Apie dviejų algebrinių skaičių sandaugos laipsnį
|
|
- Antanas Galdikas
- prieš 2 metus
- Peržiūrų:
Transkriptas
1 VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS MATEMATIKOS INSTITUTAS Lukas Maciulevičius Apie dviejų algebrinių skaičių sandaugos laipsnį On the Degree of Product of two Algebraic Numbers Magistro baigiamasis darbas Leidžiu ginti Darbo vadovas prof. Paulius Drungilas Vilnius 2020
2 Turinys Įvadas Pagalbiniai rezultatai 6 2 Įrodymai 8 Summary Literatūra 14
3 Įvadas Skaičius α C vadinamas algebriniu, jei jis yra kokio nors nenulinio polinomo su racionaliais koeficientais šaknis. Mažiausio laipsnio normuotas 1 polinomas p(x) Q[x], turintis šaknį α, vadinamas algebrinio skaičiaus α minimaliuoju polinomu, o jo laipsnis vadinamas algebrinio skaičiaus α laipsniu. Trejetas (a, b, c) N 3 vadinamas S-trejetu (atitinkamai P-trejetu), jei egzistuoja trys algebriniai skaičiai α, β ir γ, kurių laipsniai atitinkamai a, b ir c, tokie, kad α + β + γ = 0 (atitinkamai αβγ = 1). Straipsnyje [4] Drungilas, Dubickas ir Smyth iškėlė uždavinį rasti visus S-trejetus (a, b, c) N 3. Minėtame straipsnyje taip pat iškeltas panašus uždavinys apie skaičių kūnus. Priminsime, jog kiekvienas kūnas K C savyje turi pokūnį Q, todėl į kūną K galime žiūrėti kaip į tiesinę erdvę virš kūno Q. 2 Kūno K, kaip tiesinės erdvės virš kūno Q, dimensija vadinama šio kūno laipsniu ir žymima [K : Q]. Jei [K : Q] <, tai K vadinamas skaičių kūnu. Tuo tarpu kūnų K ir L kompozitu vadinamas mažiausias kūnas KL, toks, kad K KL ir L KL. Trejetas (a, b, c) N 3 vadinamas C-trejetu, jeigu egzistuoja skaičių kūnai K ir L, kurių laipsniai atitinkamai a ir b, tokie, kad kompozito KL laipsnis lygus c. Straipsnyje [4] Drungilas, Dubickas ir Smyth nustatė visus (išskyrus vieną) S- trejetus (a, b, c), kuriuose a b c ir b 6 (neišnagrinėtas liko trejetas (6, 6, 8)), taip pat nustatė visus C-trejetus (a, b, c), kuriuose a b c ir b 6. Straipsnyje [3] Drungilas, Dubickas ir Luca įrodė, jog (6, 6, 8) nėra S-trejetas, taip pat pratęsė S-trejetų ir C-trejetų (a, b, c), a b c, charakterizaciją iki atvejo, kai b 7. 1 teiginys ([4]). Jeigu (a, b, c) N 3 yra C-trejetas, tai jis yra ir S-trejetas, ir P-trejetas. 2 teorema ([2]). Jei (a, b, c) yra S-trejetas, tai jis yra ir P-trejetas. Taigi visi [4] ir [3] straipsniuose nustatyti S-trejetai kartu yra ir P-trejetai. Tačiau šie trejetai dar neišsemia visų P-trejetų (a, b, c), kuriuose a b c ir b 7. Šiame darbe nagrinėjamus klausimus galima suskirstyti į dvi dalis. 1 Kurio vyriausias koeficientas lygus 1. 2 Tikrai, kūnas K yra uždaras elementų sudėties bei daugybos iš kūno Q elementų atžvilgiu, be to, šios dvi operacijos tenkina visus tiesinės erdvės apibrėžimo reikalavimus. 3
4 P-trejetų charakterizacija Šiame darbe nagrinėjami P-trejetai (a, b, c), tenkinantys sąlygas a b c ir b 7, t.y. įrodomas toks teiginys: 3 teorema. P-trejetai (a, b, c), tenkinantys sąlygas a b c ir b 7, pateikti 1 lentelėje, išskyrus galbūt kai kuriuos iš apvestų trejetų. b\a , , 6 3, 6, , 8 6, 12 4, 6, 8, 12, , 10, 20 5, 10, 20, , 12 6, 9, 12, 18 6, 8, 12, 24 10, 15, , 14, , 8, 9, 12, 15, 18, 24, 30, 36 7, 14, 21, 42 7, 14, 21, 28, 42, 49 1 lentelė: Visi P-trejetai (a, b, c), b 7, galbūt išskyrus apvestus trejetus Taip pat pavyko gauti keletą teiginių apie specialaus pavidalo trejetus: 4 teorema. Trejetas (n 1, n, n), n 2, yra P-trejetas tada ir tik tada, kai n - pirminis. 5 teorema. 3 Trejetas (p, t, t), kur p - pirminis ir t p > 2, yra P-trejetas tada ir tik tada, kai p t. Neredukuojami C-trejetai Straipsnyje [4] iškelta hipotezė: 6 hipotezė (Dalinis variantas [4, Conjecture 4]). Jei (a, b, c), (a, b, c ) N 3 yra C-trejetai, tai (aa, bb, cc ) taip pat yra C-trejetas. Straipsnyje [2] įrodyta, jog ši hipotezė teisinga, jei atsakymas į taip vadinamą Atvirkštinį Galua Teorijos Uždavinį yra teigiamas. Atvirkštinis Galua Teorijos Uždavinys klausia, ar kiekviena baigtinė grupė yra kokio nors normaliojo kūnų plėtinio K : Q Galua grupė (žr. [6]). 7 teiginys ([2, Theorem 1.3]). Jei kiekviena baigtinė grupė yra tam tikro kūno Q normaliojo plėtinio Galua grupė, tai 6 hipotezė yra teisinga. 3 Šis teiginys apibendrina 12 lemą. 4
5 Šią teoremą galima performuluoti tokiu būdu. Įveskime žymėjimą: (a, b, c)(a, b, c ) := (aa, bb, cc ), (1) čia a, b, c, a, b, c N. Kalbant kitais žodžiais, 7 teorema sako: jei atsakymas į Atvirkštinį Galua Teorijos Uždavinį yra teigiamas, tai visų C-trejetų aibė (1) lygybe apibrėžtos daugybos atžvilgiu sudaro pusgrupę. Natūralu klausti, kurie šios pusgrupės elementai yra neredukuojami. 8 apibrėžimas. C-trejetą (A, B, C) vadinsime neredukuojamu, jeigu jo negalima užrašyti pavidalu (A, B, C) = (a, b, c)(a, b, c ), kur (a, b, c), (a, b, c ) yra C-trejetai ir (a, b, c) (1, 1, 1) bei (a, b, c ) (1, 1, 1). Šiame darbe įrodyta, jog tam tikri specialaus pavidalo C-trejetai yra neredukuojami: 9 teorema. C-trejetai (n, n, n(n 1)), n 2, yra neredukuojami. 4 4 Žinoma, jog (n, n, n(n 1)) iš tiesų yra C-trejetas su visais natūraliaisiais skaičiais n 2 (žr. [4, Proposition 29, (ii)]). 5
6 1 skyrius Pagalbiniai rezultatai 10 lema ([4, Lemma 14]). Jeigu (a, b, c) yra P-trejetas, tai c mbk(a, b) t su tam tikru t dbd(a, b). 11 lema ([5, Lemma 7]). Tarkime natūralieji skaičiai a b c tenkina nelygybę ab < 2c. Jei trejetas (a, b, c) nėra C-trejetas, tai jis nėra ir P-trejetas. 12 lema ([4, Theorem 8]). Trejetas (2, t, t) N 3 yra P-trejetas tada ir tik tada, kai 2 t arba 3 t. Tarkime p yra pirminis skaičius. Laipsnio rodiklį, kuriuo p įeina į skaičiaus n kanoninį išskaidymą pirminiais dauginamaisiais, pažymėkim ord p (n) (jeigu n nesidalija iš p, tai susitarkim, jog ord p (n) = 0). Sakysime, jog trejetas (a, b, c) N 3 tenkina eksponentinę trikampio nelygybę pirminio skaičiaus p atžvilgiu, jeigu ord p (a) + ord p (b) ord p (c), ord p (a) + ord p (c) ord p (b) ir ord p (b) + ord p (c) ord p (a). 13 lema ([4, Proposition 28]). Tarkime trejetas (a, b, c) N 3 tenkina eksponentinę trikampio nelygybę kiekvieno pirminio skaičiaus atžvilgiu. Tuomet kiekvienam P- trejetui (a, b, c ) N 3 trejetas (aa, bb, cc ) taip pat yra P-trejetas. 14 lema ([4, Proposition 21]). Tarkime α ir β yra atitinkamai m - tojo ir n - tojo laipsnio algebriniai skaičiai virš kūno Q. Tegul α 1 := α, α 2,..., α m yra visi skirtingi skaičiaus α algebriniai jungtiniai, o β 1 := β, β 2,..., β n - visi skirtingi β algebriniai jungtiniai. Jeigu β laipsnis virš kūno Q(α) lygus n, tai visi skaičiai α i β j, 1 i m, 1 j n, yra algebriniai jungtiniai virš Q (kai kurie gali ir kartotis). Tegul α 1, α 2,..., α n yra visos separabilaus n-tojo laipsnio polinomo f(x) Q[x] šaknys, n 2. Multiplikatyviuoju sąryšiu tarp šaknų α 1,..., α n vadiname sąryšį, pavidalo n i=1 α k i i Q, kur k i Z. Multiplikatyvųjį sąryšį vadinsime trivialiuoju, jei k 1 = k 2 = = k n. 6
7 15 lema ([1, Theorem 1]). Tarkime f(x) Q[x] yra neredukuojamas virš Q pirminio laipsnio p > 2 polinomas, be to f(x) x p + a 0. Tuomet neegzistuoja netrivialaus multiplikatyviojo sąryšio tarp f(x) šaknų α 1, α 2,..., α p. 7
8 2 skyrius Įrodymai 3 teoremos įrodymas. Ieškosime P -trejetų (a, b, c), tenkinančių sąlygas a b c ir b 7. Remdamiesi 10 lema, atrenkame visus kandidatus (visi jie surašyti 2 lentelėje): b\a , , 6 3, 6, , 8 4, 6, 12 4, 6, 8, 12, , 10 5, 15 5, 10, 20 5, 10, 15, 20, , 12 6, 9, 12, 18 6, 8, 12, 24 6, 10, 15, 30 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 30, 36 7, 14, 7 7 7, 14 7, 21 7, 14, 28 7, 35 21, 42 2 lentelė: Kandidatai į P-trejetus 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 Šioje lentelėje laikomės tokių žymėjimų: Mėlynai pažymėti trejetai yra S-trejetai ir daugiau S-trejetų šioje lentelėje nėra (straipsniuose [3] ir [4] įrodyta, jog tai iš tiesų yra visi S-trejetai (a, b, c), tenkinantys sąlygą b 7). Taigi, remiantis 2 teiginiu, visi šie trejetai kartu yra ir P-trejetai. Žaliai pažymėti trejetai irgi yra P-trejetai: (2, 3, 3) yra P-trejetas pagal 12 lemą, trejetai (3, 6, 9) ir (3, 4, 6) - pagal 13 lemą, (4, 5, 5) ir (6, 7, 7) - pagal 4 teiginį, o (6, 6, 8) - pagal [4, Remark 39]. 8
9 Raudonai pažymėti trejetai nėra P-trejetai: (3, 4, 4), (5, 6, 6), (3, 7, 7), (5, 7, 7) - pagal 5 teiginį, (2, 5, 5) ir (2, 7, 7) - pagal 12 lemą, (3, 5, 5) ir (6, 6, 10) - atitinkamai pagal 17 ir 16 teiginius, o (5, 5, 15) ir (7, 7, 35) - pagal 11 lemą. Apvesti trejetai dar neištirti. 16 teiginys. Trejetas (6, 6, 10) nėra P-trejetas. Įrodymas. Teoremos [4, Theorem 38] įrodymą nesunku performuluoti multiplikatyviajam atvejui (vietoje α ir β algebrinių jungtinių skaičių sumų nagrinėjant jų sandaugas). Naudodami tuos pačius žymėjimus galiausiai gausim, jog β 6 6 Q, vadinasi β minimalusis polinomas yra pavidalo x 6 r 2, r 2 Q. Teoremos [4, Theorem 38] įrodyme α ir β sukeitę vietomis, gausim, jog α minimalus polinomas taip pat yra pavidalo x 6 r 1, r 1 Q. Taigi α = 6 r 1 ε 6 ir β = 6 r 2 ε 6, kur ε 6 ir ε 6 yra tam tikros 6-tojo laipsnio šaknys iš vieneto. Tuomet skaičius αβ = 6 r 1 r 2 ε 6 ε 6 yra polinomo x 6 r 1 r 2 šaknis, vadinasi deg(αβ) 6, o tai yra prieštara. 4 teoremos įrodymas. Tarkime n - pirminis. Tegul ζ n = e 2πi n. Tuomet ζ n, o kartu ir 1 ζ n, yra (n 1)-ojo laipsnio algebriniai skaičiai 1. Imkime α = 1 ζ n, β = n 2ζ n ir γ =. Tuomet αβγ = 1, taigi trejetas (n 1, n, n), kur n - pirminis, yra P-trejetas. 1 n 2 Įrodysime į priešingą pusę. Tarkime (n 1, n, n) yra P-trejetas. Tuomet egzistuoja tokie algebriniai skaičiai α ir β, kad [Q(α) : Q] = n 1, [Q(β) : Q] = n ir [Q(αβ) : Q] = n. Kadangi Q(α) Q(α, β) ir Q(β) Q(α, β), tai abu skaičiai n 1 ir n dalija skaičių [Q(α, β) : Q], be to [Q(α, β) : Q] (n 1)n. Kadangi dbd(n, n 1) = 1, tai [Q(α, β) : Q] = (n 1)n. Tuomet [Q(α, β) : Q(α)] = n ir [Q(α, β) : Q(β)] = n 1. Tarkime β 1 := β, β 2,..., β n - visi skaičiaus β algebriniai jungtiniai. Visi skaičiai yra paporiui skirtingi. αβ 1, αβ 2,..., αβ n (2.1) Kadangi algebrinio skaičiaus αβ laipsnis lygus n, tai, remiantis 14 teiginiu, skaičiai (2.1) yra visi αβ algebriniai jungtiniai. Taigi visų (2.1) skaičių sandauga α n β 1 β 2 β n yra nenulinis racionalusis skaičius. Tačiau taip pat β 1 β 2... β n Q \ {0}, taigi α n Q \ {0}. Pažymėkim α n := r. Tegul α minimalusis polinomas yra x n 1 + r n 2 x n r 1 x + r 0, r i Q, i = 0, 1,..., n 2. 1 Prisiminkime, jog skaičiaus ζ n = e 2πi n minimalusis polinomas vadinamas n-tuoju ciklotominiu polinomu. Gerai žinoma, jog n-tojo ciklotominio polinomo laipsnis lygus ϕ(n), kur ϕ žymi Oilerio funkciją. Be to (ζ n ) m 1 su kiekvienu natūraliuoju m < n. (žr. [7]). Jeigu α 0 yra k-tojo laipsnio algebrinis skaičius, tai 1 α taip pat yra k-tojo laipsnio algebrinis skaičius. 9
10 Lygybės α n 1 + r n 2 α n r 1 α + r 0 = 0 abi puses daugindami iš α ir naudodamiesi pažymėjimu α n = r, gauname r n 2 α n 1 + r n 3 α n r 0 α + r = 0 α n 1 + r n 3 α n r 0 α + r = 0 r n 2 r n 2 r n 2 (kadangi r 0, tai ir r n 2 0, priešingu atveju α būtų žemesnio nei (n 1)-ojo laipsnio algebrinis skaičius). vienintelis minimalusis polinomas, tai r n 3 r n 2 = r n 2, Kadangi kiekvienam algebriniam skaičiui egzistuoja r n 4 r n 2 = r n 3,... r 0 r n 2 = r 1, r r n 2 = r 0. Iš šių lygybių gauname, jog r = r n n 2. Taigi α n = r n n 2 α = r n 2 ζ n, kur ζ n yra n-tojo laipsnio šaknis iš vieneto. Jeigu ζ n nėra primityvioji n-tojo laipsnio šaknis iš vieneto, tai α yra mažesnio nei (n 1)-ojo laipsnio algebrinis skaičius, - prieštara. Taigi ζ n yra primityvioji šaknis. Vadinasi α laipsnis lygus n-tojo ciklotominio polinomo laipsniui, t.y. φ(n) = n 1. Tačiau ši lygybė teisinga tada ir tik tada, kai n - pirminis. Įrodymas baigtas. 5 teoremos įrodymas. Tarkime t p > 2 ir p t, t.y. t = pk, kur k N. Trejetas (1, k, k) yra P-trejetas k N, o trejetas (p, p, p) tenkina eksponentinę trikampio nelygybę. Taigi trejetas (p, t, t) = (p 1, p k, p k) yra P-trejetas pagal 13 lemą. Teiginį įrodysime į kitą pusę. Tarkime (p, t, t) yra P-trejetas. Sakykime priešingai, jog p t. Tuomet egzistuoja tokie algebriniai skaičiai α ir β, kad [Q(α) : Q] = p ir [Q(β) : Q] = [Q(αβ) : Q] = t. Kadangi pagal prielaidą p t, tai galime įsitikinti, jog [Q(α, β) : Q(α)] = t ir [Q(α, β) : Q(β)] = p, todėl, remiantis 14 lema, skaičiai α i β j, 1 i p, 1 j t, yra visi skaičiaus αβ algebriniai jungtiniai (su pasikartojimais). Iš viso αβ turi t algebrinių jungtinių (įskaitant patį skaičių αβ). Visi skaičiai αβ 1, αβ 2,..., αβ t yra skirtingi, taigi jie išsemia visus αβ algebrinius jungtinius. Todėl (αβ 1 )(αβ 2 ) (αβ t ) = α t (β 1 β 2 β t ) Q α t Q, tačiau α yra pirminio laipsnio algebrinis skaičius, todėl, pagal 15 lemą, α minimalusis polinomas yra pavidalo x p c, c Q (atkreipkim dėmesį, jog mūsų nagrinėjamu atveju p > 2, kaip ir reikalaujama 15 lemoje). Turime, jog α yra polinomo x t r šaknis, kur r Q. Taigi α minimalusis polinomas x p c dalija polinomą x t r. Vadinasi kiekviena polinomo x p c šaknis yra ir polinomo x t r šaknis. Tame tarpe p cζ p yra polinomo x t r šaknis; čia p c yra aritmetinė p-tojo laipsnio šaknis iš c, o ζ p = e 2πi p. Taigi ( ) ( p 2πt c) t ζp t = r R ζp t R sin = 0 2πt = πk, k Z 2t = pk. p p Vadinasi 2t dalijasi iš pirminio skaičiaus p. Pagal prielaidą p t, todėl p 2, tačiau p > 2. Tokiu būdu gauname prieštarą. Taigi p t. 10
11 17 teiginys. Trejetas (3, 5, 5) nėra P-trejetas. Pastaba. Šis teiginys išplaukia iš 5 teoremos. Vis dėlto čia pateiksime dar vieną jo įrodymą. Įrodymas. Tarkime priešingai. Tuomet egzistuoja tokie algebriniai skaičiai α ir β, kad [Q(α) : Q] = 3, [Q(β) : Q] = 5 ir [Q(αβ) : Q] = 5. Pažymėkime α 1 := α, α 2, α 3 - visi skirtingi α algebriniai jungtiniai, o β 1 := β, β 2, β 3, β 4, β 5 - visi β algebriniai jungtiniai. Analogiškai, kaip anksčiau, įsitikiname, kad [Q(α, β) : Q(α)] = 5 ir [Q(α, β) : Q(β)] = 3. Taigi, remiantis 14 teiginiu, visi skaičiai α i β j, 1 i 3, 1 j 5, yra algebriniai jungtiniai. Skaičiai αβ 1, αβ 2, αβ 3, αβ 4, αβ 5 yra paporiui skirtingi, taigi jie yra visi skaičiaus αβ algebriniai jungtiniai. Jų visų sandauga α 5 (β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 ) yra racionalusis skaičius, tačiau β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 0 taip pat yra racionalusis skaičius, taigi α 5 := r Q. Tegul skaičiaus α minimalusis polinomas yra x 3 + r 2 x 2 + r 1 x + r 0. Lygybės α 3 +r 2 α 2 +r 1 α+r 0 = 0 abi puses padauginę iš α 2 gauname r 2 α 4 +r 1 α 3 +r 0 α 2 +r = 0, taigi nenulinis (nes r 0) polinomas r 2 x 4 + r 1 x 3 + r 0 x 2 + r dalijasi iš α minimaliojo polinomo x 3 + r 2 x 2 + r 1 x + r 0. Turime, kad r 2 x 4 + r 1 x 3 + r 0 x 2 + r = (x 3 + r 2 x 2 + r 1 x + r 0 )(r 2 x + (r 1 r2)) 2 + ((r 0 2r 1 r 2 + r2)x (r 1 r2 2 r 0 r 2 r1)x 2 + (r + r 0 r2 2 r 0 r 1 )), vadinasi r 0 2r 1 r 2 + r2 3 = 0 r 1 r2 2 r 0 r 2 r1 2 = 0 r r 0 r 1 + r 0 r2 2 = 0. (2.2) Iš pirmosios lygybės išreiškę r 0 ir įstatę į antrąją lygybę, gauname r 4 2 r 1 r 2 2 r 2 1 = 0. Iš čia gauname, kad r 2 2 = 1 2 (r 1 + r 1 5), tačiau r 2 2 yra racionalusis skaičius, todėl r 1 = 0. Tuomet r 2 = 0 ir iš (2.2) lygybių gauname, kad r = 0, o tai prieštara. 9 teoremos įrodymas. Tarkime priešingai, jog (n, n, n(n 1)) = (a 1, b 1, c 1 )(a 2, b 2, c 2 ), (2.3) kur (a 1, b 1, c 1 ) ir (a 2, b 2, c 2 ) yra C-trejetai, be to (a 1, b 1, c 1 ) (1, 1, 1) ir (a 2, b 2, c 2 ) (1, 1, 1). Skaičius c 1 ir c 2 galime užrašyti pavidalu c 1 = d (n) 1 d (n 1) 1 ir c 2 = d (n) 2 d (n 1) 2, kur d (n) i n ir d (n 1) i n 1 (i = 1, 2), d (n) 1 d (n) 2 = n ir d (n 1) 1 d (n 1) 2 = n 1. Kadangi pagal mūsų prielaidą (a 1, b 1, c 1 ) yra C-trejetas, tai a 1 dalija skaičių c 1 = d (n) 1 d (n 1) 1, tačiau dbd(a 1, d (n 1) 1 ) = 1, todėl a 1 d (n) 1 2. Analogiškai, a 2 d (n) 2. 2 Turime, jog a 1 n ir d (n 1) 1 n 1. Kadangi dbd(n, n 1) = 1, tai ir dbd(a i, d (n 1) i ) = 1. 11
12 Prisiminkim, jog a 1 a 2 = n. Jeigu a 1 < d (n) 1, tai d (n) 1 d (n) 2 = n = a 1 a 2 < d (n) 1 a 2 d (n) 2 < a 2, todėl a 2 d (n) 2, - prieštara. Vadinasi a 1 = d (n) 1 ir a 2 = d (n) 2. Analogiškai gauname, jog b 1 = d (n) 1 ir b 2 = d (n) 2. Taigi, praleisdami viršutinius indeksus (n), o vietoje (n 1) rašydami, išraišką (2.3) galime perrašyti taip: (n, n, n(n 1)) = (d 1, d 1, d 1 d 1)(d 2, d 2, d 2 d 2). Turime, jog d 1 < d 1 arba d 2 < d 2. Tikrai, dbd(d 1, d 1 ) = dbd(d 2, d 2 ) = 1 ir skaičiai d 1, d 2, d 1 bei d 2 nėra visi kartu lygūs 1, todėl d 1 d 1 ir d 2 d 2 ; jei d 1 > d 1 ir d 2 > d 2, tai n(n 1) = c 1 c 2 = d 1 d 1d 2 d 2 > (d 1 d 2 ) 2 = n 2, - prieštara. Nemažindami bendrumo tarkime, jog d 1 < d 1, t.y. d 1 d 1 1. Tada d 2 d 2 = n d 1 n 1 d 1 n n 1 ( ) 2 n d 1 d 1 1 > = d 2 d 2, 1 nes d 1 < n. Tačiau nelygybė d 2 d 2 > d 2 2 prieštarauja tam, kad (d 2, d 2, d 2 d 2) yra C-trejetas, nes kiekvienam C-trejetui (a, b, c) teisinga nelygybė c ab. Vadinasi mūsų pradinė prielaida neteisinga ir trejetas (n, n, n(n 1)) yra neredukuojamas. 12
13 On the Degree of Product of two Algebraic Numbers Summary The triplet (a, b, c) of positive integers is said to be product-feasible if there exist algebraic numbers α, β and γ of degrees (over Q) a, b and c, respectively, such that αβγ = 1. This work extends the investigation of product-feasible triplets started by Drungilas, Dubickas and Smyth. More precisely, for all but eight positive integer triplets (a, b, c) with a b c and b 7, we decide whether it is product-feasible. Moreover, a result related to reducibilty of so called compositum-feasible triplets is obtained. The triplet (a, b, c) of positive integers is said to be compositum-feasible if there exist number fields K and L of degree a and b respectively such that the degree of the compositum KL equals c. We have showed that triplets of the form (n, n, n(n 1)), n 2, cannot be written as (n, n, n(n 1)) = (aa, bb, cc ), where (a, b, c) and (a, b, c ) are compositumfeasible triplets both different from (1, 1, 1). 13
14 Literatūra [1] Michael Drmota and Mariusz Skał ba. On multiplicative and linear independence of polynomial roots. In: Contributions to general algebra, 7 (Vienna, 1990). Hölder-Pichler-Tempsky, Vienna, 1991, pp [2] Paulius Drungilas and Artūras Dubickas. On degrees of three algebraic numbers with zero sum or unit product. In: Colloq. Math (2016), pp [3] Paulius Drungilas, Artūras Dubickas, and Florian Luca. On the degree of compositum of two number fields. In: Math. Nachr (2013), pp [4] Paulius Drungilas, Artūras Dubickas, and Chris Smyth. A degree problem for two algebraic numbers and their sum. In: Publ. Mat (2012), pp [5] Paulius Drungilas and Lukas Maciulevičius. A degree problem for the compositum of two number fields. In: Lith. Math. J (2019), pp [6] Christian U. Jensen, Arne Ledet, and Noriko Yui. Generic polynomials. Vol. 45. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Constructive aspects of the inverse Galois problem. Cambridge University Press, Cambridge, 2002, pp. x+258. [7] Daniel A. Marcus. Number fields. Universitext. Springer-Verlag, New York- Heidelberg, 1977, pp. viii
9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l
9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios
Detaliau* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak
1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra
DetaliauLietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)
Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.
DetaliauIII. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa
III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota
DetaliauAtranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų
Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują
DetaliauXI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo
XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi
DetaliauLIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d
LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant
DetaliauMatricosDetermTiesLS.dvi
MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas
DetaliauGRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta
GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą
DetaliauPS_riba_tolydumas.dvi
Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos
Detaliau10 Pratybos Oleg Lukašonok 1
10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai
DetaliauTIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil
TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų
DetaliauAlgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul
lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais
Detaliau4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun
skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej
DetaliauL I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V
L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos
DetaliauQR algoritmas paskaita
Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai
DetaliauPrinting AtvirkstineMatrica.wxmx
AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],
Detaliaulec10.dvi
paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v
DetaliauTeorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t
Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis
DetaliauMicrosoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]
Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų
DetaliauTAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee
001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;
DetaliauVI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali
VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu
Detaliau(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)
-as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.
DetaliauPowerPoint Presentation
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.
DetaliauAlgoritmø analizës specialieji skyriai
VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo
DetaliauMicrosoft PowerPoint Ekstremumai_naujas
Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.
DetaliauPowerPoint Presentation
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to
DetaliauIsvestiniu_taikymai.dvi
IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės
DetaliauVigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami
Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o
DetaliauTAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.
00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite
DetaliauG E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos
DetaliauMicrosoft Word - Liuminescencija_teorija
2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos
DetaliauAlgoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų
Detaliau6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs
6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas
DetaliauSlide 1
Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys
DetaliauDVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst
DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, 0--. Magdalena Raseiniškė mėgsta pradėti bet kurį darbą tokiu uždaviniu, kurį, kaip ji sako,
DetaliauPrinting BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm
BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų
DetaliauUGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ
UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.
DetaliauProgramų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF
Programų sistemų inžinerija 2014-02-12 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt SWEBOK evoliucija Nuo SWEBOK Guide to the Software Engineering Body of Knowledge, 2004 Version. IEEE, 2004. prie
DetaliauVILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P
VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus
DetaliauAB Linas Agro Group 2018 m. spalio 31 d. eilinio visuotinio akcininkų susirinkimo BENDRASIS BALSAVIMO BIULETENIS GENERAL VOTING BALLOT at Annual Gener
1 AKCININKAS SHAREHOLDER FIZINIS ASMUO / NATURAL PERSON Vardas, pavardė Name, surname Asmens kodas: Personal code: JURIDINIS ASMUO / LEGAL PERSON Juridinio asmens pavadinimas Name of legal person Juridinio
DetaliauDISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},
DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai
DetaliauPowerPoint Presentation
Nacionalinio egzaminų centro projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas (kodas VP1-2.1-ŠMM-01-V-03-003) 1 seminaras Dalykinių
DetaliauNeiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį
Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį. Albertas Gimbutas 2018 m. birželio 19 d. Vadovas: Prof. habil. dr. Antanas
DetaliauPrinting triistr.wxmx
triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš
DetaliauDB sukūrimas ir užpildymas duomenimis
DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio
DetaliauProjektas
1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS
DetaliauJava esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis
Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis Klaidų apdorojimas C kalboje If (kazkokia_salyga) { klaidos_apdorojimas(); return... } Tokio kodo apimtis galėdavo sekti iki 70-80proc. Klaidų/išimčių
DetaliauAlgoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF
Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna
DetaliauLIETUVIŲ KALBOS IR LITERATŪROS MOKYKLINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA
Projektas PATVRTNTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 08 m. lapkričio d. įsakymu Nr. (..)-V- LETUVŲ KALBOS R LTERATŪROS VALSTYBNO BRANDOS EGZAMNO UŽDUOTES VERTNMO KRTERJA. Literatūrinio rašinio
DetaliauPriedai
Priedai Priedas Nr. 3 Įvesti duomenys Na- smūgių dažnumas į 1km' Na= 2 v 4 4 C2= 1 - objekto konstrukcija L- objekto ilgis L= 24 C3= 1 - objekto vertė W- objekto plotis W= 12 C4= 1 - žmonių kiekis objekte
DetaliauDISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf
DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių
DetaliauLietuvos korupcijos žemėlapis m. GYVENTOJŲ IR VERSLO ATSTOVŲ KORUPCIJOS VERTINIMŲ IR PATIRTIES TYRIMAI
Lietuvos korupcijos žemėlapis - 2004 m. GYVENTOJŲ IR VERSLO ATSTOVŲ KORUPCIJOS VERTINIMŲ IR PATIRTIES TYRIMAI Tyrimų rėmėjai: Jungtinių Tautų vystymo programa Lietuvos pramonininkų konfederacija Lietuvos
DetaliauLUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIUS-KALĖJIMAS TVIRTINU Direktorius Viktoras Davidenko TARNYBINIO PATIKRINIMO DĖL LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIAUS-KALĖJIMO APS
LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIUS-KALĖJIMAS TVIRTINU Direktorius Viktoras Davidenko TARNYBINIO PATIKRINIMO DĖL LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIAUS-KALĖJIMO APSAUGOS IR PRIEŽIŪROS SKYRIAUS (DUOMENYS NESKELBTINI)
DetaliauLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS
STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: IFEB B029 Pavadinimas lietuvių kalba: Atsinaujinančiosios energetikos sistemos. Pavadinimas anglų kalba: Renewable energy systems. Dalyko apimtis: 6 kreditai, 160 valandos,
DetaliauLMR200.dvi
Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos
DetaliauSaziningumo_pasizadejimu_eskperimentas_8(a5)
L i e t u v o s s k y r i u s KAS MOKSLEIVIUS SKATINA ELGTIS SĄŽININGAI? PRAKTINIS VADOVAS VILNIUS, 2019 Transparency International Lietuvos skyrius yra ne pelno siekianti, nepolitinė, nevyriausybinė organizacija,
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu
DetaliauPowerPoint Presentation
Programų sistemų inžinerija 2018-02-07 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt Klausytojai: Susipažinimas Išklausyti programų sistemų inžinerijos kursai Profesinė patirtis Dabar klausomi pasirenkami
DetaliauVADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga
VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga atitinka pagrindines demokratijos vertybes ir principus (asmens ir tautos
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS SEIMO KONTROLIERIUS PAŽYMA DĖL X SKUNDO PRIEŠ VALSTYBINĘ DUOMENŲ APSAUGOS INSPEKCIJĄ 2019 m. gegužės 27 d. Nr. 4D-2019/1-384 Viln
LIETUVOS RESPUBLIKOS SEIMO KONTROLIERIUS PAŽYMA DĖL X SKUNDO PRIEŠ VALSTYBINĘ DUOMENŲ APSAUGOS INSPEKCIJĄ 2019 m. gegužės 27 d. Nr. 4D-2019/1-384 Vilnius SKUNDO ESMĖ 1. Lietuvos Respublikos Seimo kontrolierius
Detaliau06 Mokiniu ir mokytoju mobilumo poveikis mokyklai
Mokinių ir mokytojų mobilumo poveikis mokyklai. Vitalis Balsevičius Šiaulių Didždvario gimnazija 2011-10-07 Šiaulių Didždvario gimnazija Vilniaus 188, Šiauliai www.dg.su.lt didzdvaris@dg.su.lt Tarptautinis
DetaliauSTUDENTŲ, ATRINKTŲ ERASMUS+ STUDIJOMS SU STIPENDIJA, SĄRAŠAS/ LIST OF STUDENTS THAT HAVE BEEN AWARDED WITH ERASMUS+ SCHOLARSHIPS Nr. Fakultetas/ Facul
STUDENTŲ, ATRINKTŲ ERASMUS+ STUDIJOMS SU STIPENDIJA, SĄRAŠAS/ LIST OF STUDENTS THAT HAVE BEEN AWARDED WITH ERASMUS+ SCHOLARSHIPS Nr. Fakultetas/ Faculty Prašymo numeris / Application number Mokslo ir studijų
DetaliauPATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2015 m. sausio 29 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2018 m. spalio 30 d. nutarimo Nr redakcij
PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2015 m. sausio 29 d. nutarimu Nr. 03-10 (Lietuvos banko valdybos 2018 m. spalio 30 d. nutarimo Nr. 03-202 redakcija) PRIĖMIMO Į TARNYBĄ LIETUVOS BANKE TVARKOS APRAŠAS
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS VALSTYBINIO PATENTŲ BIURO DIREKTORIAUS
Įsakymas netenka galios 2015-11-24: Lietuvos Respublikos valstybinis patentų biuras, Įsakymas Nr. 3R-72, 2015-11-20, paskelbta TAR 2015-11-23, i. k. 2015-18546 Dėl Lietuvos Respublikos valstybinio patentų
DetaliauPRATYBOS PASAULIO PAŽINIMAS Gegužė Mus supantys ženklai Ženklai mums padeda 1 Kokius ženklus derėtų pakabinti, kad pagerintume paveikslėliuose vaizduo
PASAULIO PAŽINIMAS Ženklai mums padeda Kokius ženklus derėtų pakabinti, kad pagerintume paveikslėliuose vaizduojamas situacijas. Užbaik sakinius. Ženklas nepadės, jei.. Kultūringas žmogus niekada... Kaip
DetaliauPowerPoint Presentation
Bibliotekos ištekliai ir paslaugos BIBLIOTEKA Centrinė biblioteka Gedimino g. 50 Mechanikos inžinerijos ir dizaino fakulteto biblioteka Studentų g. 56 Informatikos fakulteto biblioteka Studentų g. 50 Statybos
DetaliauPagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūkio patalpa Pagalbinė ūk
Daugiabučio gyvenamojo namo (gyvenamųjų patalpų įvairioms socialinėms grupėms), keičiant dalies patalpų paskirtį į pagalbines ūkio paskirties, Šilutės pl. 8, Klaipėda, kapitalinio remonto projektas 128
DetaliauVILNIAUS UNIVERSITETAS TEISĖS FAKULTETAS Teisė [6011KX002 ] Studijų programos planas TVIRTINU Programos komiteto pirmininkas Profesorius Dr. Jonas Pra
VILNIAUS UNIVERSITETAS TEISĖS FAKULTETAS Teisė [6011KX002 ] Studijų programos planas TVIRTINU Programos komiteto pirmininkas Profesorius Dr. Jonas Prapiestis Studijų pakopa: Studijų rūšis: Studijų forma:
DetaliauMicrosoft Word - DBU programa ir planas.rtf
PATVIRTINTA UAB Druskininkų butų ūkio direktoriaus 2017 m. balandžio mėn. 3 d. įsakymu Nr.22 UAB DRUSKININKŲ BUTŲ ŪKIO KORUPCIJOS PREVENCIJOS PROGRAMA 2017-2019 METAMS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. UAB Druskininkų
DetaliauMATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at
MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.
DetaliauPATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general
PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos generalinio direktoriaus 2014 m. spalio 30 d. įsakymu Nr.
DetaliauMUITINĖS DEPARTAMENTAS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS BENDRO NAUDOTOJŲ VALDYMO SISTEMOS, ATITINKANČIOS EUROPOS KOMISIJOS REIKALAVIMUS,
MUITINĖS DEPARTAMENTAS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS BENDRO NAUDOTOJŲ VALDYMO SISTEMOS, ATITINKANČIOS EUROPOS KOMISIJOS REIKALAVIMUS, SUKŪRIMO VERSIJA: v0.10 Vilnius 2018 TURINYS 1 Windows
DetaliauLIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM
LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.
DetaliauVILNIAUS UNIVERSITETO STUDENTŲ ATSTOVYBĖ Vilnius University Students Representation PIRMOS PASKAITOS APKLAUSOS APIBENDRINIMAS FAKULTETUOSE 2011m. RUDE
VILNIAUS UNIVERSITETO STUDENTŲ ATSTOVYBĖ Vilnius University Students Representation PIRMOS PASKAITOS APKLAUSOS APIBENDRINIMAS FAKULTETUOSE 2011m. RUDENS SEMESTRAS Studentai, susipažinę su Vilniaus universiteto
Detaliau(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx)
Versta iš angliško vertimo iš danų k. Neoficialus vertimo tekstas Žiniasklaidos atsakomybės įstatymas 1 dalis Taikymo sritys 1 straipsnis. Šis įstatymas taikomas šioms žiniasklaidos priemonėms: 1) nacionaliniams,
DetaliauMicrosoft PowerPoint - SPACEOLYMP PRISTATYMAS Olimpiada Matematika [Compatibility Mode]
Nacionalinių ir tarptautinių mokslo olimpiadų dalyvių motyvacijos kosmoso tematika didinimas SPACEOLYMP 2016.01.01-2017.12.31 Projekto dalyvio atmintinė 2016-03-01 Iššūkiai 1) Informatika - programinė
DetaliauPATVIRTINTA
PATVIRTINTA Vilniaus kolegijos Verslo vadybos fakulteto dekano 2018 m. gruodžio 19 d. įsakymu Nr. V-100 VILNIAUS KOLEGIJA VERSLO VADYBOS FAKULTETAS PRAKTIKŲ ORGANIZAVIMO TVARKA I. BENDROSIOS NUOSTATOS
DetaliauProjektas
1 priedas PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto su Mykolo Romerio universitetu, Aleksandro Stulginskio universitetu, Klaipėdos universitetu, Šiaulių universitetu Vadybos mokslo krypties doktorantūros
DetaliauP. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M
Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai MATLAB komandų seka, vadinama programa, įrašyta į failą. Vykdant skripto failą įvykdomos jame esančios komandos. Bus kalbama, kaip sukurti
DetaliauŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT
ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORTELĖ UŽDAVINIO NUMERIS TEISINGAS ATSAKYMAS. D. E. A
DetaliauSTEPS projektas ir jo aktualumas Lietuvoje
STEPS projektas ir jo aktualumas Dr. Rima Vaitkienė Sveikatos apsaugos ministerijos ES reikalų ir tarptautinių ryšių skyriaus vedėjo pavaduotoja STEPS projektas STEPS: angl. Strengthening Engagement in
DetaliauBusto pritaikymo pirkimo salygos 10 obj rekonstr
PATVIRTINTA Viešųjų pirkimų tarnybos prie Lietuvos Respublikos Vyriausyb s direktoriaus 2003 m. gruodžio 31 d. įsakymu Nr. 1S-121 (Viešųjų pirkimų tarnybos prie Lietuvos Respublikos Vyriausyb s direktoriaus
Detaliau805-asis Tarp TAS 2009 balandis Tarptautinis audito standartas Specialūs svarstymai atskirų finansinių ataskaitų ir atskirų finansinės ataskaitos elem
805-asis Tarp TAS 2009 balandis Tarptautinis audito standartas Specialūs svarstymai atskirų finansinių ataskaitų ir atskirų finansinės ataskaitos elementų, sąskaitų ir straipsnių auditas 1 International
DetaliauPATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKY
PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKYMO TAISYKLĖS I SKYRIUS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Vaizdo
DetaliauPardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com
Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai 2 Kaip įsidiegti Diegimo žingsniai: 1. Atsisiųsti ir įsidiegti
DetaliauLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS
ALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS Agronomijos fakultetas Žemdirbystės katedra STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: AFŽEB07E Pavadinimas lietuvių kalba: Mokslinių tyrimų metodika Pavadinimas anglų kalba:
DetaliauVIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal
VIDURINIO UGDYMAS Vidurinis ugdymas neprivalomas, trunka dvejus metus (11 ir 12 vidurinės mokyklos ar gimnazijų III IV klasės). Mokiniai mokosi pagal individualius ugdymosi planus. (Pagal vidurinio ugdymo
DetaliauProjektas
PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto, Lietuvos agrarinių ir miškų mokslų centro Agronomijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. vasario 28 d. posėdžio Nr. 137 ATVIRO KONKURSO Į AGRONOMIJOS
DetaliauSTUDENTŲ PRIĖMIMO Į KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETĄ 2017 M. TAISYKLĖS
PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto senato 2018 m. lapkričio 21 d. nutarimu Nr. V3S48 (pakeista Kauno technologijos universiteto senato 2019 m. birželio 4 d. nutarimu Nr. V3S39) STUDENTŲ PRIĖMIMO
Detaliau5_3 paskaita
EKONOMIKOS INŽINERIJA Parengė: doc. dr. Vilda Gižienė 4. PRODUKTO GAMYBOS TECHNOLOGIJA Temos: 4.7.Įmonės pelnas ir jo maksimizavimas 4.7.1. Konkuruojančios firmos pajamos. 4.7.2. Pelno maksimizavimas trumpuoju
DetaliauMicrosoft Word ratas 12kl Spr
66-iosios Lietuvos okinių fizikos olipiados rajono iesto turas (8 ) klasė Nedidelis kūnas be pradinio greičio nuslysta nuožulniąja plokštua, kurios papėdėje glotniai pasiekia horizontaliąją h plokštuą,
Detaliau