PowerPoint Presentation

Transkriptas

1 Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

2

3 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti. Vienintelė pastaba/pageidavimas: Studentai norėtų, kad dėstytojas labiau akcentuotų svarbiausius dalykus, kurie reikalingi rašant programas, paaiškintų ko tikisi ir užrašytų tai prie užduoties ar paskelbtų tokią informaciją savo internetiniame puslapyje. Taip būtų lengviau parašyti programą, kuri atitiktų dėstytojo reikalavimus. tokia idėja: reikia aktyviau bendrauti su užsakovu (pratybų dėstytoju)

4 P ir NP uždavinių sampratos Intuityvi ir formali sampratos iš esmės skiriasi Ką tradiciškai reiškia pasakymas uždavinys yra NP? Ką iš tikrųjų reiškia pasakymas uždavinys yra NP? Situacija panaši į sąvokų žmogus ir žinduolis naudojimą

5 Apibrėžimai Pradinių duomenų dydis skaičius bitų, reikalingų šiems duomenims užkoduoti. Remiamės prielaida, kad naudojamas tinkamas kodavimas: simboliams užkoduoti naudojamas fiksuotas bitų skaičius, o sveikam skaičiui M>0 užkoduoti naudojame ne daugiau kaip c logm bitų, kur c>0 yra konstanta. Algoritmo A vykdymo laikas blogiausiu atveju yra max( t(n) visoms galimoms n bitų kombinacijoms) kur t(n) yra algoritmo A vykdymo laikas su pradiniais duomenimis n.

6 Ryšys tarp duomenų ir atminties Algoritmas yra c-augantis (c-incremental), jei visų jo primityvių operacijų su vienu ar dviem objektais, vaizduojamais b bitų, rezultatas yra objektas, kurio pavaizdavimui reikia ne daugiau kaip b+c bitų, kur c 0 yra konstanta. Lema. Jei c-augančio A algoritmo vykdymo laikas blogiausiu atveju yra t(n) atžvilgiu pradinių duomenų elementų skaičiaus N, tai algoritmo A vykdymo laikas yra O(n 2 t(n)) atžvilgiu pradinių duomenų neelementariam kodavimui reikalingų bitų skaičiaus n.

7 Sprendimo priėmimo (klasifikavimo) uždaviniai Sprendimo priėmimo (klasifikavimo) uždaviniai yra uždaviniai, kurių atsakymas yra taip arba ne (arba bitas su reikšme 0 arba 1). Pavyzdžiai: Ar fragmentas P yra simbolių eilutėje T? Ar dviejų aibių S ir T sankirta yra tuščia? Ar duotame grafe su svoriais G iš viršūnės A į viršūnę B egzistuoja kelias, kurio svoris nedidesnis nei k? Jei parodysime, jog sprendimo priėmimo (klasifikavimo) uždavinys yra sudėtingas, tai reikš, kad atitinkamas optimizavimo uždavinys irgi yra sudėtingas.

8 Uždaviniai ir kalbos Algoritmas A pripažįsta (accept) duomenų eilutę x, jei jo rezultatas su pradiniais duomenimis x yra taip. Eilučių aibė dažnai vadinama kalba (language). Algoritmas A pripažįsta kalbą L, jei kiekvienam x L algoritmas A duoda atsakymą taip ir duoda atsakymą ne kitais atvejais. Taigi sprendimo priėmimo (klasifikavimo) uždavinį atitinka kalba L.

9 Sudėtingumo klasė P Sudėtingumo klasė P yra aibė visų sprendimo priėmimo (klasifikavimo) uždavinių arba kalbų L, kurių pripažinimui blogiausiu atveju reikia polinominio vykdymo laiko. T.y. egzistuoja algoritmas A toks, kad jei x L, tai A duoda rezultatą taip per laiką p(n), kur n yra x dydis, o p(n) yra polinomas. L papildinys (complement) aibė visų dvejetainių eilučių, nepriklausančių L. Jei kalba L, atitinkanti kažkokį sprendimo priėmimo uždavinį, priklauso P, tai ir L papildinys priklauso P (kodėl?).

10 Nederminuota operacija pasirinkti(b): operacija nedeterminuotu būdu pasirenka bitą (reikšmę 0 arba 1) ir priskiria ją b. Kai algoritmas A naudoja primityvią operaciją pasirinkti, A vadinamas nedeterministiniu algoritmu. Sakysime, kad algoritmas A nedeterministiškai pripažįsta duomenų eilutę x, jei egzistuoja pasirinkti kreipinių, kuriuos A gali atlikti su pradiniais duomenimis x, rezultatų aibė tokia, kad A duos rezultatą taip. Algoritmas A, žinoma, gali naudoti ir kitas (deterministines) operacijas.

11 Sudėtingumo klasė NP Sudėtingumo klasė NP yra aibė sprendimo priėmimo uždavinių arba kalbų L, kurios gali būti nedeterministiškai pripažįstamos per polinominį laiką. T.y. egzistuoja nedeterministinis algoritmas A toks, kad jei x L, tai algoritme A yra pasirinkti kreipinių rezultatų aibė, kad A duoda atsakymą taip per laiką p(n), kur n yra x dydis, o p(n) yra polinomas. Jei kalba L priklauso NP, L papildinys nebūtinai priklauso NP (kodėl?). Sudėtingumo klasė co-np, sudaryta iš visų kalbų, kurių papildiniai priklauso klasei NP, ir daugelis mokslininkų tiki, kad co-np NP.

12 Alternatyvus apibrėžimas Kalba L gali būti patikrinta algoritmu A, jei bet kokiai duomenų eilutei x L yra kita duomenų eilutė y tokia, kad pradiniams duomenims z= x +y algoritmas A duos atsakymą taip. Eilutė y vadinama buvimo L sertifikatu. Sudėtingumo klasė NP yra aibė L apibrėžiančių sprendimo priėmimo uždavinius kalbų, kurios gali būti patikrintos per polinominį laiką. T.y. egzistuoja (deterministinis) algoritmas A toks, kad kiekvienam x L, naudodamas kažkokį sertifikatą y, jis patikrina, kad iš tikrųjų x L per polinominį laiką p(n), įskaitant laiką, sugaištamą z= x +y nuskaitymui, kur n yra x dydis.

13 Apibrėžimų ekvivalentumas Teorema. Kalba L gali būti (deterministiškai) patikrinta per polinominį laiką tada ir tik tada, kai L gali būti nedeterministiškai pripažinta per polinominį laiką.

14 P= NP problema Nėra formaliai įrodyta, ar P = NP, ar ne. Netgi nėra žinoma, ar P = NP co-np, ar ne. Yra manoma, kad P skiriasi tiek nuo NP, tiek nuo co- NP, tiek nuo jų sankirtos. Iš tikrųjų, toliau aptariami NP uždaviniai, kurie manoma nepriklauso P, t.y. nėra žinomas polinominis jų sprendimo algoritmas.

15 Hamiltono ciklas Hamiltono ciklo uždavinys yra nustatyti, ar duotame grafe G egzistuoja paprastas ciklas, apeinantis visas viršūnes tik vieną kartą ir grįžtantis į pradinę viršūnę. Toks ciklas vadinamas grafo G Hamiltono ciklu. Lema. Hamiltono ciklo uždavinys yra NP.

16 Loginė grandinė Loginiai elementai NOT OR AND

17 Loginė grandinė (2) Loginės grandinės tenkinimo uždavinys duotai loginei grandinei su vienu rezultatu turi nustatyti, ar egzistuoja pradiniai duomenys, su kuriais rezultatas yra 1. Tokie pradiniai duomenys vadinami tenkinančiais. Lema. Loginės grandinės tenkinimo uždavinys yra NP.

18 Viršūnių denginys Duotam grafui G viršūnių denginys (vertex cover) yra poaibis jo viršūnių C toks, kad kiekvienai grafo G briaunai (v i, v j ) v i C arba v j C (galbūt, abi). Optimizavimo tikslas surasti, kiek galima mažesnį viršūnių denginį. Viršūnių denginio sprendimo priėmimo uždavinys duotam grafui G ir sveikam skaičiui k turi atsakyti, ar egzistuoja viršūnių denginys, sudarytas iš ne daugiau kaip k viršūnių. Lema. Viršūnių denginio uždavinys yra NP.

19 Polinominis redukavimas Kalba L, apibrėžianti sprendimo priėmimo uždavinį, yra polinomiškai redukuojama į kalbą M, jei egzistuoja polinominio sudėtingumo funkcija f, kuri L pradinius duomenis x transformuoja į M pradinius duomenis f(x) taip, kad x L tada ir tik tada, kai f(x) M. Galima žymėti L poly M.

20 NP pilnumas M yra NP-sunki (NP-hard), jei kiekvienai L NP, L poly M. Jei be to pati M NP, tai M yra NP-pilna. Jei kas nors parodytų, kad NP-pilnai problemai egzistuoja polinominis algoritmas, tai automatiškai reikštų kad visa NP klasė išsprendžiama per polinominį laiką, t.y. P=NP.

21 Cook-Levin teorema Teorema (Cook-Levin teorema). Loginės grandinės tenkinimo uždavinys yra NP-pilnas.

22 NP-pilnų uždavinių pavyzdžiai Viršūnių denginio ir Hamiltono ciklo uždaviniai yra NPpilni. Duotam grafui G uždara grupė (clique) yra poaibis jo viršūnių C toks, kad kiekvienai porai v i C, v j C, v i v j egzistuoja grafo G briauna (v i, v j ), t.y. kiekviena skirtingų viršūnių iš C pora yra sujungta briauna. Optimizavimo tikslas surasti, kiek galima didesnę uždarą grupę. Įrodyta, kad uždaros grupės uždavinys yra NPpilnas.

23 NP-pilnų uždavinių pavyzdžiai (2) Kuprinės uždavinys: duota aibė S daiktų, sunumeruotų nuo 1 iki n. Kiekvienas daiktas i turi dydį (svorį) s i ir kainą k i ; duotai kuprinės talpai T reikia rasti aibę į ją telpančių daiktų su bendra didžiausia kaina, t.y. aibę S S tokią, kad SUM(s i, i S ) T ir SUM(k i, i S ) maksimali. Įrodyta, kad kuprinės uždavinys yra NP-pilnas.

24 Klausimai?

25 Kokios praktinės problemos su NP uždaviniais?

26

27 Egzamino klausimo pavyzdys Kiek briaunų turi medis su N viršūnių? N-1 N 2N-1 2N priklauso nuo medžio

28 Egzamino klausimo pavyzdys Koks geriausiu atveju yra rikiavimo sujungimu (merge sort) algoritmo sudėtingumas? O(N) O(logN) O(N logn) O(N 2 ) O(N 2 logn)

29 Egzamino klausimo pavyzdys Nupieškite dvejetainį paieškos medį, kuris bus sukonstruotas eilės tvarka įterpus tokias reikšmes: halibut, haddock, carp, salmon, cod, tuna, sardine, char, trout

30 Egzamino klausimo pavyzdys Nupieškite dvejetainį medį (ne paieškos), jei jo apėjimo pagal 2 strategijas rezultatai tokie: Viršūnė-Kairė-Dešinė: 4, 2, 9, 6, 5, 7, 8 Kairė-Dešinė-Viršūnė: 9, 6, 2, 7, 8, 5, 4