lec10.dvi

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "lec10.dvi"

Transkriptas

1 paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v 2 E priskiria realuji skaiciu (u; v) 2 R ir tenkina aksiomas: S) (u; v) =(v; u) su visais u; v 2 E; S2) (u + u2;v) =(u;v) +(u2;v) su visais u;u2;v 2 E; S3) (au; v) =a (u; v) su visais u; v 2 E ir a 2 R; S4) (u; u) su visais u 2 E ir (u; u) =, u =: pibr_ezimai.. Vektoriaus v 2 E ilgiu vadinamas neneigiamas skaicius q kvk = (v; v). 2. tstumu tarp vektoriu u ir v vadinamas skaicius d (u; v) =ku, vk : Teiginys. Vektoriaus v ilgis kvk tenkina sias savybes: N) kvk irkvk =, v =: N2) kavk = jajkvk su visais v 2 E ir a 2 R: N3) ku + vk kuk + kvk su visais u; v 2 E: ) d (u; v) ird (u; v) =, u = v. 2) d (u; v) =d (v; u) : 3) d (u; v) d (u; w)+d (w; v) - trikampio nelygyb_e Irodymas. Savyb_es N, N2, ir 2 yra tiesiogin_es S-S4 isvados. Savyb_es N3ir 3 irodymas remiasi auchy-schwarz nelygybe, kuria irodysime zemiau. Teorema( auchy-schwarz-uniakovskio nelygyb_e). Euklido erdv_eje E teisinga nelygyb_e su visais u; v 2 E: j(u; v)jkukkvk Irodymas. Nagrin_ekime kvadratine funkcija t atzvilgiu f (t) =(u + tv; u + tv) = (u; u) +2t (u; v) +t 2 (v; v) : Is apibr_ezimo turime, kad f (t) su visomis t reiksm_emis, tod_el D =,4(v; v) (u; u)+4(u; v) 2 ) (u; v) 2 (u; u)(v; v) ir (u; v) kukkvk :

2 Pasteb_esime, kad f (t) =, (u + tv; u + tv) =, u ir v yra tiesiskai priklausome sistema. Irodyta. pibr_ezimas. Euklido erdv_eje apibr_eziama kampo tarp nenuliniu vektoriu u ir v savoka: cos (du; v) = (u; v) kukkvk : Pavyzdys. ritmetin_eje erdv_eje R n skaliarin_e sandauga apibr_eziama lygybe: x y ; = xy + + x n y n : Tada auchy-schwarz-uniakovskio x n y n nelygyb_e Euklido erdv_eje yra zinoma skaitin_e nelygyb_e q q jxy + + x n y n j x x 2 n y y 2 n su visais realiais skaiciais x; :::; x n ;y; :::; y n : pibr_ezimas..nenuliniai vektoriai u ir v vadinami ortogonaliais, jeigu (u; v) =: 2. Vektorius u vadinamas normuotu, jeigu kuk =: 3. Euklido erdv_es baz_e e;e2; :::; e n vadinama ortogonalia, jeigu sie vektoriai yra poromis ortogonalus, t.y. (e i ;e j )=; kai i 6= j n; ir ortonormuota, jeigu beto vektoriai yra normuoti, t.y. ke i k =su visais i: Teiginys. Jeigu nenuliniu vektoriu sistemos e;e2; :::; e m vektoriai yra poromis ortogonalus ( vektoriu sistema yra ortogonali), tai si sistema yra tiesiskai nepriklausoma. Irodymas. Tegu e;e2; :::; e m yra ortogonali vektoriu sistema. Nagrin_ekime lygybe ae + + a m e m =: Tada (ae + a m e m ;e i )=a (e;e i )++ a i (e i ;e i )++ a m (e m ;e i )= a i (e i ;e i )=ira i = su visais i =; :::; m: 2

3 Irodyta. Tegu e;e2; :::; e n, ortogonalioji Euklido erdv_es baz_e, o v = b j e j.turime j= (u; v) = X n a i e i ; i= j= b j e j = n X i;j= a i b j (e i ;e j )= a i b i (e i ;e i ) : i= Jeigu, beto, e;e2; :::; e n, ortonormuota Eukido erdv_es baz_e, tai (u; v) = a i b i : i= a i e i ir u = i= r visada Euklido erdv_eje egzistuoja ortogonali ir ortonormuota baz_e? I si klausima teigiamai atsako Teorema( J.P.Gram - E.Schmidt ortogonalizacijos procesas). Euklido erdv_es E kiekvienai tiesiskai nepriklausomai sistemai u;u2; :::; u m egzistuoja veinareiksmiskai apibr_ezta tokia vektoriu sistema v;v2; :::; v m ; kad ) vektoriai v;v2; :::; v m poromis ortogonalus( t.y. sistema yra ortogonali); 2) v i, u i 2 [u; :::; u i,] su visais 2 i m: Irodymas. Indukcija pagal m: Kai m =; tai v = u ir teiginys irodytas. Irodysime indukcini teigini m, ) m: Pagal indukcijos prielaida, vektoriu u; :::; u m, sistemai egzistuoja tokia ortogonali vektoriu v; :::; v m, sistema, kad v i, u i 2 [u; :::; u i,] su visais 2 i m, : Pasteb_esime, kad [u; :::; u m,] = [v; :::; v m,] ; nes su visais j = ; 2; :::; m, vektoriai v i = u i +(v i, u i ) 2 [u; :::; u m,] ir beto sistema v; :::; v m, yra tiesiskai nepriklausoma ir tod_el sudaro [u; :::; u m,] baze. Ieskomas vektorius v m turi tenkinti sias savybes: ) (v m ;v) = =(v m ;v m,) = 2) v m, u m 2 [u; :::; u m,] =[v; :::; v m,] : Taigi, vektorius v m tur_etu buti lygus v m = u m + v + + m,v m,: Tada =(v m ;v) =(u m + v + + m,v m,;v) = (u m ;v)+ (v;v) ) =, (um;v ) kv k 2, 3

4 ..., =(v m ;v m,) =(u m + v + + m,v m,;v m,) = (u m ;v m,)+ m, (v m,;v m,) ) m, =, (um;v m,) kv m,k 2. Gavome, kad vektorius v m = u m, (um;v ) kv k 2 Irodyta. v,, (um;v m,) kv m,k 2 v m,: Pastaba. Is Gramo-Schmidto ortogonalizacijos proceso turime, kad bet kurioje Euklido erdv_eje egzistuoja ortogonali baz_e, o jeigu jos vektorius dar ir normuoti, tai ir ortonormuota baz_e. pibr_ezimas. Jeigu U yra Euklido erdv_es E poerdvis, tai aib_e U? = fv 2 E :(v; u) su visais u 2 Ug vadinama poerdvio U ortogonaliuoju papildiniu. Svarbiausios ortogonalaus papildinio savyb_es yra sios:. U? yra E poerdvis. 2. Jeigu u; :::; u m yra U baz_e, tai U? = fv 2 Ej (v; u i )=;i =; :::; mg : 3. U \ U? =: 4. dim U? = dim E, dim U: 5. E = U U? : 6. U?? = U: Taikymai.. Ortogonalusis papildinys ir tiesiniu lygciu sistema. Teiginys. Tegu V yra Euklido erdv_es R n poerdvis, generuotas eilut_emis v = (a; :::; an) ; :::; v m =(a m; :::; a mn ) ; ir v =(x; :::; x n ) 2 R n : Tada sios salygos yra ekvivalentiskos: ) v 2 V? : 2) (v; v i ) = su visais i =; :::; m: 3) (x; :::; x n ) yra tiesin_es lygciu sistemos 8 >< >: ax + + anx n = a mx + + a mn x n = 4

5 sprendinys, t.y. V? yra sios sistemos sprendiniu aib_e. 2. Tiesiniu lygciu sistemos maziausiu kvadratu sprendinys. Tegu v = b yra tiesiniu lygciu sistema, kurios matricoje yra m eiluciu ir n stulpeliu, ir ji neturi sprendiniu. Su kiekvienu v 2 R n vektorius b, v vadinamas nesuderamumo vektoriumi. Sistemos maziausiu kvadratu sprendiniu vadiname toki vektoriu v; kad vektoriaus b, v ilgis yra maziausias, t.y. kb, vk = min kb, vk : Parodysime, kaip rasti si sprendini. v2r n Tegu v =(x; :::; x n ) T ir v = xc + x n c n ; cia c; :::; c n yra matricos stulpeliai. isku, kad vektoriu aib_e V = fvjv 2 R n gr m yra poerdvis lygus matricos stulpeliu c; :::; c n tiesiniam apvalkalui [c; :::; c n ]. Vektoriaus u atstumu iki poerdvio V vadinamas min ku, wk : Tegu u = x + y; cia x 2 V;y 2 V? : w2v Tada ku, wk 2 =(x, w + y; x, w + y) =(x, w; x, w) +(y; y) ; nes x, w ir y yra ortogonalus. isku, kad minimumas pasiekiamas, kai x = w ir lygus (y; y) =kyk 2 : Gavome, kad vektoriaus u atstumas iki poerdvio V yra lygus vektoriaus u ortogonalios sudaromosios y ilgiui ir realizuojamas, kai w yra vektoriaus u ortogonalioji projekcija x: Taigi vektorius v turi buti toks, kad v butu vektoriaus b ortogonalioji projekcija poerdvyje V = fvjv 2 R n g : Vektoriui v surasti naudosime tokia procedura: ) Raskime ortonormuota matricos stulpeliu c; :::; c n tiesinio apvalkalo V = [c; :::; c n ] baze. 2) Raskime vektoriaus b projekcija p poerdvyje V: 3) Isreikskite vektoriu p stulpeliu c; :::; c n tiesine kombinacija: p = xc + x n c n.tada v =(x; :::; x n ) T ir yra ieskomas vektorius. Parodysime, kaip kitaip galima rasti maziausiukvadratu sprendini. Pasteb_esime, kad v yra maziausiu kvadratu sprendinys sistemai v = b tada ir tik tada, kada v,b ortogonalus V =[c; :::; c n ], matricos stulpeliu tiesiniam apvalkalui. et vektorius z 2 R n yra ortogonalus V tada ir tik tada, kada jis yra sistemos T z = sprendinys, cia T, transponuota matrica. Taigi, v yra maziausiu kvadratu sprendinys sistemai v = b tada ir tik tada, kada v yra sistemos T (v, b) = sprendinys, t.y. T v = T b: Gavome, kad sistemos v = b maziausiu kvadratu sprendinys yra sistemos T v = T b sprendinys. 5

6 3. Gramo matrica. pibr_ezimas. Tegu v; :::; v n yra Euklido erdv_es E vektoriu sistema. Matrica G(v ;:::;v n) = v v2 v n ; (v ;v2; :::; v n ) = vadinama sistemos v; :::; v n Gramo matrica. (v;v) (v;v2) (v;v n ) (v2;v) (v2;v2) (v2;v n ) (v n ;v) (v n ;v2) (v n ;v n ) Pastaba.. Vektoriu sistema v; :::; v n yra tiesiskai nepriklausoma tata ir tik tada, kada sistemos Gramo matrica G(v ;:::;v n) neissigimusi, t.y. det G(v ;:::;v n) 6= : 2. Is apibr_ezimo turime, kad baz_e v; :::; v n yra ortonormuota tada ir tik tada, kada baz_es v; :::; v n Gramo matrica yra vienetin_e. Tegu v; :::; v n yra Euklido erdv_es E baz_e iru; v, du E vektoriai: u =(v; :::; v n ) a a n = Tada skaliarin_e sandauga (a; :::; a n ) (u; v) = a a n (a; :::; a n ) v v n T a a n T (v; :::; v n ) T ir v =(v; :::; v n ) (v; :::; v n ) T ; (v; :::; v n ) v v n ; (v; :::; v n ) ; (v; :::; v n ) b b b = = =(a; :::; a n ) G(v ;:::;v n) b b : : 6

7 Gramo matricos geometrin_e prasm_e. pibr_ezimas.. Tegu u; :::; u m yra Euklido erdv_es E vektoriai. ib_e P (u; :::; u m )=fau + a m u m j a i ;i =; :::; mg vadinama gretasieniu. 2. Gretasienio P (u; :::; u m )turis V m (u; :::; u m ) yra apibr_eziamas induktyviai: ) V (u) =kuk ; 2) V m (u; :::; u m ) = V m, (u; :::; u m,) h; cia h, aukstin_e, kuri yra lygi h = kvk ; ovektorius v apibr_eziamas lygyb_emis: (v; u) = =(v; u m,) =ir u m, v 2 [u; :::; u m,] : Parodysime, kad aukstin_e h apibr_esta korektiskai. Tegu v vektorius, tenkinantis salygas: (v;u) = = (v;u m,) ir u m, v 2 [u; :::; u m,] : Tada v, v =(u m, v)+(u m, v) 2 [u; :::; u m,] ;.t.y. v, v = au + + a m,u m,; (v, v;u) = =(v, v;u m,) = ir (v, v;au + + a m,u m,) ==(v, v;v, v), v = v: Teorema. (V m (u; :::; u m )) 2 = det G(u ;:::;u m): Irodymas. Indukcija pagal m: Kai m =; tai (V (u)) 2 = kuk 2 =(u;u) = det ((u;u)) : Irodysime indukcini teigini(m, ) m) : Tegu v yra aukstin_es vektorius. Tada Tada det u m = au + + a m,u m, + v; (v; u) = =(v; u m,) =: det G(u ;:::;u m) = (u;u) (u;u m,) (u;au + + a m,u m, + v) (u2;u) (u2;u m,) (u2;au + + a m,u m, + v) : (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;au + + a m,u m, + v) 7

8 timkime is paskutiniojo stulpelio pirmaji stulpeli padauginta is a; antraji stulpeli padauginta is a2; :::; m- -aji stulpeli padauginta is a m,: Tur_esime det G(u ;:::;u m) = det det (u;u) (u;u m,) (u;v) (u2;u) (u2;u m,) (u2;v) (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;v) (u;u) (u;u m,) (u2;u) (u2;u m,) (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;v) det G(u ;:::;u m,) (u m ;v)= = = (V m, (u; :::; u m,)) 2 (a (u;v)++ a m, (u m,;v)+(v; v)) = (V m, (u; :::; u m,)) 2 (v; v) =(V m, (u; :::; u m,)) 2 h 2 =(V m (u; :::; u m )) 2 : Irodyta. 8

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys

G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 016 09 1 Turinys 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir tieses plok²tumoje normalines lygtys 111 Vektorine forma 11 Koordinatine forma 3 1 Bendroji plok²tumos

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo

XI skyrius. KŪNAI 1. Kūno sa voka Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus. Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijo XI skyrius KŪNAI 1 Kūno sa voka 1 1 Šiame skyriuje nagrinėsime kūnus Kūnas tai aibė k, kurioje apibrėžti aibės k elementu du vidiniai kompozicijos dėsniai, žymimi + ir, ir vadinami aibės k elementu sudėtimi

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

LMR200.dvi

LMR200.dvi Liet. matem. rink, 47, spec. nr., 27, 259 267 Lietuvos moksleiviu matematikos olimpiados 7 uždaviniuapžvalga Juozas Juvencijus MAČYS (MII) el. paštas: jmacys@ktl.mii.lt 56-oji Lietuvos moksleiviu matematikos

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

Duomenų vizualizavimas

Duomenų vizualizavimas Duomenų vizualizavimas Daugiamačių duomenų vizualizavimas: projekcijos metodai Aušra Mackutė-Varoneckienė Tomas Krilavičius 1 Projekcijos metodai Analizuojant daugiamačius objektus, kuriuos apibūdina n

Detaliau

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMOS MINIMALIUS REIKALAVIMUS ILIUSTRUOJANTYS PAVYZDŽIAI Egzamino programos minimalūs reikalavimai 1.3. Paprastais at MTEMTIKS BRNDS EGZMIN PRGRMS MINIMLIUS REIKLVIMUS ILIUSTRUJNTYS PVYZDŽII Egzamino programos minimalūs reikalavimai.. Paprastais atvejais patikrinti, ar duotoji seka ra aritmetinė/geometrinė progresija.

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ

1 Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas 1.1 Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v σ Vaizdu vidurkinimas ir požymiu išskyrimas. Glodus vienmatis eksponentinis filtras Apibrėšime eksponentini tolydu kintamojo x filtra formule ( v (x) = + x ) e x, x (, ). () Čia yra filtro parametras. Kad

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm

Printing BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm BaziniaiSprendiniai&KrastutiniaiTaskai.wxm / Baziniai sprendiniai ir kraštutiniai taškai (C) A.Domarkas, VU, 25 žr.: [] 2-252; [2] 9-98; [3] 33-; [] 89-98; [5] 6.3 Tegul tiesinių lygčių sistemos nežinomųjų

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst

DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, Magdalena Raseiniškė mėgst DVYLIKTOJI KALĖDINĖ KOMANDINĖ RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI Raseiniai, 0--. Magdalena Raseiniškė mėgsta pradėti bet kurį darbą tokiu uždaviniu, kurį, kaip ji sako,

Detaliau

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M

P. Kasparaitis. Praktinė informatika. Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai M Skriptų vykdymas ir duomenų valdymas Įvadas Skripto failas tai MATLAB komandų seka, vadinama programa, įrašyta į failą. Vykdant skripto failą įvykdomos jame esančios komandos. Bus kalbama, kaip sukurti

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 12 paskaita 2019-05-08 Norint kažką sukonstruoti, reikia... turėti detalių. 13 paskaitos tikslas Susipažinti su python modulio add.py 1.1 versija. Sukurti skaitmeninį modelį

Detaliau

Isvestiniu_taikymai.dvi

Isvestiniu_taikymai.dvi IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės

Detaliau

2.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.1. Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją y = x, x > 0, taško x = 1 aplinkoje. Pradžiai pakeiskime kintamuosius x= 1+ h. Gausime fu

2.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.1. Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją y = x, x > 0, taško x = 1 aplinkoje. Pradžiai pakeiskime kintamuosius x= 1+ h. Gausime fu .3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.. Pvyzdys. Ngriėime fuciją y =, > 0, tšo = plioje. Prdžii peisime itmuosius = + h. Gusime fuciją y = + h, h>. Iešoime toios pirmojo lipsio fucijos y = + h, uri būtų didesė už

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Erasmus+ studentų ir darbuotojų mobilumo Programos šalyse (KA13) įgyvendinimas 217 218 m. m. Turinys 1. Studentų mobilumas - bendri duomenys - pagal šalis - pagal institucijas 2. Darbuotojų mobilumas -

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO

Detaliau

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te

8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju te 8. Daugiakanalė sklaidos teorija Stipraus ryšio tarp kanalu metodas Nagrinėsime sklaidos procesa x + A x + A, x + A x + A, nenaudodami perturbaciju teorijos. Tegul ξ bus taikinio A vidiniu kintamu ju rinkinys,

Detaliau

Magistro darbas

Magistro darbas KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS KOMPIUTERIŲ KATEDRA Vitalijus Martusevičius Mikrosensorinio tinklo autolokacijos sistemos sudarymas ir tyrimas Magistro darbas Darbo vadovas prof.

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO

DĖL APLINKOS IR SVEIKATOS MOKSLO KOMITETO ĮSTEIGIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRO 011 M. KOVO D. ĮSAKYMO NR. V-199 DĖL LIETUVOS HIGIENOS NORMOS HN 80:011 ELEKTROMAGNETINIS

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT

ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORT ŠEŠIOLIKTOJI RUDENINĖ KOMANDINĖ IR INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI KOMANDINĖS DALIES ATSAKYMŲ KORTELĖ UŽDAVINIO NUMERIS TEISINGAS ATSAKYMAS. D. E. A

Detaliau

Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas.

Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Turinys Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 2017-05-29 Egzamino klausimai: 1) Diferencialinės

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTERIJA

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTERIJA LIETUVOS RESPUBLIKOS ŢEMĖS ŪKIO MINISTERIJA PROJEKTŲ, FINANSUOJAMŲ ĮGYVENDINANT LIETUVOS KAIMO PLĖTROS 2007 2013 METŲ PROGRAMOS PRIEMONES III KOMITETO 2008 M. RUGSĖJO 16 D. POSĖDŢIO NR. 4 PROTOKOLO NUTARIAMOJI

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Nacionalinio egzaminų centro projektas Standartizuotų mokinių pasiekimų vertinimo ir įsivertinimo įrankių bendrojo lavinimo mokykloms kūrimas, II etapas (kodas VP1-2.1-ŠMM-01-V-03-003) 1 seminaras Dalykinių

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai

1. Matematinės dėlionės Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvai Įvadas Šiame modulyje pateiktos įvairaus sudėtingumo matematinės dėlionės. Jos padės mokytis skaičiuoti mintinai ir rasti įvairias sprendimo galimybes. Prieš kiekvieną naujos rūšies dėlionę pateiktas pavyzdys,

Detaliau

REIKALAVIMO PERLEIDIMO SUTARTIS

REIKALAVIMO PERLEIDIMO SUTARTIS WWW. Žiemos naujienlaiškis 2013 m. gruodis Šiame numeryje publikuojami straipsniai: 1. Solidarioji ir subsidiarioji prievolė: skirtumai ir panašumai 2. Fizinio asmens bankroto sąlygos Šiame numeryje publikuojami

Detaliau

OPTINIS MENAS (OPARTAS) LIETUVIŲ LIAUDIES AUDINIŲ RAŠTUOSE

OPTINIS MENAS (OPARTAS) LIETUVIŲ LIAUDIES AUDINIŲ RAŠTUOSE OPTINIS MENAS (OPARTAS) LIETUVIŲ LIAUDIES TEKSTILĖS RAŠTUOSE Keturių pa okų iklas 2018 m. Pare gė Kau o Juozo Grušo e o gi azijos dailės okytoja ekspertė RASA KLINGAITĖ DAILĖTYRINĖ UŽDUOTIS I pa oka Susipaži

Detaliau

ITC ISSN LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ik

ITC ISSN LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ik ITC ISSN 2345-0991 LIETUVOS ŠVIETIMAS SKAIČIAIS Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerija Švietimo informacinių technologijų centras 2017 Ikimokyklinis ir priešmokyklinis ugdymas 1 2 3 4 5 6

Detaliau

Vaclovas Augustinas Tėvynei giedu naują giesmę 2016 m. Lietuvos moksleivių dainų šventei ( Versija dviem balsam, be akompanimento) Vilnius 2015

Vaclovas Augustinas Tėvynei giedu naują giesmę 2016 m. Lietuvos moksleivių dainų šventei ( Versija dviem balsam, be akompanimento) Vilnius 2015 Vaclovas Augustinas Tėvynei giedu naują giesmę 2016 m. Lietuvos moksleivių dainų šventei ( Versija dviem balsam, be akompanimento) Vilnius 2015 Tėvynei giedu naują giesmę Lotyniškai Lietuviškai Komentaras

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

13/6 t. LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys L0181 L 39/40 EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS TARYBOS DIREKTYVA 1979 m. gruodž

13/6 t. LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys L0181 L 39/40 EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS TARYBOS DIREKTYVA 1979 m. gruodž 3 31980L0181 L 39/40 EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS 1980 2 15 TARYBOS DIREKTYVA 1979 m. gruodžio 20 d. dėl valstybių narių įstatymų, susijusių su matavimo vienetais, suderinimo ir Direktyvos 71/354/EEB

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus

Detaliau

32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t L EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m.

32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t L EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m. 32 LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys 13/11 t. 31991L0663 1991 12 31 EUROPOS BENDRIJŲ OFICIALUSIS LEIDINYS L 366/17 KOMISIJOS DIREKTYVA 1991 m. gruodžio 10 d. derinanti su technikos pažanga Tarybos

Detaliau

N E K I L N O J A M O J O T U R T O R I N K O S D A L Y V I Ų A P K L A U S O S A P Ž V A L G A / 2 NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS

N E K I L N O J A M O J O T U R T O R I N K O S D A L Y V I Ų A P K L A U S O S A P Ž V A L G A / 2 NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS NAMŲ ŪKIŲ FINANSINĖS ELG- SENOS APKLAUSOS APŽVALGA 1 NEKILNOJAMOJO TURTO RINKOS DALYVIŲ APKLAUSOS APŽVALGA 213 217 m. I ketvirtis 213 ISSN 2424-5828 (ONLINE) 2 NEKILNOJAMOJO TURTO RINKOS DALYVIŲ APKLAUSOS

Detaliau

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Informatikos fakultetas Kaunas, Lietuva El. paštas: vytautas.mickevicius@fc.vdu.lt

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje

Detaliau

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir

Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tir Matematinės analizės idėjų raidos atspindžiai tarpukario Lietuvoje Rimas Norvaiša (2014 m. birželio 26 d.) Santrauka. Matematinė analizė formavosi tiriant judėjimą, išreiškiamą priklausomybėmis tarp kintamųjų

Detaliau

1 Giesmė apie kryžius

1 Giesmė apie kryžius Giedrius Kurevičius PAGONIŲ GIESMĖS Kantata mišriam chorui, soranui ir sioniniam orkestrui KLAVYRAS (1969 m., korekcija 1976 m.) PAGONIŲ GIESMĖS Kantata mišriam chorui, soranui ir sioniniam orkestrui

Detaliau

VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA

VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA VALSTYBINĖ KAINŲ IR ENERGETIKOS KONTROLĖS KOMISIJA N U T A R I M A S DĖL GERIAMOJO VANDENS TIEKIMO IR NUOTEKŲ TVARKYMO VEIKLOS LYGINAMOSIOS ANALIZĖS APRAŠO PATVIRTINIMO 20 m. liepos 29 d. Nr. O3-28 Vilnius

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS PREZIDENTO

LIETUVOS RESPUBLIKOS PREZIDENTO Projektas LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ ĮSTATYMO NR. IX-1826 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 IR 13 STRAIPSNIŲ IR PRIEDO PAKEITIMO ĮSTATYMAS 2017 m. d. Nr. Vilnius 1 straipsnis. 2 straipsnio pakeitimas

Detaliau

II-a klasė

II-a klasė II klasės testų vertinimo ir atsakymų lentelė I testas 1. Už kiekvieną užrašytą žodį skiriama po pusę pupos ir už kiekvieną pažymėtą e ė raidę po pusę pupos (1,5+1,5, 3 pupos). 2. Už kiekvieną taisyklingai

Detaliau

Ataskaitų rengimo instrukcija Diabeto terapijos valdymo programinė įranga

Ataskaitų rengimo instrukcija Diabeto terapijos valdymo programinė įranga Ataskaitų rengimo instrukcija Diabeto terapijos valdymo programinė įranga 2 p. Skydo ir epizodo suvestinės ataskaita. Šioje ataskaitoje pateikiama paciento gliukozės, angliavandenių ir insulino pasirinkto

Detaliau

Microsoft Word - I_k_ST_PR-2006.doc

Microsoft Word - I_k_ST_PR-2006.doc Lietuvių kalbos egzamino programa Testu siekiama patikrinti raš ybos, skyrybos ir kalbos kultūros įgūdžius, žodžio dalių ir kalbos dalių mokė jimą, atidumą. Pastaba: skliausteliuose nurodomas vienas kitas

Detaliau

Valstybinės kalbos politika: įžvalgos ir gairės Informacinio leidinio Švietimo naujienos Nr. 5 (338) priedas Vals ty bi nės kal bos at ei tis nau ji i

Valstybinės kalbos politika: įžvalgos ir gairės Informacinio leidinio Švietimo naujienos Nr. 5 (338) priedas Vals ty bi nės kal bos at ei tis nau ji i Valstybinės kalbos politika: įžvalgos ir gairės Informacinio leidinio Švietimo naujienos Nr. 5 (338) priedas Vals ty bi nės kal bos at ei tis nau ji iš šū kiai ir po li ti kos gai rės Kal bos pres ti žas

Detaliau

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui

Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui Rekomendacijos vietinės reikšmės kelių su žvyro danga taisymui LAKD TNT skyriaus vedėjas Evaldas Petrikas Reglamentavimas Automobilių kelių standartizuotų dangų konstrukcijų projektavimo taisyklės KPT

Detaliau

Management of psychosocial risks in European workplaces - evidence from the second European survey of enterprises on new and emerging risks (ESENER-2)

Management of psychosocial risks in European workplaces - evidence from the second European survey of enterprises on new and emerging risks (ESENER-2) Europos darbuotojų saugos ir sveikatos agentūra Psichosocialinės rizikos valdymas Europos darbo vietose. Antrosios Europos įmonių apklausos apie naują ir kylančią riziką (ESENER-2) duomenys Europos rizikos

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS AMŽIAUS PAGRINDU UŽDARAJAI AKCINEI BENDROVEI SLAPTO PIRKĖJO

LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS AMŽIAUS PAGRINDU UŽDARAJAI AKCINEI BENDROVEI SLAPTO PIRKĖJO LIETUVOS RESPUBLIKOS LYGIŲ GALIMYBIŲ KONTROLIERIUS SPRENDIMAS DĖL GALIMOS DISKRIMINACIJOS AMŽIAUS PAGRINDU UŽDARAJAI AKCINEI BENDROVEI SLAPTO PIRKĖJO TYRIMAI REIKALAUJANT PATEIKTI INFORMACIJĄ APIE AMŽIŲ

Detaliau

LBKIF & GS 2018 ataskaita

LBKIF & GS 2018 ataskaita LBKIF & GS 2018 ATASKAITA R. PETRUKANECAS 2018 M. APŽVALGA 2018 LBKIF BUVO PERDUOTA PILNA BKI SPORTO VYSTIMO KONTROLĖ: VISA VEIKSMŲ LAISVĖ. TAČIAU PRISIDĖJO ŽYMIAI DAUGIAU PAREIGŲ BEI ATSAKOMYBIŲ. PERĖMĖME

Detaliau

Microsoft PowerPoint - Aktyvaus mokymosi metodai teisinio ugdymo paskaitose.pptx

Microsoft PowerPoint - Aktyvaus mokymosi metodai teisinio ugdymo paskaitose.pptx AKTYVAUS MOKYMOSI METODAI TEISINIO UGDYMO PASKAITOSE DOC. DR. ROMAS PRAKAPAS EDUKOLOGIJOS KATEDRA KOKYBĖ KAIP ŠIANDIENOS AKTUALIJA Mokslo ir studijų sistema orientuojama į kūrybingos, išsilavinusios, orios,

Detaliau

Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1

Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1 Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1 TURINYS 1. Gręžimas lankstams: 1.1 2-iejų skylių gręžimas durelėms 80mm atstumu...3 1.2 2-iejų skylių gręžimas durelėms 100mm atstumu...5

Detaliau

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS PANEVĖŽIO INSTITUTAS TECHNOLOGIJŲ FAKULTETAS Gailius Vanagas ELEKTROSTATINIŲ KRŪVIŲ ANT DIELEKTRINIŲ PAVIRŠIŲ POVEIKIS ELEKTRONŲ PLUOŠTUI Elektros inžinerijos magistro

Detaliau

Šypsokitės lyjant lietui Stoglatakių ir lietvamzdžių sistema Galeco PVC

Šypsokitės lyjant lietui Stoglatakių ir lietvamzdžių sistema Galeco PVC Šypsokitės lyjant lietui Stoglatakių ir lietvamzdžių sistema Galeco PVC www.galeco.info Stoglatakių ir lietvamzdžių sistema Galeco PVC Naujos kokybės stoglatakiai ir lietvamzdžiai, kuriems gaminti taikoma

Detaliau

Krasta Auto Vilnius Pasiūlymo data: Pasiūlymo nr.: D MINI Cooper Countryman automobilio pasiūlymas Kaina (įskaitant PVM 21%) EUR Baz

Krasta Auto Vilnius Pasiūlymo data: Pasiūlymo nr.: D MINI Cooper Countryman automobilio pasiūlymas Kaina (įskaitant PVM 21%) EUR Baz Krasta Auto Vilnius Pasiūlymo data: 2019-04-12 Pasiūlymo nr.: D-225496 MINI Cooper Countryman automobilio pasiūlymas Kaina (įskaitant PVM 21%) Bazinė automobilio kaina 29 889,99 Papildomų priedų kaina

Detaliau

Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį

Neiškiliojo optimizavimo  algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį. Albertas Gimbutas 2018 m. birželio 19 d. Vadovas: Prof. habil. dr. Antanas

Detaliau

edupro.lt Ežero g Šiauliai Tel./faksas: (8 41) Mob VšĮ EDUKACINIAI PROJEKTAI įkurta 2010 metais, siekiant skatinti, pl

edupro.lt Ežero g Šiauliai Tel./faksas: (8 41) Mob VšĮ EDUKACINIAI PROJEKTAI įkurta 2010 metais, siekiant skatinti, pl edupro.lt Ežero g. 8-1 77141 Šiauliai Tel./faksas: (8 41) 552 469 Mob. 8 647 43544 VšĮ EDUKACINIAI PROJEKTAI įkurta 2010 metais, siekiant skatinti, plėtoti ir įgyvendinti mokymosi visą gyvenimą programos

Detaliau

Microsoft PowerPoint - PREZENTACIJA 05-04_KAUET [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - PREZENTACIJA 05-04_KAUET [Compatibility Mode] Daugiaaukštės lengvųjų automobilių saugyklos Sukilėlių pr. 19 b projektiniai pasiūlymai Bendri duomenys Uždaroji akcinė bendrovė EKSPLOIT Lietuvos sveikatos mokslų universiteto ligoninės Kauno klinikos

Detaliau

Statytojo (užsakovo) pavadinimas UAB "XXT", į.k.: Saltoniškių g. 7, Vilnius Tel.: ; e. paštas:

Statytojo (užsakovo) pavadinimas UAB XXT, į.k.: Saltoniškių g. 7, Vilnius Tel.: ; e. paštas: Statytojo (užsakovo) pavadinimas U "XXT", į.k.: 044704 Dokumentą rengusio genprojektuotojo pavadinimas (atest. Nr. 596) į.k. 0059759 Tauro g., 04 Vilnius, Tel.: 85 075, e - paštas.: Dokumentą rengusio

Detaliau

ECB rekomendacinio dokumento bankams apie neveiksnias paskolas priedas: prudencinis atidėjinių neveiksnioms pozicijoms dengti minimumas

ECB rekomendacinio dokumento bankams apie neveiksnias paskolas priedas: prudencinis atidėjinių neveiksnioms pozicijoms dengti minimumas ECB rekomendacinio dokumento bankams apie neveiksnias paskolas priedas: prudencinis atidėjinių neveiksnioms pozicijoms dengti minimumas 2017 m. spalio mėn. Turinys 1 Įvadas 2 2 Bendra koncepcija 3 2.1

Detaliau

PRIEINAMAS TURIZMAS-TURIZMAS VISIEMS UNIVERSALUS DIZAINAS: TEORIJA IR PRAKTIKA

PRIEINAMAS TURIZMAS-TURIZMAS VISIEMS  UNIVERSALUS DIZAINAS: TEORIJA IR PRAKTIKA PRIEINAMAS TURIZMAS-TURIZMAS VISIEMS UNIVERSALUS DIZAINAS: TEORIJA IR PRAKTIKA RAMUNĖ STAŠEVIČIŪTĖ ARCHITEKTĖ KU DOCENTĖ 2018.10.18, KLAIPĖDA UNIVERSALUS DIZAINAS TAI TOKS GAMINIŲ IR APLINKOS KŪRIMAS (PROJEKTAVIMAS),

Detaliau

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS ELEKTROS IR ELEKTRONIKOS FAKULTETAS Lukas Jacikas ELEKTROS SKIRSTOMOJO TINKLO ĮŽEMĖJIMO APSAUGŲ MODELIAVIMAS Baigiam

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS ELEKTROS IR ELEKTRONIKOS FAKULTETAS Lukas Jacikas ELEKTROS SKIRSTOMOJO TINKLO ĮŽEMĖJIMO APSAUGŲ MODELIAVIMAS Baigiam KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS ELEKTROS IR ELEKTRONIKOS FAKULTETAS Lukas Jacikas ELEKTROS SKIRSTOMOJO TINKLO ĮŽEMĖJIMO APSAUGŲ MODELIAVIMAS Baigiamasis magistro projektas Vadovas Doc. dr. M. Ažubalis

Detaliau

( ( Pusryčiai Pietūs Vakarienė Patiekalas Amžiaus grupė (1-3 metų vaikai) Amžiaus grupė (4-7 metų vaikai 100 g. Gr. Balt. Angį. Rieb. Kcal. Gr. Balt.

( ( Pusryčiai Pietūs Vakarienė Patiekalas Amžiaus grupė (1-3 metų vaikai) Amžiaus grupė (4-7 metų vaikai 100 g. Gr. Balt. Angį. Rieb. Kcal. Gr. Balt. Pusryčiai Pietūs Patiekalas Amžiaus grupė 1-3 metų vaikai) Amžiaus grupė 4-7 metų vaikai 100 g. Gr. Balt. Angį. Rieb. Kcal. Gr. Balt. Angį. Rieb. Kcal. Gr. Balt. Angį. Rieb. Kcal. Tiršta perlinių kruopų

Detaliau

Europos Sąjungos Taryba Briuselis, 2016 m. spalio 28 d. (OR. en) Tarpinstitucinė byla: 2016/0344 (NLE) 13797/16 ADD 2 PECHE 400 PASIŪLYMAS nuo: gavimo

Europos Sąjungos Taryba Briuselis, 2016 m. spalio 28 d. (OR. en) Tarpinstitucinė byla: 2016/0344 (NLE) 13797/16 ADD 2 PECHE 400 PASIŪLYMAS nuo: gavimo Europos Sąjungos Taryba Briuselis, 2016 m. spalio 28 d. (OR. en) Tarpinstitucinė byla: 2016/0344 (NLE) 13797/16 ADD 2 PECHE 400 PASIŪLYMAS nuo: gavimo data: 2016 m. spalio 27 d. kam: Europos Komisijos

Detaliau