DAUGYBA Seminaras mokytojams mokytojų dienos proga Vytautas Miežys vmiezys.wordpress.com Vilniaus Universitetas, Matematikos ir informatikos fakultetas 2020-10-27 Turinys 1 Utopija: daugyba nėra kartotinė sudėtis 1 1.1 Kas tuomet yra daugyba?............................. 1 2 Realybė: daugyba yra kartotinė sudėtis 3 2.1 Dešimtainių trupmenų daugyba.......................... 3 2.2 Paprastųjų trupmenų daugyba.......................... 3 2.2.1 Pavyzdžiai................................... 5 2.2.2 Interpretacijos............................... 6 2.2.3 Ar tai tikrai daugyba?........................... 7 2.3 Neigiamųjų skaičių daugyba............................ 7 2.3.1 Apsišniukštinėjimas............................. 7 2.3.2 Daugybos sukūrimas............................ 9 2.4 Skaičių m ir n daugyba............................ 11 2.4.1 Apsišniukštinėjimas............................. 11 2.4.2 Daugybos sukūrimas............................ 11 3 Trumpi pedagoginiai pasvarstymai 11
1 Utopija: daugyba nėra kartotinė sudėtis Garsus amerikiečių matematikas Keith Devlin 2008-2011 metais savo tinklaraštyje išspausdino keturis įrašus, kuriuose teigia, jog daugyba nėra kartotinė sudėtis. Šiuos įrašus dabar galima rasti Amerikos matematikų asociacijos tinklalapyje. Pažymėtina tai, kad Amerikos matematikų asociacija yra bene prestižiškiausia ir įtakingiausia matematikų bendruomenė pasaulyje, tad tinklaraščio įrašų buvimas ten yra gana reikšmingas momentas. Pačius įrašus galima rasti čia: It Ain t No Repeated Addition, It s Still Not Repeated Addition, Multiplication and Those Pesky British Spellings, What Exactly is Multiplication?. Pagrindinis Devlin teiginys pirmas įspūdis lieka labai ilgam, t. y. jei moksleiviai pripranta prie sampratos, kad daugyba yra kartotinė sudėtis, tai jie yra linkę iki pat universiteto baigimo būtent taip ir galvoti apie daugybą kad tai kartotinė sudėtis. Žinoma, neigiamųjų skaičių, paprastųjų trupmenų, realiųjų skaičių, kompleksinių skaičių daugyba neturi nieko bendra su kartotine sudėtimi. Taigi moksleivių ir studentų daugybos samprata būna labai ribota. Devlin, žinoma, neteigia, kad natūraliųjų skaičių sandauga nėra lygi tų skaičių kartotinei sudėčiai, tačiau teigia, kad daugyba kaip kartotinė sudėtis turėtų būti tik išvada bendresnio daugybos apibrėžimo. 1.1 Kas tuomet yra daugyba? Apibrėžkime natūraliųjų skaičių sandaugą taip: 1 apibrėžimas. Nusibrėžkime du horizontalius skaičių spindulius vieną virš kito taip, kad jų pradžios būtų viena virš kitos. Apatiniame skaičių spindulyje vienetą pažymėkime laisvai. Tegul m, n yra natūralieji skaičiai. Apatiniame skaičių spindulyje pažymėkime skaičių m. Viršutiniame skaičių spindulyje virš m pažymėkime vienetą ir tuomet jame atidėkime skaičių n. Nuo n viršutiniame skaičių spindulyje grįžkime į apatinį. Tą tašką, į kurį sugrįžome vadinsime skaičių m ir n sandauga bei žymėsime simboliais m n. Žinoma, nesunku būtų įrodyti tokį teiginį: 2 teiginys. m n = m + m + + m. }{{} n kartų Uždavinių pavyzdžiai: 1. Viename maišelyje yra 4 saldainiai. Kiek saldainių bus 3-iuose maišeliuose? 2. Viltė per 1 valandą nuvažiuoja 12 km. Kiek kilometrų ji nuvažiuos per 3 valandas? Page 1 of 11
3. Motiejus yra 4 kartus aukštesnis už savo šunį, kurio aukštis yra 42 cm. Koks Motiejaus ūgis? Pažvelkime, kaip lengvai tokią daugybos sampratą galima apibendrinti racionaliesiems (realiesiems) skaičiams: 3 apibrėžimas. Nusibrėžkime dvi horizontalias skaičių tieses vieną virš kitos taip, kad jų pradžios būtų viena virš kitos. Apatiniame skaičių spindulyje vienetą pažymėkime laisvai. Tegul r, s yra racionalieji (realieji) skaičiai. Apatiniame skaičių spindulyje pažymėkime skaičių r. Viršutiniame skaičių spindulyje virš r pažymėkime vienetą ir tuomet jame atidėkime skaičių s. Nuo s viršutiniame skaičių spindulyje grįžkime į apatinį. Tą tašką, į kurį sugrįžome vadinsime skaičių r ir s sandauga bei žymėsime simboliais r s. Pavyzdžiai: 1 2 1 2 2 2 3 2 ( 1) 3 2 2 ( 3) Taigi visa daugyba turi bendrą pamatą ir yra pagrįsta vieneto keitimo samprata. Šias mintis gana vaizdingai aš esu pristatęs per LRT televiziją, projekto Įdomiosios pamokos tiesiogiai metu. Žiūrėkite vaizdo įrašą nuo laiko žymos 15:00. Page 2 of 11
2 Realybė: daugyba yra kartotinė sudėtis Įsivaizduokime, kad dirbame su 5-6 klasių moksleiviais ir jiems reikia išaiškinti dešimtainių trupmenų ir paprastųjų trupmenų daugybą. 2.1 Dešimtainių trupmenų daugyba Esmė paaiškinti, kodėl daugindami dešimtaines trupmenas galima jas dauginti nekreipdami dėmesio į kablelį, o tuomet gautoje sandaugoje kablelį perkelti iš dešinės per tiek vietų, kiek iš viso turėjome skaitmenų po kablelio dauginamuosiuose. Pastebėkime, kad tai paaiškinti labai lengva, jei jau žinome šią lygybę: Tą galime padaryti šitaip: a b c d = ac bd. (1) 0,123 34,12 = 123 1000 3412 100 = 123 3412 100000 = 419676 100000 Vadinasi, iš tiesų mums rūpi suprasti (1) formulę. 2.2 Paprastųjų trupmenų daugyba = 4,19676 Su moksleiviais galėtume pradėti mąstyti taip. Ką reiškia užrašas 2 3? Ogi tai, kad imu du trejetus. Panašiai užrašas 2 3 4 reiškia, kad imu dvi 3 3 4-ąsias. Jeigu 2 4 reiškia imu dvi 3 4 -ąsias, tai 2 3 4 = 3 4 + 3 a 4. Žinoma, tai nesudėtingai galime apibendrinti visoms sandaugoms n b, kur n natūralusis skaičius, o a b paprastoji trupmena (b 0). Nagrinėkime dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą. Jei 2 3 4 reiškia, kad imu dvi 3 4 -ąsias, tai 1 3 3 4 reiškia, kad imu 1 3 -iąją 3 4 -ųjų. Jei paskutinis sakinys nėra akivaizdus, dar kartą paželkime į skaičių spindulį. Ką tiksliai reiškia pasakymas imu dvi 3 4 -ąsias? Tam, kad paimčiau dvi 3 4 -ąsias, turiu turėti vieną 3 4-ąją. Vadinasi, turiu pradėti nuo tokio brėžinio: O tuomet jau paimu du tokius dalykus. Jei vietoje dvejeto viršutiniame skaičių spindulyje paimsime 1 3 tai turėsime tokį vaizdą: Page 3 of 11
O tą galime užrašyti 1 3 3 4. Pastaba. Jei moksleiviams nėra aišku, ką reiškia paimti 1 3 -ąją 3 4-ųjų, galime paklausti, ką reiškia paimti 1 3 -iąją metro? Arba 2 3 -iąsias metro? Tas moksleiviui neturėtų būti keblu. 2 3-iosios metro reiškia, kad metrą padalinu į tris lygias dalis ir tuomet paimu 2 tokias dalis. Taigi galime apibrėžti paprastųjų trupmenų sandaugą. Visų pirma sukonkretinsime, ką reiškia frazė paimti a b -tąsias kažkokio skaičiaus, o tuomet remdamiesi ta fraze apibrėšime paprastųjų trupmenų sandaugą. 1 apibrėžimas. Tegu a b yra paprastoji trupmena, o t bet kuris teigiamas skaičius. Jei sakysime imame a b -tąsias skaičiaus t, tai turėsime omeny, kad skaičių spindulyje atkarpą [0; t] padalijame į b lygių atkarpėlių ir nuo skaičių spindulio pradžios atskaičiavę a tokių atkarpėlių pažymime paskutiniosios atkarpėlės dešinįjį galą. 2 apibrėžimas. Tegu a b yra paprastoji trupmena (b 0), o t bet kuris teigiamas skaičius. Skaičių, kurį gauname paėmę a b -tąsias skaičiaus t, vadinsime skaičių a b ir t sandauga bei žymėsime simboliais a b t. 1 3 3 4 3 7 21 29 Page 4 of 11
3 teiginys. Tegu a b ir c d yra paprastosios trupmenos (b 0, d 0) ir c dalijasi iš b, t. y. egzistuoja toks natūralusis skaičius l, kad c = bl. Tuomet a b c d = a b bl d = al d. Įrodymas. Pirmoji lygybė akivaizdi. Nagrinėkime sandaugą a b bl d. Pagal apibrėžimą turime paimti a bl bl b -tąsias skaičiaus d. Vadinasi, visų pirma atkarpą [0; d ] turime padalyti į b lygių dalių. Vadinasi, vienos tokios atkarpėlės ilgis bus l d. Dabar turime paimti a tokių atkarpėlių. Galime skaičiuoti šitaip: l d + l d + + l = a l }{{ d } d = al d a kartų Dabar jau galime įrodyti ir bendresnį teiginį. 4 teiginys. Tegu a b ir c d Įrodymas. yra paprastosios trupmenos (b 0, d 0). Tuomet a b c d = ac bd. a b c d = a b c b d b = ac db = ac bd 2.2.1 Pavyzdžiai 1. Raskime sandaugą 1 3 3 4. 1 1 būdas: mąstykime remdamiesi apibrėžimu: turime paimti 3 -iąją 3 4-ųjų. Padalinę 3 4 -tąsias į 3 lygias dalis gausime 1 4. Vadinasi, 1 3 3 4 = 1 4. 2 būdas: mąstykime remdamiesi 3-uoju teiginiu. 2. Raskime sandaugą 3 7 2 5. 1 3 3 4 = 1 3 3 1 = 1 4 4 1 būdas: mąstykime remdamiesi apibrėžimu: turime paimti 3 7 -ąsias 2 5-ųjų. Vadinasi, 2 5-ąsias visų pirma turime padalyti į 7-ias lygias dalis. Kadangi 2 iš 7 nesidalija, tai 2 taikome pagrindinę paprastosios trupmenos savybę: 5 = 2 7 5 7 = 14 14 35. Padaliję 35 į 7-ias lygias dalis gausime 2 6 35-ąsias. Paėmę 3 tokias dalis gausime 35 -ąsias, taigi 3 7 2 5 = 6 35. 2 būdas: mąstykime remdamiesi 4-uoju teiginiu. 3 7 2 5 = 3 2 7 5 = 6 35 Page 5 of 11
2.2.2 Interpretacijos Plotas. Raskime plotą stačiakampio su kraštinėmis 2 3 m ir 3 4 m. Parodysime, kad tą galime padaryti veiksmu 2 3 3 4. Nagrinėkime stačiakampį, kurio kraštinės yra 3 4 m ir 1 m. Akivaizdu, kad šio stačiakampio plotas yra 3 4 m2. Dabar paimkime 2 3-iąsias raudonai užbrūkšniuoto stačiakampio ir pažymėkime tai mėlynai. Akivaizdu, kad mėlynai ir raudonai užbrūkšniuoto stačiakampio matmenys yra 2 3 m ir 3 4 m. Remdamiesi turima daugybos samprata žinome, kad jei imame 2 3 -iąsias 3 4 -ųjų, tai iš viso gausime 2 3 3 4 = 6 12 vieneto. Šiuo atveju vienetas yra kvadratinis metras. Vadinasi, stačiakampio, su kraštinėmis 2 3 m ir 3 4 m, plotas yra 2 3 3 4 = 6 12 m2. Vadinasi, galime dauginti kraštines ir rasime plotą. Kita vertus, galime pastebėti, kad jei horizontalias atkarpas pratęstume štai taip, gautume, jog stačiakampis iš viso padalytas į 3 4 = 12 lygių dalių, o abiem spalvom nuspalvintos yra 2 3 = 6 dalys, taigi mums rūpimo stačiakampio plotas yra 6 12 m2. Judėjimas. Nagrinėdami judėjimo uždavinius su natūraliaisiais skaičiais, taikėme taisyklę s = vt. Pažiūrėkime, ar galime tą toliau daryti, jei v ir t yra trupmeniniai. Tarkime, kad Antanukas keliavo 3 2 3 km/h greičiu ir tą darė 2 1 3 h. Kokį atstumą jis nukeliavo? Samprotaudami apie uždavinį suprantame, kad valandinį atstumtą turime paimti 2 1 3-iąją karto, t. y. skaičių 3 2 3 -iosios turime paimti 2 1 3-iąją karto. Tai pagal mūsų turimą daugybos sampratą atitinka veiksmą 2 1 3 3 2 3, taigi s = tv. Raskime šią sandaugą dviem būdais: Page 6 of 11
1 būdas: remkimės apibrėžimu. Raskime 2 1 3 -iąją skaičiaus 3 2 3-iosios. Tai tas pats, kad 2 kartus skaičius 3 2 3 -iosios ir dar 1 3 -ioji šio skaičiaus. 2 3 2 3 = 3 2 3 + 3 2 3 = 6 4 3 = 7 1 3. Raskime 1 3 -iąją 3 2 3. Turime 3 2 3 padalyti į 3 lygias dalis. 3 2 3 = 11 3 = 33 9. Vadinasi, 1 3 33 9 = 11 9. Taigi 2 1 3 32 3 = 2 32 3 + 1 3 32 3 = 71 3 + 11 9 = 73 9 + 11 9 = 714 9 = 85 9 2 būdas: remkimės 4-uoju teiginiu. 2.2.3 Ar tai tikrai daugyba? 2 1 3 32 3 = 7 3 11 3 = 7 11 3 3 = 77 9 = 85 9 O iš kur žinome, kad tai, ką apibrėžėme tikrai yra daugyba? Reikėtų patikrinti, ar tai, kaip apibrėžėme daugybą tenkina daugybos dėsnius, t. y. patikrinti, ar pq = qp visoms teigiamoms paprastosioms trupmenoms p, q (perstatomumo dėsnis). Taip pat reikėtų patikrinti jungiamumo, skirstomumo, daugybos iš vieneto, daugybos iš nulio dėsnius, patikrinti, ar sandauga nepriklauso 1 nuo to, kurį skaičiaus pavadinimą parinksime (pvz. 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 =..., ar tikrai bet kurią iš šių trupmenų daugindami su, tarkime, 3 7 gausime tą patį?), taip pat reikėtų patikrinti, ar mūsų apibrėžta daugyba neiškreipia natūraliųjų skaičių daugybos, t. y. jei vienas arba abu dauginamieji yra užrašyti kaip paprastosios trupmenos, bet iš tiesų yra natūralieji skaičiai (pvz. ar daugindami 8 4 150 15 gausime tą patį kaip ir 2 10?). Tam didesnį dėmesį skirsime kitame skyrelyje. Matyt, lygiai tą patį galima būtų pasakyti ir moksleiviams paprastųjų trupmenų daugybos taip kruopščiai netikrinsime, tačiau neigiamųjų skaičių daugybą patikrinsime kruopščiau. 2.3 Neigiamųjų skaičių daugyba Pradedant kalbėti apie neigiamųjų skaičių daugybą neretai moksleiviai jau žino, kad dviejų neigiamųjų skaičių sandauga yra lygi teigiamajam skaičiui. Kai jų klausiame, kodėl taip yra, jie dažniausiai atsako pateikdami vieną iš istorijų: Mano priešo ( ) priešas ( ) man yra draugas (+), todėl ( ) ( ) = (+); Jei atbulas ( ) eini atgal ( ), tai tas pats, kas eiti į priekį (+), taigi ( ) ( ) = (+); Jei netenki ( ) skolos ( ), tai praturtėji (+), vadinasi, ( ) ( ) = (+). Tačiau egzistuoja ir kitokių istorijų, pvz.: Nesergantis COVID19 ( ) susitinka su nesergančiu COVID19 ( ) ir jie toliau abu sau neserga COVID19 ( ), taigi ( ) ( ) = ( ); Tave aprėkė ( ) tuo metu, kai atleido iš darbo ( ), tai tau labai blogai ( ), taigi ( ) ( ) = ( ); Penki blogiečiai ( 5) atėmė po 2 eurus ( 2), taigi netekai 10 eurų ( 10), taigi 5 ( 2) = 10. Iš kur mes žinome, kad pirmosios istorijos atitinka daugybą, o antrosios neatitinka? Ar tikrai tiesa, kad 2 ( 5) = 10 DĖL TO, kad mano priešo priešas man yra draugas? Bendresnis klausimas: ar tikrai tiesa, kad remiantis realiu pasauliu galime daryti išvadą apie matematiką? Žinoma, ne. Išvadas apie matematiką turėtume daryti remdamiesi pačia matematika. Kaip tą padaryti? Klasikinis būdas yra toks: visų pirma apsimetame, kad neigiamųjų skaičių daugybos operacija jau egzistuoja ir jai galioja visi daugybos dėsniai. Tuomet tyrinėjame, ką gauname sudauginę du neigiamuosius skaičius remdamiesi tais dėsniais. Kai tyrimą baigiame, tuomet operaciją apibrėžiame ir įrodome, kad visi daugybos dėsniai iš tiesų yra patenkinti. Pradėkime. 2.3.1 Apsišniukštinėjimas Tarkime, kad racionaliųjų skaičių aibėje Q egzistuoja daugybos operacija, kuriai galioja pagrindiniai daugybos dėsniai (čia a, b, c yra kažkurie skaičiai iš Q): 1. Perstatomumo, t. y. ab = ba; 2. Jungiamumo, t. y. (a b) c = a (b c); 3. Skirstomumo, t. y. a(b ± c) = ab ± ac; Page 7 of 11
4. Daugybos iš nulio, t. y. a 0 = 0; 5. Daugybos iš vieneto, t. y. a 1 = a. Pasižiūrėkime, ką gausime, jei 1 padauginsime iš 7. Spėjame, kad 1 7 = 7. Kaip galėtume tuo įsitikinti? Galbūt šitaip: 1 7 = 7 ( 1) = 1+( 1)+( 1)+( 1)+( 1)+( 1)+( 1) = 7. O ką gausime, jei sudauginsime 1 ir 7? Spėjame, kad 1 ( 7) = 7. Kaip galėtume tuo įsitikinti? Jei mums pavyktų parodyti, kad 1 ( 7) + ( 7) = 0, tai tuomet būtume tikri, kad 1 ( 7) = 7, nes a + b = 0 tada ir tik tada, kai a ir b yra vienas kitam priešingi skaičiai. Pamėginkime parodyti, kad 1 ( 7) + ( 7) = 0. 1 ( 7) + ( 7) = = 1 ( 7) + 1 ( 7) = ( 1 + 1) ( 7) = 0 ( 7) = 0. Vadinasi, 1 ( 7) ir ( 7) yra vienas kitam priešingieji skaičiai. Taigi 1 ( 7) = 7. Patyrinėkime bendresnį teiginį. Pamėginkime įsitikinti, kad 1 a = a, t. y. jei iš 1 padauginsime bet kurį racionalųjį skaičių, tai gausime jam priešingąjį skaičių. Ši lygybė būtų teisinga, jei parodytume, kad 1 a + a = 0. Įsitikinkime, kad ši lygybė teisinga: 1 a + a = 1 a + 1 a = ( 1 + 1) a = 0 a = 0. Žinoma, lygybės 1 a = a teisingumu galima įsitikinti ir taip: 1 a = 1 a + 0 = 1 a + (a + ( a)) = ( 1 a + a) + ( a) = ( 1 a + 1 a) + ( a) = (a ( 1) + a 1) + ( a) = a ( 1 + 1) + ( a) = a 0 + ( a) = 0 + ( a) = a. Remdamiesi šia lygybe raskime sandaugas 2 3; 2 ( 3); 2 ( 3). 2 3 = ( 1 2) 3 = 1 (2 3) = 1 6 = 6 2 ( 3) = 3 2 = ( 1 3) 2 = 1 (3 2) = 1 6 = 6 2 ( 3) = ( 1 2) ( 3) = (2 ( 1)) ( 3) = 2 ( 1 ( 3)) = 2 ( ( 3)) = 2 3 = 6 Tą patį, žinoma, galėtume padaryti su bet kuriais kitais racionaliaisiais skaičiais. Vadinasi, Page 8 of 11
jei a > 0, b < 0, tai a b = (a ( b)); jei a < 0, b > 0, tai a b = (( a) b); jei a < 0, b < 0, tai a b = ( a) ( b). Parodysime tik paskutinės lygybės teisingumą. Tarkime, kad a, b Q ir a < 0, b < 0. Tuomet a b = ( a) b = ( 1 ( a)) b = (( a) ( 1)) b = ( a) (( 1) b) = ( a) ( b) Kodėl negalime taip visko ir palikti? Išsivedėme visas taisykles, valio, ko dar trūksta? Visi mūsų samprotavimai skyrelyje Apsišniukštinėjimas rėmėsi prielaida, kad racionaliųjų skaičių aibėje daugybos operacija jau apibrėžta. Bet iš tiesų mes nežinome, ar tokia operacija egzistuoja. Yra tokių aibių, kur daugybos operacijos apibrėžimas toli gražu nėra trivialus, pvz. kalbant apie laikrodžio aritmetiką, 3 4 = 12, o 3 8 = 24 = 12, tai 3 4 = 3 8. Ar tuomet išeina, kad 4 = 8? Esmė tokia, kad neužtenka vien tarti, jog daugybos operacija su penkiomis svarbiomis savybėmis egzistuoja, reikia tą operaciją sukurti ir tuomet įsitikinti, kad ta operacija turi mums svarbias daugybos savybes. 2.3.2 Daugybos sukūrimas 1 apibrėžimas. Tegu a, b yra racionalieji skaičiai. Tuomet jei a > 0, b > 0, tai daugybos operacija jau apibrėžta; jei a < 0, b > 0, tai a b = (( a) b); jei a > 0, b < 0, tai a b = (a ( b)); jei a < 0, b < 0, tai a b = ( a) ( b); jei a = 0 arba b = 0, tai a b = 0. Kaip žinoti, ar šis mūsų apibrėžimas iš tiesų yra daugyba? Jis turėtų tenkinti pagrindinius daugybos dėsnius, t. y. perstatomumą, jungiamumą, skirstomumą, daugybą iš vieneto bei daugybą iš nulio. Pradėkime. 2 teiginys. Jei a, b Q, tai ab = ba. Įrodymas. Šį teiginį įrodysime su konkrečiais skaičiais turėdami omeny, kad vietoje jų bet kuriuo metu galėtume parinkti kitus skaičius ir samprotavimai liktų teisingi. Turime ištirti 4 atvejus: kai a < 0, kai b < 0, kai a, b < 0, kai a arba b yra nulis; 1. Tegu a = 7, b = 3. Pagal apibrėžimą 7 3 = (( ( 7)) 3) = (3 ( ( 7))) = 3 ( 7); 2. Tą jau padarėme ankstesniame žingsnyje, tereikia lygybes skaityti iš kitos pusės; 3. Tegu a = 7, b = 3. Pagal apibrėžimą 7 ( 3) = ( ( 7)) ( ( 3)) = ( ( 3)) ( ( 7)) = 3 ( 7); 4. Tegu a = 0, b 0. Tuomet 0 b = 0 = b 0. Analogiškai būtų, jei a 0, b = 0 arba jei a = 0, b = 0. 3 teiginys. Jei a, b, c Q, tai (ab)c = a(bc). Įrodymas. Turime patikrinti 2 3 1 = 7 atvejus, kai a, b, c 0. Jei bent vienas iš dauginamųjų yra 0, tai lygybė akivaizdžiai teisinga. Toliau uždavinyje neigiamą skaičių žymėsime simboliais n, n 1, n 2, n 3, o teigiamą skaičių t, t 1, t 2. 1. Tegu a < 0, b > 0, c > 0 ir pažymėkime a = n, b = t 1, c = t 2. Tuomet (n t 1 ) t 2 = ( (( n) t 1 )) t 2 = [ ( ( (( n) t 1 ))) t 2 ] = [ (( n) t 1 ) t 2 ] = [ ( n) (t 1 t 2 ) ] = ( n) (t 1 t 2 ) = n (t 1 t 2 ) Page 9 of 11
2. Tegu a > 0, b < 0, c > 0 ir pažymėkime a = t 1, b = n, c = t 2. Tuomet (t 1 n) t 2 = ( (t 1 ( n))) t 2 = [ ( ( (t 1 ( n)))) t 2 ] = [ (t 1 ( n)) t 2 ] = [ t 1 (( n) t 2 ) ] = t 1 ( (( n) t 2 )) = t 1 (n t 2 ) 3. Tegu a > 0, b > 0, c < 0. Įrodymas paliekamas skaitytojui. 4. Tegu a < 0, b < 0, c > 0. Įrodymas paliekamas skaitytojui. 5. Tegu a < 0, b > 0, c < 0. Įrodymas paliekamas skaitytojui. 6. Tegu a > 0, b < 0, c < 0. Įrodymas paliekamas skaitytojui. 7. Tegu a < 0, b < 0, c < 0 ir pažymėkime a = n 1, b = n 2, c = n 3. Tuomet (n 1 n 2 ) n 3 = (( n 1 ) ( n 2 )) n 3 = [ (( n 1 ) ( n 2 )) ( n 3 ) ] = [ ( n 1 ) (( n 2 ) ( n 3 )) ] = [ ( n 1 ) (n 2 n 3 ) ] = n 1 (n 2 n 3 ) 4 teiginys. Jei a, b, c Q, tai a(b ± c) = ab ± ac. Įrodymas. Nagrinėsime tik atvejį a(b + c) = ab + ac. Jei pavyks įrodyti šią lygybę, tuomet lygybę su minuso ženklu gausime taip: a(b c) = a(b + ( c)) = ab + a( c) = ab + ( (ac)) = ab ac. Tarkime, kad a > 0. 1. Jei b > 0, c > 0, tai turime teigiamųjų skaičių daugybą ir lygybė galioja. 2. Tegu b < 0, c > 0. Tada (a) Jei b + c 0, tai a(b + c) = a(c + b) = a(c ( b)) = ac a( b) = ac + ( (a( b))) = ac + ab = ab + ac (b) Jei b + c < 0, tai a(b + c) = [ a ( (b + c)) ] = [ a ( b + ( c))) ] = [ a ( b c) ] = [ a( b) ac ] = (a( b)) ( (ac)) = ab + ac Toliau reikėtų aptarti visus galimus atvejus ir lygybę patikrinti. Tai uždavinys skaitytojui. Daugybos iš nulio bei daugybos iš vieneto dėsnių patikrinimą taip pat palieku skaitytojui. Įsitikinus visų dėsnių teisingumu galime tvirtinti, kad sėkmingai pavyko apibrėžti racionaliųjų skaičių daugybą. Page 10 of 11
2.4 Skaičių m ir n daugyba Remiantis panašiais pasvarstymais kaip ir ankstesniuose skyreliuose tam, kad apibrėžtume n ir m sandaugą visų pirma reikėtų apsišniukštinėti, t. y. tarti, kad daugybos operacija jau apibrėžta ir tenkina visas mums norimas savybes. Ir tuomet parodyti, kad su šia prielaida teisinga lygybė m n = mn. Baigus apsišniukštinėjimą reikėtų apibrėžti skaičių m, n sandaugą kaip skaičių mn ir parodyti, kad visos daugybos savybės yra išlaikomos. 2.4.1 Apsišniukštinėjimas Tarkime, kad daugybos operacija skaičiams m ir n jau apibrėžta ir ji turi visas pagrindines daugybos savybes. Parodykime, kad m n = mn. Įrodymas. Pastebėkime, kad ( m n) 2 = m n m n = ( m) 2 ( n) 2 = mn ir ( mn) 2 = mn. Vadinasi, ( m n) 2 = ( mn) 2. Kadangi m n 0 ir mn 0, tai m n = mn. 2.4.2 Daugybos sukūrimas 1 apibrėžimas. Tegu m, n Q ir m, n 0. Tuomet m n = mn. 3 Trumpi pedagoginiai pasvarstymai Kam visa tai reikalinga? Kodėl negalime moksleiviams tiesiog pasakyti, jog dviejų neigiamųjų skaičių sandauga yra teigiamasis skaičius, o dviejų šaknų su vienodais rodikliais pošaknius reikia sudauginti? Yra keletas atsakymų į šį klausimą. 1. Ko mums svarbu išmokyti moksleivius? Ar apskaičiuoti, ar išmokyti kurti tarpusavyje derančių žinių sistemą? Skaičiuoti, žinoma, svarbu, tačiau juk visa tai geba gerokai greičiau už mus atlikti kompiuteriai, tad didesnį dėmesį skirti matematiniam samprotavimui atrodo prasminga; 2. Jei moksleiviams nepaaiškiname matematinių taisyklių, tai jie priversti jas visas tiesiog įsidėmėti ir iškalti. Jie to nesugeba padaryti. Jei visas taisykles paaiškintume, t. y. tvarkingai vieną iš kitos išvestume, jiems būtų lengviau jas įsiminti, ko pasekoje pagėrėtų jų matematinis išsilavinimas. Page 11 of 11