SŪDUVOS KRAŠTO GIMNAZIJŲ MATEMATIKOS OLIMPIADA Užduotis ir sprendimus prengė VU MIF doents Romulds Kšu 009 meti 1. Sveiks teigims skičius yr vdinms mrijmpolietišku, jeigu jis: ( ) yr keturženklis; ( ) visi jo skitmenys yr skirtingi; ( ) visi jo skitmenys yr nelyginii; ( ) jis dlijsi e lieknos iš 9. (A) Nurodykite vieną mrijmpolietišką skičių. (B) Nurodykite tris mrijmpolietiškus skičius. (C) Kiek iš viso yr mrijmpolietiškų skičių? Sprendims. (A) Tink, pvyzdžiui, skičius 1539, nes jis keturženklis, jo skitmenys yr nelyginii ir skirtingi. Jis tip pt dlijsi iš 9, nes jo skitmenų sum 1 + 5 + 3 + 9 = 18 dlijsi iš 9. (B) Tink ir et kurie skičii, gunmi iš 1539, persttnt jo skitmenis, pvyzdžiui, dr glim pimti 1359 ir 9531. (D) Kdngi yr 5 nelyginii skitmenys 1, 3, 5, 7, 9, o mums reikės pnudoti 4 iš jų, ti pirmiusii glime suskičiuoti jų visų sumą 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ir psižiūrėti, ks ūtų, jei iš jos timtume vieną visis glimis ūdis: 5 1 = 4, 5 3 =, 5 5 = 0, 5 7 = 18, 5 9 = 16. Tik viens skirtums yr dlus iš 9 ki neimme skitmens 7. Vdinsi tik keturženklis skičius, sudryts iš skitmenų 1, 3, 5 ir 9 tenkin uždvinio sąlygą. Kdngi keturis skirtingus skitmenis persttinėdmi vietomis iš viso glime guti 4 skirtingus skičius, ti visi tie skičii ir tenkins uždvinio sąlygą, o dugiu kitokių skičių negli ūti. Todėl (C) dlies tskyms yr 4. Atskymi: (A) Pvz.: 1539; (B) Pvz.: 1539, 1359, 9531; (C) Yr 4 mrijmpolietiški skičii.. Pirmojo Mrijmpolės dngorižio, kurime yr dvi liptinės, endrijos pirmininks Brusoks dro rinklivą nujiems dugiučio nmo utų numerims įsigyti. Armins Trupinys- Trupinėlis iš 100-tojo uto ntroje liptinėje tiesii pklusė, kodėl toje liptinėje reiki surinkti 40% dugiu pinigų, nors utų ir vienoje, ir kitoje liptinėje yr vienodi. Pirmininks Brusoks nemirktelėjęs preiškė, kd kiekviens dviženklis uto numeris kinuoj dvigui, o triženklis
uto numeris net trigui dugiu negu et kuris vienženklis uto numeris. Kiek utų yr tme pirmjme Mrijmpolės dngorižyje? Sprendims. Iš sąlygos mtome, kd tme nme yr dvi liptinės. Skykime, kd kiekvienoje iš jų yr po k utų, td visme nme yr k utų. Td pirmoje liptinėje yr 9 uti, kurių numerii, yr ptys pigiusi, nes vienženklii skičii. Skykime, kd viens vienženklis uto numeris kinuoj litų, td pgl sąlygą dviženklis uto numeris kinuoj, o triženklis uto numeris 3 litų. Td visi k pirmosios liptinės utų numerii kinuoj (k 9) + 9 litų, o visi kitos, liptinės, kur gyven Petrs Trupinys, utų numerii kinuoj (99 k) + (k 99) 3 litų. Iš sąlygos ((99 k) + (k 99) 3) = 1,4((k 9) + 9). Suprstinę iš gunme ((99 k) + (k 99) 3) = 1,4((k 9) + 9). Toliu visks išku pduginus i puses iš 5 gutume 10(99 k) + (k 99) 15 = 7 ((k 9) + 9), 990 10k + 30k 1485 = 14 k 16 + 63, 0k 495 = 14 k 63, 6k = 43, k = 7. Vdinsi, iš viso liptinių nme yr k = 144 uti. Atskyms. Nme yr 144 uti. 3. (Iš dr neskeltų sensingų Jono Totoričio rhyve ptiktų tikrų žinių pie pirmąjį žinomą Mrijmpolės kršte išspręstą geometrinį uždvinį.) Tšks M yr stčikmpio ABCD krštinės BC vidurio tšks, o tšks K prikluso stčikmpio krštinei CD. Be to, yr žinom, kd KAM = MAB. Negi įmnom tiek teturint nusttyti KMA didumą? Sprendims. Prtęskime tkrpą AM iki susikirtimo su tiese CD tško L. Td MAB = MLC (kip vidus priešinii kmpi), o kdngi iš sąlygos KAM = MAB, ti KAM = MLC. Vdinsi, ΔKAL yr lygišonis, o jo pgrinds yr AL.
Kdngi sttieji trikmpii ΔMBA ir ΔMCL yr lygūs ( MAB = MLC ir remintis sąlyg MB = MC), ti MA = ML. Vdinsi, KM yr lygišonio trikmpio pusiukrštinė ΔKAL, išvest iš lygišonio trikmpio viršūnės į jo pgrindą; todėl KM yr ir to lygišonio ΔKAL ukštinė, tigi KM su AM sudro 90º r sttų kmpą, kurio mes ir ieškojome. Atskyms. KMA = 90º. 4. Viens sumnus tėvs Mrijmpolėje ugino 10 vikų ir su jis ks svitę ruošdvo sekmdienio pietus. Vieną sekmdienio rytą jis uvo stig iškviests į drą, et nurmino vikus skydms, kd iki pietų jis spėsiąs prgrįžti. Kd pigę ruošti pietus viki nenuoodžiutų ir neliūdėtų, jis išdlino jiems mrškinėlius su numeriis 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ir pskė, kd jeigu jie vieni sugeės tip susėsti prie svetinėje stovinčio pskrito sekmdienio pietų stlo, kd et kurių trijų gret sėdinčių rolių mrškinėlių numerių sum us ( ) nedidesnė už 15, ti jis kiekvienm roliui duos po 10 litų sktinmųjų pinigų; ( ) nedidesnė už 14, ti jis kiekvienm roliui duos ju po 0 litų sktinmųjų pinigų; ( ) nedidesnė už 13, ti jis kiekvienm vikui duos net po 50 litų sktinmųjų pinigų. (A) Ar įmnom rolims guti po 10 litų? (B) Ar įmnom rolims guti po 0 litų? (C) Ar įmnom rolims guti po 50 litų? Sprendims. 10 rolių su numeriis 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tikri gli susėsti tip, kd et kurių 3 gret sėdinčių rolių numerių sum nepršok 15. Pteikime pvyzdį. 0 6 9 8 4 1 3 7 5 Todėl po 10 litų rolii uždirti gli (pvz., jeigu susėstų tip, kip ką tik uvo nurodyt). Įrodysime, kd po 0 litų rolii uždirti negli. Tm pknk įrodyti, kd rolii negli susėsti tip, kd et kurių trijų gret sėdinčių rolių numerių sum niekd nepršok 14. Trkime, kd jie gli tip susėsti. Td glime trti, kd kip preitme pvyzdyje ukščiusii sėdi rolis su numeriu 0. Td likę 9 rolii gli ūti suskirstyti į tris kimyninių rolių trejetus po 3 rolius. Jeigu tų 3 trejetų sum numerių sum nepršok 14, ti 9 nenulinių rolių numerių sum nepršok 14 3 = 4.
Bet 10 rolis yr su numeriu 0, vdinsi ir visų 10 rolių numerių sum nepršoktų 4, o ji juk yr 0 + 1 + + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9 = 45. Guts prieštrvims rodo, kd susėsti tip, kd išeitų po 0 litų, neįmnom, vdinsi, juo liu neįmnom susėsti tip, kd t sum ūtų dr mžesnė. Tigi ir uždirti po 50 litų neįmnom. Atskyms. (A) Tip (B) Ne (C) Ne 010 meti 1. Pčime didžiusime Suvlkijos kvriume, esnčime Mrijmpolės lopšelyjedrželyje Nykštuks, plukioj ne vien uksinė žuvelė, iš viso yr 80 žuvelių. Rūpestingi tėvi plnuoj ppildomi įleisti į tą kvriumą 60 uksinių žuvelių ir yr li ptenkinti suvokę, kd nuo to uksinių žuvelių dlis tme grsijme Mrijmpolės kvriume pdviguėtų. Kiek uksinių žuvelių yr dr tme kvriume? Sprendims Įsivizduojnt, kd prdžioje kvriume rmii su ju plukiojo x uksinių žuvelių, ti įleidus jų dr 60, tų įstių uksinių žuvelių ju ūtų x + 60. Pgl nuskyts proporijs x x 60 =. 80 340 Plengvinus vrdiklius pnre dugy iš 0 ūtų x x 60 =. 7 17 Todėl 17x = 7(x + 60) ir. x = 4. Atskyms. Dr tme kvriume yr 4 uksinės žuvelės.. Bešvilpujntis Suvlkijos ernioks per ritmetikos pmoks li tupii nudodvo skirtingus skitmenis. Lygyėje 0,** + 0,** + 0,** + 0,** = 1 kiekvieną žvigždutę ernioks tesutink pkeisti tik skitmeniu r skitmeniu 3 ir vis tiek tikisi pversti ją teising skitine lygye. Ar ti jm pvyks? Jeigu toki keturių dėmenų lygyė yr įmnom, ti km td glėtų ūti lygus pts pirmsis iš 4 tos lygyės dėmenų?
Jeigu sumos dėmenų perstt nelikom skirtingu sprendiniu, ti r glėtų Suvlkijos ernioks rsti dr kitą skirtingą tokių keturių skičių rinkinį? Sprendims Aritmetinii tyrimi rodo, kd yr tik du tokie iš esmės skirtingi (kurie nesutmp, persttinėk tu juos, gersis žmogu, kip epnorėjęs) skičių ketverti: 0, + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1 ir 0, + 0, + 0,3 + 0,33 = 1. Todėl mtome, kd pts pirmsis iš keturių tos lygyės dėmenų gli ūti 0,, 0,3, 0,3 r net ir 0,33. ir Atskyms Lygyė įmnom. Pirmsis sumos dėmuo gli ūti lygus 0,, 0,3, 0, 3 r 0,33. Yr du tinkntys (persttinėjnt nesutptinmi) skičių rinkinii: {0,, 0,3, 0,3, 0,3} {0,, 0,, 0,3, 0,33}. 3. Mrijmpolės entro futolo turnyre dlyvvo 6 komndos, kurių kiekvien sužidė po viens rungtynes su kiekvien kit iš likusių komndų. Židimo tisyklės Suvlkijos sostinėje uvo tokios: už limėts rungtynes komnd gun 3 tškus, už sužists lygiosiomis 1 tšką, o už prlimėjimą komndi įskitom 0 tškų. Suvedus visus rezulttus piškėjo, kd Šešupės prmuštglvių komnd, kuri prdėjo treniruotis vos prieš 3 diens, užėmė tme turnyre pčią pskutinę vietą, surinkusi mžiu tškų už et kurią kitą tme turnyre židusią komndą. Metinime kluo vldyos posėdyje, niptol neslėpdms to fkto, kluo prezidents pgyrė komndą ent ju už ti, kd vos 3 diens tesitrenirvusi komnd sugeėjo surinkti dugiusii tškų iš visų kd nors tokime 6 komndų turnyre pskutinę užėmusių komndų, surinkusių mžiu tškų už et kurią kitą komndą. Kiek tškų surinko tme turnyre Šešupės prmuštglvių komnd, jeigu vis, ką pskė kluo prezidents gryn teisyė?! Sprendims Sprendimo vizij ir konkreti tskymo dry susided iš trijų dlių. 1. Sukonstruojme glimi turtingą tškis soliučios pusiusvyros pdėtį.. Ją lengvi pgdinme tip, kd tsirstų komnd, surinkusi mžiu tškų už viss kits to turnyro komnds. 3. Griežti įrodome, kd td pskutinės komndos surinktų tškų skičius niekip neegli ūti pdidints todėl td jis tikri ir us lygus Šešupės prmuštglvių (toliu trumpi: ŠP) kluo surinktm tškų skičiui. Pirmjm etpui reikėtų dviejų turnyrinių lentelių. Pirmoji teinnti į glvą turnyrinė lentelė ūtų toki, ki visos komndos viss rungtynes sužidži lygiosiomis (ir visos jos už viss rungtynes gun po 1 tšką):
A B C D E F TAŠKAI VIETA A X 1 1 1 1 1 5 1-6 B 1 X 1 1 1 1 5 1-6 C 1 1 X 1 1 1 5 1-6 D 1 1 1 X 1 1 5 1-6 E 1 1 1 1 X 1 5 1-6 F 1 1 1 1 1 X 5 1-6 Ti tikri yr soliučios tškų lygyės ūsen, tčiu surinktų tškų gusyės požiūriu yr kit, geresnė soliučios tškų pusiusvyros ūsen, ki kiekvien komnd limi dvejs rungtynes, viens sužidži lygiosiomis ir dvejs prlimi. Td visos komndos turėtų nee po 5, o ju po 7 tškus. Toki ūsen, kip rodo žemiu pteikim glim tokio turnyro lentelė, yr įmnom: A B C D E F TAŠKAI VIETA A X 3 3 1 0 0 7 1-6 B 0 X 3 3 1 0 7 1-6 C 0 0 X 3 3 1 7 1-6 D 1 0 0 X 3 3 7 1-6 E 3 1 0 0 X 3 7 1-6 F 3 3 1 0 0 X 7 1-6 Pirmoji dlis yr igt. Kit dlis ūtų lengvs pdėties pgdinims. Ti drysime tip: Peržiūrime komndų A ir D trpusvio rungtynių rezulttą. Tos komndos sužidė lygiosiomis. Tčiu piškėjo ne tik ti, kd komnd D ti ir yr tikrieji Šešupės prmuštglvii r ŠP, et dr ir ti, kd rungtynėms uvo registruots visiški nesitrenirvęs futolininks, ks pgl turnyro nuosttus yr ktegoriški drudžim. Todėl komndi D, r kitip ŠP uvo įskityts prlimėjims (o komndi A, suprntm, perglė) ir turnyro lentelė psidrė toki:
A B C ŠP E F TAŠKAI VIETA A X 3 3 3 0 0 9 1 B 0 X 3 3 1 0 7-5 C 0 0 X 3 3 1 7-5 ŠP 1 0 0 X 3 3 6 6 E 3 1 0 0 X 3 7-5 F 3 3 1 0 0 X 7-5 Antroji dlis igt, turime turnyro lentelę, kur net 6 tškus surinkusi komnd teužėmė tik 6-tąją, pskutinę vietą, surinkusi mžiu tškų už et kurią kitą iš tme turnyre dlyvvusių komndų. Beliko pskutinioji dlis įrodinėjimi, kd surinkti dugiu tškų ir likti grynoje pskutinėje vietoje neeįmnom. Trkime, kd ti įmnom. Td Šesupės prmuštglvii surinktų ju ent 7 tškus, o kitos likusios ištisos penkios komndos ent po 8. Td jos visos šešios ju ūtų surinkusios mžų mžiusii 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 r ju nė kiek ne mžiu kip 47 tškus. Tčiu ti ju pskriti neeįmnom, nes 6 komndų turnyre yr sužidžim 15 rungtynių, vdinsi, teglim surinkti dugių dugiusii 15 3 r tik 45 tškus. Šis smprotvims, r gutsis prieštrvims ir įrodo, kd surinkus 7 (ir dugiu tškų) grynos pskutiniosios vietos užimti ju neeglim. Atskyms. Šešupės prmuštglvių komnd surinko turnyre 6 tškus. 4. Ksmet šventų Klėdų nktį entrinėje Mrijmpolės ikštėje psirsdvo pslptings stčikmpis. Reti drąsūs preivii glėdvo psteėti, kip jis įprstu ūdu dviem trpusvyje sttmenomis ir to prdinio stčikmpio krštinėms lygigrečiomis tiesėmis ūdvo pdlijms į 4 stčikmpiukus. Dr ūdvo glim įžiūrėti, kd trijų iš tų 4 susidriusių stčikmpiukų ploti yr, 8 ir 16. Ketvirtojo stčikmpiuko ploto nesimtydvo, et Mrijmpolės šviesuomenė ju uvo išmokusi jį susiskičiuoti. Km gli ūti lygus to ketvirtojo stčikmpiuko plots? Sprendims Psteėkime, kd jeigu stčikmpis lygigrečiomis jo krštinėm tiesėmis yr pdlyts į
stčikmpiukus 4 A, B, C, D A B C D ti tų stčikmpiukų plotų siej dėsnis: ; Įstriži esnčių stčikmpiukų plotų sndugos yr lygios. Pjutus, kd tip yr, ti įrodyti visi neesunku: susižymėkime viduje stčikmpiukų mtmenis u, v, p ir q: A u q B v C p D Td sndug u v p q vienip grupuojnt virst (u q) (v p), o ti yr A D, o grupuojnt sndugą u v p q kitip, r (u p) (v q), ji virst kitų dviejų kryžmų plotų B ir C sndug C B. Vdinsi, jos tikri lygios. Dr tereiki psižiūrėti kip gli ūti išsidėstę tie trys žinomo ploto stčikmpiuki ir kip pgl juos ts ketvirtsis, kurio plotą pgl kiekvieną pdėtį tuoju pt ir surndme. Glimi trys iš esmės skirtingi tveji 8? 16 Td turi ūti
ir? 8 = 16? = 4. Kits išsidėstyms gli ūti toks:? 8 16 ir Td turi ūti? 16 = 8? = 1. Gliusii pdėtis gli ūti dr ir toki: 16 8? Td, suprntm,? = 8 16 ir? = 64. Dugiu jokių iš esmės nujų pdėčių nėr, nes pgl įstrižinę prieš nežinomą ketvirtąjį plotą ju puvojo visi trys stčikmpiuki su plotis 8, 16 ir titinkmi. Atskyms. Nežinomojo ketvirto stčikmpiuko plots gli ūti lygus 1, 4 r 64. 5. Mrijmpolėje šiuo metu visi tikslūs likrodžii rodo 14:00 yr lygii ntr vlnd dienos. Kokį kmpą td Mrijmpolėje sudro įprstinių likrodžių tolydžii judnčios vlndų ir minučių rodyklės? Kiek tikslii liko us Mrijmpolėje td, ki jos kitą krtą vėl sudrys tokį ptį kmpą? Sprendims Aišku, kd lygii ntrą vlndą dienos vlndų ir minučių rodyklės sudro (lygii) 60º kmpą. Po ntros vlndos dienos kits krts, ki vlndų ir minučių rodyklės vėl sudrys (lygii) 60º kmpą us td, ki minučių rodyklė us psisukusi 10º didesniu kmpu negu vlndų rodyklė.
Trkime, kd ts liks yr x minučių po ntros vlndos dienos. Minučių rodyklė per 1 vlndą psisuk 360º kmpu, r 6º per vieną minutę. Vdinsi, per x minučių ji psisuks 6xº lipsnių. Vlndų rodyklė per 60 minučių psisuk 30º kmpu, r (1/)º per vieną minutę. Vdinsi, per x minučių ji psisuks (1/)xº lipsnių. Todėl 6x (1/)x = 10, r 11 x = 10, o ti yr 40 9 x 1. 11 11 Atskyms Ieškomsis liks yr 9 1 11 minutės po ntros vlndos (dienos). 011 meti 1. Bernioks iš Suvlkijos lygumų sko, kd jis per vieną švilptelėjimą gli suvokti, kuriuos skitmenis derėtų išrukti iš 1-ženklio skičius 31 31 31 31, kd liktų pts didžiusis įmnoms skičius, kuris ūtini dlijsi iš 9. Ar Jūs tikite, kd Bernioks susitvrkys su ši užduotimi? Koks td ptį didžiusią tokį skičių rs ts ešvilpujntis Bernioks? Sprendims Kdngi pminėtojo skičius 31 31 31 31 skitmenų sum yr 3 + + 1 + 3 + + 1 + 3 + + 1 + 3 + + 1 = 4, ti išrukti tikri reiki, nes suskičiuotoji skitmenų sum 4 nesidlij iš
9. Artimiusioji iš 9 esidlijnti skitmenų sum yr 18, todėl skitmenų sumą reiki sumžinti 4 18 = 6 vienetis. Kdngi mūsų skitmenys yr 1, ir 3, ti mžiusii skitmenų prrsime išrukti trejetus. Vdinsi, išrukti reiki trejetus. Toliu, jeigu ju reiki išrukti du trejetus, ti juos reiki išrukti kuo toliu nuo skičius prdžios, nes kuo tolimesnius trejetus išruksime, tuo likęs skičius yr didesnis. Todėl išrukime pčius pskutiniuosius du trejetus ir gunme ptį didžiusią įmnomą skičių 3 13 1 11. Atskyms. 3 13 1 11. Bešvilpujntis Bernioks iš Suvlkijos lygumų mokslui pšvęstose trpuose trp svojo muzikvimo sykį skė, kd jm nieko nereiški per teinnčios 5-minutės muzikvimo puzės minutes kip mt sursti visus skičius nuo 1,, 3,. 498, 499, 500, kurie dlijsi iš didžiusio įmnomo kiekio dešimties pirmųjų skičių 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Sprendims Aišku, kd nėr trp pirmųjų 500 skičių tokio skičius, kuris dlytųsi iš jų visų, nes jis td turėtų ūti nemžesnis kip 5 7 8 9 = 50. Tčiu jeigu mes tskirtume dliklį 7, ti gutume skičių 360, kuris dlijsi iš visų likusiųjų skičių (išskyrus 7). Prodysime, kd trp tų pirmųjų 500 skičių dugiu tokių skičių, kurie dlytųsi iš 9 iš tų 10 pirmųjų skičių nėr. Tikri, jeigu skičius nesidlij iš 9, ti jis turi dlytis iš 5 7 8 3 = 840. Jeigu jis nesidlij iš 8, ti jis privlo dlytis iš 5 7 4 9 = 160. Jeigu skičius nesidlij iš 5, ti jis privlo dlytis iš 7 8 9 = 504. Kitų skičių ju glim neetikrinti, pvyzdžiui, dėl to, jog jeigu skičius nesidlij iš 6, ti jis dr nesidlij ir dr iš vieno kurio iš skičių r 3, r ju iš dviejų iš tų pirmosios dešimties skičių. Atskyms Trp pirmųjų penkių šimtų ntūrliųjų skičių nuo 1 iki 500 tėr vienintelis skičius 360, kuris dlijsi iš devynių iš dešimties pirmosios dešimtinės skičių 1,, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ir 10. 3. Pilsęs nuo švilpvimo švelnus Bernioks iš Suvlkijos lygumų prisėdęs tsikvėpti užsnūdo ir spne li iškii ir nenuneigimi išvydo tiesią kip stygą utostrdą iš Likinosios Lietuvos sostinės į Amžinąją Suvlkijos sostinę. Toje utostrdoje jis regėjo ugntį vienintelį Beržą, lietuvišką eržą ir nuo jo iki Likinosios Sostinės uvo dvigui rčiu negu iki
Amžinosios. Bernioks toliu nenuginčijmi suprto, kd jis pstoviu greičiu (kuris, suprntm, uvo didesnis už 0) vžiuoj iš Likinosios Sostinės į Amžinąją. Vėliu jis dr li iškii spėjo suvokti, kd lygii 1 vlndą jis us du krtus rčiu Beržo, negu Likinosios sostinės. Toliu tęsdms svo įspūdingą kelionę jis 1.40 jis vėl us dvigui rčiu Beržo, negu Likinosios Sostinės. Kd Bernioks iš Suvlkijos lygumų tomis lygumomis toliu vžiuodms glutini tvžiuos į mžinąją Suvlkijos sostinę? Sprendims Visą kelią nuo Likinosios Lietuvos sostinės iki Amžinosios Suvlkijos Sostinės pdlinkime į devynis lygis dlis, kurių kiekvienos ilgis yr x. Td pgl sąlygą tstums nuo Likinosios Sostinės iki Amžinosios yr lygus 9x. Kdngi nuo vienintelio Beržo iki Likinosios Sostinės yr dvigui rčiu kip iki Amžinosios, todėl vienintelis Beržs ug 3x tstumu nuo Likinosios ir 6x tstumu iki Amžinosios Suvlkijos Sostinės. Kdngi kelionės metu švelnus Bernioks dukrt uvo dukrt rčiu Beržo negu Likinosios Sostinės (pirmą krtą ti su juo nutiko 1.00 vl., o ntrą krtą 1.40 vl.), ti pirmą krtą (1.00 vl.) ti uvo td, ki jis uvo nuvživęs x nuo Likinosios Sostinės (ir td jis tikri uvo 3x x = x, r dvigui rčiu eržo, nes ts eržs juk ug už 3x nuo Likinosios Sostinės). Antrs toks moments (1.40 vl.), ki jis vėl us dukrt rčiu eržo negu Likinosios Sostinės nutiks, us ki jis us nuvživęs 6x nuo Likinosios Sostinės (ir td iki Amžinosios Sostinės jm dr us likę 9x 6x = 3x). Vdinsi, vžiuodms tuo pčiu nekintmu nenuliniu greičiu Bernioks 1.00 vl. yr nuvživęs x km. nuo Likinosios Sostinės, o 1.40 vl. jis us nuvživęs 6x (nuo Likinosios Sostinės). minučių nukks kilometrų, todėl Tip jis per kilometrų jis nuvžiuoj per 40 6x x = 4x x
10 minučių. Kdngi 6x kilometrų jis us nuvživęs 1. 40 vl, o iki Amžinosios Suvlkijos Sostinės td jm dr yr likę 9x 6x = 3x, todėl tiems 3x Bernioks sugiš dr 30 minučių ir į Amžinąją Suvlkijos Sostinę jis tvyks 13.10 vl. ir us ten dermi sutikts. Atskyms Į Amžinąją Suvlkijos Sostinę Bernioks tvyks (krtu su mumis) 13.10 vl. 4. Bešvilpujnčio Suvlkijos ernioko sesuo vieną rytą pynėsi kss, o kd glv tuo metu nestovėtų visi dyk e pčiuopimos nudos, mergitė, dr esišukuodm, įsigudrino susirsti penkis pgl didumą surikiuotus skičius. < < < d < e ir mintyse ėmėsi žiiški juos dėlioti poromis visis įmnomis ūdis po du skirtingus skičius. Dr geri neįpusėjusi to šukvimosi ji ju uvo surdusi tris pčis mžiusis sums, kurios uvo 3, 36 ir 37, ir dvi pčis didžiusis sums, kurios uvo 48 ir 51. Ar težinnt tik tiek, kiek dr či tėr pskyt, ju glim grntuoti nusttyti, km yr lygus pts didžiusis iš tų 5 jos susirstųjų skičių, r, kitip sknt, km yr lygus skičius e? Sprendims. Nesunku suvokti, jog dviejų pčių mžiusių skičių ir sum + yr pti mžiusi dviejų skirtingų skičių porų sum ir, nlogiški, dviejų pčių didžiusiųjų skičių d ir e sum d + e yr pti didžiusi dviejų skirtingų skičių porų sum. Toliu glim skyti, kd ntroji pgl mžumą sum visd yr skičių ir sum + ir, nlogiški, ntroji pgl didumą sum visd yr skičių ir e sum + e. Kdngi pti mžiusioji sum yr 3, o ntroji pgl mžumą sum yr 36, ti iš jų plyginimo mtome, kd skičius yr 36 3 = 4 vienetis didesnis už d ir, nlogiški, skičius d yr
51 48 = 3 vienetis didesnis už skičių. Be to, skičims < < < d < e yr visd teising toks rikiuotė + < + < + d < + e < + e < + e < d + e ir + < + d < + d. Vdinsi, trečioji pgl mžumą sum, kuri yr 36, glėtų ūti r + d r +. Tčiu sum + d negli ūti 36, nes ji td už ntrąją pgl didumą sumą + turėtų ūti didesnė 3 vienetis tiek, kiek d yr didesnė už, o kip ką tik uvo pskyt, ji tėr tik vienetu didesnė (nes vien yr 36, o kit 37). Todėl td trečioji pgl mžumą sum tegli ūti +, kuri yr lygi 37. Td turime lygyes + = 3, + = 36, + = 37, + e = 48. Sudėjus ntrą lygye su treči gusime + + + = 36 + 37 = 73, o kdngi + = 3, ti = 73 3 = 41, ir = 0,5. Kdngi + e = 48, ti e = 48 = 48 0,5 = 7,5. Atskyms. Didžiusis skičius e = 7,5. 5. Mrijmpolės svivldyė vkr ptvirtino ūsimojo Mrijmpolės Mokslo ir menų liėjus herą, kurime yr mykolitišksis kvdrts ABCD ir putinišksis pusskritulis su skersmeniu AD ir pie kuriuos yr pirėžts pskritims tip, kip prodyt piešinyje. Km yr lygus to pirėžtinio pskritimo spindulys, jeigu mykolitiškojo kvdrto ABCD krštinės ilgis yr lygus 1?
Sprendims. Pžymėkime ieškomąjį pirėžtojo pskritimo spindulį R (žr. rėž.). Kdngi putiniškojo pusskritulio skersmuo yr lygus mykolitiškojo kvdrto krštinės ilgiui, kuris yr 1, ti putiniškojo pusskritulio spindulys yr lygus 1. Vdinsi, žemiu mykolitiškojo kvdrto krštinės AD esnčios spindulio dlies ilgis yr 1 R. Brėžinio pčioje mtome sttųjį trikmpį, kurio trumpesnysis sttinis yr tikri lygus 1, nes ti yr lygii pusė mykolitiškojo kvdrto krštinės ilgio. Kits to sttus trikmpio sttinis yr 1 3 1 (R ) R. Tikydmi tm stčijm trikmpiui su sttiniis 3 1 R ir ei įžmine R Pitgoro teoremą gusime 3 1 ( R) ( ) R. Pkėlę kvdrtu turime
o suprstinus todėl. 9 3 1 ( R R ) R, 4 4 10 3R 0, 4 5 R. 6 Atskyms Mrijmpolės Meno ir mokslo liėjus hero pirėžtinio pskritimo spindulys 5 R. 6 01 meti 1.Ki sirpst vyšnios Suvlkijoje, esidomintys mokslu junuolii įpuol į ritmetinių pieškų šėlsmą, ptį kilniusią iš visų intelektinio kilnumo ir skitinės meistrystės proveržių. Tūkstnčii sėdinčių ir dešimtys tūkstnčių sėsinčių mokytis stig pjunt svyje nenutildomą glią gržii dinuoti r pigti et kokio intensyvumo ritmijos kursus. Dug ks mnosi glįs, net Suvlkijoje negimęs, rytis imti tisyklingi kirčiuoti r iki glo išspręsti kokį nors (pd)orii viliojntį loginį uždvinį. Tip glynėdmsi su psitiknčiis sunkumis ir gėrėdmsi gmtos ir išminties gržumis skleidėsi nujoji mžinosios Suvlkijos derlingųjų pdngių šviesutė Kyrtė Suvlkevičiūtė. Lemimos reikšmės glutinim jos išmniosios meistrystės proveržiui turėjo viens priešokiis kone vlndą esitęsęs ir vykusii psiigęs švelnus glynėjimsis su šiuo iš pžiūros visi pprstu, et relii susidūrus viss sprendyines glis sujudinnčiu uždviniu, kurio kukli ir vis tiek li grži sąlyg pteikim žemiu: 5-ženklis skičius xyxyx dlijsi iš 3, o 7-ženklis skičius yxyxyxy ju net iš 18. Surskite visus tuos tokius skičius visus lig vienm, jeigu joks skičius negli prsidėti 0. Sprendims. Skičius xyxyx (x 0) dlijsi iš 3 td ir tikti td, ki iš 3 dlijsi jo skitmenų sum x + y + x + y + x = 3x + y. Tčiu 3x + y dlijsi iš trijų td ir tikti td, ki y dlijsi iš 3, r, ir ti yr ts pts, ki iš 3 dlijsi ir pts y. Todėl y td tegli ūti lygus 0, 3, 6 r 9. Tčiu kdngi y yr dr ir 7-ženklio skičius yxyxyxy pirmsis skitmuo, todėl ir jis nelygus 0. Kdngi to skičius dlums iš 18
reiški tiek pt, kip ir jo dlums iš ir 9 vienu metu, todėl dėl ūtino dlumo iš pskutinysis skičius skitmuo (kuris irgi yr y) turi ūti lyginis. Kdngi 0 ju tmests, todėl iš likusių trijų minėtųjų skičių 3, 6 ir 9 lyginis tėr vienintelis skičius 6. Todėl y = 6. Toliu, išku, kd skičius 6x6x6x6 turi dlintis ir iš 9. Tčiu skičius 6x6x6x6 dlijsi iš 9 išimtini tikti td, ki iš 9 dlijsi skičius 6 + x + 6 + x + 6 + x + 6 = 4 + 3x, Ar td, ki iš 9 dlijsi skičius 6 + 3x. Skičius 6 + 3x dlijsi iš 9 išimtini tikti td, ki x yr 1, 4 r 7 (nepmirškime, kd ir pts x yr skitmuo). Todėl visi tie skičii, kurių mes ieškojome krtu su Kyrte Suvlkevičiūte ir sėkmingi surdome yr tokie: 16161 su 6161616, 46464 su 6464646 ei 76767 su 6767676. Atskyms Tokios skičių poros yr trys ir jos yr išvrdintos dviem eilutėmis ukščiu.. Nejugi iš tikrųjų kokim nors ritmetiški teisingi ešvilpujnčim Kzlų Rūdos erniokui glėtų kip nors pvykti į vieną eilutę suurti tokius 7 skičius, kd švilpuk tu su kip nori, et toje eilutėje visd et kurių 13 iš eilės einnčių skičių sum yr teigim, o ju visų 7 eilutės skičių sum yr neigim? Sprendims. Nesunku įsitinkinti, kd 7 skičių eilutė, kurioje u krštinii skičii 1-sis ir 7-sis ei vidurinysis 14-sis skičii yr visi trys po 11, o soliučii visi likusieji skičii yr po 1, r eilutė 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11 tink pvyzdžiu mūsų uždviniui, nes et kurių 13 iš eilės einnčių skičių rinkinyje visd yr lygii viens skičius 11ir dr dvylik 1, todėl visų tų skičių sum visd lygi 1 ir todėl yr teigim, o visų 7 skičių sum yr neigim kip trijų 11 ir 4 vienetų sum. Atskyms. Bešvilpujnčim Kzlų Rūdos erniokui gli ir pvykti sudryti 7 skičių skičių eilutę, kurioje et kurių 13 iš eilės einnčių skičių sum yr visd teigim, o visų 7 tų skičių sum, tvirkščii, yr neigim. 3. Prieš Blieriškio žinutę Vivutę ir eprisišvilpusintį Suvlkijos ernioką Vitą guli dvi kone pskutinio todūsio gryų krūvelės. Vienoje iš jų pskutinio todūsio gryų yr 01, o kitoje tik 13. Vivutė su Vitu pkitomis im su todūsio gryus, kiekvieną krtą glėdmi pimti kiek nori gryų, et tik iš vienos kurios nors krūvelės. Imties prleisti neglim, pirmoji im Blieriškio žinutė Vivutė, o limėjusiu pskelims ts, po kurio imties neepimtų gryų visi neeliek. Ar gli kuris nors iš jų
imti tuos pskutinio todūsio gryus tip, kd jis visd limėtų, kd ir ką edrytų kits gryėmys ir kip jis td glėtų juos imti? Sprendims. Sprendimo lgoritms yr li pprsts pirmuoju svo gryėmiu Vivutė gli sulyginti i gryų krūvs, pimdm iš pirmosios didesniosios krūvelės 01 13 = 1999 dug ždnčius gryus. Tolesni jos veiksmi pršomi pprstu prinipu: kiek Vits epimtų iš vienos kurios krūvelės, tiek pt ji glės pimti iš kitos. Tokiu ūdu, jeigu pimti pjėgs Vits, ti pimti pjėgs ir Vivutė. Kdngi gryų skičius yr igtinis ir po kiekvieno gryėmio jis mžėj, ti todėl ūtent Vivutė ir us ts žmogus, kuri pims pskutinius dug ždnčius gryus ir todėl limės (jei tik neprdės jų krmsnoti). Atskyms. Vivutė gli imti tip, kd ji visd limės, nesvru kip eimtų ernioks Vits.. 4. Suvlkijos ernioko pusrolis Vits neišrendmuose Kzlų Rūdos miškuose tylii gržii ugin šoklis ekologines ožkeles, kuris sekmdieniis dr ir treniruoj, o vidurdieniis ju pgl nuotiką joms net pšvilpuj. Ožkelės yr linksmutės, meken su į tktą, pšrs joms nerūpi. Krtą ts Suvlkijos ernioks, tvykęs psižmonėti į tą gūdus miško viduryje klestinčią fermą, tikslii susiskičivo, kd iš viso tme prodomjme pslėptjme ūkyje, suskirstytos į ptvrus, indzinėj lygii 54 ožkelės. Vidurdienį pusrolis Vits, prdėdms prodomąjį ožkelių rodeo, įtigii sušvilpė. Atliepdmos į švilpesį, kiekvien ožkelė tik drykt ir peršoko į gretimą ptvrą, kuri kur tinkm. Nudžiugęs dėl ožkelių šoklumo linksmsis šeimininks vėl perskičivo js ptvris ir, plyginęs su nkstesniis įršis, pskė svečiui, kd kiekvienme ptvre, oi kip įdomu, et ožkelių skičius pkito septyneriopi. (Pst: pkito septyneriopi jų tisyklingoje kloje reiški, kd r septynis krtus pdidėjo, r septynis krtus sumžėjo.) Či pt nežini iš kur išdygusi muziklioji ešvilpujnčio ernioko sesė Sont, psiklusiusi tų žodžių ir skičių, prpliupo nesulikomi kvtoti. Pklust, ko gi ji či tip linksminsi, Sont psteėjo, kd ji tos ožkelės neli rūpi, et jeigu ju visuose ptvruose tikri gnėsi iš viso 54 ožkos, ti po jokio švilpesio nieku gyvu negli nutikti tip, kiekvienme tskirme ptvre ožkų skičius pkistų, kip ji či ką tik girdėjo, lygii septyneriopi. Tip neus ir tšks,- trė ji,- nes tip ūti negli. Iš kur ji či toki gudri? Ti ir jūs kiekviens nuspręskite, r teisi yr Sont, r neteisi, t kvtojnti eprisišvilpusinčio ernioko muziklioji sesė? Ir ūtini pgrįskite, kodėl jūs tip mnote? Sprendims. Kiekvienm ptvrui sudėkime tą ožkų skičių, kuris ptvre uvo iki vidurdienio, su tuo ožkų skičiumi, kuris jme rdosi po to. Akivizdu, kd toji sum kiekvienme ptvre dlijsi iš 8. Tikri, jeigu tme ptvre ožkų skičius septyneriopi sumžėjo, ti iki pusiudienio jis uvo 7x, po pusiudienio jis psidrė tik x, r iš viso prieš ir po krtu yr 7x + x = 8x. Atvirkščii, jeigu ptvre ožkų skičius didėjo, ti iki vidurdienio ten uvo y ožkų, po vidurdienio ts skičius pseptyneriopėjo, tigi psidrė 7y, r iš viso krtu su tuo, ks uvo iki vidurdienio, yr 7y + y = 8y, r ti yr ir vėl iš 8 esidlijntis skičius. Kdngi tip yr kiekvienme ptvre, ti tip us ir visose Vito vldose. Bet pgl sąlygą visose piemens vldose yr 54 ožkos, ti du krtus suskičiuots ožkų skičius yr 54 + 54 = 108. Bet 108 iš 8 nesidlij, todėl tip, kip či kd plnuojm, projektuojm ir pršinėjm, ūti negli nors ir kip žvii ir ptruklii visi ti glėtų trodyti. Atskyms. Sont tikri teisi. 5. Iš trijų skirtingų smiliojo trikmpio viršūnių ešvilpujntis ernioks Vits krtu su sesule Sont ei pusroliu Romu Kyrtiškiu išvedė: Vits pusiukmpinę iš vienos, Sont ukštinę iš kitos, o Roms pusiukrštinę iš likusios trečios to trikmpio viršūnės. Po to jie visi dr filosofiški psvrstė, r gli ešvilpujnčio ernioko Vito ir jo rtimiusio pusrolio Romo Kyrtiškio išvestosios pusiukmpinė su pusiukrštine pdlinti sesulės Sontos ukštinę į tris lygis dlis? Ti r gli kd tip nutikti? Jeigu tip tikri gli nutikti, ti pteikite mums tinkmą pvyzdį, o jeigu tip nutikti negli, ti pršome piškinti, kodėl? Sprendims Sont yr teisi.
Ti mes dr ir įrodysime. Skykime, kd visuose ptvruose, kuriuose ožkų skičius psidrys 7 krtus didesnis, dr, dr nesušvilpus, gnosi x ožkų, o tuose ptvruose, kuriuose po sušvilpimo ožkų skičius 7 krtus sumžės, dr, dr nesušvilpus, gnosi y ožkų. Tuose pvruose, kur po švilpesio ožkų skičius septyniriopi pdidės,, po švilpesio pgl sąlygą, ju us lygii 7x ožkų, o tuose ptvruose, kur po švilpesio, o-kų skičius septyniriopi sumžės, po švilpesio us y/7 ožkų. Bet ir dr dr, dr nesušvilpus, it td, ki ju us sušvilpt, endrs ožkus skičius us lygii toks pts, r lygus Kdngi ir dr, prieš švilpesį, ir vėliu, ju po švilpesio, ožkų skičius us toks pts ir lygus 54, todėl us teisingos lygyės: x + y = 54, 7x y 54. 7 Sulyginę turėtume y x y 7x, 7 o pduginę iš 7 gutume 7x +7y = 49x + y, r 6y = 4x, iš kur išpluki y = 7x. Įršius kd ir į pirmąją lygtį gunme x + 7x = 54 r 8x = 54, vdinsi, x nėr sveiksis skičius ir ožkų skičius reikšti negli. Antrsis sprendims, Jme nieko nereiki žinoti, tik suprsti ir nepmiršti, kd skičius 108 nesidlij iš 8. Įsivizduokime, kd šuolio metu iš kiekvienos ožkos psidro dvi vien td ntūrlii grįžt į tą ptvrą, iš kurio ji ką tik iššoko, o kit tsiduri ten, kur ir norėjo įšokti. Td kiekvienme ptvre esnčių ju pdviguėjusių ožkų skičius dlinsis iš 8, nes jis yr lygus r skičiui 7m + m, r n + 7n, priklusomi nuo to, r konkrečime ptvre esnčių ožkų skičius septyneriopi mžėjo r didėjo. Todėl kiekvienme ptvre esntis ožkų skičius yr lygus 8n r 8m, todėl jis visd dlijsi iš 8. Vdinsi, iš 8 turi dlintis ir viss ts ju pdviguėjęs ožkų skičius, kuris yr 54 = 108. Tčiu, kip ju uvo pskyt, 108 iš 8 nesidlin ir todėl ts uždvinys sprendinių neturi ir Sont vėl yr teisi. Atskyms. Sont yr teisi kiekvienme ptvre ožkelių skičių septyneriopi psikeisti negli. 5. Iš trijų skirtingų smiliojo trikmpio viršūnių ešvilpujntis ernioks Vits krtu su sesule Sont ei pusroliu Romu Kyrtiškiu išvedė Vits pusiukmpinę iš vienos, Sont ukštinę iš kitos, o Roms pusiukmpinę iš trečios to trikmpio viršūnės. Po to jie visi filosofiški svrstė, r gli ešvilpujnčio ernioko ernioko Vito ir pusrolio Romo Kyrtiškio išvestosios pusiukmpinė su pusiukrštine pdlinti sesulės Sontos ukštinę į lygii tris lygis dlis?
Sprendims. Įrodysime, kd šis jų sumnyms yr neįgyvendinms. Skirsime du tvejus. Pirmsis tvejis, ki pusiukmpinė AD, išvest iš viršūnės A, kert ukštinę CH ukščiu, negu iš viršūnės B išvestoji pusiukrštinė BE (rėžinys iš krto žemiu) ir ntrsis tvejis, ki pusiukmpinė AD, išvest iš viršūnės A, kert ukštinę CH žemiu, negu iš viršūnės B išvestoji pusiukrštinė BE (rėžinys dr žemiu). Pirmsis tvejis iš krto neglims, nes AK td yr stčiojo trikmpio AHC smiliojo kmpo A pusiukmpinė ir, ūdm pusiukmpine, dlij tą krštinę CH, į kurią ji yr išvest, proporings šoninėms krštinėms (AC ir AH) dlis. Vdinsi, KH x AH. KC x AC Gutoji lygyė reikštų, kd stčiojo trikmpio AHC sttinis AH ūtų dukrt ilgesnis už įžminę AC, o ti soliučii neįmnom. Antruoju tveju smprotusime su plotis. Pirmiusii prisiminkime, kd et kuri et kurio trikmpio pusiukrštinė pdlij to trikmpio plotą į dvi lygis dlis. Lygii tip pt yr tme dr žemiu esnčime trikmpyje pusiukrštinė BE, dlij trikmpio ABC plotą į du lygipločius trikmpius ABE ir BEC.
Kit vertus, įrodysime, kd mūsų sqlygomis trikmpio ABE plots yr didesnis už trikmpio BEC plotą ti ir us prieštrvims, įrodntis, kd tip ūti irgi negli. Tm pknk įrodyti, kd trikmpį ABE sudrnčių keturkmpio AHLE ir trikmpio LHB ploti yr titinkmi didesni už trikmpį BEC sudrnčių trikmpių LEC ir CLB plotus. Trikmpio AHK plotą pžymėkime S. Psteėsime, kd trikmpii AHK, AKL ir ALC yr lygipločii, kip turintys vienodo ilgio pgrindus HK, KL ir LC ei tą pčią viršūnę tške A ir iš jos išvestą endrą visiems tiems trims trikmpims ukštinę AH. Dr nesunku mtyti, kd keturkmpio AHLE plots yr didesnis (,5 krto) už trikmpio AHK plotą S, o trikmpio ELC plots yr mžesnis už trikmpio ALC plotą (jis lygus pusei to ploto), kuris yr toks pts kip trikmpio AHK plots S. Pnšii trikmpio BHL plots yr ( krtus) didesnis už trikmpio BLC plotą, nes ir tie trikmpii turi endrą ukštinę BH, išvestą iš viršūnės B, o pirmojo trikmpio pgrinds HL (kuris yr x), yr ilgesnis už kito trikmpio pgrindą CL (kuris yr x). Atskyms. Smiljme trikmpyje iš dviejų skirtingų viršūnių išvestos pusiukrštinė ir pusiukmpinė negli iš trečiosios jo viršūnės išvestą ukštinę pdlinti į tris lygis dlis. 013 meti 1. Bešvilpujntis Suvlkijos ernioks krtą kžkur pmtė tokią pprstą lentelę, kurios lngeliuose uvo suršyti tik nulii ir vieneti po vieną skičių kiekvienme lngelyje. Geriu psižiūrėjęs ernioks pmtė, kd t lentelė ne visi pprst, nes et kurime jos x kvdrte uvo po lygii tris vienodus skičius, o ketvirts skičius uvo kitoks. (A) Pteikite ir Jūs mums tokią 5 x 5 lentelę, kurios lngeliuose įršyti tik nulii ir vieneti, po vieną skičių kiekvienme lngelyje, ir kurios et kurime x kvdrte yr lygii trys vienodi skičii, o ketvirts skičius yr visd skirtings. (B) Toliu pršome mums pteikti tokią 5 x 5 lentelę su pči didžiusi įmnom tokios lentelės visų 5 nulių ir vienetų sum. Ir piškinkite mums, kodėl t sum yr pti didžiusi. Sprendims Iš krto mtome dvi tinkms lenteles. Vien iš jų yr su keturiis vienetis, o kit glim skyti duli ji su keturiis nuliis. Vien yr 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 O kit ūtų duli ji, nes pknk 0 ir 1 sukeisti vietomis. 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Ši lentelė, išku, pretenduos ūti lentele su pči didžiusi glim skičių sum. Kdngi joje yr tik keturi 0, o kiti elementi yr 1, ti šios lentelės skičių sum yr 1. Liek įrodyti, kd didesnė ji negli ūti. Jeigu ji glėtų ūti didesnė, ti joje teūtų dugiusii tik trys nulii. Bet jei joje teūtų tik dugiusii trys nulii, ti td et kurį jos 4 x 4 kvdrtą pdlijus į keturis nesikertnčius x kvdrtus, kiekvienme iš tų keturių kvdrtų turėtų ūti ent po vieną nulį, o ti prieštruj tm, kd visų tokios lentelės skičių sum glėtų ūti didesnė kip 1. Atskyms. Pti didžiusi lentelės skičių sum gli ūti 1.
. Vieną krtą Suvlkijos ernioks pvrgęs nuo drų ir dinų užmigo ir spne regėjo du triženklius skičius. Nors tie skičii uvo li pnšūs, tčiu ernioks puikii įsiminė, kd jie tesiskyrė tik vieninteliu skitmeniu kžkurioje vienoje poziijoje, jis ju neetsiminė kurioje šimtų, dešimčių r vienetų, o likusiose dviejose poziijose kiti skitmenys uvo tokie ptys. Negn to, lss už kdro įtigii pskė ir dr pkrtojo, kd viens iš tų poros skičių yr kito poros skičius krtotinis. Rytą prudęs Suvlkijos ernioks suprto, kd derėtų išsiiškinti keletą dlykų: (A) Ar jo spns uvo teisings ir r tikri glim rsti tokius du triženklius skičius (m, n), tesiskirinčius tik vienoje kurioje nors iš trijų poziijų, o kitose dviejose poziijose turinčių tuos pčius skitmenis ir dr, žinom, tokius, kd viens iš jų ūtų kito krtotinis? (B) Gl jums pkktų kntryės sursti ju penkis tokis pors (m, n). (C) Gl piškintumėte mums, r tokių porų (m, n) yr dugiu kip dešimt. (D) Surskite, kiek tokių porų (m, n) yr iš viso. Pst. Skičiuodmi glims tokis pors likykime, kd ntrsis poros skičius n yr nemžesnis už pirmąjį poros skičių m. Sprendims Iš to, kd skičii kivizdžii negli sutpti ir iš to, kd ntrsis skičius yr pirmojo skičius krtotinis, išpluki, kd n m. Kdngi m yr sveiksis skičius, kuris yr didesnis r lygus 100, mes gunme, kd n m m 100 ir todėl m ir n tegli skirtis tik šimtų skiltyje (pirmjme triženklio skičius skitmenyje iš kirės). Ti reiški, jog egzistuoj toks ntūrlusis skičius k (1 k 8), kd n m = 100k. Kdngi m dlij n, ti mes mtome, kd m dlij n m = 100k. Iš to, kd m n 999, išpluki jog m 499. Iš to išpluki, kd m turi ūti viens kuris iš žemiu pteiktųjų skičių: 100, 10, 15, 140, 150, 160, 175, 00, 50, 300, 350, 400. Tinkmos n reikšmės, titinknčios šis tskirs m reikšmes gli ūti prinktos titinkmi 8, 1, 1, 1,, 1, 1, 3, 1,, 0, 1 ūdis. Todėl mtome, kd prinkti tokią tinkmą porą (m, n) yr iš viso ūdi. Atskyms poros 3. Suvlkijos ernioks li tsrgii spręsdvo geometrinius uždvinius. Ir ne kiekvieną geometrinį uždvinį jis glėdvo greiti išspręsti, et uždvinius su kmpis mėgo gl todėl, kd jm sekėsi juos spręsti. Krtą jo sesė geltonksė ir prnešė jm tokį uždvinį su kmpis ir liūdnoki šyptelėjusi ppršė ernioko pdėti sursti tinkmą sprendimą. Perskitęs sąlygą ernioks iš krto prisėdo prie rėžinio jis puikii žinojo, kd rėžinys geometrinime uždvinyje yr ukso vertės. Pti uždvinio sąlyg uvo trumputė ir skmėjo tip: Trikmpyje ABC išvedus kmpų A ir B pusiukmpines AD ir BE piškėjo, kd net trijų kmpų ADC, AEB ir BAC didumi yr tokie ptys. Km lygūs trikmpio ABC kmpi? Sprendims. Pgl sąlygą kmpi ADC, AEB ir BAC yr lygūs α.
1 1 Kdngi pgl sąlygą AD yr trikmpio ΔABC pusiukmpinė, ti DAB BAC. Iš 1 1 trikmpio ABD rndme, kd ABD 180 BDA DAB 180 (180 ). 1 Todėl ABE, kdngi pgl sąlygą BE dlij kmpą ABC pusiu. 4 Sudėdmi visus tris trikmpio ABE kmpus gunme, kd 1 180, iš kur sek, kd 80. Tokiu ūdu 4 1 BAC 80, ABC 40, ACB 60. Atskyms 40,60,80. 4. 013 metms sėkmingi esiigint Suvlkijos ernioko mėlynkė sesė Lur pmėgo skitinius židimus, kuriuose džniusii reikėdvo kžkokiu nurodytu ūdu stengtis psiekti išsvjotą metų skičių 013. Vieno dviejų židėjų židžimo židimo sąlyg uvo toki: Pirmiusii lentoje yr pršoms skičius. Td ešvilpujntis ernioks ir sesė geltonksė Lur pkitomis im prie lentoje esmo skičius pridėjinėti ntūrliuosius skičius. Kiekvienu dėjimu prie ju esmo skičius yr reiklujm pridėti ent 1, et, ntr vertus, prie ju esnčio lentoje skičius reiki pridėti mžesnį skičių už tą, kuris tuo metu yr pršyts lentoje. Užršnt nują skičių, nkstesnis nutrinms. Pirmąjį ėjimą Luros siūlymu visd dro ešvilpujntis ernioks. Limi ts židėjs, kuris pirmsis lentoje pršo metų skičių 013. Ar gli kuris nors iš jų visd pirmsis psiekti 013, kd ir ką edrytų kits židėjs? Sprendims Kdngi Luros siūlymu pirmsis ein ešvilpujntis ernioks, o lentoje yr užršyti, ti pirmsis jo ėjims yr iškus iš nksto; jis tegli pridėti 1 ir pršys lentoje 3. Toliu, kd ir ką Lur edrytų, ernioks gli psiekti, kd po seknčio jo ėjimo lentoje ūtų 7. Tolesniis svo ėjimis jis gli psiekti, kd lentoje tsirstų skičii 15, 31, 6, 15, 51, 503, 1006 ir, gliusii, išsvjotieji 013 ir todėl jis visd gli limėti, kd ir ką edrytų Lur. Atskyms Jeigu Luros psiūlymu pirmąjį ėjimą dro ešvilpujntis ernioks, ti jis gli limėti, kd ir ką edrytų Lur.
5. Suvlkijos ernioko mėlynkę sesę Lurą ir jos kimynę Astą kurį liką šiek tiek gąsdino toks x klusims su trupmenomis: skykime, kd x x 1, ti km lygu x 1? 4 x x ir Sprendims. Skykime, kd 0, td x 0 ir todėl yr teisingos lygyės x 4 x x 1 x 1 1 1 x x x 1 1 x x 1 1 x 1. x x Todėl x 1. 4 x x 1 1 1 1 1 Ši lygyė, kip ti lengv ptikrinti, yr teising ir td, ki = 0. Atskyms. 1 014 meti 1. Ankstyvoji Dovyduko Mrijmpoliškio kūdikystė igėsi td, ki iš jo tėvų nmų į Vilnių vdovuti Deesų kompiuterijos trestui išsikrustė dėdė Stsys. Ir ne vien tik dėl to, kd po to li nuseko Dovyduko sldinių jūr tortų krntis pdėt. Kip linkusim prie ršto liusii erniukui įstrigo supkuotos išvežti dėdės Stsio dėžės su knygomis. Tų dėžių uvo didžiulė virtinė, o visos jos krtu svėrė net 10 tonų. Dovyduks geri nugirdo, kd jokios dėžės svoris neviršij 1 tonos. Kiek mžiusii sunkvežimių, glinčių vežti ne dugiu kip 3 tons krovinio kiekviens, reikėtų užskyti, kd jis, tų dėžių tskiri ju neesvėrinėjnt, į Vilnių ūtų grntuoti glim išvežti viss dėdės Stsio dėžes su knygomis? Sprendims. Pirmiusii psteėkime, kd 4 sunkvežimių gli ir nepkkti. Tip glėtų nutikti, pvyzdžiui, 10 td jei pervežtins krovinys susidėtų iš 13 dėžių, sverinčių po tonos kiekvien. 13 Tikri, jeigu trtume, kd ir td pkktų 4 sunkvežimių, ti turint 13 dėžių į kžkurį sunkvežimį 10 tikri prisieitų kruti ne mžiu negu 4 dėžes, o ti ju ūtų ne mžiu kip 4 krtus po 13 40 tonos, r iš viso ne mžiu kip 3 (tons) svorio, o šitiek svorio pgl sąlygą sunkvežimis 13 neeptruks. Teliek piškinti, kd 5 sunkvežimių ūtų grntuoti gn, o tm pknk nurodyti įtikinmą krovimo ūdą, kuris glėtų ūtų nupskots tip: į kiekvieną sunkvežimį krunme dėžes iš eilės, kol ti įmnom (visi nesvru, koki dėžių tvrk r sunkvežimių eile). Kdngi jokios dėžės svoris nepršok 1 tonos, ti į et kurį 3 tons pvežntį sunkvežimį tip krudmi knygų dėžes tikri glėsime sukruti ne mžiu kip tons knygų (prisiminkime, kd
joki dėžė dugiu 1 tonos nesveri) ir todėl į 5 sunkvežimius tikri sukrusime viss 10 tonų krovinio, r viss dėdės Stsio knygs. Atskyms Grntuotm dėdės Stsio knygų į Vilnių išvežimui gli prireikti 5 sunkvežimių.. Į kiekvieną Dovyduko Mrijmpoliškio gimtojo Nujojo Virlio miestelio nmą vieną gržų gruodžio rytą liškininks tnešė r 1, r, r 3, r 4 Šv. Klėdų sveikinimus. Dovyduks su svo drugis tliko sttistinius tyrimus ir tikslii suskičivo, kd nmų, į kuriuos liškininks tnešė net 4 sveikinimus, uvo lygii septynis krtus dugiu, negu nmų, į kuriuos teuvo tnešts vienintelis sveikinims, o nmų su Šv. Klėdų sveikinimis uvo lygii penkis krtus dugiu negu nmų su vieninteliu sveikinimu. Rskite, kiek vidutiniški Šv. Klėdų sveikinimų tą lemtingą gruodžio rytą uvo tnešt į kiekvieną gimtojo Dovyduko miestelio Nujojo Virlio nmą. Sprendims Jeigu nmų skičių, į kuriuos tkelivo vienintelis sveikinims, pžymėtume N, ti nmų, į kuriuos uvo tnešti net 4 sveikinimi, yr 7N, o nmų, į kuriuos uvo tnešti sveikinimi, yr 5N. Psteėkime, kd nieko nežinome pie nmus su 3 sveikinimis, kurių yr, skykime, M r, kitip sknt, nieko nėr pskyt pie skičius M sntykius su kitokį sveikinimų skičių gvusiis nmis ir ti prdžioje keli tm tikrų tsrgokų minčių. Pirmiu sudrome lentelę trsi nmų su 3 sveikinimis Nujjme Virlyje pskriti neūtų uvę. Suprntm, kd toji lentelė trodys tip: 1 3 4 N 5N 0 7N Tigi jeigu trtume, kd nmų, gvusių 3 sveikinimus, iš Nujjme Virlyje iš viso neūtų uvę, ti td į kiekvieną Nujojo Virlio nmą vidutiniški ūtų tkelivę 1 N 5N 0 M 4 7N 39N 3 N 5N 0 7N 13N sveikinimi ir toliu ju visks iš krto im stotis į svs viets. Psidro išku, kd yr visi nesvru, kiek nmų gvo lygii po 3 sveikinimus, nes kdngi kitokių nmų gutųjų sveikinimų vidurkis, kip ju piškėjo, yr 3, ti fkts, kiek nmų gvo po 3 sveikinimus, drosi neesvrus, r ju tik sttistiki ereiklings, nes juk td ir visų Nujojo Virlio nmų sveikinimų vidurkis ju per mžius yr ir us lygus 3. Tikri, lentelės 1 3 4 N 5N M 7N vidurkis, nepriklusomi nuo to koks eūtų M, yr 1 N 5N 3 M 4 7N 39N 3M 3(13N M ) 3. N 5N M 7N 13N M 13N M Atskyms Į kiekvieną gimtojo Dovyduko miestelio Nujojo Virlio nmą tą lemtingą gruodžio rytą uvo tnešti vidutiniški 3 Šv. Klėdų sveikinimi. 3. Dovyduks, krtą vrtydms svo senelio Motiejus Mrijmpoliškio gimnzijos prengimojo skyrius geometrijos sąsiuvinius, rdo vieną sąlygą, prie kurios jo grusis senelis uvo pdėjęs šuktuką ir dr priršęs trumpą komentrą Žvu. Dovyduks užsidegė noru išspręsti tą uždvinį, kurime mtėsi į kvdrtą įrėžts pskritims ir dr stčikmpis, kuris uvo kvdrto viduje, et pskritimo išorėje. Dvi to stčikmpio krštinės ėjo kvdrto krštinėmis, o vien stčikmpio viršūnė priklusė įrėžtm pskritimui (kip prodyt
rėžinyje). Buvo dr pskyt, kd to stčikmpio ukštis yr dvigui didesnis už jo plotį. Koks yr kvdrto ir stčikmpio plotų sntykis? Sprendims Pžymėkime pskritimo spindulį ride x, td kvdrto krštinės ilgis, yr, suprntm, lygus x. Toliu, tegu y išreiški įrėžto stčikmpio plotį, td pgl sąlygą to stčikmpio ukštis yr y (žr. rėžinį). Tikydmi Pitgoro teoremą stčijme trikmpyje PQR turėsime lygyę x ( x y) ( x y). Ją pertvrkę gusime sąlygą x 6xy 5y 0, kurią skidydmi duginmisiis turime išrišką ( x y)( x 5y) 0. Iš či e jokių ejonių gunme, kd r x y, r x 5y. Pirmoji lygyė mūsų uždvinio sąlygomis yr neįmnom, nes td sąlyg x y reikštų, jog nėr pskritimo. O ki x 5y, ti td kvdrto krštinė yr lygi 10y, stčikmpio plots y y y ir jų plotų sntykis yr (10 y ) : y 100 y : y 50 : 1. Atskyms Kvdrto ir stčikmpio plotų sntykis yr 50 : 1. 4. Škiuose ėmė krtą ir susidrugvo du ntūrlieji skičii m ir n. Krtą, ekeliudmi į Vilkviškį, jie prvživo pievą, kurioje vikštinėjo trys lygtys, vien vrdu 9x + 4y = 135, kitos vrds uvo 4x + 9y = 135, o treči uvo vrdu 11x + 6y = 40. Bet juodu net glvos į tą pusę nepsuko. Bešvilpujnčio Suvlkijos ernioko sesė geltonksė mums ir sko: Be reiklo jiedu net glvos į ts įspūdings lygyes nepsuko. Juk jeigu jose vietoje x imtume ir įršytume tą keliu prvživusį m, o vietoje y imtume jo mirtiną drugą n, ti piškėtų ne tik ti, kd kžkurios dvi iš tų lygčių virst teisingomis lygyėmis, et ir kd t likusi lygtis teising
lygye niekip nevirst. O sumnusis Dovyduks Mrijmpoliškis dr pridūrė, kd piškėtų ne tik ti, kd kžkurios dvi lygyės yr tenkinmos, o likusioji netenkinm, et piškėtų ir pti didžiusioji pslptis: kokio tikslii didumo yr tie du drugelii m ir n, kurie ką tik prdrdėjo pro šlį, leisdmi su į nieką nekreipti dėmesio. Tigi kokie yr tokie du ntūrlieji skičii m ir n, kurie tenkin kžkuris dvi iš lygyių 9m + 4n = 135, 4m + 9n = 135, 11m + 6n = 40, o likusiosios niekip ne? Sprendims Pirmiusii psteėkime, kd sudėję pirmąją ir ntrąją lygtis gunme 13m + 13n = 70, r 13(m + n) = 70. Tčiu td m + n negli ūti sveiksis skičius, nes 70 nesidlij e lieknos iš 13, o td juo liu ntūrliisiis skičiis negli ūti ir ptys m su n. Vdinsi, kdngi sudėję pirmąją ir ntrąją lygtis, gunme prieštringą išvdą, r, pprsti klnt, kžką e ryšio, todėl glim skyti, jog vien kuri iš jų ir yr t likusioji lygtis, pie kurią sąlygoje pskyt, jog ji netenkinm. Toliu psteėkime, jog tėmę pirmąją lygtį iš trečiosios gutume lygyę m + n = (m + n) = 105, kurios vėl jokie nei sveikieji, nei juo liu ntūrlieji skičii ptenkinti negli, nes jei glėtų, ti td kirėje pusėje ūtų lyginis, o dešinėje ju nelyginis skičius. Tigi vėl vien kuri iš ju kitų dviejų dr pirmoji r trečioji yr iš tų lygyių, pie kurią sąlyg kl kip pie likusiąją lygtį, r tokią, kuri negli ūti ptenkint. Kdngi netenkinm r toji likusioji lygtis pgl uždvinio sąlygs yr vien vienintelė, ti td j privlo ūti pti pirmoji lygtis, nes tik ji minim iem tvejis. Td likusios lygtys r ntroji su trečiąj i yr geros ir išsprendę js krtu e jokio vrgo rndme, kd m = 18, o n = 7. Atskyms (m; n) = (18; 7) 5. Krtą Dovyduks Mrijmpoliškis, ūdms geroki išsilškęs, gn ilgi vrgo su tokiu uždviniu, kurime uvo pskyt, kd skičii, ir tenkin sąlygą =1, ir uvo klusim, r ūtų glim tik tiek težinnt sursti, km yr lygi sum. Sprendims Minėtąją sumą sursti glim. Psteėkime, kd. 1 Pnšii 1 ir 1. Sudėjus viss tris išrišks gutume +3 = = 1 + 3 = 4. Atskyms Glim. = 4.