PS_riba_tolydumas.dvi

Transkriptas

1 Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos trūkiai Tolydžiųjų funkcijų savybės 1

2 Pavyzdys f(x) = x2 + x 2, x 1 x 1 Apskaičiuokime kelias funkcijos reikšmes, kai x 1 (skaitome x artėja prie a): x f(x) x f(x) Ribos žymėjimas x 1 x 2 + x 2 x 1 = 3. f(x) = A. x a 2

3 Apibrėžimas. Skaičius A vadinamas funkcijos funkcijos f riba, kai x a, jeigu kiekvienam intervalui(a ε, A+ ε) (ε bet kuris (mažas) teigiamas skaičius) egzistuoja toks intevalas (a δ, a+δ) (δ = δ(ε) kažkoks (priklausomas nuo ε) teigiamas skaičius), kad visiems x (a δ, a+δ), x a galioja nelygybė f(x) A < ε. 3

4 Matematiniai žymenys bet kuris, kiekvienas, visi egzistuoja, yra, gaa rasti ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x (a δ, a) (a, a + δ) A f(x) < ε. Įrodymas f(x) 3 = x 2 + x 1 x 1 (x 1)(x + 2) x = (x + 2) 3 = x 1 < ε δ(ε) = ε = 4

5 Pavyzdys x 2 x 2 x 2 x 2 = 1 3. x 2 (x 2)(x + 1) 1 3 = 1 x < ε Jei x 2 < 1, t. y. 1 < x < 3, gae paimti δ(ε) = 2ε. Paimkime ε = 0.005, tada, esant visiems x (1.99,2.01), gausime 1 x < = , =

6 Nykstamosios funkcijos Apibrėžimas. Funkcija f vadinama nykstamąja, kai x a, jei f(x) = 0. x a Nykstamųjų funkcijų pavyzdžiai y = x x, x 1 y = ln x, x 1 y = sin x, x 0 y = x 2 x + 1, x 2 6

7 Funkcijos riba, kai x + f(x) = A x + ε > 0 = (ε) > 0 : ( x > ) f(x) A < ε Pavyzdžiai x + 1 x = 0 x + x + 2 x = 0 x + 1 x + 2 = 1 7

8 Skaičių sekos riba a n = f(n), n N A = n a n ε > 0 n ε N : ( n n ε ) A a n < ε 8

9 Pavyzdys Begalinės geometrinės progresijos narių suma S n = n k=0 1 2 k = n S = n S n S n = n , S 1 = 3 2, S 2 = 7 4 n S n = n n = = 2 Bendruoju atveju S n = a(1 qn ) 1 q = a 1 q a 1 q qn 9

10 Neaprėžtai didėjančios funkcijos Apibrėžimas. Funkcija f vadinama neaprėžtai didėjančia, kai x a, jei Rašome > 0 δ = δ( ) > 0 : ( x (a δ, a + δ) \ {a}) f(x) > Pavyzdžiai f(x) = + x a x + x3 = + x 1 x 0 x x 1 = + ln(x 2 ) = + 10

11 Teorema. Funkcija f yra nykstamoji, kai x a, tada ir tik tada, kai funkcija f 1 yra neaprėžtai didėjanti: x a f(x) = 0 x a 1 f(x) = + Tarkime, kad δ > ir funkcija f apibrėžta intervale x (a δ, a + δ). Apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta, jei egzistuoja tokia teigiama konstanta M, kad x (a δ, a + δ) f(x) M. Aprėžtųjų funkcijų pavyzdžiai: x (,+ ) cos x 1 x (,+ ) arctgx π 2 x (1,2) e x 9 11

12 Tarkime, kad funkcija f yra neaprėžtai didėjanti, kai x a. Tada δ > 0 ji nėra aprėžta intervale (a δ, a + δ). Atvirkštinis teiginys nėra teisingas: Jei funkcija nėra aprėžta, ji nebūtinai yra neaprėžtai didejanti. Pavyzdys y = xsin x, x + Paimkime reikšmes x n = πn ir gausime y(x n ) = 0, nors x n + : 12

13 Ribų savybės 1. x a f(x) = A & x a f(x) = B A = B. 2. f(x) = C const x a f(x) = C. 3. f(x) = A & g(x) = B x a x a x a (f(x) ± g(x)) = A ± B. 4. f(x) = A & g(x) = B x a x a x a (f(x) g(x)) = A B. 5. f(x) = A & g(x) = B 0 x a x a f(x) g(x) = B A. x a 13

14 Pavyzdžiai x 1 x 2 + x 1 x + 1 = x 1 x2 + x 1 x 1 x 1 x + 1 = x 1 x = 1 2 x 1 x 2 + x 1 x + 1 = ( 1) = = Neaprėžtai didėjančioji funkcija 14

15 Neapibrėžtumai α(x) = 0, x a x a β(x) = 0 x a α(x) β(x) = ( ) 0 0 α(x) = +, β(x) = + x a x a x a α(x) β(x) = ( )

16 Pavyzdys x + ( x 2 + 2x + 3 x 2 2x ) = x + ( ( ) = ( x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x x 2 + 2x x 2 2x x 2 2x x 2 2x ) = ) x + 4x + 3 x 2 + 2x x 2 2x = x x x + 3 x x = = 2 16

17 Pagrindinės ribos x a sin x x = 1 ( x = e = x + x) Pavyzdžiai x 0 x tgx = x 0 xcos x sin x = cos x x 0 x 0 x sin x = 1 ( ( x ( = 1 + x + 2x) 1 ) )1 2x 2 = e x + 2x 17

18 Nuolat skaičiuojamų palūkanų formulė Banko nominalioji metinė palūkanų norma yra r, palūkanos konvertuojamos m kartų per metus; per t metų nuo P [Lt] bus sukaupta S = P ( 1 + r m) mt. Taigi kai palūkanos konvertuojamos kartą per mėnesį: S = P ( ( 1 + r 12 ) 12 ) t = P ( 1 + r 12 )12 r rt. 18

19 Kai palūkanos konvertuojamos kievieną savaitę (52 kartus per metus): S = P ( ( 1 + r 52 ) 52 ) t = P ( 1 + r 52 )52 r rt. Kiekvieną dieną: ( ( S = P 1 + r ) ) 365 t = P 365 ( 1 + r 365 )365 r rt. Kiekvieną valandą ( = 8760): S = P ( ( 1 + r Nuolat (m ): 8760 S = P m ) 8760 ) t = P ( ( 1 + r m ( 1 + r 8760 )m r ) rt = Pe rt. )8760 r rt. 19

20 Skaičiavimai P = 1000[Lt], r = 10%= 0.1 ( S = P 1 + m) r m. palūkanų konvertavimų skaičius m sukaupta per metus suma S = e 0.1 =

21 Vienpusės ribos Pakeiskime ribos apibrėžimo sąlygą: ε > 0 δ(ε) (0 < x a < δ(ε)) f(x) A < ε. Tada sakome, kad skaičius A yra funkcijos f(x) riba iš dešinės ir rašome A + = x a+0 f(x). Pratimas Apibrėžkite funkcijos ribą iš kairės A = x a 0 f(x). Teorema Funkcijos riba A = f(x), egzistuoja tada ir tik tada, x a kai egzistuoja ir lygios jos vienpusės ribos iš kairės ir iš dešinės: A = A + = A. Tačiau gali egzistuoti A + A ir tada riba x a f(x) neegzistuoja. 21

22 Funkcijos tolydumas Funkcija f(x) vadinama tolydžiąja taške x = a, kai f(x) = f(a). x a Atkreipkime dėmesį, kad skaičiuojant ribą taške x = a, funkcijos reikšmė f(a) nereikalinga. Taigi tolydžiosios funkcijos reikšmė lygi jos ribai. Pavyzdys Funkcija f(x) = sin x x taške x = 0 neapibrėžta. Funkcija f(x) = tolydi taške x = 0. { sin x x, kai x 0 1, kai x = 0 22

23 Funkcijos trūkiai Funkcija f(x) = { sin x x, kai x 0 1 2, kai x = 0 nėra tolydi taške x = 0 ir turi šiame taške trūkį. Tokio pavidalo trūkis (riba x a f(x) egzistuoja, bet nelygi f(a)) vadinamas pašalinamuoju. Kai x a f(x) neegzistuoja gai du atvejai: 1) pirmosios rūšies trūkis: egzistuoja abi baigtinės vienpusės ribos A + = f(x), x a+0 A = f(x), bet x a 0 A + A ; 2) antrosios rūšies trūkis: neegzistuoja viena arba abi vienpusės ribos A + = f(x), x a+0 A = f(x). x a 0 23

24 Pavydžiai Funkcija sign(x) = 1, kai x < 0 0, kai x = 0 1, kai x > 0 turi taške x = 0 pirmosios rūšies trūkį. Funkcija f(x) = { 1 x2, kai x 0 0, kai x = 0 turi taške x = 0 antrosios rūšies trūkį. 24

25 Tolydžiųjų funkcijų savybės Pažymėkime x = x a, y = f(a+ x) f(a) = f(x) f(a) ir vadinsime argumento x ir funkcijos y = f(x) pokyčiais taške x = a. Funkcija y = f(x) yra tolydi taške x = a tada ir tik tada, kai jos pokytis y yra nykstamoji funkcija, kai x 0. Tolydžiųjų funkcijų suma ir sandauga yra tolydžiosios funkcijos. Tarkime, kad funkcijos f(x), g(x) yra tolydžiosios taške x = a ir g(a) 0. Tada funkcija f(x) yra tolydi taške g(x) x = a. 25

26 Tolydumas intervale Sakome, kad funkcija f(x) yra tolydi intervale (α, β), kai ji tolydi kiekviename taške x (α, β). Pavyzdžiai Funkcijos sin x, cos x tolydžiosios, kai x (, + ). Funkcija ln x tolydi, kai x (0,+ ). Funkcija tgx tolydi, kai x π 2 + πk,k Z. Visos elementariosios funkcijos yra tolydžiosios ten, kur jos apibrėžtos. 26

27 Pavyzdys Nustatyta tokia, priklausančia nuo įgyjamų prekės vienetų skaičiaus x, didmeninė kaina k[lt] k(x) = 1.12, kai x < , kai 1000 x < , kai x 5000 Paveiksle pavaizduota pajamų funkcija, realizavus x prekės vienetų: 27