių seka {ξ n }. Pažymėkime atsitiktinius dydžius čia f n yra simterinė funkcija. ζ n = f n (ξ 1,..., ξ n ), Apibrėžimas 11. Jeigu egzistuoja tokia realių skaičių seka {a n }, kad ε > 0, lim n P({ ζ n a n < ε}) = 1, tai sakome, kad seka {a n } tenkina dydžiųjų skaičių dėsnį su apibrėžtais atsitiktiniai dydžiais {ζ n }.

14 14 Tikimybių pratybos Ką tai reiškia? Kokios kyla interpretacijos?

15 Tikimybių pratybos 15 Kokio tipo konvergavimas yra panaudotas?

16 16 Tikimybių pratybos 6.4. Interpretacijos pavyzdys. Dujos - tai labai didelis kiekis mažyčių dalelių, kurios nuolatos chaotiškai juda. Apie vienos atskirai paimtos dalelės judėjimą nieko pasakyti negalime. Yra beveik neimanoma nuspėti dalelės greičio ir pozicijos praėjus tam tikram laikui. Tuo tarpu, esant tam tikroms sąlygoms, galime surasti dujų dalies judėjimo greitį, jūdėjimo kryptį ir poziciją, kuri bus užimta praėjus laikui t.

17 Tikimybių pratybos Antroji formuluotė. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka {X n }. Pažymėkime n S n = X i. i=1 Apibrėžimas 12. Jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir tokia teigiamų skaičių seka {b n }, kad S n a n b n (1) konverguoja pagal tikimybę į 0, tai sakome, kad seka {X n } tenkina silpnajį didžiųjų skaičių dėsnį su normuojančiomis konstantomis a n ir b n. Jeigu (1) konverguoja į 0 su tikimybe 1, tai sakome, kad {X n } tenkina striprųjį didžiųjų skaičių dėsnį su konstantomis a n ir b n. Dažniausiai nagrinėjamas atvejis, kai n a n = MX k ir b n = n. k=1 Suprantama, kad vydurkiai MX k turi egzistuoti.

18 18 Tikimybių pratybos Pakomentuosime paminėtus apibrėžimus Stochastinio konvergavimo atvejis. Šiuo atveju turime sąlygą: ε > 0, P(ω : X n (ω) X (ω) ε) n 0 Taigi remianti Didžiųjų skaičių apibrėžimu išvedame rezultatą. Seka {X n } tenkina silpnajį didžiųjų skaičių dėsnį, jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir teigiamų skaičių seka {b n }, kad ε > 0, P({ω : S n (ω) ε}) n 0

19 Tikimybių pratybos Konvergavimo su tikimybe 1 atvejis. Šiuo atveju turime sąlygą: ε > 0, P({ω : sup X m (ω) X (ω) ε}) 0 m n n Taigi remianti Didžiųjų skaičių apibrėžimu išvedame rezultatą. Seka {X n } tenkina stiprujį didžiųjų skaičių dėsnį, jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir teigiamų skaičių seka {b n }, kad ε > 0, P({ω : sup S m (ω) ε}) 0 m n n

20 20 Tikimybių pratybos 7. Čebyševo lema Lema 13. Jeigu atsitiktinis dydis Z turi dispresiją, tai kiekvienam ε > 0 Įrodymas P({ Z MZ ε}) DZ ε 2 Tegu F (x) yra atsitiktinio dydžio Z pasiskirstymo funckija. Tuomet P({ Z MZ ε}) = df (z) 1 (z MZ) 2 df (z), ε 2 z MZ ε z MZ ε nes integruojame ten kur z MZ 1. ε Toliau padidiname integravimo sritį, kadangi pointegralinė funkcija yra teigiama, tai P({ Z MZ ε}) DZ ε 2

21 Tikimybių pratybos Čebyševo teorema Teorema 14. Jeigu {ξ n } yra poromis nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka, kurių dispersijos yra Dξ i C, i N, tai kiekvienam ε > 0, lim P n ({ 1 n n ξ k 1 n k=1 }) n Mξ k < ε = 1 k=1

22 22 Tikimybių pratybos Ar teoremoje yra panaudotas kuris nors iš atsitiktinių dydžių sekos konvergavimo tipų?

23 Tikimybių pratybos Bernulio teorema Teorema 15. Tegul µ yra įvykio A pasirodymo kartų kiekis, kai atliekama n nepriklausomų eksperimentų. Įvykio A pasirodymo viename eksperimente tikimybė yra lygi p. Tuomet kiekvienam ε > 0, ({ lim P µ }) n n p < ε = 1.

24 24 Tikimybių pratybos 10. Puasono teorema Jeigu sekoje nepriklausomų eksperimentų įvykio A pasirodymo ties k - tuoju eksperimentu lygi p k, tai ε > 0, lim n P ({ µ n n i=1 p }) i n < ε = 1

25 Tikimybių pratybos Buitinė teorema Teorema 16. Jeigu poromis nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka {X n } yra tokia, kad tai su kiekvienu ε > 0, mathcalx i i - tasis matavimo reikšmė. MX i = a - vidutinė matavimo reikšmė. Komentaras Matavimo pavyzdys MX i = a, i N ir DX i C, i N, lim P n ({ 1 n }) n X k a < ε = 1 k=1 Tuomet didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad matuodami n kartų, galime su tikimybe kiek norima artima 1 gauti matavimo rezultatus kaip norim artimus a.

26 26 Tikimybių pratybos 12. Chinčimo teorema Teorema 17. Jeigu atsitiktiniai dydžiai {X n } yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir turi vydurkius MX n = a, tai kiekvienam ε > 0 ( ) S n P n a ε 0 n

27 Tikimybių pratybos Markovo teorema Teorema 18. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X n yra kas du nekoreliuoti, turi dispersijas ir tai kiekvienam ε > 0 1 n 2 P n DX k 0, kai n, k=1 ( ) 1 n S n MS n ε 0

28 28 Tikimybių pratybos 14. Būtinoji ir pakankama Dydžiųjų skaičių dėsnio sąlygos Teorema 19. Atsitiktinių dydžių seka ξ 1, ξ 2, ξ 3,... kiekvienam ε > 0, tenkina sąryšį ({ lim P 1 n ξ k 1 n n n k=1 }) n Mξ k < ε = 1 tada ir tik tada kai yra tenkinama sekanti būtinoji ir pakankama sąlyga M k=1 ( n k=1 (ξ k Mξ k )) 2 n 2 + ( n k=1 (ξ k Mξ k )) 2 0.

29 Tikimybių pratybos Užduotis Tarkime, kad yra nargrinėjama nepriklausomų ir vienodai pasiskirčiusių atsitiktinių dydžių seka {X n }, kuri yra apibrėžta lygybėmis ( ) c P ({X n = k}) = k 2 lg 2, k = 2, 3, 4,..., c 1 1 = k k 2 lg 2 k Įrodykite, kad ši atsitiktinių dydžių seka tenkina Dydžiųjų skaičių dėsnį. k=2

30 30 Tikimybių pratybos Sprendimas Pritaikysime Chinčino teoremą. Matome, jog pagal Chinčino teoremos sąlygas pakanka patikrinti ar egzistuoja vidurkiai? Taigi ck MX n = k 2 lg 2 k = c 1 k lg(k) lg(k) = c 1 k k log k lg(k) k log k lg(k) k=2 k=2 1 1 = c = c <, 2 lg lg(k) 2 lg lg(k) 1+ k=2 k k lg k k=2 k lg k pagal integralinį konvergavimo požymį. Vadinasi egzistuoja a 0, toks kad MX n = a, n N. Taigi yra tenkinama Chinčino teorema ir todėl seka tenkina Didžiųjų skaičių dėsnį. k=2

31 Tikimybių pratybos Paprastesni uždaviniai Teorijos santrauka. Jeigu atsitiktinis dydis X įgyja teigiamas reikšmes ir egzistuoja jo vydurkis MX = a, tai bet kuriam skaičiui δ > 0 yra teisinga nelygybė P (X δ) 1 a (2) δ ir nelygybė P (X > δ) < a δ (3) Šios nelygybės yra vadinamos Markovo nelygybėmis. pirma ir antra Čebyševo nelygybes. Toliau paminėsime Jeigu atsitiktinis dydis X yra toks, kad MX = a ir dispersija yra baigtinė, tai bet kuriam skaičiui ε > 0 yra teisingos nelybybės ir P ( X a > ε) < DX (pirmoji Čebyševo nelygybė), ε 2 P ( X a ε) 1 DX (antroji Čebyševo nelygybė). ε 2

32 32 Tikimybių pratybos Uždavinys. Vidutinis vienos bulvės svoris yra 120gr. Kokia tikimybė, jog atsitiktinai paimta bulvė svers ne daugiau negu 360gr?

33 Sprendimas Tikimybių pratybos 33 Ieškomą tikimybę rasime pasinaudoję pirma Markovo nelygybe. Tegul X yra bulvės svoris. Tuomet MX = 120 ir δ = 360. Taigi P (X 360) = = 2 3

34 34 Tikimybių pratybos Užduotis. Kiekvienais metais vidutiniškai 200 studentų stoją į matematikos fakulteto magistratūros studijas. Kokia tikimybė, jog šiais metais stos nedaugiau negu 220 studentų?

35 čia, Sprendimas Tikimybių pratybos 35 Vėl yra taikoma pirmoji Markovo teorema. Turime MX = 200 ir δ = 220 iš P (X 200) = = 1 11

36 36 Tikimybių pratybos Užduotis. Įvertinkite tikimybę, kad mėtant lošimo kauliuką 3600 kartų, skaičiaus 6 atsivertimų kiekis bus ne mažesnis negu 900.

37 Tikimybių pratybos 37 Sprendimas Pažymime X - 6 atsivertimų kiekis. Tuomet MX = n p = = 600, o δ = 900. Taikome Markovo nelygybę. P (X 900) = 2 3

38 38 Tikimybių pratybos Užduotis. Atsitiktinis dydis X turi dispersiją, DX = Kokia tikimybė,kad atsitiktinis dydis X skiriasi nuo MX = a, daugiau negu 0.1?

39 Sprendimas Taikome pirma Čebyševo nelygybę. P ( X a > 0.1) < Tikimybių pratybos 39 DX = = 0.1

40 40 Tikimybių pratybos Dar viena Čebyševo nelygybė. Teorema 20. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2, X 3,... nepriklausomi, turi matematinius vydyrkius(momentus) ir jų dispersijos yra aprėžtos skaičiumi C, tai kiekvienam ε > 0 yra teisinga nelygybė ( ) 1 n P X k 1 n MX k ε n n k=1 k=1 > 1 C nε 2. Jeigu MX i = a, i N, tai nelygybė pakinta taip ( ) 1 n P X k a n ε > 1 C nε. 2 k=1

41 16.7. Nelygybė iš Bernulio teoremos. Tikimybių pratybos 41 Teorema 21. Jeigu kiekviename nepriklausomame eksperimente įvykio A pasirodymo tikimybį yra lygi p, tai įvykio A pasirodymo dažnio ir įvykio A pasirodymo tikimybės skirtumas moduliu neviršys ε su tikimybe didesne negu 1 pq nε 2, t.y. P ( m n p ε ) > 1 pq nε 2

42 42 Tikimybių pratybos Užduotis. Raskite tikimybę, kad metant lošimo kauliuką kartų šešiukės pasirodymo dažnis skiriasi nuo įprastos šešiukės pasirodymo tikimybės moduliu mažiau negu 0.01.

43 Sprendimas Tikimybių pratybos 43 Pasinaudojame nelygybe iš Bernulio teoremos. Šiuo atveju turime n = 10000, p = 1, q = 5, todėl 6 6 ( m ) P n p > = 31 36

44 44 Tikimybių pratybos Užduotis. Gaminan duomenų laikmenas 3% produkcijos yra brokas. Raskite tikimybe, kad tikrinant partiją iš 1000 laikmenų nuokrypis nuo nustatyto broko procento neviršys 1%.

45 Sprendimas Tikimybių pratybos 45 Iš uždavinio sąlygos seka, kad n = 1000, ε = 0.01, p = 0.03 ir q = Tuomet remiantis Bernulio nelygybe gauname ( m ) P n p pq = 1 nε =

46 46 Tikimybių pratybos Užduotis. Tegul yra nagrinėjama atsitiktinių dydžių seka {X n }, kurios kiekvieno atsitiktinio dydžio dispersija neviršyja 4. Raskite, kiek reikia paimti atsitiktinių dydžių, kad nuokrypis tarp aritmetinio atsitiktinių dydžių vydurkio ir atsitiktinių dydžių momentų aritmetinio vydurkio būtų ne didesnis negu 0.25 su tikimybe didesne negu 0.99.

47 Sprendimas Tikimybių pratybos 47 Pasinaudosime Čebyševo nelygybe, kuri yra gauta iš Čebyševo teoremos. Taigi turime C = 4 ir ε = 0.25, tuomet ( ) 1 n P X k 1 n 4 MX k < n n n k=1 k=1 Toliau kadangi ieškome n, tai sudarome nelygybe Iš čia n n n 6400

48 48 Tikimybių pratybos 17. Namų darbai 1. Įrodykite, kad jeigu duotas atsitiktinis dydis X, kuriam egzistuoja vydurkis Me ax, a > 0, tai teisinga nelygybė P({X ε}) MeaX e aε. 2. Tegul f(x) > 0 yra nemažėjanti funkcija. Tarkime egzsituoja vydurkis M(f( X MX )). Įrodykite, kad P({ X MX ε}) Mf( X MX ) f(ε) 3. Tarkime, kad yra nargrinėjama nepriklausomų ir vienodai pasiskirčiusių atsitiktinių dydžių seka {X n }, kuri yra apibrėžta lygybėmis P ({ X n = 2 k lg(k) lg lg(k+1)}) = 1, k = 1, 2, 3, 4,... k2 Įrodykite, kad ši atsitiktinių dydžių seka tenkina Dydžiųjų skaičių dėsnį. 4. Atsitiktinis dydis X turi dispersija, DX = Raskite tikimybę, kad atsitiktinis dydis skiriasi nuo savo vydurkio nedaugiau negu per Kiek kartų reikia matuoti tam tikrą dydį, kad su tikimybe ne mažesne negu 0.98, galima būtų teigti, kad aritmetinis matavimų vidurkis moduliu skirtusi nuo tikrojo vidurkio per 0.01, jeigu atskirojo matavimo dispersija neviršyja vieneto.

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija 2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRO 011 M. KOVO D. ĮSAKYMO NR. V-199 DĖL LIETUVOS HIGIENOS NORMOS HN 80:011 ELEKTROMAGNETINIS

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

Microsoft Word - 8 Laboratorinis darbas.doc

Microsoft Word - 8 Laboratorinis  darbas.doc Laboratorinis darbas Nr. 8 MOP (metalo sido puslaidininkio) struktūrų tyrimas aukštadažniu -V charakteristikų metodu Darbo tikslas: 1. Nustatyti puslaidininkio laidumo tipą. 2. Nustatyti legiravimo priemaišų

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos

Detaliau

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te 8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju teorijos. Tegul ξ bus taikinio A vidiniu kintamu ju rinkinys,

Detaliau

Informacijosmokslai50-n.indd

Informacijosmokslai50-n.indd ISSN 1392-0561 INFORMACIJOS MOKSLAI 2009 50 Tikimybinis dažnų posekių paieškos algoritmas Julija Pragarauskaitė Matematikos ir informatikos instituto doktorantė Institute of Mathematics and Informatics,

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu

Detaliau

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tiriant judėjimą, išreiškiamą priklausomybėmis tarp kintamųjų

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

Projektas

Projektas 1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS

Detaliau

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio 11 25 d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją laboratoriją, rezultatų apžvalga Vilnius, 2017 m. Turinys Įžanga... 3

Detaliau

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO

Detaliau

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc STATISTIKA FILOLOGAMS 10 paskaita STATISTINIAI KRITERIJAI 1. Statistiniai palyginimai ir statistinės hipotezės Jau ne kartą minėta, kad tyrinėtojui neretai prisieina ne vien tik aprašyti empirinius statistinius

Detaliau

Individualus projektas Programa TE-PM, TE-PS, TE-SL, TEstream 4, TEstream 6, TEstream 8, TEstreamOBD 4, TEstreamOBD 6, TEstreamOBD 8 sistemų naudotoja

Individualus projektas Programa TE-PM, TE-PS, TE-SL, TEstream 4, TEstream 6, TEstream 8, TEstreamOBD 4, TEstreamOBD 6, TEstreamOBD 8 sistemų naudotoja Individualus projektas Programa TE-PM, TE-PS, TE-SL, TEstream 4, TEstream 6, TEstream 8, TEstreamOBD 4, TEstreamOBD 6, TEstreamOBD 8 sistemų naudotojams Alternatyvus valdymo pultas telefone ViPGaS programos

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos generalinio direktoriaus 2014 m. spalio 30 d. įsakymu Nr.

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

Projektas

Projektas Generolo Jono Žemaičio Lietuvos karo akademijos Kauno technologijos universiteto Klaipėdos universiteto Vytauto Didžiojo universiteto Politikos mokslų krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 10

Detaliau

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS ALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS Agronomijos fakultetas Žemdirbystės katedra STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: AFŽEB07E Pavadinimas lietuvių kalba: Mokslinių tyrimų metodika Pavadinimas anglų kalba:

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Suvestinė redakcija nuo Įsakymas paskelbtas: TAR , i. k LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUV

Suvestinė redakcija nuo Įsakymas paskelbtas: TAR , i. k LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUV Suvestinė redakcija nuo 2016-07-02 Įsakymas paskelbtas: TAR 2015-12-31, i. k. 2015-21227 LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS TERITORIJOS M 1:5 000 KONTROLINIŲ ŽEMĖS

Detaliau

Microsoft PowerPoint - NMVA_TIMSS2011_2013_pristatymas_viskas

Microsoft PowerPoint - NMVA_TIMSS2011_2013_pristatymas_viskas International Association for the Evaluation of Educational Achievement Trends in International Mathematics and Science Study TIMSS 2011 Tyrimo tikslai bei populiacija Tyrimas TIMSS (Trends in International

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Valstybinės energetikos inspekcijos vartotojams teikiamų paslaugų kokybės, prieinamumo ir pasitenkinimo tyrimas užsakovas vykdytojas Kovas, 2016 metodologija 2 Tyrimo metodologija Visuomenės nuomonės ir

Detaliau

Projektas

Projektas 1 priedas PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto su Mykolo Romerio universitetu, Aleksandro Stulginskio universitetu, Klaipėdos universitetu, Šiaulių universitetu Vadybos mokslo krypties doktorantūros

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

SANTE/11059/2016-EN Rev. 2

SANTE/11059/2016-EN Rev. 2 Europos Sąjungos Taryba Briuselis, 2017 m. rugpjūčio 17 d. (OR. en) 11651/17 AGRILEG 150 DENLEG 63 PRIDEDAMAS PRANEŠIMAS nuo: Europos Komisijos gavimo data: 2017 m. rugpjūčio 24 d. kam: Komisijos dok.

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga atitinka pagrindines demokratijos vertybes ir principus (asmens ir tautos

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto, Lietuvos agrarinių ir miškų mokslų centro Agronomijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. vasario 28 d. posėdžio Nr. 137 ATVIRO KONKURSO Į AGRONOMIJOS

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

1

1 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR GAMTOS MOKSLŲ FAKULTETAS MATEMATINIO MODELIAVIMO KATEDRA Mindaugas Bražėnas APROKSIMAVIMAS FAZINIAIS SKIRSTINIAIS BEI JŲ TAIKYMAS APTARNAVIMO SISTEMOMS

Detaliau

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio 1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio laikotarpio pajamos neviršija 300 000 eurų, pirmojo

Detaliau

KOMISIJOS REGLAMENTAS (ES) 2019/  m. vasario 21 d. - kuriuo iš dalies keičiamas Reglamentas (ES) Nr. 1408/ dėl Sutart

KOMISIJOS  REGLAMENTAS  (ES)  2019/  m.  vasario 21 d.  -  kuriuo  iš  dalies  keičiamas  Reglamentas  (ES)  Nr. 1408/ dėl  Sutart 2019 2 22 L 51 I/1 II (Ne teisėkūros procedūra priimami aktai) REGLAMENTAI KOMISIJOS REGLAMENTAS (ES) 2019/316 2019 m. vasario 21 d. kuriuo iš dalies keičiamas Reglamentas (ES) Nr. 1408/2013 dėl Sutarties

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL 2014 2020 METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FONDŲ INVESTICIJŲ VEIKSMŲ PROGRAMOS STEBĖSENOS RODIKLIŲ

Detaliau

124

124 APLINKOS APSAUGOS AGENTŪROS DIREKTORIUS Į S A K Y M A S DĖL PREKYBOS NE MĖGĖJŲ ŽVEJYBOS ĮRANKIAIS TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO 2012 m. gruodžio 20 d. Nr. Vilnius Vadovaudamasis Lietuvos Respublikos mėgėjų

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

Leica DISTO TM D110 The original laser distance meter

Leica DISTO TM D110 The original laser distance meter Leica DISTO TM D110 The original laser distance meter Turinys Prietaiso paruošimas darbui - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Įvadas- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaliau

21. Ilgis, plotas, perimetras Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius rei

21. Ilgis, plotas, perimetras Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius rei Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius reikės pasitelkti kūrybinį mąstymą ir pasinaudoti jau turimomis žiniomis, įgytomis per

Detaliau

ES F ben dri Projekto kodas (Įrašoma automatiškai) 1 PROJEKTO SFMIS DUOMENŲ FORMA FORMAI PRITARTA m. Europos Sąjungos struktūrinės paramos a

ES F ben dri Projekto kodas (Įrašoma automatiškai) 1 PROJEKTO SFMIS DUOMENŲ FORMA FORMAI PRITARTA m. Europos Sąjungos struktūrinės paramos a ES F ben dri 1 PROJEKTO SFMIS DUOMENŲ FORMA FORMAI PRITARTA 2014-2020 m. Europos Sąjungos struktūrinės paramos administravimo darbo grupės, sudarytos Lietuvos Respublikos finansų ministro 2013 m. liepos

Detaliau

17 - Techniniai reikalavimai breziniuose.doc

17 - Techniniai reikalavimai breziniuose.doc 17. 17.1. Techniniai reikalavimai daro rėžiniuose Laisvų matmenų (matmenų, kurių nuokrypiai nenurodyti) ir nenurodyti padėties ei formos nuokrypiai turi atitikti nuokrypių klases, nusakomas ISO 2768 ir

Detaliau

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui LAKD TNT skyriaus vedėjas Evaldas Petrikas Reglamentavimas Automobilių kelių standartizuotų dangų konstrukcijų projektavimo taisyklės KPT

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Dalelių filtro metodo ir vizualios odometrijos taikymas BPO lokalizacijai 2014 2018 m. studijos Doktorantas: Rokas Jurevičius Vadovas: Virginijus Marcinkevičius Disertacijos tikslas ir objektas Disertacijos

Detaliau

VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450)

VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450) VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450) 54275 El.p.rastine@vabalninko.birzai.lm.lt. GIMNAZIJOS VEIKLOS KOKYBĖS ĮSIVERTINIMO

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.

Detaliau

Europos agentūros duomenys apie įtraukųjį ugdymą. Esminės įžvalgos ir išvados (2014 / 2016)

Europos agentūros duomenys apie įtraukųjį ugdymą. Esminės įžvalgos ir išvados (2014 / 2016) Europos agentūros duomenys apie įtraukųjį ugdymą Esminės įžvalgos ir išvados (2014 / 2016) EUROPEAN AGENCY for Special Needs and Inclusive Education EUROPOS AGENTŪROS DUOMENYS APIE ĮTRAUKŲJĮ UGDYMĄ Esminės

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Nr. VP1.-1.3-SADM-01-K-02-008 Įvadinio modulio tematikos trumpa apžvalga Bendrieji diskriminacijos pagrindai ir jų apraiškos Lyčių lygybės samprata, stereotipai Žiniasklaidos įtaka stereotipų formavimuisi

Detaliau

Duomenų vizualizavimas

Duomenų vizualizavimas Duomenų vizualizavimas Daugiamačių duomenų vizualizavimas: projekcijos metodai Aušra Mackutė-Varoneckienė Tomas Krilavičius 1 Projekcijos metodai Analizuojant daugiamačius objektus, kuriuos apibūdina n

Detaliau

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTIZUOTUS VERTINIMO ĮRANKIUS ATASKAITOS PRIEDAS MOKYKLOMS,

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

Microsoft PowerPoint - ikaitinti_kunai02.ppt

Microsoft PowerPoint - ikaitinti_kunai02.ppt Šviesos šaltiniai Nekoherentiniai šviesos šaltiniai. Šviesos šaltinių rūšys. Absoliučiai juodo kūno spinduliavimas. Kaitinimo lempos. Dujų išlydžio lempos. Šviestukų veikimo fizikiniai principai ir technologijos.

Detaliau

Microsoft Word ratas 12kl Spr

Microsoft Word ratas 12kl Spr 66-iosios Lietuvos okinių fizikos olipiados rajono iesto turas (8 ) klasė Nedidelis kūnas be pradinio greičio nuslysta nuožulniąja plokštua, kurios papėdėje glotniai pasiekia horizontaliąją h plokštuą,

Detaliau

60 TYRIMO KLAIPĖDOS MIESTO GYVENTOJŲ, DARBDAVIŲ IR KITŲ SOCIALINIŲ PARTNERIŲ NEFORMALIOJO SUAUGUSIŲJŲ ŠVIETIMO IR TĘSTINIO MOKYMOSI POREIKIS ATASKAITA

60 TYRIMO KLAIPĖDOS MIESTO GYVENTOJŲ, DARBDAVIŲ IR KITŲ SOCIALINIŲ PARTNERIŲ NEFORMALIOJO SUAUGUSIŲJŲ ŠVIETIMO IR TĘSTINIO MOKYMOSI POREIKIS ATASKAITA 60 TYRIMO KLAIPĖDOS MIESTO GYVENTOJŲ, DARBDAVIŲ IR KITŲ SOCIALINIŲ PARTNERIŲ NEFORMALIOJO SUAUGUSIŲJŲ ŠVIETIMO IR TĘSTINIO MOKYMOSI POREIKIS ATASKAITA UŽSAKOVAS: KLAIPĖDOS MIESTO SAVIVALDYBĖS ADMINISTRACIJA

Detaliau

Elektronu igreitejimo stipriame elektriniame lauke itaka fotolaidžios terahercu antenos savybems

Elektronu igreitejimo stipriame elektriniame lauke itaka fotolaidžios terahercu antenos savybems Elektronu igreitejimo stipriame elektriniame lauke itaka fotolaidºios terahercu antenos savybems Gediminas lekas 2019 05 07 VGTU Matematinio Modeliavimo Katedros seminaras 1 / 42 Padeka Podoktorant uros

Detaliau

Verification Opinion Template

Verification Opinion Template Nepriklausomos pagrįsto patikinimo patikros ataskaitos išvada apyvartinių taršos leidimų prekybos ES ATLPS metinių ataskaitų teikimas DUOMENYS APIE VEIKLOS VYKDYTOJĄ Veiklos vykdytojo pavadinimas: VĮ Visagino

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Pagrindiniai Lietuvos ateities iššūkiai Klaudijus Maniokas ESTEP valdybos pirmininkas Trys akcentai Pripažinti ir nepripažinti iššūkiai: konsensuso link Struktūrinių apirbojimų sprendimas: intervencijos

Detaliau

VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA NUTARIMAS DĖL AB ENERGIJOS SKIRSTYMO OPERATORIUS ELEKTROS ENERGIJOS PERSIUNTIMO PASLAUGOS KAINŲ IR

VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA NUTARIMAS DĖL AB ENERGIJOS SKIRSTYMO OPERATORIUS ELEKTROS ENERGIJOS PERSIUNTIMO PASLAUGOS KAINŲ IR VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA NUTARIMAS DĖL AB ENERGIJOS SKIRSTYMO OPERATORIUS ELEKTROS ENERGIJOS PERSIUNTIMO PASLAUGOS KAINŲ IR JŲ TAIKYMO TVARKOS PASKELBIMO 2018 m. lapkričio 16

Detaliau

„This research is funded by the European Social Fund under the Global Grant masure“

„This research is  funded by the European Social Fund under  the Global Grant masure“ VERSLUMO KOMPETENCIJOS POREIKIS IR RAIŠKA VEIKLOJE Tarptautinė konferencija - 2015 SUAUGUSIŲJŲ BENDRŲJŲ KOMPETENCIJŲ MOKSLINIAI TYRIMAI IR PLĖTRA/ RESEARCH AND DEVELOPMENT OF KEY COMPETENCES FOR ADULTS

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Ar sankcijos už nesąžiningų sąlygų naudojimą efektyvios? Dr. Danguolė Bublienė Nesąžiningų sąlygų kontrolės būdai Teisinių gynybos priemonių Preventyvi (NSD 7 str.) Ultrapreventyvi Abstrakti Atsitiktinė

Detaliau

Dažniausios IT VBE klaidos

Dažniausios IT VBE klaidos Dažniausios IT VBE klaidos Renata Burbaitė renata.burbaite@gmail.com Kauno technologijos universitetas, Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija 1 Egzamino matrica (iš informacinių technologijų brandos egzamino

Detaliau

VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal

VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal individualius ugdymosi planus. (Pagal vidurinio ugdymo

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUN

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUN LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUNOJI LIETUVA 2017 M. FINANSINIŲ ATASKAITŲ RINKINIO IR

Detaliau

VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas , V. Kudirkos g. 18, LT Vilnius-9, tel. (8 5) , faks. (8 5) 268 8

VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas , V. Kudirkos g. 18, LT Vilnius-9, tel. (8 5) , faks. (8 5) 268 8 VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas 124110246, V. Kudirkos g. 18, LT-03105 Vilnius-9, tel. (8 5) 268 8202, faks. (8 5) 268 8311, el. p. info@registrucentras.lt, atsisk. s sk.

Detaliau

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: IFEB B029 Pavadinimas lietuvių kalba: Atsinaujinančiosios energetikos sistemos. Pavadinimas anglų kalba: Renewable energy systems. Dalyko apimtis: 6 kreditai, 160 valandos,

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA PATVIRTINTA VDU Rasos gimnazijos Visuotinio dalininkų susirinkimo 2018 m. gegužės 17 d. protokolu Nr. DSP-04 ASMENŲ PRIĖMIMO Į VYTAUTO DIDŽIOJO UNIVERSITETO RASOS GIMNAZIJĄ KRITERIJŲ IR KLASIŲ KOMPLEKTAVIMO

Detaliau

VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS

VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS VIRŠININKO ĮSAKYMAS DĖL VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS VIRŠININKO 2004 M.

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvairias sprendimo galimybes. Prieš kiekvieną naujos rūšies dėlionę pateiktas pavyzdys,

Detaliau