III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa"

Transkriptas

1 III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota tik 19 am pabaigoje G Peano bei R Dedekindo pastangomis Paruošiamuosius darbus jau esame atlike ankstesniuose skyreliuose, todėl dabar iš karto ir pateiksime natūraliu aibės apibrėžima Netuščia aibe N vadinsime natūraliu aibe, jeigu joje apibrėžtas binarinis sa ryšis eina tiesiog po siejantis kai kuriuos šios aibės elementus, tenkinantis savybes: a1 Yra šioje aibėje elementas, pažymėkime ji 1, neinantis po jokio elemento; a2 Po kiekvieno elemento eina vienas ir tik vienas elementas; a3 Kiekvienas elementas eina ne daugiau kaip po vieno elemento; a4 Bet kuris aibės N poaibis M, sutampa su aibe N, jei: 1) 1 M, 2) jei elementas m M, tai ir elementas einantis tiesiog po jo priklauso aibei M Šios aibės elementus vadinsime natūraliaisiais skaičiais Naudojant šias aksiomas galime surėdyti, visus natūraliuosius skaičius tam tikra tvarka Einanti tiesiog po 1 pažymėsime 2, einanti tiesiog po 2 pažymėsime 3 ir t t, mums i prastu būdu Pastebėsime, kad natūraliuosius skaičius galime žymėti labai i vairiai Kiek vėliau susipažinsime ir su kitokiais užrašymo būdais Tokiu būdu mes gauname natūraliu aibe nusakančius elementus Dar daugiau, kadangi šioje aibėje apibrėžtas tvarkos sa ryšis, tai šios aibės elementus galime sutvarkyti šio sa ryšio atžvilgiu Pagindžiant matematinius teiginius labai svarbi a4 aksioma, kuri dar vadinama matematinės indukcijos aksioma Kuo matematinė indukcija skiriasi nuo kitokios indukcijos Apskritai kalbant, indukcija yra metodas, leidžiantis remiantis daliniais teiginiais daryti išvadas apie bendrus teiginius Bet sveikas protas sako mums, kad kažin ar atlikus tik baigtini kokio tai proceso tikrinima galime neabejodami tvirtinti, kad ir neribotai te sdami ši procesa gausime ta pati rezultata? Dar daugiau, mokslo istorijoje daug pavyzdžiu, kurie patvirtina, kad ne visada galime apibendrinti rezultatus remdamiesi tik baigtine indukcija Pvz P Ferma patikrine s, jog skaičius 2 2n + 1 yra pirminis, kai n = 0, 1, 2, 3, 4, padarė prielaida, kad šis skaičius kai n = 5 taip pat pirminis Bet jo prielaida nepasitvirtino Žinoma, pilnosios indukcijos metodu yra gaunamos patikimos žinios, tačiau ji i manoma tik tuo atveju, kai nagrinėjama aibė baigtinė Tad kyla klausimas, o kuo gi geresnis matematinės indukcijos metodas? Tarkime, kad mums reikia patikrinti, jog tam tikras reiškinys teisingas begaliniam skaičiavimo, vertinimo ir tt žingsniu skaičiui Jeigu parodysime, kad šis žingsniu skaičius sutampa su natūraliu aibe, tai mūsu teiginys bus i rodytas Tad kaip mes elgiamės Visu pirma sutapatinkime mūsu nagrinėjamo proceso žingsniu skaičiaus aibe su aibe M, kuri figūravo aksiomoje a4 Visu pirma reikia patikrinti, ar pirma jam žingsniui nagrinėjamas reiškinys tenkina keliamus reikalavimus, ty 1 M Tarkime, kad pradinis reikalavimas yra patenkintas, ty 1 M Taigi, aibė M netuščia Pasirinkime, bet kuri žingsni k M kuriam nagrinėjamas reiškinys tenkina reikalavimus (darome indukcine prielaida ) Jei parodysime, kad tuos pat reikalavimus reiškinys tenkina ir sekančiame žingsnyje (po k tiesiog einantis elementas irgi priklauso 32

2 aibei M ), taigi naudodamiesi a4 aksioma galime tvirtinti, kad žingsniu skaičius, kuriems nagrinėjamas reiškinys tenkina keliamus reikalavimus, sutampa su natūraliu aibe 32 Sveiku, neneigiamu aibės elementu veiksmai Šiame skyrelyje parodysime, kaip naudojant indukcijos aksioma yra apibrėžiami veiksmai natūraliu aibėje, i rodomos veiksmu savybės bei apibrėžiamas tvarkos sa ryšis Tegu a N Tada elementa einanti tiesiog po a žymėsime simboliu a Iš natūraliu aibės aksiomu išplaukia, kad jei a = b tai tada ir a = b Be to, jei a b, tai ir a b Papildykime natūraliu aibe vienu elementu Pažymėkime N 0 = {0} N = {0, 1, 2, } Aibė N 0 nuo natūraliu aibės skiriasi tik tuo, kad elementas, neinantis po jokio yra 0 Be to 0 = 1 Šios aibės elementus vadinsime sveikais neneigiamais skaičiais Funkcija f : N 0 N 0 N vadinsime sudėties operacija, apibrėžta natūraliu aibėje, jei (a, b) N0 2 funkcija tenkina reikalavimus: 1) f(a, 0) = a, 2) f(a, b ) = (f(a, b)) Ateityje žymėsime: f(a, b) = a + b Tuomet apibrėžime naudojamas lygybes galime perrašyti taip: a + 0 = a, ir a + b = (a + b) Natūralu ji f(a, b) vadinsime a ir b suma, skaičiai a ir b vadinami dėmenimis 1 Teorema a N teisingas lygybė a + 1 = a Nesunku matyti, kad remdamiesi sa ryšio eina tiesiog po apibrėžimu bei sudėties apibrėžimu (paeiliui du kartus) gauname Sudėties savybės a + 1 = a + 0 = (a + 0) = a Sudėties asociatyvumo savybė Visiems a, b, c N 0 teisinga lygybė: (a + b) + c = a + (b + c) 33

3 Kitaip tariant, sudedant daugiau negu du dėmenis, nesvarbu kokia tvarka atliksime sudėties operacija Parodysime, kad keičiant trečiaji dėmeni, kai a, b N 0 yra bet kokie fiksuoti skaičiai, ši lygybė yra teisinga Apibrėžkime naturaliu aibe : M = {n N 0, kuriems lygybė (a + b) + n = a + (b + n) teisinga} Parodykime, kad pirmasis aibės N 0 elementas priklauso šiai aibei, ty teoremos formuluotėje esanti lygybė teisinga, kai a = 0 ir a, b N 0 yra bet kokie fiksuoti skaičiai Remdamiesi sudėties apibrėžimo 1) lygybe gauname, kad (a + b) + 0 = a + b = a + (b + 0) Taigi, pirma jam elementui ši lygybė yra teisinga, taigi 0 M Taigi, aibė M netuščia Bet jei netuščia, tai pasirinkime koki nors šios aibės elementa, tarkime k Vadinasi šiam elementui lygybė teisinga: (a + b) + k = a + (b + k), k M (1) Pastaroji lygybė paprastai vadinama indukcine prielaida (žr aksioma a4 1) Jeigu sugebėsime parodyti, kad iš pastarosios prielaidos ir žinomu teiginiu išplaukia, kad ir sekančiam po k skaičiui k = k + 1 ši lygybė teisinga, tai remdamiesi matematinės indukcijos aksioma a4 galėsime tvirtinti, kad nagrinėjamoji lygybė teisinga visiems n N 0, kadangi M = N 0 Taigi (a + b) + k (remdamiesi 2)) = ((a + b) + k) (remdamiesi prielaida (1)) = (a + (b + k)) (remdamiesi 2) ) = a + (b + k) (remdamiesi 2)) = a + (b + k ) Gavome, kad esant (1) prielaidai, teoremos tvirtinimas teisingas ir sekančiam žingsniui Turime, kad jei k M, tai ir k + 1 M Vadinasi M = N 0, kitaip tariant, lygybė teisinga visiems natūraliesiems skaičiams Skaitytojui siūlome i rodyti šios lygybės teisinguma, kai fiksuota kuri nors kita pora Komutatyvumo savybė Suma nepriklauso nuo dėmenu tarpusavio padėties, ty visiems a, b N 0 teisinga lygybė: a + b = b + a Patikrinkime, ar teisinga lygybė 0 + b = b + 0 Šiuo atveju M = {n N 0, kuriems lygybė 0 + n = n + 0 teisinga } Visu pirma ar ši lygybė teisinga pirma jam neneigiamam skaičiui b = 0, ty ar b M Turime, kad = yra akivaizdi lygybė Taigi, aibė M netuščia Sakykime, kad k M, (darome indukcine prielaida ) t y 0 + k = k

4 Parodysime, kad ši lygybė teisinga ir sekančiam skaičiui k = k + 1 Turime, kad 0 + k (remiantis 2) ) = (0 + k) (remiantis 1 Teorema) (0 + k) + 1 (remiantis indukcine prielaida) = (k + 0) + 1 (remiantis 1)) = k + 1 = k + 0 Tad jei k M, tai ir k M Vadinasi, lygybė 0 + b = b + 0 yra teisinga visiems b N 0 Norint baigti šios teoremos i rodyma, mums tektu i rodyti, kad 1 + b = b + 1 Po to parodyti, kad a + b = b + a Tikimės, tai mielai atliks skaitytojas 2 Teorema Visiems a N, b N 0 teisinga nelygybė: a + b b Kitaip tariant, suma nusakoma vieninteliu būdu Tarkime, kad a laisvai parinktas natūralusis skaičius, o aibe M sudaro tie aibės N 0 elementai, kuriems teisinga teoremos nelygybė Nesunku suprasti, kad 0 M, kadangi remdamiesi 1) aksioma gauname, kad a Tarkime, kad k M (toks k egzistuoja!) Taigi, pagal padaryta prielaida a + k k Ar k irgi priklauso aibei M? Jei taip, tai M = N 0 Tikriname: a + k = (a + k) (pagal prielaida ) k Taigi gavome, kad k M Tada, kaip jau esame minėje, M = N 0 Funkcija g : N 0 N vadinsime daugybos operacija, apibrėžta sveiku neneigiamu aibėje, jei (a, b) N0 2 funkcija g tenkina reikalavimus: 3) g(a, 0) = 0, 4) g(a, b ) = (g(a, b)) + a Ateityje žymėsime: g(a, b) = a b, nors taška, jei nekils neaiškumu, paprastai paleisime Tuomet apibrėžime naudojamas lygybes galime perrašyti taip: a 0 = 0, ir a b = ab + a Natūralu ji g(a, b) vadinsime a ir b sandauga, o skaičius a ir b vadinsime dauginamaisiais 3 Teorema Sveiku neneigiamu aibėje teisinga lygybė: a 1 = a Turime, a 1 (remiantis sa ryšiu eina tiesiog po ) = a 0 (4) daugybos savybė)= a 0+a ( 3)daugybos savybė) = 0 + a (sumos komutatyvumo savybe ir 1) ) = a Distributyvumo savybė sudaro prielaidas atskliausti, kai dauginame iš kitu dvie sumos Tačiau norint atskliausti, mes visu pirma turime išsiaiškinti, ar nėra 35

5 svarbu iš kurios pusės rašysime daugikli prieš skliaustuose esančia suma Deja to iš karto atlikti negalime, todėl šia problema spre sime atskirais etapais Visu pirma parodysime, kad jei daugiklis parašytas prieš skliaustus iš kairės pusės, tai šiuo atveju atskliausti mokame Kairioji distributyvumo savybė Bet kokiems a, b, c N 0 teisinga lygybė a(b + c) = ab + ac Tarkime, kad skaičiai a, b yra laisvai pasirinkti, bet fiksuoti Parodysime, kad tuomet visiems c N 0 lygybė teisinga Tarkime, kad parinkome a = 7, b = 45 Tada turėtume parodyti, kad 7(45 + c) = c Žinoma, galime fiksuoti ir kitus du skaičius, tarkime a, c, o tada b būtu bet koks Visu pirma parodysime, kad lygybė teisinga, kai c = 0 Taigi a(b + 0) = ab = ab + 0 = ab + a 0 I rodydami paskutinia ja lygybe naudojome 1) ir 3) savybes Taigi, kai c = 0, tai ši lygybė teisinga Padarome prielaida, kad ši lygybė teisinga kokiam nors skaičiui k, ty a(b + k) = ab + ak, k N 0 Parodysime, kad ji teisinga ir sekančiam skaičiui k Naudodami 2), 4), indukcine prielaida, sudėties asociatyvuma ir 4), eilės tvarka, gauname, kad a(b + k ) = a(b + k) = a(b + k) + a = (ab + ak) + a = ab + (ak + a) = ab + ak Taigi, jei lygybė teisinga kokiam nors skaičiui k, tai ji teisinga ir sekančiam Remdamiesi matematinės indukcijos aksioma gauname, kad ši lygybė teisinga visiems natūraliesiems skaičiams, kuriuos rašytume c vietoje Dešinioji distributyvumo savybė Visiems sveikiesiems neneigiamiems skaičiams teisinga lygybė: (a + b) c = ac + bc Šio tvirtinimo i rodyma paliekame skaitytojui Daugybos komutatyvumo savybė Sukeitus dauginamuosius vietomis sandauga nepasikeis: ab = ba, a, b N 0 Visu pirma parodysime, kad b N 0 teisinga lygybė: 0 b = b 0 Akivaizdu, kad kai b = 0 ši lygybė yra teisinga Tarkime, kad ši lygybė yra teisinga ir tuo atveju, kai b = k Parodysime, kad ji teisinga ir sekančiam natūralia jam skaičiui 36

6 Remdamiesi 4), indukcine prielaida, 3) ir dešinia ja distributyvumo savybe, atitinkamai, gauname 0 k = 0 k + 0 = k = k = (k + 1) 0 Taigi, 0 b = b 0 Analogiškai i rodoma ir lygybė 1 b = b 1 I rodysime, kad pasirinke b N 0, bet kokiam a N 0 teisinga lygybė ab = ba Visu pirma parodysime, kad ši lygybė teisinga pirma jam sveika jam neneigiamam skaičiui a = 0 Bet lygybe 0 b = b 0 jau esame i rode Taigi, padare indukcine prielaida, kad lygybė kb = bk yra teisinga, kokiam nors sveika jam neneigiamam skaičiui parodykime, kad ji teisinga ir sekančiam skaičiui k Remdamiesi dešinia ja distributyvumo savybe, indukcine prielaida, lygybe 1 b = b 1, bei kairia ja distributyvumo savybe, paeiliui, gauname, kad k b = k b + 1 b = k k + b 1 = bk Taigi, remdamiesi indukcijos aksioma galime tvirtinti, kad lygybė teisinga visiems neneigiamiems sveikiesiems skaičiams Asociatyvumo savybė Bet kokiems sveikiesiems neneigiamiems skaičiams teisinga lygybė: a(b c) = (a b)c Tarkime, kad a, b yra bet kokie, laisvai parinkti (bet fiksuoti) sveikieji neneigiami skaičiai Parodysime, kad lygybė teisinga c N 0 Kaip paprastai, visu pirma parodysime, kad ši lygybė teisinga kai c = 0 Remdamiesi 3) turime, kad a(b 0) = a 0 = 0 = (ab) 0 Taigi iš ties šiuo atveju lygybė teisinga Padarome prielaida, kad ši lygybė teisinga, kokiam tai skaičiui c = k Tad turime, kad (ab)k = a(bk) Parodome, kad ši lygybė teisinga ir sekančiam skaičiui Eilės tvarka, remdamiesi 4), indukcine prielaida, kairia ja distributyvumo savybe ir 4) gauname tokias lygybes: (ab)k = (ab)k + ab = a(bk) + ab = a(bk + b) = a(bk ) Parodysime, kad aibė N 0 yra tiesiškai sutvarkyta Sakysime, kad skaičius a yra mažesnis už b, (žymėsime simboliu < ) jeigu egzistuoja natūralusis skaičius c, toks kad teisinga lygybė: a + c = b Žymėsime a < b Sakysime, kad skaičius b yra didesnis už a, (žymėsime simboliu b > a jeigu skaičius a yra mažesnis už b Taigi, šiuo atveju savoka didesnis yra gaunama iš savokos mažesnis Žymėsime b > a Kitaip tariant, natūraliu aibėje apibrėžiame saryši mažiau 37

7 4 Teorema Sa ryšis < yra tranzityvus ir asimetriškas, ty jei a < b b < c, tai a < c ir a < b, arba a > b Visu pirma parodysime, kad sa ryšis yra tranzityvus Tarkime, kad a < b b < c Tuomet remdamiesi sa ryšio apibrėžimu gauname, kad egzistuoja skaičiai k, m N tokie, kad b = a + k, c = b + m Iš pastaru lygybiu išplaukia, kad c = (a + k) + m = a + (k + m) Kadangi k + m N 0, tai išplaukia iš apibrėžimo, kad a < c I rodysime, kad šis sa ryšis turi asimetriškumo savybe Tarkime priešingai, ty a < b b < a Remdamiesi šio sa ryšio tranzityvumu gauname, kad a < a Iš apibrėžimo išplaukia, kad egzistuoja toks natūralusis skaičius k, kad teisinga lygybė: a + k = a Bet tokia lygybė nei manoma, jei k N Taigi, gavome prieštaravima Vadinasi pradinė prielaida, kad a < b b < a yra klaidinga, tad belieka atvejis a > b b > a Galima nesunkiai parodyti, kad bet kokiai natūraliu porai galioja bent vienas iš sa ryšiu : a < b, a > b, a = b 5 Teorema Tarkime, kad a, b N 0 ir a < b Tada visiems n N 0 a + n < b + n Tarkime, kad a < b Tada k N toks, kad b = a + k Pridėje prie abie lygybės pusiu po ta pati n gauname b + n = (a + k) + n = a + (k + n) = a + (n + k) = (a + n) + k Iš pastaru lygybiu išplaukia, kad a + n < b + n 6 Teorema Tegu k, a, b N Jei a < b, tai ac < bc Paskutinia ja teorema siūlome i rodyti skaitytojui Sveiku neneigiamu a ir b skirtumu vadinsime natūralu ji c toki, kad b + c = a, jei skaičius c N 0 egzistuoja Tokiu būdu apibrėžta sa ryši sveiku neneigiamu aibėje vadinsime atimties operacija, kuria žymėsime a b = c Skaičius c vadinamas skirtumu, a turiniu, b atėminiu Iš apibrėžimo išplaukia, kad atimties operacija yra apibrėžta ne visiems natūraliesiems skaičiams 38

8 7 Teorema Sveiku neneigiamu a ir b skirtumas egzistuoja tik tada, jei skaičius b yra ne didesnis už a (b a) Be to jei skirtumas egzistuoja, tai jis yra vienintelis Tarkime, kad a b = c Remdamiesi skirtumo apibrėžimu gauname, kad a = b + c Matome, kad jei c > 0, tai a > b, ty turinys didesnis už atėmini Jeigu c = 0, tai a = b, taigi šiuo atveju skirtumas lygus nuliui Iš pastaru samprotavimu gauname, kad turinys ne mažesnis už atėmini, kitaip tariant a b Tarkime, kad yra du skirtumai, ty a b = c 1, a b = c 2 Tarkime, kad c 2 c 1 Tada atėme pirma ja lygybe iš antrosios gauname, kad c 1 c 2 = 0 Bet tuomet c 1 = c 2 Iš paskutiniosios lygybės gauname teoremos i rodyma 33 Dalumo sa ryšis sveiku neneigiamu aibėje Dalumo požymiai Sakysime, kad sveikas neneigiamas skaičius b dalo sveika neneigiama a, (žymėsime b a ) jeigu egzistuoja vienintelis sveikas neneigiamas skaičius k toks, kad a = bk Ši sa ryši, apibrėžta sveiku neneigiamu aibėje, vadinsime dalybos operacija Skaičiu b vadinsime skaičiaus a dalikliu, o a skaičiaus b daliniu Skaičius k vadinamas dalmeniu Nesunku suprasti, kad jei sveikas neneigiamas skaičius b dalo sveika neneigiama a, tai b a Be to 0 dalo bet koks natūralusis skaičius Antra vertus, 0 nedalo nė vieno natūraliojo skaičiaus a Beje, laikome, kad 0 nedalo 0, kadangi šiuo atveju negalime nurodyti vienintelio k N 0 tokio, kad būtu teisinga lygybė: 0 = 0k Taigi, dalyba iš nulio yra neapibrėžta Panagrinėkime dalumo savybes sveiku neneigiamu aibėje 8 Teorema Dalumo sa ryšis yra 1) refleksyvus, ty a a 2) tranzityvus, ty jei a b, b c, tai a c 3) antisimetriškas, ty jei a b ir b a, tai a = b Tai, kad dalumo sa ryšis yra refleksyvus, akivaizdu I rodysime, kad sa ryšis yra tranzityvus Turime, kad b = ak ir c = bl, k N 0 Iš pastaru lygybiu išplaukia, lygybė c = a(kl) Kadangi kl N 0, tai gauname, kad a c Turime, kad a = bk ir b = al Iš šiu lygybiu išplaukia, kad kl = 1 Bet pastaroji lygybė galima tik tuo atveju, kai k = l = 1 Taigi, a = b Vadinasi sa ryšis antisimetrinis Tuo baigiame teoremos i rodyma 9 Teorema Jei skaičius c dalo skaičius a ir b, tai skaičius c dalo ir suma a + b Be to, jei a b tai c dalo ir skirtuma a b 39

9 Iš dalybos operacijos apibrėžimo išplaukia, kad a = cl ir a = ck Bet tada, a + b = al + ck = c(l + k), čia l + k N 0 Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad c a + b Skirtumo dalumas i rodomas visiškai analogiškai 10 Teorema Jei skaičius c dalo skirtuma a b (suma a + b ) ir be to dalo bent viena iš, tarkime a, tai tada c dalo ir antra ji skirtumo (sumos) nari b 11 Teorema Jei skaičius c dalo a ir nedalo b, tai tada c nedalo ir skirtumo a b (sumos a + b ) 12 Teorema Jeigu sandauga bc ac, tai skaičius b a Šias teoremas siūlome i rodyti skaitytojui 13 Teorema Jei c a arba c b, tai tada c (ab) Tarkime, kad c a Tuomet a = ck, k N 0 Padaugine abi šios lygybės puses iš skaičius b gauname, ab = (ck)b = (cb)k Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad c (ab) 14 Teorema Jeigu skaičius k a, o skaičius l b, tai (kl) (ab) Turime, kad a = kc 1 ir b = lc 2 Iš šiu lygybiu išplaukia, kad ab = (kl)(c 1 c 2 ), c 1 c 2 N 0 Tuo ir baigiame teoremos i rodyma 15 Teorema (Dalybos su liekana teorema) Bet kokiai porai a N 0, b N, egzistuoja vienintelė sveiku neneigiamu pora k, r tokia, kad a = kb + r, 0 r < b (1) Visu pirma i sitikinsime, kad iš tiesu bet kokiai porai a, b galime nurodyti pora k, r, kad būtu teisinga (1) lygybė I rodydami ši sa ryši, naudosimės matematinės indukcijos metodu, skaičiaus a atžvilgiu, ty tarsime, kad b yra bet koks fiksuotas, laisvai pasirinktas natūralusis skaičius Taigi, patikrinkime ar (1) lygybė teisinga pirma jam N 0 elementui Taigi, kai a = 0, tai 0 = b0 + 0 Matome, kad (1) lygybė teisinga su r = 0 < b Vadinasi, pagri stai galime daryti indukcine prielaida : tarkime, kad kokiam nors skaičiui a = n teisinga lygybė n = bk + r, 0 r < b (2) Parodysime, kad (1) lygybė teisinga ir sekančiam skaičiui n + 1 Pridėkime prie abie (2) lygybės pusiu 1 Gausime n + 1 = bk + (k + 1), 0 r + 1 b 40

10 Jei r + 1 < b, tai iš karto gauname teoremos i rodyma, o jei r + 1 = b, tai paskutinioji lygybė tampa tokia n + 1 = b(k + 1) + 0, 0 = r < b Gavome, kad lygybė teisinga ir sekančiam natūralia jam skaičiui Vadinasi ši lygybė teisinga ir visiems a N 0 I sitikinsime, kad pora a, b atitinka vienintelė pora k, r, šiu poru sa lygos nurodytos teoremos formuluotėje Tarkime priešingai, ty egzistuoja bent dvi skirtingos poros k, r ir k 1, r 1 atitinkančios pora a, b Tuomet teisingos lygybės a = bk + r, a = bk 1 + r 1, 0 r, r 1 < b (3) Parodysime, kad r = r 1 Tarkime priešingai, ty r > r 1 Tada iš (3) lygybiu gauname, kad 0 < r r 1 < b (4) ir r r 1 = b(k k 1 ) (5) Kadangi r r 1 > 0, tai ir k k 1 1 Bet tada r r 1 b Bet paskutinioji nelygybė prieštarauja gauta jai (4) nelygybei Visiškai analogiškai gautume, jei nagrinėtume atveji, kai r < r 1 Taigi r = r 1 I raše gauta ji rezultata i (5) lygybe gauname, kad b(k k 1 ) = 0 Kadangi b > 0, tai k = k 1 Taigi, b a tada ir tik tada, kad (1) formulėje, liekana r = 0 Panagrinėkime dalumo iš kai kuriu požymius Dalumo požymius nustatysime naudodamiesi standartine skaičiaus forma Turime, kad a = a n a n 1 a 0 = a n 10 n + a n 1 10 n a a , (6) be to 10 k = (2 5) k, k = 0, 1, n 16 Teorema 2 a tada ir tik tada, kai a yra lyginis Kadangi a lyginis natūralusis skaičius, tai jo paskutinis skaitmuo a 0 yra lyginis skaičius Taigi, 2 a 0 ir be to 2 10 k Taigi, 2 dalo visus (1) sumos dėmenis, o tuo pačiu ir suma a 17 Teorema Skaičius 5 a tada ir tik tada, kai 5 a 0 Paskutinioji teorema i rodoma analogiškai kaip ir 16 Teorema Beje, šia teorema galime perfrazuoti kiek kitaip Ty 5 a jeigu paskutinis skaičiaus a skaitmuo yra 0 arba 5 18 Teorema Skaičius 3 a tada ir tik tada, kai 3 dalo šio skaičiaus skaitmenu suma 41

11 Naudodamiesi gerai žinoma tapatybe 10 n 1 = (10 1)(10 n n ) = 10 n 1 = 9(10 n n ), (7) kai n 1, matome, kad (7) reiškini dalo skaičius 3 Perrašykime (6) lygybe tokiu būdu a = a n ( (10 n 1) + 1) ) + a n 1 ( (10 n 1 1) + 1) ) + +a 2 ( (10 2 1) + 1) ) + a 1 ( (10 1) + 1) ) + a0 = a n ( 10 n 1 ) + a n 1 ( 10 n 1 ) + +a 2 ( ) + a 1 ( 10 1 ) + a n + a n a 1 + a 0 Remdamiesi (7) tapatybe darome išvada, kad 3 a dalo tada ir tik tada, kai 3 (a n + a n a 1 + a 0 ), ty dalo šio skaičiaus skaitmenu suma Išvada Skaičius 9 a tada ir tik tada, kai 9 dalo šio skaičiaus skaitmenu suma 19 Teorema Skaičius 4 a tada ir tik tada, kai skaičiaus a paskutiniai du skaitmenys sudaro, kuri dalo skaičius 4 Skaičius 4 10 k, kai k > 2 Taigi, skaičiaus a dalumas iš 4 priklauso nuo to ar 4 dalo likusia kanoninės formos dali, ty k = a a 0 Bet paskutinysis reiškinys yra dviženklis skaičius, kuris sudarytas iš skaičiaus a paskutiniu skaitmenu Tad jei 4 k, tai 4 a ir atvirkščiai Analogišku būdu (tai paliekame skaitytojui) galima i rodyti, kad a dalo skaičius 25 tada ir tik tada, kai paskutiniai skaitmenys sudaro, kuri dalo skaičius Bendras didžiausias daliklis Euklido algoritmas Tarkime, kad skaičiai n 1, n 2,, n k N Šiu skaičiu bendru dalikliu vadinsime bet koki, dalijanti nurodytus skaičius Pati didžiausia iš šiu dalikliu vadinsime šiu bendru didžiausiu dalikliu (toliau dbd) ir žymėsime simboliu (n 1, n 2,, n k ) Nesunku suprasti, kad bendras didžiausias daliklis egzistuoja, kadangi bendru dalikliu skaičius yra baigtinis Jeigu teisinga lygybė: (n 1, n 2,, n k ) = 1, tai sakysime, kad skaičiai n 1,, n k yra tarpusavyje pirminiai Jeigu be to ir bet kuri pora (n i, n j ) = 1 i, j = 1 k, i j, tai sakysime, kad rinkinyje skaičiai 42

12 poromis pirminiai Aišku, kad jei skaičiai yra poromis pirminiai, tai jie ir tarpusavyje pirminiai Tačiau atvirkščias teiginys nėra teisingas 20 Teorema Jeigu skaičius b a, tai a ir b bendru dalikliu aibė sutampa su skaičiaus b bendru dalikliu aibe Dar daugiau (a, b) = b Turime, kad bet koks a ir b bendras daliklis tuo pačiu yra ir skaičiaus b daliklis Atvirkščiai Jeigu b yra skaičiaus a dalikis, tai bet koks skaičiaus b daliklis yra ir skaičiaus a daliklis, taigi, jis yra a ir b bendras daliklis Darome išvada, kad a ir b bendru dalikliu aibė sutampa su skaičiaus b dalikliu aibe 21 Teorema Jeigu a = bq + c tai a ir b dalikliu aibė yra lygi b ir c dalikliu aibei Be to (a, b) = (b, c) Nesunku suprasti, kad a, b dbd dalo ir c (kodėl?), taigi, (a, b) = (b, c) Atvirkščiai Iš tos pat lygynės gauname, kad bet koks (b, c) bendras daliklis dalo ir a, taigi, šis daliklis yra ir a, b bendras daliklis Vadinasi a, b ir b, c dalikliu aibės sutampa Todėl (a, b) = (b, c) Aptarsime dvie bdd ieškojima, naudojant Euklido algoritma Tarkime, kad turime du natūraliuosius skaičius a, b ir be to a > b Tada naudodamiesi dalybos su liekana teorema gauname, kad a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b; b = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 ; r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2 ; r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 < r n < r n 1 ; r n 1 = r n q n+1 Paskutinioji lygybiu seka baigiasi, kai r n+1 = 0, kadangi skaičiai b > r 1 > r 2 > yra neneigiami ir mažėjantys Beje, šioje sekoje bus ne daugiau b teigiamu Paskutinysis dalybos su liekana algoritmas vadinamas Euklido algoritmu Panagrinėkime Euklido algoritma Visu pirma pastebėkime, kad a, b bendri dalikliai sutampa su b, r 1 bendrais dalikliai, o pastarieji su r 1, r 2 bendrais dalikliais ir taip toliau, su r n 1, r n bendrais dalikliais, o iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad a, b bendru dalikliu aibė sutampa su skaičiaus r n dalikliu aibe Be to teisingos lygybės (žr 21 ir 20 teoremas) 43

13 (a, b) = (b, r 1 ) = = (r n 1, r n ) = r n Išvada Skaičiu a, b bdd yra lygus Euklido algoritmo, paskutinei nelygiai nuliui, liekanai Ty (a, b) = r n 22 Teorema Tarkime, kad m N, o δ bet koks a, b bendras daliklis Tada teisingos lygybės a) (am, bm) = (a, b)m; b) ( a δ, b ) (a, b) = δ δ Be to, ( a (a, b), b ) = 1 (a, b) I rodysime a) dali Pastebėsime, kad Euklido algoritme visas lygybes padaugine iš m gausime, kad lygybėse vietoje a, b, r 1,, r n yra skaičiai am, bm, r 1 m,, r n m, atitinkamai Todėl (am, bm) = r n m I rodydami b) dali remsimės a) dalimi Turime (a, b) = ( a δ δ, b δ δ) = ( a δ, b ) δ δ 23 Teorema Jei (a, b) = 1, tai (ac, b) = (c, b) Pastebėsime, kad (ac, b) dalo skaičius ac ir bc Bet tada (kodėl?) (ac, b) b ir tuo pačiu (ac, b) (c, b) Atvirkščiai (c, b) dalo ac ir b, todėl (c, b) dalo (ac, b) Be tada skaičiai (ac, b) ir (c, b) dalo viens kita, o tai reiškia, kad jie yra lygūs 24 Teorema Jeigu (a, b) = 1 ir ac b, tai c b Kadangi (a, b) = 1, tai iš 22 Teoremos išplaukia, kad (ac, b) = (c, b) Bet b ac, tada išplaukia, kad (ac, b) = b Taigi (c, b) = b arba b (c, b) 25 Teorema Jei kiekvienas iš a 1,, a m yra tarpusavyje pirminis su bet kuriuo rinkinio b 1,, b n skaičiumi, tai (a 1 a 2 a m, b 1 b 2 b n ) = 1 44

14 Remdamiesi 23 Teorema gauname, kad (a 1 a m, b k ) = (a 2 a m, b k ) = = (a m, b k ) = 1 Pažymėje a = a 1 a n ir samprotaudami analogiškai gauname (b 1 b n, a) = (b 2 b n, a) = = (b n, a) = 1 Tarkime, kad mums reikia rasti a 1, a 2, a n bdd Sudarykime tokia seka : (a 1, a 2 ) = d 1, (d 1, a 3 ) = d 2,, (d n 2, a n ) = d n 1 Tada (a 1, a 2,, a n ) = d n 1 Siūlome skaitytojui pačiam i sitikinti paskutiniojo tvirtinimo teisingumu 35 Mažiausias bendras kartotinis Tarkime, kad duotas rinkinys a 1,, a m Skaičiu a vadinsime duoto rinkinio bendru kartotiniu, jeigu bet koks rinkinio skaičius dalo a Pati mažiausia iš šiu kartotiniu vadinsime duotojo rinkinio bendru mažiausiu kartotiniu ir žymėsime M = [a 1, a 2,, a n ] Pažymėkime M = (a, b) 26 Teorema Skaičiu, a, b, mažiausia bendra kartotini galime užrašyti tokiu būdu: [a, b] = ab (a, b) (1) Teoremos formuluote, naudodami ankstesnius žymėjimus, galime perrašyti taip: M = m(ab) Turime, kad a = a 1 m, b = b 1 m Bet tada, (a 1, b 1 ) = 1 Tarkime, kad M koks nors a, b kartotinis Tada egzistuoja k N, kad M = ak Be to M yra ir b kartotinis Taigi, ak b = a 1k b 1 yra sveikas skaičius Dar daugiau, b k Paskutinysis sa ryšis reiškia, kad egzistuoja k N toks, kad k = b 1 t = (b/d)t Taigi, turime M = ab t (2) d 45

15 Atvirkščiai Jeigu skaičius užrašytas (1) lygybe, tai koki beparinktume natūralu ji k, skaičius M bus a ir b kartotinis Tad darome išvada, kad (2) lygybė apibrėžia visus a, b kartotinius Akivaizdu, kad mažiausia kartotini gausime, jeigu parinksime t = 1 Tada iš (1) lygybės išplaukia formulė a ir b bendram mažiausiam kartotiniam rasti: m = ab (a, b) Išvada Skaičiu a, b bendru kartotiniu aibė sutampa su šiu mbk kartotiniu aibe Kartotiniu aibė yra begalinė Aptarsime būda, kaip rasti daugiau negu dvie bmkm 27 Teorema Tarkime, duotas a 1, a 2,, a n rinkinys Apskaičiuokime [a 1, a 2 ] = m 1, [m 1, a 3 ] = m 2,, [m n 1, a n ] = m n Tada skaičius m n yra pradinio rinkinio bmk Remdamiesi paskutinia ja išvada turime, kad a 1, a 2 bendri kartotiniai sutampa su skaičiaus m 1 bendru kartotiniu Toliau, a 1, a 2, a 3 bendri kartotiniai sutampa su m 2 ir a 3 bendru kartotiniu, ty skaičiumi m 3 ir tt a 1, a 2, a n bendri kartotiniai sutampa su skaičiumi m n Kadangi skaičiaus m n bmk yra šis skaičius m n, tad ir gauname, kad [a 1, a 2, a n ] = m n Išvada Jeigu rinkinyje skaičiai yra poromis tarpusavyje pirminiai, tai šio rinkinio bmk yra lygus šiu sandaugai Ty, jei (a 1,, a n ) = 1, tai [a 1,, a n ] = a 1 a n 36 Pirminiai skaičiai Pagrindinė aritmetikos teorema Bet koks natūralusis skaičius, didesnis už 1, turi ne mažiau negu du daliklius, ty bent jau vieneta ir save pati Apibrėžimas Natūralu ji vadinsime pirminiu, jeigu jis turi tik du daliklius Jeigu skaičius turi daugiau negu du dalikliu, toki vadinsime sudėtiniu 28 Teorema Jei natūraliojo skaičiaus a pats mažiausias daliklis q 1 ir q a, tai 6is daliklis yra pirminis skaičius Be to šis pirminis turi savybe : q < a Tarkime, kad q 1 pats mažiausias skaičiaus a daliklis Jeigu q sudėtinis, tai egzistuoja skaičius 1 < k < q, toks kad k q Bet tai prieštarauja pradinei prielaidai, kad q yra mažiausias daliklis Vadinasi teisingas priešingas teiginys- q yra pirminis I rodysime antra ja teoremos dali Turime, kad egistuoja k N, toks kad a = kq, be to k q Be tada teisinga nelygybė a q 2 arba q a 46

16 Išvada Jei pirminis skaičius p dalo a, ir p a, tai p a 29 Teorema Pirminiu aibė- begalinė Tarkime priešingai, ty pirminiu aibė yra baigtinė, kuria sudaro tokie skirtingi pirminiai p 1, p 2,, p k Tada skaičiaus p 1 p 2 p k + 1 (3) nedalo nė vienas iš nurodytu pirminiu, kadangi dalydamas ši, jis be to dalo ir sandauga p 1 p 2 p k, taigi, jis turėtu dalyti ir 1, bet taip būti negali Taigi, prielaida buvo klaidinga Darome išvada, kad pirminiu aibė begalinė Aptarsime klasikini metoda, kuriuo remiantis galime sudaryti pirmu, natūraliu sekos, pirminiu aibe Šis metodas vadinamas Erastoteno rėčiu Tarkime, duota natūraliu seka 1, 2,, N (4) Aišku, kad pirmasis pirminis yra skaičius 2 Išbraukime iš (4) sekos visus skaičius, kurie yra skaičiaus 2 kartotiniai, išskyrus ji pati Pirmasis neišbrauktas skaičius po 2, yra 3 Nesunku patikrinti, kad tai irgi pirminis skaičius Išbraukime (1) sekoje visus skaičiaus 3 kartotinius, išskyrus 3 Sekantis neišbrauktas skaičius yra 5 Jis irgi pirminis, nes priešingu atveju jis būtu išbrauktas, kadangi ji dalytu arba 2 arba 3 Ir taip toliau Kuomet nurodytu būdu išbraukti visi skaičiai, kurie kartotiniai pirminiams, mažesniems už koki nors p, tai visi neišbraukti skaičiai tarp p ir p 2 yra pirminiai Iš tiesu, bet koks sudėtinis skaičius a, mažesnis už p 2, turi būti jau išbrauktas, kadangi jis yra kokio nors jo mažiausio pirminio kartotinis, kuriam teisinga nelygybė: a p Apibendrinkime aukščiau aptarta metoda 1 Prieš pradedant išbraukti pirminio p kartotinius, reikia pradėti nuo p 2 2 Pirminiu lentelė (1) sekoje bus baigta, kai tik išbrauksime visus sudėtinius skaičius, kurie yra pirminiu, nedidesniu už N, kartotiniai 30 Teorema Tarkime, kad a be koks natūralus, o p pirminis, skaičiai Tada a arba tarpusavyje pirminis su p arba p a Skaičius (a, p) p, todėl šis skaičius yra arba lygus 1 arba p Pirmuoju atveju (a, p) = 1, o antruoju p a 31 Teorema Jeigu keliu sandauga dalo pirminis skaičius p, tai bent viena šios sandaugos daugikli dalo p Šios teoremos i rodyma paliekame skaitytojui 32 Pagrindinė aritmetikos teorema Bet koki natūralu ji, didesni už vieneta, galima užrašyti pirminiu laipsniu sandauga, vieninteliu būdu 47

17 Pastebėsime, kad teiginys vieninteliu būdu suprantamas, kad dauginamu užrašymo tvarka skaidinyje, nėra svarbi Tarkime, kad a N, a > 0 Pažymėkime skaičiaus a mažiausia pirmini p 1 Tada a = p 1 a 1 Jeigu a 1 > 1, tai pažymėje p 2 mažiausia skaičiaus a 1 pirmini dalikli gauname, kad a 1 = a 2 p 2 Jeigu a 2 > 1, tai pažymėje p 3 mažiausia a 2 pirmini dalikli gauname, kad a 2 = p 3 a 3 Ir tt Kadangi a > a 1 > a 2 > tai egzistuoja numeris n toks, kad a n = 1 Tada a n 1 = p n Daugindami gautus kartotinius gauname, kad a = p 1 p 2 p n (5) Parodykime, kad šis skaičiaus išskaidymas yra ne vienintelis Ty egzistuoja skaidinys kitais pirminiais Bet tada turi būti teisinga lygybė: p 1 p 2 p n = q 1 q 2 q m (6) Paskutiniosios lygybės dešinia ja puse dalo pirminis q 1 Bet tada ir bent viena kairiosios lygybės pusės daugikli dalo šis pirminis Tarkime, kad q 1 p 1 Tada p 1 = q 1 Dalindami abi lygybės puses iš p 1 gauname p 2 p n = q 2 q m Ir tt Sakykime, kad m > n Pakartoje ši procesa n kartu gautume lygybe : 1 = q n+1 q m Bet pastaroji lygybė galima tik tuo atveju, kai q n+1 = = q m = 1 Taigi gauname, kad p 1 = q 1 ; p n = q n Kitaip tariant, (5) lygybė užrašoma vieninteliu būdu Pastebėsime, kad jei (5) lygybėje pasikartojančius pirminius sudaugintume, tai gautume tokia lygybe lygybiu a = p α 1 1 pα 2 2 pα n n (8) Paskutinioji lygybė yra vadinama skaičiaus a kanoniniu skaidiniu Pastaba Jeigu skaičius a užrašytas (8) lygybe, tai tada visus a daliklius gauname iš (9) d = p β 1 1 pβ 2 2 pβ n n, 0 β i α i, i = 1;, n Tarkime, kad duoti du skaičiai a ir b Pastebėsime, kad nemažindami bendrumo galime pasiekti, kad abiejuose kanoniniuose skaidiniuose būtu tie patys pirminiai, žinoma, gali būti, kad kai kurie pirminiai bus su nuliniais laipsniais a = p α 1 1 pα 2 2 pα n n, b = p β 1 1 pβ 2 2 pβ n n Tokias kanonines formas vadinsime suvienodintomis kanoninėmis formomis 48

18 Pažymėkime δ i = min (α i, β i ), γ i = max (α i, β i ); i = 1,, n Tarkime, kad nagrinėjamu kanoniniai skaidiniai yra žinomi Tada teisinga tokia 33 Teorema Skaičiu dbd yra lygus sandaugai visu bendru pirminiu dauginamu, paimtu su mažiausiais laipsnio rodikliais kanoniniuose skaidiniuose Skaičiu mažiausio bendro kartotinio kanoninis skaidinys yra lygus sandaugai visu šiu pirminiu dalikliu, paimtu su didžiausiais laipsnio rodikliais, sandaugai Teorema i rodysime dviems skaičiams Tarkime, kad a, b kanoninės formos yra suvienodintos Tada skaičius d = p δ 1 1 pδ n n yra a ir b bendras daliklis Dar daugiau, (a, b) d Tada, skaičiaus (a, b) bendro didžiausio daliklio kanonini skaidini galime užrašyti taip: (a, b) = p δ 1+ρ 1 1 p δ n+ρ n n, ρ i 0 Parodykime, kad ρ i = 0, i = 1, n Tarkime priešingai, ty ρ 0 > 0 Bet tada vienas iš a arba b, kurio pirmasis daugiklis p 1 turi laipsnio rodikli δ 1, nesidalys iš (a, b), kadangi δ 1 < δ 1 + ρ 1 Bet tai prieštarauja prielaidai, kad (a, b) a b Taigi, ρ 1 = 0 Analogiškai samprotaudami gausime, kad ir like rodikliai ρ i = 0, i = 2,, n Taigi skaičius d = (a, b) I rodysime antra ja teoremos dali Pažymėkime m = p γ 1 1 pγ n n Tada a m, ir b m Taigi, skaičius m yra a ir b bendras kartotinis Žinome, kad bet bet koki kartotini dalo bendras mažiausias kartotinis Aišku, kad [a, b] suvienodintos kanoninės formos laipsniai ne didesni už atitinkamu skaičiaus m pirminiu laipsnius γ i, i = 1; n Užrašykime skaičiaus [a, b] atitinkamu pirminiu laipsnius šitaip: γ i ρ i,, ρ i i 0 Tada [a, b] = p δ 1 ρ 1 1 p δ n ρ n n Kaip ir pirmoje teoremos dalyje parodysime, kad ρ i = 0 Tarkime priešingai, ty ρ 1 > 0 Bet tada a arba b nedalo skaičiaus [a, b], kadangi vieno iš minėtu pirminio laipsnis, kanoniniame skaidinyje, δ 1 yra didesnis už skaičiaus [a, b] pirmojo pirminio laipsni δ 1 ρ 1 Taigi, prielaida klaidinga, vadinasi ρ 1 = 0 Samprotaudami visiškai analogiškai galime parodyti, kad visi rodikliai ρ i = 0, i = 2,, n Tada [a, b] = m Skaiytojui pateiksime dar viena skaidymo dviem daugikliais algoritma, kuris vadinamas Ferma algoritmu 49

19 I v: n 0 faktorizuojamas skaičius Išv: n pirminis arba n = k l r := n for i from 1 to a := (r + i) 2 j := a n ifj Zthen k := a j l := a + j n := k l goto end end if end for n pirminis end n 3 2 do 37 Multiplikatyviosos funkcijos Liekanu klasės Sakykime, kad a R Tada funkcija f(a) = [a] = n, jei n a < n + 1 yra vadinama skaičiaus a sveika ja dalimi, o funkcija {a} = a [a] trupmenine skaičiaus a dalimi Priminsime, kad n! = n 34 Teorema Sakykime, kad pirminis skaičius p dalo n! Tada laipsnis α, su kuriuo pirminis p yra skaičiaus n! skaidinyje yra toks: α = [ n] [ n ] [ n ] + + +, p p 2 p m m yra mažiausias natūralusis skaičius, su kuriuo teisinga nelygybė n p m < 1 Skaičius p n!, vadinasi skaičiai 2p, 3p, lp dalo n!, kai l toks, kad lp n < (l + 1)p Aišku, kad l = [n/p] Samprotaudami analogiškai nustatome, kad daugikliu, sudarančiu n!, kartotiniu p 2 yra lygus n/p 2 ir tt Šiu skaičiu suma ir bus ieškomasis pirminio skaičiaus, su kuriuo jis i eina i skaičiaus n! kanonini skaidini laipsnis Funkcija, apibrėžta natūraliu aibėje ir i gyjančia realias reikšmes f : N R vadinsime aritmetine funkcija Aritmetine funkcija f vadinsime multiplikatyvia, jeigu: 1 a N, kad f(a) 0; 2 bet kokiai tarpusavyje pirminiu porai (a, b) = 1 teisinga lygybė, f(ab) = f(a)f(b) Jei funkcija f(a) = y yra multiplikatyvi, tai f(1) = 1 (I rodykite!) 35 Teorema Jei funkcija f : N R yra multiplikatyvi, ir skaičiaus a kanoninis skaidinys yra a = p α 1 1 pα 2 2 pα n n, 50

20 tai d a f(d) = (1 + f(p 1 ) + f(p 2 1) + + f(p α 1 1 )) (1 + f(p n) + f(p 2 n) + + f(p α n n ) Panagrinėkime skaičiaus a daliklius galima užrašyti tokiu būdu: Prisiminkime, kad skaičiaus a visus daliklius d = p β 1 1 pβ 2 2 pβ n n, 0 β i α i, i = 1;, n Atskliaude dešinia ja teoremos formuluotėje pateiktos lygybės puse ir naudodamiesi funkcijos multiplikatyvumo savybe gausime tokiu daugikliu suma : f(p β 1 1 )f(pβ 2 2 ) f(pβ n n ) = f(p β 1 1 pβ 2 2 pβ n n ), 0 β i α i, i = 1;, n Susumave gauname: 0 β 1,β n α n f(p β1 1 pβ 2 2 pβ n) = d a f(d) Sakykime, kad n N Tada natūraliu, neviršijančiu n ir tarpusavyje pirminiu su n žymėsime simboliu φ(n) = 1 m < n, (m, n) = 1 Ši funkcija yra vadinama Oilerio funkcija Tokiu būdu apibrėžta aritmetinė funkcija yra multiplikatyvi, ty jei (m, n) = 1, tai φ(nm) = φ(n)φ(m) Nesunku suprasti, kad φ(p) = p 1 ir φ(p α ) = p α p α 1 Remiantis Oilerio funkcijos multiplikatyvumo savybe, bei aukščiau padarytomis pastabomis gauname, kad φ(n) = n p n (1 1 p 1 ) (1 1 p k ), kai n = p α 1 1 pα 2 2 pα k k Sakysime, kad skaičius a lygsta skaičiui b moduliu m, žymėsime a bmodm, jei skaičius m a b Kitaip tariant, egzistuoja skaičius l N, kad a = b + lm Skaitytojui siūlome i rodyti pateiktas lyginiu savybes 1 Jei a bmodm ir b cmodm, tai a cmodm 2 Jei a bmodm ir d cmodm, tai a + d c + bmodm 3 Jei a bmodm ir d cmodm, tai ad cbmodm 4 Jei d N 0, ir a bmodm, tai ad dbmodm arba ad dbmoddm 5 Sakykime, kad d a, d b, (d, m) = 1 Jei a bmodm, tai a d d b modm 51

21 6 Sakykime, kad d a, d b, d m Jei a bmodm, tai a d d b modm 7 Sakykime, kad d m Jei a bmodm, tai a bmodd Tarkime, kad skaičiai a, b yra nemažesni negu m, ir skaičius a bmodm Tada, dalijant a iš m ir b iš m gausime ta pačia liekana Todėl, jei a bmodm tai sakysime, kad skaičiai a ir b priklauso tai pačiai liekanu klasei Tarkime, kad modulis m fiksuotas Tada naudojantis dalybos su liekana teorema galime teigti, kad dalijant natūraliuosius skaičius iš m gausime liekanas 0 r m 1 Taigi, iš viso yra lygiai m skirtingu liekanu klasiu 36 Teorema Sakykime, kad (a, m) = 1 Jei x i gyja visas natūraliu intervalo [0, m 1] reikšmes, tai tiesinė funkcija f(x) = ax + b taip pat i gyja visas šio intervalo reikšmes, E(f) = {0, 1,, m 1}, b N Pakanka parodyti, kad skirtingiems skaičiams x 1, x 2 iš nurodyto intervalo, funkcijos reikšmės f(x 1 ) ir f(x 2 ) priklauso skirtingoms liekanu klasėms moduliu m Tarkime priešingai, ty kad ax 1 + b ax 2 + bmodm Iš pastarosios lygybės gauname, kad ax 1 ax 2 modm Naudodamiesi 5 savybe gauname prieštaravima, ty x 1 x 2 modm Sakykime, kad nagrinėjame liekanu klases moduliu m Tada visos liekanu klasės, kurios tarpusavyje pirminės su moduliu, sudaro liekanu aibės poaibi, moduliu m, kuri vadinsime redukuota liekanu klase moduliu m Nesunku suprasti, kad redukuotoje liekanu klasėje yra tiek elementu, kiek yra aibėje {0, 1,, m 1}, kurie tarpusavyje pirminiai su skaičiumi m Bet jau žinome, kad šis skaičius yra lygus Oilerio funkcijos reikšmei φ(m) I rodysime Oilerio teorema 37 Teorema Tarkime, kad m > 1 ir (a, m) = 1 Tada a φ(m) 1modm Tarkime, kad x 1,, x φ(m) yra redukuota liekanu sistema Tada, naudodamiesi 3 teorema gauname, kad ir skaičiai ax 1 r 1 modm,, ax φ(m) r φ(m) modm sudaro redukuota liekanu sistema Naudodamiesi 3 savybe gauname, kad ax 1 ax 2 ax φ(m) r 1 r 2 r φ(m) modm Kadangi x 1 x φ(m) = r 1 r φ(m), tai padalije paskutiniosios modulinės lygybės abi puses iš sandaugu gausime teoremos i rodyma Išvados 1 Tarkime, kad m > 1 ir (a, m) = 1 Tada 2 Tarkime, kad m > 1 Tada a p 1 1modm a p amodm 52

22 Tarkime, kad m > 1 yra fiksuotas modulis Sakysime, kad skaičius r yra atvirkštinis skaičiui q moduliu m, jei rq 1modm Remiantis 4 teorema galime tvirtinti, kad jei (a, m) = 1, tai elemento a atvirkštinis moduliu m yra lygus a φ(m) 2 Uždaviniai 1 Naudodami matematinės indukcijos metoda i rodykite, kad 1) n = n(n + 1) 2 2) (2n 1) = n 2 3) (1 + p) k > 1 + kp 4) 2 n > n 2 2 Naudodami indukcijos metoda i rodykite, kad koks bebūtu natūralusis skaičius n, teisingi dalumo sa ryšiai: 6 14n 3 + 9n 2 + n; n n+1, n 3 Nurodykite aibės N poaibius A, B, kurie turi savybes: A B N, N \ A N ir aibė N \ B yra baigtinė aibė 4 Nustatykite kuriuos iš pateiktu dalo skaičiai 3, 4, 5, 9, 12, 15 : , 69512, , , , Parodykite, kad šešiaženklis skaičius abcabc yra dalus iš 7, 11 6 Naudodami Euklido algoritma, raskite pateiktu poru dbd: 425, 2135; 12516, 9459; 1224, 4224, 3553, Raskite poru 1245, 545; ir 3456, 981 bendrus mažiausius kartotinius Be to raskite dbd (7245, 5445, 145, 9135) ir mbk [7245, 5445, 145, 9135] 8 Raskite 16245, , , kanoninius skaidinius Remdamiesi šiais skaidiniais raskite pateiktu mbk ir dbd 9 Naudodami Ferma algoritma, faktorizuokite skaičius: 2881, , , , I rodykite liekanu klasiu 1-7 savybes 53

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, 0--. Magdalena Raseiniškė mėgsta pradėti bet kurį darbą tokiu uždaviniu, kurį, kaip ji sako,

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

Tvarkinguolė voverytė Julė, įsikūrusi Pavoveriuose (netoli Pabradės) savo žiemai skirtų gigantinių riešutaičių atsargas yra prislėpusi 5 drevėse

Tvarkinguolė voverytė Julė, įsikūrusi Pavoveriuose (netoli Pabradės) savo žiemai skirtų gigantinių riešutaičių atsargas yra prislėpusi 5 drevėse LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 4 tema. KAIP SPRĘSTI, KAI NELABAI ŽINAI KAIP? (010 01) Teorinę medžiagą parengė ir ketvirtąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas Romualdas Kašuba 1. Įvadiniai

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORTELĖ UŽDAVINIO NUMERIS TEISINGAS ATSAKYMAS. D. E. A

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas Turinys 1 Skaičiavimo sistemos 3 11 Sveikųjų dešimtainių skaičių išreiškimas dvejetaine, aštuntaine

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Dažniausios IT VBE klaidos

Dažniausios IT VBE klaidos Dažniausios IT VBE klaidos Renata Burbaitė renata.burbaite@gmail.com Kauno technologijos universitetas, Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija 1 Egzamino matrica (iš informacinių technologijų brandos egzamino

Detaliau

5_3 paskaita

5_3 paskaita EKONOMIKOS INŽINERIJA Parengė: doc. dr. Vilda Gižienė 4. PRODUKTO GAMYBOS TECHNOLOGIJA Temos: 4.7.Įmonės pelnas ir jo maksimizavimas 4.7.1. Konkuruojančios firmos pajamos. 4.7.2. Pelno maksimizavimas trumpuoju

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

Tiesioginio-debeto-paslaugos-duomenu-apsikeitimo-formatu-aprasas

Tiesioginio-debeto-paslaugos-duomenu-apsikeitimo-formatu-aprasas TIEIOGINIO DEBETO PALAUGO DUOMENŲ APIKEITIMO FORMATŲ APRAŠA Tarp banko ir kliento yra keičiamasi tokio tipo failais: utikimai mokėti tiesioginio debeto būdu, priimti įmonėje (failo plėtinys.dse). o Banko

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija 2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

A

A ALGORITMAI 14. Algoritmo sąvoka ir savybės Dirbdami kasdieninius darbus dažniausiai nesusimąstome, kokius veiksmus ir kokia tvarka atliekame. Apie tai pagalvojame, kai norime kokį nors darbą pavesti kitam.

Detaliau

LMR200.dvi

LMR200.dvi Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio 1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio laikotarpio pajamos neviršija 300 000 eurų, pirmojo

Detaliau

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas. Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v (x) = + x ) e x, x (, ). () Čia yra filtro parametras. Kad

Detaliau

2009 m. liepos 22 d. Komisijos reglamentas (EB) Nr. 637/2009, nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų

2009 m. liepos 22 d. Komisijos reglamentas (EB) Nr. 637/2009, nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų L 191/10 Europos Sąjungos oficialusis leidinys 2009 7 23 KOMISIJOS REGLAMENTAS (EB) Nr. 637/2009 2009 m. liepos 22 d. nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų

Detaliau

CL2013O0023LT _cp 1..1

CL2013O0023LT _cp 1..1 02013O0023 LT 01.09.2018 001.001 1 Šis tekstas yra skirtas tik informacijai ir teisinės galios neturi. Europos Sąjungos institucijos nėra teisiškai atsakingos už jo turinį. Autentiškos atitinkamų teisės

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Nacionalinio egzaminų centro projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas (kodas VP1-2.1-ŠMM-01-V-03-003) 1 seminaras Dalykinių

Detaliau

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc STATISTIKA FILOLOGAMS 10 paskaita STATISTINIAI KRITERIJAI 1. Statistiniai palyginimai ir statistinės hipotezės Jau ne kartą minėta, kad tyrinėtojui neretai prisieina ne vien tik aprašyti empirinius statistinius

Detaliau

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tiriant judėjimą, išreiškiamą priklausomybėmis tarp kintamųjų

Detaliau

Microsoft Word - Asmenų prašymų pasiūlymų ir skundų nagrinĊjimo tvarkos aprašas

Microsoft Word - Asmenų praÅ¡ymų pasiÅ«lymų ir skundų nagrinÄŠjimo tvarkos apraÅ¡as PATVIRTINTA Marijampolės specialiųjų socialinės globos namų direktoriaus 2007 m. birželio 12 d. įsakymu Nr. V-37 (Marijampolės specialiųjų socialinės globos namų direktoriaus 2014 m. birželio 18 d. įsakymo

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB SAUKRISTA DARBO SKELBIME TYRIMO 2019 m.

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB SAUKRISTA DARBO SKELBIME TYRIMO 2019 m. LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB SAUKRISTA DARBO SKELBIME TYRIMO 2019 m. sausio 11 d. Nr. (18)SN-231)SP-5 Vilnius Lygių galimybių

Detaliau

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTIZUOTUS VERTINIMO ĮRANKIUS ATASKAITOS PRIEDAS MOKYKLOMS,

Detaliau

Mano ERGO savitarnos sistema mano.ergo.lt (Naudotojo atmintinė) 1) Kaip prisijungti prie savitarnos sistemos? 1. Naršyklės lange įveskite mano.ergo.lt

Mano ERGO savitarnos sistema mano.ergo.lt (Naudotojo atmintinė) 1) Kaip prisijungti prie savitarnos sistemos? 1. Naršyklės lange įveskite mano.ergo.lt Mano ERGO savitarnos sistema mano.ergo.lt (Naudotojo atmintinė) 1) Kaip prisijungti prie savitarnos sistemos? 1. Naršyklės lange įveskite mano.ergo.lt 2. Pasirinkite vieną iš prisijungimo būdų: el. bankininkystę,

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO 2018 m. gruodžio 11 d. Nr. (18)SN-215)SP-123 Vilnius

Detaliau

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga atitinka pagrindines demokratijos vertybes ir principus (asmens ir tautos

Detaliau

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx)

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx) Versta iš angliško vertimo iš danų k. Neoficialus vertimo tekstas Žiniasklaidos atsakomybės įstatymas 1 dalis Taikymo sritys 1 straipsnis. Šis įstatymas taikomas šioms žiniasklaidos priemonėms: 1) nacionaliniams,

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu

Detaliau

AAA.AIEPI.Mokymu_medziaga_MOK_VI_07.Vandens_inventorizacijos_duomenu_tvarkymas.v.0.4

AAA.AIEPI.Mokymu_medziaga_MOK_VI_07.Vandens_inventorizacijos_duomenu_tvarkymas.v.0.4 Informacinės sistemos eksploatacinė dokumentacija AIVIKS MOKYMO MEDŽIAGA 07. Vandens inventorizacijos duomenų tvarkymas Aplinkos apsaugos agentūra Aplinkosauginės informacijos elektroninių paslaugų išvystymas

Detaliau

Lietuvos mobiliojo ryšio operatorių 30Mbit/s zonų skaičiavimo metodika

Lietuvos mobiliojo ryšio operatorių 30Mbit/s zonų skaičiavimo metodika MOBILIOJO RYŠIO OPERATORIŲ 30 MB/S APRĖPTIES SKAIČIAVIMAI RRT atliktos analizės rezultatų viešas aptarimas, Susisiekimo ministerija 2015 10 19 Lietuvos respublikos ryšių reguliavimo tarnyba Direktoriaus

Detaliau

Elektroninių pažymėjimų tvarkymo sistema

Elektroninių pažymėjimų tvarkymo sistema Data: 2019-09-16 Valstybinio socialinio draudimo fondo valdyba Turinys 1. Įžanga... 3 1.1. Dokumento tikslas... 3 1.2. Terminai ir santrumpos... 3 2. Perskaitykite pirmiausia... 4 2.1. Ką rasite šiame

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Ar sankcijos už nesąžiningų sąlygų naudojimą efektyvios? Dr. Danguolė Bublienė Nesąžiningų sąlygų kontrolės būdai Teisinių gynybos priemonių Preventyvi (NSD 7 str.) Ultrapreventyvi Abstrakti Atsitiktinė

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

Projektas

Projektas 1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS

Detaliau

Microsoft Word - Dokumentas1

Microsoft Word - Dokumentas1 2014 2020 metų Europos Sąjungos fondų investicijų veiksmų programos 3 prioriteto Smulkiojo ir vidutinio verslo konkurencingumo skatinimas priemonės Nr. 03.3.1-LVPA-K-803 Regio Invest LT+ projektų finansavimo

Detaliau

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRO 011 M. KOVO D. ĮSAKYMO NR. V-199 DĖL LIETUVOS HIGIENOS NORMOS HN 80:011 ELEKTROMAGNETINIS

Detaliau

Prekių pirkimo pardavimo taisyklės

Prekių pirkimo pardavimo taisyklės Kursų ir seminarų pirkimo pardavimo svetainėje sportoakademija.lt taisyklės 1. Sąvokos 1.1. Pardavėjas Lietuvos Respublikos VĮ Registrų centras, Juridinių asmenų registro Kauno filiale įregistruotas privatusis

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr redakci

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr redakci PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr. 03-144 (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr. 03-90 redakcija) ATSAKINGOJO SKOLINIMO NUOSTATAI I SKYRIUS BENDROSIOS

Detaliau

KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBA SPRENDIMAS DĖL KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2012 M. SAUSIO 26 D. SPRENDIMO NR. T2-6 DĖL PRIĖMIMO Į KRETI

KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBA SPRENDIMAS DĖL KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2012 M. SAUSIO 26 D. SPRENDIMO NR. T2-6 DĖL PRIĖMIMO Į KRETI KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBA SPRENDIMAS DĖL KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2012 M. SAUSIO 26 D. SPRENDIMO NR. T2-6 DĖL PRIĖMIMO Į KRETINGOS RAJONO SAVIVALDYBĖS BENDROJO UGDYMO MOKYKLAS TVARKOS

Detaliau

Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuo

Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuo Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuoja vienkartinius skaitmenimis išreiškiamus slaptažodžius.

Detaliau

Microsoft Word - pildymo instrukcija (parengta VMI).docx

Microsoft Word - pildymo instrukcija (parengta VMI).docx PATVIRTINTA Valstybinės mokesčių inspekcijos prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos viršininko 2003 m. vasario 7 d. įsakymu Nr. V-45 NAUJA REDAKCIJA nuo 2017 01 01 (Šaltinis INFOLEX) INFOLEX PASTABA:

Detaliau

PATVIRTINTA UAB Kauno švara valdybos 2013 m. rugsėjo 26 d. nutarimu Nr. (1.7.)-VN-76 UAB KAUNO ŠVARA TURTO PARDAVIMO VIEŠO AUKCIONO BŪDU NUOSTATAI I.

PATVIRTINTA UAB Kauno švara valdybos 2013 m. rugsėjo 26 d. nutarimu Nr. (1.7.)-VN-76 UAB KAUNO ŠVARA TURTO PARDAVIMO VIEŠO AUKCIONO BŪDU NUOSTATAI I. PATVIRTINTA UAB Kauno švara valdybos 2013 m. rugsėjo 26 d. nutarimu Nr. (1.7.)-VN-76 UAB KAUNO ŠVARA TURTO PARDAVIMO VIEŠO AUKCIONO BŪDU NUOSTATAI I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Šie nuostatai reglamentuoja

Detaliau

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio 11 25 d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją laboratoriją, rezultatų apžvalga Vilnius, 2017 m. Turinys Įžanga... 3

Detaliau

Pofsajungu_gidas_Nr11.pdf

Pofsajungu_gidas_Nr11.pdf 2 p. 3 p. 4 p. Šiame straipsnyje pristatoma profsąjungų svarba ir galimos jų veiklos kryptys, kovojant su diskriminacija darbo rinkoje. Ši profesinių sąjungų veiklos sritis reikšminga ne tik socialiai

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus

Detaliau

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoje Sąvoka mokėjimo sąskaita Galimas taupomosios sąskaitos,

Detaliau

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt Šį vadovą parengė nepriklausoma apskaitos įmonė 2018 m. rugsėjo LIETUVA SU TRUMPALAIKE NUOMA SUSIJĘ MOKESČIŲ KLAUSIMAI Toliau pateikta informacija yra gairės, padėsiančios susipažinti su kai kuriais mokesčių

Detaliau

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP RJ-45 interneto kabelio 1.4. Kompiuterio su prieiga

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.

Detaliau

VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal

VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal individualius ugdymosi planus. (Pagal vidurinio ugdymo

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKY

PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKY PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKYMO TAISYKLĖS I SKYRIUS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Vaizdo

Detaliau

Mokinių tiriamojo darbo įgūdžių formavimas

Mokinių tiriamojo darbo įgūdžių formavimas Mokinių tiriamojo darbo įgūdžių formavimas per programavimo pamokas ir projektinėje veikloje Renata Burbaitė Panevėţio Juozo Balčikonio gimnazija Tiriamasis darbas mokykloje: ugdo mokinių kritinį mąstymą;

Detaliau

Foresta

Foresta Vilnius, 2010 m. balandžio 21 d. Asociacija Draudimo brokerių rūmai Algirdo g. 9A, Vilnius, Lietuva 2009 m. gruodžio 31 d. metinių finansinių ataskaitų rinkinys bei Auditoriaus išvada ir Audito ataskaita

Detaliau

Tema 2 AP skaidres

Tema 2 AP skaidres Finansinės ataskaitos ir pinigų srautai Tema 2. Finansinės ataskaitos ir pinigų srautai 2.1 (balance sheet) 2.2 Pelno-nuostolio ataskaita (The Income Statement) 2.3 (Cash flow) doc.a Paškevičius 1 2 -

Detaliau

DATA: TURINYS ĮVADAS 5 Teksto skaitymo būdai 5 LIETUVIŲ KALBA UŽRAŠAI I SKYRIUS. KALBA KAIP SOCIALINIS KULTŪRINIS REIŠKINYS 8 1. Vaizdinės ir tekstinė

DATA: TURINYS ĮVADAS 5 Teksto skaitymo būdai 5 LIETUVIŲ KALBA UŽRAŠAI I SKYRIUS. KALBA KAIP SOCIALINIS KULTŪRINIS REIŠKINYS 8 1. Vaizdinės ir tekstinė TURINYS ĮVADAS 5 Teksto skaitymo būdai 5 LIETUVIŲ KALBA UŽRAŠAI I SKYRIUS KALBA KAIP SOCIALINIS KULTŪRINIS REIŠKINYS 8 1 Vaizdinės ir tekstinės informacijos šaltiniai, jų patikimumas 8 2 Kalbos kilmė 9

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUN

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUN LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIAUS PAŽYMA DĖL PARTIJOS,,JAUNOJI LIETUVA 2017 M. FINANSINIŲ ATASKAITŲ RINKINIO IR

Detaliau

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te 8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju teorijos. Tegul ξ bus taikinio A vidiniu kintamu ju rinkinys,

Detaliau

Tema 2 AP skaidres

Tema 2 AP skaidres Tema 2. Finansinės ataskaitos ir pinigų srautai doc.a Paškevičius 1 Finansinės ataskaitos ir pinigų srautai 2.1 Balansas (balance sheet) 2.2 Pelno-nuostolio ataskaita (The Income Statement) 2.3 Pinigų

Detaliau

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, C(2018) 3568 final KOMISIJOS DELEGUOTASIS REGLAMENTAS (ES) / kuriuo iš dalies keičiamos Deleguoto

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, C(2018) 3568 final KOMISIJOS DELEGUOTASIS REGLAMENTAS (ES) / kuriuo iš dalies keičiamos Deleguoto EUROPOS KOMISIJA Briuselis, 2018 06 07 C(2018) 3568 final KOMISIJOS DELEGUOTASIS REGLAMENTAS (ES) /... 2018 06 07 kuriuo iš dalies keičiamos Deleguotojo reglamento (ES) 2015/2446 nuostatos dėl bendrosios

Detaliau

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO

Detaliau