L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

Transkriptas

1 L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos trikampių pusiaukraštinės, pusiaukampinės, aukštinės yra atkarpų, kurios jungia trikampio viršūnę su prieš ją esančios kraštinės tašku, atvejai. Tokios atkarpos yra vadinamos trikampio čevianomis; šiuo pavadinimu pageriant italų matematiką žiovanį Čevą (Giovani eva ( )). Sakykime, kad trikampio kraštinių ilgiai c, a,, o kraštinėje yra taškas, kuris dalija šią kraštinę į atkarpas m, n. Rasime čevianos ilgį d (1 pav.). Nurėžkime trikampio aukštinę H h ir pažymėkime H p. Taikydami trikampiams H, H ir H Pitagoro teoremą, gauname, kad H H, H H., H H, Pažymėkime H p, tuomet c h d p. Iš čia seka, kad c d p ( m p) Kadangi H n p, tai Iš lygyės d m pm. h ( m p) ir H H seka, kad d p ( n p) d n np. Iš gautųjų lygyių išplaukia, kad c n d n nm pmn, ir m d m n m mnp. Sudėję šias lygyes, gauname, kad c n m d ( m n) mn( m n). Kadangi m n a, tai iš čia ir išplaukia, kad c n m amn d. Taigi gavome čevianos ilgio formulę a d c n m amn. a (1) Gautoji čevianos ilgio formulė yra vadinama Stiuarto formule (athew Stewart (( )- škotų matematikas). tskiri šios formulės atvejai yra trikampio pusiaukraštinių ir pusiaukampinių ilgio formulės. Jei atkarpa a yra trikampio pusiaukraštinė, tai, taigi gauname tokią pusiaukraštinės ilgio formulę 1 c a. () Pagal trikampio pusiaukampinės savyę, pusiaukampinė dalija trikampio kraštinę į dalis, kurių santykis lygus m c ac a. Iš lygyių, m n a randame, kad m, n. Įrašę šias reikšmes n c c į (1) lygyę ir atlikę veiksmus gauname, kad ca c a ac ac a( c) a c ac( c a( c) c a Taigi trikampio pusiaukampinės ilgis skaičiuojamas pagal formulę ) c(( c) c a ) c( c a)( c a). c c( c a)( c a). () c Kadangi trikampių, ir aukštinės, nurėžtos iš viršūnės, yra vienodo ilgio, tai šių trikampių plotai sutinka kaip atitinkamų kraštinių ilgiai, t. y., S : S : S ( m n) : m n. : 1 pavyzdys. tkarpa yra trikampio pusiaukraštinė, taškai ir F dalija šią pusiaukraštinę santykiu : F : F 4::1. Tiesės ir F kerta kraštinę taškuose G ir H. Rasime santykius G : GH : H. H 1 pav. 1

2 Sprendimas. Sakykime, kad 4x, F x, F x. tkarpos tęsinyje už taško atidedame taškus ir N, kad F, N ( pav.). Kadangi keturkampių F ir N įstrižainės susikerta jų vidurio taške, tai šie keturkampiai yra lygiagretainiai. Iš čia išplaukia, kad tiesės ir N yra lygiagrečios, taigi trikampiai G ir N yra panašieji, G 4x 1 todėl. Trikampiai HF ir irgi yra panašieji, todėl N 1x G H F 7x Taigi G, H, todėl 9x 9 9 F H 4 GH H G, H H. Iš čia gauname, kad 9 9 G : GH : H : 4:. Sakykime, kad atkarpos, ir F yra trikampio čevianos. Jos N F susikerta viename taške tada ir tik tada, kai 1 (Čevos teorema). pav. F Įrodysime šį teiginį. Sakykime, kad trikampio čevianos, ir F susikerta taške ( pav.). Trikampių, ir plotus žymėkime S 1, S, S ir nurėžkime trikampių ir aukštines H ir G, nurėžtas į jų endrą kraštinę. Tuomet trikampių ir plotų H santykis S1 : S. Iš trikampių H ir G panašumo G H S turime, kad. Taigi 1. nalogiškai surandame, G S S S kad, o F F G. Iš čia gauname, kad 1. H F S F S1 F tvirkščiai, sakykime, kad trikampio čevianoms yra teisinga F lygyė 1, atkarpos ir susikerta taške, pav. F o tiesės ir susikerta taške N (4 pav.). Kadangi trikampio čevianos, ir N susikerta viename N taške, tai pagal jau įrodytą faktą yra teisinga lygyė 1. Kadangi teisinga lygyė N F N F 1, tai iš čia išplaukia, kad. Kadangi F N F atkarpoje yra vienintelis taškas, dalijantis ją duotuoju santykiu, tai iš čia gauname, kad taškai N ir F sutampa, t. y., atkarpos, ir F susikerta viename taške. tskiru atveju, kai atkarpos, ir F yra trikampio N F pusiaukraštinės, tai 1, todėl teisinga lygyė F F F 1, taigi trikampio pusiaukraštinės susikerta viename F 4 pav. taške, kuris vadinamas trikampio centroidu ara trikampio sunkio centru. Kai atkarpos, ir F yra trikampio pusiaukampinės, tai pagal trikampio pusiaukampinių F F savyes,,, taigi lygyė 1 ir šiuo atveju yra teisinga. Taigi F F trikampio pusiaukampinės susikerta viename taške įrėžto į trikampį apskritimo centre. Kai atkarpos, ctg ir F yra trikampio aukštinės, tai iš stačiųjų trikampių gauname, kad, ctg ctg F ctg F,, taigi teisinga lygyė 1, todėl trikampio aukštinės susikerta ctg F ctg F viename taške, kuris vadinamas trikampio ortocetras.

3 Sakykime, kad atkarpa yra trikampio čeviana (5 pav.), tuomet teisinga lygyė sin (teorema apie santykius). Iš tikrųjų, trikampiams sin sin ir pritaikę sinusų teoremą turime lygyes, sin sin. Kadangi 180, tai sin sin. sin sin sin, todėl sin. Iš čia gauname sin sin 5 pav. sin Čevos teoremos trigonometrinę formą: trikampio čevianos, ir F susikerta viename taške tada ir tik tada, kai sin sin sin F 1. (4) sin sin sin F pavyzdys. Trikampio čevianos P, Q, R susikerta viename taške, taškai X, Y, Z yra atitinkamai atkarpų QR, RP, PQ vidurio takai (6 pav.). Įrodysime, kad tiesės X, Y, Z susikerta viename taške. Sprendimas. Pagal teoremą apie santykius turime lygyę R sin RX RX sin RX Q 1, todėl. analogiškai Qsin XQ XQ sin XQ R sin PY R sin QZ P gauname, kad ir. Iš šių lygyių sin YR P sin PZ Q sin RX sin PY sin QZ Q R P Q P R gauname, kad 1, nes čevianos sin XQ sin YR sin ZP R P Q Q P R P, Q, R susikerta viename taške. Taigi pagal Čevos teoremos trigonometrinę formą tiesės X, Y, Z susikerta viename taške. pavyzdys. pskritimas eina per trikampio viršūnes ir, o kraštines ir kerta atitinkamai taškuose ir. Tiesės ir kertasi taške F, o tiesės ir F kertasi taške. Įrodysime, kad taškas yra atkarpos F vidurio taškas, kai (7 pav.). Sprendimas. Kadangi trikampio F čevianos, F ir F susikerta taške, tai pagal Čevos teoremą 1. Kadangi F taškas yra atkarpos F vidurio taškas, tai F, taigi F F 1, t. y.,. Iš čia išplaukia, kad tiesės F ir yra lygiagrečios. Tuomet F (antroji lygyė gaunama iš to, kad įrėžtiniai kampai ir remiasi į tą patį lanką). Taigi 7 pav. trikampiai ir yra panašieji, todėl, t. y.,. vi čevianos, simetriškos trikampio pusiaukampinės atžvilgiu, vadinamos jungtinėmis čevianomis. 8 pav. atkarpa yra jo pusiaukampinė, o čevianos ir F yra simetriškos tiesės atžvilgiu, taigi jos yra jungtinės. išku, kad jungtinės čevianos sudaro vienodus kampus su trikampio pusiaukampine ( F ), o taip pat ir su trikampio kraštinėmis F. R X P 6 pav. Z Q F

4 F c Jei čevianos ir F yra jungtinės, tai. F Įrodysime šią lygyę. Jei trikampio aukštinė H h, tai dviem ūdais skaičiuodami trikampio plotą, turime lygyę h sin. nalogiškai dviem ūdais skaičiuodami trikampio F plotą, gauname, kad F h F sin F. Kadangi F, tai iš gautųjų lygyių seka, kad. nalogiškai F F skaičiuodami trikampių F ir plotus, gauname lygyes F h F sin F ir h sin. Kadangi F, tai iš čia turime lygyę F F. Taigi F F c. F F Iš gautosios formulės išplaukia toks teiginys: jei trikampio čevianos,, F susikerta viename taške, tai ir jungtinės joms F čevianos, N, L (9 pav.) irgi susikerta viename taške. Tikrai, iš N gautos formulės turime lygyes,, N L F. Tuomet L F N L F 1. N L F Kadangi čevianos,, F susikerta viename taške, tai pagal Čevos F teoremą teisinga lygyė 1. taigi iš čia išplaukia, kad F N L 1, o tai pagal Čevos teoremą reiškia, kad čevianos, N, L N L susikerta viename taške. Jei trikampio čevianos,, F susikerta viename taške P, o joms jungtinės čevianos, N, L susikerta viename taške Q, tai taškai P ir Q yra vadinami jungtiniais taškais. Trikampio čeviana, kuri yra jungtinė su trikampio pusiaukraštine, vadinama trikampio simediana. Jei atkarpa yra trikampio pusiaukraštinė, o atkarpa F jo simediana (10 pav.), tai 1, taigi iš F c F F c lygyės seka, kad. F Kadangi trikampio pusiaukraštinės susikerta viename taške, tai ir su jomis jungtinės čevianos trikampio simedianos irgi susikerta viename taške, kuris yra vadinamas trikampio Lemuano tašku (. Lemoine prancūzų matematikas), šis taškas yra jungtinis trikampio sunkio centrui. H F 8 pav. 4 pavyzdys. Sakykime, kad taške X susikerta apirėžto apie trikampį apskritimo liestinės, nurėžtos taškuose ir (11 pav.), tiesė X kerta trikampio kraštinę taške. Įrodysime, kad atkarpa yra trikampio simediana. Sprendimas. Sakykime, kad apirėžto apie trikampį apskritimo liestinės, nurėžtos taškuose ir, susikerta taške X, tiesė X kerta trikampio kraštinę taške, o apskritimą taške S. Sakykime, kad L N 9 pav. F 10 pav. S X 11 pav. 4

5 kraštinės taškas yra toks, kad atkarpos ir yra jungtinės, t. y.,, o. Taikydami sinusų teoremą trikampiams ir gauname, kad csin sin,, t. y.,,. Kadangi sin sin sin sin sin sin 0 csin csin X 180, tai sin sin, todėl. Jei R - sin sin X apirėžto apie trikampį apskritimo spindulys, tai pagal sinusų teoremą S S c S sin X sin S,sin X sin S, taigi. Pagal kampo tarp liestinės ir R R S X stygos savyę XS S, todėl trikampiai X ir SX yra panašieji, t. y.,. Iš čia gauname, S X X X kad S. nalogiškai SX S, trikampiai X ir SX yra panašieji, todėl, taigi X S X X S. Kadangi pagal apskritimo liestinių, nurėžtų iš vieno taško, savyes X X, todėl X c S c 1. Iš čia seka, kad taškas yra kraštinės vidurio taškas, taigi atkarpa yra S jungtinė pusiaukraštinei, todėl ji yra simediana. 5 pavyzdys. Jei atkarpa yra trikampio simediana, tai et kurio jos taško atstumų iki tiesių ir santykis lygus. Įrodysime tai. Sprendimas. Iš taško nuleiskime statmenis ir N į tieses ir. ėl trikampių panašumo et kuro tiesės taško atstumų iki tiesių ir santykis lygus (1 pav.). N Nurėžkime trikampio aukštinę H ir dviem ūdais skaičiuojame trikampių ir plotų santykį. Gauname lygyę H. Kadangi atkarpa yra trikampio N H simediana, tai pagal jos savyę. Iš lygyės N išplaukia, kad. N H 1 pav. N NTROJI UŽUOTIS 1. Trikampio kraštinių ilgiai 198, 18, 1. Raskite į kokio ilgio atkarpas šio trikampio pusiaukraštinę dalija pusiaukampinė F. F 1. Trikampio čevianos,, F nurėžtos taip, kad. Raskite trikampių ir F F plotų santykį.. Trikampio kraštinių ilgiai 15, 1, 18. Pusiaukampinė ir pusiaukampinė susikerta taške K, padalydamos trikampį į keturias dalis. Raskite tų dalių plotus. 4. tkarpa yra trikampio pusiaukraštinė, kraštinė taškais ir F dalijama į tris lygias dalis. tkarpos ir F kerta pusiaukraštinę taškuose G ir H. Raskite santykius G: GH: H. 5. Trikampio kraštinių ilgiai 1, 15, 18, jo pusiaukampinė ir aukštinė kertasi taške F. Į kokio ilgio atkarpas tiesė F dalija kraštinę? 5

6 6. Trikampio čevianos, ir F susikerta taške, trikampių ir plotai lygūs atitinkamai 4 ir 6, o : 1:. Raskite trikampio plotą. 7. Trikampio kratinių ilgiai 4, 5, 6, atkarpa yra pusiaukampinė, atkarpa yra pusiaukraštinė. Raskite į kokio ilgio atkarpas kraštinę dalija per atkarpų ir sankirtos tašką ir viršūnę nurėžta tiesė. 8. Kuris taškas yra jungtinis trikampio aukštinių sankirtos taškui H? 9. Trikampio kraštinių ilgiai 0, 0, 6. Raskite jo simedianos ilgį. 10. pie trikampį apirėžto apskritimo liestinės taškuose ir susikerta taške X, tiesė X kerta tą apskritimą taškuose ir S. Trikampio kraštinių ilgiai 1, 18, 6. Raskite atkarpų S ir S ilgius. Užduoties sprendimus prašome išsiųsti iki 018m. vasario 10 d. mokyklos adresu: Lietuvos jaunųjų matematikų mokykla, atematikos ir informatikos metodikos katedra, VU atematikos ir informatikos fakultetas, Naugarduko g. 4, LT-05 Vilnius. ūsų mokyklos interneto svetainės adresas: LITUVOS JUNŲJŲ TTIKŲ OKYKLOS TRY 6