Informacijosmokslai50-n.indd

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "Informacijosmokslai50-n.indd"

Transkriptas

1 ISSN INFORMACIJOS MOKSLAI Tikimybinis dažnų posekių paieškos algoritmas Julija Pragarauskaitė Matematikos ir informatikos instituto doktorantė Institute of Mathematics and Informatics, Doctoral student Akademijos g 4, LT Vilnius El paštas Gintautas Dzemyda Matematikos ir informatikos instituto profesorius Institute of Mathematics and Informatics, Professor Akademijos g 4, LT Vilnius El paštas Dažnų posekių paieška didelėse duomenų bazėse yra svarbi biologinių, klimato, fi nansinių ir daugelio kitų duomenų bazių analizei Tikslieji algoritmai, skirti dažnų posekių paieškai, daug kartų perrenka visą duomenų bazę duomenų bazė didelė, tai dažnų posekių paieška yra lėta arba reikalingi superkompiuteriai Straipsnyje pasiūlytas naujas tikimybinis dažnų posekių paieškos algoritmas, kuris analizuoja tam tikru būdu sudarytą pradinės duomenų bazės atsitiktinę imtį Remiantis šia analize daromos statistinės išvados apie dažnus posekius pradinėje duomenų bazėje Šis algoritmas nėra tikslus, tačiau veikia daug greičiau negu tikslieji algoritmai ir tinka žvalgomajai statistinei analizei Tikimybinio algoritmo klaidų tikimybės įvertinamos statistiniais metodais Tikimybinis algoritmas gali būti derinamas su tiksliaisiais dažnų posekių paieškos algoritmais Jį galima taikyti ir bendrajam struktūrų paieškos uždaviniui Įvadas Dažnų posekių paieška didelėse duomenų bazėse svarbi daugelyje sričių, pavyzdžiui, dažnų posekių paieška biologinių, klimato, finansinių duomenų bazėse, tinklalapių apsilankymų ir pardavimų duomenų bazėse Pastaraisiais metais pasiūlyta daug tiksliųjų algoritmų dažnų posekių analizei Populiariausias tikslusis algoritmas GSP (Generalized Sequential Pattern mining algorithm) (Srikant, Agrawal, 1995a Srikant, Agrawal, 1995b) daug kartų perrenka visą pradinę duomenų bazę, nustato, kurie posekiai yra reti, ir jų toliau netiria Kiti populiarūs tikslieji algoritmai yra SPADE (Zaki, 2001), SPAM (Ayres, Flannick, Gehrke, Yiu, 2002), PrefixSpan (Pei et al, 2001), FreeSpan (Han et al, 2000) duomenų bazė didelė, tai dažnų posekių paieška naudojant tiksliuosius algoritmus yra lėta arba reikalingi superkompiuteriai Kai kuriuose uždaviniuose, pavyzdžiui, dažnų posekių tinklalapių apsilankymų bei pardavimų duomenų bazėse nustatymas su tam tikra įvertinta paklaida yra priimtinas, todėl galima taikyti tikimybinius algoritmus Tikimybiniai algoritmai yra daug greitesni nei tikslieji, nes, užuot atlikę daugybinius pradinės duomenų bazės nuskaitymus, jie analizuoja tam tikru būdu generuotą daug trumpesnę duomenų imtį Remiantis šia analize, daromos statistinės išvados apie dažnus posekius pradinėje duomenų bazėje ProMFS (Tumasonis, Dzemyda, 2004) yra vienas iš apytikslių tikimybinių dažnų posekių paieškos algoritmų Šis algoritmas generuoja naują trumpesnę seką, remdamasis statistinėmis pagrindinės sekos charakteristikomis elemento pasirodymo sekoje tikimybe, sąlygine tikimybe, kad vienas elementas eis po kito, bei atstumų vidurkiu tarp dviejų elementų pagrindinėje sekoje ProMFS algoritmas, remdamasis GSP, nustato dažnus posekius naujojoje sekoje ir daro išvadas apie dažnus posekius pradinėje duomenų bazėje 352

2 Kitas apytikslis dažnų posekių nustatymo algoritmas yra ApproxMAP (Kum et al, 2003) Pagrindinė ApproxMAP algoritmo idėja yra vietoje tikslių posekių paieškos rasti posekius, apytiksliai naudojamus daugelyje kitų posekių Straipsnyje pasiūlytas naujas tikimybinis dažnų posekių paieškos algoritmas analizuoja tam tikru būdu sudarytą pradinės duomenų bazės atsitiktinę imtį Remiantis šia analize daromos statistinės išvados apie dažnus posekius pradinėje duomenų bazėje Tikimybinio algoritmo klaidų tikimybės įvertinamos statistiniais metodais Didinant atsitiktinę imtį, klaidų tikimybės mažėja Pasiūlytą tikimybinį algoritmą galima derinti su tiksliaisiais dažnų posekių paieškos algoritmais Jį galima taikyti ir bendrajam struktūrų paieškos (angl sequential pattern mining) uždaviniui GSP agoritmas (Generalized Sequential Pattern mining algorithm) GSP yra tikslus algoritmas dažniems posekiams nustatyti pagal pasirinktą dažnio slenkstį Tarkime, kad pradinė duomenų bazė, kurioje ieškosime dažnai pasikartojančių posekių, yra sunumeruota duomenų aibė Aibės elementai gali įgyti skirtingų reikšmių Posekis vadinamas dažnu, jeigu Antraip, šis posekis yra vadinamas retu GSP algoritmas perrenka visą pradinę duomenų bazę, nustato, kurie posekiai yra reti, ir jų toliau netiria GSP algoritmas pirmojo duomenų perrinkimo metu nuskaito pirmojo lygio (vieno simbolio) posekius ir nustato, kurie posekiai yra dažni Toliau iš nustatytų dažnų posekių formuojami antrojo lygio (dviejų simbolių) kandidatai, kurie gali būti dažni Į potencialius dažnų posekių kandidatus nepatenka posekiai, sudaryti iš jau nustatytų retų posekių Akivaizdu, kad jeigu posekis retas, tai visi posekiai, turintys šį posekį, taip pat bus reti, pavyzdžiui, jei yra retas, tuomet posekiai ir t t taip pat yra reti Dviejų simbolių dažnų posekių nustatymas vykdomas dar kartą perrenkant visą pradinę duomenų bazę Panašiai nustatomi trečio ir kitų lygių dažni posekiai Algoritmas baigiamas, kai eiliniame lygyje nebėra kandidatų į dažnus posekius Tikimybinis algoritmas GSP algoritmas tiksliai nustato, kurios sekos yra dažnos pagal pasirinktą slenkstį, tačiau daro daugybinius pradinės duomenų bazės nuskaitymus pradinė duomenų bazė yra didelė, tuomet GSP algoritmo laiko sąnaudos yra didelės, nes tenka daug kartų nuskaityti duomenų bazę Siūlomas tikimybinis algoritmas yra daug spartesnis, nes analizuoja ne visą pradinę duomenų seką, o daug trumpesnę jos atsitiktinę imtį Tikimybinis algoritmas yra apytikslis, tačiau jo paklaidų tikimybes galima įvertinti Pradinės sekos atsitiktinė imtis sudaroma taip Generuojame atsitiktinio dydžio, įgyjančio reikšmes su vienodomis tikimybėmis, realizacijų seką Ieškant pirmojo lygio (vieno elemento) dažnų posekių, atsitiktinė imtis elementams yra tiesiog Antrojo lygio atsitiktinė imtis elementų poroms yra,,, k-ojo lygio atsitiktinė imtis elementų rinkiniams yra,,, ir t t Tokia imtis yra sudaryta grąžintiniu ėmimu, nes kai kurie skaičiai gali pasikartoti Negrąžintiniu ėmimu sudaryta atsitiktinė imtis formuojama iš pasikartojančių skaičių pašalinant visus pasikartojančius skaičius bei papildomai generuojant naujus skaičius, kol bus gautas nesikartojančių skaičių rinkinys 353

3 Pasinaudoję GSP algoritmu, nustatome posekių empirinius dažnius atsitiktinėje imtyje Pasirenkame skaičių Posekius klasifikuojame į tris grupes 1) jeigu, tai posekį priskiriame dažnų posekių klasei 2) jeigu, tai posekį priskiriame retų posekių klasei 3) jeigu, tai posekį priskiriame tarpinių posekių klasei Aptarsime tikimybinio algoritmo klaidų tikimybių įvertinius Fiksuokime kokį nors posekį Galimos dviejų rūšių klaidos 1) posekis priskirtas dažnų posekių klasei, tačiau iš tikro jis yra retas 2) posekis priskirtas retų posekių klasei, tačiau iš tikro jis yra dažnas Pažymėkime, Akivaizdu, kad pirmosios rūšies klaidos tikimybė neviršija, (1) o antrosios rūšies klaidos tikimybė neviršija (2) Vertinant šias tikimybes, patogu pasinaudoti tokia schema Apibrėžkime atsitiktinius dydžius čia Dėl sekos sudarymo būdo atsitiktiniai dydžiai yra tarpusavyje nepriklausomi ir vienodai pasiskirtę (Bernulio eksperimentų schema) Matome, kad atsitiktinių dydžių vidurkis,, (3) o dispersija (4) Tikimybes (1) ir (2) galima įvertinti standartiniais matematinės statistikos metodais remiantis binominio skirstinio savybėmis grąžintinės imties atveju (Bagdonavičius, Kruopis, 2007, p ) bei hipergeometrinio skirstinio savybėmis negrąžintinės imties atveju (Bagdonavičius, Kruopis, 2007, p 224) Apsiribosime asimptotiniais klaidų tikimybių įvertiniais grąžintinės imties atveju Jie veiksmingi, kai imties didumas yra pakankamai didelis Apibrėžkime atsitiktinį dydį Remiantis centrine ribine teorema (Kubilius, 1980, p ), su visais čia yra standartinio normaliojo skirstinio pasiskirstymo funkcija Kadangi, ir, tai su visais (5) ir (6), čia, tai su visais, tai su visais (5) (6) pakankamai didelis, tai, remiantis, ir, (7) 354

4 dažnų posekių klasei, nors iš tikro jis yra retas, tikimybė neviršija čia (8), tai prieskyros sprendimas nepriimamas, nes prieskyros klaidos tikimybė gali būti didelė Prieskyros klaidos tikimybė priklauso nuo to, kiek skiriasi tikrasis nuo Tarkime, kad Remiantis centrine ribine teorema ir Taigi tik perrinkę visą pradinę duomenų bazę galėsime nustatyti, ar posekis yra dažnas ar retas Kita vertus, kad ir koks būtų, jis yra artimas empiriniam dažniui, kai yra pakankamai didelis, nes vėl remiantis centrine ribine teorema su visais Įvykio tikimybę galima sumažinti mažinant, tačiau tada didėja pirmosios ir antrosios prieskyros kaidų tikimybės Jas galima sumažinti didinant Taigi būtinas ir suderintumas, o jų sąryšį galima išreikšti lygybe Pavyzdys Tarkime, kad Remiantis (7), klaidos, jog posekis priskirtas dažnų posekių klasei, nors iš tikro jis yra retas, tikimybė neviršija Remiantis (8), klaidos, jog posekis priskirtas retų posekių klasei, nors iš tikro jis yra dažnas, tikimybė neviršija Tarkime, kad Remiantis (7), klaidos, jog posekis priskirtas Remiantis (8), klaidos, jog posekis priskirtas retų posekių klasei, nors iš tikro jis yra dažnas, tikimybė neviršija Eksperimentas Tirsime finansinių duomenų bazę valiutų EUR USD poros valandinius duomenis nuo 1999 m sausio 4 dienos 1000 val iki 2009 m gegužės 18 dienos 1600 valandos (duomenys paimti iš Online Trading Platform MetaTrader 4 History Center) Finansinės duomenų bazės elementų skaičius, o jos elementai gali įgyti šias skirtingas reikšmes A jeigu i-osios valandos pabaigos kursas yra didesnis nei valandos pradžios kursas, t y, jeigu B jeigu i-osios valandos pabaigos kursas yra mažesnis nei valandos pradžios kursas, t y, jeigu C jeigu i-osios valandos pabaigos kursas yra lygus valandos pradžios kursui, t y, jeigu Pradinei duomenų sekai tirti taikysime GSP ir tikimybinį algoritmus bei palyginsime tikruosius dažnius, nustatytus GSP algoritmu, su empiriniais dažniais, nustatytais tikimybiniu algoritmu Laikysime, kad posekis yra dažnas, jeigu jo tikrasis ne mažesnis nei, t y Pirmiausia ištiriame pradinę seką su GSP algoritmu ir nustatome dažnus posekius Tada taikome tikimybinį algoritmą dažnų posekių paieškai pradinėje duomenų bazėje Pasirenkame atsitiktinės imties didumą, ir bei Remiantis (7), pirmosios rūšies klaidos (posekis priskirtas dažnų posekių klasei, nors iš tikro jis yra retas) tikimybės įverčiai tokie 355

5 Remiantis (8), antrosios rūšies klaidos (posekis priskirtas retų posekių klasei, nors iš tikro jis yra dažnas) tikimybės įverčiai tokie Eksperimento rezultatai pateikiami lentelėje Lygis Posekis GSP n = 100 n = 500 n = 2000 Tikrasis Prieskyra Empirinis Prieskyra Empirinis Prieskyra Empirinis Prieskyra 1 A 0,482 Dažnas 0,39 Dažnas 0,494 Dažnas 0,488 Dažnas 1 B 0,472 Dažnas 0,56 Dažnas 0,472 Dažnas 0,4675 Dažnas 1 C 0,046 Retas 0,05 Retas 0,034 Retas 0,0445 Retas 2 AA 0,222 Dažnas 0,14 Dažnas 0,224 Dažnas 0,213 Dažnas 2 AB 0,236 Dažnas 0,24 Dažnas 0,244 Dažnas 0,2535 Dažnas 2 BA 0,237 Dažnas 0,31 Dažnas 0,236 Dažnas 0,238 Dažnas 2 BB 0,214 Dažnas 0,23 Dažnas 0,214 Dažnas 0,204 Dažnas 3 AAA 0,101 Dažnas 0,03 Retas 0,088 Tarpinis 0,102 Dažnas 3 AAB 0,112 Dažnas 0,1 Dažnas 0,13 Dažnas 0,1 Dažnas 3 ABA 0,116 Dažnas 0,12 Dažnas 0,11 Dažna 0,1255 Dažnas 3 ABB 0,110 Dažnas 0,11 Dažnas 0,126 Dažnas 0,1145 Dažnas 3 BAA 0,112 Dažnas 0,13 Dažnas 0,092 Tarpinis 0,122 Dažnas 3 BAB 0,114 Dažnas 0,18 Dažnas 0,114 Dažnas 0,104 Dažnas 3 BBA 0,110 Dažnas 0,16 Dažnas 0,112 Dažnas 0,1085 Dažnas 3 BBB 0,095 Dažnas 0,07 Tarpinis 0,09 Tarpinis 0,0865 Tarpinis 4 AAAA 0,044 Retas 0,01 Tarpinis 0,032 Retas 0,048 Retas 4 AAAB 0,052 Retas 0,02 Retas 0,054 Retas 0,049 Retas 4 AABA 0,054 Retas 0,06 Retas 0,066 Tarpinis 0,041 Retas 4 AABB 0,056 Retas 0,04 Retas 0,056 Retas 0,054 Retas 4 ABAA 0,054 Retas 0,08 Tarpinis 0,052 Retas 0,0565 Retas 4 ABAB 0,056 Retas 0,03 Retas 0,05 Retas 0,0615 Tarpinis 4 ABBA 0,055 Retas 0,02 Tarpinis 0,054 Retas 0,051 Retas 4 ABBB 0,050 Retas 0,07 Tarpinis 0,068 Tarpinis 0,0535 Retas 4 BAAA 0,059 Retas 0,08 Tarpinis 0,05 Retas 0,055 Retas 4 BAAB 0,055 Retas 0,05 Retas 0,04 Retas 0,0605 Tarpinis 4 BABA 0,057 Retas 0,09 Dažnis 0,052 Retas 0,0525 Retas 4 BABB 0,052 Retas 0,07 Tarpinis 0,058 Retas 0,0475 Retas 4 BBAA 0,052 Retas 0,07 Tarpinis 0,042 Retas 0,053 Retas 4 BBAB 0,052 Retas 0,08 Tarpinis 0,064 Tarpinis 0,052 Retas 4 BBBA 0,050 Retas 0,04 Retas 0,058 Retas 0,041 Retas 4 BBBB 0,041 Retas 0,03 Retas 0,03 Retas 0,0415 Retas 356

6 Išvados Straipsnyje pasiūlytas naujas tikimybinis dažnų posekių paieškos algoritmas, kuris analizuoja tam tikru būdu sudarytą pradinės duomenų bazės atsitiktinę imtį, ir remiantis šia analize daromos statistinės išvados apie dažnus posekius pradinėje duomenų bazėje Tikimybinis algoritmas nėra tikslus, tačiau jis veikia daug greičiau negu tikslieji algoritmai ir tinka žvalgomajai statistinei analizei Tikimybinio algoritmo klaidų tikimybės įvertinamos statistiniais metodais Didinant atsitiktinę imtį, klaidų tikimybė mažėja LITERATŪRA AYRES, Jay FLANNICK, Jason GEHRKE, Johannes YIU, Tomi (2002) Sequential Pattern mining using a bitmap representation Iš Proceedings of the eighth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining, p BAGDONAVIČIUS, Vilijandas KRUOPIS, Julius (2007) Matematinė statika I dalis Vilnius TEV HAN, Jiawei PEI, Jian MORTAZAVI-ASL, Behzad CHEN, Qiming DAYAL, Umeshwar HSU, Mei-Chun (2000) FreeSpan Frequent pattern-projected sequential pattern mining Iš Proc Knowledge Discovery and Data Mining, p KUBILIUS, Jonas (1980) Tikimybių teorija ir matematinė statistika Vilnius Mokslas KUM, Hye-Chung (Monica) PEI, Jian WANG, Wei DUNCAN, Dean (2003) ApproxMAP Approximate Mining of Consensus Sequential Patterns Iš Proceedings of the 2003 SIAM International Conference on Data Mining (SIAM DM 03), p Online Trading Platform MetaTrader 4 History Center [žiūrėta 2009 m gegužės 22 d] Prieiga per internetą <http//wwwmetaquotesnet/data_center> Eksperimento rezultatai parodė, kad pasiūlytas tikimybinis algoritmas, analizuodamas atsitiktinę imtį, sudarytą tik iš 100 simbolių, kai pradinė duomenų seka turi simbolius, sugeba klasifikuoti posekius į dažnus ir retus esant klaidų tikimybei 0,2305 (pirmosios rūšies klaida) ir 0,3446 (antrosios rūšies klaida) Didinant atsitiktinę imtį iki 2000 simbolių, klaidų tikimybės mažėja iki 0,0005 (pirmosios rūšies klaida) ir 0,0368 (antrosios rūšies klaida) Tikimybinis algoritmas gali būti derinamas su tiksliaisiais dažnų posekių paieškos algoritmais Jį galima taikyti ir bendrajam struktūrų paieškos uždaviniui PEI, Jian HAN, Jiawei MORTAZAVI-ASL, Behzad PINTO, Helen CHEN, Qimin DAYAL, Umeshwar HSU, Mei-Chun (2001) PrefixSpan Mining sequential patterns efficiently by prefix-projected pattern growth Iš Proc 17th International Conference on Data Engineering ICDE2001, p SRIKANT, Ramakrishnan AGRAWAL, Rakesh (1995) Mining sequential patterns Iš Proceedings ICDE 95 Taipei (Taiwan) SRIKANT, Ramakrishnan AGRAWAL, Rakesh (1995) Mining Sequential Patterns Generalizations and Performance Improvements IBM Almaden Research Center TUMASONIS, Romanas DZEMYDA, Gintautas (2004) The Probabilistic Algorihm for Mining Frequent Sequences Iš Proceedings ADBIS 04 Eight East-European Conference on Advances in Databases and Information Systems, p ZAKI, Mohammed J (2001) SPADE An efficient algorithm for mining frequent sequences Machine Learning Journal, vol 42, no 1 2, p PROBABILISTIC ALGORITHM FOR MINING FREQUENT SEQUENCES Julija Pragarauskaitė, Gintautas Dzemyda Summary Frequent sequence mining in large volume databases is important in many areas, eg, biological, climate, financial databases Exact frequent sequence mining algorithms usually read the whole database many times, and if the database is large enough, then frequent sequence mining is very long or requires supercomputers A new probabilistic algorithm for mining frequent sequences is proposed It analyzes a random sample of the initial database The algorithm makes decisions about the initial database according to the random sample analysis results and performs much faster than the exact mining algorithms The probability of errors made by the probabilistic algorithm is estimated using statistical methods The algorithm can be used together with the exact frequent sequence mining algorithms 357

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Dalelių filtro metodo ir vizualios odometrijos taikymas BPO lokalizacijai 2014 2018 m. studijos Doktorantas: Rokas Jurevičius Vadovas: Virginijus Marcinkevičius Disertacijos tikslas ir objektas Disertacijos

Detaliau

Programų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF

Programų sistemų inžinerija Saulius Ragaišis, VU MIF Programų sistemų inžinerija 2014-02-12 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt SWEBOK evoliucija Nuo SWEBOK Guide to the Software Engineering Body of Knowledge, 2004 Version. IEEE, 2004. prie

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Programų sistemų inžinerija 2018-02-07 Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt Klausytojai: Susipažinimas Išklausyti programų sistemų inžinerijos kursai Profesinė patirtis Dabar klausomi pasirenkami

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Duomenų archyvai ir mokslo duomenų valdymo planai 2018-06-13 1 Re3Data duomenų talpyklų registras virš 2000 mokslinių tyrimų duomenų talpyklų; talpyklos paiešką galima atlikti pagal mokslo kryptį, šalį,

Detaliau

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc

Microsoft Word - 10 paskaita-red2004.doc STATISTIKA FILOLOGAMS 10 paskaita STATISTINIAI KRITERIJAI 1. Statistiniai palyginimai ir statistinės hipotezės Jau ne kartą minėta, kad tyrinėtojui neretai prisieina ne vien tik aprašyti empirinius statistinius

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį

Neiškiliojo optimizavimo  algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį Neiškiliojo optimizavimo algoritmas su nauju bikriteriniu potencialiųjų simpleksų išrinkimu naudojant Lipšico konstantos įvertį. Albertas Gimbutas 2018 m. birželio 19 d. Vadovas: Prof. habil. dr. Antanas

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS ALEKSANDRO STULGINSKIO UNIVERSITETAS Agronomijos fakultetas Žemdirbystės katedra STUDIJŲ DALYKO APRAŠAS Dalyko kodas: AFŽEB07E Pavadinimas lietuvių kalba: Mokslinių tyrimų metodika Pavadinimas anglų kalba:

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluat VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Atsitiktinės paieškos optimizavimo algoritmų vertinimas Evaluation of Random Search Optimization Algorithms Magistro

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai m.

Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos įsivertinimo ataskaita 2015 m. Kauno Veršvų vidurinės mokyklos giluminiam vertinimui pasirinkti rodikliai 2014-2015 m. m. Pasirinkti šie veiklos rodikliai Atsakingi KVA

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation IBM-Lietuvos tyrimų centras bendras projektas Lietuvos mokslo ir žinių visuomenei Tomas Deržanauskas UAB Lietuvos tyrimų centras 2011 m. spalio 18d. Vilnius IBM tarp pasaulinių inovatorių lyderių IBM jungia

Detaliau

2013 m. liepos 30 d. Europos Centrinio Banko gairės, kuriomis iš dalies keičiamos Gairės ECB/2011/23 dėl Europos Centrinio Banko statistinės atskaitom

2013 m. liepos 30 d. Europos Centrinio Banko gairės, kuriomis iš dalies keičiamos Gairės ECB/2011/23 dėl Europos Centrinio Banko statistinės atskaitom L 247/38 Europos Sąjungos oficialusis leidinys 2013 9 18 GAIRĖS EUROPOS CENTRINIO BANKO GAIRĖS 2013 m. liepos 30 d. kuriomis iš dalies keičiamos Gairės ECB/2011/23 dėl Europos Centrinio Banko statistinės

Detaliau

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio 11 25 d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją laboratoriją, rezultatų apžvalga Vilnius, 2017 m. Turinys Įžanga... 3

Detaliau

Administravimo vadovas SAFTit Pro v3

Administravimo vadovas SAFTit Pro v3 SAF-T IT Pro programos administravimo vadovas Turinys 1. SQL užklausų modifikacija... 2 1.1. Užklausų katalogas ir kaip sukurti nestandartines užklausas... 2 1.2. Užklausų modifikavimas... 2 1.3. Specialieji

Detaliau

274 PRIEDAI K priedas. Elektroninio vartotojo gyvavimo ciklo tyrimo duomenų charakteristikos K.1 lentelė. Klausimyno dalies, skirtos elektroninio vart

274 PRIEDAI K priedas. Elektroninio vartotojo gyvavimo ciklo tyrimo duomenų charakteristikos K.1 lentelė. Klausimyno dalies, skirtos elektroninio vart 274 PRIEDAI K priedas. Elektroninio vartotojo gyvavimo ciklo tyrimo duomenų charakteristikos K.1 lentelė. Klausimyno dalies, skirtos elektroninio vartotojo gyvavimo ciklo analizei, patikimumo vertinimas

Detaliau

BENDROJI INFORMACIJA

BENDROJI INFORMACIJA GYVENIMO APRAŠYMAS BENDROJI INFORMACIJA Vardas: Pavardė: Mokslinis vardas ir laipsnis: Pareigos: Mindaugas Krutinis Docentas, technologijos mokslų daktaras Docentas Telefono numeris: +370 656 32656 El.

Detaliau

Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis

Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis Klaidų apdorojimas C kalboje If (kazkokia_salyga) { klaidos_apdorojimas(); return... } Tokio kodo apimtis galėdavo sekti iki 70-80proc. Klaidų/išimčių

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr

Projektas „Europos kreditų perkėlimo ir kaupimo sistemos (ECTS) nacionalinės koncepcijos parengimas: kreditų harmonizavimas ir mokymosi pasiekimais gr Studijų programos aprašas Studijų programos pavadinimas Informatika Aukštojo mokslo institucija (-os), padalinys (-iai) Vilniaus universitetas, Matematikos ir informatikos fakultetas, Informatikos katedra

Detaliau

KPMG Screen 3:4 (2007 v4.0)

KPMG Screen 3:4 (2007 v4.0) Penktasis kasmetinis tyrimas Lietuvos verslo pažeidžiamumas energijos išteklių kainų pokyčiams ir BEVI indeksas Rokas Kasperavičius, partneris Jonas Vainius Raulynaitis, patarėjas Vilnius 2015 TURINYS

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207 Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus

Detaliau

Priedas

Priedas Vilniaus Gedimino technikos universitetas skelbia konkursą išvardintose katedrose ir mokslo padaliniuose užimti šias pareigas: I. GAMTOS IR TECHNOLOGIJOS MOKSLŲ SRITYSE APLINKOS INŽINERIJOS FAKULTETE 1.

Detaliau

Microsoft Word naujienos_platinti.doc

Microsoft Word naujienos_platinti.doc Nr.1 (57) 2009 01 26 Šiame naujienų biuletenyje skaitykite: Konferencija Online Information...1 Informacija apie prenumeruojamas duomenų bazes...2 Tarptautinio bibliotekų konsorciumų susivienijimo (ICOLC)

Detaliau

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform

LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Inform LR Seimo narių elgsenos tyrimas, naudojant klasterinę analizę ir daugiamačių skalių metodą Vytautas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas, Informatikos fakultetas Kaunas, Lietuva El. paštas: vytautas.mickevicius@fc.vdu.lt

Detaliau

Microsoft Word - kkkk.doc

Microsoft Word - kkkk.doc Šiuolaikinis duomenų paieškos algoitmas PoMFS Studentas: [PK04A] J. Litvinenko Panešimo vadovas: Doc. R. Tumasonis Vilnius 2005 Anotacia Šioe konfeencioe aš noėčiau pistatyti duomenų

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

Lithuanian translation of Induction of labour - Information for pregnant women, their partners and families Gimdymo sužadinimas Informacija nėščiosiom

Lithuanian translation of Induction of labour - Information for pregnant women, their partners and families Gimdymo sužadinimas Informacija nėščiosiom Lithuanian translation of Induction of labour - Information for pregnant women, their partners and families Gimdymo sužadinimas Informacija nėščiosioms, jų partneriams ir šeimoms Šiame lankstinuke rasite:

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Lietuvos gyventojų nuomonė apie teisėsaugą ir viešojo saugumo būklės vertinimas Dr. Eglė Vileikienė Vidaus reikalų ministerijos Viešojo saugumo politikos departamentas 2016.02.12 Tyrimo metodika Reprezentatyvi

Detaliau

LT L 202/54 Europos Sąjungos oficialusis leidinys EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO SPRENDIMAS 2009 m. liepos 17 d. iš dalies

LT L 202/54 Europos Sąjungos oficialusis leidinys EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO SPRENDIMAS 2009 m. liepos 17 d. iš dalies L 202/54 Europos Sąjungos oficialusis leidinys 2009 8 4 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO SPRENDIMAS 2009 m. liepos 17 d. iš dalies keičiantis Sprendimą ECB/2006/17 dėl Europos centrinio

Detaliau

Vienlusčių įtaisų projektavimas

Vienlusčių įtaisų projektavimas Vienlusčių įtaisų projektavimas 5 paskaita Baigtiniai būsenų automatai Baigtinis būsenų automatas: angl. Finite State Machine (FSM) FSM yra nuosekliai būsenas keičiantis automatas su "atsitiktine" kitos

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Valstybinės energetikos inspekcijos vartotojams teikiamų paslaugų kokybės, prieinamumo ir pasitenkinimo tyrimas užsakovas vykdytojas Kovas, 2016 metodologija 2 Tyrimo metodologija Visuomenės nuomonės ir

Detaliau

VILNIAUS UNIVERSITETO ONKOLOGIJOS INSTITUTO VĖŽIO KONTROLĖS IR PROFILAKTIKOS CENTRAS VĖŽIO REGISTRAS Vėžys Lietuvoje 2010 metais ISSN

VILNIAUS UNIVERSITETO ONKOLOGIJOS INSTITUTO VĖŽIO KONTROLĖS IR PROFILAKTIKOS CENTRAS VĖŽIO REGISTRAS Vėžys Lietuvoje 2010 metais ISSN VILNIAUS UNIVERSITETO ONKOLOGIJOS INSTITUTO VĖŽIO KONTROLĖS IR PROFILAKTIKOS CENTRAS VĖŽIO REGISTRAS Vėžys Lietuvoje 2010 metais ISSN 2029-6274 ISSN 2029-6274 Informacinį leidinį sudarė: Giedrė Smailytė

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2016-02-15 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Lietuvos ekonomikos raida: naujausios tendencijos ir iššūkiai Pristato Nerijus Černiauskas Makroekonomikos ir prognozavimo skyrius Ekonomikos departamentas 2017 m. spalio 16 d. Turinys I. Realusis sektorius

Detaliau

Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com

Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com Pardavimų aplikacija (Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai) Diegimo instrukcija bifree.lt qlik.com Microsoft Dynamics AX (Axapta) sistemai 2 Kaip įsidiegti Diegimo žingsniai: 1. Atsisiųsti ir įsidiegti

Detaliau

Linas Kvizikevičius (tyrėjo vardas, pavardė) Šv. Stepono g , Vilnius. Tel. nr , Kultūros paveldo departamen

Linas Kvizikevičius (tyrėjo vardas, pavardė) Šv. Stepono g , Vilnius. Tel. nr , Kultūros paveldo departamen Linas Kvizikevičius (tyrėjo vardas, pavardė) Šv. Stepono g. 31-18, Vilnius. Tel. nr. 865912955, kulturosvertybes@gmail.com Kultūros paveldo departamentui prie Kultūros ministerijos (adresas pašto korespondencijai

Detaliau

A. Merkys ASOCIACIJA LANGAS Į ATEITĮ, 2015 m. Elektroninis mokymasis Tikriausiai šiais laikais daugelis esate girdėję apie elektroninį bei nuotolinį m

A. Merkys ASOCIACIJA LANGAS Į ATEITĮ, 2015 m. Elektroninis mokymasis Tikriausiai šiais laikais daugelis esate girdėję apie elektroninį bei nuotolinį m A. Merkys ASOCIACIJA LANGAS Į ATEITĮ, 2015 m. Elektroninis mokymasis Tikriausiai šiais laikais daugelis esate girdėję apie elektroninį bei nuotolinį mokymą(si) ar net jį išbandę. Jis taikomas ne tik išsivysčiusiose

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRO 2009 M. RUGPJŪČIO

LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRO 2009 M. RUGPJŪČIO LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTRO 2009 M. RUGPJŪČIO 4 D. ĮSAKYMO NR. A1-476,,DĖL DARBO RINKOS PASLAUGŲ

Detaliau

SAITYNO PASLAUGOMIS GRINDŽIAMAS DAUGIAMAČIŲ DUOMENŲ ANALIZĖS ĮRANKIS Loreta Chudzij 1, Povilas Treigys 2 1 Informatikos mokslų centras 2 Vilniaus univ

SAITYNO PASLAUGOMIS GRINDŽIAMAS DAUGIAMAČIŲ DUOMENŲ ANALIZĖS ĮRANKIS Loreta Chudzij 1, Povilas Treigys 2 1 Informatikos mokslų centras 2 Vilniaus univ SAITYNO PASLAUGOMIS GRINDŽIAMAS DAUGIAMAČIŲ DUOMENŲ ANALIZĖS ĮRANKIS Loreta Chudzij 1, Povilas Treigys 2 1 Informatikos mokslų centras 2 Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos institutas Anotacija.

Detaliau

Lietuvos energetikos instituto

Lietuvos energetikos instituto LIETUVOS ENERGETIKOS INSTITUTO ŠILUMINIŲ ĮRENGIMŲ TYRIMO IR BANDYMŲ LABORATORIJA AKREDITAVIMO SRITIS (Lanksti sritis) 1(11) puslapis 1. Membraniniai dujų skaitikliai, kurių didžiausias debitas Q max 16

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp graf DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafo tyrimas serija 5705 variantas 001 1 Grafas (, ) yra 1 pilnasis; 2 tuščiasis; 3 nulinis; 4 dvidalis. 2 Atstumas tarp grafo ({q, w, r, g}, {{q, w}, {w, r}, {w, g}}) viršūnių

Detaliau

CPO veiklos rezultatų ir finansinės naudos VALSTYBEI vertinimo ATASKAITA

CPO veiklos rezultatų ir finansinės naudos VALSTYBEI vertinimo ATASKAITA 2010 Karolis Šerpytis CPO VEIKLOS REZULTATŲ IR FINANSINĖS NAUDOS VALSTYBEI VERTINIMO ATASKAITA Centrinė perkančioji organizacija 1 TURINYS Santrauka... 2 1. CPO veiklos rezultatų vertinimas... 3 1.1. Pirkimų

Detaliau

Socialiniai tinklai ir bendrinimas Dalyviai turės progą pagalvoti apie privatumą, kai internete bendrina informaciją ir bendrauja su kitais, o ypač, k

Socialiniai tinklai ir bendrinimas Dalyviai turės progą pagalvoti apie privatumą, kai internete bendrina informaciją ir bendrauja su kitais, o ypač, k Socialiniai tinklai ir bendrinimas Dalyviai turės progą pagalvoti apie privatumą, kai internete bendrina informaciją ir bendrauja su kitais, o ypač, kai naudojasi socialiniais tinklais. Dalyviai gebės

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto, Lietuvos agrarinių ir miškų mokslų centro Agronomijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. vasario 28 d. posėdžio Nr. 137 ATVIRO KONKURSO Į AGRONOMIJOS

Detaliau

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiek

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiek EUROPOS KOMISIJA Briuselis, 2015 11 11 COM(2015) 563 final KOMISIJOS ATASKAITA EUROPOS PARLAMENTUI IR TARYBAI 2013 m. valstybių narių pastangos pasiekti tvarią žvejybos pajėgumų ir žvejybos galimybių pusiausvyrą

Detaliau

LIETUVOS GYVENTOJŲ FIZINIO AKTYVUMO TYRIMAS Vykdytojas: 2016 m. lapkričio mėn. Vilnius SPINTER tyrimai,

LIETUVOS GYVENTOJŲ FIZINIO AKTYVUMO TYRIMAS Vykdytojas: 2016 m. lapkričio mėn. Vilnius SPINTER tyrimai, LIETUVOS GYVENTOJŲ FIZINIO AKTYVUMO TYRIMAS Vykdytojas: 2016 m. lapkričio mėn. Vilnius 1 TURINYS I. TYRIMO METODIKA...3 II. TYRIMO REZULTATAI...6 III. APIBENDRINIMAI...12 2 I. TYRIMO METODIKA Visuomenės

Detaliau

Bioness

Bioness Inovatyvus Bioness (FES) poveikis judėjimui po insulto Bioness kompetencijų centras UAB Vilniaus sveikatos namai Saulius Eidukevičius klinikinis instruktorius 2004 m. Izraelio ir JAV specialistų jungtinė

Detaliau

DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas

DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas Seminaro tikslai Trumpai apžvelgti pagrindinius DBVS komponentus Detaliai nagrinėjami optimalaus duomenų dėstymo

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

Microsoft PowerPoint - NMVA_TIMSS2011_2013_pristatymas_viskas

Microsoft PowerPoint - NMVA_TIMSS2011_2013_pristatymas_viskas International Association for the Evaluation of Educational Achievement Trends in International Mathematics and Science Study TIMSS 2011 Tyrimo tikslai bei populiacija Tyrimas TIMSS (Trends in International

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS VALSTYBINIO PATENTŲ BIURO DIREKTORIAUS

LIETUVOS RESPUBLIKOS VALSTYBINIO PATENTŲ BIURO DIREKTORIAUS Įsakymas netenka galios 2015-11-24: Lietuvos Respublikos valstybinis patentų biuras, Įsakymas Nr. 3R-72, 2015-11-20, paskelbta TAR 2015-11-23, i. k. 2015-18546 Dėl Lietuvos Respublikos valstybinio patentų

Detaliau

UAB AMEA Business Solutions Praktiniai IT Sprendimai smulkioms ir vidutin ms mon ms Direktor, Jurgita Vitkauskait , K

UAB AMEA Business Solutions Praktiniai IT Sprendimai smulkioms ir vidutin ms mon ms Direktor, Jurgita Vitkauskait , K UAB AMEA Business Solutions Praktiniai IT Sprendimai smulkioms ir vidutin ms mon ms Direktor, Jurgita Vitkauskait j.vitkauskaite@amea.lt 2011.02.17, Kaunas +370 698 13330 Apie mus UAB AMEA Business Solutions

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

BUHALTERINĖ APSKAITA Dr. Stasys Peldžius 7 paskaita

BUHALTERINĖ APSKAITA Dr. Stasys Peldžius 7 paskaita BUHALTERINĖ APSKAITA Dr. Stasys Peldžius 7 paskaita TRUMPALAIKIO TURTO APSKAITA Fundamentinė apskaitos lygybė TURTAS = NUOSAVYBĖ + + Pajamos - Sąnaudos Ilgalaikis + trumpalaikis = Nuosavas + Įsipareigojimai

Detaliau

2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansi

2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansi 2-ojo VSAFAS Finansinės būklės ataskaita 2 priedas (Žemesniojo lygio viešojo sektoriaus subjektų, išskyrus mokesčių fondus ir išteklių fondus, finansinės būklės ataskaitos forma) NAUJOSIOS AKMENĖS RAMUČIŲ

Detaliau

PATVIRTINTA Elektrėnų pradinės mokyklos direktoriaus 2011 m. rugpjūčio 22 d. įsakymu Nr. 1V 69 ELEKTRĖNŲ PRADINĖS MOKYKLOS MOKINIŲ PAŽANGOS IR PASIEKI

PATVIRTINTA Elektrėnų pradinės mokyklos direktoriaus 2011 m. rugpjūčio 22 d. įsakymu Nr. 1V 69 ELEKTRĖNŲ PRADINĖS MOKYKLOS MOKINIŲ PAŽANGOS IR PASIEKI PATVIRTINTA direktoriaus 2011 m. rugpjūčio 22 d. įsakymu Nr. 1V 69 ELEKTRĖNŲ PRADINĖS MOKYKLOS MOKINIŲ PAŽANGOS IR PASIEKIMŲ VERTINIMO TVARKA I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. (toliau mokyklos) mokinių pažangos

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Pagrindiniai Lietuvos ateities iššūkiai Klaudijus Maniokas ESTEP valdybos pirmininkas Trys akcentai Pripažinti ir nepripažinti iššūkiai: konsensuso link Struktūrinių apirbojimų sprendimas: intervencijos

Detaliau

Suvestinė redakcija nuo Įsakymas paskelbtas: TAR , i. k LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUV

Suvestinė redakcija nuo Įsakymas paskelbtas: TAR , i. k LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUV Suvestinė redakcija nuo 2016-07-02 Įsakymas paskelbtas: TAR 2015-12-31, i. k. 2015-21227 LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL LIETUVOS RESPUBLIKOS TERITORIJOS M 1:5 000 KONTROLINIŲ ŽEMĖS

Detaliau

CL2013O0023LT _cp 1..1

CL2013O0023LT _cp 1..1 02013O0023 LT 01.09.2018 001.001 1 Šis tekstas yra skirtas tik informacijai ir teisinės galios neturi. Europos Sąjungos institucijos nėra teisiškai atsakingos už jo turinį. Autentiškos atitinkamų teisės

Detaliau

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO

Detaliau

Telia Lietuva AB

Telia Lietuva AB 2018 M. 9 MĖNESIŲ VEIKLOS REZULTATAI Telia Lietuva, AB, įmonių grupė TELIA LIETUVA #VISAKOTINKLAS TELEKOMUNIKACIJŲ, IT IR TV PASLAUGOS IŠ VIENŲ RANKŲ TELIA LIETUVA TAI: Platus paslaugų spektras Labiausiai

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Lietuvos ir jos regionų ekonomikos evoliucija: kur esame ir kas laukia toliau? Aurelijus Dabušinskas, Lietuvos banko Ekonomikos departamento direktorius 2019 m. kovo 21 d. Lietuvos ūkio augimas išlieka

Detaliau

ROBOTIZUOTOS SISTEMOS VALDYMO IR MONITORINGO PROCESŲ INFORMACINĖS SISTEMOS MODELIS Remigijus Pečiulis, Danielius Adomaitis, Igor Šajev, Mindaugas Aika

ROBOTIZUOTOS SISTEMOS VALDYMO IR MONITORINGO PROCESŲ INFORMACINĖS SISTEMOS MODELIS Remigijus Pečiulis, Danielius Adomaitis, Igor Šajev, Mindaugas Aika ROBOTIZUOTOS SISTEMOS VALDYMO IR MONITORINGO PROCESŲ INFORMACINĖS SISTEMOS MODELIS Remigijus Pečiulis, Danielius Adomaitis, Igor Šajev, Mindaugas Aikas Kauno kolegija Anotacija. Sparčiai plečiantis robotizuotų

Detaliau

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP

Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP Longse Wi-Fi kameros greito paleidimo instrukcija 1. Jums prireiks 1.1. Longse Wi-Fi kameros 1.2. Vaizdo stebėjimo kameros maitinimo šaltinio 1.3. UTP RJ-45 interneto kabelio 1.4. Kompiuterio su prieiga

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2017 m. birželio 6 d. posėdžio nutarimu

Detaliau

Microsoft Word - SDH2.doc

Microsoft Word - SDH2.doc PATVIRTINTA AB Lietuvos geleţinkeliai Geleţinkelių infrastruktūros direkcijos direktoriaus 2009-11-30 įsakymu Nr. Į (DI-161) SDH SĄSAJOS TECHNINIS APRAŠAS TURINYS I. BENDROJI DALIS... 4 II. TAIKYMO SRITIS...

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRO

LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTRO TRAKŲ ISTORIJOS MUZIEJUS FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠKINAMASIS RAŠTAS UŽ 2014 METŲ I -Ą KETVIRTĮ I. BENDROJI DALIS Trakų istorijos muziejus (toliau Muziejus) yra biudžetinė įstaiga, finansuojama iš Lietuvos

Detaliau

Įžanga apie privatumą Dalyviai tyrinės tai, kaip jie patys suvokia privatumą ir kokį poveikį jis daro jų gyvenimams. Dalyviai apžvelgs informacijos, k

Įžanga apie privatumą Dalyviai tyrinės tai, kaip jie patys suvokia privatumą ir kokį poveikį jis daro jų gyvenimams. Dalyviai apžvelgs informacijos, k Įžanga apie privatumą Dalyviai tyrinės tai, kaip jie patys suvokia privatumą ir kokį poveikį jis daro jų gyvenimams. Dalyviai apžvelgs informacijos, kurią jie norėtų išlaikyti privačią, tipus ir kontekstus,

Detaliau

Microsoft Word - 14.doc

Microsoft Word - 14.doc Lietuvos Respublikos Švietimo ir mokslo ministerija UAB Factus Dominus Profilinio mokymosi problemos Tyrimo ataskaita Kaunas, 2005 1 Mokslinio tyrimo ataskaita Profilinio mokymosi problemos Užsakovas:

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr redakci

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr redakci PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2011 m. rugsėjo 1 d. nutarimu Nr. 03-144 (Lietuvos banko valdybos 2015 m. gegužės 28 d. nutarimo Nr. 03-90 redakcija) ATSAKINGOJO SKOLINIMO NUOSTATAI I SKYRIUS BENDROSIOS

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Lietuvos gyventojų nuomonė apie teisėsaugą ir teismus Dr. Eglė Vileikienė Vidaus reikalų ministerijos Viešojo saugumo politikos departamentas 2015-03-05 Tyrimo metodika Reprezentatyvi Lietuvos gyventojų

Detaliau