Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Transkriptas

1 Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

2 Būtinos ekstremumo sąlygos Tarkime, kad =, yradviejų kintamųjų funkcija, apibrėžta srityje D, o (, )vidinis srities Dtaškas. Ap. Taškas vadinamas funkcijos =, lokaliojo maksimumo (minimumo) tašku, jei yra tokia taško aplinka, kurios visuose taškuose teisinga nelygybė,, ; (, ),. Kadangi,, =,tai taške M 0 yra maksimumas (minimumas), kai 0 z 0. Maksimumas ir minimumas kartu vadinami ekstremumais.

3 Būtinos ekstremumo sąlygos Teorema. Jei taškas (, )yra diferencijuojamos funkcijos =, ekstremumas, tai ( ) =0, ( ) = 0. Ekstremumas gali būti tik taškuose, kuriuose funkcijos pirmosios dalinės išvestinės lygios nuliui(arba kuriuose bent viena pirmoji dalinėišvestinėneegzistuoja). Tokie taškai vadinami kritiniais funkcijos taškais. Šios sąlygos yra tik būtinos, bet ne pakankamos funkcijos ekstremumo salygos.

4 Pakankamos ekstremumo sąlygos Tarkime, kad funkcija = (, ) yra apibrėžta, tolydi ir turi tolydžias pirmosirantroseilės dalinesišvestinestaško 0 ( 0 ; 0 ) aplinkoje, o pats taškas 0 yrakritinis, t.y. Pažymėkime: (, ) =0, ((, ) =0. A= (, ) ; = (, ) ;C = (, ) Teorema. Jeigu 2 > 0, tai taške 0 yraekstremumas: maksimumas, kai < 0, irminimumas, kai > 0. Jeigu 2 < 0, tai taške 0 ekstremumonėra. Jeigu 2 = 0, tai liekaneaiškuartaške 0 yraekstremumasar jo nėra. Pav. Rasti funkcijos =4 $ +4 $ + & ' ' 3 $ 16 ekstremumus. = 2 $ + $ + $

5 Sąlyginiai ekstremumai Apibrėžimas. Funkcijos = (,) ekstremumai, kaikintamiejiir susieti tam tikra lygtimi ϕ(, ) = 0, vadinami sąlyginiais ekstremumais. Lygtisϕ(,) = 0 vadinamaryšiolygtimi. Sąlyginių ekstremumų radimo būdai. Tarkime, kad funkcijos (, ) ir ϕ(, ) ekstremumo taško aplinkoje turi tolydžias dalines išvestines. Iš ryšio lygties ϕ(,) = 0 vieną kurį nors kintamąjį išreiškiame kitu, pvz. =()ir įrašome į = (,). Tuomet gauname vieno kintamojo funkciją = (,()). Šios funkcijos ekstremumai yra duotosios funkcijos = (,) sąlyginiai ekstremumai, kai ϕ(,) = 0.

6 Sąlyginių ekstremumų radimo metodas: Lagranžo daugiklių metodas. Kai iš ryšio lygties negalima išreikšti vieno kintamojo kitu, tuomet sąlyginių ekstremumų radimui taikomas Lagranžo daugiklių metodas. Turime trijų kintamųjų funkciją: +,,, =, +λ-,. Ši funkcija vadinama Lagranžo funkcija, o argumentas λ-lagranžo daugikliu. Teorema.(Būtinos lokaliojo sąlyginio ekstremumo sąlygos) Sakykime, kad -(,),(,) yra tolydžiai diferencijuojamos taško 0 ( 0 ; 0 ) aplinkoje funkcijos ir.(, ) 0; jei taškas 0 ( 0 ; 0 ) yra funkcijos = (,)lokaliojo sąlyginio ekstremumo taškas, tai egzistuoja toks realus skaičius λ 0, kad 0 + 1,,λ = 0 + 1,,λ = 0 -, = 0.

7

8

9 Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje. Tarkime, kad funkcija = (, ) apibrėžta ir tolydi uždaroje srityje 2, apribotoje kreivės +, be to, diferencijuojama jos vidiniuose taškuose. Tuometpagalfunkcijosaprėžtumoteoremąyrataškai, kuriuosefunkcija =(,) įgyjadidžiausiąirmažiausiąreikšmes. Tai galibūtividiniaisritiestaškaiarbakreivės +taškai. Taigi, norėdami rasti uždaroje srityje didžiausiąją ir mažiausiąją funkcijos reikšmes ir 3, turime: rastisrities2 vidiniustaškus4 5, kuriuosefunkcijagaliįgyti ekstremumus; apskaičiuoti funkcijos reikšmes šiuose taškuose (45); rastikreivės +taškus6 7, kuriuosefunkcijagaliįgytisąlyginius ekstremumus, irapskaičiuotijųreikšmes (6 7 ); išskaičių(45)ir(6 7 )išrinktididžiausiąskaičiųirmažiausią skaičių 3.

10 Prioritetiniai teorijos klausimai Dviejų vektorių vektorinė sandauga, jos savybės, apskaičiavimas ir geometrinė prasmė. Trijų vektorių mišrioji sandauga, jos savybės, apskaičiavimas ir geometrinė prasmė. Bendroji plokštumos lygtis. Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinės lygtys. Tiesės einančios per du taškus, lygtis. Antrosios eilės kreivės: apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė. Funkcijos riba taške. Vienpusės ribos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Trūkiosios funkcijos. Trūkio taškų tipai. Diferencijuojamos funkcijos apibrėžimas, jos tolydumas. Diferencialas ir jo savybės. Diferencialo formos invariantiškumas. Funkcijos grafiko asimptotės.kreivės iškilumo intervalai ir perlinkio taškai Dalinės išvestinės. Sudėtinės funkcijos ir jų diferencijavimas. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas. Kryptinė išvestinė. Gradientas, jo savybės.