MatricosDetermTiesLS.dvi

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "MatricosDetermTiesLS.dvi"

Transkriptas

1 MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas i,j elemento indeksai pavyzdys ( ) 3 2 π 2 m = 2, n = 3, a = 3, a 2 = 2, a3 =, a 2 =, a 2 22 = π, a 23 =... Transponuota matrica transponavimo operacija A = a ij m n,a T = a ji n m pavyzdys ( ) T = 2 π π 2 m = matrica eilutė (a a 2a n ) a n = matrica stulpelis a 2 (α β γ) T = (A T ) T = A α β γ, α β γ a m T = (α β γ)

2 MATRICOS 2..2 Kvadratinė matrica m = n kvadratinė matrica (n-tosios eilės) a a 2... a,n a n a 2 a a 2,n a 2n a n, a n,2... a n,n a n,n a n a n2... a n,n a nn a,a 22,...,a nn kvadratinės matricos pagrindinė įstrižainė a n,a 2,n,...,a n kvadratinės matricos šalutinė įstrižainė A( - kvadratinė ) ir A T = A simetrinė matrica; 2 simetrinė matrica; antisimetrinė matrica a ij = a ji, foralli j Operacijos su matricomis.2. Matricų sudėtis Matricų A = a ij m n ir B = b ij m n sudėtis A+B = a ij +b ij ( ) ( ) ( ) m n = π 8 2 π Matricų sudėties savybės: komutatyvumas A+B = B +A asociatyvumas (A+B)+C = A+(B +C) Neutralusis elementas nulinė matrica O = A+O = O+A = A, A

3 MATRICOS Matricos daugyba iš skaičiaus λ A = λa ij ( m n ) ( ) = π 5 5π 2 2 asociatyvumas λ (µa) = (λµ) A distributyvumas: ) λ(a+b) = λa+λb 2) (λ+µ)a = λa+µa Matricų skirtumas: A B = A+( ) B.2.3 Matricų sandauga a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn b b 2 b k b 2 b 22 b 2k b n b b2 b nk c ij = n a is b sj, i =,2,...,m, j =,2,...,n s= ( ) = ( 7 4 ) = Neutralusis elementas vienetinėmatrica ( ) E 2 =, E 3 = {, kai i = j E n = e ij n n, e ij = δ ij =, kai i j δ ij Kronekerio simbolis ( A E n = E n A = A, A n-tosios eilės kvadratinė matrica = c ij m k Matricų daugyba nėra komutatyvi: bendru atveju A B B A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, = )

4 MATRICOS 4 Matricų daugybos asociatyvumas: A(B C) = (A B) C, A k = A AA }{{} k kartų distributyvumas: ) (A+B) C = AC +BC 2) A (B +C) = AB +AC Sandaugos transponuota matrica (A B) T = B T A T.

5 2 DETERMINANTAI 5 2 Determinantai 2. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai 2.. Antrosios eilės determinantas a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a = = 4 2 = Trečiosios eilės determinantas a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a = = =

6 2 DETERMINANTAI Perstatos Persatata vadinama aibės {,2,...,n} bijekcija f (abipus vienareikšmis atvaizdis) į save. T.y. perstatą galima apibrėžti lentele ( ) 2 n f = f() f(2) f(n) Čia f(j) {,2,...,n}. Tą pačią perstatą f galima užrašyti n! skirtingais būdais, sukeitus vietomis lentelės stulpelius ( ) ( ) ( ) = = Kai pirmoje lentelės eilutėje yra kėlinys,2,...,n lentelė yra vadinamas keitinio standartine išraiška Perstatų transpozicijos Dviejų perstatų (f(),f(2),...,f(n)) elementų f(i) ir f(j) sukeitimas vietomis vadinamas jų transpozicija. Bet kurį kėlinį (j,j 2,...,j n ) galima gauti iš bet kurio kito tų pačių elementų {,2,...,n} kėlinio (i,i 2,...,i n ), atlikus baigtinį skaičių transpozicijų. Pavyzdžiui, Kėlinių inversijos (,2,3,4,5) (5,2,3,4,) (5,4,3,2,) Skaičiai f(i) ir f(j) sudaro kėlinio (f(),f(2),...,f(n)) inversiją (netvarką), jei f(i) > f(j) ir i < j. Pavyzdžiui, kėlinio (,2,3,5,4) inversiją sudaro skaičiai 5 ir 4. Kitų inversijų šis kėlinys neturi. Kėlinys (, 3, 5, 2, 4) turi tris inversijas: (3,2), (5,2), (5,4). Kėlinys, turintis lyginį (nelyginį) inversijų skaičių, vadinamas lyginiu (nelyginiu). Teiginys. Atlikus vieną kėlinio transpoziją, iš lyginio kėlinio gausime nelyginį ir atvirkščiai. Įrodymas. Kai skaičiai i ir j yra gretimi, sukeitus juos vietomis gausime

7 2 DETERMINANTAI 7 arba panaikinsime vieną inversiją. Taigi šiuo atveju teiginys yra teisingas. Tarkime, kad turime (...,i,k,k 2,...,k s,j,...). Tada atliekant 2s+ transpozicijų tik su gretimais elementais, gausime kėlinį(...,j,k,k 2,...,k s,i,...). Kadangi 2s + yra nelyginis skaičius, kėlinio lyginumas pasikeis. Pavyzdys (,3,5,2,4) (,3,5,4,2). Buvo trys inversijos, dabar yra keturios: (3,2), (5,2), (5,4), (4,2). Iš n elementų {,2,...,n} galima sudaryti n! 2 kėlinių. lyginių ir tiek pat nelyginių Perstatų lyginumas Keitinys vadinamas lyginiu (nelyginiu), kai jo eilučių inversijų suma yra lyginė (nelyginė). ( ) Perstatos pirmoji eilutė inversijų neturi, o antroji turi tris (2,), (3,), (4,). Taigi ( ši perstata yra ) nelyginė: +3 = 3. Ta pati perstata, užrašyta tokiu būdu irgi yra nelyginė: = 5. Jei ji ( 3 2 ) išreikšta taip, eilučių inversijų suma yra 3+2 = Perstatos f eilučių inversijų sumą žymėsime I(f). 2.3 n-tosios eilės determinantai n-tosios eilės kvadratinės matricos A = a ij n n determinantu (žymėsime det A arba A ) vadinamas skaičius d = ( ) I(j,j 2,...,j n) a j a 2j2 a njn (j,j 2,...,j n) Sandaugos a j a 2j2 a njn yra vadinamos determinanto nariais. ( ) Kain = turime tik vieną keitinį, kurio antroji eilutė inversijų neturi.

8 2 DETERMINANTAI 8 Todėl det(a ) = ( ) a = a. T. y. skaičiaus determinantas yra pats skaičius. ( ) ( ) 2 2 Kain = 2 turime du skirtingus keitinius, ir determinanto 2 2 a a 2 a 2 a 22 nariai a a 22, a 2 a 2 įeina į sumą su pliusu ir minusu atitinkamai. a a 2 a 3 a 4 Ketvirtosios eilės determinantas a 2 a 22 a 23 a 24 a 3 a 32 a 33 a 34 a 4 a 42 a 43 a 44 turi 4! = 24 narius a j a 2j2 a 3j3 a 4j4 ; iš jų 2 įeina į sumą su ženklu (+) ir tiek pat su ( ). Pavyzdžiui, narys a 3 a 24 a 3 a 42 imamas su ženklu "pliusas": ( ) I(3,4,,2) = ( ) 4 = Determinantų savybės. deta T = deta Pastaba. Visos determinanto savybės, kurios galioja eilutėms, galioja ir stulpeliams. 2. Tarkime, kad kvadratinė matrica B gauta iš kvadratinės matricos A, sukeitus vietomis dvi jos eilutes. Tada detb = deta, t. y. šie du determinantai skiriasi tik ženklu. Išvada. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus nuliui. (Turime A = A A = ). a a 2... a n a a 2... a n λa i λa i2... λa in = λ a i a i2... a in a n a n2... a nn a n a n2... a nn Išvada. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, lygus nuliui.

9 2 DETERMINANTAI 9 4. a a 2... a n a () i +a(2) i a () i2 +a(2) i2... a () in +a(2) in = a n a n2... a nn a 2... a n a a 2... a n a a () i a () i2... a () in a n a n2... a nn + a (2) i a (2) i2... a (2) in a n a n2... a nn Išvada. Determinantas nesikeičia, jei prie vienos jo eilutės pridėti kitą jo eilutę Determinanto minorai ir adjunktai Tarkime, kad i i 2 i k n ir j j 2 j k n. Pasirinksime k ( k < n) n-tosios eilės determinanto eilučių i,i 2,...,i k ir k stulpelių: j,j 2,...,j k. Šių eilučių ir stulpelių sankirtoje gausime k-tosios eilės determinantą, kurį vadinsime minoru ir žymėsime M = M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) = a i j a i j 2 a i j k a i2 j a i2 j 2 a i2 j k a ik j a ik j 2 a ik j k Pavyzdys 2 determinanto A = minorai M(,2;,2) = 3, M(,2;2,3) = 2 3 5, M(2,3;,2) = Išbraukus kvadratinės matricosai,i 2,...,i k eilutes beij,j 2,...,j k stulpelius, gausime n k-tosios eilės kvadratinę matricą. Jos determinantą vadinsime minorom papildomuoju minoru ir žymėsimem = M (i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ). Determinanto A minoro M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) adjunktu vadinsime sandauga A M = ( ) i +i i k +j +j j k M (i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k )

10 2 DETERMINANTAI determinanto A = minoro M(,2;,2) = 3 papildomasis minoras M (,2;,2) = 8, adjunktas A M = ( ) = 8. Teorema. Kiekvienos determinanto A sandaugos A M M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) ženklas sutampa su to pačio nario a i j a i 2a 2 j i a n k j i n k j a i2 j 2a ik j k ženklu. Laplaso teorema. Jei pasirinkti k determinanto eilučių ir sudaryti visus galimus k-tosios eilės minorus M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ), tai j j 2 j k n A M M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) = deta 2 determinanto A = 3 5 = 24 + ( 2) = antrosios bei trečiosios eilučių minorai bei adjunktai yra M(2,3;,2) = = 2, A(2,3;,2) = ( ) = 2, M(2,3;,3) = = 2, A(2,3;,3) = ( ) ( ) =, M(2,3;2,3) = = 6, A(2,3;2,3) = ( ) =. TaigiA(2,3;,2)M(2,3;,2)+A(2,3;,3)M(2,3;,3)+A(2,3;2,3)M(2,3;2,3)= 2 ( 2)+ ( 2)+ ( 6) = Determinanto skleidimo formulės Paimkime Laplaso teoremoje k =. Tai reiškia pasirinkti kurią nors vieną eilutę (arba sulpelį). Minorai M(i; j) sutampa su determinanto elementais a ij. Jų adjunktus žymėsime A ij. Iš Laplaso teoremos gauname deta = n a ij A ij = j= n a ij A ij i= Šios formulės yra vadinamos determinanto skleidiniais i-tosios eilutės ir j-tojo stulpelio elementais. Pastaba. Jei determinanto skleidimo formulėje paimti kurio nors stulpelio

11 2 DETERMINANTAI (eilutės) elementus ir kito sulpelio (eilutės) adjunktus, suma bus lygi nuliui. Įrodymas. Sudarykime tokį determinantą a a,j b a,j+ a n A j = a 2 a 2,j b 2 a 2,j+ a 2n a n a n,j b n a n,j+ a nn Šis determinantas yra lygus A j = n b i A ij. i= Paimkime vietoje elementų b, b 2,...,b n k-tojo stulpelio (k j elementus. Šis determinantas turės du vienodus stulpelius ir todėl jis lygus nuliui. Taigi n a ij A kj =, i k, j= n a ij A ik =, j k i= Determinantų skaičiavimas. Skleidimo formulės taikymas ( ) ( ) ( ) = +2 ( ) = = 5 2. Deteminanto savybių taikymas Atimkime iš determinanto antrojo stulpelio pirmąjį stulpelį, padaugintą iš 2: 2 D = = Dabar skeidžiame determinantą antrojo stulpelio elementais: D = ( 3) ( ) = 3(6 2) = 2 3. Laplaso teoremos taikymas

12 2 DETERMINANTAI 2 Iš determinanto D = pirmųjų dviejų eilučių elementų galima sudaryti tik vieną nelygų nuliui minorą M = 2 2 = 2. Taigi D = M A M = 2( ) = 2 ( 6 4) = Atvirkštinė matrica Apibrėžimas. A, kad Atvirkštine kvadratinei matricai A vadiname tokią matricą A A = A A = E Kvadratinė matrica gali turėti tik vieną atvirkštinę matricą. Įrodymas. Tarkime, kad A kita atvirkštinė matrica. Tada A = A E = A (AA ) = (A A)A = EA = A. Tarkime, kad deta = A. Tada A = A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn Čia A ij matricos A elementų adjunktai. Jie surašyti taip, kaip transponuotos matricos elementai. Įrodymas išplaukia is Laplaso teoremos. Jei deta = atvirkštinė matrica A neegzistuoja. Lema. det(ab) = detadetb Įrodymas. Tarkime, kad deta = ir A egzistuoja. Tada dete = = detadeta = ir gavome prieštarą. Raskime atvirkštinę matricą matricai 2 3

13 2 DETERMINANTAI 3 A = ( ) + 3 A 2 = ( ) +2 3 A 3 = ( ) Matricinės lygtys 2 3 = 2, = 2, A 2 = ( ) = 6, A 3 = ( ) 3+ 2 = 2, =, A 22 = ( ) = 3, A 32 = ( ) 3+2 =, =, A 23 = ( ) =, A 33 = ( ) =, A A 2 A A A A 3 A A = 2 A 22 A A A A = 3 = A 3 A A 23 A AX = B, X = A T B, XA = B, X = BA T Išspręskime ( matricines ) lygtis ( ) ( ) AX =, YA =, kai A =. ( 2 3 ) 2 ( 3 ) ( 2 ) A = 2 2, X = A 3 = 2 2 3, ( 2 ) 4 ( ) 4 2 Y = A 2 3 = A 33 A

14 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 4 3 Tiesinių lygčių sistemos 3. Apibrėžimai Tiesinių (pirmosios eilės) algebrinių m lygčių sistema su n nežinomaisiais x, x 2,..., x n a x +a 2 x 2 ++a n x n = b, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n = b 2, sistemos matrica A = a m x +a m2 x 2 ++a m2n x n = b m a a 2 a n a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn nežinomųjų matrica stulpelis (vektorius) X =, dešinės pusės koeficentų vektorius (matrica stulpelis) B = sistemos matricinis pavidalas AX = B x x 2 x n x x 2 x n sistema suderintoji turi bent vieną sprendinį sistema sistema apibrėžtoji neapibrėžtoji turi lygiai turi daugiau, vieną sprendinį kaip vieną sprendinį (visada be galo daug) sistema nesuderintoji neturi nė vieno sprendinio 3.2 Sistema su kvadratine matrica n = m, A = a ij n n, D = deta = A.

15 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Atvirkštinės matricos metodas deta, AX = B, X = A B Sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžta), kadangi atvirkštinė matrica yra vienintelė. { x+y = 2 x y = ( ) ( ) ( ) x 2 =, A = y ( ) ( ) ( A = 2 2 x, X = = 2 y 2 2 Taigi x =, y =. ( ) ( ) x, X =, B = y ) ( ) ( ) 2 = Kramerio formulės n A s b s s= n X = A B = A s2 b s A s=, x j = A jb +A 2j b 2 ++A nj b n deta n A sn b s s= a a 2 a,j b a,j+ a n a 2 a 22 a 2,j b 2 a 2,j+ a 2n a n a n2 a n,j b n a n,j+ a nn x j = deta { x+y = 2 = D j D x y = ( ) A =, D = 2, D = 2 = 2, x = D D 2 = 2 = 2, y = D 2 = 2 = D 2 D = 2 2 = ( 2 )

16 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Sistemos elementarieji pertvarkiai Ekvivalenčios sistemos sistemos su tais pačiais kintamaisiais ir turinčios tas pačias sprendinių aibes. { x+y = 2 x y = x+y = 2 x y = 2x = 2 ( sudėtos lygtys ) 2y = 2 ( iš pirmosios lygties atimta antroji ) ) lygčių keitimas vietomis; 2) lygties abiejų pusių dauginimas iš nelygaus nuliui skaičiaus; 3) lygties keitimas jos bei kitos lygties suma. Elementariais pertvarkiais gaunama ekvivalenti sistema. 3.4 Gauso metodas Trapecinė sistema a x +a 2 x 2 ++a r x r ++a n x n = b a 22 x 2 ++a 2r x r ++a 2n x n = b 2 a rr x r ++a rn x n = b r = b r+ = b m Bet kuri tiesinių lygčių sistema yra ekvivelenti tam tikrai trapecinei sistemai.

17 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 7 Kair = m = n turime trapecinės sistemos atskirą atvejį trikampinę sistemą a x +a 2 x 2 +a 3 x 3+a r x r = b a 22 x 2 +a 3 x 3+a 2r x r = b 2 a r,r x r +a r,r x r = b r a rr x r = b r Tarkime, kad a rr. Tada iš paskutinės lygties gauname x r = br a rr. Jei a r,r x r iš priešpaskutinės lygties randame x r = b br r a r,r arr a r,r ir t. t. (Gauso metodo atvirkštinė eiga). Taigi kai visi pagrindinės įstrižainės koeficientai a ii, sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžtoji). Tarkime, kad a rr =. Jei b r sistema neturi sprendinių (nesuderintoji). Taigi jei trapecinėje sistemoje bent vienas koeficientas b r+, b r+2,, b m nelygus nuliui, sistema yra nesuderinta. Tarkime, kad a rr = b r =. Tai atitinka trapecinę sistemą su lygtimis a r,r x r +a r,r x r = b r ir = b r. Tokia sistema gali turėti be galo daug sprendinių (arba visai jų neturi, jei a r,r = a r,r = ir b r ). Gauso metodo idėja elementariais pervarkiais suvesti sistemą prie trikampinės (trapecinės). Gauso metodo pirmas žingsnis (a, priešingu atveju galima sukeisti vietomis lygtis (matricos eilutes)). a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn a a 2 a n a 22 a 2n a m2 a mn a 2j = a a 2j a 2 j a, a 3j = a a 3j a 3 j a,, a mj = a a mj a m j a 2n Gauso metodo antrame žingsnyje nagrinėjame matricą, a m2 a mn kuri turi viena eilute mažiau. Taigi po m žingsnių gausime trapecinę (trikampinę) matricą. a. a 22

18 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Matricos rangas a a n Sudarykime visus matricos A = r-tosios eilės minorus a m a mn a i j a i j 2 a i j r M r = M(i,i 2,,i r ;j,j 2,,j r ) = a i2 j a i2 j 2 a i2 j r. Pastebėkime, a irj a irj 2 a irj r kad r min{m,n}. Nagrinėsime visus nenlygius nuliui minorus M r. Didžiausias skaičius r (minoro eilė) yra vadinamas matricos rangu: rang A = max M r r Matrica A = turi keturis trečiosios eilės minorus. Jie visi yra lygūs nuliui: =, =, = 2 3 4, =. Todėl rang A < 3. Matrica A turi C2 4 C3 4 = 24 antrosios eilės minorus. Kadangi ne visi jie yra lygūs nuliui (pavyzdžiui, M(,;,) = = 4 ), rang A = 2. Matricos A ir B, gaunamos viena iš kitos elementariaisiais pertvarkiais, yra vadinamos ekvivalenčiomis. Žymime A B. Ekvivalenčiųjų matricų rangai yra lygūs. Įrodymas. Jei rang A tai egzistuoja matricos A r-tosios M(i,i 2,,i r ;j,j 2,,j r ), o visi r+-osios (ir aukštesnės) eilės minorai lygūs nuliui. Kadangi bet kuris matricos minoras, atliekant elementarius pertvarkius lieka lygus (arba nelygus, jei toks buvo) nuliui, tai rang B = r. Pastebėkime, kad visus elementarius pervarkius galima atlikti ne tik su matricos eilutėmis (tai atitinka tiesinių lygčių sistemos pertvarkius), bet ir su stulpelius (kadangi determinantas nesikeičia transponuojant matricą). Dar pastebėkime, kad galima šalinti matricos nulines eilutes bei stulpelius.

19 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 9 Bet kuri matrica A, rang A = r yra ekvivalenti r tosios eilės vienetinei matricai: A E r A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.6 Bazinio minoro metodas ( Tarkime, kad tiesinių lygčių sistemos a x +a 2 x 2 ++a n x n = b, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n = b 2, a m x +a m2 x 2 ++a m2n x n = b m ) ( matricos A = a ij m n rang A = r. Tai reiškia, kad egzistuoja r-tosios eilės minoras M r. (Šį minorą vadiname baziniu). Tarkime, kad M(,2,...,r;,2,...,r). (Priešingu atveju galima sukeisti vietomis sistemos lygtis bei pakeisti kintamųjų x, x 2,, x n numerius. Jei r < m sistemoje yra lygčių, kurios gali būti eliminuotos (pašalintos) elementariais pertvarkiais. Todėl paliekame sistemoje r lygčių. (Vėliau parodysime, kad tai padaryti visada galima, jei sistema yra suderintoji). Jei n = r turime sistemą su kvadratine matrica ir det A. Tokia sistema turi vienintelį sprendinį, kurį galima rasti Kramerio metodu. Išnagrinėkime atvejį, kai n > r ir perrašykime sistemą taip: a x +a 2 x 2 ++a r x r = b a,r+ x r+ a n x n, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2r x r = b 2 a 2,r+ x r+ a 2n x n, a r x +a r2 x 2 ++a r2n x r = b r a r,r+ x r+ a rn x n Kintamuosius x r+, x r+2,, x n vadiname laisvaisias, o x, x 2,, x r baziniais. Taigi bazinių kintamųjų yra r = rang A, o laisvųjų kintamųjų )

20 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 2 yra n r. Pažymėkime δ j = b j n s=r+ a js x s. Kadangi M r, sistemą sprendžiame, taikydami Kramerio formules x j = a δ a ir M r a r δ r a rr, j =,2,...,r. Skleisdami šiuos determinantus j-tojo stulpelio elementais, gauname bendrojo sprendinio formules: x j = γj +γr+ j x r+ ++γj n x n, j =,2,...,r. Čia γj i, i = r +,r +2,...,n prikalauso tik nuo koeficientų a ij, o γj dar ir nuo b, b 2,, b r. Kai laisvieji kintamieji x r+,, x n įgyja konkrečias reikšmes, gauname sistemos atskirąjį sprendinį. Taigi kai bent vienas koeficientas γj i sistema turi be galo daug sprendinių. { x+y +z w = 2, x y z +w = { x+y = 2 z +w, x y = z w 2 z +w z w x = = 2 z +w z w y = = z +w x Bendrasis sprendinys y z = α+β α ; w β atskirieji sprendiniai,, 2.

21 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Homogogeninė lygčių sistema n a ij x j =, i =,2,...,m. j= Homogeninė sistema visada suderinta (turi nulinį (trivialų) sprendinį). r = rang A, bendrasis sprendinys x j = δ r+ j x r+ +δ r+2 j x r+2 ++δj n, j =,2,...,r. Fundamentalioji sprendinių sistema δ r+ δ δ2 r+ r+2 δ δ r+2 r+3 δ 2 δ r+3 n δ 2 δ n n 2 δ n 2 δr r+ δr r+2 δr r+3 δr n δ n r,,,,, Pažymėję šiuos atskiruosius sprendinius H, H 2,, H n r, bet kurį homogeninės sistemos sprendinį galime užrašyti taip (x x 2 x n ) T = C H +C 2 H 2 ++C n r H n r, C j konstantos. Taigi homogeninė sistema turi vienintelį nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai rang A = n. 3.8 Kronekerio ir Kapelio teorema n a ij x j = b i, i =,2,...,m. j= Sistemos matricaa = a ij m n, išplėstoji matrica(a B) = a a n b a 2 a 2n b 2 a m a mn b m Teorema. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai rang A = rang (A B)..

22 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 22 Sistema yra apibrėžta, kai rang A = n. Bendrojo sprendinio struktūra Nehomogeninės Homogeninės Nehomogeninės lygties lygties lygties bendrasis = bendrasis + atskirasis sprendinys sprendinys sprendinys

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas. Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v (x) = + x ) e x, x (, ). () Čia yra filtro parametras. Kad

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos

Detaliau

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai MATLAB komandų seka, vadinama programa, įrašyta į failą. Vykdant skripto failą įvykdomos jame esančios komandos. Bus kalbama, kaip sukurti

Detaliau

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te 8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju teorijos. Tegul ξ bus taikinio A vidiniu kintamu ju rinkinys,

Detaliau

LMR200.dvi

LMR200.dvi Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos

Detaliau

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, 0--. Magdalena Raseiniškė mėgsta pradėti bet kurį darbą tokiu uždaviniu, kurį, kaip ji sako,

Detaliau

Duomenų vizualizavimas

Duomenų vizualizavimas Duomenų vizualizavimas Daugiamačių duomenų vizualizavimas: projekcijos metodai Aušra Mackutė-Varoneckienė Tomas Krilavičius 1 Projekcijos metodai Analizuojant daugiamačius objektus, kuriuos apibūdina n

Detaliau

5_3 paskaita

5_3 paskaita EKONOMIKOS INŽINERIJA Parengė: doc. dr. Vilda Gižienė 4. PRODUKTO GAMYBOS TECHNOLOGIJA Temos: 4.7.Įmonės pelnas ir jo maksimizavimas 4.7.1. Konkuruojančios firmos pajamos. 4.7.2. Pelno maksimizavimas trumpuoju

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRO 011 M. KOVO D. ĮSAKYMO NR. V-199 DĖL LIETUVOS HIGIENOS NORMOS HN 80:011 ELEKTROMAGNETINIS

Detaliau

Microsoft Word - 8 Laboratorinis darbas.doc

Microsoft Word - 8 Laboratorinis  darbas.doc Laboratorinis darbas Nr. 8 MOP (metalo sido puslaidininkio) struktūrų tyrimas aukštadažniu -V charakteristikų metodu Darbo tikslas: 1. Nustatyti puslaidininkio laidumo tipą. 2. Nustatyti legiravimo priemaišų

Detaliau

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP RJ-45 interneto kabelio 1.4. Kompiuterio su prieiga

Detaliau

Microsoft PowerPoint - ikaitinti_kunai02.ppt

Microsoft PowerPoint - ikaitinti_kunai02.ppt Šviesos šaltiniai Nekoherentiniai šviesos šaltiniai. Šviesos šaltinių rūšys. Absoliučiai juodo kūno spinduliavimas. Kaitinimo lempos. Dujų išlydžio lempos. Šviestukų veikimo fizikiniai principai ir technologijos.

Detaliau

CL2013O0023LT _cp 1..1

CL2013O0023LT _cp 1..1 02013O0023 LT 01.09.2018 001.001 1 Šis tekstas yra skirtas tik informacijai ir teisinės galios neturi. Europos Sąjungos institucijos nėra teisiškai atsakingos už jo turinį. Autentiškos atitinkamų teisės

Detaliau

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvairias sprendimo galimybes. Prieš kiekvieną naujos rūšies dėlionę pateiktas pavyzdys,

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas Turinys 1 Skaičiavimo sistemos 3 11 Sveikųjų dešimtainių skaičių išreiškimas dvejetaine, aštuntaine

Detaliau

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas int Suma (int X[], int n) int s = 0; s = s + X[i]; return s; double Suma (double X[], int

Detaliau

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija 2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos

Detaliau

flauto/ ) ))) )))) )))) )).. ) )))))) )))) ). ) ))))) ) )))))) Ṫ ))))))))))))))) 89 )))))))))))))#) )$) )&) $))$))$)))&)&)$) $))$))

flauto/ ) ))) )))) )))) )).. ) )))))) )))) ). ) ))))) ) )))))) Ṫ ))))))))))))))) 89 )))))))))))))#) )$) )&) $))$))$)))&)&)$) $))$)) flauto/ 77?@ 5 4 8 85 ) ))) )))) )))) )).. ) )))))) )))) ). ) ))))) ) )))))) Ṫ ))))))))))))))) 89 )))))))))))))#) )$) )&) $))$))$)))&)&)$) $))$))&)&))#) ) ) )! )! ). ) $) ).)#) ). ) ) ) ) ) 9 )#) ) ) )

Detaliau

Projektą vykdančiojo personalo darbo užmokesčio ir savanoriško darbo įnašo fiksuotojo įkainio nustatymo tyrimo ataskaita 2016 m. birželio 8 d. redakci

Projektą vykdančiojo personalo darbo užmokesčio ir savanoriško darbo įnašo fiksuotojo įkainio nustatymo tyrimo ataskaita 2016 m. birželio 8 d. redakci Projektą vykdančiojo personalo darbo užmokesčio ir savanoriško darbo įnašo fiksuotojo įkainio nustatymo tyrimo ataskaita 2016 m. birželio 8 d. redakcija Lietuvos Respublikos vidaus reikalų ministerija

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

Gabių vaikų ugdymo mokymo priemonių dokumentas parengtas, įgyvendinant ES lėšomis finansuojamą projektą Gabių vaikų ugdymo efekytyvumo didinimas šviet

Gabių vaikų ugdymo mokymo priemonių dokumentas parengtas, įgyvendinant ES lėšomis finansuojamą projektą Gabių vaikų ugdymo efekytyvumo didinimas šviet 61 rogramos 1.5 temos nalizuoti ir prognozuoti vartotojų reakciją į kainų pokytį, remiantis paklausos elastingumu kainoms, ir gamintojų reakciją į kainų pokytį, remiantis pasiūlos elastingumu kainoms raplėtimas

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

Microsoft Word ratas 12kl Spr

Microsoft Word ratas 12kl Spr 66-iosios Lietuvos okinių fizikos olipiados rajono iesto turas (8 ) klasė Nedidelis kūnas be pradinio greičio nuslysta nuožulniąja plokštua, kurios papėdėje glotniai pasiekia horizontaliąją h plokštuą,

Detaliau

2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansi

2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansi 2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansinės būklės ataskaitos forma) NAUJOSIOS AKMENĖS RAMUČIŲ

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

Dažniausios IT VBE klaidos

Dažniausios IT VBE klaidos Dažniausios IT VBE klaidos Renata Burbaitė renata.burbaite@gmail.com Kauno technologijos universitetas, Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija 1 Egzamino matrica (iš informacinių technologijų brandos egzamino

Detaliau

VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas , V. Kudirkos g. 18, LT Vilnius-9, tel. (8 5) , faks. (8 5) 268 8

VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas , V. Kudirkos g. 18, LT Vilnius-9, tel. (8 5) , faks. (8 5) 268 8 VALSTYB S MON REGISTR CENTRAS Juridini asmen registras, kodas 124110246, V. Kudirkos g. 18, LT-03105 Vilnius-9, tel. (8 5) 268 8202, faks. (8 5) 268 8311, el. p. info@registrucentras.lt, atsisk. s sk.

Detaliau

LIETUVOS BANKO VALDYBOS

LIETUVOS BANKO VALDYBOS Suvestinė redakcija nuo 2006-06-30 iki 2006-12-31 Nutarimas paskelbtas: Žin. 2001, Nr. 7-223, i. k. 100505ANUTA00000172 LIETUVOS BANKO VALDYBOS N U T A R I M A S DĖL KAPITALO PAKANKAMUMO SKAIČIAVIMO TAISYKLIŲ

Detaliau

Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas , S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠ

Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas , S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠ Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas 190093592, S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠKINAMASIS RAŠTAS I. BENDROJI DALIS Kelmės rajono Kražių

Detaliau

LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS ŠVIESOS BANGINĖS SAVYBĖS. ATOMO SANDARA.

LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS ŠVIESOS BANGINĖS SAVYBĖS. ATOMO SANDARA. LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS ŠVIESOS BANGINĖS SAVYBĖS. ATOMO SANDARA. LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS ŠVIESOS

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Tiesioginio-debeto-paslaugos-duomenu-apsikeitimo-formatu-aprasas

Tiesioginio-debeto-paslaugos-duomenu-apsikeitimo-formatu-aprasas TIEIOGINIO DEBETO PALAUGO DUOMENŲ APIKEITIMO FORMATŲ APRAŠA Tarp banko ir kliento yra keičiamasi tokio tipo failais: utikimai mokėti tiesioginio debeto būdu, priimti įmonėje (failo plėtinys.dse). o Banko

Detaliau

N E K I L N O J A M O J O T U R T O R I N K O S D A L Y V I Ų A P K L A U S O S A P Ž V A L G A / 2 NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS

N E K I L N O J A M O J O T U R T O R I N K O S D A L Y V I Ų A P K L A U S O S A P Ž V A L G A / 2 NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS APŽVALGA 1 NEKILNOJAMOJO TURTO RINKOS DALYVIŲ APKLAUSOS APŽVALGA 213 217 m. I ketvirtis 213 ISSN 2424-5828 (ONLINE) 2 NEKILNOJAMOJO TURTO RINKOS DALYVIŲ APKLAUSOS

Detaliau

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoje Sąvoka mokėjimo sąskaita Galimas taupomosios sąskaitos,

Detaliau

ITC ISSN LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ik

ITC ISSN LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ik ITC ISSN 2345-0991 LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ikimokyklinis ir priešmokyklinis ugdymas 1 2 3 4 5 6

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Nacionalinio egzaminų centro projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas (kodas VP1-2.1-ŠMM-01-V-03-003) 1 seminaras Dalykinių

Detaliau

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETO POILSIO NAMŲ „POLITECHNIKA“ VIDAUS TVARKOS TAISYKLĖS

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETO POILSIO NAMŲ „POLITECHNIKA“ VIDAUS TVARKOS TAISYKLĖS PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto infrastruktūros direktoriaus 2013 m. rugpjūčio 28 d. potvarkiu Nr. PP-81 KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETO POILSIO NAMŲ POLITECHNIKA VIDAUS TVARKOS TAISYKLĖS

Detaliau

Šilumos sąnaudų vartotojams pasikeitimo dėl naujo Šilumos supirkimo iš nepriklausomų šilumos gamintojų tvarkos ir sąlygų aprašo skaičiavimas Eil. Nr.

Šilumos sąnaudų vartotojams pasikeitimo dėl naujo Šilumos supirkimo iš nepriklausomų šilumos gamintojų tvarkos ir sąlygų aprašo skaičiavimas Eil. Nr. Šilumos sąnaudų vartotojams pasikeitimo dėl naujo Šilumos supirkimo iš nepriklausomų šilumos gamintojų tvarkos ir sąlygų aprašo skaičiavimas Eil. Nr. Palyginamosioms sąnaudos pagal naują Aprašo projektą

Detaliau

Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas.

Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Turinys Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 2017-05-29 Egzamino klausimai: 1) Diferencialinės

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL 2014 2020 METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FONDŲ INVESTICIJŲ VEIKSMŲ PROGRAMOS STEBĖSENOS RODIKLIŲ

Detaliau

Microsoft Word - Taisykles .doc

Microsoft Word - Taisykles .doc Neoficialus įsakymo tekstas Skelbtas: Žin., 2008, Nr. 75-2976 LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL PARAMOS TEIKIMO BIČIŲ LAIKYTOJAMS UŽ PAPILDOMĄ BIČIŲ MAITINIMĄ TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA PATVIRTINTA Vilniaus kolegijos Verslo vadybos fakulteto dekano 2018 m. gruodžio 19 d. įsakymu Nr. V-100 VILNIAUS KOLEGIJA VERSLO VADYBOS FAKULTETAS PRAKTIKŲ ORGANIZAVIMO TVARKA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

Detaliau

Brandos egzaminų organizavimas ir vykdymas 2012 m.

Brandos egzaminų organizavimas ir vykdymas 2012 m. BRANDOS EGZAMINŲ ORGANIZAVIMAS IR VYKDYMAS 2012 M. BENDROSIOS NUOSTATOS Brandos egzaminų organizavimo ir vykdymo tvarkos aprašas (toliau Aprašas) reglamentuoja vidurinio ugdymo programos dalykų brandos

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 3 paskaita 2019-02-20 2 paskaitos papildymas Realaus skaičiaus konvertavimas į kitą skaičiavimo sistemą Pirminių dvynių paieškos algoritmas Tiesinio sąrašo realizacija,

Detaliau

Microsoft Word - AUTOSERVISO MODULIS

Microsoft Word - AUTOSERVISO MODULIS AUTOSERVISO MODULIS APRAŠYMAS 1. Darbo pradžia. Autoserviso modul aktyvuokite per programos meniu Parametrai > Darbo vietos nustatymai. Skyrelyje Kiti pažymkite Autoservisas ir paspauskite mygtuk Gerai.

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Informacija apie projektų administravimą. Reikalavimai projekto išlaidų tinkamumui. Mokėjimo prašymų teikimas. 2019 m. balandžio 29 d. Sergej Tkačenko Lietuvos mokslo tarybos Mokslo fondo ES struktūrinės

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos generalinio direktoriaus 2014 m. spalio 30 d. įsakymu Nr.

Detaliau

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Informatikos fakultetas Kaunas, Lietuva El. paštas: vytautas.mickevicius@fc.vdu.lt

Detaliau

Magistro darbas

Magistro darbas KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS KOMPIUTERIŲ KATEDRA Vitalijus Martusevičius Mikrosensorinio tinklo autolokacijos sistemos sudarymas ir tyrimas Magistro darbas Darbo vadovas prof.

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

Tvarkinguolė voverytė Julė, įsikūrusi Pavoveriuose (netoli Pabradės) savo žiemai skirtų gigantinių riešutaičių atsargas yra prislėpusi 5 drevėse

Tvarkinguolė voverytė Julė, įsikūrusi Pavoveriuose (netoli Pabradės) savo žiemai skirtų gigantinių riešutaičių atsargas yra prislėpusi 5 drevėse LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 4 tema. KAIP SPRĘSTI, KAI NELABAI ŽINAI KAIP? (010 01) Teorinę medžiagą parengė ir ketvirtąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas Romualdas Kašuba 1. Įvadiniai

Detaliau

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation 2007-2013 metų ES struktūrinės paramos poveikio Lietuvos miestams ir miesteliams vertinimo rezultatų pristatymas Neringa Viršilienė, ESTEP vertinimo grupės vadovė, vertinimo ekspertė Mindaugas Sereičikas,

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje

Detaliau

Lietuvos energetikos instituto

Lietuvos energetikos instituto LIETUVOS ENERGETIKOS INSTITUTO ŠILUMINIŲ ĮRENGIMŲ TYRIMO IR BANDYMŲ LABORATORIJA AKREDITAVIMO SRITIS (Lanksti sritis) 1(11) puslapis 1. Membraniniai dujų skaitikliai, kurių didžiausias debitas Q max 16

Detaliau

Microsoft Word - 15_paskaita.doc

Microsoft Word - 15_paskaita.doc 15 PASKAITA Turinys: Išimtys Išimtys (exceptions) programos vykdymo metu kylančios klaidingos situacijos, nutraukiančios programos darbą (pavyzdžiui, dalyba iš nulio, klaida atveriant duomenų failą, indekso

Detaliau

flauto/1 Lento Ṫ ) ))). )))). )))) 101) ) ) ) ) ) ) ) ). ) ) ) ) ) ) ))))) ) )))))) ))))))))))))))) ))))))))))) ) )#) 105 )$))&)$))$))$

flauto/1 Lento Ṫ ) ))). )))). )))) 101) ) ) ) ) ) ) ) ). ) ) ) ) ) ) ))))) ) )))))) ))))))))))))))) ))))))))))) ) )#) 105 )$))&)$))$))$ flauto/1 1?@ Lento 15 5 41 8 Ṫ.. 101. # 105 $&$$$ &&$ $$&&#. $. #. #!! 109, - 7.. 7!! í = 60! $! $ 11 -. $.... $...$..#.&.$. $.$. 117 #&#&#&#& #.# # & $.#& $#$ #& $$$$ 121.,. -.. -. -. 9 / -, Concerto

Detaliau

TELIA1 PASIŪLYMAS GALIOJA: Pasiūlymas galioja iki 2019 m. Rugsėjo 30 d. Naujiems ir esamiems privatiems klientams. Neskolingiems Telia Lietuva, AB. Pa

TELIA1 PASIŪLYMAS GALIOJA: Pasiūlymas galioja iki 2019 m. Rugsėjo 30 d. Naujiems ir esamiems privatiems klientams. Neskolingiems Telia Lietuva, AB. Pa TELIA1 PASIŪLYMAS GALIOJA: Pasiūlymas galioja iki 2019 m. Rugsėjo 30 d. Naujiems ir esamiems privatiems klientams. Neskolingiems Telia Lietuva, AB. Pasiūlymas negalioja kartu su kitais specialiais pasiūlymais.

Detaliau

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS ALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS Agronomijos fakultetas Žemdirbystės katedra STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: AFŽEB07E Pavadinimas lietuvių kalba: Mokslinių tyrimų metodika Pavadinimas anglų kalba:

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation PARAIŠKOS DĖL PROJEKTO FINANSAVIMO PILDYMAS IR TEIKIMAS Indrė Dagilienė 2018 m. spalio 25-26 d. Vilnius-Kaunas Paraiškos pildymas Paraiška pildoma vadovaujantis projektų finansavimo sąlygų Aprašo Nr. 4

Detaliau