Lošimų teorija. 1 Lošimo teorijos komandų kodai

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "Lošimų teorija. 1 Lošimo teorijos komandų kodai"

Transkriptas

1 games-lt.wxmx / 9 Lošimų teorija A.Domarkas, VU, 4 Atvirojo kodo kompiuterinės algebros sistemoje Maxima 5.. yra sudarytas komandų paketas, kuris sprendžia pagrindinius lošimo teorijos uždavinius. Toliau yra pateikiami komandų kodai ir jų naudojimo pavyzdžiai. Lošimo teorijos komandų kodai Visų komandų kodai yra įrašyti faile gt.mac. Todėl norint jas naudoti užtenka įvykdyti komandą load(gt). Čia pateikiami komandų kodai yra pateikiami skaitytojams, kurie nori susipažinti su jais ir, gal būt, juos patobulinti. Čia yra pirmoji paketo versija. Pavdinkime ją: gt 4.. (Game theory 4 ). Komandos maximize_mlp ir minimize_mlp yra simplex paketo komandų maximize_lp ir minimize_lp apibendrinimas atvejui, kai ekstremumo taškų aibė yra begalinė. Tada šie taškai sudaro iškilą uždarą aibę. Randami sprendinių aibės visi kraštutiniai taškai ir atsakymai yra išvedami tų taškų iškilojo apvalkalo pavidalu. Standatinės simplex paketo komandos maximize_lp ir minimize_lp randa tik po vieną, nežinia kurį, sprendinį. (%i) maximize_mlp(f,apr):=block([m,v,n,f], solving(sis):=block([], if length(sis)=length(listofvars(sis)) then solve(sis) else solve(sis,listofvars(sis)) ), m:length(apr), v:sort(listofvars(apr)), n:length(v), if constantp(f) then n:n+, linsolvewarn:false, f:maximize_lp(f,apr)[], makelist(lhs(apr[k])=rhs(apr[k]),k,,m), powerset(setify(%%),n-), full_listify(%%), makelist(append(%%[k],[f=f]),k,,length(%%)), map(solving,%%), delete([],%%), map(first,%%), sublist(%%,lambda([x],sort(listofvars(x))=v )), sublist(%%,lambda([x],apply("and",subst(x,apr)))), map(sort,%%), listify(setify(%%)), append([f],%%) )$ (%i) minimize_mlp(f,apr):=block([m,v,n,f], solving(sis):=block([], if length(sis)=length(listofvars(sis)) then solve(sis) else solve(sis,listofvars(sis)) ), m:length(apr), v:sort(listofvars([f,apr])), n:length(v), if constantp(f) then n:n+, linsolvewarn:false, f:minimize_lp(f,apr)[], makelist(lhs(apr[k])=rhs(apr[k]),k,,m), powerset(setify(%%),n-), full_listify(%%), makelist(append(%%[k],[f=f]),k,,length(%%)), map(solving,%%), delete([],%%), map(first,%%), sublist(%%,lambda([x],sort(listofvars(x))=v )), sublist(%%,lambda([x],apply("and",subst(x,apr)))), map(sort,%%), listify(setify(%%)), append([f],%%) )$

2 games-lt.wxmx / 9 Komandos vlow ir vupp apskaičiuoja viršutinį ir apatinį lošimo rėžį (lower and upper values of the game). [], 5-8; [], 4-6 (%i) vlow(a):=block([rows,cols], [rows,cols]:matrix_size(a), lmax(makelist(lmin(a[i]),i,,rows)))$ (%i4) vupp(a):=block([rows,cols], [rows,cols]:matrix_size(a), lmin(makelist(lmax(transpose(a)[j]),j,,cols)))$ Komanda solvemgame(a) sprendžia dviejų asmenų nulinės sumos matricinį lošimą. Komanda msolvemgame(a) sprendžia dviejų asmenų nulinės sumos matricinį lošimą ir yra skirta atvejui, kai strategijų aibės yra begalinės. Sprendiniai išvedami kraštutinių taškų iškilojo darinio pavidalu. Antroji komanda veikia lėčiau negu pirmoji. [], 6-49; [], ch.,. (%i5) solvemgame(a):= block([b,u,w,u,w,f,f,apr,apr,s,s,ss,d,xs,ys,nonegative_lp:true], load(simplex), B:A-lmin(list_matrix_entries(A))+, [m,n]:matrix_size(a), U:makelist(concat(u,k),k,,m), W:makelist(concat(w,k),k,,n), apr:makelist((transpose(b).u)[k][]>=,k,,n), f:sum(u[k],k,,m), minimize_lp(f,apr), s:subst(%%[],u), f:sum(w[k],k,,n), apr:makelist((b.w)[k][]<=,k,,m), ss:maximize_lp(f,apr), s:subst(%%[],w), d:ss[], xs:s/d, ys:s/d, [xs,ys,xs.a.ys] )$ (%i6) msolvemgame(a):=block([sol,solx,soly], linsolvewarn:false, sol:solvebmgame(a,-a), makelist(sol[k][],k,,length(sol)), listify(setify(%%)), sublist(%%,lambda([x],listofvars(x)=[])), if length(%%)>= then solx:convexhull(%%) else solx:%%[], makelist(sol[k][],k,,length(sol)), sublist(%%,lambda([x],listofvars(x)=[])), listify(setify(%%)), if length(%%)>= then soly:convexhull(%%) else soly:%%[], [solx,soly,last(sol)[]] )$ Komanda solvebmgame(a,b) sprendžia dviejų asmenų nenulinės sumos matricinį lošimą(bimatricinį lošimą). [], 5-64; [], ch..

3 games-lt.wxmx / 9 (%i7) solvebmgame(a,b):=block([m,n,x,y,f,m,n,v,p,q,pm,pn,s,sis,sol,i,j,k], [m,n]:matrix_size(a), X:makelist(concat(x,k),k,,m), Y:makelist(concat(y,k),k,,n), F:X.(A+B).Y-p-q, apr:append( makelist(a[k].y<=p,k,,m), makelist(transpose(b)[k].x<=q,k,,n), [sum(x[k],k,,m)=,sum(y[k],k,,n)=], makelist(x[k]>=,k,,m), makelist(y[k]>=,k,,n)), M:makelist(k,k,,m), pm:listify(powerset(setify(m))), N:makelist(k,k,,n), pn:listify(powerset(setify(n))), v:listofvars(apr), S:[], for i thru ^m do for j thru ^n do ( sis:append( makelist(a[k].y=p,k,sublist(m,lambda([k],not member(k,pm[i])))), makelist(transpose(b)[k].x=q,k, sublist(n,lambda([k],not member(k,pn[j])))), [sum(x[k],k,,m)=,sum(y[k],k,,n)=,f=], makelist(x[k]=,k,listify(pm[i])), makelist(y[k]=,k,listify(pn[j]))), sol:solve(sis,v), ev(apr,%%), map(is,%%), if freeof(false,%%) then S:endcons(ev([X,Y,p,q],sol),S) ), sublist(s,lambda([x],listofvars(x)=[])) )$ Komanda normalize(g) normuoja koalicinį lošimą G. [], 69-7; [], (%i8) normalize(g):=block([n,foo,m,v,c,val], n:cardinality(g[]), foo(x,y):=cardinality(x)<=cardinality(y), listify(powerset(g[])), delete({},%%), M:sort(%%,foo), map(v,m), val:subst(g[],%%), c:/(val[^n-]-sum(val[i],i,,n)), [G[],makelist(v(M[k])=c*val[k] -apply("+",create_list(c*val[i],i,listify(m[k]))),k,,^n-)] )$ Komanda e(k,x) randa dalybų x ekscesą koalicijos K atžvilgiu. [], p. 99; [], p. 98. (%i9) e(k,x):=block([], L:listify(K), create_list(x[i],i,l), v(k)-sum(%%[i],i,,length(l)), subst(g[],%%) )$ Komanda core randa lošimo šerdį. Komanda least_core randa epsilon ir epsilon-šerdį. Čia epsilon yra mažiausias skaičius, su kuriuo lošimo epsilon-šerdis yra netuščia aibė. Jei epsilon>, tai lošimo šerdis yra tuščia. [], 7-8; [], -48.

4 games-lt.wxmx 4 / 9 (%i) least_core(g):=block([n,foo,m,v,x,apr,s,sol], local(x,v), load(simplex), n:cardinality(g[]), foo(x,y):=cardinality(x)<=cardinality(y), listify(powerset(g[])), delete({},%%), M:sort(%%,foo), map(v,m), val:subst(g[],%%), X:makelist(x[k],k,,n), makelist(e(m[k],x)<=epsilon,k,,^n-), apr:endcons(sum(x[k],k,,n)=val[^n-],%%), s:minimize_mlp(epsilon,apr), if length(s)= then sol:subst(s[],x) else sol:convexhull(makelist(subst(s[k],x),k,,length(s))), return([s[],sol]) )$ (%i) core(g):=block([n,foo,m,v,x,apr,s,sol], local(x,v), if least_core(g)[]> then return([]), n:cardinality(g[]), foo(x,y):=cardinality(x)<=cardinality(y), listify(powerset(g[])), delete({},%%), M:sort(%%,foo), map(v,m), val:subst(g[],%%), X:makelist(x[k],k,,n), makelist(e(m[k],x)<=,k,,^n-), apr:endcons(sum(x[k],k,,n)=val[^n-],%%), s:minimize_mlp(,apr), if length(s)= then sol:subst(s[],x) else sol:convexhull(makelist(subst(s[k],x),k,,length(s))), return(sol) )$ Komanda ShapleyValue(G) randa koalicinio lošimo Šiaplio vertę. [], 8-98; [], 5-5 (%i) ShapleyValue(G):=block([n,M,S,x,i,k], local(x), n:cardinality(g[]), M:listify(powerset(G[])), for k thru n do (S:sublist(M,lambda([x],member(k,x))), x[k]:sum((v(s[i])-v(setdifference(s[i],{k})))* (cardinality(s[i])-)!*(n-cardinality(s[i]))!/n!,i,,length(s))), subst(g[],makelist(x[k],k,,n)), subst(v({})=,%%) )$ Komanda nucleolus(g) randa koalicinio lošimo nukleolą. [], 99-4; [], 9-5. (%i) nucleolus(g):=block([lc], lc:least_core(g), if freeof(convexhull,lc[]) then return(lc[]) else first(lc[]), apply("+",%%)/length(%%) )$ Komanda belong(x,c) patikrina ar taškas x priklauso iškilajam dariniui C.

5 games-lt.wxmx 5 / 9 (%i4) belong(x,c):=([], load(simplex), sum(t[k]*first(c)[k],k,,length(first(c)))-x, append(makelist(%%[k]=,k,,length(x)), makelist(t[k]>=,k,,length(first(c))), makelist(t[k]<=,k,,length(first(c))), [sum(t[k],k,,length(first(c)))=]), minimize_lp(,%%), is(%%[]=) )$ Komandų vlow, vupp pavyzdžiai. [], Example.7 (%i5) A:matrix([,,-,,,-], [-,,-,-,,-], [-,-,-,,, ]); (%o5) (%i6) vlow(a); (%o6) (%i7) vupp(a); (%o7). [], Example.8 (%i8) A:matrix([.,.5,.], [.6,.,.8], [.8,.,.]);..5. (%o8) (%i9) vlow(a); (%o9).8 (%i) vupp(a); (%o).. [], 5 psl., 5. c) pavyzdys (%i) A:matrix( [,-,,-,4], [4,,-,7,], [7,5,4,8,5], [-6,-4,,-,9]); - 4 (%o) (%i) vlow(a); (%o) 4 (%i) vupp(a); (%o) 4

6 games-lt.wxmx 6 / 9 Komandų solvemgame, msolvemgame pavyzdžiai. [], Example. (%i4) A:matrix([,-],[-,9]); (%o4) 9 (%i5) vlow(a); (%o5) (%i6) vupp(a); (%o6) (%i7) solvemgame(a); (%o7) [[ 5 7, 7 ],[5 7, 7 ], 7 ]. [], Example. (%i8) A:matrix([,-,],[-,, -],[,-,]); (%o8) (%i9) vlow(a); (%o9) (%i) vupp(a); (%o) (%i) solvemgame(a); (%o) [[,, ],[,, ],] Sprendiniai iš [], Example. yra X* = (/, /, ) ir Y* = (/, /, ) arba X* = (x, /, / - x), <=x<=/, Y* = (y, /, / - y), <=y<=/. Sprendiniai gauti su game solver iš [4] yra EE P: () / / EP= P: () / / EP= EE P: () / / EP= P: () / / EP=. Minėti sprendiniai yra teisingi, nes jie priklauso bendrąjam sprendiniui, gaunamam su msolvemgame: (%i) msolvemgame(a); (%o) [convexhull Ñ Ñ [[,, ],[,,]],convexhull [[,, ],[,,]],] Komanda msolvemgame yra nauja, nes jos nebuvo anksčiau nei vienoje kompiuterinėje sistemoje.. [], Example. (%i) A:matrix([,,],[,, ],[,,]); (%o) (%i4) vlow(a); (%o4)

7 games-lt.wxmx 7 / 9 (%i5) vupp(a); (%o5) (%i6) solvemgame(a); (%o6) [[,, ],[,, ],] (%i7) msolvemgame(a); (%o7) [[,, ],[,, ],] 4. [], Example. (%i8) A:matrix([-,,-],[,, ],[,,]); (%o8) - (%i9) vlow(a); (%o9) (%i4) vupp(a); (%o4) (%i4) solvemgame(a); (%o4) [[,,],[ 4, 4,],] (%i4) msolvemgame(a); Ñ (%o4) [[,,],convexhull [[,,],[,, ],[ 4, 4,],[,,]],] (%i4) load(draw)$ Loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/grcommon.o Finished loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/grcommon.o Loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/gnuplot.o Finished loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/gnuplot.o Loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/vtk.o Finished loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/vtk.o Loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/picture.o Finished loading C:/Users/Aleksas/maxima/binary/binary-gcl/share/draw/picture.o

8 games-lt.wxmx 8 / 9 (%i44) wxdrawd( xlabel = "x", ylabel = "x", xtics =., ytics =., ztics =.5, points_joined=true, point_type = filled_circle, view = [5, 5], points([[,,],[,/,/],[/4,/4,],[/,/,],[,,]]) )$ (%t44) Ar Y = (.5,.5,.5) yra optimali strategija II lošėjui? (%i45) reset()$ (%i) eq:t*[,,]+t*[,/,/]+t*[/4,/4,]+t4*[/,/,]=[.5,.5,.5]; (%o) [ t4 + t 4, t4 + t 4 + t, t +t ] =[.5,.5,.5] (%i) solve(lhs(%)-rhs(%),[t,t,t,t4]); rat: replaced -.5 by -/ = -.5 rat: replaced -.5 by -/ = -.5 rat: replaced -.5 by -7/ = -.5 %r - 4 %r 4 %r - (%o) [[t=-, t =%r, t =-,t4= ]] 6 5 (%i4) subst(%r=/4,%); (%o4) [[t= 4 5,t = 4, t = 5, t4 = 7 ]] (%i5) 4/5*[,,]+/4*[,/,/]+/5*[/4,/4,]+7/*[/,/,]; (%o5) [,, 7 ] (%i6) float(%), numer; (%o6) [.5,.5,.5] Todėl [.5,.5,.5] priklauso iškilajam dariniui convexhull([[,,], [,/,/], [/4,/4,], [/,/,]]) ir yra yra optimali strategija II lošėjui. Kitas būdas tai nustatyti yra pasinaudojant komanda belong: (%i7) belong([.5,.5,.5],convexhull([[,,], [,/,/], [/4,/4,], [/,/,]])); (%o7) true 5. [], Example.6

9 games-lt.wxmx 9 / 9 (%i8) A:matrix([,-,],[,5, -]); (%o8) 5 - (%i9) vlow(a); (%o9) - (%i) vupp(a); (%o) (%i) solvemgame(a); (%o) [[, ],[,, ],] (%i) msolvemgame(a); (%o) [[, ],[,, ],] 6. [], Example.7 (%i) A:matrix([-,],[,-4],[-5,6],[7,-8]); (%o) (%i4) vlow(a); (%o4) (%i5) vupp(a); (%o5) 6 (%i6) solvemgame(a); (%o6) [[ 5 6,,, 6 ],[5 9, 4 9 ], ] 7. [], Problem.5 (%i7) A:matrix([-,,5,-], [,-4,,-6], [-5,,,-], [-,-,,]); (%o7) (%i8) vlow(a); (%o8) - (%i9) vupp(a); (%o9) (%i) solvemgame(a); (%o) [[, 5,, 5 ],[5 99, 8,, 99 ],- 6 ] 8. [], Example.

10 games-lt.wxmx / 9 (%i) A:matrix([,8,-5], [4,4,6], [5,5,5]); 8-5 (%o) (%i) vlow(a); (%o) 5 (%i) vupp(a); (%o) 6 (%i4) solvemgame(a); (%o4) [[,,],[ 7,, 7 7 ],5] (%i5) msolvemgame(a); (%o5) [[,,],convexhull Ñ [[,, ],[,, ],[,, ],[ 7,, 7 ]],5] 7 Ar Y = [/, /, /] yra optimali strategija II lošėjui? (%i6) C:%[]; (%o6) convexhull (%i7) belong([/,/,/],c); (%o7) true Ñ [[,, ],[,, ],[,, ],[ 7,, 7 7 ]] Todėl [/, /, /] priklauso convexhull([[,/,/],[,/,/],[/,,/],[/7,,7/7]]) ir yra optimali strategija II lošėjui. (%i8) belong([/,,/],c); (%o8) false Todėl [/,,/] nėrat optimal strategija II lošėjui. 9. [], Example.8 (%i9) A:matrix([,-.,-.6],[.,,-.],[.6,.,]); (%o9) (%i) solvemgame(a); (%o) [[,,.],[,,.],.] (%i) A:matrix([,-.,],[.,,-.],[-,.,]); (%o)

11 games-lt.wxmx / 9 (%i) A:rat(A); rat: replaced -. by -/5 = -. rat: replaced. by /5 =. rat: replaced -. by -/5 = -. rat: replaced. by /5 =. - 5 (%o)/r/ (%i) fpprintprec:4; (%o) 4 (%i4) solvemgame(a); (%o4)/r/ [[ 5, 5, ],[ 5, 5, ],] (%i5) float(%), numer; (%o5) [[.5,.76,.9 ],[.5,.76,.9],.]. [], Example.9 (%i6) A:matrix([-,,],[,-,-],[,,-]); (%o6) (%i7) solvemgame(a); (%o7) [[ 5, 5, 5 ],[ 5, 7, 6 ],- 5 5 ]. [], Example. Colonel Blotto Games. (%i8) A:matrix([4,,,],[,4,,],[,-,,],[-,,,],[-,-,,]); (%o8) (%i9) solvemgame(a); (%o9) [[ 4 9, 4 9,,, 9 ],[ 7 9,, 6 45, 8 5 ],4 9 ] (%i4) msolvemgame(a); Ñ (%o4) [[ 4 9, 4 9,,, 9 ],convexhull [[, 7 9, 8 5, 6 45 ],[ 7 9,, 6 45, 8 5 ]],4 9 ] (%i4) C:%[]; (%o4) convexhull Ñ [[, 7 9, 8 5, 6 45 ],[ 7 9,, 6 45, 8 5 ]] (%i4) belong([/5,/45,/5,/45],c); (%o4) true (%i4) belong([/8,/8,8/8,8/8],c); (%o4) true

12 games-lt.wxmx / 9 4 Komandos solvebmgame pavyzdžiai Komanda solvebmgame(a,b) sprendžia dviejų asmenų nenulinės sumos matricinį lošimą(bimatricinį lošimą). [], 5-64; [], ch.. Pavyzdžiai iš []: Example. (%i44) A:matrix([,],[,4]); (%o44) 4 (%i45) B:matrix([,],[,-]); (%o45) (%i46) solvebmgame(a,b); (%o46) [[[,],[,],,]] Prisoner s Dilemma, p. 8 (%i47) A:matrix([-5,],[-,-]); (%o47) (%i48) B:matrix([-5,-],[,-]); (%o48) (%i49) solvebmgame(a,b); (%o49) [[[,],[,],- 5,- 5]] Example. (%i5) A:matrix([,,],[,,],[,,5]); (%o5) 5 (%i5) B:matrix([,,],[,,],[,4,]); (%o5) 4 (%i5) solvebmgame(a,b); (%o5) [[[,,],[,,],,4]] Example. (%i5) A:matrix([,],[,4]); (%o5) 4

13 games-lt.wxmx / 9 (%i54) B:matrix([,],[,4]); (%o54) 4 (%i55) solvebmgame(a,b); (%o55) [[[, ],[, ],5, 5 ],[[,],[,],4,4],[[,],[,],,]] Example.4 The Arms Race. (%i56) A:matrix([,],[-5,]); (%o56) - 5 (%i57) B:matrix([,-5],[,]); (%o57) - 5 (%i58) solvebmgame(a,b); (%o58) [[[,],[,],,]] Example.5 (%i59) A:matrix([,],[,]); (%o59) (%i6) B:matrix([,],[,]); (%o6) (%i6) solvebmgame(a,b); (%o6) [[[ 4, 4 ],[, ],, 4 ]] (%i6) solvebmgame(a,transpose(b)); (%o6) [[[ 4, 4 ],[, ],, 4 ]] (%i6) solvebmgame(transpose(a),transpose(b)); (%o6) [[[ 4, 4 ],[ 4, 4 ],, 4 ]] Example.9 (%i64) A:matrix([,-],[-,]); (%o64) (%i65) B:matrix([,-],[-,]); (%o65) (%i66) solvebmgame(a,b); (%o66) [[[ 5, 5 ],[ 5, 5 ], 5, 5 ],[[,],[,],,],[[,],[,],,]] method

14 games-lt.wxmx 4 / 9 (%i67) X:[x,-x]; (%o67) [ x,-x] (%i68) Y:[y,-y]; (%o68) [ y,-y] (%i69) E:X.A.Y; (%o69) x ( y- ) +( -x)( - y) (%i7) E:X.B.Y; (%o7) x ( y- ) +( -x)( ( -y)-y) (%i7) eq:diff(e,x)=; (%o7) 5 y-= (%i7) eq:diff(e,y)=; (%o7) x- ( -x ) = (%i7) solve([eq,eq]); (%o7) [[x= 5, y = 5 ]] (%i74) sol:subst(%[],[x,y,e,e]); (%o74) [[ 5, 5 ],[ 5, 5 ], 5, 5 ] Example. (%i75) A:matrix([,],[,]); (%o75) (%i76) B:matrix([,],[,]); (%o76) (%i77) solvebmgame(a,b); (%o77) [[[, ],[, ],, ],[[,],[,],,],[[,],[,],,]] Example. (%i78) A:matrix([-,5,],[-,,],[,,]); - (%o78) - 5 (%i79) B:matrix([-4,-,4],[-,,4],[,,-]); - 4 (%o79) (%i8) solvebmgame(a,b); (%o8) [[[ 4, 7, 9 4 ],[ 4, 5 4, 4 7 ], 4, 4 ],[[, 5, 5 ],[,,],,],[[,,],[,,],, ],[[,,],[,,],,4]] Example.

15 games-lt.wxmx 5 / 9 (%i8) A:matrix([,,4],[,4,]); (%o8) 4 4 (%i8) B:matrix([,,-],[,,]); (%o8) (%i8) solvebmgame(a,b); (%o8) [[[, ],[,,],8, ]] p. 5 (%i84) A:matrix([-,,],[,,],[,,]); (%o84) (%i85) B:matrix([,,],[,-,],[,,]); (%o85) (%i86) solvebmgame(a,b); (%o86) [[[,, ],[,, ],, ],[[,,],[,,],,],[[,,],[,,],,]] Example. (%i87) A:matrix([,],[,]); (%o87) (%i88) B:matrix([,],[,]); (%o88) (%i89) solvebmgame(a,b); (%o89) [[[,],[,],,]] (%i9) A:matrix([,-],[,]); (%o9) (%i9) B:matrix([,-],[-,]); (%o9) - (%i9) solvebmgame(a,b); (%o9) [[[ 4, 4 ],[,],,],[[,],[,],,],[[,],[,],,]] Example.4 A Discrete Silent Duel. (%i9) ratprint:false$ linsolvewarn:false$

16 games-lt.wxmx 6 / 9 (%i95) A:matrix( [.,-.4,-.7,-.], [.9,-.4,-.6,-.6], [.76,-.,-.,-.8], [.6,-.,-.6,-]); (%o95) (%i96) A:ratsimp(A); (%o96) (%i97) B:matrix( [.64,.6,.6,.6], [.4,.6,-.,-.], [-.8,.6,.4,-.6], [-.6,.,.6,]); (%o97) (%i98) B:ratsimp(B); (%o98) (%i99) sol:solvebmgame(a,b); (%o99) [[[,, 5 9, 4 9 ],[,5 7,,],- 7 85, 45 ],[[,,,],[,,,],- 5, 5 ],[[,,,],[,,,],- 5, 9 5 ],[[6 69,, 5 69, 4 ],[ 69 68, 68, 7 6,],- 4 5, ],[[,,, ],[ 6,,5 6, ],- 5, 5 ],[[,,,],[,,,],6 5, 6 5 ],[[6 7,, 7,],[ 4,,,], 4 75, ]] (%i) sol:float(%)$ (%i) length(sol); (%o) 7 (%i) sol:reverse(sort(sol))$

17 games-lt.wxmx 7 / 9 (%i) for k thru 7 do print(sol[k]); [[.,.,.,.],[.,.,.,.],.,.64] [[.97,.,.,. ],[.7,.,.8,.],-.4,.6] [[.95,.,.,.4 ],[.78,.79,.,.],-.9,.58] [[.94,.,.59,. ],[.,.79,.,.],.69,.59] [[.,.,.,.],[.,.,.,.],-.,.6] [[.,.,.56,.44 ],[.,.88,.,.],-.5,.9] [[.,.,.,.],[.,.,.,.],-.6,.6] (%o) done Gavome tokius pat rezultatus kaip ir []. Pavyzdys iš [4], Gauname tuos pačius 75 sprendinius, kaip ir [4] (%i4) A:matrix([-8,6,-6,6,-6,9],[-8,7,-,97,-5,7],[,-,4,-,7,-],[-, (%o4) (%i5) B:matrix([7,6,7,-,-6,-5],[-8,-8,-,,9,7],[97,6,4,-,-6,-],[-, (%o5) (%i6) solvebmgame(a,b)$ (%i7) sol:sort(%)$ (%i8) length(%); (%o8) 75 First solutions is

18 games-lt.wxmx 8 / 9 (%i9) for k thru do print(sol[k]); [[,,,, 4 5, 5 ],[,,,, 5, 4 5 ],4 5, 4 5 ] [[,,,, 9 7, 5 7 ],[,,, 4 7, 7,],,97 7 ] [[,,,, 7, 5 7 ],[,, 4, 9 4,,],,5 7 ] [[,,,,, 7 ],[,9,,,,],477 6, 45 ] [[,,,,, ],[,,,,,],5, 5 ] [[,,,,,],[,,,,,],7,7] [[,,, 5, 4, 5 ],[,, 5,, 5, 4 ],4, 4 ] [[,, 89, 5, 8, ],[, 8, 7 64,, 64, 47 8 ],97 8, 7 ] [[,, 98, 98, 8, 4 ],[ 7 87, 5 87,,,5 87, 5 87 ],75 9, 7 ] [[,, 4 7,,, 7 ],[,,,,5 7, 9 7 ],97 7,] (%o9) done 5 Komandos normalize pavyzdžiai Komanda normalize(g) normuoja koalicinį lošimą G. [], 69-7; [], [], Example 6.4 (%i) G:[{,,}, [v({})=, v({})=/4, v({})=-, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})=4 (%i) normalize(g); (%o) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 7 5,v ( ) v( {,,}) =]] {,} = 4 {,} = 7 5, 5,v ( ). (%i) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=5, v({,})=6, v({,})=8, v({,,})=9 (%i) normalize(g); (%o) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 5 9,v ({,}) =,v ({,}) = 8 9, v( {,,}) =]] 6 excess e(s,x) examples

19 games-lt.wxmx 9 / 9 Komanda e(k,x) randa dalybų x ekscesą koalicijos K atžvilgiu. [], p. 99; [], p. 98. [], Example 6.5 (%i4) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=4, v({,})=5, v({,})=6, v({,,})=8 (%i5) e({},x); (%o5) -x (%i6) e({},x); (%o6) -x (%i7) e({},x); (%o7) -x (%i8) e({,},x); (%o8) -x -x +4 (%i9) e({,},x); (%o9) -x -x +5 (%i) e({,},x); (%o) -x -x +6 (%i) e({,,},x); (%o) -x -x -x +8 7 Komandos core and least_core pavyzdžiai Komanda core randa lošimo šerdį. Komanda least_core randa epsilon ir epsilon-šerdį. Čia epsilon yra mažiausias skaičius, su kuriuo lošimo epsilon-šerdis yra netuščia aibė. Jei epsilon>, tai lošimo šerdis yra tuščia. [], 7-8; [], [], Example 6.5 (%i) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=4, v({,})=5, v({,})=6, v({,,})=8 (%i) core(g); (%o) convexhull( [[,,4],[,,4],[,,]]) (%i4) load(draw)$

20 games-lt.wxmx / 9 (%i5) wxdrawd( xlabel = "x", ylabel = "x", xtics =, ytics =, ztics =, view = [5, 6], line_width =, triangle ([,,4],[,,4],[,,]) ); (%t5) (%o5) (%i6) least_core(g); (%o6) [,[5, 8, ]]. [], Example 6.6 (%i7) G:[{,,}, [v({})=, v({})=/4, v({})=-, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})=4 (%i8) G:normalize(G); (%o8) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 7 5,v ( ) v( {,,}) =]] (%i9) core(g); (%o9) convexhull (%i) load(draw)$ {,} = 4 {,} = 7 5, 5,v ( ) Ñ [[, 7 5, 8 5 ],[, 5, 4 5 ],[ 4 5, 5,],[ 7 5,, 8 5 ],[ 8 5,, 7 5 ],[ 8 5, 7 5,]]

21 games-lt.wxmx / 9 (%i) wxdrawd( xlabel = "x", ylabel = "x", xtics =., ytics =., ztics =., points_joined=true, point_type = filled_circle, view = [5, 6], points([[,/5,4/5],[,7/5,8/5],[7/5,,8/5], [8/5,,7/5],[8/5,7/5,],[4/5,/5,],[,/5,4/5]])); (%t) (%o) (%i) least_core(g); (%o) [ - 4 5,[ 4 5, 7 5, 4 5 ]] (%i) least_core(g); (%o) [,[,,]]. [], Example 6.7 (%i4) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})= (%i5) core(g); (%o5) [] Todėl lošimo šerdis yra tuščia. (%i6) least_core(g); (%o6) [,[,, ]] 4. ([], Example 6.8) (%i7) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=5, v({,})=, v({,})=5, v({,,})=5

22 games-lt.wxmx / 9 (%i8) core(g); (%o8) [] Todėl lošimo šerdis yra tuščia. (%i9) least_core(g); (%o9) [,[5,5,65]] 5. [], 5-7 Palyginkite su ten vykdomais Maple skaičiavimais. (%i4) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})=5/ (%i4) core(g); (%o4) convexhull Ñ [[,, ],[,5,],[,, ],[,,]] (%i4) least_core(g); Ñ (%o4) [ 4,convexhull [[ 4,, 4 ],[5 4,, 4 ]] ] (%i4) t*[/4,,/4]+(-t)*[5/4,,/4],expand; (%o4) [ 5 4 -t, t +, 4 ] Todėl mažiausia šerdis yra atkarpa: aibė taškų [5/4-t, t+, /4], <=t<=. 6. [], Example 6.. Empty Core. (%i44) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=5, v({,})=6, v({,})=8, v({,,})=9 (%i45) normalize(g); (%o45) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 5 9,v ({,}) =,v ({,}) = 8 9, v( {,,}) =]] (%i46) ev(v({,})+v({,})+v({,}),%[]); (%o46) 9 9 (%i47) is(%<=); (%o47) false Pagal teiginį 6..7 iš [] lošimo šerdis yra tuščia. (%i48) core(g); (%o48) []

23 games-lt.wxmx / 9 (%i49) least_core(g); (%o49) [,[4,, ]]. Nonempty Core. (%i5) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=4, v({,})=, v({,,})=6 (%i5) G:normalize(G); (%o5) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 6,v ({,}) =,v ({,}) =, v( {,,}) =]] (%i5) ev(v({,})+v({,})+v({,}),%[]); (%o5) 4 (%i5) is(%<=); (%o5) true Pagal teiginį 6..7 iš [] lošimo šerdis yra netuščia. (%i54) C:core(G); (%o54) convexhull( [[,,5],[,,4],[,,5],[,,],[,,]]) Taškas [.5,,.5] yra apskaičiuotas vadovėlyje []. (%i55) belong([.5,,.5], C); (%o55) true Todėl [.5,,.5] priklauso šerdžiai convexhull([[,,5],[,,4],[,,5],[,,],[,,]]). (%i56) least_core(g); (%o56) [,convexhull( [[,,4],[,,]])] (%i57) nucleolus(g); (%o57) [,,7 ] Todėl [.5,,.5] yra lošimo G nucleolas. 8 Nukleolo skaičiavimo pavyzdžiai. [], Example 6. (%i58) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})=

24 games-lt.wxmx 4 / 9 (%i59) normalize(g); (%o59) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) = 6,v ({,}) = 6,v ({,}) = 5 6, v( {,,}) =]] (%i6) ev(v({,})+v({,})+v({,}),%[]); (%o6) 7 6 (%i6) is(%<=); (%o6) true Todėl lošimo šerdis yra netuščia. (%i6) core(g); (%o6) convexhull( [[,,],[,,],[,,],[,,]]) (%i6) least_core(g); (%o6) [,convexhull( [[,,9],[,9,]])] (%i64) nucleolus(g); (%o64) [,, ]. ([], Example 6.) (%i65) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})= (%i66) normalize(g); (%o66) [{,,},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {,}) =,v ({,}) =,v( {,}) =, v( {,,}) =]] (%i67) ev(v({,})+v({,})+v({,}),%[]); (%o67) (%i68) is(%<=); (%o68) true Todėl lošimo šerdis yra netuščia. (%i69) core(g); (%o69) convexhull( [[,,],[,,],[,,],[,,]]) (%i7) least_core(g); (%o7) [ - 5,[5,,5]] (%i7) nucleolus(g); (%o7) [5,,5]. [], example XIII..

25 games-lt.wxmx 5 / 9 (%i7) G:[{,,,4}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({4})=, v({,})=5, v({,})=5, v({,4})=5, v({,})=5, v({,4})=5, v({,4})=5, v({,,})=95, v({,,4})=85, v({,,4})=8, v({,,4})=55, v({,,,4})= (%i7) core(g); (%o7) [] (%i74) least_core(g); (%o74) [, convexhull( [[,,5,5],[5,5,5,5]])] (%i75) nucleolus(g); (%o75) [ 65, 55,5,5] 4. (%i76) G:[{,,}, [v({})=465, v({})=747.5, v({})=58.5, v({,})=6987.5, v({,})=58.5, v({,})=75, v({,,})=9 (%i77) ratprint:false$ (%i78) fpprintprec:8; (%o78) 8 (%i79) nucleolus(g); (%o79) [ 575, 97875, 575 ] 4 4 (%i8) float(%), numer; (%o8) [ , , 84.75] 5.

26 games-lt.wxmx 6 / 9 (%i8) G:[{,,,4}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({4})=, v({,})=.68, v({,})=.4, v({,4})=.75, v({,})=.6, v({,4})=.5, v({,4})=.7, v({,,})=., v({,,4})=.5, v({,,4})=., v({,,4})=.75, v({,,,4})=.89 (%i8) G:ratsimp(G); (%o8) [{,,,4},[v({}) =,v( {}) =,v( {}) =,v( {4}) =,v( {,}) = 7 5,v ( ) v( {,4}) = 4,v ({,}) = 5,v ({,4}) = 5,v ({,4}) = 7,v ({,,}) =,v ( ) v( {,,4}) = 5 5,v ({,,4}) = 4,v ({,,,4}) = 89 ]] {,} = 6 5, {,,4} = 5, (%i8) least_core(g); (%o8) [ - 9 5,convexhull Ñ [[ 7 5, 69, 9 5, 7 77 ],[ 5, 5, 9 5, 7 5 ],[ 5, 69, 9 5, 9 5 ],[4 5, 5, 9 5, 49 ],[4 5, 57, 9 5, 9 5 ]] ] (%i84) nucleolus(g); (%o84) [ 87 5, 47 5, 9 5, 5 ] 9 Šiaplio vertės skaičiavimo pavyzdžiai Komanda ShapleyValue(G) randa koalicinio lošimo Šiaplio vertę. [], 8-98; [], 5-5 [],. pavyzdys (%i85) G:[{,,},[v({})=,v({})=,v({})=, v({,})=,v({,})=, v({,})=,v({,,})= (%i86) ShapleyValue(G); (%o86) [,, ] [],. pavyzdys (%i87) G:[{,,,4},[v({})=,v({})=,v({})=, v({4})=,v({,})=,v({,})=,v({,4})=, v({,})=, v({,4})=, v({,4})=, v({,,})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,,4})= (%i88) ShapleyValue(G); (%o88) [, 4, 4, 5 ]

27 games-lt.wxmx 7 / 9 [],. pavyzdys (%i89) G:[{,,,4},[v({})=,v({})=,v({})=, v({4})=,v({,})=,v({,})=,v({,4})=, v({,})=, v({,4})=, v({,4})=, v({,,})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,,4})= Toliau pavyzdžiai iš []: Example 6.5 (%i9) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=5, v({,})=, v({,})=5, v({,,})=5 (%i9) fpprintprec:4$ (%i9) ShapleyValue(G); (%o9) [ 85,5,5 ] (%i9) float(%), numer; (%o9) [4.5,5.,57.5] (%i94) nucleolus(g); (%o94) [5,5,65] Example 6.6 (%i95) G:[{,,}, [v({})=5, v({})=4, v({})=, v({,})=9, v({,})=5, v({,})=5, v({,,})= (%i96) fpprintprec:4$ (%i97) ShapleyValue(G); (%o97) [ 5 6, 5 6, ] (%i98) float(%), numer; (%o98) [9.7,54.7,6.667] (%i99) nucleolus(g); (%o99) [4,55,5] Example 6.7

28 games-lt.wxmx 8 / 9 (%i) G:[{,,}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({,})=, v({,})=, v({,})=, v({,,})= (%i) ShapleyValue(G); (%o) [, 6, 6 ] (%i) core(g); (%o) [,,] (%i) least_core(g); (%o) [,[,,]] (%i4) nucleolus(g); (%o4) [,,] Example 6.8 (%i5) G:[{,,,4}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({4})=, v({,})=, v({,})=, v({,4})=, v({,})=, v({,4})=, v({,4})=, v({,,})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,4})=, v({,,,4})= (%i6) ShapleyValue(G); (%o6) [, 4, 4, 5 ] Example 6. (%i7) G:[{,,,4}, [v({})=, v({})=, v({})=, v({4})=, v({,})=, v({,})=, v({,4})=5, v({,})=, v({,4})=, v({,4})=, v({,,})=, v({,,4})=5, v({,,4})=5, v({,,4})=, v({,,,4})=55

29 games-lt.wxmx 9 / 9 (%i8) ShapleyValue(G); (%o8) [ 65 6, 4, 5, 45 ] [] A.Apynis, Lošimų teorija, VU, 7. [] E.N.Barron, Game theory. An Introduction, second ed. John Wiley & Sons, Inc.,. [] G.Owen, Game theory, rd ed., Academic Press, 995. [4] Game theory solver,

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

Microsoft Word - 15_paskaita.doc

Microsoft Word - 15_paskaita.doc 15 PASKAITA Turinys: Išimtys Išimtys (exceptions) programos vykdymo metu kylančios klaidingos situacijos, nutraukiančios programos darbą (pavyzdžiui, dalyba iš nulio, klaida atveriant duomenų failą, indekso

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: IFEB B029 Pavadinimas lietuvių kalba: Atsinaujinančiosios energetikos sistemos. Pavadinimas anglų kalba: Renewable energy systems. Dalyko apimtis: 6 kreditai, 160 valandos,

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 3 paskaita 2019-02-20 2 paskaitos papildymas Realaus skaičiaus konvertavimas į kitą skaičiavimo sistemą Pirminių dvynių paieškos algoritmas Tiesinio sąrašo realizacija,

Detaliau

Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį

Neiškiliojo optimizavimo  algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį. Albertas Gimbutas 2018 m. birželio 19 d. Vadovas: Prof. habil. dr. Antanas

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

Masyvas su C++ Užduotys. Išsiaiškinkite kodą (jei reikia pataisykite) ir paleiskite per programą. Ciklo skaitliuko įrašymas į vienmatį masyvą: #includ

Masyvas su C++ Užduotys. Išsiaiškinkite kodą (jei reikia pataisykite) ir paleiskite per programą. Ciklo skaitliuko įrašymas į vienmatį masyvą: #includ Masyvas su C++ Užduotys. Išsiaiškinkite kodą (jei reikia pataisykite) ir paleiskite per programą. Ciklo skaitliuko įrašymas į vienmatį masyvą: #include main() int mas[100]; int k; for (int

Detaliau

ISSN PROBLEMOS Lošimų teorija: konfliktas ir bendradarbiavimas Goda Izabelė Venslauskaitė Vilniaus universitetas, Filosofijos kat

ISSN PROBLEMOS Lošimų teorija: konfliktas ir bendradarbiavimas Goda Izabelė Venslauskaitė Vilniaus universitetas, Filosofijos kat ISSN 1392-1126. PROBLEMOS. 2000. 57 Lošimų teorija: konfliktas ir bendradarbiavimas Goda Izabelė Venslauskaitė Vilniaus universitetas, Filosofijos katedra, Didlaukio g. 47, LT-2057 Vilnius Tel./faks. (370

Detaliau

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

Dažniausios IT VBE klaidos

Dažniausios IT VBE klaidos Dažniausios IT VBE klaidos Renata Burbaitė renata.burbaite@gmail.com Kauno technologijos universitetas, Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija 1 Egzamino matrica (iš informacinių technologijų brandos egzamino

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė:

VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė: VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė: Jolanta Jurkevičiūtė m. Tyrimo tikslas išsiaiškinti

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

D1991 Green Energy/IT

D1991 Green Energy/IT Pasyvaus namo standarto pranašumai Aidas Vaičiulis 2019.04.10 Kaunas Page 1 EU info: Europos Sąjungos įstatymų leidėjai 2017 metų gruodžio 19 dieną priėmė bendrą susitarimą dėl pastatų energinio naudingumo

Detaliau

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai MATLAB komandų seka, vadinama programa, įrašyta į failą. Vykdant skripto failą įvykdomos jame esančios komandos. Bus kalbama, kaip sukurti

Detaliau

Hexagonal Architecture with Ruby on Rails - Šiašiakampe architektura su Ruby on Rails

Hexagonal Architecture with Ruby on Rails - Šiašiakampe architektura su Ruby on Rails Hexagonal Architecture with Ruby on Rails Šiašiakampė architektūra su Ruby on Rails Vilius Luneckas vilius.luneckas@gmail.com #3 Ruby Meetup 2013 Vilius Luneckas #3 Ruby Meetup Hexagonal Architecture with

Detaliau

PS Testavimo ir konfigūravimo valdymas Užduotis nr. 1. Karolis Brazauskas Mindaugas Rekevičius Jonas Riliškis Eugenijus Sabaliauskas

PS Testavimo ir konfigūravimo valdymas Užduotis nr. 1. Karolis Brazauskas Mindaugas Rekevičius Jonas Riliškis Eugenijus Sabaliauskas PS Testavimo ir konfigūravimo valdymas Užduotis nr. 1. Karolis Brazauskas Mindaugas Rekevičius Jonas Riliškis Eugenijus Sabaliauskas 2014-10-01 IT Kompanija Dirbame pagal užsakymus, daugiausiai 2 projektai

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 12 paskaita 2019-05-08 Norint kažką sukonstruoti, reikia... turėti detalių. 13 paskaitos tikslas Susipažinti su python modulio add.py 1.1 versija. Sukurti skaitmeninį modelį

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

MUITINĖS DEPARTAMENTAS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS BENDRO NAUDOTOJŲ VALDYMO SISTEMOS, ATITINKANČIOS EUROPOS KOMISIJOS REIKALAVIMUS,

MUITINĖS DEPARTAMENTAS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS BENDRO NAUDOTOJŲ VALDYMO SISTEMOS, ATITINKANČIOS EUROPOS KOMISIJOS REIKALAVIMUS, MUITINĖS DEPARTAMENTAS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS BENDRO NAUDOTOJŲ VALDYMO SISTEMOS, ATITINKANČIOS EUROPOS KOMISIJOS REIKALAVIMUS, SUKŪRIMO VERSIJA: v0.10 Vilnius 2018 TURINYS 1 Windows

Detaliau

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiek

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiek EUROPOS KOMISIJA Briuselis, 2015 11 11 COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiekti tvarią žvejybos pajėgumų ir žvejybos galimybių pusiausvyrą

Detaliau

IKT varžybos Pakeliaukime po informacijos pasaulį Varžybų vykdymo eiga 1. Komandų prisistatymas Susipažinkime užduotis (1 priedas) Mokinukui per

IKT varžybos Pakeliaukime po informacijos pasaulį Varžybų vykdymo eiga 1. Komandų prisistatymas Susipažinkime užduotis (1 priedas) Mokinukui per Varžybų vykdymo eiga 1. Komandų prisistatymas Susipažinkime. 2. 1 užduotis (1 priedas) Mokinukui per IT pamoką mokytoja uždavė užduotį surašyti IT sąvokas. Buvo bebaigiąs darbą, kai suskambo telefonas.

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui LAKD TNT skyriaus vedėjas Evaldas Petrikas Reglamentavimas Automobilių kelių standartizuotų dangų konstrukcijų projektavimo taisyklės KPT

Detaliau

Hands-on exercise

Hands-on exercise Patvirtinamasis dokumentas 1 (4) 2017 m. gegužės 25 d. Praktinė užduotis Su sprendiniais 1 Turinys 1. Įvadas... 2 2. Instrukcijos... 2 2.1. Sutartiniai ženklai... 2 2.2. Užduoties etapai... 2 3. Užduoties

Detaliau

Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com

Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai 2 Kaip įsidiegti Diegimo žingsniai: 1. Atsisiųsti ir įsidiegti

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.

Detaliau

Microsoft Word - Kontrabandos tyrimo apzvalga 2010+gk.doc

Microsoft Word - Kontrabandos tyrimo apzvalga 2010+gk.doc Įvadas Gyventojų požiūrio į kontrabandą ir nelegalių prekių vartojimą tyrimo rezultatai Šio tyrimo tikslas yra išsiaiškinti žmonių požiūrį į cigarečių, alkoholinių gėrimų, degalų ir kuro kontrabandą ir

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

LT PRIEDAS Teikiant duomenis EURES veiklos vertinimo sistemai naudotinų rodiklių sąrašas Elektroninė šio sąrašo versija ir, jei jis bus iš dalies keič

LT PRIEDAS Teikiant duomenis EURES veiklos vertinimo sistemai naudotinų rodiklių sąrašas Elektroninė šio sąrašo versija ir, jei jis bus iš dalies keič LT PRIEDAS Teikiant duomenis EURES veiklos vertinimo sistemai naudotinų rodiklių sąrašas Elektroninė šio sąrašo versija ir, jei jis bus iš dalies keičiamas, konsoliduotos jo versijos nacionaliniams koordinavimo

Detaliau

LIETUVOS KARTINGO FEDERACIJA LIETUVOS KARTINGO ČEMPIONATAS 4.4 OPEN 125 SENIOR 5 etapas, Aukštadvaris, 17/08/2014

LIETUVOS KARTINGO FEDERACIJA LIETUVOS KARTINGO ČEMPIONATAS 4.4 OPEN 125 SENIOR 5 etapas, Aukštadvaris, 17/08/2014 LIETUVOS KARTINGO FEDERACIJA LIETUVOS KARTINGO ČEMPIONATAS. OPEN SENIOR etapas, Aukštadvaris, // Oficialios treniruotės.. : Sorted on Best time Practice (: Time) Pos No. Name Evaldas DZIALTUVAS Ignas GELŽINIS

Detaliau

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas int Suma (int X[], int n) int s = 0; s = s + X[i]; return s; double Suma (double X[], int

Detaliau

MHAIA Estimation of Production rd Stage

MHAIA Estimation of Production rd Stage PROBABILISTIC ESTIMATION OF HASS AVOCADO PRODUCTION ESTIMATION IN THE AREA OF THE STATE OF MICHOACAN OF HASS AVOCADO PRODUCTION IN THE AREA OF THE STATE OF MICHOACAN CERTIFIED TO EXPORT TO THE USA SEASON

Detaliau

SKLYPAS Vilniaus m. sav., Užupis, Darbo g. Antanas Kudarauskas tel

SKLYPAS Vilniaus m. sav., Užupis, Darbo g. Antanas Kudarauskas tel SKLYPAS Vilniaus m. sav., Užupis, Darbo g. Antanas Kudarauskas tel. +370 685 84631 antanas@vilniaus-turtas.lt Objekto informacija Objektas SKLYPAS Adresas Vilniaus m. sav., Užupis, Darbo g. Plotas 12 m2

Detaliau

VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS

VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS PRIE SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTERIJOS DIREKTORIAUS Į S A K Y M A S DĖL ELEKTRONINĖS DRAUDĖJŲ APTARNAVIMO SISTEMOS NAUDOJIMO TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO

Detaliau

G TECTA 4G Keleto dujų nustatymo prietaisas LT Trumpas pradžios vadovas

G TECTA 4G Keleto dujų nustatymo prietaisas LT Trumpas pradžios vadovas G TECTA 4G Keleto dujų nustatymo prietaisas Trumpas pradžios vadovas 2 Turinys Saugos ir įspėjimų informacija 2 Pakuotės turinys 3 Gaminio apžvalga 3 Gaminio savybės 3 Baterijos patikrinimas 4 Įjungimas

Detaliau

Programų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF

Programų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF Programų sistemų inžinerija 2014-02-12 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt SWEBOK evoliucija Nuo SWEBOK Guide to the Software Engineering Body of Knowledge, 2004 Version. IEEE, 2004. prie

Detaliau

LT _0704 UG Beo5.indd

LT _0704 UG Beo5.indd Beo5 Vadovas Jūsų asmeninis nuotolinio valdymo pultelis Nuotolinio valdymo pultelis Beo5 pritaikytas paprastai pasiekti jūsų namuose esančius Bang & Olufsen gaminius. Įsigijus Beo5 jūsų Bang & Olufsen

Detaliau

CompoundJS Node on rails

CompoundJS Node on rails CompoundJS Node on rails Turinys Node pristatymas Node platformos Sintaksės palyginimas Našumo palyginimas Node? Kas tai? 1 http = require("http") 2 onrequest = (request, response)-> 3 console.log("request

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

Vilniaus Universiteto Žygeivių Klubas

Vilniaus Universiteto Žygeivių Klubas 2013 m. KKT varžybų Vilniaus universiteto taurei laimėti Trasų schemos ir aprašymai Atrankinės trasos Detalus atrankinių trasų aiškinimas bus varžybų dieną prieš startą. Startas bus bendras visoms komandoms,

Detaliau

STUDIJŲ DALYKO (MODULIO) APRAŠAS Dalyko (modulio) pavadinimas KRIMINOLOGIJOS TEORIJOS Kodas Dėstytojas (-ai) Koordinuojantis: prof. dr. Aleksandras Do

STUDIJŲ DALYKO (MODULIO) APRAŠAS Dalyko (modulio) pavadinimas KRIMINOLOGIJOS TEORIJOS Kodas Dėstytojas (-ai) Koordinuojantis: prof. dr. Aleksandras Do STUDIJŲ DALYKO (MODULIO) APRAŠAS Dalyko (modulio) pavadinimas KRIMINOLOGIJOS TEORIJOS Kodas Dėstytojas (-ai) Koordinuojantis: prof. dr. Aleksandras Dobryninas Kitas (-i): doc. dr. Gintautas Sakalauskas

Detaliau

Lietuvos korupcijos žemėlapis m. GYVENTOJŲ IR VERSLO ATSTOVŲ KORUPCIJOS VERTINIMŲ IR PATIRTIES TYRIMAI

Lietuvos korupcijos žemėlapis m. GYVENTOJŲ IR VERSLO ATSTOVŲ KORUPCIJOS VERTINIMŲ IR PATIRTIES TYRIMAI Lietuvos korupcijos žemėlapis - 2004 m. GYVENTOJŲ IR VERSLO ATSTOVŲ KORUPCIJOS VERTINIMŲ IR PATIRTIES TYRIMAI Tyrimų rėmėjai: Jungtinių Tautų vystymo programa Lietuvos pramonininkų konfederacija Lietuvos

Detaliau

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Informatikos fakultetas Kaunas, Lietuva El. paštas: vytautas.mickevicius@fc.vdu.lt

Detaliau

2015 lapkričio naujienos Vytos poros bei šviesolaidinių tinklų aksesuarai ir komponentai, įrankiai, komutacinių spintų priedai

2015 lapkričio naujienos Vytos poros bei šviesolaidinių tinklų aksesuarai ir komponentai, įrankiai, komutacinių spintų priedai 2015 lapkričio naujienos Vytos poros bei šviesolaidinių tinklų aksesuarai ir komponentai, įrankiai, komutacinių spintų priedai Turinys Puslapis 1. Komutacinės panelės...2 2. Vytos poros rozetės, sujungėjai,

Detaliau

Pridėtinės vertės mokesčio sąskaitų faktūrų registrų duomenų tvarkymo ir pateikimo taisyklių priedas I.SAF DUOMENŲ RINKMENOS APRAŠYMAS I DALIS ANTRAŠT

Pridėtinės vertės mokesčio sąskaitų faktūrų registrų duomenų tvarkymo ir pateikimo taisyklių priedas I.SAF DUOMENŲ RINKMENOS APRAŠYMAS I DALIS ANTRAŠT Pridėtinės vertės mokesčio sąskaitų faktūrų registrų duomenų tvarkymo ir pateikimo taisyklių priedas I.SAF DUOMENŲ RINKMENOS APRAŠYMAS I DALIS ANTRAŠTĖ Privalomumas pavadinimas reikšmės 1. *** FileDescription

Detaliau

MODENA MODENA midi MODENA mini Techninės charakteristikos ir instrukcijos 2018

MODENA MODENA midi MODENA mini Techninės charakteristikos ir instrukcijos 2018 MODENA MODENA midi MODENA mini Techninės charakteristikos ir instrukcijos 08 Turinys MODENA Sistemos MODENA, MODENA HIDE charakteristikos Sistemos MODENA, MODENA HIDE sudedamosios dalys MODENA HIDE sistemos

Detaliau

Microsoft Word - Naudotojo gidas_aplikacijai_

Microsoft Word - Naudotojo gidas_aplikacijai_ Mokėjimų už automobilio stovėjimą, naudojantis programa m.parking išmaniuosiuose telefonuose, naudotojo gidas Puslapis 1 iš 10 Programa m.parking Vilniuje galima sumokėti vietinę rinkliavą tik už naudojimąsi

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

Lietuvoje aktyviai siekiama įgyvendinti energijos beveik nevartojančių pastatų idėją, todėl tokie būstai kaimynystėje anksčiau ar vėliau taps kasdieny

Lietuvoje aktyviai siekiama įgyvendinti energijos beveik nevartojančių pastatų idėją, todėl tokie būstai kaimynystėje anksčiau ar vėliau taps kasdieny Lietuvoje aktyviai siekiama įgyvendinti energijos beveik nevartojančių pastatų idėją, todėl tokie būstai kaimynystėje anksčiau ar vėliau taps kasdienybe. Jau parengtame statybos techniniame reglamente

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

Documents\A4\MergePoints.PMT

Documents\A4\MergePoints.PMT Comment LIETUVOS KARTINGO ČEMPIONATO II ETAPASKROON OIL TA URĖ Oficiali treniruote Practice (0:00 Time) Aukstadvaris.00 Km 00 0: Sorted on Best Lap time Pos No. Name Laps Best Tm In Lap Diff Gap Šalys

Detaliau

KARJEROS KOMPETENCIJOS UGDYMO ŽINIŲ VISUOMENĖJE PRIORITETAI

KARJEROS KOMPETENCIJOS UGDYMO ŽINIŲ VISUOMENĖJE PRIORITETAI KARJEROS KOMPETENCIJOS UGDYMO ŽINIŲ VISUOMENĖJE PRIORITETAI Liudmila Lobanova VGTU Tarptautinės ekonomikos ir vadybos katedra Inga Veževičienė VGTU Integracijos ir karjeros direkcija Vilnius 2005.02.25

Detaliau

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt Šį vadovą parengė nepriklausoma apskaitos įmonė 2018 m. rugsėjo LIETUVA SU TRUMPALAIKE NUOMA SUSIJĘ MOKESČIŲ KLAUSIMAI Toliau pateikta informacija yra gairės, padėsiančios susipažinti su kai kuriais mokesčių

Detaliau

Microsoft Word - Deposits and withdrawals policy 400.doc

Microsoft Word - Deposits and withdrawals policy 400.doc DEPOSITS AND WITHDRAWALS POLICY / LĖŠŲ ĮDĖJIMO IR NUĖMIMO POLITIKA TeleTrade-DJ International Consulting Ltd 2011-2017 TeleTrade-DJ International Consulting Ltd. 1 Bank Wire Transfers: When depositing

Detaliau

CarSense 303 M A G N E T I N Ė K I L P A N A U D O J I M O I N S T R U K C I J A

CarSense 303 M A G N E T I N Ė K I L P A N A U D O J I M O I N S T R U K C I J A CarSense 303 M A G N E T I N Ė K I L P A N A U D O J I M O I N S T R U K C I J A Turinys Produkto apžvalga 2 Specifikacija 3 Naudojimas 4 Nustatymai ir indikatoriai 7 Pajungimo kontaktai 8 Gedimų šalinimas

Detaliau

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas Turinys 1 Skaičiavimo sistemos 3 11 Sveikųjų dešimtainių skaičių išreiškimas dvejetaine, aštuntaine

Detaliau

1 Giesmė apie kryžius

1 Giesmė apie kryžius Giedrius Kurevičius PAGONIŲ GIESMĖS Kantata mišriam chorui, soranui ir sioniniam orkestrui KLAVYRAS (1969 m., korekcija 1976 m.) PAGONIŲ GIESMĖS Kantata mišriam chorui, soranui ir sioniniam orkestrui

Detaliau

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr Studijų programos aprašas Studijų programos pavadinimas Informatika Aukštojo mokslo institucija (-os), padalinys (-iai) Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos fakultetas, Informatikos katedra

Detaliau

1 k. PATALPA Vilniaus m. sav., Senamiestis, Vilniaus g. Domantas Grikšas tel

1 k. PATALPA Vilniaus m. sav., Senamiestis, Vilniaus g. Domantas Grikšas tel 1 k. PATALPA Vilniaus m. sav., Senamiestis, Vilniaus g. Domantas Grikšas tel. +370 673 22322 domantas@vilniaus-turtas.lt Objekto informacija Objektas PATALPA Adresas Vilniaus m. sav., Senamiestis, Vilniaus

Detaliau

CIVILINĖS AVIACIJOS ADMINISTRACIJOS DIREKTORIAUS

CIVILINĖS AVIACIJOS ADMINISTRACIJOS DIREKTORIAUS CIVILINĖS AVIACIJOS ADMINISTRACIJOS DIREKTORIAUS Į S A K Y M A S DĖL SKRYDŽIŲ VALDYMO ELEKTRONIKOS SPECIALISTŲ LICENCIJAVIMO TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO 2008 m. liepos 4 d. Nr. 4R-135 Vilnius Vadovaudamasis

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETO STUDENTŲ ATSTOVYBĖ Vilnius University Students Representation PIRMOS PASKAITOS APKLAUSOS APIBENDRINIMAS FAKULTETUOSE 2011m. RUDE

VILNIAUS UNIVERSITETO STUDENTŲ ATSTOVYBĖ Vilnius University Students Representation PIRMOS PASKAITOS APKLAUSOS APIBENDRINIMAS FAKULTETUOSE 2011m. RUDE VILNIAUS UNIVERSITETO STUDENTŲ ATSTOVYBĖ Vilnius University Students Representation PIRMOS PASKAITOS APKLAUSOS APIBENDRINIMAS FAKULTETUOSE 2011m. RUDENS SEMESTRAS Studentai, susipažinę su Vilniaus universiteto

Detaliau

Paciento saugaus kilnojimo standartas I. Bendrosios nuostatos 1. Paciento saugaus kilnojimo standartas (toliau Kilnojimo standartas) parengtas siekian

Paciento saugaus kilnojimo standartas I. Bendrosios nuostatos 1. Paciento saugaus kilnojimo standartas (toliau Kilnojimo standartas) parengtas siekian Paciento saugaus kilnojimo standartas I. Bendrosios nuostatos 1. Paciento saugaus kilnojimo standartas (toliau Kilnojimo standartas) parengtas siekiant taisyklingai, ergonomiškai keisti paciento kūno padėtį,

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Duomenų archyvai ir mokslo duomenų valdymo planai 2018-06-13 1 Re3Data duomenų talpyklų registras virš 2000 mokslinių tyrimų duomenų talpyklų; talpyklos paiešką galima atlikti pagal mokslo kryptį, šalį,

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

VARDAN ŽINIŲ LIETUVOS DELSTI PRAŽŪTINGA: LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖ DABARTINĖS LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖS PAGRINDINĖS YDOS: Lietuvos moks

VARDAN ŽINIŲ LIETUVOS DELSTI PRAŽŪTINGA: LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖ DABARTINĖS LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖS PAGRINDINĖS YDOS: Lietuvos moks DELSTI PRAŽŪTINGA: LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖ DABARTINĖS LIETUVOS MOKSLO IR STUDIJŲ BŪKLĖS PAGRINDINĖS YDOS: Lietuvos mokslas orientuotas į kiekybę, o ne kokybę Investicijos į mokslą nerezultatyvios

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Pagrindiniai Lietuvos ateities iššūkiai Klaudijus Maniokas ESTEP valdybos pirmininkas Trys akcentai Pripažinti ir nepripažinti iššūkiai: konsensuso link Struktūrinių apirbojimų sprendimas: intervencijos

Detaliau

LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS PAŽYMA DĖL KAUNO MIESTO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2016 M. VASARIO 2 D. SPRENDIMU NR. T-20 PATVIRTINTŲ PANEMUNĖS PAPLŪDIMIO PA

LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS PAŽYMA DĖL KAUNO MIESTO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2016 M. VASARIO 2 D. SPRENDIMU NR. T-20 PATVIRTINTŲ PANEMUNĖS PAPLŪDIMIO PA LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS PAŽYMA DĖL KAUNO MIESTO SAVIVALDYBĖS TARYBOS 2016 M. VASARIO 2 D. SPRENDIMU NR. T-20 PATVIRTINTŲ PANEMUNĖS PAPLŪDIMIO PASTATO PREKYBOS PAVILJONO A.SMETONOS AL. 4, KAUNE, NUOMOS

Detaliau

BZN Start straipsnis

BZN Start straipsnis Lilija Šmeliova ir Roma Žilionytė. Asmeninio albumo nuotr. Ilgalaikio makiažo meistrės Lilija Šmeliova (44) ir Roma Žilionytė (39) prieš kelerius metus nusprendė, kad jau pats metas dalytis savo patirtimi.

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau