5.3 TNL sistemos kaip selektyvûs daþniø filtrai

Transkriptas

1 7. Saitmeiiai filtrai 7.1. Tiesiės eitačios laie sistemos, aip seletyvieji dažių filtrai TNL sistema paeičia įėjimo sigalo spetrą X (ϖ ) pagal jos dažię reaciją H (ϖ ), ir gauamas išėjimo sigalas su spetru Y ( ϖ ) = H ( ϖ ) X ( ϖ ). Vadiasi, H (ϖ ) veiia aip spetro pavidalo eitimo fucija. Taigi ievieą TNL sistemą galima vertiti aip dažių filtrą. Mes vartojame termią filtras apibūditi TNL sistemą, uri taioma, albat apie spetro pavidalo paeitimą. Daugeliu pratiių atvejų mums reiia atsirti sigalus, urie turi epersilojačius spetrus, esat apribojimui, ad mus domiatys sigalai būtų filtrų eišraipyti. Nagriėime sigalą x () su dažiais juostoje ϖ 1 < ϖ < ϖ 2. X (ϖ ) yra ribotos juostos sigalas, es X ( ϖ) = 0, ϖ ϖ ϖ ϖ. Sayime, ad šis sigalas yra filtruotas filtru, urio dažiė reacija 2, Ce, ϖ1 < ϖ < ϖ 2 H ( ϖ) =, (2.78) 0, itais atvejais ur C yra teigiama ostata. Sigalo filtro išėjime y () spetras 1 ( ϖ ) = X ( ϖ ) H ( ϖ ) = CX ( ϖ ) e, ϖ1 < ϖ < ϖ 2 Y. (2.79) Prisimisime, ad Furjė trasformacijos laio postūmio savybė yra F jϖ x ) X ( ϖ ) e (. (2.80) Palygię šią prilausomybę su (2.79), matome, ad filtro išėjimas yra 96

2 y( ) = Cx( ). (2.81) Mes matome, ad filtro išėjime yra tas pats įėjimo sigalas x (), titai pavėlavęs ir su paitusia amplitude. Gryas pavėliimas ir amplitudės paeitimas yra elaiomi sigalo išraipymu. Taigi filtras, apibūdiamas dažie reacija (2.78), yra vadiamas idealiuoju juostiiu filtru. Jo modulis yra pastovus pralaidumo juostoje H ( ϖ ) = C, ϖ1 < ϖ < ϖ 2 ir fazė yra tiesiė dažio fucija θ ( ϖ ) = ϖ. Bet os tiesiio filtro dažiės reacijos urypimas uo idealiojo filtro dažiės reacijos išraipo sigalą. Jei filtro modulio reacija prilauso uo dažio sigalo dažių juostoje, atsirada sigalo amplitudės išraipymai. Jeigu sigalo dažių juostoje filtro faziė charateristia yra etiesiė, atsirada sigalo fazės išraipymai. Fazės išvestiė pagal dažį apibrėžia sigalo vėlavimą aip dažio fuciją d Θ( ϖ ) τ ( ϖ ) =. (2.82) dϖ Tiesiės fazės filtrui vėliimas yra ostata, ir tai eprilauso uo dažio. Filtras, uris išraipo fazę, turi prilausatį uo dažio vėliimą. Jei vėliimas yra epastovus mus domiačiame dažių diapazoe, sigale atsirada vėliimo išraipymai. Šie išraipymai yra sioimai faziiams išraipymams. Filtrai yra lasifiuojami pagal jų dažiės reacijos charateristias. Idealiojo žemųjų dažių filtro dažiė reacija yra Ce, ϖ ϖ H ( ϖ) =, (2.83) 0, itais atvejais 97

3 ur ϖ yra vadiamas upjovimo dažiu. Idealusis auštųjų dažių filtras yra apibrėžiamas aip turitis dažię reaciją Ce, ϖ ϖ H ( ϖ) =. (2.84) 0, itais atvejais Idealiojo juostos epraleidžiačio filtro dažiė reacija yra Ce, ϖ ϖ1irϖ ϖ 2 H ( ϖ ) =. (2.85) 0, ϖ1 < ϖ < ϖ 2 Paagriėime lausimą, ar įmaoma pratišai suurti idealųjį filtrą. Tam tislui paagriėime idealųjį žemųjų dažių filtrą 1, ϖ ϖ H ( ϖ ) =. (2.86) 0, ϖ < ϖ < π Šio filtro impulsiė reacija yra ϖ, = 0 π h( ) =. (2.87) ϖ siϖ, 0 π ϖ Iš impulsiės reacijos (2.87) matome, ad šis filtras yra epriežastiis ir, vadiasi, egali būti suurtas pratioje. Be to, h() ėra absoliučiai sumuojama, taigi filtras yra estabilus. Jei impulsiė reacija pavėliama 0 imčių, idealusis žemųjų dažių filtras turi tiesię fazę h( 0 ) F H ( ϖ ) e 0, (2.88) 98

4 tačiau su joia baigtie vėliimo reišme 0 filtras ebus priežastiis. Idealusis žemųjų dažių filtras yra fizišai erealizuojamas. Mes galime įvesti impulsiei reacijai h () didelį pavėliimą 0 ir prilygiti h ( ) = 0, ai < 0. Tačiau gauta sistema jau ebeturi idealios dažiės reacijos. Šios išvados tia visiems itiems idealiesiems filtrams, visi jie yra fizišai erealizuojami. Į lausimą, oias sąlygas turi teiti H (ϖ ), ad filtras būtų fizišai realizuojamas, atsao Paley ir Vierio teorema. Paley ir Vierio teorema. Jei h() turi baigtię eergiją ir h()=0, ai <0, tai π π l H( ϖ ) dϖ <. (2.89) Kita vertus, jei H( ϖ ) itegravimas yra vadratišasis ir itegralas (2.89) baigtiis, tai fazię reaciją Θ( ϖ ) galima susieti su H( ϖ ) taip, ad gautasis filtras, urio dažiė reacija yra būtų priežastiis. H( ϖ) = H( ϖ ) e j 99 Θ( ϖ ) Iš šios teoremos galime padaryti išvadą, ad H (ϖ ) gali būti lygi uliui bet oiuose tašuose, bet ji egali būti lygi uliui baigtiėje dažių juostoje, adagi tuo atveju itegralas (2.89) tampa begaliis. Nagriėime TNL sistemą, aprašomą sirtumie lygtimi N M y ) = a y( ) + b x( ) = 1 = 0 (. (2.90),

5 Ši sistema yra priežastiė ir fizišai realizuojama. Šios sistemos dažiė reacija yra M b e = 0 H ( ϖ ) =. (2.91) N 1 + a e = 1 Pagridiė saitmeiių filtrų projetavimo problema yra idealios dažiės reacijos aprosimavimas (2.90) sistema, uri turi dažię reaciją (2.91). Vadiasi, mūsų tislas yra tiamai pariti oeficietus a } ir b }. { { Neidealūs seletyvieji dažių filtrai. Kaip matėme, idealieji filtrai yra epriežastiiai, vadiasi, fizišai erealizuojami. Kai filtras yra priežastiis, tai dažiė reacija H (ϖ ) bet urioje dažių juostoje egali būti lygi uliui, išsyrus baigtiį dažių saičių. Be to, H (ϖ ) egali turėti be galo aštrų upjovimą ties pralaidumo ir slopiimo juostų riba, t. y. egali risti uo vieeto ii ulio šuoliu. Jeigu orime suprojetuoti fizišai realizuojamą filtrą, turime susilpiti šias sąlygas. Taigi ereiia reialauti, ad modulis H (ϖ ) būtų pastovus visoje pralaidumo juostoje. Paprastai galima leisti, ad pralaidumo juostoje būtų edidelis modulio reacijos bagavimas. Taip pat ėra būtia, ad slopiimo juostoje modulio reacija būtų lygi uliui. Maža, elygi uliui modulio reacijos reišmė arba edidelis bagavimas slopiimo juostoje taip pat paprastai yra leistii. Dažiės reacijos perėjimas uo pralaidumo juostos prie slopiimo juostos usao pereiamąją juostą, aip parodyta 7.1 pav. Šios juostos raštiis dažis ϖ p apibrėžia pralaidumo juostos raštą. Dažis ϖ s žymi slopiimo juostos pradžią. Pereiamosios juostos plotis yra ϖ s ϖ p. Pralaidumo juostos plotis vadiamas filtro juostos pločiu. Jeigu filtro pralaidumo juostoje yra bagavimas, jo reišmė žymima δ 1, o modulio H (ϖ ) itimo ribos yra 1 ± δ1. 100

6 Bagavimas filtro slopiimo juostoje žymimas δ 2. Kad būtų galima patogiau atvaizduoti filtro modulio reaciją H (ϖ ) grafišai, dažai audojama logaritmiė salė, t. y. saičiuojama fucija 20log H ( ϖ ), uri matuojama decibelais (db). Bagavimas pralaidumo juostoje yra 20log 10 δ 1 decibelų. 7.1 pav. Fizišai realizuojamo žemųjų dažių filtro modulio charateristios Projetuodami filtrą mes galime pasiriti: 1) masimalų leistią bagavimą pralaidumo juostoje δ 1; 2) masimalų leistią bagavimą slopiimo juostoje δ 2 ; 3) pralaidumo juostos raštiį dažį ϖ p ; 4) slopiimo juostos raštiį dažį ϖ s. Remdamiesi šiais parametrais, mes galime pariti sirtumiės lygties (2.90) parametrus { a } ir { b }, urie geriausiai atitia pasiritus filtro parametrus. 101