9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l"

Transkriptas

1 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios erdvės su skaliarine daugyba vadinamos Hilberto erdvėmis, vokiečiu matematiko D. Hilberto garbei, kuris daug prisidėjo vystant funkcinę analizę. Erdvėms su skaliarine daugyba apibrėšime elementu statmenumo sąvoką, nagrinėsime Hilberto erdviu ortoganaliąsias bazes ir apibendrinsime klasikinę Furjė analizę Euklidinės ir unitariosios erdvės Šiame skyrelyje E tiesinė erdvė virš skaliaru kūno K. 9.1 apibrėžimas. Atvaizdis, : E E K vadinamas erdvės E skaliarine daugyba, jei teisingos šios aksiomos: (SD1) x + y, z = x, z + y, z su visais x, y, z E; (SD2) αx, z = α x, z su visais x, z E ir α K; (SD3) x, y = y, x su visais x, y E; (SD4) x, x 0 su visais x E ir x, x = 0 tada ir tik tada, kai x = 0. Jei, erdvės E skaliarinė daugyba, tai x, y vadiname elementu x ir y skaliarine sandauga. 9.2 apibrėžimas. Realioji tiesinė erdvė, kurioje apibrėžta skaliarinė daugyba, vadinama euklidine erdve, o kompleksinė unitariąja erdve. Pastebėsime, kad trečioji skaliarinės daugybos aksioma euklidinėms erdvėms reiškia simetriškumą: x, y = y, x su visais x, y E.

2 9.1 pavyzdys. Formule x, y = d x k y k, kai x = (x 1,..., x d ), y = (y 1,..., y d ) C d, apibrėžiama erdvės C d skaliarinė daugyba. Tikrai, pirmoji ir antroji skaliarinės daugybos aksiomos teisingos, nes d d d (αx k + βy k )z k = α x k z k + β y k z k. Prisiminę paprasčiausias kompleksiniu skaičiu savybes, išvedame x, y = d x ky k = d x ky k = d y kx k = y, x. Taigi (SD3) aksioma taip pat teisinga. Pagaliau (SD4) aksiomą išvedame iš lygybės d d x, x = x k x k = x k 2. Erdvės R d skaliarinė daugyba apibrėžiama taip: x, y = d x k y k, x = (x 1,..., x d ), y = (y 1,..., y d ) R d. Taigi R d euklidinė, o C d unitarioji erdvės. 9.2 pavyzdys. Formule f, g = b a f(t)g(t)dt, kai f, g C[a, b], apibrėžiama realiosios tiesinės erdvės C[a, b] skaliarinė daugyba. Kompleksinės erdvės C[a, b] skaliarinę daugybą galime apibrėžti taip: f, g = b a 2 f(t)g(t)dt.

3 Pirmosios dvi skaliarinės daugybos aksiomos įrodomos remiantis paprasčiausiomis integralu savybėmis. Nagrinėdami atskirai realią bei menamą kompleksinės funkcijos dalis išvedame trečiąją aksiomą. Galiausiai bet kuriai kompleksinei tolydžiajai funkcijai f : [0, 1] C, f, f = b a f(t)f(t)dt = b a f(t) 2 dt 0. Be to, b a f(t) 2 dt = 0 tada ir tik tada, kai f(t) = 0 su kiekvienu t [a, b]. Taip gautą tiesinę erdvę su skaliarine daugyba žymėsime C 2 [a, b]. 9.3 pavyzdys. Formule x, y = x k y k, x = (x k ), y = (y k ) l 2, apibrėžiama erdvės l 2 skaliarinė daugyba. Čia reikia pastebėti, kad eilutė k x ky k konverguoja su visais x = (x k ) ir y = (y k ) iš aibės l pavyzdys. Interpretuodami L 2 (a, b) kaip faktor-erdvę L 2 (a, b)/l 0 (žr.?? pavyzdį), ekvivalentumo klasiu [f], [g] L 2 (a, b) skaliarinę sandaugą apibrėžiame formule [f], [g] = b a f(t)g(t)dt, čia f [f], g [g] bet kurie atitinkamu klasiu elementai. Ateityje, vietoj [f], [g] rašysime f, g, jei tai nekels painiavos. Nagrinėkime kiek sudėtingesnį pavyzdį. 9.5 pavyzdys. Imkime realiasias funkcijas f, apibrėžtas intervale [a, b] ir lygias nuliui visur išskyrus baigtinį ar skaitu skaičiu tašku bei tenkinančias sąlygą f 2 (t) <. t Čia sumuojama pagal visus tuos taškus t [a, b], kuriuose funkcija f nelygi nuliui. Todėl t f 2 (t) reiškia arba baigtinę sumą arba atitinkamos eilutės sumą. Visu tokiu funkciju aibę pažymėkime L 2,s (a, b) (raidelė s pridėta norint pabrėžti, kad nagrinėjamos funkcijos pagal savybes artimesnės 3

4 sekoms). Nesunku įsitikinti, kad ji yra tiesinė erdvė natūraliu ju sumos ir daugybos iš skaliaro operaciju atžvilgiu. Gautosios tiesinės erdvės skaliarinę daugybą apibėžkime taip: f, g = t f(t)g(t), čia sumuojama pagal tas argumento t [a, b] reikšmes, kurioms sandauga f(t)g(t) 0 (tokiu argumento reikšmiu bus ne daugiau nei skaiti aibė). Naudodami Hiolderio nelygybę sekoms įrodome, jog visiems elementams f, g L 2,s (a, b) skaliarinė sandauga f, g apibrėžta korektiškai. Taip L 2,s (a, b) tampa euklidine erdve. Analogiškai galime apibrėžti unitariąją erdvę L 2,s (a, b). Įdomu pastebėti, kad nagrinėjant erdvę L 2 (a, b) (arba bet kurią L p (a, b)) kaip faktor-erdvę L 2 (a, b)/l 0 (žr.?? pavyzdį), aibė L 2,s (a, b) [0], čia [0] yra erdvės L 2 (a, b) nulinis elementas. Mat kiekviena funkcija iš L 2,s (a, b) beveik visur (Lebego mato prasme) lygi nuliui. Keletas paprasčiausiu skaliarinės daugybos savybiu surinkta šiame teiginyje. 9.1 teiginys. Tiesinės erdvės E skaliarinei daugybai teisingos šios savybės: (a) x, y + z = x, y + x, z su visais x, y, z E; (b) x, αy = α x, y su visais x, y E ir α K; (c) jei x, z = y, z su kiekvienu z E, tai x = y. (d) 0, x = x, 0 = 0 su visais x E; Įrodymas. Iš skaliarinės daugybos (SD1) ir (SD3) aksiomu išvedame x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = y, x + z, x = x, y + x, z. (9.1) Pritaikę (SD2) ir (SD3) aksiomas, gauname x, αy = αy, x = α y, x = α y, x = α x, y. (9.2) Jei x, z = y, z, taikydami (SD2) ir (SD3) aksiomas matome, kad 0 = x, z y, z = x, z + ( 1) y, z = x, z + y, z = x y, z. 4

5 Kadangi tai teisinga su visais z E, paėmę z = x y, gauname x y, x y = 0. Remiantis (SD4) aksioma, x y = 0, t.y. x = y. Paskutinioji (d) savybė yra akivaizdi. Sudėję kartu skaliarinės daugybos (SD1) ir (SD2) aksiomas bei ką tik įrodytas (a) ir (b) savybes, išvedame šias skaliarinės daugybos taisykles: su visais α, β K, x, y, z E, αx + βy, z = α x, y + β y, z, (9.3) x, αy + βz = α x, y + β x, z. (9.4) Erdviu su skaliarine daugyba norma Skyrelį pradėsime svarbia Švarco nelygybe. 9.1 teorema. (Švarco nelygybė.) Jei, tiesinės erdvės E skaliarinė daugyba, tai su bet kuriais x, y E teisinga nelygybė x, y 2 x, x y, y. (9.5) Įrodymas. Sakykime, x, y E, t R ir α K, α = 1. Remiantis skaliarinės daugybos (SD4) aksioma, tαx + y, tαx + y 0. Iš čia, pasinaudoję skaliarinės daugybos (9.3) bei (9.4) taisyklėmis, išvedame t 2 x, x + 2tR(α x, y ) + y, y 0. (9.6) Kadangi kvadratinė (9.6) nelygybė teisinga su bet kuriuo t R, tai kvadratinio trinario diskriminantas būtinai neteigiamas, t. y. (R(α x, y )) 2 x, x y, y 0. Parinkę tokį α, su kuriuo α x, y = x, y, gauname (9.5). 9.2 teiginys. Jei, erdvės E skaliarinė daugyba, tai su bet kuriais x, y E teisinga nelygybė x + y, x + y 1/2 x, x 1/2 + y, y 1/2. (9.7) 5

6 Įrodymas. Pritaikę skaliarinės daugybos (SD1) aksiomą, (a) savybę iš 9.1 teiginio bei Švarco nelygybę, gauname x + y, x + y = x, x + 2R x, y + y, y x, x + 2 x, y + y, y x, x + 2 x, x y, y + y, y = ( x, x 1/2 + y, y 1/2 ) 2. Gautasis rezultatas ekvivalentus (9.7). Iš 9.2 teiginio ir skaliarinės daugybos aksiomu išvedame šį teiginį. 9.3 teiginys. Sakykime,, tiesinės erdvės E skaliarinė daugyba. Tuomet atvaizdis : E R, yra erdvės E norma. x = x, x, x E, (9.8) Taip apibrėžta norma dažnai vadinama Hilberto (hilbertiška). Įrodymas. Pirmoji normos aksioma sutampa su skaliarinės daugybos (SD4) aksioma. Pritaikę (SD2) ir (b) savybę iš 9.1 teiginio, išvedame αx = αx, αx = αα x, x = α 2 x, x = α x. Trikampio nelygybė (9.8) formule apibrėžtai funkcijai yra užrašyta 9.2 teiginyje. Kalbėdami apie tiesinę erdvę su skaliarine daugyba kaip apie normuotą ar metrinę erdvę, normą, jei nepasakyta kitaip, apibrėžiame (9.8) formule, o atstumo funkciją atitinkamai (??) formule. Jei normuotoje erdvėje taip apibrėžiame skaliarinę daugybą, kad yra teisingas (9.8) sąryšis, tai sakome, kad norma suderinta su skaliarine daugyba. Pavyzdžiui, erdviu l 2, L 2 (a, b), C 2 [a, b] skaliarinė daugyba ir norma yra suderintos, t.y. teisingas (9.8) sąryšis. Tačiau erdvės C[0, 1] tolygioji norma ir skaliarinė daugyba apibrėžta 9.2 pavyzdyje, nesuderintos. Taigi pagrįstas toks klausimas: ar galime tiesinei normuotai erdvei apibrėžti suderintą su norma skaliarinę daugybą? Į klausimą atsako ši teorema (be įrodymo). 6

7 9.2 teorema. Tiesinei normuotai erdvei E apibrėžti suderintą su norma skaliarinę daugybą galima tada ir tik tada, kai galioja vadinamoji lygiagretainio taisyklė : su visais x, y E, x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). (9.9) Jei ši taisyklė teisinga, tai suderinta su norma skaliarinė daugyba yra kai E realioji erdvė, ir x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ), x, y E, (9.10) x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) i 4 ( ix + y 2 ix y 2 ), x, y E, kai E kompleksinė erdvė. Pastebėsime, kad (9.9) tapatybė vadinama lygiagretainio taisykle todėl, kad plokštumoje (kai E = R 2 ) ji reiškia gerai žinomą geometrijos faktą: lygiagretainio įstrižainiu ilgiu kvadratu suma lygi kraštiniu ilgiu kvadratu sumai. 9.6 pavyzdys. Nagrinkime erdvę C[0, 1] su tolygiąja norma f = sup f(t). 0 t 1 Tegu funkcijos f, g C[0, 1] ir f(t) = 1, o g(t) = t, t [0, 1]. Tuomet f = 1, g = 1, f + g = 2, f g = 1. Akivaizdu, kad lygegretainio taisyklė šiems erdvės C[0, 1] elementams f ir g neteisinga. 9.7 pavyzdys. Nagrinėkime erdves l p, p 1. Tegu Tuomet ir x = (0, 1, 0, 0, 0,...), y = (1, 0, 0, 0,...). x + y = (1, 1, 0, 0,...), x y = ( 1, 1, 0, 0,...), x = 1, y = 1, x + y = 2 1/p, x y = 2 1/p. Taigi lygegretainio taisyklė elementams x ir y negalioja, jei /p, t.y. p 2. Kita vertus, erdvėje l 2 lygegretainio taisyklė yra teisinga, nes jos norma ir skaliarinė daugyba yra suderinti. 7

8 Jei E tiesinė erdvė su skaliarine daugyba, ir F E tiesinis poaibis, tai atvaizdžio (x, y) x, y siaurinys aibėje F F yra tiesinės erdvės F skaliarinė daugyba, kuri vadinama indukuotąja. Kaip ir tiesiniu normuotu erdviu atveju, išskirtinis vaidmuo čia suteikiamas uždariesiems (normuotos erdvės E) tiesiniams poaibiams. 9.3 apibrėžimas. Erdvės E su skaliarine daugyba poerdviu vadinamas uždaras tiesinis poaibis su indukuotąja skaliarine daugyba. Bet kuris baigtinės dimensijos tiesinės erdvės su skaliarine daugyba tiesinis poaibis yra uždara aibė, taigi yra poerdvis. Begalinio matavimo l 2 erdvės poerdvį gausime paėmę, pavyzdžiui, aibę L = {x = (x n ) l 2 : x 1 = 0} Hilberto erdvės 9.4 apibrėžimas. Tiesinė begalinio matavimo erdvė su skaliarine daugyba vadinama Hilberto erdve, jei ji yra pilna normuota erdvė normos, suderintos su skaliarine daugyba, atžvilgiu. Hilberto erdvėms žymėti rezervuota raidė H. Paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias Hilberto erdvės pavyzdys l 2. Jau esame įrodę, kad l 2 yra Banacho erdvė. Be to, kaip jau ne kartą pastebėjome, jos norma x 2 = x k 2 yra suderinta su skaliarine daugyba x, y = x ky k. Taigi l 2 Hilberto erdvė. Kita išskirtinė erdvės l 2 savybė ji yra separabili. Vėliau įrodysime, kad visos separabiliosios Hilberto erdvės yra izometriškai izomorfinės erdvei l 2. Erdvės C 2 (a, b) norma taip pat suderinta su skaliarine daugyba, tačiau ji nėra pilna (žr.?? pavyzdį), vadinasi, nėra Hilberto. 9.8 pavyzdys. Erdvės L 2 (a, b), L 2 (R) yra Hilberto. 9.9 pavyzdys. Neseparabilios Hilberto erdvės pavyzdys yra 9.5 pavyzdyje aprašytoji erdvė L 2,s (a, b). Jos pilnumą paliekame skaitytojui įrodyti pačiam, patardami pasinaudoti erdvės l 2 pilnumo įrodymu. Tai, kad L 2,s (a, b) nėra separabili, įsitikiname pastebėję, jog kontinumo galios funkciju šeima f t, t [a, b], apibrėžta lygybe f t (u) = δ u,t, u (a, b), pasižymi savybe f t f v 2 = u (δ t(u) δ v (u)) 2 = 2, kai t v. 8

9 Iš erdvės su skaliarine daugyba poerdvio apibrėžimo (žr. 9.3 apibrėžimą) ir?? teiginio išvedame šį rezultatą. 9.4 teiginys. Hilberto erdvės poerdvis yra Hilberto erdvė. 9.2 Statmenumas Šiame skyrelyje E tiesinė erdvė su skaliarine daugyba, ir elementu norma x = x, x, x E. Naudodami šią normą, Švarco nelygybę galime perrašyti taip: x, y x y. Realiosios erdvės atveju gauname, kad x, y /( x y ) [ 1, +1]. Todėl galime įvesti kampo tarp dvieju erdvės elementu savoką, apibrėždami to kampo kosinusą: cos φ = x, y /( x y ). Taigi galime kalbėti apie daugelį euklidinės geometrijos savoku bendresniu erdviu kontekste. Šiame skyrelyje apibrėšime erdvės E elementu statmenumą ir įrodysime kelis paprastus teiginius surištus su šia sąvoka. 9.5 apibrėžimas. Erdvės E elementus x ir y vadinsime statmenais ir žymėsime x y, jei x, y = 0. Šios statmenumo savybės nesunkiai išvedamos, pasinaudojus skaliarinės daugybos savybėmis. (1) Nulinis elementas yra statmenas kiekvienam x E; (2) x x tada ir tik tada, kai x = 0. (3) jei x y 1, y 2,..., y n tai x n λ ky k su visais λ 1,..., λ n K; Įrodysime dar keletą statmenumo savybiu. 9.5 teiginys. Jei x y tai teisinga Pitagoro teorema: x + y 2 = x 2 + y 2. 9

10 Įrodymas. Tai matyti iš šiu lygybiu x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + x, y + y, x + y teiginys. (Apibendrinta Pitagoro teorema.) Jei Hilberto erdvės H elementu sekos (x n ) nariai yra poromis ortogonalūs, t.y. x k x j su visais k j ir n x n 2 <, tada eilutė n x n konverguoja ir 2 x n = x n 2. n=1 Įrodymas. Naudodamiesi Pitagoro teorema ir ką tik suformuluota statmenumo (3) savybe, išvedame x m+1 + x m x n 2 = x m x m x n 2 = n = x k 2 n=1 k=m+1 su visais n > m 1. Lieka pritaikyti Banacho erdvės elementu eilutės Koši konvergavimo kriteriju (žr.?? teiginį). 9.7 teiginys. Jei x y n su kiekvienu n N ir y n y, tai x y. Įrodymas. Pritaikę statmenumo apibrėžimą ir Švarco nelygybę, išvedame (x, y) = (x, y y n ) x y y n. Kadangi lim n y y n = 0, tai x, y = apibrėžimas. Sakykime, A E, A. Elementas x E vadinamas statmenu aibei A (žymėsime x A), jei x statmenas kiekvienam y A. Aibę elementu, statmenu aibei A E, žymimėsime A ir vadinsime aibės A ortogonaliuoju papildymu. 10

11 Keletas statmenumo savybiu surinkta šiuose teiginiuose. 9.8 teiginys. Jei x A, tai i) x [A]; ii) x tap(a); iii) x [tap(a)]. iv) Jei A visur tiršta, tai x = 0. Įrodymas. (i) išvedame iš 9.7 teiginio. Tikrai, jei y [A], tai egzistuoja tokia seka (y n ) A, kad y = lim n y n. Kadangi x y n su kiekvienu n 1, iš 9.7 teiginio gauname, kad x y. (ii) išvedame iš anksčiau įrodytos statmenumo (3) savybės. (iii) yra (i) ir (ii) išvada. (iv) įrodomas remiantis (i), nes x A reiškia šiuo atveju, kad x H. Bet tuomet x x. Taigi x = teiginys. Jei A E, A, tai aibė A yra tiesinė ir uždara. Įrodymas. Su bet kuriais x, y A ir α, β K, αx + βy, z = α x, z + β y, z = 0, kai z A. Taigi αx + βy A, todėl aibė A yra tiesinė. Dabar tarkime, (x n ) A ir lim n x n = x 0. Remiantis 9.7 teiginiu, x 0 A. Taigi aibė A uždara Hilberto erdvės ortogonalusis išskaidymas Nagrinėkime bet kurią tiesinę normuotą erdevę F. Atstumas ϱ(x, L) nuo taško x F iki aibės L F ( ρ(x, L) = inf y L x y ) charakterizuoja geriausią elemento x aproksimaciją aibės L elementais. Dažnai jis realizuojamas vienu ar keliais aibės L elementais. Pavyzdžiui, jei L baigtiniamatis erdvės F poerdvis, tai kiekvieną x F atitinka toks y 0 L, kad ρ(x, L) = x y 0. Ar toks elementas vienintelis, priklauso nuo erdvės geometriniu savybiu. Pavyzdžiui, paimkime erdvę (R 2, ), kai x = x 1 + x 2, x = (x 1, x 2 ) ir 11

12 aibę L = {αe : α R}. Čia vektorius e = (1, 1). Imkime tašką x 0 = ( 1, 1). Tada atstumas ρ(x 0, L) = inf x 0 αe = inf ( 1 α α ) = 2 α R α R realizuojamas kiekvienu elementu x = αe, α [ 1, 1]. Geometriškai vienintelę geriausią x aproksimaciją elementu iš L įsivaizduojame kaip elemento x ortogonalią projekciją į aibę L. Šis vaizdinys tinka erdvėse su skaliarine daugyba. Sakykime, H Hilberto erdvė, x H, o M H teiginys. Jei M iškila uždaroji Hilberto erdvės H aibė ir x M, tai egzistuoja vienintelis toks elementas y M, kad ρ(x, M) = x y. Įrodymas. Pirmiausia pastebėkime, kad d = ρ(x, M) > 0, nes aibė M uždara. Remiantis tiksliojo apatinio rėžio apibrėžimu, kiekvieną n N atitinka toks y n M, kad d x y n d + 1 n. (9.11) Įsitikinkime, kad (y n ) Koši seka. Pritaikę lygiagretainio taisyklę, gauname 2 x y n x y m 2 = y n y m 2 + 2x y n y m 2. Remiantis aibės M iškilumu, (y m + y n )/2 M. Todėl Iš (9.11) nelygybės išvedame Vadinasi, 2x y n y m 2 = 4 x y n + y m 2 4d 2. 2 x y m 2 < (d + 1 m )2, ir x y n 2 < (d + 1 n )2. y n y m 2 < 2(d + 1 m )2 + 2(d + 1 n )2 4d 2 < 8d + 4 N, kai n, m > N. Taigi (y n ) yra Koši seka. Remiantis erdvės H pilnumu, egzistuoja toks y H, kad y = lim n y n. Kadangi aibė M uždara ir y yra 12

13 jos ribinis elementas, tai y M. Iš (9.11) nelygybės, perėję prie ribos kai n gauname d = x y. Liko įsitikinti, kad elementas y yra vienintelis. Šiam tikslui tarkime, kad egzistuoja dar vienas elementas z M, su kuriuo x z = d. Pritaikę lygiagretainio taisyklę elementams x z ir x y, gauname 4d 2 = 2 x y x z 2 = y z x z + y 2 2 y z 2 + 4d 2. Tačiau taip gali būti vieninteliu atveju, kai y z = 0. Taigi y = z. Sakykime, L H Hilberto erdvės H poerdvis. Akivaizdu, kad aibė L iškila. Pritaikę 9.10 teoremą gauname, kad kiekvieną x H\L atitinka vienintelis y L, su kuriuo ρ(x, L) = x y. Panaudoję šį rezultatą, įrodome dvi labai svarbias išvadas teiginys. Jei L H poerdvis, x = H\L ir elementas y L yra toks, kad x y = ρ(x, L), tai x y L. Įrodymas. Tarkime, λ bet kuris kompleksinis skaičius (realusis, jei H realioji erdvė), h L. Kadangi aibė L tiesinė, tai y λh L ir x y + λh ρ(x, L) = x y. Pakėlę šios nelygybės abi puses kvadratu, išvedame x y + λh, x y + λh x y, x y ir λ h, x y + λ x y, h + λλ h 2 0. Paėmę λ = x y, h / h 2, gauname x y, h 2 / h 2 0. Ši nelygybė teisinga tik tada, kai x y, h = 0. Vadinasi, x y h su kiekvienu h L. Kita labai svarbi išvada teorema apie Hilberto erdvės ortogonalu jį dėstinį. Priminsime, kad L yra ortogonalusis aibės L pildinys. 9.3 teorema. (Hilberto erdvės ortogonalus dėstinys.) Jei L Hilberto erdvės H poerdvis, tai H = L L, t.y. kiekvieną x H vieninteliu būdu galime išreikšti x = y + z, y L, z L. 13

14 Įrodymas. Imkime tą elementą y L, su kuriuo x y = ρ(x, L), ir pažymėkime z = x y. Pagal 9.11 teiginį z L. Lieka įrodyti, kad dėstinys x = y + z yra vienintelis. Jei egzistuotu kitas toks dėstinys x = z 1 + y 1, tai turėtume z z 1 = y 1 y. Bet z z 1 L, y 1 y L, o L L = {0}. Taigi z z 1 = 0 ir y 1 y = 0 arba z = z 1, y = y pavyzdys. Su kiekvienu fiksuotu n, erdvė R n gali būti sutapatinama su Hilberto erdvės l 2 poerdviu L, susidedančiu iš tu elementu, kuriu visos koordinatės, pradedant n + 1-ąja yra lygios nuliui. Todėl kiekvieną x = (x 1, x 2,... ) l 2 galime užrašyti x = y + z, kai y = (x 1,..., x n, 0,... ) L, o z = (0,..., 0, x n+1,... ) L. Iš teoremos apie ortogonalu jį dėstinį gauname tokią išvadą. 9.1 išvada. Tiesinė aibė L H visur tiršta tada ir tik tada, kai L = {0}. Įrodymas. Pakankamumas. Tarkime, L = {0}, bet L nėra visur tiršta. Vadinasi, egzistuoja toks x 0 H, kad x 0 [L]. Pritaikę teoremą apie ortogonalu jį dėstinį gauname x 0 = y 0 + z 0, y 0 [L], z 0 [L]. Bet [L] = L. Tikrai, kadangi L [L], tai [L] L. Priešingas įjungimas nesunkiai išvedamas iš skaliarinės daugybos tolydumo. Taigi z 0 = 0. Bet tada x 0 = y 0 [L], o tai jau prieštara. Būtinumas. Dabar tarkime, kad aibė L visur tiršta. Be to, tarkime, kad egzistuoja toks z 0 H, z 0 0, kad z 0 L. Remiantis skaliarinės daugybos tolydumu z 0 [L] = H. Šitaip gali būti tik tuo atveju, kai z 0 = 0. 14

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tiriant judėjimą, išreiškiamą priklausomybėmis tarp kintamųjų

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus

Detaliau

LMR200.dvi

LMR200.dvi Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija

Microsoft Word - Liuminescencija_teorija 2. BOLOGNŲ OBJEKTŲ LUMNESCENCJA. 2.1 Įvadas. Liuminescencijos reiškinys Daugelis fotofizikinių ir fotocheminių vyksmų yra šviesos sąveikos su bioobjektu pasekmės. Vienas iš pagrindinių šviesos emisijos

Detaliau

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI

VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTI VILNIAUS R. PABERŽĖS ŠV. STANISLAVO KOSTKOS GIMNAZIJOS 2, 4, 6 IR 8 KLASĖS MOKINIŲ MOKYMOSI PASIEKIMŲ VERTINIMO PANAUDOJANT DIAGNOSTINIUS IR STANDARTIZUOTUS VERTINIMO ĮRANKIUS ATASKAITOS PRIEDAS MOKYKLOMS,

Detaliau

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas. Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v (x) = + x ) e x, x (, ). () Čia yra filtro parametras. Kad

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai MATLAB komandų seka, vadinama programa, įrašyta į failą. Vykdant skripto failą įvykdomos jame esančios komandos. Bus kalbama, kaip sukurti

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

2.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.1. Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją y = x, x > 0, taško x = 1 aplinkoje. Pradžiai pakeiskime kintamuosius x= 1+ h. Gausime fu

2.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.1. Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją y = x, x > 0, taško x = 1 aplinkoje. Pradžiai pakeiskime kintamuosius x= 1+ h. Gausime fu .3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.. Pvyzdys. Ngriėime fuciją y =, > 0, tšo = plioje. Prdžii peisime itmuosius = + h. Gusime fuciją y = + h, h>. Iešoime toios pirmojo lipsio fucijos y = + h, uri būtų didesė už

Detaliau

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj

Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoj Teismo praktikos rinkinys TEISINGUMO TEISMO (penktoji kolegija) SPRENDIMAS 2018 m. spalio 4 d. * Direktyva 2007/64/EB Mokėjimo paslaugos vidaus rinkoje Sąvoka mokėjimo sąskaita Galimas taupomosios sąskaitos,

Detaliau

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRO 011 M. KOVO D. ĮSAKYMO NR. V-199 DĖL LIETUVOS HIGIENOS NORMOS HN 80:011 ELEKTROMAGNETINIS

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORTELĖ UŽDAVINIO NUMERIS TEISINGAS ATSAKYMAS. D. E. A

Detaliau

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai m.

Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai 2014-2015 m. m. Pasirinkti šie veiklos rodikliai Atsakingi KVA

Detaliau

Veiksmų programų administravimo

Veiksmų programų administravimo (Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2015 m. gegužės 19 d. FORMAI PRITARTA 2014 2020 m. Europos Sąjungos

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx)

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx) Versta iš angliško vertimo iš danų k. Neoficialus vertimo tekstas Žiniasklaidos atsakomybės įstatymas 1 dalis Taikymo sritys 1 straipsnis. Šis įstatymas taikomas šioms žiniasklaidos priemonėms: 1) nacionaliniams,

Detaliau

PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKY

PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKY PATVIRTINTA Kauno lopšelio darželio Vaikystė direktoriaus 2015 m. spalio 26 d. įsakymu Nr. V-74 KAUNO LOPŠELIO DARŽELIO VAIKYSTĖ VAIZDO DUOMENŲ TVARKYMO TAISYKLĖS I SKYRIUS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Vaizdo

Detaliau

Magistro darbas

Magistro darbas KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS KOMPIUTERIŲ KATEDRA Vitalijus Martusevičius Mikrosensorinio tinklo autolokacijos sistemos sudarymas ir tyrimas Magistro darbas Darbo vadovas prof.

Detaliau

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio

1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio 1 1. PMĮ 5 straipsnio 2 dalies nauja redakcija 2. Vienetų, kuriuose vidutinis sąrašuose esančių darbuotojų skaičius neviršija 10 žmonių ir mokestinio laikotarpio pajamos neviršija 300 000 eurų, pirmojo

Detaliau

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, 0--. Magdalena Raseiniškė mėgsta pradėti bet kurį darbą tokiu uždaviniu, kurį, kaip ji sako,

Detaliau

(Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkrič

(Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkrič (Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkričio d. FORMAI PRITARTA 2014-2020 m. Europos Sąjungos

Detaliau

Slide 1

Slide 1 UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRAS PUBP struktūra. Vertinimo normos ugdymo procesui (pagrindiniam ugdymo koncentrui) 1 Kalbos kurso uždaviniai Kalbos vartojimo ugdymo mokymosi pasiekimai Kalbos sistemos pažinimo

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.

Detaliau

Pofsajungu_gidas_Nr11.pdf

Pofsajungu_gidas_Nr11.pdf 2 p. 3 p. 4 p. Šiame straipsnyje pristatoma profsąjungų svarba ir galimos jų veiklos kryptys, kovojant su diskriminacija darbo rinkoje. Ši profesinių sąjungų veiklos sritis reikšminga ne tik socialiai

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Nr. VP1.-1.3-SADM-01-K-02-008 Įvadinio modulio tematikos trumpa apžvalga Bendrieji diskriminacijos pagrindai ir jų apraiškos Lyčių lygybės samprata, stereotipai Žiniasklaidos įtaka stereotipų formavimuisi

Detaliau

Privalomai pasirenkamas istorijos modulis istorija aplink mus I dalis _suredaguotas_

Privalomai pasirenkamas istorijos modulis istorija aplink mus I dalis  _suredaguotas_ P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14-19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS,

Detaliau

_SGD_SPRENDINIAI TARYBAI_AR SANTRAUKA_12005

_SGD_SPRENDINIAI TARYBAI_AR SANTRAUKA_12005 1. ĮVADAS Suskystintųjų gamtinių dujų (toliau SkGD) terminalo, susijusios infrastruktūros ir dujotiekio statybos specialiojo teritorijų planavimo dokumentas rengiamas vadovaujantis Lietuvos Respublikos

Detaliau

Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuo

Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuo Slaptažodžių generatoriaus naudojimo instrukcija Slaptažodžių generatorius tai aukščiausius saugumo reikalavimus atitinkantis įrenginys, kuris generuoja vienkartinius skaitmenimis išreiškiamus slaptažodžius.

Detaliau

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc STATISTIKA FILOLOGAMS 10 paskaita STATISTINIAI KRITERIJAI 1. Statistiniai palyginimai ir statistinės hipotezės Jau ne kartą minėta, kad tyrinėtojui neretai prisieina ne vien tik aprašyti empirinius statistinius

Detaliau

Projektas

Projektas 1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

X310.book(X310_lt.fm)

X310.book(X310_lt.fm) Leica DISTO TM X30 The original laser distance meter Turinys Prietaiso paruošimas darbui - - - - - - - - - - - - - - - - Įvadas- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaliau

32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t L EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m.

32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t L EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m. 32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t. 31991L0663 1991 12 31 EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m. gruodžio 10 d. derinanti su technikos pažanga Tarybos

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FON LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL FINANSŲ MINISTRO 2014 M. GRUODŽIO 30 D. ĮSAKYMO NR. 1K-499 DĖL 2014 2020 METŲ EUROPOS SĄJUNGOS FONDŲ INVESTICIJŲ VEIKSMŲ PROGRAMOS STEBĖSENOS RODIKLIŲ

Detaliau

BASEINO OCTO+ 460, 540, 640 IR 840 MODELIO, AIKŠTELĖS PARUOŠIMAS IR MEDINIO KARKASO SURINKIMAS + LENTJUOSTES MONTAVIMAS + PATIESALO MONTAVIMAS Atlikit

BASEINO OCTO+ 460, 540, 640 IR 840 MODELIO, AIKŠTELĖS PARUOŠIMAS IR MEDINIO KARKASO SURINKIMAS + LENTJUOSTES MONTAVIMAS + PATIESALO MONTAVIMAS Atlikit BASEINO OCTO+ 460, 540, 640 IR 840 MODELIO, AIKŠTELĖS PARUOŠIMAS IR MEDINIO KARKASO SURINKIMAS + LENTJUOSTES MONTAVIMAS + PATIESALO MONTAVIMAS Atlikite aikštelės nuţymėjimą po baseinu, pašalinkite augalus,

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA VALSTYBINĖS TERITORIJŲ PLANAVIMO IR STATYBOS INSPEKCIJOS PRIE APLINKOS MINISTERIJOS VIRŠININKAS ĮSAKYMAS DĖL VALSTYBINĖS TERITORIJŲ PLANAVIMO IR STATYBOS INSPEKCIJOS PRIE APLINKOS MINISTERIJOS VIRŠININKO

Detaliau

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Nacionalinio egzaminų centro projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas (kodas VP1-2.1-ŠMM-01-V-03-003) 1 seminaras Dalykinių

Detaliau

Jūsų duomenys, jūsų teisės. Ericsson duomenų tvarkytojo įmonei privalomos duomenų apsaugos taisyklės Įžanga Ericsson veikla pasižymi sąžiningumu, skai

Jūsų duomenys, jūsų teisės. Ericsson duomenų tvarkytojo įmonei privalomos duomenų apsaugos taisyklės Įžanga Ericsson veikla pasižymi sąžiningumu, skai Jūsų duomenys, jūsų teisės. Ericsson duomenų tvarkytojo įmonei privalomos duomenų apsaugos taisyklės Įžanga Ericsson veikla pasižymi sąžiningumu, skaidrumu ir atsakomybe. Mes, kaip duomenų tvarkytojas,

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS LYTIES PAGRINDU UAB NATŪRALIOS IDĖJOS DARBO SKELBIME TYRIMO 2018 m. gruodžio 11 d. Nr. (18)SN-215)SP-123 Vilnius

Detaliau

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te 8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju teorijos. Tegul ξ bus taikinio A vidiniu kintamu ju rinkinys,

Detaliau

Microsoft Word - PISKISVĮ18 straipsnio atskleidimai - INVL Technology

Microsoft Word - PISKISVÄ®18 straipsnio atskleidimai - INVL Technology Informacija asmenims, įsigyjantiems SUTPKIB INVL Technology išleistų nuosavybės vertybinių popierių, parengta pagal LR profesionaliesiems investuotojams skirtų subjektų įstatymo 18 straipsnio reikalavimus

Detaliau

Microsoft Word - Taisykles .doc

Microsoft Word - Taisykles .doc Neoficialus įsakymo tekstas Skelbtas: Žin., 2008, Nr. 75-2976 LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL PARAMOS TEIKIMO BIČIŲ LAIKYTOJAMS UŽ PAPILDOMĄ BIČIŲ MAITINIMĄ TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr Studijų programos aprašas Studijų programos pavadinimas Informatika Aukštojo mokslo institucija (-os), padalinys (-iai) Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos fakultetas, Informatikos katedra

Detaliau

Prekių pirkimo pardavimo taisyklės

Prekių pirkimo pardavimo taisyklės Kursų ir seminarų pirkimo pardavimo svetainėje sportoakademija.lt taisyklės 1. Sąvokos 1.1. Pardavėjas Lietuvos Respublikos VĮ Registrų centras, Juridinių asmenų registro Kauno filiale įregistruotas privatusis

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu

Detaliau

Microsoft Word - Asmenų prašymų pasiūlymų ir skundų nagrinĊjimo tvarkos aprašas

Microsoft Word - Asmenų praÅ¡ymų pasiÅ«lymų ir skundų nagrinÄŠjimo tvarkos apraÅ¡as PATVIRTINTA Marijampolės specialiųjų socialinės globos namų direktoriaus 2007 m. birželio 12 d. įsakymu Nr. V-37 (Marijampolės specialiųjų socialinės globos namų direktoriaus 2014 m. birželio 18 d. įsakymo

Detaliau

NEPRIKLAUSOMO AUDITORIAUS IŠVADA VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darbo rinkos mokymo centras steigėjams, vadovybei Nuomonė Mes atlikome VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darb

NEPRIKLAUSOMO AUDITORIAUS IŠVADA VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darbo rinkos mokymo centras steigėjams, vadovybei Nuomonė Mes atlikome VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darb NEPRIKLAUSOMO AUDITORIAUS IŠVADA VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darbo rinkos mokymo centras steigėjams, vadovybei Nuomonė Mes atlikome VŠĮ Vilniaus Žirmūnų darbo rinkos mokymo centras (toliau Įstaiga) finansinių

Detaliau

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio 11 25 d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją laboratoriją, rezultatų apžvalga Vilnius, 2017 m. Turinys Įžanga... 3

Detaliau

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga atitinka pagrindines demokratijos vertybes ir principus (asmens ir tautos

Detaliau

Gabių vaikų ugdymo mokymo priemonių dokumentas parengtas, įgyvendinant ES lėšomis finansuojamą projektą Gabių vaikų ugdymo efekytyvumo didinimas šviet

Gabių vaikų ugdymo mokymo priemonių dokumentas parengtas, įgyvendinant ES lėšomis finansuojamą projektą Gabių vaikų ugdymo efekytyvumo didinimas šviet 61 rogramos 1.5 temos nalizuoti ir prognozuoti vartotojų reakciją į kainų pokytį, remiantis paklausos elastingumu kainoms, ir gamintojų reakciją į kainų pokytį, remiantis pasiūlos elastingumu kainoms raplėtimas

Detaliau

Duomenų vizualizavimas

Duomenų vizualizavimas Duomenų vizualizavimas Daugiamačių duomenų vizualizavimas: projekcijos metodai Aušra Mackutė-Varoneckienė Tomas Krilavičius 1 Projekcijos metodai Analizuojant daugiamačius objektus, kuriuos apibūdina n

Detaliau

Microsoft Word - 8 Laboratorinis darbas.doc

Microsoft Word - 8 Laboratorinis  darbas.doc Laboratorinis darbas Nr. 8 MOP (metalo sido puslaidininkio) struktūrų tyrimas aukštadažniu -V charakteristikų metodu Darbo tikslas: 1. Nustatyti puslaidininkio laidumo tipą. 2. Nustatyti legiravimo priemaišų

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje

Detaliau

CL2013O0023LT _cp 1..1

CL2013O0023LT _cp 1..1 02013O0023 LT 01.09.2018 001.001 1 Šis tekstas yra skirtas tik informacijai ir teisinės galios neturi. Europos Sąjungos institucijos nėra teisiškai atsakingos už jo turinį. Autentiškos atitinkamų teisės

Detaliau

DAINAVOS

DAINAVOS DALININKŲ SUSIRINKIMO NUTARIMAS DĖL VIEŠO KONKURSO VIEŠOSIOS ĮSTAIGOS PANEVĖŽIO MOKSLO IR TECHNOLOGIJŲ PARKO DIREKTORIAUS PAREIGOMS UŽIMTI ORGANIZAVIMO IR VIEŠOJO KONKURSO NUOSTATŲ PATVIRTINIMO 2017 m.

Detaliau

21. Ilgis, plotas, perimetras Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius rei

21. Ilgis, plotas, perimetras Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius rei Įvadas Šiame modulyje pateikti įvairaus sudėtingumo uždaviniai apie ilgį, perimetrą ir plotą. Sprendžiant uždavinius reikės pasitelkti kūrybinį mąstymą ir pasinaudoti jau turimomis žiniomis, įgytomis per

Detaliau

ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m.

ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m. ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA 2017 2018 M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas 190138895 Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m. 1. Už kurį laikotarpį pateikiate ataskaitą? (pasirinkite)

Detaliau

2009 m. liepos 22 d. Komisijos reglamentas (EB) Nr. 637/2009, nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų

2009 m. liepos 22 d. Komisijos reglamentas (EB) Nr. 637/2009, nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų L 191/10 Europos Sąjungos oficialusis leidinys 2009 7 23 KOMISIJOS REGLAMENTAS (EB) Nr. 637/2009 2009 m. liepos 22 d. nustatantis įgyvendinimo taisykles dėl žemės ūkio augalų ir daržovių veislių pavadinimų

Detaliau