Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų tipai.
Dvi svarbios ribos Riba sin x lim = 1 x 0 x Pav. lim x 0 sin 5x sin 6x = lim x 0 sin 5x 5x sin 6x 6x 5x 6x = lim x 0 5x 6x = 5 6.
Dvi svarbios ribos Riba lim 1 + ± x 1 x x = e lim 1 z 0 lim 1 x a ( + z) 1 z = e 1 ( + α( x) ) ( ) = lim( 1+ z) α x z 0 1 z = e, kai z= α( x), limα( x) x a = 0
Nykstamųjų funkcijų palyginimas Sakykime, funkcijos α(x) ir β(x) nyksta, kai x a (x ), t.y. lim = 0 lim = 0. Tokios funkcijos palyginamos, atsižvelgiant į jų santyko ribą lim, jei ta riba egzistuoja. () ( ) Ap. Jei santykio (), kai ( ), riba yra () baigtinė ir nelygi nuliui, t.y. lim = 0, tai α(x) ( ) () ir β(x) vadinamostospačios eilės nykstamosiomis funkcijomis.
Nykstamųjų funkcijų palyginimas Ap. Jei lim = 0, tai α(x) vadinama () ( ) aukštesnės eilės nykstamąja funkcija negu β(x). Žymima α(x) =O(β(x)).
Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos Ap. Dvi nykstamosios funkcijos α(x) ir β(x), kai x a (x ), vadinamos ekvivalenčiomis, jei = 1. () lim ( ) Žymima α(x) ~ β(x), kai x a (x ). Kadangix a (x ).tai ~, 0! Kadangi lim = 1, tai tg ~, 0
"#$%& Kadangi lim = 1, tai arc ~, 0 "#! Kadangi lim = 1, tai arctg ~, 0 Kadangi lim 0 *+#,$ - = *., tai 1 01 ~ *. 2 Kadangi lim 3 +* = 1, tai 4 1~, 0 Teorema. Dviejų nykstamųjų funkcijų santykio riba nepasikeičia pakeitus tas funkcijas joms ekvivalenčiomis funkcijomis. Pastaba. Jei nykstamųjų funkcijų santykio riba, kai x a (x ) neegzistuoja, tai jų palyginti negalima..,
Funkcijos tolydumas taške 1 Ap. Funkcija y=f(x) vadinama tolydžia taške x 0, jeigu ji apibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to, lim 6 = 6( ), 5 trumpai tariant, jei funkcijos riba taške x 0 lygi jos reikšmei tame taške. 2 Ap. Funkcija y=f(x) vadinama tolydžia taške x 0, jei nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis: lim 8 = 0. Abu apibrėžimai yra ekvivalentūs.
Išvada. Kadangi lim =, tai iš 1 apibrėžimo 5 gauname, kad lim 6 = 6 lim. Vadinasi, 5 5 jeigu funkcija yra tolydi, tai ribos ir funkcijos simbolius galima sukeisti vietomis. Ap. Funkcija f(x) vadinama tolydžia taške x 0 iš kairės, jei 6 = 6 0 = lim 5 + 6 ir tolydžia iš dešinės, jei 6 = 6 +0 = lim 5 : 6. Gauname, kad funkcija yra tolydi taške x 0, jei ji tame taške tolydi ir iš kairės ir iš dešinės.
Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės Funkcija yra tolydi intervale (a,b), jeigu ji tolydi kiekviename to intervalo taške. Funkcija yra tolydi atkarpoje [a,b], jeigu intervale (a,b) ji yra tolydi, taške a tolydi iš dešinės, o taške b iš kairės. Tolydžios atkarpoje [a,b] funkcijos grafikas yra ištisinė, nenutrūkstanti kreivė šioje atkarpoje.
Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės 1 teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi atkarpoje [a,b] ir šios atkarpos galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, tai tarp taškų a ir b būtinai yra toks taškas c, kuriame funkcija įgyja reikšmę lygią nuliui, t.y. f(c)=0 a y c b x Šios savybės geometrinė prasmė: tolydi kreivė gali pereiti iš vienos Ox ašies pusės į kitą, tik perkirsdama tą ašį.
Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės 2 teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi atkarpoje [a,b], tai tarp jos reikšmių, įgyjamų šioje atkarpoje, visada yra mažiausioji m ir didžiausioji M reikšmės. m [,=] 6 = 6. =? max 6 = 6 * = A [,=]
Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės 3 teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi atkarpoje [a,b], tai bet kuris skaičius C, paimtas tarp tos funkcijos mažiausios reikšmės m ir didžiausios reikšmės M, irgi yra tos funkcijos reikšmė, įgyjama kuriame nors atkarpos [a, b] taške.
Funkcijos trūkio taškai Taškas x 0 bus funkcijos trūkio taškas, jei šiame taške funkcija yra neaprėžta arba nykstanti. Trūkio taškų klasifikacija: 1 Ap. Taškas x 0 vadinamas funkcijos y=f(x) pirmojo tipo trūkio tašku, jei jame egzistuoja baigtinės ribos iš kairės f(x 0-0) ir iš dešinės f(x 0 +0), bet jos nėra tarpusavyje lygios: f(x 0-0) f(x 0 +0) y F(x 0 +0) šuolis h F(x 0-0) 0 x X 0
Trūkio taškų klasifikacija +2, < 2 Pav. 6 = B 2, 2 < 0 0, 0
Trūkio taškų klasifikacija 2 Ap. Kai bent viena vienpusė funkcijos riba taške x 0 neegzistuoja arba yra begalinė, tai taškas x 0 vadinamas šios funkcijos antrojo tipo trūkio tašku. Sakoma, kad šiame taške funkcijos grafikas daro begalinį šuolį. y f(x 0-0) 0 x X 0
Trūkio taškų klasifikacija 3 Ap. Taškas x 0 vadinamas funkcijos y=f(x) pašalinamuoju trūkio tašku, jei f(x 0-0)=f(x 0 +0) f(x 0 ). Šį trūkio tašką pašaliname, funkcijos reikšmę f(x 0 ) pakeisdami jos riba lim 5 6. y f(x 0 ) f(x 0-0)=f(x 0-0) 0 x X 0