MatricosDetermTiesLS.dvi

Transkriptas

1 MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas i,j elemento indeksai pavyzdys ( ) 3 2 π 2 m = 2, n = 3, a = 3, a 2 = 2, a3 =, a 2 =, a 2 22 = π, a 23 =... Transponuota matrica transponavimo operacija A = a ij m n,a T = a ji n m pavyzdys ( ) T = 2 π π 2 m = matrica eilutė (a a 2a n ) a n = matrica stulpelis a 2 (α β γ) T = (A T ) T = A α β γ, α β γ a m T = (α β γ)

2 MATRICOS 2..2 Kvadratinė matrica m = n kvadratinė matrica (n-tosios eilės) a a 2... a,n a n a 2 a a 2,n a 2n a n, a n,2... a n,n a n,n a n a n2... a n,n a nn a,a 22,...,a nn kvadratinės matricos pagrindinė įstrižainė a n,a 2,n,...,a n kvadratinės matricos šalutinė įstrižainė A( - kvadratinė ) ir A T = A simetrinė matrica; 2 simetrinė matrica; antisimetrinė matrica a ij = a ji, foralli j Operacijos su matricomis.2. Matricų sudėtis Matricų A = a ij m n ir B = b ij m n sudėtis A+B = a ij +b ij ( ) ( ) ( ) m n = π 8 2 π Matricų sudėties savybės: komutatyvumas A+B = B +A asociatyvumas (A+B)+C = A+(B +C) Neutralusis elementas nulinė matrica O = A+O = O+A = A, A

3 MATRICOS Matricos daugyba iš skaičiaus λ A = λa ij ( m n ) ( ) = π 5 5π 2 2 asociatyvumas λ (µa) = (λµ) A distributyvumas: ) λ(a+b) = λa+λb 2) (λ+µ)a = λa+µa Matricų skirtumas: A B = A+( ) B.2.3 Matricų sandauga a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn b b 2 b k b 2 b 22 b 2k b n b b2 b nk c ij = n a is b sj, i =,2,...,m, j =,2,...,n s= ( ) = ( 7 4 ) = Neutralusis elementas vienetinėmatrica ( ) E 2 =, E 3 = {, kai i = j E n = e ij n n, e ij = δ ij =, kai i j δ ij Kronekerio simbolis ( A E n = E n A = A, A n-tosios eilės kvadratinė matrica = c ij m k Matricų daugyba nėra komutatyvi: bendru atveju A B B A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, = )

4 MATRICOS 4 Matricų daugybos asociatyvumas: A(B C) = (A B) C, A k = A AA }{{} k kartų distributyvumas: ) (A+B) C = AC +BC 2) A (B +C) = AB +AC Sandaugos transponuota matrica (A B) T = B T A T.

5 2 DETERMINANTAI 5 2 Determinantai 2. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai 2.. Antrosios eilės determinantas a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a = = 4 2 = Trečiosios eilės determinantas a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a = = =

6 2 DETERMINANTAI Perstatos Persatata vadinama aibės {,2,...,n} bijekcija f (abipus vienareikšmis atvaizdis) į save. T.y. perstatą galima apibrėžti lentele ( ) 2 n f = f() f(2) f(n) Čia f(j) {,2,...,n}. Tą pačią perstatą f galima užrašyti n! skirtingais būdais, sukeitus vietomis lentelės stulpelius ( ) ( ) ( ) = = Kai pirmoje lentelės eilutėje yra kėlinys,2,...,n lentelė yra vadinamas keitinio standartine išraiška Perstatų transpozicijos Dviejų perstatų (f(),f(2),...,f(n)) elementų f(i) ir f(j) sukeitimas vietomis vadinamas jų transpozicija. Bet kurį kėlinį (j,j 2,...,j n ) galima gauti iš bet kurio kito tų pačių elementų {,2,...,n} kėlinio (i,i 2,...,i n ), atlikus baigtinį skaičių transpozicijų. Pavyzdžiui, Kėlinių inversijos (,2,3,4,5) (5,2,3,4,) (5,4,3,2,) Skaičiai f(i) ir f(j) sudaro kėlinio (f(),f(2),...,f(n)) inversiją (netvarką), jei f(i) > f(j) ir i < j. Pavyzdžiui, kėlinio (,2,3,5,4) inversiją sudaro skaičiai 5 ir 4. Kitų inversijų šis kėlinys neturi. Kėlinys (, 3, 5, 2, 4) turi tris inversijas: (3,2), (5,2), (5,4). Kėlinys, turintis lyginį (nelyginį) inversijų skaičių, vadinamas lyginiu (nelyginiu). Teiginys. Atlikus vieną kėlinio transpoziją, iš lyginio kėlinio gausime nelyginį ir atvirkščiai. Įrodymas. Kai skaičiai i ir j yra gretimi, sukeitus juos vietomis gausime

7 2 DETERMINANTAI 7 arba panaikinsime vieną inversiją. Taigi šiuo atveju teiginys yra teisingas. Tarkime, kad turime (...,i,k,k 2,...,k s,j,...). Tada atliekant 2s+ transpozicijų tik su gretimais elementais, gausime kėlinį(...,j,k,k 2,...,k s,i,...). Kadangi 2s + yra nelyginis skaičius, kėlinio lyginumas pasikeis. Pavyzdys (,3,5,2,4) (,3,5,4,2). Buvo trys inversijos, dabar yra keturios: (3,2), (5,2), (5,4), (4,2). Iš n elementų {,2,...,n} galima sudaryti n! 2 kėlinių. lyginių ir tiek pat nelyginių Perstatų lyginumas Keitinys vadinamas lyginiu (nelyginiu), kai jo eilučių inversijų suma yra lyginė (nelyginė). ( ) Perstatos pirmoji eilutė inversijų neturi, o antroji turi tris (2,), (3,), (4,). Taigi ( ši perstata yra ) nelyginė: +3 = 3. Ta pati perstata, užrašyta tokiu būdu irgi yra nelyginė: = 5. Jei ji ( 3 2 ) išreikšta taip, eilučių inversijų suma yra 3+2 = Perstatos f eilučių inversijų sumą žymėsime I(f). 2.3 n-tosios eilės determinantai n-tosios eilės kvadratinės matricos A = a ij n n determinantu (žymėsime det A arba A ) vadinamas skaičius d = ( ) I(j,j 2,...,j n) a j a 2j2 a njn (j,j 2,...,j n) Sandaugos a j a 2j2 a njn yra vadinamos determinanto nariais. ( ) Kain = turime tik vieną keitinį, kurio antroji eilutė inversijų neturi.

8 2 DETERMINANTAI 8 Todėl det(a ) = ( ) a = a. T. y. skaičiaus determinantas yra pats skaičius. ( ) ( ) 2 2 Kain = 2 turime du skirtingus keitinius, ir determinanto 2 2 a a 2 a 2 a 22 nariai a a 22, a 2 a 2 įeina į sumą su pliusu ir minusu atitinkamai. a a 2 a 3 a 4 Ketvirtosios eilės determinantas a 2 a 22 a 23 a 24 a 3 a 32 a 33 a 34 a 4 a 42 a 43 a 44 turi 4! = 24 narius a j a 2j2 a 3j3 a 4j4 ; iš jų 2 įeina į sumą su ženklu (+) ir tiek pat su ( ). Pavyzdžiui, narys a 3 a 24 a 3 a 42 imamas su ženklu "pliusas": ( ) I(3,4,,2) = ( ) 4 = Determinantų savybės. deta T = deta Pastaba. Visos determinanto savybės, kurios galioja eilutėms, galioja ir stulpeliams. 2. Tarkime, kad kvadratinė matrica B gauta iš kvadratinės matricos A, sukeitus vietomis dvi jos eilutes. Tada detb = deta, t. y. šie du determinantai skiriasi tik ženklu. Išvada. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus nuliui. (Turime A = A A = ). a a 2... a n a a 2... a n λa i λa i2... λa in = λ a i a i2... a in a n a n2... a nn a n a n2... a nn Išvada. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, lygus nuliui.

9 2 DETERMINANTAI 9 4. a a 2... a n a () i +a(2) i a () i2 +a(2) i2... a () in +a(2) in = a n a n2... a nn a 2... a n a a 2... a n a a () i a () i2... a () in a n a n2... a nn + a (2) i a (2) i2... a (2) in a n a n2... a nn Išvada. Determinantas nesikeičia, jei prie vienos jo eilutės pridėti kitą jo eilutę Determinanto minorai ir adjunktai Tarkime, kad i i 2 i k n ir j j 2 j k n. Pasirinksime k ( k < n) n-tosios eilės determinanto eilučių i,i 2,...,i k ir k stulpelių: j,j 2,...,j k. Šių eilučių ir stulpelių sankirtoje gausime k-tosios eilės determinantą, kurį vadinsime minoru ir žymėsime M = M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) = a i j a i j 2 a i j k a i2 j a i2 j 2 a i2 j k a ik j a ik j 2 a ik j k Pavyzdys 2 determinanto A = minorai M(,2;,2) = 3, M(,2;2,3) = 2 3 5, M(2,3;,2) = Išbraukus kvadratinės matricosai,i 2,...,i k eilutes beij,j 2,...,j k stulpelius, gausime n k-tosios eilės kvadratinę matricą. Jos determinantą vadinsime minorom papildomuoju minoru ir žymėsimem = M (i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ). Determinanto A minoro M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) adjunktu vadinsime sandauga A M = ( ) i +i i k +j +j j k M (i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k )

10 2 DETERMINANTAI determinanto A = minoro M(,2;,2) = 3 papildomasis minoras M (,2;,2) = 8, adjunktas A M = ( ) = 8. Teorema. Kiekvienos determinanto A sandaugos A M M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) ženklas sutampa su to pačio nario a i j a i 2a 2 j i a n k j i n k j a i2 j 2a ik j k ženklu. Laplaso teorema. Jei pasirinkti k determinanto eilučių ir sudaryti visus galimus k-tosios eilės minorus M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ), tai j j 2 j k n A M M(i,i 2,...,i k ;j,j 2,...,j k ) = deta 2 determinanto A = 3 5 = 24 + ( 2) = antrosios bei trečiosios eilučių minorai bei adjunktai yra M(2,3;,2) = = 2, A(2,3;,2) = ( ) = 2, M(2,3;,3) = = 2, A(2,3;,3) = ( ) ( ) =, M(2,3;2,3) = = 6, A(2,3;2,3) = ( ) =. TaigiA(2,3;,2)M(2,3;,2)+A(2,3;,3)M(2,3;,3)+A(2,3;2,3)M(2,3;2,3)= 2 ( 2)+ ( 2)+ ( 6) = Determinanto skleidimo formulės Paimkime Laplaso teoremoje k =. Tai reiškia pasirinkti kurią nors vieną eilutę (arba sulpelį). Minorai M(i; j) sutampa su determinanto elementais a ij. Jų adjunktus žymėsime A ij. Iš Laplaso teoremos gauname deta = n a ij A ij = j= n a ij A ij i= Šios formulės yra vadinamos determinanto skleidiniais i-tosios eilutės ir j-tojo stulpelio elementais. Pastaba. Jei determinanto skleidimo formulėje paimti kurio nors stulpelio

11 2 DETERMINANTAI (eilutės) elementus ir kito sulpelio (eilutės) adjunktus, suma bus lygi nuliui. Įrodymas. Sudarykime tokį determinantą a a,j b a,j+ a n A j = a 2 a 2,j b 2 a 2,j+ a 2n a n a n,j b n a n,j+ a nn Šis determinantas yra lygus A j = n b i A ij. i= Paimkime vietoje elementų b, b 2,...,b n k-tojo stulpelio (k j elementus. Šis determinantas turės du vienodus stulpelius ir todėl jis lygus nuliui. Taigi n a ij A kj =, i k, j= n a ij A ik =, j k i= Determinantų skaičiavimas. Skleidimo formulės taikymas ( ) ( ) ( ) = +2 ( ) = = 5 2. Deteminanto savybių taikymas Atimkime iš determinanto antrojo stulpelio pirmąjį stulpelį, padaugintą iš 2: 2 D = = Dabar skeidžiame determinantą antrojo stulpelio elementais: D = ( 3) ( ) = 3(6 2) = 2 3. Laplaso teoremos taikymas

12 2 DETERMINANTAI 2 Iš determinanto D = pirmųjų dviejų eilučių elementų galima sudaryti tik vieną nelygų nuliui minorą M = 2 2 = 2. Taigi D = M A M = 2( ) = 2 ( 6 4) = Atvirkštinė matrica Apibrėžimas. A, kad Atvirkštine kvadratinei matricai A vadiname tokią matricą A A = A A = E Kvadratinė matrica gali turėti tik vieną atvirkštinę matricą. Įrodymas. Tarkime, kad A kita atvirkštinė matrica. Tada A = A E = A (AA ) = (A A)A = EA = A. Tarkime, kad deta = A. Tada A = A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 A n A 2n A nn Čia A ij matricos A elementų adjunktai. Jie surašyti taip, kaip transponuotos matricos elementai. Įrodymas išplaukia is Laplaso teoremos. Jei deta = atvirkštinė matrica A neegzistuoja. Lema. det(ab) = detadetb Įrodymas. Tarkime, kad deta = ir A egzistuoja. Tada dete = = detadeta = ir gavome prieštarą. Raskime atvirkštinę matricą matricai 2 3

13 2 DETERMINANTAI 3 A = ( ) + 3 A 2 = ( ) +2 3 A 3 = ( ) Matricinės lygtys 2 3 = 2, = 2, A 2 = ( ) = 6, A 3 = ( ) 3+ 2 = 2, =, A 22 = ( ) = 3, A 32 = ( ) 3+2 =, =, A 23 = ( ) =, A 33 = ( ) =, A A 2 A A A A 3 A A = 2 A 22 A A A A = 3 = A 3 A A 23 A AX = B, X = A T B, XA = B, X = BA T Išspręskime ( matricines ) lygtis ( ) ( ) AX =, YA =, kai A =. ( 2 3 ) 2 ( 3 ) ( 2 ) A = 2 2, X = A 3 = 2 2 3, ( 2 ) 4 ( ) 4 2 Y = A 2 3 = A 33 A

14 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 4 3 Tiesinių lygčių sistemos 3. Apibrėžimai Tiesinių (pirmosios eilės) algebrinių m lygčių sistema su n nežinomaisiais x, x 2,..., x n a x +a 2 x 2 ++a n x n = b, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n = b 2, sistemos matrica A = a m x +a m2 x 2 ++a m2n x n = b m a a 2 a n a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn nežinomųjų matrica stulpelis (vektorius) X =, dešinės pusės koeficentų vektorius (matrica stulpelis) B = sistemos matricinis pavidalas AX = B x x 2 x n x x 2 x n sistema suderintoji turi bent vieną sprendinį sistema sistema apibrėžtoji neapibrėžtoji turi lygiai turi daugiau, vieną sprendinį kaip vieną sprendinį (visada be galo daug) sistema nesuderintoji neturi nė vieno sprendinio 3.2 Sistema su kvadratine matrica n = m, A = a ij n n, D = deta = A.

15 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Atvirkštinės matricos metodas deta, AX = B, X = A B Sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžta), kadangi atvirkštinė matrica yra vienintelė. { x+y = 2 x y = ( ) ( ) ( ) x 2 =, A = y ( ) ( ) ( A = 2 2 x, X = = 2 y 2 2 Taigi x =, y =. ( ) ( ) x, X =, B = y ) ( ) ( ) 2 = Kramerio formulės n A s b s s= n X = A B = A s2 b s A s=, x j = A jb +A 2j b 2 ++A nj b n deta n A sn b s s= a a 2 a,j b a,j+ a n a 2 a 22 a 2,j b 2 a 2,j+ a 2n a n a n2 a n,j b n a n,j+ a nn x j = deta { x+y = 2 = D j D x y = ( ) A =, D = 2, D = 2 = 2, x = D D 2 = 2 = 2, y = D 2 = 2 = D 2 D = 2 2 = ( 2 )

16 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Sistemos elementarieji pertvarkiai Ekvivalenčios sistemos sistemos su tais pačiais kintamaisiais ir turinčios tas pačias sprendinių aibes. { x+y = 2 x y = x+y = 2 x y = 2x = 2 ( sudėtos lygtys ) 2y = 2 ( iš pirmosios lygties atimta antroji ) ) lygčių keitimas vietomis; 2) lygties abiejų pusių dauginimas iš nelygaus nuliui skaičiaus; 3) lygties keitimas jos bei kitos lygties suma. Elementariais pertvarkiais gaunama ekvivalenti sistema. 3.4 Gauso metodas Trapecinė sistema a x +a 2 x 2 ++a r x r ++a n x n = b a 22 x 2 ++a 2r x r ++a 2n x n = b 2 a rr x r ++a rn x n = b r = b r+ = b m Bet kuri tiesinių lygčių sistema yra ekvivelenti tam tikrai trapecinei sistemai.

17 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 7 Kair = m = n turime trapecinės sistemos atskirą atvejį trikampinę sistemą a x +a 2 x 2 +a 3 x 3+a r x r = b a 22 x 2 +a 3 x 3+a 2r x r = b 2 a r,r x r +a r,r x r = b r a rr x r = b r Tarkime, kad a rr. Tada iš paskutinės lygties gauname x r = br a rr. Jei a r,r x r iš priešpaskutinės lygties randame x r = b br r a r,r arr a r,r ir t. t. (Gauso metodo atvirkštinė eiga). Taigi kai visi pagrindinės įstrižainės koeficientai a ii, sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžtoji). Tarkime, kad a rr =. Jei b r sistema neturi sprendinių (nesuderintoji). Taigi jei trapecinėje sistemoje bent vienas koeficientas b r+, b r+2,, b m nelygus nuliui, sistema yra nesuderinta. Tarkime, kad a rr = b r =. Tai atitinka trapecinę sistemą su lygtimis a r,r x r +a r,r x r = b r ir = b r. Tokia sistema gali turėti be galo daug sprendinių (arba visai jų neturi, jei a r,r = a r,r = ir b r ). Gauso metodo idėja elementariais pervarkiais suvesti sistemą prie trikampinės (trapecinės). Gauso metodo pirmas žingsnis (a, priešingu atveju galima sukeisti vietomis lygtis (matricos eilutes)). a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn a a 2 a n a 22 a 2n a m2 a mn a 2j = a a 2j a 2 j a, a 3j = a a 3j a 3 j a,, a mj = a a mj a m j a 2n Gauso metodo antrame žingsnyje nagrinėjame matricą, a m2 a mn kuri turi viena eilute mažiau. Taigi po m žingsnių gausime trapecinę (trikampinę) matricą. a. a 22

18 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Matricos rangas a a n Sudarykime visus matricos A = r-tosios eilės minorus a m a mn a i j a i j 2 a i j r M r = M(i,i 2,,i r ;j,j 2,,j r ) = a i2 j a i2 j 2 a i2 j r. Pastebėkime, a irj a irj 2 a irj r kad r min{m,n}. Nagrinėsime visus nenlygius nuliui minorus M r. Didžiausias skaičius r (minoro eilė) yra vadinamas matricos rangu: rang A = max M r r Matrica A = turi keturis trečiosios eilės minorus. Jie visi yra lygūs nuliui: =, =, = 2 3 4, =. Todėl rang A < 3. Matrica A turi C2 4 C3 4 = 24 antrosios eilės minorus. Kadangi ne visi jie yra lygūs nuliui (pavyzdžiui, M(,;,) = = 4 ), rang A = 2. Matricos A ir B, gaunamos viena iš kitos elementariaisiais pertvarkiais, yra vadinamos ekvivalenčiomis. Žymime A B. Ekvivalenčiųjų matricų rangai yra lygūs. Įrodymas. Jei rang A tai egzistuoja matricos A r-tosios M(i,i 2,,i r ;j,j 2,,j r ), o visi r+-osios (ir aukštesnės) eilės minorai lygūs nuliui. Kadangi bet kuris matricos minoras, atliekant elementarius pertvarkius lieka lygus (arba nelygus, jei toks buvo) nuliui, tai rang B = r. Pastebėkime, kad visus elementarius pervarkius galima atlikti ne tik su matricos eilutėmis (tai atitinka tiesinių lygčių sistemos pertvarkius), bet ir su stulpelius (kadangi determinantas nesikeičia transponuojant matricą). Dar pastebėkime, kad galima šalinti matricos nulines eilutes bei stulpelius.

19 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 9 Bet kuri matrica A, rang A = r yra ekvivalenti r tosios eilės vienetinei matricai: A E r A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.6 Bazinio minoro metodas ( Tarkime, kad tiesinių lygčių sistemos a x +a 2 x 2 ++a n x n = b, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2n x n = b 2, a m x +a m2 x 2 ++a m2n x n = b m ) ( matricos A = a ij m n rang A = r. Tai reiškia, kad egzistuoja r-tosios eilės minoras M r. (Šį minorą vadiname baziniu). Tarkime, kad M(,2,...,r;,2,...,r). (Priešingu atveju galima sukeisti vietomis sistemos lygtis bei pakeisti kintamųjų x, x 2,, x n numerius. Jei r < m sistemoje yra lygčių, kurios gali būti eliminuotos (pašalintos) elementariais pertvarkiais. Todėl paliekame sistemoje r lygčių. (Vėliau parodysime, kad tai padaryti visada galima, jei sistema yra suderintoji). Jei n = r turime sistemą su kvadratine matrica ir det A. Tokia sistema turi vienintelį sprendinį, kurį galima rasti Kramerio metodu. Išnagrinėkime atvejį, kai n > r ir perrašykime sistemą taip: a x +a 2 x 2 ++a r x r = b a,r+ x r+ a n x n, a 2 x +a 22 x 2 ++a 2r x r = b 2 a 2,r+ x r+ a 2n x n, a r x +a r2 x 2 ++a r2n x r = b r a r,r+ x r+ a rn x n Kintamuosius x r+, x r+2,, x n vadiname laisvaisias, o x, x 2,, x r baziniais. Taigi bazinių kintamųjų yra r = rang A, o laisvųjų kintamųjų )

20 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 2 yra n r. Pažymėkime δ j = b j n s=r+ a js x s. Kadangi M r, sistemą sprendžiame, taikydami Kramerio formules x j = a δ a ir M r a r δ r a rr, j =,2,...,r. Skleisdami šiuos determinantus j-tojo stulpelio elementais, gauname bendrojo sprendinio formules: x j = γj +γr+ j x r+ ++γj n x n, j =,2,...,r. Čia γj i, i = r +,r +2,...,n prikalauso tik nuo koeficientų a ij, o γj dar ir nuo b, b 2,, b r. Kai laisvieji kintamieji x r+,, x n įgyja konkrečias reikšmes, gauname sistemos atskirąjį sprendinį. Taigi kai bent vienas koeficientas γj i sistema turi be galo daug sprendinių. { x+y +z w = 2, x y z +w = { x+y = 2 z +w, x y = z w 2 z +w z w x = = 2 z +w z w y = = z +w x Bendrasis sprendinys y z = α+β α ; w β atskirieji sprendiniai,, 2.

21 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Homogogeninė lygčių sistema n a ij x j =, i =,2,...,m. j= Homogeninė sistema visada suderinta (turi nulinį (trivialų) sprendinį). r = rang A, bendrasis sprendinys x j = δ r+ j x r+ +δ r+2 j x r+2 ++δj n, j =,2,...,r. Fundamentalioji sprendinių sistema δ r+ δ δ2 r+ r+2 δ δ r+2 r+3 δ 2 δ r+3 n δ 2 δ n n 2 δ n 2 δr r+ δr r+2 δr r+3 δr n δ n r,,,,, Pažymėję šiuos atskiruosius sprendinius H, H 2,, H n r, bet kurį homogeninės sistemos sprendinį galime užrašyti taip (x x 2 x n ) T = C H +C 2 H 2 ++C n r H n r, C j konstantos. Taigi homogeninė sistema turi vienintelį nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai rang A = n. 3.8 Kronekerio ir Kapelio teorema n a ij x j = b i, i =,2,...,m. j= Sistemos matricaa = a ij m n, išplėstoji matrica(a B) = a a n b a 2 a 2n b 2 a m a mn b m Teorema. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai rang A = rang (A B)..

22 3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 22 Sistema yra apibrėžta, kai rang A = n. Bendrojo sprendinio struktūra Nehomogeninės Homogeninės Nehomogeninės lygties lygties lygties bendrasis = bendrasis + atskirasis sprendinys sprendinys sprendinys