TIESINĖS ALGEBROS IR MATEMATINĖS ANALIZĖS PAGRINDAI

Transkriptas

1 Krisi Kulkyė Rim Kriuzieė TIESINĖS LGEBROS IR MTEMTINĖS NLIZĖS PGRINDI

2 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi

3 I TIESIN LGEBR MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETS Krisi Kulky Rim Kriuzie TIESINS LGEBROS IR MTEMTINS NLIZS PGRINDI Mokomoji priemo Vilius

4 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi UDK (8) K Recezvo: prof dr leksdrs Krylovs MRU doc dr Nlj Kosrev VGTU uori idelis: Krisi Kulky 98 uorii lk Rim Kriuzie 98 uorii lk Mykolo Romerio uiversieo Socilis iformikos fkuleo rybos m bldžio d posdyje (prookols Nr SI-) ur leidi spusdii Mykolo Romerio uiversieo memiio modelivimo kedros m bldžio d posdyje (prookols Nr MMK-) leidi rekomeduo spusdii Mykolo Romerio uiversieo mokslii-mokomj leidii probvimo spudi komisij m bldžio d posdyje (prookols Nr L-) leidi pvirio spusdii Visos kygos leidybos eiss sugomos Ši kyg rb kuri ors jos dlis egli bi dugim isom rb kiu bdu p be leidjo suikimo ISBN Mykolo Romerio uiversies

5 I TIESIN LGEBR TURINYS PRTRM I TIESIN LGEBR Mricos ir deermii Mricos svok Veiksmi su mricomis8 Mric dugyb Deermis9 ros ir reios eils deermis9 Keviros eils deermis virkši mric Tiesii lygi sisemos Tiesii lygi sisemos Tiesii lygi sisem spredims Krmerio meodu Tiesii lygi sisem spredims virkšis mricos meodu9 Mricos rgs Tiesii lygi sisem spredims Guso meodu Ekoomis sisemos blso modelis9 Tiesiio progrmvimo grfiis uždvii spredims8 II MTEMTIN NLIZ Ribos Sekos rib Fukcijos rib Pprsiusios fukcijos ribos svybs Pgridis ribos Viepuss ribos

6 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Fukcijos išvesi9 Fukcijos išvesis pibržims 9 Diferecilo pibržims ir pgridis svybs Liopilio isykl Fukcij yrims ir grfik bržims Fukcijos didjimo ir mžjimo požymis Fukcijos iškilumo iervli Fukcijos grfiko simpos Fukcij yrims ir grfik bržims Nepibržiis iegrls9 Pprsiusios iegrvimo isykls9 Iegrvims pkeii kimj9 Trigoomerii reiškii iegrvims Iegrvims dis Rciolij fukcij iegrvims Ki kuri irciolij fukcij iegrvims9 LITERTROS SRŠS

7 I TIESIN LGEBR Ši mokymo priemo skir viri specilybi sudems sudijuojiems iesis lgebros ir memis lizs dlyk Pirmoje mokomosios kygos dlyje peikimos pgridis iesis lgebros svokos: mricos deermio iesis lygi sisemos Išgrii ekoomis sisemos blso modelio bei iesiio progrmvimo uždviii roje dlyje skiyoji supžidimi su pgridimis memis lizs svokomis: skii sekos ir fukcijos ribomis fukcijos išvesie diferecilu epibržiiu iegrlu skirs skyrelis skirs pršyi bedri fukcijos yrimo schemi Prgrf prdžioje peikimi pibržimi ir eoremos kuriomis reiki remis spredži uždviius Kyg išsiskiri dideliu kiekiu delii išprs uždvii pvyzdži Nori virii peikos medžigos suvokim prgrf gle yr suformuluoi svrkiško drbo uždviii su skymis uors uoširdžii dkoj recezems peikusiems verig psilym ir psb

8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi

9 I TIESIN LGEBR Iš skii sudry sikmp leel m m m vdim m mme mric rb iesiog mric Leelje suršyi skiii vdimi mricos elemeis Ki mricos eilui skiius m lygus sulpeli skiiui ( y m ) i oki mric vdim -osios eils kvdrie mric Tokiu veju urime Elemei sudro mricos pgridi sriži o elemei sudro mricos šluisriži Kvdri mric kurios visi pgridis srižis elemei lygs vieeui o kii lygs uliui vdim vieeie mric ir žymim ride E y

10 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 E Mric kurios visi elemei lygs uliui vdim ulie mric ir žymim ride O : O Mric gu iš mricos sukeius jos eilues ir sulpelius vieomis vdim rspouoj mric ir žymim T Pvyzdžiui jei i T Veiksmi su mricomis yr okie: mricos dugyb iš skiius mric sudis mric imis mric dugyb Mricos dugyb iš skiius Mric dugi iš skiius kiekvies jos elemes yr pdugims iš o skiius y

11 I TIESIN LGEBR 9 m m m Pvyzdžiui jei urime i 9 Mric sudis ir imis Suded (im) mrics yr sudedmi (immi) j iikmi elemei Sudi ir imi ge ik okis mrics kurios uri vieodus mmeis ( y vieod skii eilui ir vieod skii sulpeli) Vieodus mmeis uriios mricos vdimos vieršmis Pvyzdžiui duoos okios mricos: ir B Mricos ir B yr vieršs es j mmeys yr vieodi y mric uri dvi eilues ir ris sulpelius bei mric B uri dvi eilues ir ris sulpelius Tokiu veju duos mrics ge sudi ir imi Tigi 9 B

12 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi B Beje jei urime mrics ir B i jos egli bi sudedmos (immos) es j mmeys skirigi y mric uri sulpelius ir eilues o mric B uri sulpelius ir eilues Pvyzdžii likie veiksmus: ) Spredims skyms: b)

13 I TIESIN LGEBR Spredims skyms: c) Spredims 8 skyms: 8 d) Spredims 8

14 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi skyms: 8 e) Spredims skyms: pskiiuokie D C B ki: B C 9 D

15 I TIESIN LGEBR Spredims 8 B C B C D C B

16 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi skyms: Rskie mricos rspouoj mric Spredims Mric gu iš mricos sukeius jos eilues ir sulpelius vieomis vdim rspouoj mric skyms: T pskiiuokie mric T T B B ki: B Spredims T B T B B

17 I TIESIN LGEBR T T T B B skyms: pskiiuokie: ) B b) B c) B d) B e) B ki: B ) Spredims 8 B skyms: 8

18 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi b) B Spredims 8 8 B B skyms:

19 I TIESIN LGEBR c) B Spredims B B skyms: 8 8

20 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 d) B Spredims B B skyms:

21 I TIESIN LGEBR 9 e) B Spredims 9 8 B 9 9 ) ( B skyms:

22 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Svrkiško drbo užduoys likie veiksmus: skyms: pskiiuokie mric T T B B ki: B skyms: pskiiuokie C ki: C skyms:

23 I TIESIN LGEBR Kd glume sudugii dvi mrics ir B jos uri bi suderios Mric vdim suderi su mric B ki mricos sulpeli skiius lygus mricos B eilui skiiui Beje psebkime: iš o kd mric suderi su mric B eišpluki kd mric B suderi su mric Pvyzdžiui urime okis mrics: 8 B Mric suderi su mric B es mricos sulpeli skiius (rys sulpelii) lygus mricos B eilui skiiui (rys eilus) Tiu mric B r suderi su mric es mricos B sulpeli ski- ius yr keuri o mricos eilui skiius yr du Mric dugyb piliusruoj oki schem: Mricos B elemes esis i -ojoje eiluje ir j -jme sulpelyje rdms sudugius mricos i-osios eilus bei mricos B j - ojo sulpelio elemeus ir sudjus šis sdugs

24 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Pvyzdžiui urime okis dvi mrics: b B b b b b b Mric yr suderi su mric B Tuome B b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Mricos B eilui skiius sups su mricos eilui skiiumi o sulpeli su mricos B sulpeli skiiumi Psebkime kd mric B r suderi su mric es mricos B sulpeli skiius yr du o mricos eilui skiius rys Todl b b sdug B b b yr eg Kiip ri b b mric B eegzisuoj Pvyzdžiui sudugisime mrics ir B Pirmiusi usome r sdug B g y r mricos ir B yr suderios Mricos sulpeli skiius ( sulpelii) sump su mricos B eilui skiiumi ( eilus) Vdisi sdug B yr g:

25 I TIESIN LGEBR B 9 Pvyzdžii pskiiuokie mric ir B sdugs B ir B ki: ) B Spredims Kdgi mricos ir B yr suderios (mricos sulpeli skiius sump su mricos B eilui skiiumi) vdisi js g sudugii Guosios mricos mmeys bus [ ]: B 8 Kdgi mricos B ir yr suderios (mricos B sulpeli skiius sump su mricos eilui skiiumi) vdisi js g sudugii Guosios mricos mmeys bus [ ]:

26 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi B skyms: 8 B B b) T B Spredims T B Kdgi mricos ir B yr suderios (mricos sulpeli skiius sump su mricos B eilui skiiumi) vdisi js g sudugii Guosios mricos mmeys bus [ ]: B

27 I TIESIN LGEBR Kdgi mricos B ir yr suderios (mricos B sulpeli skiius sump su mricos eilui skiiumi) vdisi js g sudugii Guosios mricos mmeys bus [ ]: B skyms: B B Svrkiško drbo užduoys likie veiksmus: ) skyms: b) skyms:

28 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi c) skyms: d) skyms: e) skyms: f) skyms: 8 9 g)

29 I TIESIN LGEBR skyms: h) skyms: i) skyms: Duoos mricos: ir B pskiiuokie: ) B b) B B skyms: ) b) 9 pskiiuokie B ir B r B B? ) B skyms: B B

30 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi cos si b) cos si si cos B si cos skyms: B B * pskiiuokie f jei: ) f E f skyms: E b) f E 9 skyms: f E 8 * b rodykie kd mric yr lygies c d d d bc E sprediys

31 I TIESIN LGEBR 9 Deermis i kvdris mricos i j skii reikšm Deermius žymsime D rb de Deermii skiiuojmi pgl m ikrs isykles rosios eils deermis lygus srižii eleme sdug skirumui: Pvyzdžiui Treiosios eils deermis skiiuojms pgl rikmpi isykl: Ši isykl legviu simem geomerije formoje: Pvyzdžiui

32 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Išbruk deermio i -j eilu ir j -j sulpel kuri susikirime yr elemes i j gusime deermi kuris vdims elemeo i j mioru ir žymims M i j Pvyzdžiui deermio elemeo miors elemeo miors M M Deermio elemeo i j djuku vdims jo miors M i j pdugis iš dugiklio i j ir žymims i j y Pvyzdžiui M M M M i j i j M i j Pgridis deermio svybs: Deermis esikeii jeigu jo eilues sukeiime su sulpeliis T y Pvyzdžiui 8 8 Jeigu deermis uri uli eilu (sulpel) i jis lygus uliui Pvyzdžiui

33 I TIESIN LGEBR Sukeius dvi deermio eilues (sulpelius) vieomis deermio žekls psikeii Pvyzdžiui 8 8 Jeigu deermis uri dvi lygis eilues (sulpelius) i jis lygus uliui Pvyzdžiui Jeigu deermio eilus (sulpelii) yr proporcigos i oks deermis lygus uliui 8 Pvyzdžiui i proporcigos pirmoji ir roji deermio eilus ( y pirmj eilu pdli iš gume okius pius elemeus kip ir rojoje eiluje) Jeigu kurios ors deermio eilus (sulpelio) elemei uri bedr dugikl i j g iškeli prieš deermio žekl Pvyzdžiui 8 8 i išklme dugikl iš pirmosios eilus Jeigu prie vieos deermio eilus (sulpelio) eleme pridsime kios eilus (sulpelio) elemeus pdugius iš be kurio (o pies) skiius elygus uliui deermio reikšm epkis

34 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Pvyzdžiui 8 8 i pirmj eilu pdugiome iš ir pridjome prie reiosios eilus Deermis lygus be kurios eilus (sulpelio) eleme ir juos iiki djuk sdug sumi Ši formul vdim deermio skleidiiu eilus (sulpelio) elemeis (ši isykl yr vieielis bds pskiiuoi ukšess eils egu reioji deermims) Pvyzdžiui Pvyzdžii pskiiuokie deermius: ) Spredims = = = skyms:

35 I TIESIN LGEBR b) 8 Spredims skyms: c) Spredims skyms: d) Spredims skyms:

36 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi e) Spredims skyms: f) Spredims skyms: g) Spredims M M M skyms:

37 I TIESIN LGEBR Svrkiško drbui užduoys pskiiuokie šiuos deermius: ) skyms: b) skyms: c) skyms: d) skyms: e) skyms: f) skyms: 8

38 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi g) * Išsprskie lygis: ) 8 b) skyms: skyms: ; 8 c) * Išsprskie elygybes: ) b) 9 9 c) skyms: ; skyms: ; skyms: skyms: skyms:

39 I TIESIN LGEBR Kevirosios eils deermis pskiiuojms skleidži j pgl be kur sulpel rb be kuri eilu y deermis lygus be kurios eilus (sulpelio) eleme ir juos iiki djuk sdug sumi Skleidims pgl eilues: Skleidims pgl sulpelius:

40 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Pvyzdžii pskiiuokie -osios eils deermius: ) Spredims Duoj deermi skleisime pgl -j eilu es joje yr du uliii elemei ir okiu veju bus mžiu skiivimo ei skleidži pvyzdžiui pgl -j eilu Tigi šiuo veju formul rodys ip: de Tuome grijmu veju ursime M M 8 M M Tigi pskiivome duoj deermi skleisdmi j pgl kevirj eilu skyms: Tik deermi svybes grijm deermi pkeiime ip kd visi kurios ors eilus (sulpelio) elemei išskyrus vie b lygs uliui

41 I TIESIN LGEBR 9 b) 8 9 Spredims Psirekme rj eilu (j pogu imi es joje reisis elemes yr viees) ir šios eilus elemeus uoseklii pdugius iš ir pridkime iikmi prie pirmosios reiosios ir kevirosios eilui Virš vieeo ir po juo gusime ulius ir gu deermi skleisdmi pgl reij sulpel ursime: c) 9 8 Spredims M skyms: Jeigu deermie r vieo elemeo lygus vieeui i psiudodmi deermi svybmis kur ors deermio eleme pkeiime vieeu

42 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Duojme deermie reij eilu priddmi prie kevirosios eleme pkeiime vieeu: Dbr psiudoj kevirojoje eiluje esiu vieeu reijme sulpelyje virš vieeo esius elemeus pkeisime uliis (logiški kip b) pvyzdyje) Tuo ikslu kevirj eilu pdugi iš 9 bei ir iikmi pridj prie reiosios rosios ir pirmosios eilui gusime Guj deermi skleisdmi pgl reij sulpel suvedme re- iosios eils deermi: 8 8 M 8 skyms:

43 I TIESIN LGEBR Svrkiško drbui užduoys pskiiuokie -osios eils deermius: ) skyms: b) skyms: c) skyms: d) 9 8 skyms:

44 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi -osios eils kvdri mric vdim eišsigimusij ki de Priešigu veju y ki de ji vdim išsigimusij Mric vdim mricos virkšie mric jei E i E yr -osios eils vieei mric Kvdri mric uri virkši ik d ki de y ki ji yr eišsigimusioji virkši mric g rsi dviem bdis: ~ ) pgl formul kur ~ rspouooji djuk mric (dr vdim prijugie mrici ); de ) Guso meodu I bds Jei yr -osios eils mric i jos virkši pskiiuojm ip: de ~ de i ij i j yr mricos eleme ij djuki o mric

45 I TIESIN LGEBR yr rspouooji djuk mric vdim prijugie mric mrici Reiki kreipi dmes kd pirmojoje jos eiluje suršyi mricos pirmojo sulpelio eleme djuki rojoje eiluje mricos rojo sulpelio eleme djuki ir Pvyzdžii ) Rskie mricos virkši mric Spredims Pirmiusi pskiiuojme jos deermi de Vdisi grijm mric yr eišsigimusioji ir ji uri virkši mric Šiuo veju formul rodo ip: de Dbr rdme mricos djukus: M M M M Tuome prijugi mric rodys ip: ~

46 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Gume kd Pikrime r E : E Vdisi virkši mric pskiiuo eisigi skyms: ) Rskie mricos virkši mric Spredims Pirmiusi pskiiuojme jos deermi 8 9 de Vdisi mric yr eišsigimusioji ir ji uri virkši mric Šiuo veju formul rodo ip:

47 I TIESIN LGEBR de Dbr rdme mricos djukus: M M 8 M M 8 M M 8 M M 9 M Tuome

48 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 de skyms: II bds Guso meods schemiški rodo ip: ) ( ) ( pervrkymi elemerieji E E Tegul de Jei prie mricos iš dešis puss priršysime vieei mric E y

49 I TIESIN LGEBR ir gu mric eilui elemeriisiis pervrkymis pkeisime mric c c c c c c c c c i guoji mric c c c c c c c c c bus mricos virkši mric Elemeriisis pervrkymis likomi okie veiksmi: mricos eilus dugyb iš skiius elygus uliui; mricos eilus pdugios iš elygus uliui skiius pridjims prie kios mricos eilus; dviej mricos eilui sukeiims vieomis Pvyzdžii ) Rskie mricos virkši mric Guso meodu: ~ ~ ) ) E

50 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 ) ) ) ) ~ ~ ~ ~ E ) pirmoji ir reioji eilus sukeisos vieomis; ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie rosios eilus; ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus; ) roji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus Tigi gvome kd skyms: ) Rskie mricos virkši mric Guso meodu:

51 I TIESIN LGEBR ) ) ) ) ) ) ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E E ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie rosios eilus; ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus; ) roji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus ) reioji eilu pdugi iš ir prid prie rosios; ) reioji eilu pdugi iš ir prid prie pirmosios Tigi gvome kd 8 skyms: 8

52 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Svrkiško drbui užduoys Rskie mricos virkši mric : ) 9 skyms: b) skyms: c) skyms:

53 I TIESIN LGEBR d) skyms: 8 e) skyms: f) skyms: 9 8 g) skyms:

54 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Guso meodu rskie mricos virkši mric : ) skyms: b) skyms: c) skyms:

55 I TIESIN LGEBR i Ngrikime sisem sudry iš m lygi ir ežiomj: b ( i m; j ij i b b m m m bm; ) relieji skiii Skiii ij vdimi sisemos koeficieis b i lisvisiis riis j ežiomisiis (rb kimisiis) Ši sisem vdim iesii lygi sisem es j sudrios lygys yr iesis (pirmos eils) ežiomj j žvilgiu Bedruoju veju lygi skiius m ebii sump su ežiomj skiiumi Tiesis lygi sisemos sprediiu vdims skii rikiys kur rš vieoj ežiomj iš kiekvieos lygies gume eisig lygyb Ki visi lisvieji rii b i ( i m ) sisem vdim homogeie lygi sisem o ki be vies b i ehomogeie lygi sisem Mric m m m sudry iš sisemos koeficie vdim sisemos mric o mric

56 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi B m m b b m bm gu prie prijugus lisvj ri sulpel vdim išplsj sisemos mric Tiesii lygi sisem kuri uri be vie spredi vdime suderi sisem Tiesii lygi sisem kuri euri spredii vdime esuderi sisem Suderi sisem vdim pibrž jei ji uri vieiel spredi Suderi sisem vdim epibrž jei ji uri be glo dug spredii Dvi sisemos vdimos ekvivleiomis ki be kuris vieos sisemos sprediys kru yr ir kios sisemos sprediys ir virkšii Ekvivleij sisem spredii ibs sump Trkime urime iesii lygi sisem sudry iš lygi su ežiomj: b b b Sudrykime šios sisemos koeficie mric

57 I TIESIN LGEBR ir pžymkime mricos deermi ip: b b sul- Trkime kd Deermio pirmj sulpel pkeius lisvj ri peliu gums deermis b b b b sul- Deermio rj sulpel pkeius lisvj ri peliu gums deermis b b b b b b logiški deermio reij sulpel pkeisime lisvj ri b b b sulpeliu deermio kevirj sulpel pkeisime lisvj ri b b b sulpeliu ir kol gliusii deermio - j sulpel pkeisime lisvj ri b b b sulpeliu ir gusime

58 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi b Td Krmerio formuls o duoosios iesii lygi sisemos sprediys yr oks rikiys kur Psbos Jei i grijm lygi sisem uri vieiel spredi Jei o be vies iš elygus uliui i grijm sisem euri spredii Jei ir visi lygs uliui i grijm sisem uri be glo dug spredii Pvyzdys Išsprsime duo sisem remdmiesi Krmerio formulmis: Spredims b b 8 Sudrome sisemos koeficie mricos deermi : 8 Td sudrome ir pskiiuojme deermius :

59 I TIESIN LGEBR Tuome pgl Krmerio formules rdme: 99 Tigi duoosios iesii lygi sisemos sprediys yr skyms: Svrkiško drbui užduoys Išsprskie lygi sisems Krmerio meodu: ) b) c) 8 skyms: skyms: skyms:

60 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 d) skyms: e) skyms: f) skyms: g) z y z y z y skyms: Nr spredii h) z y z y z y skyms: i) 8 9 z y z y z y skyms:

61 I TIESIN LGEBR 9 Trkime urime iesii lygi sisem urii lygi su ežiomj: b b b ; kuri ge užršyi oki mricie lygimi B kur sisemos koeficie mric b b ežiomj vekorius B lisvj ri vekorius Iš mricis b lygies ge gui B Ti ir yr duoosios iesii lygi sisemos sprediys Tuo ikslu reiki pskiiuoi koeficie mricos virkši mric odl uri bi de Pvyzdžii ) Išsprsime duo sisem remdmiesi virkšis mricos meodu: y z y z y z

62 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Spredims de Dbr rdme mricos djukus: M 8 M M M M M M M M Tigi urime 8

63 I TIESIN LGEBR Todl 8 z y skyms: ) Išsprsime duoj sisem remdmiesi virkšis mricos meodu: Spredims Sudrome sisemos koeficie mric: pskiiuojme sudryos mricos deermi: de Kdgi de i ge pskiiuoi virkši mric: Tuome rdme duoosios sisemos spredi:

64 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 b Tigi sprediys yr skyms: Psb Lygi sisem spredžim virkšis mricos meodu d ki jos koeficie mric yr kvdri ir ki de ) virkšis mricos meodu išsprskie lygi sisem: z y z y z y z y Šios lygi sisemos virkšis mricos meodu esprsime es joje yr lygys ir ežiomieji Užršyos lygi sisemos koeficie mricos mmeys yr o i r kvdri mric odl ege pskiiuoi deermio ) virkšis mricos meodu išsprskie lygi sisem: z y z y z y Spredims Lygi sisemos koeficie mric:

65 I TIESIN LGEBR yr kvdri odl pskiiuojme jos deermi: 8 de Kdgi deermis lygus uliui virkšis mricos meodu lygi sisemos esprsime To iesiog emom pdryi es virkši mric eegzisuoj Svrkiško drbo užduoys virkšis mricos meodu išsprskie lygi sisem: ) skyms: b) 8 skyms: c) 9 skyms: d) skyms:

66 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Mricos rgu vdim didžiusios eils mioro elygus uliui eil Mricos rg žymsime rg Tiu skiiuoi pgl pibržim mricos rg r pogu Nudig žioi kd mricos rgs yr iesiški epriklusom eilui (sulpeli) skiius o ekvivlei mric rgi lygs Todl liekme elemerius pervrkymus kurie epkeii mricos rgo sueikdmi mrici rikmpio rpecijos r lipuo form Jei pervrk sird ulii eilu (sulpelis) i j išbrukime Tuome eulii eilui (sulpeli) ski- ius yr mricos rgs Elemeriisiis pervrkymis kurie ekeii mricos rgo yr šie veiksmi: sukeiimos vieomis eilus (sulpelii) mricos eilu (sulpelis) dugim iš elygus uliui skiius prie vieos eilus (sulpelio) pridedm kuri ors ki eilu (sulpelis) pdugi iš skiius elygus uliui Pvyzdžii ) pskiiuosime mricos rg ki Spredims liksime elemerius mricos pervrkius: ~ ~ 9 9 ~ ) ) ) ) ) ) ~ ~ ~

67 I TIESIN LGEBR ) sukeisos pirmoji ir roji eilu vieomis; ir prid prie rosios eilus; ) pirmoji eilu pdugi iš ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus; ) roji eilu pdli iš o reioji eilu pdli iš ; ) roji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus me guj uli eilu urime kd mricos rgs yr (eulii eilui skiius) y rg i mric suves rpecijos form rg skyms ) pskiiuosime mricos rg ki Spredims liksime elemerius mricos pervrkius: ) ~ ) ~ 9 ) ~ ) ~ ) ~ 9 ) 9~ ) sukeisi pirmsis ir reisis sulpelis vieomis; ) pirmoji eilu pdugi iš ir prid prie rosios eilus; ) pirmoji eilu prid prie reiosios eilus; ) sukeisos roji ir reioji eilu vieomis; ) roji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus Tigi elemeus po pgridie srižie pverme uliis ir vie eilu epo ulie odl grijmos mricos rgs yr (euli-

68 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi i eilui skiius) y rg i mric suves rikmpio form skyms: rg Svrkiško drbui užduoys pskiiuokie mric rgus: ) skyms: rg b) skyms: rg c) skyms: rg

69 I TIESIN LGEBR Guso meods i uoseklus ežiomj eivimo meods ki duoj sisem suvedme lipuo rpeci rb rikmp iesii lygi sisem Šis meods pogus uo kd juo g sprsi be kuri iesii lygi sisem Turime iesii lygi sisem iš m lygi ir ežiomj: b b m m m bm Ši sisem pogiu sprsi e pervrk jos lygis o pervrk išplsosios mricos eilues Sudrykime šios sisemos išplsi mric: B m m b b m bm Elemeriisiis eilui pervrkymis išplsi mric im oki mric: B ~ r r r r r rr r r r b b b r r r r b b B pkei-

70 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Elemers pervrkymi gi okie: ) be kurios eilus elemeus g pdugii rb pdlii iš ski- ius elygus uliui; ) be kuri eilu g pkeisi pridjus prie jos ki eilu pdugi iš skiius elygus uliui; ) uli eilu jei visi jos rii lygs uliui ir lisvsis rys už brkšio ip p lygus uliui ge mesi; ) eilues g sukeisi vieomis Lygi sisem gli: rg rg B ); uri vieiel spredi (jei euri spredii (jei rg rg B); uri be glo dug spredii (jei rg rg B ) Su šiis vejis susipžisime išspred kokreius pvyzdžius Pvyzdžii ) Guso meodu išsprsime duoj keuri lygi sisem su rimis ežiomisiis: Spredims Sudrome sisemos išplsi mric: B Sukei vieomis pirmj ir rj eilues urime:

71 I TIESIN LGEBR 9 Ši mric pervrkysime ip: pirmosios eilus ekeiime prie rosios eilus pridedme pirmj eilu pdugi iš prie reios pridedme pirmj eilu pdugi iš o prie keviros pridedme pirmj eilu pdugi iš Gume Dbr pirmosios ir rosios eilui ebekeiime o prie reiosios ir kevirosios eilui pridedme rj eilu pdugi iš Gume Pirmj rij eilui ebekeiime o prie kevirosios eilus pridedme reij eilu pdugi iš Gume Kevirj eilu ge išbruki es visi jos elemei lygs uliui o reij eilu ge pdugii iš Td ursime:

72 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Ši mric iik oki lygi sisem: Iš i uoseklii rdme: Tigi duo sisem uri vieiel spredi Psb: šiuo veju B rg rg (es po elemerij pervrkym liko rys eulis eilus ir mricos form yr rikmp) skyms: ) Guso meodu išsprsime duoj rij lygi sisem su keuriis ežiomisiis: Spredims Sudrome sisemos išplsj mric: B Sukei vieomis pirmj ir rj eilues urime:

73 I TIESIN LGEBR Ši mric pervrkysime ip: pirmosios eilus ekeiime prie rosios eilus pridedme pirmj eilu pdugi iš o prie re- iosios pridedme pirmj eilu pdugi iš Gume 8 8 Dbr pirmosios ir rosios eilui ebekeiime o prie reiosios eilus pridedme rj eilu pdugi iš Gume 8 Iš guosios mricos mome kd duooji lygi sisem spredii euri es pskui eilu iik lyg o oki lygis euri vieo sprediio Psb: šiuo veju rg o B rg y B rg rg Todl sisem spredii euri skyms: sisem spredii euri ) Guso meodu išsprsime duoj keuri lygi sisem su keuriis ežiomisiis:

74 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Spredims Sudrome sisemos išplsi mric: B Sukei vieomis pirmj ir reij eilues urime: Ši mric pervrkysime ip: pirmosios ir rosios eilui ekeiime prie reiosios eilus pridedme pirmj eilu pdugi iš o prie keviros pridedme pirmj eilu pdugi iš Gume

75 I TIESIN LGEBR Sukeiime vieomis rj ir reij eilues: Dbr pirmosios ir rosios eilui ebekeiime o prie reiosios ir kevirosios eilui pridedme rj eilu pdugi iikmi iš ir Gume Prie keviros eilus pridj reij eilu urime: Keviroji eilu sudry iš uli odl j ge išbruki rj eilu pdugime iš reij eilu pde iš Po vis ši veiksm urime Ši mric iik oki lygi sisem:

76 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Sisemoje ežiomj skiius yr didesis ei lygi skiius odl sisem uri be glo dug spredii Lygi skiius urodo bzii ežiomj skii Tigi grijmu veju bzii ežiomj yr rys o lisvsis ežiimsis yr vies Psirekme vie iš ežiomj lisvuoju prmeru pvyzdžiui psirikime R Tuome Tigi gvome kd sisem uri be glo dug spredii: ; ; ; R Šis sprediys vdims bedruoju lygi sisemos sprediiu i yr lisvsis ežiomsis o bziii ežiomieji Imdmi ; ; ; gume bzi spredi odl sisem uri be glo dug spredii Bzii ežiomj skiius sump su rgu rg Po elemerij pervrkym mric gyj rpeci form Psb: šiuo veju rg rg B skyms: ; ; ; R ) Guso meodu išsprsime duoj rij lygi sisem su pekiis ežiomisiis: 9

77 I TIESIN LGEBR Spredims Sudrome sisemos išplsi mric: 9 B Ši mric pervrkysime ip: pirmosios eilus ekeiime prie rosios eilus pridedme pirmj eilu pdugi iš o prie re- iosios pridedme pirmj eilu pdugi iš Gume Ši mric iik oki lygi sisem: Sisemoje ežiomj skiius yr didesis ei lygi skiius odl sisem uri be glo dug spredii Lygi skiius urodo bzii ežiomj skii Tigi grijmu veju bzii ežiomj yr rys o lisvieji ežiomieji yr du Psirekme du ežiomuosius lisvisiis prmeris pvyzdžiui psirikime ir R Tuome

78 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Tigi gvome kd sisem uri be glo dug spredii: ; ; ; ; R i ir yr lisvieji ežiomieji o bziii ežiomieji psb: šiuo veju rg rg B odl sisem uri be glo dug spredii Bzii ežiomj skiius sump su mricos rgu psb: pm gue bzi spredi ; ; ; ; Be o jei lisvisiis ežiomisiis bume pm ir o bziiis i uome bedrsis sprediys rody ip: ; ; ; ; R skyms: ; ; ; ; R Svrkiško drbui užduoys Guso meodu išsprskie iesii lygi sisems: ) b) 8 skyms: ; ; ; R skyms: spredii r

79 I TIESIN LGEBR c) skyms: (; ; ; ) d) skyms: (; ; ; ) e) skyms: R ; ; ; f) skyms: R z z z z ; ; 8 8 ; 8 8 g) skyms: spredii r

80 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 h) 8 skyms: R ; ; ; i) skyms: spredii r j) skyms: spredii r k) z y- - z y z y z -y skyms: spredii r l) z y z y z y skyms: R z z z ; ; z

81 I TIESIN LGEBR 9 Ekoomis sisemos blso lygis E X C c c T T ki sisemos echologi mric C c pklus E vieei mric ( -osios eils) X gmybos pls X Gmybos pls X vdims sublsuou (opimliu) jei jis eki sisem ( E ) X C X Jei g rsi sublsuo pl X i ekoomi sisem vdim produkyvi Bi ir pkkm slyg kd ekoomi sisem su echologie mric b produkyvi yr: egzisuoj eeigim virkši mric E Td X E C Uždviio spredimo lgorims: Rdme vieeis ir echologis mricos skirum E Rdme guosios mricos virkši mric E Jeigu virkšije mricoje E r vieo eigimo elemeo vdisi ekoomi sisem yr produkyvi Ge rsi sublsuo (opiml) gmybos pl X eki duoj pklus: X E C Dugiu pie ekoomis sisemos blso model žr: pyis s; Skus Eugeijus MemikVdovlis su ikymo ekoomikoje pvyzdžiis Vilius: TEV p 9 ISBN

82 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Pvyzdžii Duooji ekoomis sisemos echologi mric 8 Koks uri bi gmybos pls X T kd b peki pklus C 99 T? Spredims Rdme vieeis ir echologis mricos skirum E : E 8 8 Rdme guosios mricos virkši mric E : de E 8 8 M M 8 M M E 8 8 Visi guosios mricos elemei eigimi vdisi ekoomi sisem yr produkyvi Ge rsi sublsuo (opiml) gmybos pl X peki duoj pklus X E C i X

83 I TIESIN LGEBR 8 Pls X T y skyms: pirmos ršies produkcijos reiki pgmii viee o ros ršies viee Duooji ekoomis siemos echologi mric Pikrikie r ši sisem produkyvi jei ip i rskie gmybos pl X T C T Spredims kd b peki pklus Rdme vieeis ir echologis mricos skirum E : E 8 Rdme guosios mricos virkši mric E : de E Dbr rdme mricos E djukus: 8 M M

84 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi M 8 M M 9 M 8 M M M 8 virkši mric E 8 8 Gu mric uri eigim eleme vdisi ekoomi sisem yr eprodukyvi Nege rsi sublsuoo (opimlus) gmybos plo X pekiio duoj pklus skyms: ekoomi sisem eprodukyvi

85 I TIESIN LGEBR 8 Duooji ekoomis siemos echologi mric Pikrikie r ši sisem produkyvi jei ip i rskime gmybos pl T X kd b peki pklus T C? virkši mric rskie Guso meodu Spredims Rdme vieeis ir echologis mricos skirum E : E Guso meodu rdme guosios mricos virkši mric E : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E E E E

86 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi ) pirmoji eilu pdugi iš roji eilu pdugi iš o reioji eilu pdugi ip p iš (iksls gui sveikuosius skiius); ) pirmoji eilu prid prie rosios ir reiosios eilui; ) roji ir reioji eilus sukeiimos vieomis; ) roji eilu pdugi iš ir prid prie reiosios eilus; ) reioji eilu prid prie pirmosios eilus; ) reioji eilu pdugi iš ( ) ir prid prie rosios eilus; ) roji eilu pdugi iš ( ) 8 8 E 8 Visi guosios mricos elemei eigimi vdisi ekoomi sisem yr produkyvi Ge rsi sublsuo (opiml) gmybos pl X peki duoj pklus X E C i X skyms: pirmos ršies produkcijos reiki pgmii viee ros ršies viee o reios ršies 8 Svrkiško drbui užduoys Ekoomis siemos echologi mric Koks uri kd b peki pklus bi gmybos pls X T C T? skyms: pirmos ršies produkcijos reiki pgmii 8 viee o ros ršies viee

87 I TIESIN LGEBR 8 Ekoomis siemos echologi mric Pikrikie r ši sisem produkyvi ir jei ip i rskime gmybos pl kd b peki pklus C T X T skyms: ekoomi sisem eprodukyvi Ekoomis sisemos echologi mric yr o produkcijos pklusos vekorius yr C Rskie sublsuo gmybos pl (jei egzisuoj) ki: C skyms: X 8 r ekoomi sisem produkyvi ki jos echologi mric oki: ) b) skyms:ip skyms: e

88 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Duooji ekoomis siemos echologi mric Pikrikie r ši sisem produkyvi ir jei ip i rskie gmybos pl T kd b peki pklus C T X virkši mric rskie Guso meodu skyms: X

89 I TIESIN LGEBR 8 Ngrisime dviej kimj sdri iesiio progrmvimo uždvi: m mi c c y ki y b y b m m y bm i f c c y yr ikslo fukcij o leisioji ib iesii elygybi sisemos spredii ib Leisioji ib jeigu ji euši gli bi bigiio rb begliio ploo Psirikime be kur leisiosios sriies šk Tikslo fukcijos reikšm me ške pžymkime C Sudrykime lyg c c y C ir j pvdikime lygio lygimi Lygio lygies geomeriis vizds yr ies kuri vdisime ikslo fukcijos lygio iese Geomeriški iesiio progrmvimo uždviys formuluojms ip: leisij spredii ibje reiki rsi ok šk * y * per kur eiios iess reikšm f b didžiusi (rb mžiusi) Sdri uždvi ge sprsi pgl šioki schem: Plokšumoje ubržimos iess kurios gumos pribojim sisemoje elygybes pkeius lygybmis Pgl gu elygybi žeklus usom leisij spredii sriis Plokšumoje ubržims vekorius c c c ir vie iš iesi c c y C (pvz c c y )

90 88 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Ties c y c c c krypimi rb prieš j rdme mksimumo rb miimumo škus (jei okie egzisuoj) pskiiuoje mksimumo ir miimumo šk koordies Rdme fukcijos f reikšmes uose škuose Priklusomi uo leisij spredii ibs ir uo vekorius c pdies gi virs veji: ) vieielis sprediys esis dugikmpio viršje ) be glo dug spredii dugikmpio briuoje ) r sprediio es pribojim sisem esuderi ( uši ib) ) r sprediio es ikslo fukcij eprž Pvyzdžii c sumi vekorius Grfiški išsprskie šiuos iesiio progrmvimo uždviius: y ki ) mi ir m y y y Spredims Nubržime ieses: y y L L y L L Kd rsume sri usome kiekvieos elygybs spredii ib (pžymdmi ies kiekvie iese jos kryp) Geomeriški spredži

91 I TIESIN LGEBR 89 elygyb y pirmiusi bržim ies y ided du jos škus y okius škus kuri koordis eki iess lyg pvz ; ir ; Td usome kurios pusplokšums šk koordis eki elygyb Imkime be kur šk epriklus šii iesei pvyzdžiui šk Kdgi ško koordis eeki šios elygybs y ( eeisig elygyb) i elygybs spredii pusplokšum yr priešigoje pusje egu šks Dbr rodykle pžymime šios elygybs spredii ib liekme okius p veiksmus su kiomis iesmis y rodyklmis urodome kiekvieos iess spredii ibes Nelygybs y spredii ib yr iess y kirje pusje Kios elygybs y spredii pusplokšum yr šios iess pioje o šies Oy dešije Vis rsj pusplokšumi šk ib yr sriis kuri užušuojme Liek ppildyi brži lygio iese y ir vekoriumi c kurio koordis yr ikslo fukcijoje esys koeficiei prie ir y likus visus urodyus veiksmus bržiys rodo ip:

92 9 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Vekorius c rodo fukcijos f y didjim odl ies y sumime lygigreii vekorius c krypimi kol psiekime oiusi sriies šk Šis šks yr mksimumo šks kuris gums susikirus L ir L iesms Išspred susikeri šime ške iesi lygi sisem rdme ško koordies: y y Tigi ško koordis yr ir y pskiiuojme fukcijos mksimum me ške y ikslo fukcijoje f y vieoje ir y ršome gusis koordies Td m f f Lygio ies f y ies y sumime priešig vekorius c krypimi kol psiekime oiusi sriies šk B Šis šks yr miimumo šks kuris gums susikirus L ir L iesms Nordmi rsi šio ško koordies urime sprsi sisem: y y y y y y y y y Viršs B koordis yr y pskiiuojme fukci- jos miimum me ške: 9 ir

93 I TIESIN LGEBR 9 f mi f 9 9 B b) mi ir m y ki y y y y Spredims Nubržime ieses: y skyms: f L y L y L L y L f mi f f ki ir y m B 9 ki 9 ir y Kd rsume sri usome kiekvieos elygybs spredii ib (pžymdmi ies kiekvie iese jos kryp) Geomeriški spredži elygyb y pirmiusi bržim ies y ided du jos škus y okius škus kuri koordis eki iess lyg pvz ir Td usome kurios pusplokšums šk koordis eki duoj elygyb Imkime be kur šk epriklus šii iesei pvyzdžiui šk Kdgi ško koordi-

94 9 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi s eki ši elygyb y ( eisig elygyb) i elygybs spredii pusplokšum yr po iese y (oje p pusje kurioje yr šks ) Tuome rodykle pžymime šios elygybs spredii pusplokšum logiški liekme veiksmus su kiomis iesmis y rodyklmis urodome kiekvieos iess spredii pusplokšumes Nelygybs y spredii ib yr virš iess y Kios elygybs spredii pusplokšum yr šies Oy dešije o y virš šies O Vis rsj pusplokšumi šk ib yr sriis kuri užušuojme Liek ppildyi brži lygio iese y ir vekoriumi c kurio koordis yr ikslo fukcijoje esys koeficiei prie ir y likus visus urodyus veiksmus bržiys rodo ip: Kdgi ib yr virš lygio iess y i lygigreii sumime lygio ies vekorius c krypimi kol psiekime rimiusi sriies šk Kdgi lygio ies yr lygigrei iesei y

95 I TIESIN LGEBR 9 kurioje yr dvi sriies viršs B ir C (jos gumos susikirus () ir () ir () ir () iesms) i šiuo veju miimums yr krp esi rp ši iesi susikirimo šk Fukcijos miimumui pskiiuoi pkk imi be kur šk (iš ši dviej) Rdme koordies išspredus susikeri iesi L ir L lygi sisem: y -y y y -y y y y y Rsme ške pskiiuojme fukcijos miimum y ikslo fukcijoje vieoje ir y ršome gusis koordies Td f mi f B 8 Dbr ieškome fukcijos mksimumo ško y sumime ies y vekorius c krypimi kol psiekime lbiusii uolus ibs šk kuris yr iesi L ir L skir Išspred ši susikeri iesi lygi sisem rdme ško koordies: Viršs koordis yr y ir y pskiiuojme fukcijos mksimum me ške y ikslo fukcijoje vieoje ir y ršome gusis koordies Td f m f skyms: mi f BC 8 f f krpoje BC f m ki ir y

96 9 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi c) mi ir m y y y y Spredims Nubržime ieses: y L y L y ki L Kd rsume sri usome kiekvieos elygybs spredii ib (pžymdmi ies kiekvie iese jos kryp Geomeriški spredži elygyb y pirmiusi bržim ies y ided du jos škus y okius škus kuri koordis eki iess lyg pvz ; ir ; Td usome kurios pusplokšums šk koordis eki duoj elygyb Imkime be kur šk epriklus šii iesei pvyzdžiui šk Kdgi ško koordis eki ši elygyb y ( eisig elygyb) i elygybs spredii pusplokšum yr po iese y (oje p pusje kurioje yr šks ) Tuome rodykle pžymime šios elygybs spredii pusplokšum Dbr liekme veiksmus su kiomis iesmis y rodyklmis urodome kiekvieos iess spredii pusplokšumes Nelygybs y spredii ib yr iess y kirje pusje o elygybs y spredii pusplokšum yr po iese y Ppildome brži lygio iese y ir vekoriumi c kurio koordis yr ikslo fukcijoje esys koeficiei prie ir y likus visus urodyus veiksmus bržiys rodo ip:

97 I TIESIN LGEBR 9 Vekorius c rodo fukcijos f y didjim Tigi ies y sumime lygigreii vekorius c krypimi kol psiekime oiusi sriies šk Šis šks yr mksimumo šks Jis gums susikirus L ir L iesms Išspred šime ške susikeri iesi lygi sisem rdme ško koordies: y y y y y y y y y y y y y y pskiiuojme fukcijos mksimum ške y ikslo fukcijoje vieoje ir y ršome gusis koordies Td

98 9 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi f m f Lygio ies f y ies y sumdmi priešig vekorius c krypimi gume miimumo šk Tiu psebime kd ir kiek oli lygigreii sumume ies y prieš vekorius c kryp ji vis iek urs bedr šk su ibe Šio uždviio sprediys eegzisuoj y f mi eegzisuoj Fukcij f eprž iš p- ios ibje y ikslo fukcij f gli gyi kiek orim mž reikšm Šiuo veju f mi skyms: f m d) mi ir m y y y y Spredims f ki ki ir y f mi Nubržime ieses: y L y y L L Kd rsume sri usome kiekvieos elygybs spredii ib (pžymdmi ies kiekvie iese jos kryp Geomeriški spredži elygyb y pirmiusi bržim ies y ided du jos škus y okius škus kuri koordis eki iess lyg pvz ; ir ; Td usome kurios pusplokšums šk koordis eki elygyb Imkime be kur šk epriklus šii iesei pvyzdžiui šk Kdgi ško koordis eki ši ely-

99 I TIESIN LGEBR 9 gyb y ( eisig elygyb) i elygybs spredii pusplokšum yr oje pusje kip ir šks Dbr pžymime šios elygybs spredii ib rodykle liekme okius p veiksmus su kiomis iesmis y rodyklmis urodome kiekvieos iess spredii ibes Nelygybs y spredii ib yr iess y pioje o y virš O šies Vis rsj pusplokšumi šk ib yr sriis iu šiuo veju psebime kd vis rij elygybi spredii pusplokšums bedr šk euri Tigi sriis yr uši ib ir uždviys spredii euri Ppildžius brži lygio iese y ir vekoriumi c bržiys rodo ip: skyms: spredii r

100 98 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Svrkiško drbo užduoys Grfiški pvizduokie ši iesii elygybi sisem spredii ibes ir pskiiuokie j kor virši koordies: ) b) y y y y y y y y skyms: ; ; ; ; skyms: ; 8 ; 8 ; Grfiški išsprskie šiuos iesiio progrmvimo uždviius: ) mi y ki y y y b) m y ki skyms: 8 ki y y y y skyms: ki y

101 I TIESIN LGEBR 99 c) mi y ki y y y d) m y ki y y 8 y y e) mi 8 ki skyms: ki y skyms: ki y skyms: ki rb

102 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi f) mi ki skyms: ki g) mi ki h) mi ki skyms: ki skyms: ki

103 II MTEMTIN NLIZ Tegu f fukcij pibrž rlij skii ibje N Td jos reikšmi begli eil f f f f vdims bedruoju se- f (i yr vdim skii sek Reiškiys kos riu es iš jo g gui be kur sekos r rio umeris) Sek žymsime simboliu Pvyzdžiui Formul Formul pibrži sek pibrži sek Formul d Formul pibrži rimei progresij d d d bq pibrži geomeri progresij b b q b b q q

104 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Skiius vdims sekos rib ki kiekvie eigim skii iik oks rlusis skiius N kd su visis N eisig elygyb Ki sek uri rib skii i ršome rb ki Rib svybs: Skykime kd ir y uri bigies ribs Tuome: y y y y jei y y y ki q Psb ) q epibr ki ki q c ) ki cr c Pvyzdžii Spredims Turime epibržum q N odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio) uome urime: Deliu pie epibržumus žr: Fichegolcs G Memis lizs pgridi oms Vilius: Miis 9 p 8 8

105 II MTEMTIN NLIZ Kdgi i gume skyms: Spredims Kdgi urime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio): 8 8

106 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Kdgi i urime Spredims skyms: Turime epibržum odl ši fukcij dugime ir de iš jugiio reiškiio : Kdgi dr urime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio): Kdgi i gume

107 II MTEMTIN NLIZ skyms: Spredims Turime epibržum odl ši fukcij dugime ir de iš epilojo kvdro : Kdgi dr urime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio):

108 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Kdgi i urime skyms: Spredims Turime epibržum odl ši fukcij dugime ir de iš jugiio dugiklio : Turime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio): skyms:

109 II MTEMTIN NLIZ Spredims i išklme ir es Kdgi ki i skyms: Spredims Turime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš - es :

110 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 Kdgi ki i skyms: 8 S S(G) ki rimei progresij: o geomeri progresij: 8 S(G) - yksmosios geomeris progresijos sum S pirmj rimeis progresijos ri sum Spredims q b S(G) d S 8 Dbr guus rezulus siršome duoj rib: 8 8 Turime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio):

111 II MTEMTIN NLIZ 9 Kdgi i urime 8 S(G) 9 skyms: ki rimei progresij: 8 o S geomeri progresij: Spredims b S(G) q d 8 8 S Dbr guus rezulus siršome duoj rib: Kdgi dr urime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio):

112 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Kdgi i skyms: 8 Svrkiško drbo užduoys pskiiuokie ribs: S ki P : GP : S G skyms: 9 skyms: skyms: skyms:

113 II MTEMTIN NLIZ skyms: skyms: Fukcijos ribos pibržims yr sudigs odl piliusruosime j 9 okiu pvyzdžiu Iširkime kokios yr fukcijos f reikšms ki gyj reikšmes iš plikos: f epibrž Iš leels myi kd fukcijos f reikšms mži skirisi uo ski- ius ki 9; Tokiu veju skom kd fukcijos f 9 rib ki rj prie yr lygi o užršom rb bedruoju veju f Fukcij rib svybs Skykime kd f ir g uri bigies ribs ki Td c c c kos; c f() g() f() g() ; f() g() f() g() ;

114 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi c f() c f() c kos; f() f() jei g() g() g() Pvyzdžii Rskie fukcijos rib: Spredims Turime epibržum odl skiikl ir vrdikl išskidome dugi- misiis Suprsi urime: skyms: 8 Spredims Turime epibržum odl surdme skiiklio ir vrdiklio riri škis ir juos išskid dugimisiis suprsime: 8 skyms:

115 II MTEMTIN NLIZ Spredims Turime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio): Kdgi i Spredims skyms: Turime epibržum odl ši fukcij dugime ir de iš jugiio reiškiio :

116 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Kdgi dr urime epibržum odl šios rupmeos skiikl ir vrdikl dlisime iš ( ukšiusio lipsio): skyms: Spredims Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš vrdikliui jugiio dugiklio : skyms:

117 II MTEMTIN NLIZ 8 Spredims Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš vrdikliui jugiio dugiklio : Dr urime epibržum odl skiikl išskidome pgl formul b b b b o surd vrdiklio ririo škis išskidome j dugimisiis: 8 Suprsi gume: Dbr ju ge pskiiuoi rib: skyms: 8

118 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Spredims Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš skiikliui jugiio dugiklio ir vrdikliui : Turime epibržum odl surd skiiklio ririo škis išskidome dugimisiis o vrdikl ( y ) de kmpu iš es ir išskidome dugimisiis

119 II MTEMTIN NLIZ Dugirii išsiskido ip: ir rš gusis išrišks rib urime Suprsime ir pskiiuojme rib: 9 skyms: 9 8 Spredims Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš skiikliui jugiio dugiklio ir vrdikliui :

120 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 urime epibržum Skiikl ir vrdikl ( y ir ) de kmpu iš es De dugir iš dugirio ir dugir iš dugirio Dugirii išsiskido dugimisiis: ir rš gusis išrišks rib urime

121 II MTEMTIN NLIZ 9 Suprsi urime: Dbr pskiiuojme rib: - skyms: Svrkiško drbo užduoys pskiiuokie šis fukcij ribs: skyms:

122 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 8 skyms: skyms: skyms: skyms: skyms: skyms: skyms: 9 skyms:

123 II MTEMTIN NLIZ skyms: 9 skyms: e rb e Skiius e yr irciolusis o jo reikšm pyikslii lygi 88 Dži vrojm rodikli fukcij kurios pgrids yr e y e y ip p logrimi fukcij kurios pgrids yr lygus e y y e log Ši fukcij vdim rliuoju logrimu ir žymim y l Pvyzdžii I spredimo bds e

124 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi e e e II spredimo bds Ki urime epibržum i udojme formul g f g e f ki gli bi bigiis R rb begliis Spredims Turime epibržum es o Todl e e skyms: e

125 II MTEMTIN NLIZ Spredims Turime epibržum es o e lik veiksmus gume: e e Todl - e e Kdgi i e e skyms: e Spredims urime epi- Kdgi bržum Todl

126 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi e e e e e e e skyms: e Spredims Turime epibržum es - - o Todl - e e e e Dr urime epibržum Todl e e e Kdgi i e e e skyms: e

127 II MTEMTIN NLIZ Svrkiško drbo užduoys skyms: e skyms: e skyms: e si rb si Be o yr eisigos šios formuls jei vieoje pimsime fukcij y si y y Pvyzdžii y Rskie fukcijos rib: si Spredims y si y y y si si skyms:

128 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi si si Spredims si si si si si si skyms: cos Spredims si si si si si si si si cos si si skyms:

129 II MTEMTIN NLIZ si Spredims si si si si skyms: cg Spredims cos cos si cos si cos si cos cg skyms: si si Spredims cos cos cos cos si cos si cos si si skyms: cos

130 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi g * ir 8* spredžimi pudoj formules f f e si cg g ir si * g Spredims si Turime epibržum es o g cg Spredžime remiis formule g f g f e : cg si cg si g e g Kd b pogiu e lipsio rib skiiuosime skiri: si cg g si g cos g si si g cg g si si cos si si cos cos cos cos si si cos si si cos cos si cos si cos si cos cos cos si si cos si si Kdgi dr urime epibržum i psiudojme rigoomerie si formule cos si ir rib

131 II MTEMTIN NLIZ 9 si cos si cos si si si cos si cos cos si cos si cos si cos si cos si si lik veiksmus gume: si cos 8 cos cos si cos cos si cos 8 8 Nepmirškime kd pskiivome e lipsio rib odl

132 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi 8 si e g cg skyms: 8 e 8* cos Spredims Turime epibržum es cos o Spredžime remiis formule g f g e f : cos cos e Kd b pogiu e lipsio rib skiiuosime skiri: cos Kdgi dr urime epibržum i psiudojme rigoomerie formule si cos ir rib si : si si cos lik veiksmus gume:

133 II MTEMTIN NLIZ Nepmirškime kd pskiivome e lipsio rib odl cos e e skyms: e Svrkiško drbo užduoys pskiiuokie šis fukcij ribs: si skyms: si si skyms: cos si cg * cos skyms: 9 skyms: 8 skyms: 9 e

134 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Ki grijm fukcijos f rib ške kimsis gyj reikšmes ir iš kirs ir iš dešis uo ško Jeigu iešk ribos ki psiribojm reikšmmis kurios yr ik kir (rb ik deši) uo ško i oki rib vdim fukcijos rib iš kirs (dešis) ir žymim: f f f f f f Fukcijos ribos iš kirs ir iš dešis vdimos viepusmis ribomis Ki fukcij f ške uri rib i viepuss ribos yr lygios rpusvyje ir lygios fukcijos ribi: Pvyzdžii f f f Spredims Spredims skyms: skyms:

135 II MTEMTIN NLIZ Spredims skyms: Spredims skyms: Spredims skyms: skyms:

136 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Spredims I bds Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš skiikliui jugiio dugiklio Kdgi dr urime epibržum i iškee prieš skliusus skiiklyje ir vrdiklyje (kreipime dmes žekl es ): Kdgi i urime skyms:

137 II MTEMTIN NLIZ II bds Kdgi ir orime iškeli prieš kvdris škies žekl urime kreipi dmes žekl Vies iš bd yr pkeisi odl veskime kimj ki uome gume: o dbr iškee prieš kvdris škies žekl: Kdgi i urime skyms: 8 Spredims Turime epibržum Skiikl ir vrdikl dugime iš skiikliui jugiio dugiklio ir vrdikliui :

138 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Kdgi dr urime epibržum i iškee prieš skliusus skiiklyje ir vrdiklyje (kreipime dmes žekl es ): Kdgi i urime

139 II MTEMTIN NLIZ 8 8 skyms: 8 9 Spredims Turime epibržum Iškee prieš skliusus skiiklyje ir vrdiklyje: Kdgi Vdisi i Kdgi i urime skyms:

140 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Svrkiško drbo užduoys pskiiuokie šis fukcij ribs: skyms: skyms: skyms: skyms: skyms: skyms:

141 II MTEMTIN NLIZ 9 Fukcijos y f išvesie ške vdim os fukcijos pokyio ir j iikio rgumeo pokyio sykio rib ki rgumeo pokyis rj prie ulio: y f f y f Jeigu fukcij f uri išvesi visuose kurio ors iervlo škuose i skom kd ji diferecijuojm me iervle Išvesis rdimo veiksms vdims diferecijvimu Pgridis diferecijvimo isykls ir sudii fukcij išvesis: u v u v log u u u l u v u v v u siu cosu u c f c f cos u siu u u u v vu g u u cos u v v c cg u u u si u u u rcsi u u u u u e e u rccos u u u u u 8 l u rcg u u u u u 9 l 8 rccg u u u u

142 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Pvyzdžii Rskie duoj fukcij išvesies: y Spredims Kdgi ege iš kro psiudoi pgridii išvesii leele es fukcij yr sudi uome ieškome išvesis remdmiesi formule () y u u u : o y ieškome remdmiesi formule u v u v Td gume Dbr ju ge psiudoi išvesii leele ir pskiiuoi išvesies: lik veiksmus ursime 8 ir skyms: y 8 y Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule () y u u u:

143 II MTEMTIN NLIZ y o ieškome remdmiesi formule v u v u Td gume Psiudoj išvesii leele ge pskiiuoi išvesies fukcij ir : lik elemerius pervrkymus ursime skyms: y e y Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule () y u v v u v u : e e e y Psiudoj išvesii leele ge pskiiuoi išvesies fukcij ir e : e e e e e skyms: e y

144 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi y lcos Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule (9) y l u u Tuome u ursime y l cos cos cos Psiudoj išvesii leele ge pskiiuoi išvesi fukcijos cos : si cos si cos cos cos si Psebime kd g Vdisi cos y g skyms: y g y log Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule () y log Tuome ursime log y l Skiiklio išvesis ieškosime udodmi dlmes formul u u v v u : v v u u u l

145 II MTEMTIN NLIZ l l l lik veiksmus gume l l l l l l l skyms: l y 9 y Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule v u v u Td gume 9 9 y Dbr priikome () formul f c f c : 9 9 ir ieškome remdmiesi formule ir lik veiksmus urime:

146 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi skyms: y y Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule () y u u u : y o ieškome remdmiesi formule v u v u Td gume Psiudoj išvesii leele ge pskiiuoi išvesies fukcij ir : lik veiksmus ursime skyms: y

147 II MTEMTIN NLIZ 8 si y Spredims Ieškome išvesis remdmiesi formule u u u cos si : cos si si y o ieškome remdmiesi formule v u v u Td gume cos cos Psiudoj išvesii leele ge pskiiuoi išvesies fukcij ir : cos cos lik veiksmus ursime cos cos cos skyms: cos y 9 f Spredims 9 f skyms: 9 f f

148 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Spredims 8 f skyms: 8 f si l ) ( f Spredims si l si cos si l si ) cos si( si l si ) cos si( si l si ) cos si( si l si si ) si( si l si si si l l si si l si l ) ( cg f skyms: si l ) ( cg f

149 II MTEMTIN NLIZ f ( ) cos Spredims f ( ) cos cos cos cos cos cos cos cos cos si cos si si cos cos ( ) cg f Spredims Ki f ( ) u v i u ir skyms: f rdm logrimuoj Logrimuojme bi šio reiškiio puses: l f ( ) lcg f si cos v yr diferecijuojmos fukcijos i Tuome dešije guojo reiškiio pusje ukee lipsio rodikl prieš logrimo žekl lcg l f ( ) Dbr ieškome guojo reiškiio išvesis l f ( ) lcg Psiudodmi formulmis u v u v v u l f f f gume l f ( ) lcg ir

150 8 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi f f Surdme ir l(cg ) išvesies: f l( cg) l( cg) f cg l( cg) cg f f cg si liekme veiksmus f l( cg) f cgsi l( cg) f l( cg) cos si si f l( cg) f si cos f f l( cg) f si cos l( cg) si f o kirje šio reiškiio pusje urime f f Kdgi mums reiki rsi f f f f l( cg) si Dešije pusje vieoje f rš duoj fukcij y f ( ) cg odl pdugime bi šio reškiio puses iš f : urime f cg l( cg) si skyms: f cg l( cg) si

151 II MTEMTIN NLIZ 9 Jeigu y yr fukcijos y f išvesi i y vdim fukcijos y f rj išvesie rb ros eils išvesie roji išvesi žymim y rb f rosios išvesis išvesi vdim reij išvesie y y y ir Pvyzdžiui rsime reiškiio y reij išvesi: y 8 y y 8 8 y y 8 Svrkiško drbo užduoys Rskie fukcijos išvesi: y si y cos y cos f ( ) cos rcg y f ( ) skyms: skyms: y cos y si skyms: y cos si skyms: cos si skyms: rcg l skyms: y f ( )

152 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi f ( ) 8 f ( ) rcg 9 f ( ) l f ( ) lsi f ( ) cg f ( ) si rcg g y e f si ( ) ( ) g f skyms: skyms: skyms skyms: f ( ) rcg l l l f ( ) skyms: cg skyms: si skyms: y si rcg f ( ) l cos g si cos e skyms: f g skyms: f l l( g) si

153 II MTEMTIN NLIZ log * y cos si g e skyms: cos si g e y log si si g e log si g e log l cos e log cos g e log g e e log log Rsi fukcijos f l kevirj išvesi skyms: Fukcijos y f diferecilu dy vdim sdug f y dy f Diferecilo formulje vieoje g ršyi d es pgl pibržim fukcijos y diferecils d Tigi dy f d Pgridis diferecilo svybs: ) d f df y kos g iškeli prieš diferecilo žekl; i R kos f diferecijuojm fukcij ) df C df y po diferecilo žeklu g pridi\imi be koki kos; i C R kos f diferecijuojm fukcij ) Iš ) ir ) svybi išpluki kd eisig yr oki lygyb: d f C d f Išsmiu pie diferecilo svok žr: Fichegolcs G Memis lizs pgridi oms Vilius: Miis 9 p

154 Tiesis lgebros ir memis lizs pgridi Fukcijos diferecils dži ikoms memikoje skiiuoj fukcij reikšmes ip p veri pklid didum Ti drom remiis uo kd fukcijos pokyis yr pyikslii lygus fukcijos diferecilui ki rgumeo pokyis mžs y y dy Fukcijos y f diferecilo diferecils vdims ruoju diferecilu (rb rosios eils diferecilu) ir žymims d f Tigi d y ddy ros eils diferecil: d y d Tigi Pvyzdys Rskie fukcijos Spredims dy logiški d y dd y d y rb ir Rsime dy df d df d f dd f d f d d y f y cos diferecil d cos d cos si d si d skyms: dy si d Svrkiško drbo užduoys Rskie fukcij diferecilus: l y skyms: dy d y y cos skyms: dy l d skyms: dy 9cos si d