10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai mažėjanti seka, kai k. ii) Jeigu C k - monotoniškai mažėjanti seka, tai ir i) P (lim inf n P ( k=1c k ) = lim k P (C k ) A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim k P ( n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai didėjanti seka, kai k. ii) Jeigu C k - monotoniškai didėjanti seka, tai P ( k=1c k ) = lim k P (C k )

Tikimybių pratybos 3 Borelio - Kantelio Lema Lema 2. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė. Tarkime A n A, n N. Jeigu eilutė o jeigu n=1 n=1 P (A n ) konverguoja, tai P (lim sup A n ) = 0, n P (A n ) diverguoja, tai P (lim sup A n ) = 1, n

4 Tikimybių pratybos 1. Kolmogorovo teorema Teorema 3. Jeigu {X n } yra nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka, tai kiekvieno jos asimptotinio įvykio tikimybė yra lygi 0 arba 1.

Tikimybių pratybos 5 Kas yra asimptotinis įvykis?

6 Tikimybių pratybos 2. Kovergavimas su tikimybe 1 Apibrėžimas 4. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka X n ir atsitiktinis dydis X. Jeigu X n (ω) X (ω), kai n, ω Ω \ D, ir P (D) = 0, čia D yra aibė tokių ω Ω, kuriuose atsitiktinių dydžių seka nekonverguoja į atsitiktinį dydį X, tai sakoma kad seka {X n }, kai n, konverguoja beveik visur mato P atžvilgiu arba konverguoja su tikimybe 1. P.S. X yra apibrėžta vienareikšmiškai, tik ten kur egzistuoja konvergavimas su tikimybe 1.

Tikimybių pratybos 7 3. Konvergavimas pagal tikimybe arba stochastinis konvergavimas Apibrėžimas 5. Tegul {Ω, A, P} tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka X n ir atsitiktinis dydis X. Sakoma, kad atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja pagal tikimybe kiek norima artima vienetui arba konverguoja stochastiškai į atsitiktinį dydį X, jeigu ε > 0, P (ω : X n (ω) X (ω) ε) = 0, kai n.

8 Tikimybių pratybos 4. Sąryšis tarp dviejų apibrėžimų Konvergavimas su tikimybe 1 stochastiškas konvergavimas. Teorema 6. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka {X n } ir atsitiktinis dydis {X }. Tuomet atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja su tikimybe 1 į atsitiktinį dydį X tada ir tik tada, kai ε > 0, P({ω : sup X n (ω) X (ω) ε}) 0 m n n Teorema 7. Jei atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja į atsitiktinį dydį X su tikimybe 1, tai ji taip pat stochastiškai konverguoja į tą patį dydį X. Įrodymas. Yra teisinga priklausomybė {ω : X n (ω) X (ω) ε} {ω : sup X m (ω) X (ω) ε} m n Todėl pagal tikimybinio mato savybę P({ω : X n (ω) X (ω) ε}) P({ω : sup X m (ω) X (ω) ε}) m n Tuomet, kai n ir remiantis 6 teorema, gauname įrodymą.

Tikimybių pratybos 9 Iš stochastinio konvergavimo neišplaukia konvergavimas su tikimybe 1. Pavyzdys Tarkime, kad Ω = [0, 1], A intervalo visų Borelio poaibių sistema, P - Lebego matas. Pažymėkime [ k 1 A nk = n, k ] (k = 1, n, n = 1, 2,...) n Tada atsitiktinių dydžių seka X nk = I Ank (ω). X 11, X 21, X 22, X 31, X 32, X 33,... konverguoja pagal tikimybę į 0, bet nekonverguoja nė viename intervalo [0, 1] taške.

10 Tikimybių pratybos 5. Koši konvergavimo sąlygos adaptavimas Žinome, bet kurios sekos {x n } Koši konvergavimo sąlygą: x n n x, ε > 0, N N : d(x n, x m ) < ε, kai n, m > N. 5.1. Konvergavimo su tikimybe 1 atvejis. Teorema 8. Atsitiktinių dydžiu seka {X n } konverguoja su tikimybe 1 tada ir tik tada, kai ε > 0, P( n=1{ω : sup X m (ω) X n (ω) ε}) = 0 m n Išvada 9. Jeigu X n yra atsitikinių dydžių seka ir kiekvienam ε > 0 P({ω : sup X m (ω) X n (ω) ε}) 0, kai n, m n tai seka {X n } konverguoja su tikimybe 1. 5.2. Stochastinio konvergavimo atvejis. Teorema 10. Atsitiktinių dydžių seka {X n } konverguoja pagal tikimybę tada ir tik tada, kai kiekvienam ε > 0 P({ω : X m (ω) X n (ω) ε}) n,m 0

Tikimybių pratybos 11 6. Didžiųjų skaičių dėsnis 6.1. 1 komentaras. Tegul duota tikimybinė erdvė {Ω, A, P} ir nagrinėjamas įvykis A A. Kyla šie klausimai? Ką galime pasakyti apie įvykio A įvykimą? Ar įvyks A realizuojant eksperimentą? Jeigu P(A) = ε, kur ε 0 yra kiek norima artimas nuliui, ar įvyks A? Jeigu P(A) = ε, kur ε 1 yra kiek norima artimas vienetui, ar įvyks A?

12 Tikimybių pratybos 6.2. 2 komentaras. Kiekvienos tikimybinės erdvės atveju reikia atsižvelgti į kitus parametrus kurie nulemia ar tam tiką mažą tikimybę galime atmesi ar nebegalime. Pavyzdys Tarkime matuojamas atstumas nuo miesto A iki B. Matavimo prietaiso paklaida yra ±0, 001 vienam kilometrui su tikimybe 0,1. Kada šią paklaidą galime atmesti, o kada ne?

Tikimybių pratybos 13 6.3. Pirmoji formuluotė. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje duota atsitiktinių dydžių seka {ξ n }. Pažymėkime atsitiktinius dydžius čia f n yra simterinė funkcija. ζ n = f n (ξ 1,..., ξ n ), Apibrėžimas 11. Jeigu egzistuoja tokia realių skaičių seka {a n }, kad ε > 0, lim n P({ ζ n a n < ε}) = 1, tai sakome, kad seka {a n } tenkina dydžiųjų skaičių dėsnį su apibrėžtais atsitiktiniai dydžiais {ζ n }.

14 Tikimybių pratybos Ką tai reiškia? Kokios kyla interpretacijos?

Tikimybių pratybos 15 Kokio tipo konvergavimas yra panaudotas?

16 Tikimybių pratybos 6.4. Interpretacijos pavyzdys. Dujos - tai labai didelis kiekis mažyčių dalelių, kurios nuolatos chaotiškai juda. Apie vienos atskirai paimtos dalelės judėjimą nieko pasakyti negalime. Yra beveik neimanoma nuspėti dalelės greičio ir pozicijos praėjus tam tikram laikui. Tuo tarpu, esant tam tikroms sąlygoms, galime surasti dujų dalies judėjimo greitį, jūdėjimo kryptį ir poziciją, kuri bus užimta praėjus laikui t.

Tikimybių pratybos 17 6.5. Antroji formuluotė. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė, kurioje yra apibrėžta atsitiktinių dydžių seka {X n }. Pažymėkime n S n = X i. i=1 Apibrėžimas 12. Jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir tokia teigiamų skaičių seka {b n }, kad S n a n b n (1) konverguoja pagal tikimybę į 0, tai sakome, kad seka {X n } tenkina silpnajį didžiųjų skaičių dėsnį su normuojančiomis konstantomis a n ir b n. Jeigu (1) konverguoja į 0 su tikimybe 1, tai sakome, kad {X n } tenkina striprųjį didžiųjų skaičių dėsnį su konstantomis a n ir b n. Dažniausiai nagrinėjamas atvejis, kai n a n = MX k ir b n = n. k=1 Suprantama, kad vydurkiai MX k turi egzistuoti.

18 Tikimybių pratybos Pakomentuosime paminėtus apibrėžimus 6.5.1. Stochastinio konvergavimo atvejis. Šiuo atveju turime sąlygą: ε > 0, P(ω : X n (ω) X (ω) ε) n 0 Taigi remianti Didžiųjų skaičių apibrėžimu išvedame rezultatą. Seka {X n } tenkina silpnajį didžiųjų skaičių dėsnį, jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir teigiamų skaičių seka {b n }, kad ε > 0, P({ω : S n (ω) ε}) n 0

Tikimybių pratybos 19 6.5.2. Konvergavimo su tikimybe 1 atvejis. Šiuo atveju turime sąlygą: ε > 0, P({ω : sup X m (ω) X (ω) ε}) 0 m n n Taigi remianti Didžiųjų skaičių apibrėžimu išvedame rezultatą. Seka {X n } tenkina stiprujį didžiųjų skaičių dėsnį, jeigu egzistuoja tokia realiųjų skaičių seka {a n } ir teigiamų skaičių seka {b n }, kad ε > 0, P({ω : sup S m (ω) ε}) 0 m n n

20 Tikimybių pratybos 7. Čebyševo lema Lema 13. Jeigu atsitiktinis dydis Z turi dispresiją, tai kiekvienam ε > 0 Įrodymas P({ Z MZ ε}) DZ ε 2 Tegu F (x) yra atsitiktinio dydžio Z pasiskirstymo funckija. Tuomet P({ Z MZ ε}) = df (z) 1 (z MZ) 2 df (z), ε 2 z MZ ε z MZ ε nes integruojame ten kur z MZ 1. ε Toliau padidiname integravimo sritį, kadangi pointegralinė funkcija yra teigiama, tai P({ Z MZ ε}) DZ ε 2

Tikimybių pratybos 21 8. Čebyševo teorema Teorema 14. Jeigu {ξ n } yra poromis nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka, kurių dispersijos yra Dξ i C, i N, tai kiekvienam ε > 0, lim P n ({ 1 n n ξ k 1 n k=1 }) n Mξ k < ε = 1 k=1

22 Tikimybių pratybos Ar teoremoje yra panaudotas kuris nors iš atsitiktinių dydžių sekos konvergavimo tipų?

Tikimybių pratybos 23 9. Bernulio teorema Teorema 15. Tegul µ yra įvykio A pasirodymo kartų kiekis, kai atliekama n nepriklausomų eksperimentų. Įvykio A pasirodymo viename eksperimente tikimybė yra lygi p. Tuomet kiekvienam ε > 0, ({ lim P µ }) n n p < ε = 1.

24 Tikimybių pratybos 10. Puasono teorema Jeigu sekoje nepriklausomų eksperimentų įvykio A pasirodymo ties k - tuoju eksperimentu lygi p k, tai ε > 0, lim n P ({ µ n n i=1 p }) i n < ε = 1

Tikimybių pratybos 25 11. Buitinė teorema Teorema 16. Jeigu poromis nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka {X n } yra tokia, kad tai su kiekvienu ε > 0, mathcalx i i - tasis matavimo reikšmė. MX i = a - vidutinė matavimo reikšmė. Komentaras Matavimo pavyzdys MX i = a, i N ir DX i C, i N, lim P n ({ 1 n }) n X k a < ε = 1 k=1 Tuomet didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad matuodami n kartų, galime su tikimybe kiek norima artima 1 gauti matavimo rezultatus kaip norim artimus a.

26 Tikimybių pratybos 12. Chinčimo teorema Teorema 17. Jeigu atsitiktiniai dydžiai {X n } yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir turi vydurkius MX n = a, tai kiekvienam ε > 0 ( ) S n P n a ε 0 n

Tikimybių pratybos 27 13. Markovo teorema Teorema 18. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X n yra kas du nekoreliuoti, turi dispersijas ir tai kiekvienam ε > 0 1 n 2 P n DX k 0, kai n, k=1 ( ) 1 n S n MS n ε 0

28 Tikimybių pratybos 14. Būtinoji ir pakankama Dydžiųjų skaičių dėsnio sąlygos Teorema 19. Atsitiktinių dydžių seka ξ 1, ξ 2, ξ 3,... kiekvienam ε > 0, tenkina sąryšį ({ lim P 1 n ξ k 1 n n n k=1 }) n Mξ k < ε = 1 tada ir tik tada kai yra tenkinama sekanti būtinoji ir pakankama sąlyga M k=1 ( n k=1 (ξ k Mξ k )) 2 n 2 + ( n k=1 (ξ k Mξ k )) 2 0.

Tikimybių pratybos 29 15. Užduotis Tarkime, kad yra nargrinėjama nepriklausomų ir vienodai pasiskirčiusių atsitiktinių dydžių seka {X n }, kuri yra apibrėžta lygybėmis ( ) c P ({X n = k}) = k 2 lg 2, k = 2, 3, 4,..., c 1 1 = k k 2 lg 2 k Įrodykite, kad ši atsitiktinių dydžių seka tenkina Dydžiųjų skaičių dėsnį. k=2

30 Tikimybių pratybos Sprendimas Pritaikysime Chinčino teoremą. Matome, jog pagal Chinčino teoremos sąlygas pakanka patikrinti ar egzistuoja vidurkiai? Taigi ck MX n = k 2 lg 2 k = c 1 k lg(k) lg(k) = c 1 k k log k lg(k) k log k lg(k) k=2 k=2 1 1 = c = c <, 2 lg lg(k) 2 lg lg(k) 1+ k=2 k k lg k k=2 k lg k pagal integralinį konvergavimo požymį. Vadinasi egzistuoja a 0, toks kad MX n = a, n N. Taigi yra tenkinama Chinčino teorema ir todėl seka tenkina Didžiųjų skaičių dėsnį. k=2

Tikimybių pratybos 31 16. Paprastesni uždaviniai 16.1. Teorijos santrauka. Jeigu atsitiktinis dydis X įgyja teigiamas reikšmes ir egzistuoja jo vydurkis MX = a, tai bet kuriam skaičiui δ > 0 yra teisinga nelygybė P (X δ) 1 a (2) δ ir nelygybė P (X > δ) < a δ (3) Šios nelygybės yra vadinamos Markovo nelygybėmis. pirma ir antra Čebyševo nelygybes. Toliau paminėsime Jeigu atsitiktinis dydis X yra toks, kad MX = a ir dispersija yra baigtinė, tai bet kuriam skaičiui ε > 0 yra teisingos nelybybės ir P ( X a > ε) < DX (pirmoji Čebyševo nelygybė), ε 2 P ( X a ε) 1 DX (antroji Čebyševo nelygybė). ε 2

32 Tikimybių pratybos 16.2. Uždavinys. Vidutinis vienos bulvės svoris yra 120gr. Kokia tikimybė, jog atsitiktinai paimta bulvė svers ne daugiau negu 360gr?

Sprendimas Tikimybių pratybos 33 Ieškomą tikimybę rasime pasinaudoję pirma Markovo nelygybe. Tegul X yra bulvės svoris. Tuomet MX = 120 ir δ = 360. Taigi P (X 360) 1 120 360 = 1 1 3 = 2 3

34 Tikimybių pratybos 16.3. Užduotis. Kiekvienais metais vidutiniškai 200 studentų stoją į matematikos fakulteto magistratūros studijas. Kokia tikimybė, jog šiais metais stos nedaugiau negu 220 studentų?

čia, Sprendimas Tikimybių pratybos 35 Vėl yra taikoma pirmoji Markovo teorema. Turime MX = 200 ir δ = 220 iš P (X 200) 1 200 220 = 1 10 11 = 1 11

36 Tikimybių pratybos 16.4. Užduotis. Įvertinkite tikimybę, kad mėtant lošimo kauliuką 3600 kartų, skaičiaus 6 atsivertimų kiekis bus ne mažesnis negu 900.

Tikimybių pratybos 37 Sprendimas Pažymime X - 6 atsivertimų kiekis. Tuomet MX = n p = 3600 1 6 = 600, o δ = 900. Taikome Markovo nelygybę. P (X 900) 1 1 3 = 2 3

38 Tikimybių pratybos 16.5. Užduotis. Atsitiktinis dydis X turi dispersiją, DX = 0.001. Kokia tikimybė,kad atsitiktinis dydis X skiriasi nuo MX = a, daugiau negu 0.1?

Sprendimas Taikome pirma Čebyševo nelygybę. P ( X a > 0.1) < Tikimybių pratybos 39 DX 0.1 0.1 = 0.001 0.01 = 0.1

40 Tikimybių pratybos 16.6. Dar viena Čebyševo nelygybė. Teorema 20. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2, X 3,... nepriklausomi, turi matematinius vydyrkius(momentus) ir jų dispersijos yra aprėžtos skaičiumi C, tai kiekvienam ε > 0 yra teisinga nelygybė ( ) 1 n P X k 1 n MX k ε n n k=1 k=1 > 1 C nε 2. Jeigu MX i = a, i N, tai nelygybė pakinta taip ( ) 1 n P X k a n ε > 1 C nε. 2 k=1

16.7. Nelygybė iš Bernulio teoremos. Tikimybių pratybos 41 Teorema 21. Jeigu kiekviename nepriklausomame eksperimente įvykio A pasirodymo tikimybį yra lygi p, tai įvykio A pasirodymo dažnio ir įvykio A pasirodymo tikimybės skirtumas moduliu neviršys ε su tikimybe didesne negu 1 pq nε 2, t.y. P ( m n p ε ) > 1 pq nε 2

42 Tikimybių pratybos 16.8. Užduotis. Raskite tikimybę, kad metant lošimo kauliuką 10000 kartų šešiukės pasirodymo dažnis skiriasi nuo įprastos šešiukės pasirodymo tikimybės moduliu mažiau negu 0.01.

Sprendimas Tikimybių pratybos 43 Pasinaudojame nelygybe iš Bernulio teoremos. Šiuo atveju turime n = 10000, p = 1, q = 5, todėl 6 6 ( m ) P n p 1 0.01 > 1 10000 0.0001 1 6 5 6 = 31 36

44 Tikimybių pratybos 16.9. Užduotis. Gaminan duomenų laikmenas 3% produkcijos yra brokas. Raskite tikimybe, kad tikrinant partiją iš 1000 laikmenų nuokrypis nuo nustatyto broko procento neviršys 1%.

Sprendimas Tikimybių pratybos 45 Iš uždavinio sąlygos seka, kad n = 1000, ε = 0.01, p = 0.03 ir q = 0.97. Tuomet remiantis Bernulio nelygybe gauname ( m ) P n p 0.01 1 pq 0.03 0.97 = 1 nε2 1000 0.0001 = 0.709.

46 Tikimybių pratybos 16.10. Užduotis. Tegul yra nagrinėjama atsitiktinių dydžių seka {X n }, kurios kiekvieno atsitiktinio dydžio dispersija neviršyja 4. Raskite, kiek reikia paimti atsitiktinių dydžių, kad nuokrypis tarp aritmetinio atsitiktinių dydžių vydurkio ir atsitiktinių dydžių momentų aritmetinio vydurkio būtų ne didesnis negu 0.25 su tikimybe didesne negu 0.99.

Sprendimas Tikimybių pratybos 47 Pasinaudosime Čebyševo nelygybe, kuri yra gauta iš Čebyševo teoremos. Taigi turime C = 4 ir ε = 0.25, tuomet ( ) 1 n P X k 1 n 4 MX k < 0.25 1 n n n 0.25 0.25. k=1 k=1 Toliau kadangi ieškome n, tai sudarome nelygybe Iš čia 1 4 0.99 n 0.0625 0.01 64 n n 6400

48 Tikimybių pratybos 17. Namų darbai 1. Įrodykite, kad jeigu duotas atsitiktinis dydis X, kuriam egzistuoja vydurkis Me ax, a > 0, tai teisinga nelygybė P({X ε}) MeaX e aε. 2. Tegul f(x) > 0 yra nemažėjanti funkcija. Tarkime egzsituoja vydurkis M(f( X MX )). Įrodykite, kad P({ X MX ε}) Mf( X MX ) f(ε) 3. Tarkime, kad yra nargrinėjama nepriklausomų ir vienodai pasiskirčiusių atsitiktinių dydžių seka {X n }, kuri yra apibrėžta lygybėmis P ({ X n = 2 k lg(k) lg lg(k+1)}) = 1, k = 1, 2, 3, 4,... k2 Įrodykite, kad ši atsitiktinių dydžių seka tenkina Dydžiųjų skaičių dėsnį. 4. Atsitiktinis dydis X turi dispersija, DX = 0.004. Raskite tikimybę, kad atsitiktinis dydis skiriasi nuo savo vydurkio nedaugiau negu per 0.2. 5. Kiek kartų reikia matuoti tam tikrą dydį, kad su tikimybe ne mažesne negu 0.98, galima būtų teigti, kad aritmetinis matavimų vidurkis moduliu skirtusi nuo tikrojo vidurkio per 0.01, jeigu atskirojo matavimo dispersija neviršyja vieneto.