VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS ALEKSEJUS BOGDANOVIČIUS PANAŠUMO TEORIJOS IR MODELIAVIMO PAGRINDAI Moomoji nyga Vinius, 004

Turinys. MODELIAVIMAS, KAIP PAŽINIMO METODAS. MODELIŲ KLASIFIKAVIMAS... 3. PANAŠUMO TEORIJOS OBJEKTAS IR METODIKA... 4.. GEOMETRINIS PANAŠUMAS... 5.. HOMOGENINĖMIS FUNKCIJOMIS APRAŠOMŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS. PANAŠUMO KRITERIJAI... 7.3. DIFERENCIALINIŲ IR INTEGRALINIŲ OPERATORIŲ REDUKAVIMAS....4. BENDRAS PANAŠUMO ATVEJIS... 8.5. PANAŠUMO TEOREMOS... 3. MECHANINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS... 3.. PAGRINDINIŲ MECHANINIŲ DYDŽIŲ PANAŠUMO KOEFICIENTAI... 3.. ATSKIRI PANAŠUMO ATVEJAI IR MODELIAVIMAS MECHANIKOJE... 3 4. HIDRODINAMINIŲ IR AERODINAMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS... 7 5. ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS IR MODELIAVIMAS... 3 6. ANALOGINIS MODELIAVIMAS... 34 6.. PERNEŠIMO REIŠKINIŲ PANAŠUMAS... 34 6.. ELEKTRINIS ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ MODELIAVIMAS... 37 7. DIMENSIJŲ TEORIJA... 40 7.. PAGRINDINIAI IR IŠVESTINIAI MATAVIMO VIENETAI. DYDŽIO DIMENSIJA... 40 7.. SKIRTINGŲ SISTEMŲ MATAVIMO VIENETŲ SĄSAJOS NUSTATYMAS... 44 7.3. FUNKCINIŲ RYŠIŲ NUSTATYMAS DIMENSIJŲ ANALIZE... 45 7.4. π-teorema DIMENSIJŲ TEORIJOJE... 49 8. DIMENSIJŲ ANALIZĖS PRIVALUMAI IR TRŪKUMAI... 50 I PRIEDAS... 5 Fizinių dydžių žymėjimai, dimensijos ir SI sistemos matavimo vienetai... 5 II PRIEDAS... 5 Dažniausiai naudojami panašumo riterijai... 5

. MODELIAVIMAS, KAIP PAŽINIMO METODAS. MODELIŲ KLASIFIKAVIMAS Modeiavimas yra efetyvus mosinio tyrimo ir prognozavimo metodas. Žodis "modeis" (otynišai moduus - matas, pavyzdys) įvairiose žmonių veios srityse įgyja sirtingas reišmes. Pačiąja prasme modeis yra bet os mintinis arba materiausis originao (objeto, reišinio, proeso) atvaizdas. Senamiesčio paveisas, Žemės gaubys, žmogaus veios panai rytojui, hemijos formuės, mirorajono maetas, operos partitūra, istorijos vadovėis - visa tai yra modeiai. Mes suvoiame supantį pasauį urdami šio pasauio bei jo fragmentų modeius. Vaiystėje toie modeiai būna paprastesni, aiui bėgant, jie tobuėja ir vis adevačiau atspindi tirovę, todė didėja jų prognostinės gaimybės. Anaogišas proesas vysta ir žmonijos iviizaijos raidoje. Pavyzdžiui, gaima būtų payginti Ptoemėjo (apie 90-68 m.m.) Visatos geoentrinį ir Kopernio (473-543 m.m.) heioentrinį modeius, arba juos yginti su šiuoaiiniais osmooginiais modeiais, besiremiančiais bendrąja reiatyvumo teorija. Mose modeis atstovauja originaui, išaiydamas tas originao savybes, urios yra esminės ir svarbios onrečiam tyrimui. Pavyzdžiui, gaima urti žmogaus mehaninį modeį (robotą, maneeną), biooginį (anatomijos atasas), psihooginį (psihoterapeuto diagnozė) ir t.t. Tai pačiai vietovei gaima sudaryti geografinį, hidrografinį, eooginį, demografinį, etnografinį žemėapius. Svarbu pasirinti toį modeį, uris eistų suprasti modeiuojamo objeto esmines savybes, jo strutūrą, raidos dėsningumus ir sąveią su apina. Tinamai suurtas modeis padeda ne ti vadyti objetą, bet ir numatyti vadymo (t.y. poveiio objetui) tiesiogines ir netiesiogines pasemes. Modeiavimas, aip pažinimo įranis, turi nemažai privaumų. Pavyzdžiui, jis yra vieninteis tyrimo būdas, jei objetas yra nepasieiamas erdvėje (proesai Sauėje) ir aie (organinių moeuių ir junginių sintezė Žemėje prieš eetą miijardų metų), arba retai stebimas gamtoje ir yra trumpaaiis (amuoinis žaibas). Kai uriais atvejais modeiavimas eidžia stebėti proesus eičiant aio masteį "ištempiant" aio saę (smūginių deformaijų modeiai) arba ją "suspaudžiant" (modeiuojant ėtus difuzijos proesus greitaisiais). Atieant natūrinius (t.y. gamtos sąygomis) esperimentus, gaima tirti radioatyvios arba nuodingos medžiagos sidimą, eičiant ją neensminga medžiaga. Destruiniai bandymai su modeiais yra daug eonomišesni ir tehnišai paprastesni, yginant su bandymais, atieamais su originaais. Modeiuojant gaima artoti esperimentus, eisti jų sąygas tyrinėtojo nuožiūra. Bet tai ne visuomet įmanoma stebint reišinius gamtoje arba atieant natūrinius esperimentus. Modeiai gai būti daitiniai (materiaieji) ir mintiniai (ideaieji) ( pav.). Materiaieji modeiai yra dviejų rūšių - fiziiniai (ai objetas ir jo modeis turi tą pačią fiziinę prigimtį, pavyzdžiui, aivas ir jo modeis)* ir anaoginiai (ai objetas ir modeis turi sirtingą fiziinę prigimtį, bet formaiai vienodai aprašomi matematinėmis ygtimis arba oginėmis shemomis, pavyzdžiui, mehaniniai svyravimai ir jų eetromagnetinis anaogas). Ideaieji modeiai sirstomi į intuityviuosius (jie uriami remiantis mosinino intuiija, jei objeto aprašymas negai būti visišai formaizuotas, pavyzdžiui, ai urie miropasauio fizios arba osmoogijos modeiai), ir simboinius (vaizduojančius modeį matematios, ogios arba itos.formaizuotos abos ženais bei simboiais, pavyzdžiui, poitropinio proeso ygtis pv n onst ). Atsirai reiėtų paminėti esperimentą, aip intuityvaus, jutiminio ir simboinio modeiavimo sintezę. Šis modeių asifiavimas yra sąygišas ir ne vieninteis gaimas. *Autoriaus nuomone, šis pavadinimas nėra tinamas, adangi ir anaoginiai modeiai turi fiziinę prigimtį. Geriau būtų vadinti juos vienarūšiais 3

Dais autorių prisiria saitmeninius ir strutūrinius matematinius modeius materiaiesiems modeiams, o matematinius programinius sprendinius ir eonomios modeius ideaiesiems modeiams. Be to, nei fiziinis, nei anaoginis modeiavimas anaipto nėra dietantišo pobūdžio; jis yra gaimas ti besiremiant paanamai išsamiomis fundamentinių mosų žiniomis. Pastaruoju metu abai papitęs ompiuterinis modeiavimas yra neatsiriama ir svarbi informatios dais. Šiai probemai nagrinėti yra sirta speiaioji iteratūra. Mes nagrinėsime iš esmės materiaųjį modeiavimą.. PANAŠUMO TEORIJOS OBJEKTAS IR METODIKA Ansčiau buvo pabrėžta, ad modeis parenamas atsižvegiant į onrečią užduotį. Kad veismai, bandymai, operaijos su modeiu teitų teisingą, neišreiptą informaiją apie sumodeiuotą originaą, modeis turi būti sudarytas paga tam tiras taisyes. Būtent šias taisyes nustato panašumo teorija, uri aip moso šaa pradėjo formuotis XX amžiaus pradžioje ir yra vystoma ygi šio. Fiziiniai ir tehniniai proesai vysta paga gamtos dėsnius. Daugeiui atvejų yra žinomi šių dėsnių turinys bei forma (matematinė išraiša). Tačiau perėjimas nuo bendrųjų fizios, hemijos ir itų fundamentinių mosų dėsnių prie onretaus proeso matematinės išraišos dažnai būna abai sudėtingas, ypač jei tiriamam proesui turi įtaos veisniai, priausantys sirtingiems fundamentiniams mosams. Pavyzdžiui, modeiuojant sprogimą, reiia atsižvegti į mehanios, austios, termodinamios, hemijos dėsningumus. Toiais atvejais jei ir gaunama anaitinė proeso išraiša, ji gai turėti sudėtingą difereniainių, integrainių arba integrainių difereniainių ygčių sistemos formą. Pagrindiniuose fundamentinių mosų dėsniuose figūruoja esminės sąvoos (jėga, masė, energija, šiumos ieis ir t.t.), urių dydžiai yra fiziinių reišinių ieybiniai matai. Tuo tarpu esperimentišai ir fizioje, ir inžineriniuose mosuose paprastai naudojamasi betarpišai matuojamais dydžiais - matmenimis, aiu, temperatūra, apinos fiziinėmis onstantomis (žr..3. pavyzdį). Konretizuoti fundamentinius dėsnius, taiant juos suurtam modeiui, išreišti proesą matuojamų dydžių funine priausomybe reišia sudaryti pagrindines uždavinio ygtis. Šios ygtys ieybišai išreišia bendrąjį supratimą apie fiziinį proeso mehanizmą. Modeis turi diaetišai susieti savyje tie atsiro proeso savybes, tie fundamentinius moso prinipus. Todė fiziinis modeis iš esmės turi būti sugretinamas ne su pavieniu reišiniu, bet su visa reišinių ase. Atitinamai ygties arba ygčių sistemos sprendinio neapibrėžtumas, daugiareišmišumas atspindi šio sprendinio tinamumą tam tirai uždavinių aibei. Konretų aibės uždavinį gaima išsirti ti pasiteiant papidomas sąygas. Kievienam proesui gaima nustatyti parametrus (intamuosius), urių ryšiai emia proeso eigą. Svarbu, nuo oio pradinio būvio prasidėjo proesas (pradinės sąygos) ir oiomis sąygomis sistemos sąsajoje su apina vysta proesas (raštinės sąygos). Tai nepriausomi intamieji. Pradinės bei raštinės sąygos ir intamųjų apibrėžtumo ribos išsiria proesą iš panašiųjų proesų 4

visumos, yra onretaus proeso vienareišmišumo sąygos. Kiti intamieji yra priausomi. Pavyzdžiui, ūno judėjimo greitis ampioje terpėje yra priausomas intamasis, o tanis, ampumo oefiientas, aisvojo ritimo pagreitis nepriausomi... Geometrinis panašumas Lengviausiai suvoiamas yra geometrinis panašumas. Geometrišai panašios figūros (žr. pav.) turi vienodą formą nepriausomai nuo matmenų. Atstumų tarp bet oių dviejų vienos figūros tašų bei atitinamų panašios figūros tašų santyis yra pastovus ir vadinamas p a n a š u m o o e f i i e n t u, o ampai tarp atitinamųjų inijų yra ygūs... p a v y z d y s. Tarime, turime du apsritimus, urie visada yra panašūs. Jų ygtys: x + y r ir x + y r. Reduuoime abi ygtis į bedimensę formą, padaiję jas atitinamai iš apsritimų spinduių r ir r : x y + r r x y + r r,. (..) a) Kadangi X bedimensę ygtį: x x y y ir Y r r r r, abiem panašiems apsritimams gauname tą pačią X + Y. (..) Toią matematinę operaiją gaima atiti su bet oių geometrišai panašių figūrų ygtimis. Taigi geometrinio panašumo sąyga yra figūr as aprašančių bedimensių ygčių identišumas. Anaogišai geometriniam panašumo oefiientui gaime įvesti fiziinio dydžio panašumo oefiientą, arba s i m p e s ą. Fiziinių dydžių panašumo oefiientus toiau žymėsime raide su indesu, atitinančiu tų dydžių įprastą žymėjim ą (žr. II priedą) (pavyzdžiui, bet oių inijinių matmenų (t.y. geometrinis) panašumo oefiientas žymimas, masės panašumo oefiientas m, aio panašumo oefiientas t, jėgos panašumo oefiientas f ir pan.). Anaoginio panašumo oefiientus žymėsime raide su dviem indesais. Dar 683 metais G. Gaiėjus (564-64) pirmasis pabrėžė, ad dviejų objetų (artu 5

objeto bei modeio) geometrinis panašumas joiu būdu nereišia jų fiziinio panašumo. Kartais fiziinį panašumą gaima pasieti ti atsisaius geometrinio panašumo... p a v y z d y s. Išnagrinėime geometrinio bei fiziinio panašumo ryšį. Laiyime objetu metainį rutuį, paabintą ant to paties metao yno, o šios sistemos modeį gausime, sumažinę masteį artų (3 pav.). Išnagrinėime eetą atvejų. a) Objetas aiomas matematine švytuoe, t.y. aiome rutuius materiaiaisiais tašais, esančiais ynų gauose, ir nepaisome ynų masių (3a pav.). Kos yra šio objeto ir jo modeio svyravimų periodų santyis, t.y. am ygus periodo panašumo oefiientas? Matematinės švytuoės (objeto ir modeio) svyravimų periodai atitinamai ygūs: L T π, (. g.3) T L π. (..3a) g čia: L ir L švytuoių igiai; g aisvojo ritimo pagreitis. Iš (..3) ir (..3a) gauname periodo panašumo oefiientą: T L T. T L (..4) Matome, ad periodo panašumo periodo panašumo oefiientas nesutampa su geometrinio panašumo oefiientu. Gautas rezutatas fizišai reišia, ad šiuo atveju geom trišai artų mažesnio modeio svyravimų periodas yra trumpesnis, t.y. mes e T gaime suspausti aią artų, stebėdami tie artų pagreitintą svyravimų proesą. Atitinamai parinus didesnį už objetą modeį, mes ištempiame aio saę. b) Objetas ir modeis nejuda. Payginime įtempimo jėgas ynų atitinamuose tašuose (3b pav.). Šios jėgos ygios ynų daių toiau tiriamų tašų ir rutuių svoriams: f mg ρvg, (..5) f m g ρv g, (..5a) 6

čia: m ir m, V ir V yra rutuių bei ynų daių žemiau tiriamo tašo masės ir tūriai, ρ metao tanis (prisiminime, ad jis yra vienodas ynui ir rutuiui). Atsižvegę į tai, ad tūriai yra proporingi inijinių matmenų ubams, gauname: 3 f V 3 f f V. (..6) Šiuo atveju jėgos panašumo oefiientas yra ygus geometrinio panašumo ubui. Vadinasi, yną veiiančios jėgos požiūriu modeis nėra adevatus objetui, jei jų medžiaga yra ta pati (t.y. ). p Apsaičiuoime dar vieno dinaminio dydžio įtempio panašumo oefiientą. Įtempis ygus yno serspjūvį veiiančios jėgos ir šio serspjūvio poto santyiui. Objetui ir modeiui atitinamai gauname: f S σ, (..7) σ f S. (..7a) σ Turime rasti σ. Prieš tai buvo parodyta, ad f 3 f. Potai yra proporingi σ f inijinių matmenų vadratams, todė Iš formuės (..8) gauname: S s S. (..8) 3 σ fs σ Sf σ. (..9) Matome, ad nagrinėjamame pavyzdyje įtempimo panašumo oefiientas sutapo su geometrinio panašumo oefiientu. Iš šio paprasto pavyzdžio darytinos dvi išvados. Pirma modeiuojant būtina numatyti, oių dydžių panašumo mes sieiame. Antra adevačių modeių suūrimas reiaauja speiaios metodios, uri ir yra panašumo teorijos objetas... Homogeninėmis funijomis aprašomų reišinių panašumas. Panašumo riterijai Iš pradžių pagrįsime toesnius matematinius saičiavimus bendrais samprotavimais. Pratišai ievieno proeso eigą nuemia daug veisnių, urių poveiis pasireišia artu tam tiruose deriniuose. Atstojamąjį, suminį efetą nuemia ne pavieniai dydžiai, o jų ombinaijos. Todė yra ogiša proesą aprašančius dydžius įvesti ne aip pavienius parametrus, o ompesų pavidau. Panašius reišinius aprašantys ompesai neturi priausyti nuo masteio ir matavimo vienetų sistemos parinimo, t.y. minėti ompesai turi būti bedimensiai. Jie formuojami priausomai nuo dėsningumų, būdingų onrečiai panašių reišinių aibei. 7

Išnagrinėime atvejį, ai reišinys matematišai aprašomas funiniu ryšiu tarp fiziinių* intamųjų. Bendras toios ygties pavidaas: x,x,...,xn ) 0 čia xi yra fiziiniai intamieji. Du reišiniai, arba objetai yra panašūs, jei: jie aprašomi identišos formos ygtimis, pavyzdžiui: F(, (..) F ( t,x,x,...,x ) 0 n, (..) F ( t,x,x,...,x ) 0 8 n, (..a) egzistuoja į ygtis įeinančių atitinamųjų intamųjų (objetų arba reišinių parametrų) proporingumas, išreišiamas panašumo oefiientais (simpesais): t x x xn t, x, x,..., x. (..3) n t x x x n ( x,x,...,x ) F( x, x,..., ) n n x n F. (..7) Kadangi (..7) išraišoje funijos yra homogeninės, gaima taiyti (..4) ygtį. Tuomet gauname: Aivaizdu, ad turi būti: F ( x,x,...,x ) Φ (,,..., ) F( x,x,...,x ) n (..8) n Φ(,,..., ). (..9) n (..9) pavidao ygtys vadinamos o e f i i e n t ų y g t i m i s. Matematišai buvo įrodyta, ad jei intamųjų saičius yra n, o nepriausomų dimensijų saičius, tai i oefiientus gaima gauti ( n ) funinių priausomybių, turinčių aipsninių ompesų pavidaą: a a +...,...... a a a r r ar + r...,... a( n ) a ( n ) a( n ) n... čia,,..., yra intamųjų panašumo oefiientai, a aipsnių rodiiai. n, (..0) r * Terminas fiziiniai anaipto nereišia, ad šie intamieji naudojami ti fizioje. Jais anaipto operuoja inžinieriai (jėga, įtempis, energija, srovė, apšviestumas), mediai (biosrovės, aprovimas, švitinimo dozė), eonomistai (masė, gaia, našumo oefiientas), net onditeriai (aoringumas)

Vėiau V an Draistas (Van Driest) įrodė, ad yra gaimos išimtys, ai saičius būna mažesnis už nepriausomų dimensijų saičių. Kaip matome, įvedus panašumo oefiientus, gauname papidomą ygčių sistemą, uri neturi prieštarauti reišinį nusaančioms ygtims. Kievieną iš (..0) ygčių gaima užrašyti oefiientų ygties pavidau, daijant visą ygtį iš jos dešiniosios pusės: + a r a r r. (..) a r... Įraš ę į (..) xi x i x i, gauname: x + r x+ r idem ar a r r a a a a π. (..) r r r r x x... x x x...x (..) išreišia bedimensį intamųjų derinį, identišą visai panašiųjų reišinių aibei (payginite su (..). toie deriniai yra vadinami p a n a š u m o r i t e r i j a i s arba π - r i t e r i j a i s. Mes visada žymėsime π -riterijus su indesais ( π, π, π i ) sirtingai nuo formuėse dažnai sutinamo saičiaus π 3,4. Dažniausiai naudojami π -riterijai yra žymimi mosininų pavardžių pirmomis dviem (rečiau viena) raidėmis ir vadinami saičiais (pavyzdžiui, Ne Niutono (Newton) saičius; M Maho (Mah) saičius). Jie pateiti II priede. Panašumo riterijai, būdami eių fiziinių dydžių santyiais, atspindi sirtingų veisnių santyinę įtaą modeiuojamiems reišiniams. Jei turime m riterijų π i idem( i,,..., m), tai gaime gauti itus panašumo riterijus, π j π jπ formuojant pirmųjų derinius (pavyzdžiui, π j π idem, idem, idem ir pan.). π π Taip gaima suformuoti panašumo riterijus ti iš dydžių, įeinančių į vienareišmišumo sąygas. Turėdami r pradinių riterijų sistemą { π, π,..., π r }, gauname jai evivaentišą pergrupuotų riterijų sistemą { π, π,..., π, π+, π+,..., π + }, urioje π -riterijų yra sudaryti iš priausomų ir nepriausomų intamųjų ir π -riterijų yra sudaryti ti iš vienareišmišumo sąygų. Bendras riterijų saičius + r iea tos pats. Kievienas iš pirmųjų riterijų yra iusiųjų riterijų funija. Lygtis F( x, x,..., x n ) 0 aprašo onretų reišinį, o panašumo riterijus susiejanti ygtis π i π i ( π +, π +,..., π + ) tina visų panašiųjų reišinių aibei... p a v y z d y s. Tegu objetas ir modeis yra aprašomi ygtimis: 3 bx x z, (..3) 3 z b x x, (..4) čia b ir b yra onstantos. Kintamųjų panašumo oefiientai (simpesai): z z, x z 9 x, x x x x...5)

Rasime objeto ir modeio panašumo riterijus. Jei ygtys (..3), (..4) ir (..5) neprieštaringos, panašumo riterijus gaima rasti dviem būdais. (..4): Nusaome ir x reišmes ir iš (..5) išreišę x x x bei x x x x, įrašome į z 3 b x x. x x (..6) Išreišę z iš (..5), įrašome z iš (..6): z z z x zb x x x 3. (..7) Priyginę (..3) ir (..4) dešiniąsias puses, gauname: bx 3 3 x x x zb, x x arba b b z. (..8) 3 x x (..8) yra iešoma oefiientų ygtis. Nusaome xi r x reišmes ir iš (..5) išreišę x x x bei x x x, įrašome į (..3): 3 z b( x ) ( x ) Išreišę z iš (..5), įrašome z iš (..9): x. (..9) x z z z b ( x ) ( ) x 3 x x z. (..0) Priyginę (..4) ir (..0) dešiniąsias puses, gauname: b b 3 x x z. (..) Lygtys (..8) ir (..) yra identišos. Tai reišia, ad objetas ir modeis yra vienas ito veidrodinis atspindys, t.y. modeiuojant juos gaima eisti vietomis. Iš (..) gaunamas panašumo riterijus: 0

3 3 bx x b x x π idem. (..) z z Primename, ad (..) ygties negaima gauti betarpišai iš (..3) ir (..4), o nėra užtirintas (..3), (..4) ir (..5) ygčių sistemos suderinamumas... p a v y z d y s. Rasime rutuio greito judėjimo systyje panašumo riterijų. Nagrinėsime horizontaų rutuio judėjimą, todė sunio bei Arhimedo jėgų atstojamąją aiome ygią nuiui. Dideio greičio atveju sysčio judėjimas yra turbueninis ir payginti mažos ampumo jėgos gaime nepaisyti. Šiuo atveju rutuį veiia toia pasipriešinimo jėga: f pas. 0.πr ρv, (..3) čia: r rutuio spinduys, v rutuio greitis, ρ sysčio tanis. Modeiui atitinamai turime: r r, r f pas. 0.πr. (..4) Išreišiame modeio parametrus per objeto parametrus ir panašumo oefiientus v ρ v, ρ, f f pas. pas. ir įrašome juos į (..4):. v ρ f pas ρ υ f pas. f pa s. 0. r ρ v r ρ v π. (..5) Į (..5) įrašome f pas. iš (..0) ir po supaprastinimo gauname oefiientų ygtį: Iš (..6) gauname panašumo riterijų: f pas. r ρ υ f f idem r ρυ r ρ υ. (..6) π. (..7) Išnagrinėime šio panašumo riterijaus fiziinę prasmę. Jeigu norime, ad r artų sumažintą modeį veitų toia pati jėga, ai p ir objetą, ( f f ), ir objeto bei modeio ρ ρ, sysčio greitį turime padidinti artų; jei norime systis yra tas pats ( ) sumodeiuoti vienodą sėgį f r f r, o modeio greitis yra ρ υ v r v artų mažesnis, reiia panaudoti systį, urio tanis yra didesnis artų; jei modeio spinduys yra artų mažesnis, jo greitis v artų mažesnis, o sysčio tanis tos pats, modeį veiianti jėga bus r v artų mažesnė. r

.3. Difereniainių ir integrainių operatorių reduavimas Sudėtingi tehniniai proesai dažnai aprašomi ne eementariosiomis funijomis, o difereniainėmis, integrainėmis arba integrainėmis difereniainėmis ygtimis. Išnagrinėime, aip rasti panašumo riterijų, jei funija turi pavidaą: F ( D,D...,D ) 0, n, (.3.) čia Di difereniainiai arba integrainiai operatoriai. Difereniainiai operatoriai Jeigu objetas yra aprašomas difereniainiu operatoriumi dy z, (.3.) dx tai modeiui panašią funiją gaime išreišti, naudojant funijos ir intamųjų panašumo oefiientus: d ( y) Laiydami panašumo oefiientus pastoviais, gauname: y z z. (.3.3) d( x) x y dy z z (.3.4) dx Payginę (.3.) su (.3.4), gauname difereniainio operatoriaus panašumo oefiientą, išreištą per diferenijuojamos funijos ir jos argumento panašumo oefiientus: x y z x (.3.5) Antrajai išvestinei: dz d y u dx dx. (.3.6) Anaogišai (.3.5) gaima teigti, ad z y u x x. (.3.7) Induijos būdu bet urios eiės išvestinei n d y w gau name: n dx w y n x. (.3.8) Vadinasi, n-tosios eiės išvestinės operatorius paeičiamas bedimensiu ompesu. Šis

eitimas vadinamas operatoriaus reduavimu į bedimensį ompesą ir simboišai žymimas Di, (.3.9) čia D i operatorius; P i reduuotas bedimensis ompesas. (.3.) ygtyje gaima pereiti prie bedimensių intamųjų. Jei ši ygtis aprašo objetą, tai modeiui turime: Anaogišai (..3) įvedame operatorių panašu mo oefiientą D Pi ( D, D,... 0) F. (.3.0) D n Di idem. D i i (.3.) Jeigu difereniainis operatorius yra ygus eių operatorių sumai D i Di + Di +... + Dij +... + Di, (.3.) gaima pereiti prie santyinių bedimensių dydžių D i δ ij. (.3.3) Dij J ei sumuojamų operatorių saičius yra, gaima sudaryti ( ) nepriausomų santyių..3. p a v y z d y s. Įvairių proesų ygtyse dažnai naudojamas Lapaso operatorius: + + x y z Δ. (.3.4) Tegu objetui w w w w + + x y z Δ, (.3.5) o modeiui w w w w + + x y z Δ (.3.6) Jei Δw Δ w, x Δw x y, y, x y z z, (.3.7) z įrašę išreištus iš (.3.7) dydžius Δ į (.3.5) gauname: w,x, y, z 3

w w w w w w Δ wδw + +. (.3.8) x x y y z z Iš (.3.6) ir(.3.8) payginimo matyti, ad dydį w veiiančio Lapaso operatoriaus panašumo oefiientas w w w w + + x y z Δ. (.3.9).3. p a v y z d y s. Išnagrinėime šiumos sidimą ietajame ūne ir išvesime temperatūros auą nusaančią ygtį (t.y. temperatūros itimą bei jos pasisirstymą paga x, y, z ašis trimačio temperatūros sidimo atveju, ai vysta ūno šiumos apyaita su apina). Pasirinime ūno viduje toį mažą tūrio eementą dv, ad bet uriuo aio momentu t visuose nagrinėjamo eemento tašuose temperatūra būtų ta pati. Laiome, ad šiumos šatinio eemente nėra. Jei tiriamojo eemento ir apinos temperatūra yra nevienoda, vysta šiumos apyaita, urią nusao energijos tvermės dėsnis: du. dq, (.3.0) čia: du. ūno eemento vidinės energijos poytis per aią dt; dq šiumos ieis, uriuo apsieičia eementas ir apina per aią dt. (.3.0) ygtis turi bendrą formą ir neeidžia išspręsti onretaus uždavinio. Todė turime pereiti prie intamųjų bei parametrų, apibūdinančių šiame uždavinyje nagrinėjamą proesą. Vidinės energijos poytis: du. ( V )dmdt, (.3.) čia: ( V ) eemento medžiagos savitoji šiuma esant pastoviam tūriui, dm eemento masė, dt temperatūros poytis. Išreišiame čia: ρ medžiagos tanis, dv eemento tūris. Tuomet vidinės energijos poytis dm ρdv, (.3.) du. ( V ) ρdvdt. (.3.3) Šiumos ieiui dq nustatyti pasinaudoime Furje (Fourier) dėsniu: q Q λ gradt, (.3.4) čia: q Q šiumos srauto tanis, urio moduis ygus šiumos ieiui, prateėjusiam per aio vienetą per poto vienetą, t.y. Q q Q, t S 4 λ ūno medžiagos šiumos aidumo

oefiientas, aiomas pastoviu dydžiu; T T T gradt i + j+. x y z Vienmačiu atveju, ai šiuma sinda ti x ryptimi, susitarime teigiama ryptimi aiyti iš apinos į ūną ryptį. Tuomet apinos temperatūra turi būti auštesnė už eemento temperatūr ą, t.y. Tuo atveju T x turi būti neigiamas. dq Diferenijuodami (.3.5) paga x, gauname: T dtds x λ. (.3.5) dq d Q λ dtds, (.3.6) dx dx arba T dq λ dtdsdx x. (.3.7) Kadangi dsdx dv, gauname Įrašę (.3.) ir (.3.8) į (.3.0), turime: t dq λ dtdv. (.3.8) x T T ( V ) ρ dv λ dv, t x arba T λ T. (.3.9) t ( V ) ρ x λ Dydis a, apibūdinantis šiumines medžiagos savybes, vadinamas temperatūros ( V )ρ aidumo oefiientu. Taigi gauname: T t T a. x (.3.30) (.3.30) ygtis nusao temperatūros pasisirstymą, artu šiumos aidumą x ryptimi ietuose ūnuose. Ji eidžia vietoj abstračios energijos baanso ygties operuoti payginti engvai matuojamais dydžiais (temperatūra, aiu, fiziinėmis onstantomis). Išvesime oefiientų ygtį vienmačiam šiumos aidumui, urį nusao (.3.30) ygtis. Tegu originaui ir modeiui atitinamai turime: 5

T t T a, (.3.3) x T t a x T. (.3.3) Reduuodami difereniainius operatorius (.3.3) ygtyje, gauname: T t T t, (.3.33) T x T x. (.3.34) Įvedame temperatūros aidumo oefiiento panašumo oefiientą: a a a (.3.35) ir iš (.3.3) (.3.34) gauname: Iš (.3.36) gaunama oefiientų ygtis:. (.3.36) t T T a x a t x, (.3.37) uri susieja tris panašumo oefiientus. Du iš jų gaime pasirinti aisvai, o trečiąjį vienareišmišai nusao (.3.37) ygtis. Šią ygtį atitina panašumo riterijus: Jis vadinamas Furje (Fourer) saičiumi ir žymimas at π idem. (.3.38) x at at Fo. (.3.39) x Dabar transformuoime (.3.3) ir (.3.3) ygtis į bedimensę formą. Šiam tisui įvesime į šias ygtis bedimensę temperatūrą (dar vieną π -riterijų): T π θ, T 0 (.3.40) čia: T 0 pradinė temperatūra. K adangi T T() θ, o θ θ( Fo), tai T T( Fo,θ ). Difereni-juodami T, aip bedimensės 6

temperatūros θ ir Furjė saičiaus Fo funiją, paga aią t ir duart paga oordinatę x, gauname: T t T x dθ Fo, (.3.4) dfo t dθ Fo, (.3.4) dfo x x T dθ Fo Fo + dfo dx x θ. (.3.43) Fo Įrašę (.3.4) ir (.3.43) į (.3.3), gauname: dθ Fo dθ Fo d θ Fo a + dfo t dfo x dfo x 0 (.3.44) Kadangi, Fo t a x, (.3.45) Fo at x x 3 Fo x, (.3.46) Fo at 6 4 x x Fo 6, (.3.47) x Įrašę (.3.45), (.3.46) ir (.3.47) išraišas į (.3.44) ygtį, gauname: x a dθ Fo dθ Fo a 6 + 4 dfo dfo x x d θ 0, (.3.48) dfo ir po supaprastinimo θ dθ d. dfo dfo ( 6Fo) 4Fo 0 (.3.49) (.3.49) ygties sprendinys yra vieno intamojo funija θ θ( Fo), į urią įeina du bedimensiai ompesai π Fo ir θ. Bendras (.3.49) ygties pavidaas π d π dπ 6π 4π dπ dπ 0, (.3.50) tina visiems panašiems reišiniams, ji jų vienareišmišumo sąygos yra identišos. Tuo atveju visai nesvarbu, iš oių fiziinių intamųjų yra sudaryti π -riterija i. ) Integrainiai operatoriai 7

Jeigu objetas ir modeis yra aprašomi integrainiais operatoriais z ydx, (.3.5) ir z z, z y y ir y z y dx, (.3.5) x x, tai panašumas reiaauja, ad įgaiotų x z z y x y dx. (.3.53) Lygindami (.3.5) ir(.3.53), gauname;. (.3.54) z y x K adangi z yra sandaugos xy panašumo oefiientas, pati sandauga xy yra integrao ydx reduuotas ompesas..4. Bendras panašumo atvejis Objeto ir modeio panašumas egzistuoja, jei : jie aprašomi anaogišomis ygtimis; šių ygčių atitinamieji intamieji yra proporingi (susieti panašumo oefiientais); šios ygtys yra suderintos su panašumo oefiientų ygtimis. Tegu objeto ir modeio ygtys yra pateitos neišreištine forma: F( z,xi,t j,d j ) 0, (.4.) F( z,xi,t j,d j ) 0, (.4.) čia: z( t j ) ir z ( t j ) yra nežinomos, o x i ( t j ) ir xi ( t j ) duotos nepriausomų intamųjų t j i r t j n d funijos, ir D j yra difereniainiai operatoriai. n dt j Panašumo oefiientai z z, z xi x i, xi t t j t j. (.4.3) j Panašumo oefiientų ygtys gaunamos dviem būdais. I būdas. Pasinaudojant (.4.3) sąryšiais, (.4.) ygtyje jos intamuosius paeičiame (.4.) ygties intamaisiais: z x F i, z x i n, D j 0 t j. (.4.4) Koefiientų ygtys gaunamos iš (.4.) ir (.4.4) ygčių sprendinių tapatingumo. 8

II būdas. Jei (.4.) ir (.4.) ygtys turi eių narių sumos formą, daindami jas atitinamai iš bet urio jų dėmens ir formaiai aiydami operatorius intamaisiais, reduuojame šias ygtis į bedimensę formą: Φ, (.4.) ( z,xi,t j,d j ) ± 0 ( z,xi,t j,d j ) ± 0 Φ. (.4.) Įvedame π - riterijus aip funijos Φ intamųjų aipsninius ompesus: π r i j j zr xir tjr Djr a z x t D, (.4.3) r čia: r,,...,m. Dabar funijoje Djr π r a r z zr xi xir tjr t j D j, (.4.4) Φ gaime pereiti prie naujai gautų intamųjų: Gautinai gauname panašumo riterijų ygtis: Φ z, x,t,d ) P( π ), (.4.5) ( i j j r Φ ( z,xi,t j,d j ) P( π r ). (.4.6) P( π r ) ± 0, (.4.7) P( π r ) ± 0. (.4.8) π r išraišoje pereiname prie štrihuotų intamųjų, pasinaudoję (.4.7): π r r ar a r r z zr z x i xir π a ( z ) Įrašius (.4.9) į (.4.7), gauname: ar P ar zr t j tjr ( x t j i x ) i π. Iš (.4.8) ir (.4.0) ygčių tapatingumo gauname: r xir ( t j t ) j tjr D j t j Djr (.4.9) z zr xir tjr π r xi t j t ± j. (.4.0) ar z xi t j t j r a zr xir tjr. (.4.) (.4.) yra bendroji oefiientų ygties išraiša. Šią ygtį gaima užrašyti ir taip: 9

a z zr xir tjr Djr r xi t j D j π r tjr zr xir Djr x t D π r r i j j a z. (.4.).4. p a v y z d y s. m masės ūnas trauiamas jėga f auštyn nuožunia poštuma, sudarančia ampą α su horizontu (4 pav.). Trinties oefiientas yra proporingas judėjimo greičiui, t.y. dx μ ( v ) μ v v μv dt. Rasime šio reišinio panašumo oefiientus. Sprendimas. Kūną veiia sunio jėga mg, trauos jėga f, poštumos reaijos jėga N ir trinties tarp ūno ir poštumos dx jėga ftr. μ( v )mg osα μv mg osα. dt Užrašyime antrąjį Niutono dėsnį, projetuodami vetorius į ašį, ygiagrečią nuožuniai poštumai: d x dx m μv mg osα + f mg sinα. (.4.3) dt dt Gavome ygtį pavid ao F( x,m, f, μ,t,d,d ) 0, čia: x () t yra intanti aie nežinoma v d d ūno oordinatė, m, f, μ v reišinį nusaantys parametrai, D ir D dt dt difereniainiai operatoriai. Reišinį aprašančią (.4.3) ygtį reduuojame į bedimensę formą, daindami visus jos narius iš mg sin α : Modeiui atitinamai turime: d x dx μv f + + 0 dt g sinα dt tgα mg sinα d x dx μv f 0 dt + ± g sinα dt tgα m g sinα Įvedame panašumo oefiientus ir reduuojame difereniainius operatorius:. (.4.4). (.4.5) x x, x m m, m f f, f μ v μ v, μv dx dt dt D x x, dx D x t d x dt D x x. (.4.6) D d x x t dt Pasinaudoję (.4.6) sąsajomis, (.4.4) ir (.4.5) ygtis užrašome taip: D x μv f + D x + 0 g sinα tgα mg sinα. (.4.7) 0

D x μv f + D x + 0 g sinα tgα m g sinα. (.4.8) π riterijai: D x D x μv μv π, π Dx D x, π 3 g sinα g sinα tgα tgα Iš (.4.9) gaunamos oefiientų ygtys: D xg sinα x, D x g sin α t D xμvtgα x μv D x μv tgα t, f mg s in α f m g sinα. (.4.9) fm g sinα f f mg sinα m. (.4.30) dx Pavyzdžiui, π riterijus nusao objeto ir modeio pagreičių ( a D x dt dx a D x dt π dx ( v D x dt ) sąsaja su poštum os nuožunumo ampu, jei α α. reišia, ad didindami (mažindami) modeio trinties oefiientą μ v,, jo greitis ) proporingai sumažės (padidės), jei objeto ir modeio ampas α yra tos pats..5. Panašumo teoremos Ansčiau išdėstytą teorinę medžiagą apibendrina panašumo teoremos. P i r m o j i p a n a š u m o t e o r e m a. Reišinių panašumo būtina ir paanama sąyga yra šių reišinių atitinamųjų panašumo riterijų, sudarytų iš pagrindini ų ygčių ir vienareišmišumo sąygų dydžių, ygybė. A n t r o j i p a n a š u m o t e o r e m a ( π-teorema). Funinė priausomybė tarp proesą aprašančių dydžių gai būti išreišta, aip priausomybė tarp panašumo riterijų, sudarytų iš šių dydžių. Panašumo riterijų, t. y. bedimensių aipsninių ompesų, naudojimas eidžia tirti visą panašiųjų reišinių arba objetų aibę, gretinti ir apibendrinti rezutatus. Be to, payginti su fiziinių intamųjų ygtimi, panašumo riterijų ygtis turi mažiau narių. Tai paengvina pastarosios sprendimą. 3. MECHANINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS 3.. Pagrindinių mehaninių dydžių panašumo oefiientai Gauime pagrindinius inematinių ir dinaminių dydžių panašumo oefiientus (simpesus ir ompesus). Simpesus sudaryime iš tų fiziinių dydžių, urių dimensijos aiomos pagrindinėmis SI sistemoje.

Linijinių matmenų (oordinačių) simpesas: ( x x y, y, x y z z z ). (3..) Laio simpesas: t t. (3..) t Masės simpesas: m m m. (3..3) Išvestinių dydžių (ompesų) panašumo oefiientai gaunami iš šių dydžių apibrėžimų. Gauime, pavyzdžiui, mehaninio darbo panašumo oefiien tą. Darbo formuė: ( f ) f osα A, (3..4) č ia: f jėga, ampas tarp f ir posinis, α. Tarime, ad α, artu ir os α, objetui ir modeiui yra vienodi. Čia ir toiau aiysime, ad ampu ir jų funijų panašumo oefiientai ygūs vienetui, jei šių oefiientų saitinės reišmės nėra papidomai aptartos. Esant objeto ir modeio geometriniam panašumui ši sąyga teninama visada. (žr. paveisą). Paga antrąjį Niutono dėsnį jėgos moduis d f ma m, (3..5) dt čia: m masė, 3. enteė d dt a pagreičio moduis, posinio moduis. Greitis DYDIS DYDŽIO FORMULĖ DYDŽIO PANAŠUMO KOEFICIENTAS Pagreitis Tanis d v v dt t d a a dt t m ρ ρ m v V Judesio ieis mv mv Jėga Darbas ( ) d m f m f dt t A f m A f t

Kinetinė energija Poteninė energija: gravitainiame aue; tampriai deformuoto ūno Gaia E mv E p mgh E p da W dt ( Δx) E m mv t m E mgh p t E p A W t m 3 t Įrašę į (3..4) fiz iinius dydžius, išreištus iš (3..), (3..) ir (3..3), gauname: Iš (3..6) mehaninio darbo panašumo oefiientas A d ( ) m d m m m m A. (3..6) d( t ) dt t t t A A m A t. (3..7) Dažniausia vartojamų mehanios dydžių panašumo oefiientai pateiiami 3. enteėje. 3.. Atsiri panašumo atvejai ir modeiavimas mehanioje. Sunio jėgos modeiavimas Objetą veiianti sunio jėga f sun. mg ρvg. Modeiui f sun. m g ρ V g (čia: ρ ir ρ objeto ir modeio taniai, V ir V tūriai). Daydami pirmąją ygtį iš antrosios, gauname: fsun. mg ρvg f sun. f sun. m g ρ V g, (3..) ρv g Jei aiome g (objetas ir modeis yra tame pačiame gravitainiame aue) ir atsižvegiame į tai, ad tūrio panašumo oefiientas yra ygus inijinių matmenų panašumo oefiiento ubui ( 3 gauname toią oefiientų ygtį: v fsun. 3 ρ V ρ. (3..a) (3..) gaima perrašyti taip: ρ V f sun. g. (3..) Įrašome į (3..) ir išraišas iš 3. enteės: ρ f 3

ρ V g f sun. mv gt V m g t g t g v g, (3..a) dydžius ( saičiumi: Į (3..a) įrašome panašumo oefiientų išraišas per objeto ir modeio fiziinius v v, v g g, g ) ir gauname panašumo riterijų, vadinamą Frūdo (Froude) v mg Fr idem g π. (3..3) Frūdo saičius dažnai naudojamas modeiuojant mehaninius reišinius ir vysmus. t g 3.. p a v y z d y s. Iš (3..) matome, ad t, t.y.. Taiydami šią t g formuę matematinei švytuoei, onstantos tisumu gauname Hiugenso formuę matematinės švytuoės svyravimų periodui: T ~. g 3.. p a v y z d y s. Difuzinio sysčio degimo metu, jei iepsnoja rezervuaras arba išsiiejęs systis, faeo auštį gaima apytisiai saičiuoti paga formuę čia:,5 h 40 d Fr, h iepsnos auštis, d rezervuaro sersmuo, Fr Frūdo s aičius. Nustatyime, oią prasmę šiuo atveju turi Frūdo saičiaus formuėje figūruojantys dydžiai. Aivaizdu, ad g yra aisvojo ritimo pagreitis. Linijiniu matmeniu aiytinas rezervuaro sersmuo, t. y. d. Dydis v turi turėti greičio matavimo vienetą, adangi Frūdo saičius yra bedimensis. Šiuo atveju čia nėra mehaninis greitis, bet garų susidarymo greitis, V t. y. garų tūrio susidarymas iš poto sysčio poto vieneto per aio vienetą, urio matavimo vienetas SI sistemoje m 3 m m. s s. Tampriosios jėgos modeiavimas Tampriai deformuotą ūną veiia jėga f tamp. v g g εes, (3..4) S čia ε ūno santyinis paigėjimas, E Jungo moduis, S ūno serspjūvio potas. Modeiui atitinamai turime f tamp. E S ε. (3..5) Daydami (3..4) iš (3..5), gauname f tamp.. Iš čia oefiientų ygtis ε ES f tamp.. (3..6) ε ES 4

Aivaizdu, ad objetą ir modeį deformuojant geometrišai panašiai ε ε ir Tada iš (3..6) gauname tiesinės deformaijos panašumo riterijų, vadinamą Huo (Houe) saičiumi: ε. f Ho (E). (3..7) ES Anaogišai gaunamas itas Huo saičius, šyties deformaijos atveju: apibūdinantis panašumą tampriosios Ho ) f GS (G š., (3..8) čia G š. šyties moduis. (3..6) ygtį gaima transformuoti, įrašius f tamp. m 3 m ρ t ir, tada ρ v ε E v ε E ρ, (3..9). (3..9a) Iš (3..9a) oefiientų ygties gauname panašumo riterijų, vadinamą Koši ( Cauhy) saičiumi: π v Ca. (3..0) εe ρ f tamp. Šio panašumo riterijaus taiymo pavyzdžiu gai būti garso sidimo ietoje tamprioje terpėje modeiavimas. Garso bangų greitį gaima eisti, tinamai parenant medžiagos parametrus ( ρ ir E ) arba deformuojant ūną, t. y. eičiant ε. 3. Stūmoinės mašinos modeis Išnagrinėime stūmoinės mašinos modeį. Objeto stūmoį veiia jėga f πr p, (3..) čia: r objeto stūmoio spinduys, p sėgis po objeto stūmoiu. Modeio stūmoį veiia jėga f πr p, (3..) č ia: r modeio stūmoio spinduys, p sėgis po modeio stūmoiu. Padaiję (3..) iš (3..), gauname: 5

f p. (3..3) (3..3) užrašome oefiientų ygties pavidau: Įrašius į (3..4) iš 3. enteės, gauname: f f. (3..4) p m t p mv 3 p ρ v p. Iš (3..8) oefiientų ygties gaunamas panašumo riterijus, vadinamas Euerio (Euer) saičiumi: ρv Eu idem p. (3..5) Tarime, ad (3..5) formuėje ρ ρ ir p p, tada turi būti v v, arba, t.y. t. Pratišai tai reišia, ad šiomis sąygomis artų sumažintame modeyje proesai pagreitės tie pat artų (pavyzdžiui, tie artų padidės stūmoio svyravimų dažnis). Payginime stūmoinės mašinos ir modeio gaias. Objeto ir modeio gaios yra toios: W πr phn, (3..6) W r p h n π, (3..7) čia: h ir h objeto ir modeio stūmoių eiga, n ir n ių saičiai per aio vienetą (t. y. stūmoių svyravimų dažniai). Gaių santyis N πr phn 3 N p n N πr p h n. Koefiientų ygtis: t t N 3 p n. (3..8) 3 N (3..5) gaima transformuoti taip: pn. Kadangi 3 ~ P (inijinių matmenų ubas yra proporingas svoriui, jei ρ ), gauname panašumo riterijų: N π N idem. (3..9) P Pnp (3..6) rodo, ad mašinos svorio vienetui tenanti gaia yra tiesiog proporinga sėgiui po stūmoiu ir ių saičiui per aio vienetą. 6

4. HID RODINAMINIŲ IR AERODINAMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS Atsirą mehanios daį sudaro sysčių ir dujų mehania. Šiame syriuje išnagrinėsime ti eetą būdingiausių hidrodinaminių ir aerodinaminių reišinių ir gausime atitinamus panašumo riterijus. 4. enteėje pateiti ai urie sysčių ir dujų mehanioje sutinamų dydžių panašumo oefiientai. 4. enteė DYDIS DYDŽIO FORMULĖ DYDŽIO PANAŠUMO KOEFICIENTAS Tanis Dinaminės ampos oefiientas Kinematinės ampos oefiientas Sėgis Paviršiaus įtempimo oefiientas ρ η m V η ν ρ p f. S dv dx f S m m ρ 3 V f x m η S v t η ν ρ t f m p S t с f m f pav.įt. ξ ξ t. Kampaus sysčio teėjimas vamzdžiu (5 pav.) Kampumo jėga f. dv dv η S νρs dx dx, (4.) čia: η νρ sysčio dinaminės ampos oefiientas, ν inematinės ampos oefiientas, ρ tanis, S ampumo jėgos veiiamas d v sysčio suosnio potas, sysčio suosnių greičio dx gradiento moduis. Kraštinės sysčio teėjimo sąygos šiuo atveju yra toios: v 0, ai x 0 ir x d. Fizišai tai reišia, ad ties vamzdžio sienee esantis sysčio suosnis priimpa prie vamzdžio ir nejuda. Modeiui atitinamai turime ampumo jėgą dv f. ν ρ S, dx (4.) ir raštines sąygas v 0, ai x 0 ir x d. Daindami pirmąją ygtį iš antrosios gauname: f. v ν ρ S (. 4.3) 7

Įrašome į (4.3) f S ir gauname oefiientų ygtį:. išraišą iš 3. enteės, supaprastiname, atsižvegdami į ygybę f v ν. (4.4) (4.4) atitinantis yra pagrindinis aerodinamioje ir hidrodinamioje naudojamas panašumo riterijus. Jis vadinamas Reinodso (Reynods) saičiumi ir nusao terpės greičio, jos ampos ir terpėje judančio ūno būdingojo matmens sąsają: v ρv Re. (4.5) ν η Jei objeto ir modeio systis yra tas pats (, ), tada iš (4.3) gauname v t ν ρ, t.y. proesų trumė proporinga inijinių matmenų vadratui.. Kūno ritimas ampioje terpėje Sysčių ir dujų mehanioje panašumo riterijų gavimui gaima naudoti vadinamą jėgų metodą. Pritaiyime jį, nagrinėdami ūno ritimą systyje arba dujose ir atsižvegdami į visas reaiai veiiančias jė gas (payg inite su.. pavyzdžiu, uriame dė greito ūno judėjimo ampos jėgos nepaisėme). Šios jėgos pavaizduotos 8 paveise. Tai sunio (gravitaijos) jėga f sun. mg ρ. gv (ūno tanio, aisvojo ritimo pagreičio ir ūno tūrio sandauga); eiamoji (Arhimedo) jėga f A. ρt. gv (terpės tanio, aisvojo ritimo pagreičio ir ūno tūrio sandauga); ampos dv jėga ηs ; priausanti nuo ūno formos ir nusaoma daugiio f. dx tisumu pasipriešinimo jėga, f p. Δp ( Δ p sėgių sirtumas prieš judantį ūną ir už jo, būdingasis ūno matmuo). Paga antrąjį Niutono dėsnį ma f sun. + f. + f A. f p. Pereiime į neinerinę atsaitos sistemą, įvedę inerijos jėgą f in. ma. Tada iš ūną veiiančių jėgų projeijų į vertiaią ašį gaima sudaryti toią ygtį: fin. f sun. f A. f. f p.. (4.6) Gauime bedimensę ygties formą, padainę visus narius iš f in., o dešiniosios pusės antrąjį narį padauginame ir padaijame iš f sun.. Gautą ygtį užrašome taip: f sun. + fin. f A. f sun. f sun. fin. + f. f p. fin. fin. +. (4.7) Lygtis transformavosi į bedimensių ompesų, urie pačiai naudojami hidrodinamioje ir aerodinamioje, derinį. Gauime šių ompesų, t.y. panašumo riterijų, išraišas. Frūdo (Froude) saičius: 8

Fr Reinodso saičius (žr. formuę (4.)): fin. a v v v f sun. g gt gt g. (4.8) fin. ma m ρv Re f ηs dv. (4.9). ηt η dx Euerio (Euer) saičius: Eu fin. ρ. v f p. Δp. (4.0) f A. f sun. ρ ρ t. gv s.. (4.) ρ. gv ρ. Dabar (4.) ygtį užrašome per panašumo riterijus: Fr ρt. + ρ. Fr + Re + Eu, (4.) ir po sutvarymo gauname: ρt. Eu Fr ρ. Re. (4.3) (4.3) ygtis ne ti nusao objeto ir modeio panašumo sąygas, bet ir eidžia anaizuoti reišinį apibūdinančių parametrų reišmę onrečiais atvejais. Pavyzdžiui, jei ūnas renta ρt. ore, << ir eiamosios Arhimedo jėgos gaime nepaisyti; jei ampumo jėga yra maža, ρ. payginti su inerijos jėga, iš (4.3) ygties išrenta narys ir t.t. Re Be auščiau minėtų jėgų, sysčių ir dujų mehanioje sutinamos tamprioji jėga (ai sėgis yra abai dideis) ir paviršiaus įtempimo jėga f (jei nagrinėjami maži f tamp. pav.įt. sysčio tūriai). Panašumo riterijai, gaunami aip jėgų santyiai, pateiiami 4. enteėje. 4. enteė JĖGA f sun. f pav.įt. f tamp. f in. f. f p. f tamp. Frūdo (Froude) saičius fin. v Fr f g sun. Veberio (Weber) saičius We f f in. pav.įt. ρv ξ Koši(Cauhy) saičius fin. v Ca f K tamp. f sun. ρg f pav.įt. ξ ftamp. K f. ηv f. ηv f. ηv f sun. ρg f pav.įt. ξ f tamp. ξ f p. Δp f p. Δ p f p. Δp f sun. ρg ftamp. K f pav.įt. ξ ftamp. K 9

f pav.įt. f sun. g f ξ pav.įt. ρ 4.. enteės tęsinys JĖGA f in. f. f p. f. Eierio (Euier) saičius f p. Δp Eu f ρv in. Stos o (Stoes) saičius f p. Δp St f ηv. Reinodso (Reynods) saičius f. ρv Re in f η. čia: Be ansčiau apibrėžtų dydžių (žr. 4. enteę) 4. enteėje figūruoja spūdumo moduis ρδp K, (4.4) Δρ Δρ Δp sėgio poytis, sėgio poyčio suetas santyinis medžiagos (terpės) tanio ρ poytis. Sysčių ir dujų mehanioje dažnai naudojamas Maho (Mah) saičius: čia: v ūno greitis terpės atžvigiu, v garso greitis terpėje. garso v M, (4.5) v garso 4. p a v y z d y s. Pritaiyime Reinodso saičių iepsnos faeui aprašyti. Reinodso saičius ρv v Re η v čia: ρ terpės tanis, v vidutinis dujų srauto greitis, η inijinis matmuo, η ir v dinaminės ir inematinės ampos ρ oefiientai. Šiuo atvejų terpė yra dujos, v jų srauto vidutinis greitis, inijiniu matmeniu aiytinas degiio sersmuo d, todė: vd Re. v Esperimentai rodo, ad esant Re < 300 vysta aminarinis degimas (7 a pav.), o esant Re < 300 vysta turbueninis degimas (7 b pav.). Taigi, vystant turbueniniam degimui srauto vidutinis greitis padidėja, artu padidėja dujų tūrio debitas., 30

5. ŠILUMINIŲ REIŠKINIŲ PANAŠUMAS IR MODELIAVIMAS Šiame syriuje nagrinėsime šiuminiu reišinių panašumą ir gausime pagrindinius šiuminio panašumo riterijus. Vieną iš jų Furjė saičių jau gavome, nagrinėdami šiumos sidimą ietajame ūne (žr..3. pavyzdį). Šiuminiuose reišiniuose svarbiausią reišmę turi ūnų vidinės energijos poyčiai Δ U ir šių poyčių matas šiumos ieis Δ Q. Čia sirsime ietųjų ūnų vidinės energijos poytį ir sysčių bei dujų vidinės energijos poytį, adangi sysčių ir dujų vidinė energija yra pernešama jų srautais (onveijos reišinys). Kietųjų ūnų vidinės energijos poytis Δ, (5.) U. m. (V ) ΔT čia: m. ūno masė, (V ) savitoji šiuma esant pastoviam tūriui, Δ T temperatūros poytis. Sysčių bei dujų vidinės energijos poytis Δ U s. ms. ( p ) Δ T, (5.) čia: ( p ) savitoji šiuma esant pastoviam sėgiui. Šiuma gai būti perduodama šiumos aidumo, onveijos ir spinduiavimo (radiaijos) būdais. Kietojo ūno aidumu perduotas per potą S per aią t šiumos ieis: Δ Q a id. ΔT λ St Δ, (5.3) čia: λ ietojo ūno šiumos aidumo oefiientas, Konveijos būdu perduotas per potą S per aią t šiumos ieis: ΔT Δ temperatūros gradiento moduis. čia onv. Δ, (5.4) Qonv. χonv.δt S t χ onveinio šiumos perdavimo oefiientas. Spinduiavimo būdu perduotas per potą S per aią t šiumos ieis: Qspind. χ spind. ΔT S t Δ, (5.5) čia χ spind. radiainio šiumos perdavimo oefiientas. Apibrėžime temperatūros aidumo oefiientą λ a, (5.6) (V ) ρ čia: λ šiumos aidumo oefiientas, ( V ) savitoji šiuma esant pastoviam tūriui, ρ tanis. Iš (5.) (5.6) ygčių gauname šiuos tarpusavio ygius energinių dydžių panašumo oefiientus: ietųjų ūnų vidinės energijos poyčio 3

U. m (V ) T 3 (V ) T ρ, (5.a) sysčių bei dujų vidinės energijos poyčio 3 U m s. ( p ) T ρ ( p ) T ietojo ūno aidumu perduoto šiumos ieio. (5.a) Q aid., (5.3a) λ T t onveijos būdu perduoto šiumos ieio Qonv. T onv. t χ, (5.4a) spinduiavimo būdu perduoto šiumos ieio Q spind. χ spind. T t, (5.5a) temperatūros aidumo oefiiento λ ρ a. (5.6a) ( V ) Kadangi U U Q Q Q. s. aid. onv. spind., iš (5.a) ir (5.3a) gauname: 3 ρ ( V ) λt t T ρ ( V ) λt at. (5.7) Šią oefiientų ygtį atitinantis panašumo riterijus: Iš (5.a) ir (5.4a):. at Fo (5.8) atitinamas panašumo riterijus: Q ρ onv. 3 χ (V ) onv. T T t ρ χ ( V ) onv. t, (5.9) ρ χ onv. (V ) t idem. (5.0) Iš (5.a) ir (5.4a): 3

χ onv. T t 3 ρ T ( p ) χ ρ onv. ( p ) t, (5.) ir panašumo riterijus Stentono (Stenton) saičius: St χonv. t ρ( p ). (5.) Anaogišai gaunamos itos oefiientų ygtys. Jas atitinantys panašumo riterijai yra auščiau išvardintų šiuminių dydžių santyiai ir išreišia ievieno dydžio santyinę įtaą šiuminiam proesui. Panašumo riterijai pateiti 5. enteėje (pirmos eiutės dydžiai dainami iš airiojo stupeio dydžių). Be enteėje pateitų panašumo riterijų, nusaančių šiuminės apyaitos nejudančioje terpėje reišinių modeiavimo sąygas, egzistuoja panašumo riterijai, urie sieja mehanines ir šiumines ūnų savybes ir naudojami tiriant šiumos apiaitą tarp ieto ūno ir jį apteančio sysčio (dujų). Prandtio (Prandt) saičius: ( ν η p ) Pr, (5.3) a λ čia: ν ir η inematinis ir dinaminis ampumo oefiientai, a temperatūros aidumo oefiientas, ( p ) sysčio (dujų) savitoji šiuma esant pastoviam sėgiui, λ šiumos aidumo oefiientas. Grashofo (Grashoff) saičius g 3 β Δ T Gr, (5.4) ν čia: β tūrinio pėtimosi oefiientas, g aisvojo ritimo pagreitis, inijinis matmuo, Δ T temperatūrų sirtumas tarp ieto ūno paviršiaus ir sysčio (dujų)). 5. enteė DYDIS Δ U. Δ U s. Δ U. Δ U s. Δ Q aid. (V ). ( p )s. ( p) s. ( V). Δ Q onv. at χ onv. t Fo ρ (V ) λt ρ ( p ) χ onv. t St ρ( p ) ρ Fo ( p ) ΔQaid. at t ρ(v ) Δ Q onv. χonv. t λ ρ( p ) St χ onv. t Bi λ χ onv. Bijo (Biot) saičius χonv. Bi λ Δ Q spind. ρ(v ) χ spind. t ρ( p ) χ spind. t λ χ spind. χ χ onv. spind. 33

5. p a v y z d y s. Liepsnos faeo storis apytisiai saičiuojamas paga formuę δ aτ, f. r. čia: dujų mišinio temperatūros aidumo oefiientas, aias. Rasime iepsnos faeo storio panašumo riterijų. Liepsnos faeo storio panašumo oefiientas: a τ r. heminės reaijos vysmo δ f. δ f. aτ r. aτ r.. δ f. a τ r. Iš čia oefiientų ygtis: δ f. a τ r., arba δ f. τ a r.. Panašumo riterijus δ f. π. aτ r. Jis atitina Furjė saičių (žr. 5. enteę) Fo. at Panašumo riterijus eidžia modeiuoti iepsnos faeą. Pavyzdžiui, paeitus degiojo mišinio omponentus taip, ad temperatūros aidumo oefiientas a pasieistų n artų, o heminės reaijos vysm o aias pasieistų n artų, iepsnos faeo storis pasieis n n artų. 6. ANALOGINIS MODELIAVIMAS Ii šio nagrinėjome fiziinį modeiavimą, ai objeto ir modeio fiziinė imė buvo ta pati ( viena mehaninę jėgą modeiavome ita irgi mehanine, vieną šiuminį auą itu šiuminiu ir pan.). Dabar aptarsime anaoginį modeiavimą. Jis yra taiomas, ai sirtingos fiziinės imės reišiniai yra aprašomi toios pat formos ygtimis (dažniausiai difereniainėmis), t.y. ai šių reišinių matematiniai modeiai yra identiši. Viena iš to ių reišinių asių yra pernešimo reišiniai. 6.. Pernešimo reišinių panašumas Pradėime nuo paprasto pavyzdžio. Išnagrinėime tam tiros rūšies maisto preių 34

itimą mieste, uriame šios preės gaminamos, vartojamos, išvežamos iš miesto ir į jį įvežamos. Per aio vienetą pagamintų ir suvartotų preių ieį pažymėime G x, o įvežamų bei išvežamų j x. Tada preių ieio x itimas per aio vienetą gai būti aprašytas toia baanso ygtimi: dx dt. (6..) G x + j x Toia pat ygtimi mes gaėtumėme aprašyti daug itoių reišinių miesto gyventojų saičiaus itimą, vandens nuteėjimą iš vieno teinio į itą, šiumos aidumą, eetros srovę grandinėje ir t.t. Visuose išvardintuose reišiniuose mes stebime tam tirų dydžių (parametrų) pernešimą, transportavimą tarp nagrinėjamos sistemos tašų. Pernešami dydžiai vadinami e s t e n s y v i a i s i a i s ( ot. extensivus tįsus). Mūsų pavyzdžiuose tai preių ieis, gyventojų saičius, vandens masė, šiuma, eetros rūvis. Sistemos būvį gaima vienareišmiai nusayti eiais nepriausomais estensyviaisiais dydžiais, urie šiuo atveju vadinami būdingaisiais. Mehanioje būdingieji estensyvieji dydžiai yra, pavyzdžiui, masė, energija, tūris. Estensyvieji dydžiai sumuojami, jei eios sistemos apjungiamos į vieną (pavyzdžiui, vienarūšė gamyų produija, eių gyvenviečių gyventojų saičius ir t.t.), ir dainami, jei sistema yra susaidoma į dais. Estensyviųjų dydžių pernešimo priežastimi yra itoio pobūdžio dydžių (arba parametrų), susietų sunagrinėjamos sistemos erdvinių oordinačių, sirtumai. Minėtuose pavyzdžiuose tai gaėtų būti preių ainų, pragyvenimo ygių, teinių auščių, temperatūrų, eetrinių poteniaų sirtumai. Toie fisuoti erdvėje (bet intantys aie!), oainiai dydžiai yra vadinami i n t e n s y v i a i s i a i s (ot. intensio sustiprinimas, įtempimas). Tarp jų išsiriame būdinguosius, t.y. tuos, urie nusao proesų ryptį (pavyzdžiui, sėgis, temperatūra ir pan.). Kievienas fiziinę prasmę turįs dydis, ygus dviejų estensyviųjų dydžių santyiui, yra intensyvusis dydis (pavyzdžiui, estensyviųjų dydžių masės m ir tūrio V santyis duoda intensyvųjį dydį tanį dydžių, bet ne visi jie bus būdingieji. 6. enteė m V ρ ). Taip gaima sudaryti daug intensyviųjų BŪDINGASIS DYDIS SĄVEIKA PERDUODA-MA ENERGIJA estensyvusis intensyvusis Mehaninė V tūris p sėgis pδ V Šiuminė S entropija T temperatūra TΔ S Eetrostatinė q rūvis ϕ poteniaas q Δϕ Bendras atvejis x i y i xiδ yi Sistemų sujungimas į vieną reišia, ad tarp jų atsiranda sąveia mehaninė, šiuminė, eetrostatinė ar itoia. Kievienai s ąveiai gaima prisirti po vieną būdingąjį estensyvųjį ir intensyvųjį dydį taip, ad intensyviojo dydžio sandauga iš estensyviojo dydžio poyčio būtų ygi energijai, perduodamai iš vienos sistemos itai. Konrečius pavyzdžius pateiiame 6. enteėje. Energijos persis irstymas tarp sistemų arba sistemos daių vysta, o visame tūryje nesusiygina būding ųjų intensyviųjų dydžių reišmės. Šių dydžių toyginis pasisirstymas yra būtina ir paanama sistemos ygsvaros sąyga. Gaimi atvejai, ai tuo pačiu metu sistemos sąveiauja eiais būdais. Jei toių būdų yra 35

, vi sų sąveių energijos sumuojasi: Δ E y Δx. (6..) Suprantama, ad izoiuotų sistemų grupėje arba pavienėje izoiuotoje sistemoje bendras energijos ieis neinta, adangi sandaugos yδ x išreišia energijos ieį, uris p e r n e š a m a s iš vienos sistemos į itą, t.y. sąveiaujančiose sistemose jis turi priešingus ženus. Gauime apibendrintą estensyviojo dydžio baanso ygtį. Tegu tūrio eementas Δ V sąveiauja su apina (8 pav.). i tajam estensyviajam dydžiui gaima užrašyti baanso ygtį toioje formoje: dxi dt, (6..3) Gx i + jx i čia Gxi estensyviojo dydžio šatinis (šio dydžio atsiradimas per aio vienetą) tūryje Δ V ; jx i Li ( yi yi ) Δ V paviršių ( L i ( yi yi intensyviojo estensyviojo dydžio srautas per tūrio aidumo (perdavim o) oefiientas, ) dydžio reišmių tūrio Δ V viduje ir išorėje sirtumas). Atsižvegdami į j išr aišą, (6..3) ygtį užrašome taip: x i dxi dt Gx + Li ( y y ). i (6..4) Estensyviojo dydžio šatinis G x neturi bendros išraišos. Žemiau nagrinėsime atvejus, i ai Gx i 0, t.y. nagrinėjamoje sistemoje nėra teigiamo arba neigiamo estensyviojo dydžio šatinio. Tuomet estensyviojo dydžio itimas per aio vienetą yra ygus to dydžio srautui per visą tūrį ribojantį paviršių: dx i jx Li ( y y ) dt i. (6..5) Jei estensyviojo dydžio itimas sąygojamas eiais (n) srautais, tai dxi dt n Li ( y y ). (6..5a) Taiydami (6..5) ygtį onretiems estensyviesiems dydžiams, gauname įvairius fiziinius bei tehninius proesus aprašančias ygtis. Keetą dažniausiai sutinamų pateiiame 6. enteėje. Joje naudojami šie žymėjimai: 36 dxi jx i i dt x tojo dydžio srautas; μ h. heminis poteniaas; ( m) v v ) S impusas, pernešamas per poto vienetą; ( v Δ x sysčio suosnių greičių sirtuma s vienetiniame atstume; ( p p ) sėgių sirtumas; ( ϕ ϕ ) eetrinių poteniaų sirtumas; D, η, λ ir A yra difuzijos, ampumo, šiumos aidumo ir tūrio perdavimo oefiientai, R ominė varža. Matematišai vienodai aprašomų fizišai sirtingų reišinių egzistavimas eidžia

modeiuoti juos, eičiant vienus itais. Kaip ir fiziiniame modeiavime, įvedame anaoginių dydžių panašumo oefiientus, urie šiuo atveju yra dimensiai. Juos žymėsim e dviem indesais, pirmasis atitis damens žymėjimą, o antrasis daiio ( m m ). Pavyzdžiui absoiutinės temperatūros T ir eetrostatinio auo poteniao ϕ anaoginio panašumo oefiientas K. V 6. enteė T T ϕ ir matuojamas ϕ, PERNEŠAMAS DYDIS REIŠKINYS DĖSNIS LYGTIS Masė Difuzij a Fio (Fi) jm D( μh. μh. ) m Impusas Kampumas j( mv) x m v S η( v v) Δ Vidaus Šiumos aidumas Niutono ju λ (T T ) energija U Sysčio Sysčio Puazeiio jv A( p p ) tūris teėjimas (Poiseuie) V Krūvis Eetros Omo q j ( ) srovė (Ohm) q ϕ ϕ R 6.. Eetrinis šiuminių reišinių modeiavimas Remiantis šiumos aidumo ir eetros rūvio pernešimo anaogija, gaima modeiuoti temperat ūros auą eetriniu auu. ) Dvimatis staionarusis šiumos aidumas Išnagrinėime paprasčiausią dvimatį staionarųjį šiumos aidumą ir atitinamą eetrinio poteniao pasisirstymą eetrišai aidžioje apinoje. Abu auus aprašo Lapaso ygtis. Temperatūros auo ygtis: T x T + y 0. (6..) Eetrinio poteniao auo ygtis: ϕ ϕ + 0 x y 37. (6..) Jei raštinės sąygos yra anaogišos (pavyzdžiui, nėra šiumos (arba rūvio) nuteėjimo per nagrinėjamos sistemos ribas), tapatingiems auams gaime įvesti intamųjų anaoginio panašumo oefiientą:

T T ϕ, (6..3) ϕ ir geometrinio panašumo oefiientus: x x, x y y. (6..3a) y Įrašę į (6..) dydžius T, x ir y, išreištus iš (6..3) ir (6..3a), gauname: x T T ϕ x (6..4) ir (6..) ygtys yra tapatingos, jei y T + Tϕ y 0. (6..4) x y T ϕ Tϕ. (6..5) Kaip matome iš (6..5), jei yra geometrinis objeto ir modeio panašumas ( ), panašumo oefiientą gaima pasirinti aisvai. Tϕ x y ) Dvimatis nestaionarusis šiumos aidumas Dabar išnagrinėime nestaionariojo šiumos aidumo medžiagos suosnyje atvejį (9 a pav.). Laiyime, ad šiuma sinda tarpusavio statmenų x ir y ašių ryptimis termišai izotropinėje ir vienaytėje apinoje. Temperatūros auo ygtis šiuo atveju atrodo taip: čia: T T (V ) ρ T + x y λ t, (6..6) medžiagos savitoji šiuma esant pastoviam tūriui, ρ medžiagos tanis, λ (V ) medžiagos šiumos aidumo oefiientas. Šių dydžių derinys temperatūros aidumo oefiientu. λ a vadinamas ρ (V ) Kadangi V ) d Q dmdt ( ir dm ρ, (6..6) ygčiai gaima suteiti toį pavidaą dv T x T + y 38 Q λ t V, (6..6 a)

čia: Q t V šiu mos srauto tūrinis tanis. Šio objeto eetrinis modeis (9 b pav.) yra ondensatorius, sudarytas iš mažesnio savitojo eetrinio aidumo γ viršutinės poštės ( metaas), dieetrio suosnio ir didesnio eetrinio aidumo apatinės poštės ( metaas). Tūrį tarp ondensatoriaus poščių dc pažymėime V. Tada ondensatoriaus tūrio vieneto eetrinė tapa C V. Eetriniame dv modeyje poteniao pasisirstymas dieetrie aprašomas ygtimi ϕ ϕ CV ϕ + x y γ t. (6..7) Įrašę į (6..7) C V reišmę ir atsižvegę į tai, ad ondensatoriaus suauptas eetros rūvis dq Cdϕ (čia: C ondensatoriaus tapa, d ϕ jo poteniao poytis), gauname toia poteniao pasisirstymo dieetrie ygtį: Įvesime intamųjų panašumo oefiientus: ϕ ϕ q + x y γ t V. (6..7a) T T ϕ, ϕ x x, x y y y, ( (V (V ) ) ρ,cv ), CV λ λγ γ, t t. (6..8) t Įrašę į (6..7) dydžius, išreištus iš (6..8), ir payginus ygtį su (6..6), gauname: x Tϕ y tλγ Tϕ ( ρ,c ) Tϕ. (6..9) ( V ) V Esant objeto ir modeio geometriniam panašumui, ir gaime pasirinti aisvai. Tada oefiientų ygtis: x y Tϕ ( (V ) ρ,cv λγ t ). (6..9) Atitinamas panašumo riterijus: (V ) ρ CV λt γt π. (6..0) Reaizuoti šį riterijų pratišai yra gana engva. Žinodami modeiuojamo objeto šiuminius parametrus, paga (6..0) apsaičiuojame π reišmę ir pasirename toius odeio eetrinius parametrus, ad jų derinys iš (6..0) saitmenišai būtų ygus π. m 39

Geometrinio panašumo oefiiento pasirinimas eidžia varijuoti metao eetrinio aidumo γ reišmę. Eetrinio modeio privaumai payginus su objetu yra šie: žymiai didesnis auo susidarymo greitis (ii 0 6 0 7 artų), engvesnis ir tisesnis eetrinių dydžių matavimas, paprastesnis parametrų eitimas, aisvas panašumo oefiientų Tϕ ir pasirinimas. Iš (6..6) ir (6..6a), (6..7) ir (6..7a) payginimo gauname eię šiuminių ir eetrinių dydžių anaogų, uriuos pateiiame 6.3 enteėje. 6.3 enteė ŠILUMINIAI DYDŽIAI IR JŲ SĄSAJOS ELEKTRINIAI DYDŽIAI IR JŲ SĄSAJOS Šiumos ieis Q Krūvis q dq dt Šiumos srautas j Q Srovė I j q Temperatūra T Poteniaas dq dt ϕ, įtampa U Šiumos aidumo oefiientas λ Savitasis eetrinis aidumas γ Šiuminė varža Varža R Q R Bijo ir Furjė dėsni s: Omo dėsnis: Q T q ϕ λ γ t S n t S n 7. DIM ENSIJŲ TEORIJA A nsčiau nagrinėjome reišinių panašumą, a iydami, ad šiuos reišinius aprašančios ygtys arba ygčių sistemos yra žinomos. Pratioje dažnai sutiname atvejų, ai toios ygtys nėra žinomos, arba yra toios sudėtingos, ad jų tisus sprendimas reiaauja abai daug aio ir todė nėra tisingas onrečios tehninės užduoties onteste. Toiais atvejais naudotinas dimensijų anaizės metodas. Jis dažnai eidžia operatyviai gauti norimų rezutatų nors ir mažesniu tisumu, bet remiantis payginti negausiais duomenimis. Šis metodas yra neatsiriama panašumo teorijos dais, ir neatsititinai panašumo riterijai fiziiniame modeiavime buvo apibūdinti aip bedimensiai ompesai. Aptarime dimensijų teoriją išsamiau. 7.. Pagrindiniai ir išvestiniai matavimo vienetai. Dydžio dimensija Visi tisieji ir tehniniai mosai remiasi dydžių matavimais. Išmatuoti dydį reišia payginti jį su itu dydžiu, uris yra aiomas etaonu. Suprantama, ad yginti gaima ti vienarūšius dydžius. Pavyzdžiui, teisingas yra dviejų žmonių ūgių yginimas ir beprasmiša yginti, tarim, vieno žmogaus amžių su ito mase. Vienarūšių parametrų matavimo etaonas yra vadinamas matavimo vienetu. Aišu, ad matuodami dydį sirtingais matavimo vienetais, gauname sirtingas dydžio saitines vertes. Pavyzdžiui, igis metras 00 entimetrų 4,094 jardo 39,4 oio 5,4 0 jūrmyės; aias t vaanda 60 min. 3600 s; sėgis p pasais 9.87 0 6 atm 7,50 0 4 mm Hg; greitis v m/s 3,6 m/h,094 yd/s (jardų seundei),94 n (mazgo jūrmyių vaandai); tūris V m 3 000 64, JAV gaonų (ga) 6,9 naftos bareių (oi barre). Paga pirmąjį dimensijų teorijos postuatą dviejų vienarūšių dydžių saitinių verčių 40

santyis nepriauso nuo naudojamų matavimo vienetų. Pavyzdžiui, dviejų tūrių santyis turi iti tos pats, nepriausomai nuo to, ar matuosime tūrius ubiniais miimetrais, ar itrais ar ubiniais metrais, ar bareiais. Fiziiniai dydžiai yra tarpusavyje susieti gamtos dėsnius aprašančiomis matematinėmis formuėmis (nusaančiosiomis ygtimis). Paga antrąjį dimensijų teorijos postuatą nusaančiųjų ygčių forma neturi priausyti nuo naudojamų matavimo vienetų. Teorišai ievienam fiziinio dydžio parametrui gaima prisirti savo matavimo vienetą, tačiau pratišai tai būtų abai nepatogu. Kuo daugiau yra nepriausomų matavimo vienetų, tuo daugiau dimensinių oefiientų tena įvesti į fiziinių dydžių ryšio formues. Todė pasirenamas vienas arba ei pagrindiniai (pirminiai) matavimo vienetai, iš urių formuojami išvestiniai (antriniai) matavimo vienetai. Pagrindinių ir išvestinių matavimo vienetų visuma sudaro matavimo sistemą. Labiausiai papitusi ir dauguma atvejų raionaiausia yra SI (Sisteme Internationa d Unites,Tarptautinė vienetų sistema), priimta 960 metais. Joje pagrindiniai matavimo vienetai mehanioje susieti su fundamentinėmis erdvės, aio ir materijos sąvoomis igio vienetas metras (m), aio vienetas seundė (s), masės vienetas iogramas (g). Medžiagos ieio vienetu aiomas mois (mo). Termodinamioje pagrindinis yra temperatūros vienetas evinas (K), eetromagnetizme eetros srovės vienetas tarptautinis amperas (A), optioje šviesos vienetas andea (d). Visi iti matavimo vienetai yra išvestiniai. Toiau mes naudosime būtent SI sistemą. Sirtingose sistemose egzistuoja įvairūs vienarūšiai matavimo vienetai, uriais matuojamas tas pats fiziinis dydis įgyja sirtingų saitinių verčių. Suprantama, ad, eičiant pagrindinius matavimo vienetus, inta ir išvestiniai matavimo vienetai. Formuė, uri eidžia nustatyti išvestinio matavimo vieneto itimą priausomai nuo ievieno iš pagrindinių matavimo vienetų itimo, vadinasi dimensijos formue arba dimensija. Dydžio dimensiją žymėsime to dydžio simboiu vadratiniuose siaustuose arba didžiosiomis raidėmis. Pavyzdžiui, SI sistemos pagrindinių dydžių dimensijas žymėsime taip: igio dimensija [] L, aio dimensija [] t T, masės dimensija [ m] M, temperatūros dimensija [] T θ, eetros srovės stiprio dimensija [] I I, šviesos stiprio dimensija [ I šv. ] J. Išvestinių dydžių dimensijos gaunamos paga tų dydžių nusaančiąsias ygtis, atieant su dimensijomis įprastus agebros veismus. Sudarant išvestines dimensijas, aiomasi šių taisyių: ) Dydžių sandaugos dimensija yra ygi dydžių dimensijų sandaugai. Pavyzdžiui, jėgos f ma dimensija: darbo A ( f ) dimensija: L ; T [ f ] [ m][ a] M LMT eetros srovės gaios P IU ML ; T [ A] [ f ][] L L MT dimensija: eetros rūvio q It dimensija: [ ] [ ][ ] 3 3 P I U IL MT I L MT ; [] q [][] I t TI. 4

dv dt ) Dydžių santyio dimensija yra ygi dydžių dimensijų santyiui. Pavyzdžiui, pagreičio a dimensija: gaios A W dimensija: t [] a L T LT ; T [] v [] t L M [ A] T L M 3 [W ] L MT ; [ t ] T 3 T savitosios šiumos ( ) d Q V dmdt dimensija: [ ] [ Q] ( V ) ML T L T θ M [ m][ T] θ. tūrio 3) Dydžio aipsnio dimensija yra ygi dydžio dimensijos aipsniui. Pavyzdžiui, ubo 3 V dimensija: [ V ] [] 3. Sirtingose vienetų sistemose dimensijų formuės gai sirtis, adangi jos priauso nuo pagrindinių matavimo vienetų pasirinimo. Nustatyime, oio pavidao turi būti dimensijos formuė, teninanti pirmąjį dimensijų teorijos postuatą. Tarime, turime mehaninį dydį, urio nusaančioji ygtis yra oordinatės, aio ir masės funija: U F(,t,m). (7..) Iš pradžių nagrinėjame atvejį, ai inta ti vienas argumentas oordinatė, t. y.: u F(). (7..) Jei ši funija tenina pirmąjį dimensijų teorijos postuatą, funijos dviejų verčių santyis neturi priausyti nuo dydžio masteio. Todė paeitus šį masteį artų, gauname: u F( ) F( ). (7..3) u F( ) F( ) (7..3) gaima užrašyti taip: F ( ) ( ) F F( ). (7..4) F( ) Diferenijuodami (7..4) paga, gauname: df( ) F( ) ( ) df. (7..5) d( ) F( ) d( ) 4

Kadangi pasirenamas aisvai, imame : df( ) F( ) df( ). (7..6) d F( ) d (7..6) ygtyje atsyrę intamuosius F ( ) df d ( ) df( ), (7..7) F( ) d gauname: F () df d čia: a pastovus dydis. (7..8) ygtyje atsiriame intamuosius ir integruojame: () a, (7..8) () a () df F d, (7..9) () an nc, (7..0) n F + () a F C. (7..) Anaogišai samprotaudami, ai inta ti argumentas gaime gauti: t ir ai inta ti argumentas m, Iš (7..), (7..) ir (7..3) gauname: b () t C t, (7..) F ( m) C 3 m. (7..3) F a b ( ) C t, (7..4) U F,t,m 0 m čia: onstanta C 0 CCC3 nepriauso nuo matavimo vienetų pasirinimo, ji yra bedimensė. Vadinasi, ansčiau suformuuotą sąygą tenina aipsniniai (7..4) pavidao ompesai. Kadangi išvestinės dimensijos gaunamos paga dydžio nusaančiąją ygtį, bet urio dydžio A išvestinė dimensija išreišiama pagrindinėmis SI dimensijomis taip: a b d e f [ A] L T M θ I J. (7..5) (7..5) formuė atitina homogeninės funijos apibrėžimą (žr.. syrių). Suprantama, ad nu saančiosios ygtys gai turėti ne ti aipsninių ompesų, bet ir trigonometrinių, esponentinių bei itų neagebrinių funijų formą. Tais atvejais neagebrinių funijų argumentai turi sudaryti bedimensį derinį arba į šiuos argumentus turi įeiti dimensinis oefiientas. Šioje nygoje naudojamų fiziinių dydžių dimensijos pateitos I priede. 7.. p a v y z d y s. Kinetinis degimas, uriuo metu degioji medžiaga ir osidatorius patena į degimo zoną susimaišę, aprašomas Arenijaus ygtimi: 43

m n E / RT v 0d o e, čia: v vidutinis srauto greitis m/s; 0 reaijos greičio onstanta; d ir o degiosios medžiagos ir osidatoriaus onentraijos; m, n reaijos stehiometriniai oefiientai; E vieno moio atyvaijos energija; t degiojo mišinio temperatūra; r universaioji dujų onstanta. Nustatyime reaijos greičio onstantos 0 matavimo vienetą, remdamiesi dimensijų teorija. Konentraijos d ir o yra bedimensiai dydžiai. Bet oio dydžio aipsnis visada turi būti bedimensis. Vadinasi, šioje formuėje saičiaus e aipsnis E / RT yra bedimensis (iš tirųjų, [ E ] J / mo, [ ] J /( mok ) T K ). Vadinasi, [ ] [ v ] m / s ir SI sistemoje [ ] m / s 0. R, [ ] 0 0 7.. p a v y z d y s. Degiosios medžiagos piūpsnio temperatūra saičiuojama paga pusiau empirinę V. Binovo formuę: B T p., Dndeg. ps.g. čia: B nustatymo metodo onstanta, D sysčio garų difuzijos oefiientas, m / s, n deg. deguonies moių saičius, reiaingas vienam degiojo sysčio moiui sudeginti, p s.g. sočiųjų garų sėgis (Pa), esant T p. temperatūrai. Rasime nustatymo metodo onstantos B matavimo vienetą SI sistemoje. Kadangi formuėje esančių dydžių matavimo vienetai yra šie: D m / g [ n deg.] 0 (bedimensis dydis) [ p s.g. ] Pa vienetas SI sistemoje: ms [ T. ] K, p, [ ] s, nustatymo metodo onstantos matavimo m g mgk. s ms s [ B ] [ Tp. ][ D][ ndeg.][ ps.g. ] K 3 7.. Sirtingų sistemų matavimo vienetų sąsajos nustatymas Pratioje neretai sutinami įvairių sistemų matavimo vienetai. Pavyzdžiui, sėgis matuojamas pasaiais, fiziinėmis atmosferomis, tehninėmis atmosferomis, barais, gyvsidabrio stupeio miimetrais, vandens stupeio miimetrais. Kaip pereiti nuo vienos matavimo vienetų sistemos prie itos? Paprasčiausiu atveju abiejų sistemų išvestiniai vienetai turi tą pačią dimensiją, t.y. nusaančiosios ygtys yra tos pačios, ir pagrindiniai matavimo vienetai siriasi ti didumu. Tarime, vienoje vienetų sistemoje fiziinio dydžio saitinė vertė yra N, o jo dimensija L a T b M, t.y. a b X N LT M. (7..) Jeigu itoje vienetų sistemoje igio, aio ir masės vienetų masteis yra paeistas atitinamai, t ir m artų, t.y. L L, T tt, M mm, tuomet 44

a b ( L ) ( T ) ( ). (7..a) Payginę (7..) ir (7..a), matome, ad antroje vienetų sistemoje fiziinio dydžio saitinė vertė yra didesnė a b t m a b X N LT M N t mm a b L T M L T M artų. 7.. p a v y z d y s. Rasime SI ir CGS sistemų energijos vienetų ryšį. Abiejose sistemose energijos dimensija [ E] L T M. SI ir CGS sistemų pagrindiniai vienetai susieti taip: m 0 m, s s, g 0 3 g. Tuomet SI energijos vienetas džauis (J) ir CGS energijos vienetas ergas (erg) susieti taip: ( ) () erg 3 7 J 0 0 erg 0. 7.. p a v y z d y s. Rasime nesisteminio energijos vieneto iovatvaandės (Kwh) ir džauio (J) ryšį. W 0 3 h 3,6 0 3 3 3 6 W, s. Todė Wh 0 3.6 0 J 3.6 0 J. 7..3 p a v y z d y s. Rasime nesisteminio gaios vieneto ario gaia (ansčiau neteisingai vadinto ario jėga ) ir SI gaios vieneto vato (W) ryšį. Abiem atvejais dydžio 3 dimensija [ N] L T M. Matavimo vienetų ryšiai: a.g. 75Gm/s 75g 9.8m/s m: s 735,5N m: s 735,5W. Gai būti, ad sirtingose vienetų sistemose nusaančiosios ygtys iea toios pačios, bet siriasi pagrindiniai vienetai. Tuomet, pereinant nuo vienos vienetų sistemos prie itos, rei ia dimensijos formuėje pagrindinio vieneto dimensiją paeisti jo dimensija itoje sistemoje. 7.3. Funinių ryšių nustatymas dimensijų anaize Iš antrojo dimensijų anaizės postuato aišu, ad visų ygties narių dimensijos turi būti vienodos. Pavyzdžiui, antrojo termodinamios dėsnio ygtyje δ Q du + δa ir termodinaminės sistemos vidinės energijos poytis, ir sistemai suteitas šiumos ieis, ir sistemos atitas darbas turi energijos dimensiją ir SI sistemoje matuojami džauiais (J). Lygčių narių dimensijos vienodumas artais eidžia paprastai nustatyti ryšio tarp proesą aprašančių intamųjų pobūdį. Tarime, žinome, ad dydis U yra trijų intamųjų homogeninė funija, bet nežinome šios funijos anaitinės išraišos. Tuomet gaime teigti: p r s F( X,Y,Z ) C X Y, (7.3.) U čia intamųjų aipsnių rodiiai p, r, s yra nežinomi. Surašome funijos ir argumentų dimensijas: 0 Z a [ ] b U L T M, [ ] L a X b T M, [] 3 a 3 b3 Z L a Y L T M, [ ] 4 T 4 4 b M. (7.3.) Vienodų dimensijų aipsnių rodiiai abiejose ygties pusėse turi būti vienodi, todė: 45

a pa + ra3 + sa4, b pb 3 + sb4, p + r + s. 3 4 + rb. (7.3.3) Iš šios ygčių sistemos surandame intamųjų aipsnių rodiius p, r, s, vadinasi, ii daugiio C 0 tisumu nustatome funijos U F( X,Y,Z ) pavidaą. Konstantos C 0 vertė surandama bandymo būdu. Išnagrinėime eetą onrečių uždavinių, panaudodami jų sprendimui ne žinomas fizios formues, bet dimensijų anaizės metodą. 7.3. p a v y z d y s. Rasime fizinės švytuoės svyravimų periodo formuę. Tarime, šis periodas priauso nuo fizinės švytuoės masės entro nuotoio nuo svyravimų ašies, inerijos momento J ir sunio jėgos mg, t.y. Šios ygties narių dimensijos: Priyginę airiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname ygčių sistemą: Iš čia T f. T f. s F(,J,mg) Laiydami funiją homogenine, gaime užrašyti: s 0,5 ; 0, 5 r ; p 0, 5. ( ) s T f. C0 p J r mg. p T L r s ( L M ) ( MLT 0 p + r + 0 r + s Tuomet fizinės švytuoės svyravimų periodui gauname formuę:. s. ).. T f. C0 Tisioje fizinės švytuoės svyravimų periodo formuėje C 0 π. 7.3. p a v y z d y s. Avarinio dujų išeidimo iš vamzdyno aias t priauso nuo vamzdyno tūrio V, išeigos oefiiento α iš., vamzdyno serspjūvio poto S ir dujų srauto greičio v. Rasime funijos t f ( V,α iš.,s,v ) išraiša bedimensio daugiio tisumu, remdamiesi dimens ijų anaiz ę. Funijos ir argumentų dimensijos: [] t T, [ V ] L 3, α iš. yra bedimensis, [] S L, [] v LT. Laiydami funiją homogenine, gaime užrašyti: Šios ygties narių dimensijos: p r s t C0V S v. J mg 46

( ) s 3 p r s 3 p+ r+ s T L L LT L T. Priyginę airiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname ygčių sistemą: s 0 3 p + r + s Iš čia s. 3 p + r. Matome, ad p arba r turime pasirinti aisvai. Logiša manyti, ad t ~, t. y. p, tada r, ir gauname toią funiją: V V t C0. Sv. [ ] Gaima pasiegti itaip. Įvesime vamzdyno pasrametrą V A L S. Tada iešoma funija f ( A, α,v ) Laiydami ją homogenine, užrašome: Šios ygties narių dimensijos: t iš.. p t C s 0 A v. V A S, urio dimensija p s L p LT + s L T. T ( ) s Priyginę airiosios ir dešiniosios pusės dimensijas, gauname ygčių sistemą: s 0 p + s. Iš čia s, p, todė, aip ir ansčiau, gauname ygtį A V t C0 C0. v Sv Anaizinis saičiavimas rodo, ad bedimensis daugiis C0. αiš. 7.3.3 p a v y z d y s. Cisternoje, urios serspjūvis S yra pastovus, ii auščio h įpitas ρ tanio vanduo (4 pav.). Cisternos dugne atidarom a S serspjūvio anga. Per ie aio vanduo išteės? Laiyime proeso būdingaisiais parametrais, nusaančiais iešomą aią, vandens suosnio auštį h, vandens tanį ρ, aisvojo ritimo pagreitį g, isternos ir angos serspjūvio potus S ir S : t F( h, ρ,g,s, S ). Laiydami funiją F aipsniniu ompesu, iešome 47