Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu konspektas. Rimantas Grigutis

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu konspektas. Rimantas Grigutis"

Transkriptas

1 Algebra ir geometrija informatikams Paskaitu konspektas Rimantas Grigutis 4 paskaita( 9 8) Determinantai -oje paskaitoje mat_eme, kad sprendziant dvieju tiesiniu lygciu su dviem nezinomaisiais sistemas sprendinius patogu reiksti matricu erminantais Apibendrinsime erminanto savoka didesnio matavimo matricoms, is pradziu apsistodami ties triju tiesiniu lygciu su trimis nezinomaisiais sistemomis Tegu, turime triju tiesiniu lygciu su trimis nezinomaisiais sistema ir atlikime su ja nurodytus veiksmus 8 >< > a x b y c z d j b c 3, b 3 c j c a 3, c 3 a j a b 3, a 3 b a x b y c z d j b 3 c, b c 3 j c 3 a, c a 3 j a 3 b, a b 3 () a 3 x b 3 y c 3 z d 3 j b c, b c j c a, c a j a b, a b Kas kart sud_eje tur_esime x d b c 3 d b 3 c d 3 b c, d b 3 c, d b c 3, d 3 b c a b c 3 a b 3 c a 3 b c, a b 3 c, a b c 3, a 3 b c y a d c 3 a d 3 c a 3 d c, a d 3 c, a d c 3, a 3 d c a b c 3 a b 3 c a 3 b c, a b 3 c, a b c 3, a 3 b c z a b d 3 a b 3 d a 3 b d, a b 3 d, a b d 3, a 3 b d a b c 3 a b 3 c a 3 b c, a b 3 c, a b c 3, a 3 b c Nagrin_ejamos tiesin_es sistemos matrica vadinsime lentele A Sistemos sprendinio vardikli sudaro 6 d_emenys trys teigiami ir trys neigiami Juos galima pavaizduoti ir taip teigiami & & & & & & A A, neigiami % % % % % % A

2 Apibr_ezimas Matricos A A erminantu vadiname israiska a b c 3 a b 3 c a 3 b c, a b 3 c, a b c 3, a 3 b c Tada () sistemos sprendinius galima uzrasyti x d b c d b c d 3 b 3 c 3 ;y a d c a d c a 3 d 3 c 3 ;z a b d a b d a 3 b 3 d 3 Sias formules vadiname ramer'io formul_emis Suprantama, sistema () turi sprendini, kai A 6 Taigi a a a a, a a a a a a 3 a 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 A a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a a 3,a 3 a a 3,a a a 33, Apibendrinkime tai n-osios eil_es kvadratin_ems matricoms a a n a n a nn A X (i ;;in) a i a i a nin ; () a a n a n a nn A

3 cia sumuojama pagal visus aib_es f; ; ; ng k_elinius (i ;i ; ; i n ) Prisiminkime, kad tokiu k_eliniu yra n Parasykime -osios ir 3-iosios eil_es erminantu israiskose esanciu d_emenu antruju indeksu lenteles a a matricai a a matricai a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 su zenklu su zenklu - (; ) (; ) A su zenklu su zenklu - (; ; 3) (3; ; ) (; 3; ) (; ; 3) (3; ; ) (; 3; ) Matome, kad pus_e d_emenu yra teigiamu, o pus_e - neigiamu Patikslinsime erminanto israiskoje () esanciu d_emenu zenklus Apibr_ezimas K_elinio (i ;i ; ; i n ) inversija vadinsime tokia skaiciu pora fi s ;i r g ; i s 6 i r n; kad i s >i r ; bet s<r; ty desin_eje k_elinyje esantis skaicius i s yra mazesnis uz kair_eje esani i r Matricos erminanto israiskoje () d_emuo a i a i a nin bus su zenklu ""; jei k_elinyje (i ;i ; ; i n ) yra lyginis inversijuskaicius ir su zenklu "-", jei - nelyginis Jeigu k_elinyje (i ;i ; ; i n ) esanciu inversiju skaiciu pazym_esime inv(i ;i ; ; i n ) ; tai gausime patikslinta () formule a a n a n a nn A X (i ;;in) (,) inv(i ;i ;;in) a i a i a nin ; ( ) cia sumuojama pagal visus aib_es f; ; ; ng k_elinius (i ;i ; ; i n ) 3

4 A (i; j), minoru a a n Apibr_ezimas Kvadratin_es matricos A a n a nn vadinsime matricos, gautos isbraukus matricoje Ai, aja eilute irj, aji stulpeli, erminanta zym_esime M i;j (A) ; arba tiesiog M i;j Teiginys Tegu A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 A Tada teisinga A a M, a M a 3 M 3 Irodymas a M, a M a 3 M 3 a a a 3 a 3 a 33, a a a 3 a 3 a 33 a 3 a a a 3 a 3 a (a a 33, a 3 a 3 ),a (a a 33, a 3 a 3 )a 3 (a a 3, a a 3 ) a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a a 3, a 3 a a 3, a a a 33, a a 3 a 3 A Irodyta Si teigini galima apibendrinti Teiginys-apibr_ezimas Tegu A a a n a n a nn A Tada teisinga A a M, a M (,) n a n M n Daznai teiginyje esancia lygybe ir vadina matricos A erminantu Galima apibendrinti teiginyje-apibr_ezime esancia formule Teorema Su visais i ; ; ; n turime erminanto skleidimo i, aja eilute formule A nx j (,) ij a i;j M i;j Su visais j ; ; ; n turime erminanto skleidimo j, uoju stulpeliu formule 4

5 A nx i (,) ij a i;j M i;j Is teiginio-apibr_ezimo tiesiogiai turime svarbias erminanto savybes D Jeigu matricos kuris nors stulpelis yra nulinis, tai tos matricos erminantas yra lygus D Tegu A D3 Tegu A a a n a n a nn a a n a n a nn A vadi- a a n D4 Tegu A a n a nn name transponuota matrica Tada A ir a i;j ; kai i<jtada A a a a nn A ir a i;j ; kai i>jtada A a a a nn A Matrica AT A A T a a n a n a nn D5 Jeigu matricos A du stulpeliai yra lygus, tai A D6 Jeigu matricos A dvi eilut_es yra lygios, tai A D7 Sukeitus du stulpelius arba dvi eilutes vietomis keiciasi erminanto zenklas D8 Determinantas yra tiesin_e funkcija visu eiluciu ir stulpeliu atzvilgiu a a a n a n a a n a a n a nn a n a n a nn a n a nn a a a n a a n a a n a n a n a nn a n a nn a n a nn 5

6 ta ta n a n a nn t a a n a n a nn ta a n a a n t ta n a nn a n a nn D9 Determinantas nesikeis, jei prie kurios nors eilut_es( kurio nors stulpelio) prid_esime kita eilute ( kita stulpeli) galbut padauginta is skaiciaus Pavyzdys Trikampio A (x ;y ) (x ;y ) (x 3 ;y 3 ) plotas yra S 4A Zenklas parenkamas taip, kad S 4A > Turime x y x y x 3 y 3, x y x y x 3 y 3 x y y 3, y x x 3 x y y x, y 3 x x y x 3 y x y x 3 y 3, x y x y 3 x y, y x 3 y 3, y x y x y 3 x y x y x y, y x 3 y 3, y x y, y x y 3, y x y, y x 3 y 3, y x, x y, y x 3, x y 3, y, x 3 y 3 Pavyzdys Ties_es, einancios per taskus A (x ;y )ir (x ;y ) ; lygtis yra x y x y x y 6 (3)

7 Is tikro, turime x y x y x y x y y, y x x y x y x x (y, y ), y (x, x )(x y, x y ) Matome, kad (3) yra ties_es lygtis cia a y y x Si ties_e eina per taskus A ir, nes ax by c ; ;b, x ;c x y x y x y x y x y x y x y x y Paskutiniji pavyzdi galima apibendrinti trimaciai erdvei Pavyzdys 3 Tegu turime tris nekomplanarius erdv_es taskus A (x ;y ;z ) ; (x ;y ;z ) ;(x 3 ;y 3 ;z 3 ) Tada lygtis x y z x y z x y z x 3 y 3 z 3 (4) yra plokstumos,einancios per taskus A; ; ; lygtis cia a y z y z y 3 z 3 ;b, ax by cz d ; x z x z x 3 z 3 ;c x y x y x 3 y 3 ;d x y z x y z x 3 y 3 z 3 V_eliau matysime, kad axby cz d yra bendroji plokstumos lygtis,jeigu tik ne visi a; b; c yra lygus Pasteb_esime, kad a; b; c yra trikampio A projekciju koordinatin_ese plokstumose yz; xz; xy plotai Tai galima irodyti ir tiesiogiai Tai, kad plokstuma (4) eina per taskus A; ; galima isitikinti tiesiogiai 7

8 x y z x y z x y z x 3 y 3 z 3 x y z x y z x y z x 3 y 3 z 3 Pavyzdys 4( Vandermondo erminantas) x x x 3 x x x 3 Y i<j3 x 3 y 3 z 3 x y z x y z x 3 y 3 z 3 (x j, x i )(x, x )(x 3, x )(x 3, x ) Atimkime is -ojo ir 3-ojo stulpeliu -aji ir poto isskleiskime erminanta - aja eilute x x x 3 x x x 3 x, x x 3, x x, x x, 3 x (x, x )(x 3, x ) x x, x x 3, x x x, x x, 3 x x, x x 3, x (x, x )(x x ) (x 3, x )(x 3 x ) x x x 3 x (x, x )(x 3, x )(x 3, x ) 8