lec10.dvi

Transkriptas

1 paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v 2 E priskiria realuji skaiciu (u; v) 2 R ir tenkina aksiomas: S) (u; v) =(v; u) su visais u; v 2 E; S2) (u + u2;v) =(u;v) +(u2;v) su visais u;u2;v 2 E; S3) (au; v) =a (u; v) su visais u; v 2 E ir a 2 R; S4) (u; u) su visais u 2 E ir (u; u) =, u =: pibr_ezimai.. Vektoriaus v 2 E ilgiu vadinamas neneigiamas skaicius q kvk = (v; v). 2. tstumu tarp vektoriu u ir v vadinamas skaicius d (u; v) =ku, vk : Teiginys. Vektoriaus v ilgis kvk tenkina sias savybes: N) kvk irkvk =, v =: N2) kavk = jajkvk su visais v 2 E ir a 2 R: N3) ku + vk kuk + kvk su visais u; v 2 E: ) d (u; v) ird (u; v) =, u = v. 2) d (u; v) =d (v; u) : 3) d (u; v) d (u; w)+d (w; v) - trikampio nelygyb_e Irodymas. Savyb_es N, N2, ir 2 yra tiesiogin_es S-S4 isvados. Savyb_es N3ir 3 irodymas remiasi auchy-schwarz nelygybe, kuria irodysime zemiau. Teorema( auchy-schwarz-uniakovskio nelygyb_e). Euklido erdv_eje E teisinga nelygyb_e su visais u; v 2 E: j(u; v)jkukkvk Irodymas. Nagrin_ekime kvadratine funkcija t atzvilgiu f (t) =(u + tv; u + tv) = (u; u) +2t (u; v) +t 2 (v; v) : Is apibr_ezimo turime, kad f (t) su visomis t reiksm_emis, tod_el D =,4(v; v) (u; u)+4(u; v) 2 ) (u; v) 2 (u; u)(v; v) ir (u; v) kukkvk :

2 Pasteb_esime, kad f (t) =, (u + tv; u + tv) =, u ir v yra tiesiskai priklausome sistema. Irodyta. pibr_ezimas. Euklido erdv_eje apibr_eziama kampo tarp nenuliniu vektoriu u ir v savoka: cos (du; v) = (u; v) kukkvk : Pavyzdys. ritmetin_eje erdv_eje R n skaliarin_e sandauga apibr_eziama lygybe: x y ; = xy + + x n y n : Tada auchy-schwarz-uniakovskio x n y n nelygyb_e Euklido erdv_eje yra zinoma skaitin_e nelygyb_e q q jxy + + x n y n j x x 2 n y y 2 n su visais realiais skaiciais x; :::; x n ;y; :::; y n : pibr_ezimas..nenuliniai vektoriai u ir v vadinami ortogonaliais, jeigu (u; v) =: 2. Vektorius u vadinamas normuotu, jeigu kuk =: 3. Euklido erdv_es baz_e e;e2; :::; e n vadinama ortogonalia, jeigu sie vektoriai yra poromis ortogonalus, t.y. (e i ;e j )=; kai i 6= j n; ir ortonormuota, jeigu beto vektoriai yra normuoti, t.y. ke i k =su visais i: Teiginys. Jeigu nenuliniu vektoriu sistemos e;e2; :::; e m vektoriai yra poromis ortogonalus ( vektoriu sistema yra ortogonali), tai si sistema yra tiesiskai nepriklausoma. Irodymas. Tegu e;e2; :::; e m yra ortogonali vektoriu sistema. Nagrin_ekime lygybe ae + + a m e m =: Tada (ae + a m e m ;e i )=a (e;e i )++ a i (e i ;e i )++ a m (e m ;e i )= a i (e i ;e i )=ira i = su visais i =; :::; m: 2

3 Irodyta. Tegu e;e2; :::; e n, ortogonalioji Euklido erdv_es baz_e, o v = b j e j.turime j= (u; v) = X n a i e i ; i= j= b j e j = n X i;j= a i b j (e i ;e j )= a i b i (e i ;e i ) : i= Jeigu, beto, e;e2; :::; e n, ortonormuota Eukido erdv_es baz_e, tai (u; v) = a i b i : i= a i e i ir u = i= r visada Euklido erdv_eje egzistuoja ortogonali ir ortonormuota baz_e? I si klausima teigiamai atsako Teorema( J.P.Gram - E.Schmidt ortogonalizacijos procesas). Euklido erdv_es E kiekvienai tiesiskai nepriklausomai sistemai u;u2; :::; u m egzistuoja veinareiksmiskai apibr_ezta tokia vektoriu sistema v;v2; :::; v m ; kad ) vektoriai v;v2; :::; v m poromis ortogonalus( t.y. sistema yra ortogonali); 2) v i, u i 2 [u; :::; u i,] su visais 2 i m: Irodymas. Indukcija pagal m: Kai m =; tai v = u ir teiginys irodytas. Irodysime indukcini teigini m, ) m: Pagal indukcijos prielaida, vektoriu u; :::; u m, sistemai egzistuoja tokia ortogonali vektoriu v; :::; v m, sistema, kad v i, u i 2 [u; :::; u i,] su visais 2 i m, : Pasteb_esime, kad [u; :::; u m,] = [v; :::; v m,] ; nes su visais j = ; 2; :::; m, vektoriai v i = u i +(v i, u i ) 2 [u; :::; u m,] ir beto sistema v; :::; v m, yra tiesiskai nepriklausoma ir tod_el sudaro [u; :::; u m,] baze. Ieskomas vektorius v m turi tenkinti sias savybes: ) (v m ;v) = =(v m ;v m,) = 2) v m, u m 2 [u; :::; u m,] =[v; :::; v m,] : Taigi, vektorius v m tur_etu buti lygus v m = u m + v + + m,v m,: Tada =(v m ;v) =(u m + v + + m,v m,;v) = (u m ;v)+ (v;v) ) =, (um;v ) kv k 2, 3

4 ..., =(v m ;v m,) =(u m + v + + m,v m,;v m,) = (u m ;v m,)+ m, (v m,;v m,) ) m, =, (um;v m,) kv m,k 2. Gavome, kad vektorius v m = u m, (um;v ) kv k 2 Irodyta. v,, (um;v m,) kv m,k 2 v m,: Pastaba. Is Gramo-Schmidto ortogonalizacijos proceso turime, kad bet kurioje Euklido erdv_eje egzistuoja ortogonali baz_e, o jeigu jos vektorius dar ir normuoti, tai ir ortonormuota baz_e. pibr_ezimas. Jeigu U yra Euklido erdv_es E poerdvis, tai aib_e U? = fv 2 E :(v; u) su visais u 2 Ug vadinama poerdvio U ortogonaliuoju papildiniu. Svarbiausios ortogonalaus papildinio savyb_es yra sios:. U? yra E poerdvis. 2. Jeigu u; :::; u m yra U baz_e, tai U? = fv 2 Ej (v; u i )=;i =; :::; mg : 3. U \ U? =: 4. dim U? = dim E, dim U: 5. E = U U? : 6. U?? = U: Taikymai.. Ortogonalusis papildinys ir tiesiniu lygciu sistema. Teiginys. Tegu V yra Euklido erdv_es R n poerdvis, generuotas eilut_emis v = (a; :::; an) ; :::; v m =(a m; :::; a mn ) ; ir v =(x; :::; x n ) 2 R n : Tada sios salygos yra ekvivalentiskos: ) v 2 V? : 2) (v; v i ) = su visais i =; :::; m: 3) (x; :::; x n ) yra tiesin_es lygciu sistemos 8 >< >: ax + + anx n = a mx + + a mn x n = 4

5 sprendinys, t.y. V? yra sios sistemos sprendiniu aib_e. 2. Tiesiniu lygciu sistemos maziausiu kvadratu sprendinys. Tegu v = b yra tiesiniu lygciu sistema, kurios matricoje yra m eiluciu ir n stulpeliu, ir ji neturi sprendiniu. Su kiekvienu v 2 R n vektorius b, v vadinamas nesuderamumo vektoriumi. Sistemos maziausiu kvadratu sprendiniu vadiname toki vektoriu v; kad vektoriaus b, v ilgis yra maziausias, t.y. kb, vk = min kb, vk : Parodysime, kaip rasti si sprendini. v2r n Tegu v =(x; :::; x n ) T ir v = xc + x n c n ; cia c; :::; c n yra matricos stulpeliai. isku, kad vektoriu aib_e V = fvjv 2 R n gr m yra poerdvis lygus matricos stulpeliu c; :::; c n tiesiniam apvalkalui [c; :::; c n ]. Vektoriaus u atstumu iki poerdvio V vadinamas min ku, wk : Tegu u = x + y; cia x 2 V;y 2 V? : w2v Tada ku, wk 2 =(x, w + y; x, w + y) =(x, w; x, w) +(y; y) ; nes x, w ir y yra ortogonalus. isku, kad minimumas pasiekiamas, kai x = w ir lygus (y; y) =kyk 2 : Gavome, kad vektoriaus u atstumas iki poerdvio V yra lygus vektoriaus u ortogonalios sudaromosios y ilgiui ir realizuojamas, kai w yra vektoriaus u ortogonalioji projekcija x: Taigi vektorius v turi buti toks, kad v butu vektoriaus b ortogonalioji projekcija poerdvyje V = fvjv 2 R n g : Vektoriui v surasti naudosime tokia procedura: ) Raskime ortonormuota matricos stulpeliu c; :::; c n tiesinio apvalkalo V = [c; :::; c n ] baze. 2) Raskime vektoriaus b projekcija p poerdvyje V: 3) Isreikskite vektoriu p stulpeliu c; :::; c n tiesine kombinacija: p = xc + x n c n.tada v =(x; :::; x n ) T ir yra ieskomas vektorius. Parodysime, kaip kitaip galima rasti maziausiukvadratu sprendini. Pasteb_esime, kad v yra maziausiu kvadratu sprendinys sistemai v = b tada ir tik tada, kada v,b ortogonalus V =[c; :::; c n ], matricos stulpeliu tiesiniam apvalkalui. et vektorius z 2 R n yra ortogonalus V tada ir tik tada, kada jis yra sistemos T z = sprendinys, cia T, transponuota matrica. Taigi, v yra maziausiu kvadratu sprendinys sistemai v = b tada ir tik tada, kada v yra sistemos T (v, b) = sprendinys, t.y. T v = T b: Gavome, kad sistemos v = b maziausiu kvadratu sprendinys yra sistemos T v = T b sprendinys. 5

6 3. Gramo matrica. pibr_ezimas. Tegu v; :::; v n yra Euklido erdv_es E vektoriu sistema. Matrica G(v ;:::;v n) = v v2 v n ; (v ;v2; :::; v n ) = vadinama sistemos v; :::; v n Gramo matrica. (v;v) (v;v2) (v;v n ) (v2;v) (v2;v2) (v2;v n ) (v n ;v) (v n ;v2) (v n ;v n ) Pastaba.. Vektoriu sistema v; :::; v n yra tiesiskai nepriklausoma tata ir tik tada, kada sistemos Gramo matrica G(v ;:::;v n) neissigimusi, t.y. det G(v ;:::;v n) 6= : 2. Is apibr_ezimo turime, kad baz_e v; :::; v n yra ortonormuota tada ir tik tada, kada baz_es v; :::; v n Gramo matrica yra vienetin_e. Tegu v; :::; v n yra Euklido erdv_es E baz_e iru; v, du E vektoriai: u =(v; :::; v n ) a a n = Tada skaliarin_e sandauga (a; :::; a n ) (u; v) = a a n (a; :::; a n ) v v n T a a n T (v; :::; v n ) T ir v =(v; :::; v n ) (v; :::; v n ) T ; (v; :::; v n ) v v n ; (v; :::; v n ) ; (v; :::; v n ) b b b = = =(a; :::; a n ) G(v ;:::;v n) b b : : 6

7 Gramo matricos geometrin_e prasm_e. pibr_ezimas.. Tegu u; :::; u m yra Euklido erdv_es E vektoriai. ib_e P (u; :::; u m )=fau + a m u m j a i ;i =; :::; mg vadinama gretasieniu. 2. Gretasienio P (u; :::; u m )turis V m (u; :::; u m ) yra apibr_eziamas induktyviai: ) V (u) =kuk ; 2) V m (u; :::; u m ) = V m, (u; :::; u m,) h; cia h, aukstin_e, kuri yra lygi h = kvk ; ovektorius v apibr_eziamas lygyb_emis: (v; u) = =(v; u m,) =ir u m, v 2 [u; :::; u m,] : Parodysime, kad aukstin_e h apibr_esta korektiskai. Tegu v vektorius, tenkinantis salygas: (v;u) = = (v;u m,) ir u m, v 2 [u; :::; u m,] : Tada v, v =(u m, v)+(u m, v) 2 [u; :::; u m,] ;.t.y. v, v = au + + a m,u m,; (v, v;u) = =(v, v;u m,) = ir (v, v;au + + a m,u m,) ==(v, v;v, v), v = v: Teorema. (V m (u; :::; u m )) 2 = det G(u ;:::;u m): Irodymas. Indukcija pagal m: Kai m =; tai (V (u)) 2 = kuk 2 =(u;u) = det ((u;u)) : Irodysime indukcini teigini(m, ) m) : Tegu v yra aukstin_es vektorius. Tada Tada det u m = au + + a m,u m, + v; (v; u) = =(v; u m,) =: det G(u ;:::;u m) = (u;u) (u;u m,) (u;au + + a m,u m, + v) (u2;u) (u2;u m,) (u2;au + + a m,u m, + v) : (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;au + + a m,u m, + v) 7

8 timkime is paskutiniojo stulpelio pirmaji stulpeli padauginta is a; antraji stulpeli padauginta is a2; :::; m- -aji stulpeli padauginta is a m,: Tur_esime det G(u ;:::;u m) = det det (u;u) (u;u m,) (u;v) (u2;u) (u2;u m,) (u2;v) (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;v) (u;u) (u;u m,) (u2;u) (u2;u m,) (u m ;u) (u m ;u m,) (u m ;v) det G(u ;:::;u m,) (u m ;v)= = = (V m, (u; :::; u m,)) 2 (a (u;v)++ a m, (u m,;v)+(v; v)) = (V m, (u; :::; u m,)) 2 (v; v) =(V m, (u; :::; u m,)) 2 h 2 =(V m (u; :::; u m )) 2 : Irodyta. 8