Variável Aleatória. Variável contínua: se houver um número incontável de resultados possíveis representado por um intervalo sobre o eixo real.

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1 Variáveis Aleatórias Como distinguir entre variáveis aleatórias discretas e contínuas. Como estabelecer uma distribuição discreta e como descobrir sua média, variância e desvio padrão. Como estabelecer uma distribuição contínua como descobrir sua média, variância e desvio padrão.

2 Motivação Os dados sobre condições climáticas são usados mundialmente em previsões de tempo. Estações de tempo, navios, aviões, satélites e um grande número de outros aparelhos de coleta de dados podem fornecer dados aos meteorologistas para fazer previsões do tempo. Mesmo assim os profissionais são incapazes de prever o tempo com certeza. O meteorologista pode determinar que há 40% de chance de chover com base na frequencia relativa da chuva sob condições climáticas similares.

3 Variável Aleatória É uma função que associa um valor numérico a cada um dos resultados de um experimento aleatório. Variável discreta: se houver um número finito ou contável de resultados possíveis que possam ser enumerados. Ex: número de atendimento que um balconista faz durante o dia. Variável contínua: se houver um número incontável de resultados possíveis representado por um intervalo sobre o eixo real. Ex: tempo em horas gasto pelo balconista durante um dia.

4 Exemplos Experimento Variável Aleatória X Valores da variável Aleatória Inspecionar um embarque de 50 rádios Operar um banco Número de rádios defeituosos Tempo entre as chegadas dos clientes 0,1,,3,4,5,...,49,50 x 0 Encher um recipiente de refrigerante Número de ml 0 x 343 Vendas de automóveis Gênero do cliente 0 se masculino1 se feminino Trabalhar em um projeto Porcentagem do término do projeto após 6meses 0 x 100

5 Distribuições discretas Uma distribuição discreta enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. Deve satisfazer as seguintes condições: 0 P(x) 1 Σ P(x) = 1 Exemplo: O resultado de um teste de personalidade para avaliar características passivas (score 1) /agressivas (score 5) em 150 indivíduos tem a seguinte distribuição de freqüências da variável aleatória score. Distribuição de Frequencias x frequencia f(x)

6 Distribuições discretas A distribuição de probabilidade para a variável score é Distribuição de Probabilidade x probabilidade P(x) 0,16 0, 0,8 0,0 0,14

7 Média, Variância e Desvio Padrão A média de uma variável aleatória discreta é μ = xp(x) A variância de uma variável aleatória discreta é σ σ = ( x μ) p( x) = x p x ( ) μ O desvio padrão de uma variável aleatória discreta é σ = σ

8 Exemplo Usando a distribuição de freqüências de score de personalidade x P(x) xp(x) (x-μ) (x-μ) P(x) 1 0,16 0,16 3,764 0, , 0,8 0,0 0,44 0,84 0,80 0,884 0,004 1,14 0,194 0,001 0,5 5 0,14 0,70 4,44 0,594 total 1,94 1,616 μ σ =1, 616 σ =1, 7 =,94

9 Esperança Matemática É interpretada como a média da variável aleatória (E(X)). Originalmente surgiu em relação aos jogos de azar. Qual é a esperança matemática de alguém que compra um dentre 000 bilhetes de uma rifa de uma viagem para Fernando de Noronha, estimada em 1960 unidades monetárias?. A probabilidade de ganhar é 1/000=0,0005 e a esperança matemática é 0,98. Em uma rifa, 1500 bilhetes são vendidos a US$ para quatro prêmios de US$ 500, US$ 50, US$ 00 e US$ 75. Você compra um bilhete. Qual o valor esperado do seu ganho?

10 Função de Distribuição Informa a probabilidade de uma variável não superar um determinado valor. F(x)=P(X x) Exemplo: Lançamento de duas moedas. Seja X o número de caras F(x) = 0 se x < 0 f(x) F(x) = ¼ se 0 x < 1 1 F(x) = ¾ se 1 x < 1/ F(x) = 1 se x 1/4 0 1 x

11 Função de Distribuição 1. F ( x) = P( x ) x x i. F(- )=0, F( )=1 3. P(a < X b)=f(b)-f(a) i 4. P(a X b)=f(b)-f(a)+p(x=a) 5. P(a < X < b)=f(b)-f(a)-p(x=b) 6. F(x) é uma função não decrescente, isto é, F(b) F(a), para b>a

12 Distribuições contínuas Relembrando: Em uma variável aleatória contínua o conjunto dos possíveis valores pode ser um intervalo ou um conjunto de intervalos. Seja X uma variável aleatória continua. A função de densidade de probabilidade f(x) é uma função que satisfaz as seguintes condições: 1. f(x) > 0 para todo x R x. f ( x) = 1 R x Para qualquer a < b em R x P ( a < X < b) = f ( x) dx b a

13 Distribuições contínuas 1. A probabilidade de qualquer ponto é zero. P(a X b)=p(a X <b)=p(a < X b= P(a < X <b). 3. A função integrada entre dois limites a e b (a < b) é a probabilidade, ou seja, a área sob a curva. 4. A função de distribuição é definida como: F ( x) = x f ( x) dx

14 Distribuições contínuas: exemplo Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade. x para 0 < x < 1 f ( x) = 0 caso contrário f(x) é uma função de densidade. + f ( x) 0 0dx + 1 xdx + = 0 1 0dx = x 1 = 1 0 f(x) x P(1/4 < x < 3/4)? P(1/ 4 3/ 4 < x < 3/ 4) = dx = x 1/ 4 3/ 4 1/ 4 = = 1/

15 Distribuições contínuas: exemplo Função de distribuição F(x) Para x< 0 Para 0 x < 1 = 0 x F( x) 0dx + 0 Para x 1 F( x) 0dx + xdx + Esperança E(X)= /3 Variância σ = 1/18 Desvio σ = 0,35 F( x) = x xdx 0 = = xdx x = 0dx x = 1

16 Média, Variância e Desvio Padrão A média de uma variável aleatória contínua é E ( X ) = μ = f ( x) dx A variância de uma variável aleatória contínua é σ = ( x μ) f ( x) dx σ = x f ( x) dx μ O desvio padrão de uma variável aleatória contínua é σ = σ