VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS FUNDAMENTINIŲ MOKSLŲ FAKULTETAS MATEMATINĖS STATISTIKOS KATEDRA K Smitis Aliziė geometij i vektoiės lgebos elemeti 006
Įvds Šis kuss skitoms VGTU Fudmetiių mokslų fkulteto ižiieiės ifomtikos specilybės studetms, pisilikt modulio pogmos, pimą semestą Ne vis pimtimi medžig gli būti udig i kitų fkultetų stu - detms Pskitų kospektą puošė Mtemtiės sttistikos ktedos dėstytojs K Smitis
Litetū Kveds, B Mticų teoij dlis Kus: VDU, 999; dlis Vilius: MII, 000 Peksks,V; Pekskieė, A Tiesiės lgebos i liziės geometijos elemeti Kus: Techologij, 004 3 Misevičius, G; Picevičius, A; Rkusks, RJ; Eidukevičius, R Aukštoji mtemtik Vilius: TEV, 999 4 Čiupil, R Elimets of lie d vecto lgeb Vilius: Techik, 997 5 Bys, R; Kyžieė, B Elemety lie lgeb with lytic geomety Vilius: Techik, 000 6 Bett, RA; Ziegle, M,R Lie lgeb S Fcisco: Delle Publishig Compy, 987 7 Jušuskitė, S; Mčiukitieė, A; Pšmtieė, D; Rtkieė, N Tiesiė lgeb i mtemtiė lizė Kus: Techologij, 998 8 Kubilieė, M; Stkevičieė, V Tiesiė i vektoiė lgeb Vilius: Techik, 005 3
Tuiys I Skyius Tiesiė lgeb6 Tiesiių lygčių sistemosguso metods7 Tiesiii tvizdvimi7 Tiesiės lgebiės lygtys i jų sistemos8 3 Nuoseklus ežiomųjų elimivimo ( Guso ) metods MticosVeiksmi su mticomis 3 Kmeio fomulės ( tos eilės lygčių sistemoms )6 4 Detemiti i jų svybės7 5 Kmeio fomulės tečios eilės LS 6 Aukštesės eilės detemiti 7 Atvikštiė mtic3 8 LS spedims tvikštiės mticos metodu5 9 Atvikštiės mticos skičivims Guso metodu7 0 Mticos gs Bziio mioo teoem8 II Skyius Vektoiė lgeb36 Tiesiės edvės37 Vektoius išeiškims duotosios bzės vektoiis38 3 Tiesiis poedvis Homogeiės lygčių sistemos fudmetli spediių sistem40 4 Vektoiės bzės tsfomcij43 5 Atkpos dlijims duotuoju stykiu45 6 Dviejų vektoių skliiė sdug45 7 Dviejų vektoių vektoiė sdug47 8 Skliiės i vektoiės sdugos tikyms geometijoje i mechikoje49 9 Mišioji tijų vektoių sdug5 III Skyius Aliziė geometij54 Tiesė plokštumoje55 Kyptiė tiesės lygtis55 Bedoji tiesės lygtis55 3 Tiesės, eičios pe duotą tšką duotąj kyptimi, lygtis56 4 Tiesės, eičios pe du duotus tškus, lygtis56 4
,5 Ašiė tiesės lygtis57 6, Noliė tiesės lygtis58 7 Tiesės bedosios lygties suvedims į koiį pvidlą58 8 Tško tstums iki tiesės59 9 Kmps tp dviejų tiesių Tiesių sttmeums i lygigetums60 Plokštum edvėje6 Bedoji plokštumos lygtis6 Nomliė plokštumos lygtis63 3 Plokštumos,eičios pe tis duotus tškus, lygtis64 4 Kmps tp plokštumų65 5 Tško tstums iki plokštumos66 3 Tiesė edvėje67 3 Įviios tiesės lygtys67 3 Bedoji tiesės lygtis69 33 Atstums uo tško iki tiesės edvėje69 34 Tiesės, eičios pe du duotuosius tškus,lygtis70 35 Kmps tp tiesių Sttmeumo i lygigetumo sąlygos70 36 Atstums tp dviejų psilekičių tiesių70 37 Tiesės i plokštumos bedieji tški7 38 Kmps tp tiesės i plokštumos7 4 Atos eilės keivės74 4 Apskitims74 4 Elipsė76 43 Hipebolė78 44 Pbolė80 5 Atos eilės pvišii8 5 Sfe8 5 Elipsoids8 53 Hipeboloids83 54 Pboloids85 Egzmio klusimi87 5
I skyius Tiesiė lgeb 6
Tiesiių lygčių sistemos Guso metods Tiesiii tvizdvimi Atvizdvimo pvyzdys: y=f(x)=x x D( f ) = R Apibėžimo sitis f R ( f ) = R Reikšmių sitis Apibėžims Atvizdvims (tskiu tveju fukcij b tm tiks opetoius) T vdims tiesiiu, jei bet kokii poi elemetų χ, χ DT ( ) i bet kokiems α, α R T teki lygybę T( α χ + α χ ) = αt( χ ) + α T( χ ) Pvyzdys : d T () = ()- difeecijvimo veiksms tiesiis tvizdvims e? dx d ()- pibėžimo sitis y visos difeecijuojmos fukcijos; dx d dx teguc ( ) - vieą ktą difeecijuojmų fukcijų ibė, ty d = () D C = {f : f vieą ktą difeecijuojm} dx () Ptikiims: tegu f, f C ; α, α R ; Δf df lim = f ( x) = ; x 0 Δx dx d d α f + α f = α f + α f = α f + α f = α f + α f = α f + α dx dx d - tliek tvizdvimo vidmeį i, kip įsitikiome, y tiesiis tvizdvims dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Pvyzdys : y = f( x) = x+ b, gxy (, ) = cx+ dy Tikime, fukcij y=f(x) kip tvizdvims y tiesiė e? 7
D(T ) tvizdvimo pibėžimo sitis R eliųjų skičių ibė α χ + α χ - tiesiė kombicij tiesės lygtis y = x + b g( x, y) dviejų kitmųjų fukcij Šiuo tveju T=f; x, x, α, α R ; eiki ptikiti f tiesiškumą pgl pibėžimą D f ( f ) = R R( f ) = R? f ( α x + α x ) = α f ( x) + α f ( x ) ) α ( x + b) + α ( x + b) = αx + αb + α x + α b = αx + α x + ( α + α )b - dešiė lygybės pusė; b) f ( α x α x ) = ( α x + α x + b = α x + α x + b - kiė pusė + ) ) i b) lisvieji ii esutmp, tigi fukcij f(x)=x+b kip tvizdvims ė tiesiė; tskiu tveju, ki lisvojo io ė (b=0), ty fukcij f(x)=x kip tvizdvims y tiesiė; tokios fukcijos gfiks (tiesė) ei pe koodičių pdžią NAMŲ DARBAS Ptikiti, fukcij g(x,y)=cx+dy kip tvizdvims y tiesiė e {( ) } D( g) = R R = R = x, y x R ; y R Nubėžti fukcijos z= g(x,y)=x+y= gfiko eskizą timtėje edvėje 3 R Pstb f ( x) = x+ b- y tiesiė fukcij, ki ė lisvo io b Alogiški gxy (, ) = cx+ dy y tiesiės fukcijos ( svbu, kd gumeti x,y,z būtų hxyz (,, ) = x + y + z 3 pimme lipsyje) Tiesiės lgebiės lygtys i jų sistemos x = b - ppsčiusios tiesiės lgebiės lygties pvyzdys Jei kiioji lygties pusė ežiomųjų tžvilgiu y tiesiis tvizdvims, ti toki lygtis y tiesiė 8
x + x = b- vie tiesiė lygtis su dviem ežiomisiis (LS) x + x + + x = b, x + x + + x = b, - šiuo tveju tuime tiesiių lygčių su ežiomųjų x+ x+ + x = b (LS) y ekvivlėčios, jei jų spediių ibės sutmp, ty(ls) gumos, vieą tm tiku būdu petvkius į kitą tip, kd spediių ibės epkistų Tm udosime elemetius (LS) petvkius ( ž toliu ) R xr - Dektiė sdug, R dvimtė edvė (plokštum) LS - lygčių sistem tiesiių lgebiių lygčių sistem NAMŲ DARBAS (LS) eilę pspedži ežiomųjų skičius, įeitis į (LS) Tegu duot -os eilės (LS): x + by = c, dx + cy = f, ( x, y) R - tšks, kuio kooditės teki bi lygtis Tiesių klb piškiti, ką eiški geometški, kd: ) (LS) tui -ą spediį; b) (LS) etui spediių; c) (LS) tui spediių --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ptims: Kuios iš pteiktų lygčių y tiesiės? () 3x+ y = 5 () xy z = 3 (3) 3 x+ y π z = 4 3 (4) + y = x z (5) x x + 3x + 5x = 0 3 4 x (6) e y = 5 π (7) (si ) x 3x = e 3 (8) si( π x) + y = 0 9
Tiesiės fukcijos y (),(3),(5),(7) Jei į lygtį įei ežiomųjų sdug, ežiomieji y etiesiių fukcijų gumeti b lygtyje ežiomieji y e pimo lipsio (ty lipsis tupmeiis, eigims d kitoks), ti lygtis y etiesiė x + x + + x = b, x + x + + x = b, LLLLLLLLLLL x + x + + x = b ApibėžimsSistemos (LS) spediiu vdisime skičių ikiį x = ( d, d,, d ), kuį itepetuosime kip tšką -mtėje itmetiėje edvėje R (vektoių mtėje vektoiėje edvėje V ), jei, vietoj x i įsttę d i, gume tptybes (LS) Elemetūs petvkymi (petvkii), kuie ekeiči (LS) ekvivletumo: Bet kuių lygčių sukeitims vietomis; Bet kuios lygties pdugiims (pdlijims) iš skičius 0; 3 Bet kuis dvi sistemos lygtis glim sudėti (timti), vietoj vieos iš jų įšt jų sumą (skitumą); x+ y+ z = 4 Vieodų lygčių b tptybių pšliims iš (LS): x+ y+ z = 4 - pim i t x + y + 3z = 7 lygtys vieodos, tigi vieą jų bukim, es, tėmę dvigubą pimą lygtį iš tos lygties, gusim tptybę 0=0 Teoem : (Altetyv pie tiesiių lygčių sistemos spediius) Tiesiių lgebiių lygčių sistemos tui: )! - vieitelį spediį b b) - spediių etui (eegzistuoj) b c) - tui be glo dug spediių < Įodyms:Tegu S - ( LS) spediių ibė Jei S tui vieą elemetą, ty tvejis ), ti ieko įodiėti eeiki Jei S = (ty spediių ibė y tušči), td tvejis b) - igi ieko eeiki įodiėti Jei S tui bet du elemetus, ti podysime, kd ibė S tui be glo dug elemetų s= ( s, s, s3, s) S Tegu s= ( s, s, s3,, s) S - du skitigi (LS) spediii Sttome išišką s+ t( s s), t R, į (LS), ty skičių ikiį ( s+ t( s s), s + t( s s),, s + t( s s)), ku t bet koks elus skičius (vdisime jį pmetu) ( s + ts ( s )) + ( s + ts ( s s)) + + ( s + ts ( s)) = b ( s+ ts ( s)) + ( s+ ts ( s)) + + ( s+ ts ( s)) = b ( s+ t( s s)) + ( s + t( ss s)) + + ( s + t( s s )) = b s Pimkime vieą iš lygčių i ją išgiėkime: 0
( s + t( s s )) + ( s + t( s s )) + + ( s + t( s s )) = i i s i s i + ts ( i s i )) + s i + t ( iss s i )) + + s i + t ( is s i )) = bi + tb ( i bi) = bi O ti įodo, kd jei y du dugiu spediių, ti tuomet y be glo dug spediių, es su skitigis pmetis t gusime vis skitigus spediius, ty tuime teoemos c) tvejį > Apibėžims: Sistem (LS) vdim sudeit, jei tui bet vieą spediį Sudeit sistem su be glo dug spediių vdim epibiežtąj (piklusom) Jei sistem spediių etui, ti skome, kd ji esudeit 3 Guso metods (uoseklus ežiomųjų elimivimo metods) Guso metods uiveslus, leidžitis geiti i ppsti susti bet kokios eilės (LS) spediius; jo esmė glūdi elemetiuose petvkiuose; jų dėk (LS) gli būti suvest į «tikmpį» b tpeciį, b išyškėti bsudišk lygtis, pvz 0=0 b ks os pšus Tuomet, ki gums: ) tikmpis pvidls,(ls) tui vieą spediį; b) ki 0= ( kitoki esąmoė) - spediių ibė y tušči; c) tpeciis pvidls, (LS) tui be glo dug spediių Pvyzdys 3: L x x + x3 = 5, L 3x + 8x 0x3 = 5, L 3 4x 3x + x3 = 3 8 0 -duotos lygčių sistemos koeficietų mtic; 4 3 E 5 E 3 8 0 5- išplėstoji (LS) mtic E 3 4 3 Su išplėstosios mticos eilutėmis tliekme tuos pčius elemetius petvkius, kip i su (LS) lygtimis ( tuim omey, kd ti sutumpits lygčių užšs ): E 5 3 8 0 5 + 3 ~ E E E E E E 4 3 E 4E E 3 3 3 5 0 4 0 / 0 5 7 9 ~ 5 ~ 0 5 ~ 0 5 7 9 E3 5E E3 5 0 5 0 0 3 6 E3 /3 ~ 5 0 5 0 0 Gįžtme uo išplėstosios mticos pie (LS), kui ekvivleti pdiei, tčiu y tikmpio pvidlo:
x x + x3 = 5 x = x x3 = 5 x =, ty x = ( x, x, x3) = (,,) x3 = x3 = Spediio ptikiims:? + + 4 = 5 5= 5? 3 8 0= 5 5 = 5 Ats: x = (,,)? = 4+ 3+ = Kitus tvejus išgiėsime pe ptybs Mticos Veiksmi su mticomis Apibėžims: Mtic y tm tik tvk sušytų skičių, fukcijų kitų mtemtiių objektų, vdimų mticos elemetis, stčikmpė letelė Jei A = ( ) - i-toji eilutė; i i i3 i ; ij mticos elemets i-toje eilutėje i j-tme stulpelyje; j j - j-tsis stulpelis j = (eilučių i stulpelių kiekis vieods), ti tokią mticą vdisime kvdtie Mticos išmtvimų užšyms: dim A = dim A= (-tos eilės mtic (mtic kvdtiė)) Apibėžims: Dvi mticos vdimos vieūšėmis, jei jos tui tuos pčius išmtvimus (tos pčios dimesijos), ty tui tiek pt eilučių i tiek pt stulpelių Apibėžims: Dvi vieūšės mticos A i B vdimos lygiomis (žymim A=B), jei jų
titikmi elemeti y lygūs, ty ij = b ij dim - mticos dimesij 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 - uliė mtic ; - pgidiė įištižiė; - šlutiė įštižiė Mticos i jos išmtvimų žymėjims: A x b ( ij ), i =, j = *, b 0 0 0 0 0 0 E = I = 0 0 0 0 0 0 - vieetiė mtic Vektoius x = ( x x x x ) 3 L - mtic eilutė b vektoius x x x = x 3 M x -mtic - stulpelis 3
Jei duot mtic T T A = ( ) j = ji i= A, ti žymėsim A T tspuotą mticą A, ty = Tspouot mtic y toki mtic, ku T ji = (ty eilutės i stulpelii keičimi vietomis) ij Pvz: C = 3, 3 T C 3 = 3 toki, kd ij = i ij =0 (ku i j) i =, ty uo iki Apibėžims: Dėl vieūšių mticų pibėžim sudėtis sekčiu būdu: tegul duotos mticos A = i B b b b b b b, b b b = tuomet, C = A+ B, C = ( c ij ) i =, ku c j= ij = ij + bij Sdug iš sklio: α R, αa= ( α ij ) i = j = Pvz: 0 + = ; 0 0 0 3 + = ; 3 0 3 5 3 ( ) 0 0 = 4 4 ; 3 8 7 5 0 0 0 0 5 0 55 0 500000 ; 5 5 = 9 3 0 4 0 45 6 0 Apibėžims: Skysime, kd mticos A i B sudeitos sdugos AB tžvilgiu, jeigu mticos A stulpelių skičius lygus (titik) mticos B eilučių skičiui Sdug AB=C, ku c = b + b + + b = b ij i j i j i j ik kj k = 4
(imm i-oji mticos A eilutė i piui dugim su mticos B j-uoju stulpeliu, o po to sdugos sudedmos) A B = C, m m b b b m c c c m b b b m c c cm = b b b m c c c m m m ; 3 0 4 6 = 30 0 3 5 7 7 33 3 3 3 5 6 9 4 5 3 = 0 8 ; 0 4 6 ; ( ) 3 3 0 A= 0 ; B = ; 0 0 AB = 0 3 ; 3 6 0 4 7 0 3 5 3 33 - mticos esudeitos sdugos tžvilgiu Mticų sumos i sdugos svybės Sumos svybės: A+ B= B+ A (sumos komuttyvums) A + ( B+ C) = ( A+ B) + C (sumos socityvums) 3 A+ O= A (O-uliė mtic) 4 A + ( A) = O ((-A)- egtyvioji mtic sumos tžvilgiu) Sdugos svybės: ) AB BA (beduoju tveju ekomuttyvums) b) AB = BA (jei mticos komutuojčios tpusvyje) 5
T T T (AB) =B A 3 A(BC)=(AB)C ( sdugos socityvums) A(B+C)=AB+AC 4 ( sdugos distibutyvums) (A+B)C=AC+BC 5 α(ab)=( αa)b=a( αb) NAMŲ DARBAS AB BA Įodyti sdugos svybes : ( ) T T T AB = B A Kits igi pbdykite įodyti 3 Kmeio fomulės (tos eilės lygčių sistemoms) x + x = b, Tegu duot tos eilės lygčių sistem: x + x = b (LS) Apibėžims: Mticos A = detemitu vdims skičius det = = A Jei deta 0, ti (LS) -ą lygtį pdugię iš, -ą iš i iš -os lygties tėmę -ąją, gume x : x + x = b x + x = b b b x = Alogiški gume x, pdugię -ą lygtį iš, -ą iš i iš -os lygties tėmę -ąją: x + x = b x + x = b b b x = 6
b b b b x =, x, (det A 0) det A = det A b b Dx b D x b Žymėjims: D = = x =, D = = x = 4444444444444444443 D det A D det A Kmeio fomulės NAMŲ DARBAS Ką eiški, kd: ) vies spediys: det A 0 b) spediių ė: det A = 0 (bet D 0 b D 0 ) c) y be glo dug spediių: x D = D = D = 0 x x Susieti su koeficietų popocigumu (epopocigumu) x Nmų dbo dliis piškiims: Ki D 0 x + x = b x + x = b ; Dx x =, D Dx x = D 0 : - (LS) koeficieti ė popocigi Ki D = 0; D b D 0, (LS) koeficieti y popocigi, o lisvieji ii b, b šios popocijos eteki 4 Detemiti i jų svybės Detemiti pibėžimi tik dėl kvdtiių mticų Šime pgfe detemitų svybes ptsime i įodysime tos i tečios eilės kvdtiėms mticoms Bet jos, kip vėliu pstebėsim, teisigos i ukštesės eilės mticom 7
svybė: deta=det T A A A = T = det A = T det A = svybė: Sukeitus vietomis detemito eilutes (stulpelius), keičisi detemito žekls A= A% = ; ba= A% = ; ) ; ) ; det A= det A% = Išvd: deta% = det A det A= det A% = Išvd: deta% = det A 3 svybė: Jeigu detemito dvi eilutės vieodos (b du stulpelii vieodi), ti toks detemits y lygus uliui A ) ˆ ba ) ˆ = = det Aˆ = = 0 det Aˆ = = 0 4 svybė:jeigu mes pdugime bet kuią eilutę (stulpelį) iš skičius, elygus uliui, ti detemito eikšmė, lygit su pdie, tip pt dugim iš to skičius < Mticos A = Pžymėkime Ak k k = -ą eilutę pdugikime iš skičius k 0 ( ), tuomet det A( k) = kdet A > Pstb: Ki dugime visą mticą, gume (ka )=k deta, ku mticos dimesij Išvdos:Jeigu dvi eilutės (stulpelii) tui bedą koeficietą, ti jį glim iškelti pieš 8
detemito žeklą Jei dvi eilutės popocigos (stulpelii popocigi), ti det = 0 5 svybė: Tkime, kd det A = b + c b c +, ty kžkui eilutė (stulpelis) y tm tikų elemetų sum Td det A = = + b + c b + c b b c c < Išties, ( b + c) ( b + c) = ( b b) + ( c c), ty pimuose skliustuose dešiėj pusėj tuim -ą dešiės pusės detemitą, tuose -ą > Išvd : Jei bet kuią eilutę (stulpelį) pdugime iš koeficieto k 0 i pidedme pie kitos eilutės (stulpelio), ti detemito eikšmė esikeiči = + = b + k b + kc k k ketvit svybėmis > <, es k k = 0, emitis teči i Tečios eilės detemits Apibėžims: Tegu 3 3 A = 3 ; det A = 3 = A, tuomet skičius 3 3 33 3 3 33 det A= + + ( + + ) 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 vdims 3-ios eilės kvdtiės mticos A detemitu Skičivimo schem: 9
Apibėžims: Mticos A 3 = 3 3 3 33 elemeto ij miou stulpelį M ij vdime detemitą, kuį gume, išbukę i-tąją eilutę i j-tąjį Pvz: elemeto miou bus M = 3 3 33 Apibėžims:Mticos A elemeto ij djuktu vdime sdugą ( ) i + A j ij = M ij 6 svybė : Mticos detemits lygus bet kuios eilutės (stulpelio) skleidiiui, ty eilutės (stulpelio) elemetų i jų djuktų sdugų sumi A 3 = 3 3 3 33 ; D = { + A + + A + + A + A + + A + + A i i i i i3 i3 b j j j j 3 j 3 j i = 3 j = 3 Skleidiys i-tj eilute b j-ouju stulpeliu < Ptikisime 6-ąją svybę dėl i=, ty skleidiį -ąj eilute Pimkime deta išišką iš pibėžimo i joje dėmeis sugupuokime tip, kd glėtume iškelti,, 3 Tuomet ( ) + ( ) ( ) = 33 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 + + + 3 = ( ) + ( ) + ( ) = A + A + A 3 3 33 3 33 3 3 3 3 Dėl kitų i i j įodyms logišks> 7 Svybė:Bet kuios eilutės (stulpelio) elemetų djuktus, sudugię su kitos eilutes (stulpelio) elemetis i sdugs sudėję, gume sumą, lygią uliui, būtet: A + A + A k i k i k3 i3 b 0 = kaj + ka j + 3kA3j i = 3 i k, j = 3 k j < Įodyms, ki k=, i= Įveskime pglbiį detemitą D ( eilutės vieodos D=0; iš kitos pusės detemits D lygus skleidiiui tąj eilute): 3 D D A A A = = 0, = + + 3 > 3 3 3 3 33 8 Svybė: Jeigu duotos dvi mticos A i B, sudeitos sdugos AB tžvilgiu, ti sdugos 0
detemits lygus tų mticų detemitų sdugi: det( AB) = det A det B 5 Kmeio fomulės tečios eilės LS Šime pgfe, emdmiesi 6- i 7- svybėmis, išvesime Kmeio fomules 3-ios eilės tiesiių lgebiių lygčių sistemi (LS), logišks -os eilės (LS) x + x + 3x3 = b x + x + x = b x + x + x = b 3 3 3 3 33 3 3 A A A 3 A A A 3 A A A 3 3 33 (LS) Pdugikime (LS) -ą lygtį iš djukto A, -ą iš A, 3-ią iš A3 i sudėkime, sutukdmi pšius ius i iškeldmi x, x, x 3 už skliustų Remitis 6-ąj svybe, pie x skliustuose estis eiškiys lygus deta, ku A (LS) koeficietų mtic Pžymėkime ide D=detA Jį vdisime (LS) pgidiiu detemitu Detemitą D, gumą iš pgidiio, pkeitus jme i-ąjį stulpelį duomeų stulpeliu B= ( b, b, b 3 ) T, vdisime pglbiiu Pie x i x 3 eiškiii lygūs 0 ( 7- svybė ) Tokiu būdu x D= D (ž puktą ) ): i ) x A A A x A A A x A A A 3 3 3 3 33 3 ( + + 3) + ( + + 3) + 3( + + ) = = ba ba ba + + 3 3 A + A + 3A3 = D A A A + + 3 3 A A A 3 + 3 + 33 3) = 0 ; = 0 b 3 x D= b 3 b 3 3 33 ; b 3 b = D = D ; 3 x b 3 3 33 Alogiški, pdugię (LS) lygtis iš mticos A -ojo i titikmi 3-iojo stulpelio elemetų djuktų, gume ezulttus puktuose b) i c): x 3 3 3 3 33 3 ( A + A + A3) + x( A + A + A3) + x3( A + A + A ) = b) = ba + ba + ba 3 3 A + A + 3A3 = 0 b 3 b 3 A + A + 3A3 = D; x D= b 3 ; b 3 = Dx = D ; 3A + 3A + 33A3) = 0 b b 3 3 33 3 3 33 x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33 ( A A A33) + x( A A A33) + x3( A A A ) c) = ba + ba + ba + + + + + + = 3 3 3 33
A A A 3 + 3 + 3 33 A A A 3 + 3 + 3 33 = 0 = 0 3A3 + 3A3 + 33A33) = D ; b x D= b 3 b 3 3 3 ; b b = D = D x3 3 b 3 3 3 Di Iš či xi D= Di, i =,,3 Jei D 0, ti xi =, i=,,3 Ti Kmeio fomulės tečios eilės D lgebiei tiesiių lygčių sistemi Bedu tveju, ki sistemos eilė ukštesė ei tys, Kmeio fomulės igi teisigos 6 Aukštesės eilės detemiti Apibėžims: -tosios eilės detemitu vdims skičius, lygus bet kuios eilutės (stulpelio) elemetų i titikmų -sios eilės djuktų sdugų sumi, ty D = K K K K K K K K ik Aik k= = A kj kj k= i = j = skleidiys i-tj eilute; j-uotoju stulpeliu Jeigu visi mticos elemeti po pgidie įstižie y lygūs uliui, ti tos mticos detemits lygus visų pgidiės įstižiės elemetų sdugi: ã ã ã ã K ã 3 4 0 ã ã ã K ã 3 4 0 0 ã ã K ã 33 34 3 K K K K K K 0 0 0 K ã ã 0 0 0 K 0 ã Pstb: Šiuo tveju à = = ã à = ã ã à = K= ã = ã ã K ã K ii i= 33 34 3 K K K K 0 K 0 K 0 kip tuėtų būti pgl viss tisykles Kiti "djukti" igi K 3 4 0 K 33 34 3, o e K K K K K 0 0 K 0 0 K 0, Ãii - egli būti vdimi djuktis, es ti y tk djukto dlis, kui y po stulpeliu i eilute, kuime y bukimi ã ii Pvz: Detemito skičivims, išudojt 7 svybę, ty skleidžit i-tąj eilute b j-ouju stulpeliu:
3 0 0 3 0 4 0 0 3 5 3 0 0 3+ 3+ = 0() 0 3+ 4() 0 3+ 5 3 5 3 3 0 0 + + = 3+ 3 3+ 4 0() 3 0() 0 4 0 3 3 5 3 3 5 Tęsdmi skleidžime pgl tą stulpelį, es te y dugiusii ulių (i tip bus ppščiusii): 0 3 5 5 3 + + 3+ 4 0 3 = 4 0 ( ) + 0 ( ) + ( ) = 3 5 = 4() = 4(3 + ) = 8 3 NAMŲ DARBAS Pskičiuoti 5-os eilės detemitą: 3 5 9 3 4; 3 0 6 3 5 3 Pskičiuoti mticos A detemitą visis mums žiomis būdis: A = 3 3 3 7 Atvikštiė mtic Apibėžims: Mtic B vdim tvikštie mtici A, jei AB=BA=E i žymime E vieetiė mtic A Či b Jei x = b, ti x = = b; či,b sklii Alogiški įvedmi pžymėjimi i dėl mticų, ty jei Ax= C, ti x = A C i det A 0 Atvikštiė mtic egzistuoj td i tik td, ki D= det A 0 Atvikštię mticą skičiuojme sekčiu būdu: 3
A A A ( ) T D D D A3 A3 A 33 3 + A = A = A A A3 = Aij A + vdim pijugtie mtic mtici A Ti djuktų tspouot mtic Teigiio, kd AA A A E = =, įodyms: 3 A A A3 D 0 0 + AA = A A A = 0 D 0 = D D D 3 3 3 3 33 A3 A3 A 33 0 0 D A A A3 3 0 0 + = A A A = A A= 0 0 D D = E 3 0 0 3 3 A3 A3 A 33 3 3 33 Apibėžims: Ki det A = 0, mticą A vdime išsigimusi (sigulii); jei det A 0, mticą A vdime eišsigimusi (egulii) Tik egulii mtic tui su tvikštię mticą Pvz: Atvikštiės mticos skičivims: Duot mtic 3 4 A = 5 7 8 ; tikime, ji egulii: 8 3 3 4 5 7 8 = 45 0 8 3 A A A 3 = 0 = 54 = 4 A A A 3 = 5 = = 3 A A A 3 3 33 = 5 = 9 = 0 5 5 A = 54 9 45 4 3 Ptikiims, teisigi pskičiuot tvikštiė mtic A mtici A 0 5 5 3 4 45 0 0 54 9 5 7 8 = 0 45 0 = det A E 4 3 8 3 0 0 45 3 3 4 0 5 5 45 0 0 5 7 8 54 9 = 0 45 0 = det A E 8 3 4 3 0 0 45 3 4
NAMŲ DARBAS Pskičiuoti tvikštię mticą mtici A, jei A = 5 8 9 7 3 4 5 8 Tiesiių lgebiių lygčių spedims tvikštiės mticos metodu Duotą 5 lygčių sistemą (LS) glim užšyti mticiėj fomoj: (LS) x + x + 3x3 = b x + x + x = b x + x + x = b 3 3 3 3 33 3 3 ; 3x3 A x= B, ku x x x ; x 3 = B b b ; b 3 = A 3 = 3 3 3 33 Jei det A 0, td egzistuoj tvikštiė mtic toki, kd ti Ex= x= A B A Ax = A B ; kdgi A A = E, Pvz: Išspęskime tos eilės lygčių sistemą tvikštiės mticos metodu 3 x x =, 4 x + x = x x= = A ; x 3 A = 4 ; det A = ( 3) ( ) 4 = ; A A = = 4 ; A A = = 3 ; A = 4 3 ; 3 A B= = 4 3 0 Ptikiims būtis tiek pskičiuoti tvikštiei mtici, tiek i gutm tskymui: 5
) AA A A 3 0 = = = E 4 4 3 0 3 0 = = = E 4 3 4 0 b) 3 x = 4 3 3 = 4 0 Ats: 3 x = 0 Išvesime Kmeio fomules, psiudodmi tvikštiės mticos metodu Ax = B, D= det A 0 A A A D A A A 3 A = A A A3 3 3 33 ; x A A A3 b b D A+ ba+ b3a3 x x = x = A A A b = b A + b A + b A = D ; 3 3 3 x D D D x 3 A3 A3 A 33 b 3 ba3 ba3 b3a + + 33 D x3 b 3 ba + ba + ba = b = D = D; 3 3 3 x b 3 3 33 b 3 ba + ba + ba = b = D = D ; 3 3 3 x 3 3 3 b 3 3 33 b Di ba 3+ ba 3+ ba 3 33 = b = Dx3 = D3, ty xi =, i =,,3 D b Teoem: (Apie tvikštię mticą) Tegu duotos dvi eguliios mticos A i B, dima=dimb Tuomet: A i ji! egzistuoj tvikštiė mtic A mtici A i ji vieitelė; ( A ) = A - egzistuoj tvikštiė mtic tvikštiei A i ji lygi A ; 3 ( AB) = B A ; 6
4 ( α A) = A, či α 0 sklis α Įodymi: Tkime, kd mtic A tui dvi tvikšties mtics B i C, ty B = BE = B( AC) = ( BA) C = EC = C, ty B= C det( AA ) = det E = = det A det A ; det A = 0, ty A egulii mtic det A Kdgi A egulii, ti ( A ) toki, kd ( A ) A = E, bet i teoemos dlimi, gume, kd A= ( A ) AA E = Psiėmę 3 ( AB) = B A? Remitis mticų svybėmis, tuime: ( AB)( B A ) = A( BB ) A = AEA = AA = E ; B A AB B A A B B EB E ( )( ) = ( ) = =, ty mtici AB tvikštiė mtic išties y mtic B A 4 Įodyms pšus, kip i 3svybės Teoem:(pie kvdtiių mticų sąyšį su tiesiių lygčių sistemomis) Tegu Ax= B, ku dim A=, x x x, M x = B b b M b = Tuomet sektys teigiii y ekvivletūs: A tui tvikštię mticą A ; Tiesiė lygčių sistem Ax= Btui vieitelį spediį bet kokiems duomeų stulpelims B; 3 Homogeiė lygčių sistem Ax = 0 tui tik uliį spediį 4 Mtic A ekvivleti vieetiei mtici A~ E 0 0 x = ; M 0 Pstb: Jei bet vies teigiys y teisigs, ti teisigi y visi kiti teigiii 7
9 Atvikštiės mticos skičivims Guso metodu Jei mtic A elemetių petvkymų dėk gli būti suvest į vieetię mtic, ti, emitis teoem (pie kvdtiių mticų syšį su tiesiių lygčių sistemomis), egzistuoj tvikštiė mtic A mtici A Imme mticą ( A E ) i dugime iš kiės iš mticos A Tuime A ( AE) = ( AA A E) = ( E A ), ty jei A ~ E, ti, tlikdmi elemetiuosius petvkymus su mticos ( A E ) eilutėmis tip, kd iš A gutume vieetię mticą E, iš vieetiės mticos E gusime tvikštię A Pvyzdys: 3 A = 4 3 0 0 ( AE) = E 3 E ~ 33 E 4 E E ~ 4 0 4 0 ; 0 0 33 33 0 ~ E E ~ E+ E E ~ 4 0 0 0 3 3 3 3 3 NAMŲ DARBAS Pskičiuoti Guso metodu tvikštię mticą mtici A (ptikiims būtis): 3 0 A = 0 3 0 Mticos Rgs Bziio mioo teoem Apibėžims: Detemits, sudyts iš mticos A elemetų, kuie y k-eilučių i k- stulpelių skitose, vdims tos mticos k-tosios eilės miou 8
M k = K 3 k + K 3 33 3k + K K K K K k+ k+ 3 k+ k+ M k - k-tosios eilės mios, kuio elemeti y mticos A psiiktų eilučių i stulpelių skitų elemeti Akivizdu, kd žemiusi mticos k mi( m, ) A m mioo eilė k lygi, o ukščiusi = mi(m,), ty Pvz: 3 5 7 5 8 9 3 3 x 3 4 Kip pskičiuoti, kiek kokios eilės mioų y šioje mticoje? Aišku, kd -os eilės mioų y tiek, kiek y mticoj elemetų, ty 3x4= Atos eilės mioų y M C3 C4 = 8 3 Tečios eilės mioų šioje mticoje y M3 C4 = 4 Aukštesės (ei tečios) eilės mioų šioje mticoje ė, es didžiusi mioo eilė tui evišyti mi(3,4) Apibėžims: Mticos mioų, elygių 0, ukščiusi eilė vdim tos mticos gu O bet kuis vies (ki jų y kelets) iš elygių uliui ukščiusios eilės mioų vdims bziiu miou Pstb: Sutt, kd uliės mticos gs y 0 Mticos gą žymėsime (A) b g(a), b tiesiog, jei išku, koki mtic tuim omey Tokiu būdu 0 ( A) mi( m, ) Pvz: 0 3 0 3 0 4 3 0 x 5 () M = = 8 3= 5 0 3 4 () 3 M = = 6 9= 3 0 3 3 (3) 3 M = = 3 = 9 0 4 3 () Šios mticos gs y Bziiu miou glime psiikti M Susitims: Bziiu miou skelbsime kiiu i ukščiu estį mioą Apibėžims: Mticos eilutes i stulpelius, kuių skitose y bziio mioo elemeti, vdisime bziėmis eilutėmis i bziiis stulpeliis 9
Pvz: 0 3 4 5 6 7 4 3 x 3 4 šioje mticoje visi tečios eilės mioi y lygūs 0 3 M 3 = 5 6 7 = 0, es E E3 E 3 0 = + ; M = 0 = 4 5 Ki mtic y didelių išmtvimų, skičiuoti jos gą, ieškt ukščiusios eilės mioų, elygių 0, y lbi sukus i liko tžvilgiu imlus dbs Remitis detemitų svybėmis, skičiuodmi gą, glime (mums visi esvbu koketi detemito eikšmė svbu kuo geičiu sužvejoti ukščiusios eilės mioą, elygų 0): ) tspouoti mticą; ) eilutes (stulpelius) sukeisti vietomis; 3) dugiti eilutes (stulpelius) iš skičius elygus uliui; 4) sudėti (timti) bet kuis eilutes (stulpelius) Mticos gs y ivitišks (esikeči) šių veiksmų tžvilgiu Šie veiksmi leidži žymii efektyviu pskičiuoti mticos gą Pvz: 0 0 0 0 3 5 3 3 6 E+ E E 3 0 s s s s s s 4 4 E3+ E E3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 6 0 0 0 L E /3 E 0 0 0 0 0 Tokie petvkymi leistii i kivizdu, kd ukščiusi eilė mioo, elygus 0, y Apibėžims: Mtic, kuios kiekvieoje eilutėje i stulpelyje y e dugiu kip vies vieets (ty 0 b ), vdim koie mtic Egzistuoj gludus yšys tp mticos go i mticos bziių eilučių bei stulpelių Tegu duot mtic A Jos eilutes pžymėkime ide E, o stulpelius S i suumeuokime: mx E, K, Em S, K, S ; Ei = ( i ; L ; i) ; S j j j = M mj 30
Reiškiį m ce i i, ku i i= kombicij (tiesiiu diiu), o c - bet kokios elios kosttos, vdisime eilučių tiesie i= cs % - stulpelių tiesiiu diiu j j Apibėžims:Mticos eilutes (stulpelius) E, K, Em( S, K S) vdisime tiesiški epiklusomomis (epiklusomis), jei tiesiis diys m ce i i = 0 c = c = K = cm = 0 cs % j j = 0 c % = c % = = c = 0 i= K % i= Jei bet vie iš kosttų elygi 0, o diys vis tik lygus 0, ti epiklusomybės etuėsimtkime, c 0 Tuomet c c3 cm E = E E3 K Em (eilutė E y kitų eilučių tiesiė kombicij) c c c Jeigu tip y, ti eilutės (stulpelii) y tiesiški piklusomos(-i) Bziio mioo teoem : Mticos bziės eilutes (stulpelii) y tiesiški epiklusomos (-i), o bet kui ebziė eilutė (stulpelis) y tos mticos bziių eilučių (stulpelių) tiesiė kombicij Komets:Mticos gs y lygus bziio mioo eilučių (stulpelių) skičiui (ty tiesiški epiklusomų eilučių (stulpelių) skičiui) < Įodyms Įodysime ebziių eilučių tiesię piklusomybę uo bziių bziių eilučių Tkime, mticos gs y i tegul bziis mios y kiėje višutiėje mticos dlyje Jeigu tip ė, tlikdmi eilučių (stulpelių) elemetius petvkymus, susitvkome tip, kd bziis mios būtų kiėje višutiėje mticos dlyje A K K M K M M K M K K + + = + K + + + K + K K K K K K K K Piškiims (e pie įodymo): m m m+ m mx ; M 0 E Tegu A= E E 3 3x3 i E = ce+ c3e3 Jei tip y, ti E det E = 0 Ti sek iš detemitų E 3 3
svybių: E E E ce + ce 3 3 = ce + ce 3 3 Iškėlus c i c 3 pieš detemitus, gume po dvi E E E 3 3 3 vieods eilutes, ks eiški, kd E det E = 0 Alogišks įodyms y stulpelims E 3 Įsiveskime pglbiį detemitą sekčiu būdu: K k K k K K K K K K k K i i i ik Pie bziio mioo pidėjome vieą ppildomą stulpelį i vieą ppildomą eilutę Fiksuokim vieą ebzię eilutę ppildomos eilutės pozicijoj, ty + i m O ppildomo stulpelio pozicijoj pdžioje įšykime pimą stulpelį Toks pglbiis detemits lygus 0 pgl mūsų pielidą, kd mticos gs y lygus Jei būtų piešigi, ty būtų elygus 0, ti gs būtų +, ks pieštutų pielidi Kdgi detemits lygus 0, ti, skleisdmi jį pgl pskutiį stulpelį, tuime: A A A A + + + + K + + + i + + = 0 Po to į ppildomo sulpelio poziciją įšykime -ą, 3-ą i tt iki -ojo stulpelio Dėl bet kuio stulpelio S k su umeiu k gusim logišką lygybę kip i dėl -o stulpelio: A A K A A k + + k + + + k + + ik + + = 0 A + Pstebėkime, kd + y bziis mios, es A = ( + + ) M = + + M 0 ; tuomet A A A = K ; i tegu + + + ik k k k M M M A A A c =, c =, K, c = + + + M M M Pstb: Koeficieti c i, i =, pikluso uo i-tosios eilutės pimųjų elemetų i visiški epikluso uo dešiiojo (pglbiio) stulpelio, es, skičiuojt djuktus A, i+ i =, išbukimi pskutiiojo (pglbiio) stulpelio elemeti 3
Tokiu būdu gume, kd kiekvies i-osios eilutės elemets, k =, išeiškims tiesie kombicij pe ukščiu tme pčime stulpelyje stovičius elemetus su tis pčiis koeficietis c, i =, ty: i ik = c + c + c + K+ c = c + c + c + K+ c KKKKKKKKKKKKKK = c + c + c + K+ c i 3 3 i 3 3 i 3 3 Iš či gume, kd Ei = ce+ ce + c3e3 + K + ce, + i m Tigi podėme, kd bet kui ebziė eilutė y bziių eilučių tiesiė kombicij > Pstb Teoemos įodyme uodyts būds, kip pskičiuoti tiesiės kombicijos koeficietus Pdemostuosime ti pvyzdžiu Tegu tuime mticą A Pskičiuokime jos gą i psiikime bziį mioą: 3 4 4 0 7 3 3 3 A = 3 3 3 3 0 3 0 0 8 0 0 8 E E E 4 3 4 E E E 0 7 0 7 0 7 0 7 5 5 0 7 5 5 0 0 5 5 E E E 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 7 0 7 0 0 0 7 0 0 0 0 4 6 0 0 4 6 0 0 8 E ( ) E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E E 3 E Tigi mticos gs y 3, ty ( A ) = 3 33
4 Tegu M 3 = = 8= A44 3 - bziis mios Tuomet E E E 3 - bziės eilutės, o ebziė eilutė E 4 išsieiški pe bzies eilutes sekčii: E4 = ce+ ce + c3e3 A + 4 + 4 4 4 A 34 4 = ( ) 3 = 56; A = ( ) 3 = 56; 3 0 3 0 4 = = 3+ 4 ( ) 84; 3 0 A4 56 Iš či gume, kd: c = = = A 8 44 A 56 = = = 8 4 ; c A44 A 84 = = = 3 8 34 ; c3 A44 Tigi E4 = ce + ce + c3e3 = E E + 3E3 Gvome, kd E 4 eilutė tiesiški piklusom uo bziių eilučių NAMŲ DARBAS Pskičiuoti ketvito stulpelio tiesiės kombicijos koeficietus Išvdos: Gįžtt pie tiesiių lgebiių lygčių sistemų, bzies eilutes titik bziės lygtys, o bziius stulpelius bziii ežiomieji Tigi bet kui lygčių sistem y ekvivleti sistemi, sudyti iš bziių lygčių ( ebzies lygtis bukim iš lygčių sistemos ) Teoem (Koekeio Kpeli):Tiesiių lygčių sistem y sudeit td i tik td, ki lygčių sistemos (LS ) mticos gs y lygus išplestosios mticos gui NAMŲ DARBAS Remitis teoem, ištiti, duotoji lygčių sistem y sudeit: 34
x x + x3 = 5 x x + x3 = x 3x + x3 = Remitis teoem, ištiti, lygčių sistemos y sudeitos, i, jeigu tip, sti beduosius spediius: x+ x + 3x3 x4 = 0 ) x + x + x3 + x4 = 4 x + 5x + 5x 3 4x = 4 4 x+ x + 3x3 x4 = 0 x + x + x3 + x4 = 4 b) x + 5x + 5x3 4x4 = 4 x+ 8x + 7x3+ 7x4 = 6 35
II Skyius Vektoiė lgeb 36
Tiesiės edvės Apibėžims: Tegu X tm tik mtemtiių objektų (tški tiesėje, plokštumoje, edvėje, vieūšių mticų ibė (ty Mm = { Am } ),) ibė, kuioje y pibėžtos dvi opecijos: ) vidiė dviejų elemetų sudėtis: x, y X; x + y X b) išoiė sdugos iš sklio α : x X, α R αx X Šios opecijos tui tekiti ppildomus eiklvimus: ): x + y= y+ x ( sudėties komuttyvumo ) ( x + y) + z = x+ ( y+ z) ( sumos socityvumo ) 3 0 + x = x ( uliio elemeto egzistvims) 4 x+ ( x) = 0 ( piešigo elemeto sumos tžvilgiu egzistvims ) b): ( αα) x = α( αx) x = x 3 ( α + β)x = αx+ βx 4 α ( x + y) = αx+ αy Aibė X, tekiti šiuos eiklvims, vdim tiesie edve NAMŲ DARBAS Suglvoti po kelis skitigus tiesiių edvių pvyzdžius Pvz: Ntūliųjų skičių ibė ė tiesiė edvė Reliųjų skičių ibė y tiesiė edvė Apibėžims:Tiesiių edvių bet kuių elemetų cx i i i= x i tiesie kombicij vdisime eiškiį Tiesiės edvės elemetų tiesiis piklusomums i epiklusomums pibėžims tip pt, kip i mticos eilutėms bei stulpelims Pžymėkime X V = ( či V - mčių vektoių edvė) Apibėžims: Tiesiės edvės (vektoiės edvės) bze vdisime mksimlią tiesiški epiklusomų elemetų (vektoių) sistemą, jei bet kuis kits tiesiės edvės elemets (vektoiės edvės vektoius) gli būti išeikšts pe bziius elemetus (bziius vektoius) tiesiiu diiu (kombicij) Bziių elemetų sistem (ikiys) y tiesiės edvės poibis, ty 37
{ x, x,, x} X ; dim X = ; u uu uu { V, V,, V} V; dimv = dėl mčių vektoiių edvių) Bzes tiesiėje (vektoiėje) edvėje glime pibėžti įviii, tčiu elemetų (vektoių), įeičių į bzę, skičius y duoti edvei pstovus jis pibėži edvės dimesiją (išmtvimą) Pie be kuios sistemos pijugus uliį elemetą, ji tmp tiesiški piklusom, todėl 0-is elemets į bzę įeiti egli Pvz: Tegu M { A } = vieūšių mticų, kuių dim =, ibė: M = Ši mticų ibė y tiesiė edvė, o jos bziiis elemetis gli būti: 0 0 0 0 0 0 x =, x =, x3 =, x 4 = 0 0 0 0 0 0 Visi kiti šios mticų ibės elemeti ė bziii, es juos glim išeikšti pe bziius elemetus, 3 pvz elemets x = 4 ė bziis, es x = 3x+ x + 4x3+ x4 i ( 3;; 4; ) tos mticos kooditės M ibėje kip tiesiėje edvėje Vektoius išeiškims duotosios bzės vektoiis Tkime, tuime vektoię edvę V (ty dimv = ( ; ;; ) i i i i = ) i joje vektoių ikiį { i} : Šie vektoii -mčii Jei tuime tokį vektoių ikiį, ti kip ptikiti, jis c i i = 0 Iššę pkoodičiui, gume: gli būti V bze e Imkime tiesiį diį i= c + c + + c= 0 c + c + + c= 0 c+ c+ + c = 0 uuuu i = - vektoių sistem tiesiški epiklusom, jei c u i i = 0 c = c = c3 = = c = 0 (piešigu tveju vektoių sistem bus tiesiški ty gvome homogeię lygčių sistemą { i} i= i= 38
piklusom) NAMŲ DARBAS Išsiiškiti, kip, pudojus skyius fktus, podyti, kd vektoių sistem tiesiški epiklusom/piklusom (pudoti bziio mioo teoemą) Teoem:(pie vektoiės edvės V stdtię bzę) Vektoių sistem u e = (;0;0;;0) uu e = (0;;0;;0) u e3 = (0;0;;;0) uu e = (0;0;0;) y vektoiės edvės V bzė Apibėžims: Tokiu būdu pikt bzė vdim stdtie u < ) { ei } i= tiesiški epiklusom vektoių sistem? Imme tiesiį diį ce i i= 0 Iš či ( c; c;; c) = 0 c = c = = c = 0, ty sistem tiesiški i= epiklusom ) Bet kuis vektoius x V išsieiški pe šiuos vektoius? Tegu x = ( x; x;; x ) Tuomet x = xe+ xe + + xe > Teoem: (Vektoiės bzės kiteijus) u i Ji y V bzė ki detemits Tegu tuime vektoių sistemą { } i= D = 0 u Či i = ( i; i;; i), ty detemito D stulpelii ti vektoius u i kooditės, i= < Įodyms: u Būtiums: Tegu { i} i = V bzė Detemito D stulpelii vektoių u i kompoetės Pgl pielidą vektoii (stulpelii) tiesiški epiklusomi Jų y Tigi mticos ( ) (ž Bziio mioo teoemą), ty D 0 Pkkmums: Tegu D 0 ij i= j= gs lygus 39
Sudome tiesię kombiciją u ) { i} i = c u i i = 0 : i= c + c + + c= 0 c + c + + c= 0 c+ c+ + c = 0 - tiesiški epiklusomų vektoių sistemą? Kdgi D 0, ti homogeiė lygčių sistem tui vieitelį spediį c = c = c 3 = = c = 0 Ti eiški, kd stulpelii y tiesiški epiklusomi, o tuo pčiu i vektoii u i ) Bet kuis vektoius b V išsieiški pe vektoių u i tiesię kombiciją? Tkime c u i i = b u Vektoius b= ( b; b;; b ) kooditės stdtiėje bzėje { ei } ; i= i= u b= ( c; c;; c ) uu kooditės vektoių sistemoje { i} i= { i} i= c + c + + c= b c + c + + c= b c+ c+ + c = b Kdgi D 0, ti pstoji lygčių sistem tui vieitelį spediį ci = Di / D (ž Kmeio u fomules), i y V bzė > = Iš ) i ) gume, kd vektoių ikiys { i} i= NAMŲ DARBAS u = (; ;0) uu Psiemit vektoiės bzės kiteijum, ptikiti, vektoių sistem = ( ;0;) gli uu 3 = (0;;) būti vektoiės edvės V 3 bze Jei tip, ti sti vektoius b koodites ujoje bzėje, jei jo kooditės stdtiėje bzėje y b = (; 4; 0) Komets : teoemos įodymo ) dlyje y uodyt, kip skičiuoti vektoius b koodites u uu uu ; ;, pieš ti psitikius, D 0 ujoje bzėje { } 3 Tiesiis poedvis Homogeiės lygčių sistemos fudmetli spediių sistem Apibėžims: Tegu X tiesiė edvė Poibis L X vdims tiesiės edvės X tiesiiu 40
poedviu, jei poibis L teki tiesiės edvės eiklvimus, ty pts y tiesiė edvė Pstb : R N; R Q; R Z; R icioliųjų skičių ibė bet ti ė poedvii, es N,Q,Z i icioliųjų skičių ibė ė tiesiės edvės Tegu tuime ehomogeię lygčių sistemą Ax= B (LS) uu Tkime, kd kokiu ti būdu sudome šios sistemos tskią spediį ( x - tskis ehomogeies lygčių sistemos spediys) Ieškosime ehomogeiės lygčių sistemos bedąjį spediį sekčiu pvidlu: uu uu uu x = x + x b bh Td Axbh = Ax + Axbh = B i Ax = B, tigi B+ Axbh = B Gume, kd Ax bh = 0, ty jei uu žiome tskią ehomogeiės (LS) spediį X, ti bedojo ehomogeiės (LS) spediio dims susived į homogeiės (LS) spedimą Apibėžims: Tiesiės homogeiės lygčių sistemos Ax bh = 0 su ežiomųjų i = g( A) < - tiesiški epiklusomų spediių vdimi fudmetliąj spediių sistem Pstb: sąlyg < pibėžime esmiė Jei = (ty gs y lygus ežiomųjų skičiui), ti tiesiški epiklusomų spediių ė ( = 0) Td y tik vies spediys vdims tiviliu (ppsčiusiu), x = 0 Homogeiė lygčių sistem visd y sudeit, es A ( ) = AB ( ) (ž Koekeio Kpeli teoemą) Teoem: (Apie fudmetliuosius spediius) Tiesiės homogeiės lygčių sistemos Ax = 0 su ( A) < bet kuis spediys xbh u u u išeikšts fudmetliųjų spediių tiesiiu diiu x = cf + cf + + c f bh gli būti < Įodyms: Tegu = ( A), < Pgl bziio mioo teoemą tuime bziių eilučių i bziių stulpelių, b bziių i - ebziių (lisvų) ežiomųjų Sudome mticą FS (fudmetliujų spediių mticą): x x x x+ x+ x () () () α α α 0 0 () () () FS = α α α 0 0 ( ) ( ) ( ) α α α 0 0 Jos gs lygus - ( bziis mios M y dešiijme ptiime kmpe i lygus det E, 4
ty --osios eilės vieetiės mticos detemitui) Tuomet pimoji eilutė ebziė i y tiesiški piklusom uo likusių - bziių eilučių (ž Bziio mioo teoemą) Pžymėję T xbh = ( x; x ;; x ), tuime x α α α x x α α α xbh = = c + c + + c x x + 0 0 x 0 0 u u u Gume, kd x = cf + cf + + c f () () ( ) () () ( ) α α α () () ( ) + 0 0 bh Podėme, kd bet kuis tiesiės homogeiės lygčių sistemos Ax = 0 (HLS) spediys išsidėsto tiesiški pe fudmetliuosius spediius > Išvdos iš teoemos: Skėm, kd Ax= Bspediių ieškome sekčiu būdu: u u u x b = x + x bh = x h + c f + c f + + c f ( jei ) < Jei =, ti xb = x Tegu homogeiės lygčių sistemos Ax = 0 = L L V, ty poibis vektoiėje -mtėje edvėje V L teki visus tiesiės edvės eiklvimus Tigi L y vektoies edvės V tiesiis poedvis L bze glime psiikti fudmetlią spediių sistemą u { f i}, diml= Ateity L žymėsim V, tip uodydmi, kokioje vektoiėje edvėje i= tuime -mtį tiesiį poedvį L, sudytą iš (HLS) spediių visų spediių ibė { x bh}, { xbh} NAMŲ DARBAS Podyti, kd L teki visus tiesiės edvės eiklvimus Duot lygčių sistem: 4
3x x + x3 5x4 = 0, x x + x3 x4 = 0, x x 4x4 = 0, 4x 3x + 4x3 6x4 = 0 Susti lygčių sistemos fudmetliųjų spediių sistemą (ikiį) ( ) Apšyti tiesiį poedvį ( jeigu < ) V sekčii: u u u u V = x V x= c f + c f + + c f Af = { : ; 0} ( ) i 4 Vektoiės bzės tsfomcij ( e) :{ e, e,, e} stdtiė (seoji); Tegu vektoiėje edvėje V y dvi bzės: ( e ) : e, e Pimkime bet,, e ujoji kokį vektoių x V, td jo kooditės bzėje () e y x = xe + xe + + xe, o to pties vektoius kooditės bzėje ( e ) y x { } x u x e uu x e uu u = = + + + x e ei i= Tegu u e u uu uu = e + e + + e uu e u uu uu = e+ e + + e uu e u uu uu = e+ e + + e Td ( į x išišką vietoj ujosios bzės vektoių sttom jų išišks pe seąją bzę (e) ): b x u uu uu = x e+ x e+ + x e + u uu uu + x e+ x e + + x e + + + u uu uu + x e+ x e + + x e = u = x + x + + x e + uu + + + + e + ( ) ( x x x ) + + uu + x + x + + x e ( ) 43
x = x + x + + x x = x + x + + x x = x + x + + x Mtic A = su seąj bze mtic) vdim bzių sąyšio mtic (ty sąyšio ujosios bzės Mtic B = = A T vdim bzės keitimo mtic Bx = x - to pties vektoius x ujųjų i seųjų koodičių sąyšis NAMŲ DARBAS u uu u Duot stdtiė bzė { e, e} vektoiėje edvėje V Tegu uj bzė e uu, e V Rsti bzių sąyšio mticą i bzės keitimo mticą, jei ujoji koodičių sistem gut, psukus seąją koodičių sistemą kmpu α pieš likodžio odyklę 44
5 Atkpos dlijims duotuoju stykiu Duoti du tški Ax (, y, z) i Bx (, y, z ) Atkpoje AB eiki uuuu AC uuu uuu uuu uuu sti tšką Cxyz (,, ) tip, kd uuuu = λ,( λ > 0) AC = λcb, es AC i CB kolieūs CB vektoii uuu uuu uuu AC = OC OA= xi+ yj+ zk ( xi i + y j+ zk) = ( x x) i+ ( y y) j+ ( z z) k; uuu uuu uuu CB = OB OC = ( x x) i + ( y y) j + ( z z) k; uuu λcb = λ( x x) i + λ( y y) j + λ( z z) k Du vektoii uuu AC i λcb uuu lygūs, ki lygios jų titikmos kooditės, ty x+ λx x =, x x = λ( x x), + λ y+ λ y y y = λ( y y), y =, λ z z λ( z z), + = z+ λz z = + λ Pstb: Skičiuojt -mtėje edvėje (plokštumoje) z = 0 Ki z = 0 i λ =, gume ju iš mokyklos likų žioms fomules - tkpos dlijimą pusiu NAMŲ DARBAS Duoti du tški A(3; ;4) i B(6;4; ) Rsti tšką, kuime tkp AB ket xoy plokštumą 6 Dviejų vektoių skliiė sdug Tegu tuime vektoię edvę V i du vektoius, b V,,, b{ b, b,, b} ; vektoius ilgis y skičiuojms pgl sekčią fomulę:, ku { } i = i i= 45
Apibėžims :Dviejų vektoių, b V skliie sdug vdims skičius, lygus (žymims (, b) b b ) b, = b = b cosϕ ( ) Či ϕ - kmps tp vektoių ib, be to, imms mžesysis kmps (ty 0 ϕ π ) Svybės:, u, (komuttyvums); (, ),, (distibutyvums); 3,,,, či λ - sklis; 4, b = 0, jei = 0 b b = 0, o bϕ = 90 ( b) = ( b) b+ c = ( b) + ( c) ( λb) = ( λb) = λ( b) ( ) ( b) = 5, { e i }- stdtiės bzės vektoii (vieetiio ilgio i kiekvies sudo sttų kmpą su likusiis vektoiis):, i = j, = δ = 0, i j { e} V ; ( e, e ) i i= i j ij δij vdims Koekeio simboliu Skliiė sdug įgyj iti ppstą pvidlą, ki vektoiėje edvėje V psiekme stdtię bzę { e u i } Išties, tegu tuime du vektoius tuomet ( b, ) u uu uu = e + e + + e u uu uu, b= be+ be+ + be = b i i i= Pitgoo teoemos pibediims timtės edvės tvejui 46
u ( e, ) ( ei, ) α = u = = u e i cos, β = cos, γ = 3 cos, cos cos cos α + β + γ = Piškiims, ką eiški žymėjimi: figūiius skliustus šome pie vektoius koodičių,,, ; pvz: { } 3 ppstus skliustus šome pie tško koodičių, pvz : M ( ),, 3 NAMŲ DARBAS Įodyti logišką teoemą -mtėje vektoiėje edvėje Podyti, kd cos αi = i= V Tuime stdtię bzę { ei } i u = 7 Dviejų vektoių vektoiė sdug Apibėžims: Tegu b, V3 Dviejų vektoių i b vektoie sdug vdisime vektoių c, kuio modulis c= c = b siϕ (ϕ kmps tp vektoių i b ) Vektoius c sttmes vektoių i b plokštumi i ukeipts tip, kd, žiūit iš jo glo į vektoius i b, vektoių tuime psukti kmpu ϕ pieš likodžio odyklę, kd sutptų su b 47
Vektoius c žymims keliis būdis c=, b = b Svybės : b, = b, (tikomuttyvums); λb, =, λb = λ b,, či λ - sklis; ( b+ c) = b+ c 3 ( distibutyvums) ; ( + b) c= c+ b c 4 b, = b= 0, jei ib kolieūs b bet vies iš jų lygus 0 Pstb : Skliiės i vektoiės dlybos ė (eegzistuoj tvikštiė opecij dėl to, kd tiek skliiė, tiek i vektoiė sdugos y evieeikšmės) Vektoiė sdug kooditiėj fomoj Bziių vektoių i, j, k vektoiės sdugos letelė: x i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 48
Tegu kd = i+ j+ k 3 Psiemit ukščiu uodytomis svybėmis, legv podyti, b= bi+ b j+ b k 3 i j k b, = b= 3 b b b 3 Detemitą fomlii skleidžime pgl vektoių eilutę: 3 i M j M + k M3 či M = i t t b b3 Iš kitos pusės skičiuojme vektoię sdugą: i + j+ k 3, bi + bj+ bk 3 Po visų šitų veiksmų įsitikime, kd vektoię sdugą išies fomlii glime skičiuoti, skleisdmi miėtą detemitą vektoių eilute 8 Skliiės i vektoiės sdugos tikyms geometijoje i mechikoje I Skliiės sdugos dėk glime pskičiuoti kmpą tp vektoių; ptikiti, jie 49
otogolūs; sti vieo vektoius pojekciją į kitą Tegul tuime du vektoius b, V : Geometie psme b, = b cosϕ ( ) b cosϕ ti vektoius b pojekcij į vektoių Mechikoje skliiė sdug udojm, ki skičiuojms pvz dbs A: u u u u A= ( F, S) = F S cosϕ Či u u uuu F jėg, veikiti kžkokį kūą kmpu ϕ i stumiti jį iš tško A į tšką B; S = AB uu uu Duotos jėgos F { 3,, 4} if { 5,3, } NAMŲ DARBAS Apskičiuoti dbą A, kuį tliek uu uu jėgų F i F tstojmoji, pekeldm mteilų tšką iš M (3, 4, -) į M (5, -3, ) I I Vektoiės sdugos dėk glime pskičiuoti kmpą tp vektoių; ptikiti, vektoii kolieūs; sti lygigetiio i tikmpio, kuių kštiės y vektoii ib, plotus Tegul tuime du vektoius b, V3 c = b siϕ = S 50
Geometie psme c y lygus lygigetiio plotui; Q =, b tikmpio plots Mechikoje vektoiė sdug udojm pvz jėgos mometui M pskičiuoti Jegos F uuu uuu u uuuu momets tško O tžvilgiu iš tiesų y vektoius M 0 = OA F = OA, F, tigi uuu u uuu uuu M 0 = F OA si ϕ = F h, (či OA siϕ = h ukštiė b mechie psme petys) uuu Jėgos momets y vektoius, ukeipts sukimosi šies kyptimi, ty sttmei vektoių OA i F plokštumi: NAMŲ DARBAS Duot: Kiets kūs fiksuots tške A (,3,5) Tške (0,3,7) Rsti jėgos u uuu uuu F mometą tško A tžvilgiu, jo modulį i ubėžti eskizą M A B kūą veiki jėg F { } M A u, 5, 9 Mišioji tijų vektoių sdug Tkime, tuime tis vektoius bc,, V3 5
Apibėžims: Tijų vektoių bc,, V3 mišiąj sdug vdims skičius, lygus vektoiės sdugos b, i vektoius c skliiei sdugi, ty ( ) ( ) ( ),b, c = b c=,b,c = b c Mišiosios tijų vektoių sdugos geometiė psmė: Tegu bc,, V3 sudo dešiį tejetą (tipletą) Tuomet b, = u ukeipts į tą pčią pusę kip i c,b,c = uc, = u c cosϕ = S h= V ( ) ( ) (či c cosϕ = h getsieio ukštiė, V getsieio tūis) Jei,b,c,b,c = V sudo kiįjį tipletą (epeį), h y eigims i ( ) Mišiosios tijų vektoių sdugos svybės: Mišioji sdug lygi uliui, ki: ) visi vektoii y vieoje plokštumoje (ty komplūs); b) bet du vektoii y lygigetūs (ty kolieus); c) bet vies iš vektoių y lygus uliui (, b, c ) = ( b, c, ) komuttyvi); b c = b c (leisti, es skliiė sdug b ( ) ( ) 5
b ( ) ( ) 3 (, b, c ) = (, b, c) keisti vietomis; 4 ) ( bc,, ) = ( bc,, ) = ( cb,, ) b c = b c skliię i vektoię sdugs glime, ty jei vektoius keičim vietomis cikliški (pgl schemą pieš likodžio odyklę), ti mišioji sdug esikeiči (ekit tejeto oietcij) b) jei, keičit vietomis, pžeists cikliškums, keičisi mišiosios sdugos žekls: ( bc,, ) = ( bc,, ) = ( cb,, ) = ( cb,, ) Kooditiė mišiosios sdugos fom Kip skičiuojm mišioji sdug, ki žiome vektoių bc,, koodites? Tegu = i+ j+ 3k b= bi + b j+ b3k c= ci+ c j+ c3k Mes ju žiome, kd i j k bc, = b c= b b b3 c c c3 Tuomet i j k 3 uu pgl det svybes ( bc,, ) = ( b c) = ( i + j+ k 3 ) b b b3 = b b b3 c c c c c c 3 3 Pstb: Mišiosios sdugos išišk pe detemitą leidži legviu ptikiti eilę svybių, kuis tikiti kitis būdis žymii sudėtigiu (psiudojme ju žiomomis detemito svybėmis) NAMŲ DARBAS Pskičiuoti bziių vektoių mišiąją sdugą, keičit vietomis vektoius cikliški i e cikliški: i, j, k ( ) Duoti ketui tški A(,, 0), B(,, ), C(,, ), D(5, 0, 0) Ptikiti, šie tški 53
y vieoje plokštumoje III skyius Aliziės geometij 54
Tiesė plokštumoje Kyptiė tiesės lygtis Imkime tiesę t, elygigečią kooditėms šims Tiesės pdėtis bus usttyt, jei žiosime kmpą ϕ, kuį tiesė sudo su teigimąj x šies kyptimi, i tšką N(0,), kuime tiesė t ket y šį Kmpą ϕ tskitysime uo teigimosios x šies kypties pieš likodžio odyklę, todėl 0 < ϕ < π i π ϕ Kmpo ϕ tgets tgϕ = m vdims tiesės t kypties koeficietu Tiesės t lygčii išvesti imsime bet kuį jos tšką M ( xy,, ) esutmptį su N, iš jo uleisime sttmeį MP į x šį i ubėšime tkpą NC, lygigečią x šii Td Iš stčiojo tikmpio CMN, kuio kmps MNC y = PM = CM + PC = ϕ gume, kd CM = NCtgϕ = xtgϕ = mx Be to, Todėl PC = ON = y = mx+ () Tą lygtį teki kiekvieo tško, esčio tiesėje, kooditės (tip pt i tško N kooditės) Legv įsitikiti, kd tško, esčio tiesėje, kooditės egli tekiti lygties Vdisi, () i y tiesės t lygtis; ją vdisime kyptie tiesės lygtimi Jei tiesė ei pe koodičių pdžią, ti = 0 ; todėl tiesės lygtis šiuo tveju bus y = mx Bedoji tiesės lygtis Tuėdmi lygtį y= mx+, įsitikiome, kd ši lygtis pibėži tiesę, eičią pe tšką ( 0, ) i tuičią kypties koeficietą m Lygtys x = k i y = l pibėži tieses, lygigečis y i x šims titikmi Jei tuime lygtį x + by + c = 0, () 55
kuioje bu koeficieti i b ktu ė lygūs uliui, ti, pdliję šią lygtį iš b 0, gume c y = x b b Ši lygtis ekvivleti () lygčii, ty js bi teki tie ptys tški Pstoji lygtis pibėži tiesę, c es ti kyptiė tiesės lygtis y= mx+, kuioje m =, b = b, vdisi, () lygtis igi pibėži tiesę Tokiu būdu lygtis ( ) x + by + x = 0 ku 0 b b 0 y tiesės lygtis, kuią i vdisime bedąj tiesės lygtimi plokštumoje 3 Tiesės, eičios pe duotą tšką duotąj kyptimi, lygtis Imkime tiesę t, kui su teigimąj x šimi sudo kmpą ϕ i ei pe tšką Ax (, y ) Išvesime tos tiesės lygtį pileisdmi, kd tiesė t ė lygigeti y šii Tokiu tveju tiesės lygtis y y = mx + (3) Či m= tgϕ - žioms tiesės kypties koeficiets Kdgi tšks Ax (, y) y tiesėje t, ti jo kooditės tui tekiti (3) lygtį, ty y = mx + Iš (3) lygybės, piui tėmę pskutię, gume Ti i y ieškomoji lygtis y y = m( x x ) (4) z Jeigu tiesė, ei pe tšką Ax (, y ) i y lygigeti y šii, ti jos lygtis, išku, bus x = x 4 Tiesės, eičios pe du duotus tškus, lygtis Pe du skitigus tškus glim ubėžti tiesę i tikti vieą Rsime tiesės t, eičios pe tškus Ax (, y ) i B( x, y ), lygtį Iš pdžių tkime, kd x x, ty kd tiesė elygigeti y šii Kdgi tiesė t ei pe tšką 56
Ax (, y ), ti jos lygtis bus y y = m( x x ); (5) či m ežioms tos tiesės kypties koeficiets Tčiu tšks B( x, y ), igi y tiesėje t, todėl jo kooditės teki (5) lygtį : y y = m( x x ) Iš či dme m ( tuim omey, kd x x 0 ): y y m = x x Įsttę sustąją m išišką į (5) lygtį, gume y y y y = x x ( ) x x (6) Ti i y ieškomoji tiesės t lygtis Jeigu y y, (6) lygtį glime užšyti tip, kd legviu būtų pisimiti: y y x x = y y x x (7) Ki x = x, tiesė, ubėžt pe tškus Ax (, y ) i B( x, y ), lygigeti y šii, o jos lygtis, išku, bus x = x Pvyzdys: Rsime lygtį tiesės, eičios pe tškus A(, 3) i B (, 3) Remdmiesi (7) lygtimi, šome y+ 3 x+ = 3+ 3 + Iš či x y+ = 0 4 Ašiė tiesės lygtis Tkime, kd tiesė t, eiti pe koodičių pdžią ket bi koodities šis Tiesės pdėtis bus usttyt, ki žiomi tški A(,0) i B(0, b ), kuiuose ši tiesė ket koodičių šis Psiudojus (7) lygtimi, esuku pšyti miimos tiesės lygtį: 57
y 0 x = ; b 0 0 iš či i glutii y b x = + x y + = b Gutoji lygtis vdim šie tiesės lygtimi; joje podyti tkpų, kuis tiesė tket kooditiėse šyse, ilgii OA = i OB = b 6 Nomliė tiesės lygtis Tiesės t pdėtį uskysime jos tstumu p > 0 uo koodičių pdžios bei omlės vektoius otu 0 = = (cos α,si α) Bet koks vektoius, sttmes tiesei t, vdims omliiu vektoium (omle); α - kmps, kuį omlė sudo su Ox šimi Kitmąjį tiesės t tšką pžymėkime M(x,y) Tegu OM uuuu - tško M spidulys-vektoius Tuomet p = p > kdgi kmps ϕ tp vektoių i evišij π / Iš kitos pusės 0 0 (, ) p = ϕ = = es = 0 cos (, 0), 0 0 Iš či gume omlię tiesės t lygtį vektoiėj fomoj: (, 0) = p Ab pkoodičiui: α α 0 xcos + ysi p = 0, 7 Tiesės bedosios lygties suvedims į omliį pvidlą Kdgi kiekvieą plokštumos tiesę glim užšyti omlie lygtimi xcosα + ysiα p = 0, (8) ti kyl klusims, iš kokio dugiklio eiki pdugiti bedąją lygtį 58
x + by + c = 0, pščią tą pčią tiesę, kd gutume (8) Jei toks dugiklis y M, ti lygties Mx + Mby + Mc = koeficieti sutmp su titikmis (8) lygties koeficietis: M = cos α, Mb = siα, Mc = p Pimųjų dviejų lygybių bi puses pkėlę kvdtu i sudėję, gume 0 M ( + b ) = Iš či, žiodmi, kd + b 0 (bet vies iš skičių i b elygus uliui), dme tip vdimą omuojtį dugiklį M : M = ± + b Kip mtome, šioje lygybėje M žekls liko eusttyts Tčiu iš lygybės MC = p, kuioje p > 0, mtome, kd MC < 0, ki c 0, todėl M žeklą eiki imti piešigą c žeklui Ki c = 0, M žekls liek eusttyts: tiesė ei pe koodičių pdžią i p=0, es ϕ = π / 8 Tško tstums iki tiesės Imkime tiesę t, užduotą omlie lygtimi xcosα + ysiα p = 0, (9) i tšką M 0( x0, y 0), estį šli jos Pdžioje tegu šis tšks i koodičių pdžios tšks O y skitigose tiesės t pusėse Rsime tško M 0 tstumą h iki tiesės t Tegu M( x, y) - bet kuis tiesės t tšks, = M uuuuuu M, tuomet h= p = (, ) = ( x x)cos α + ( y y )siα = 0 0 0 0 x cosα + y si α ( x cosα+ y si α) = x cosα+ y si α p, = 0 0 0 0 ku p= xcosα + ysi α, es tšks M t, ty jo kooditės teki (9) lygtį Jei tšks M i O y toje pčioje tiesės t pusėje, td h < 0, es π / ϕ π ( ϕ - kmps tp vektoių i 0 ) Iš či 59
h= x cosα+ y si α p, 0 0 ty tško tstumą uo tiesės gume, į tiesės omliės lygties kiės pusės eiškiį x cosα + ysiα p įsttę to tško koodites 9 Kmps tp dviejų tiesių Tiesių lygigetums i sttmeums Imkime dvi tieses t i t, susiketčis tške C Smilų kmpą γ, kuiuo eiki sukti tiesę t pie tšką C, kd sutptų su tiese t, vdisime kmpu tp tų tiesių Šis kmps likoms teigimu, ki uodyts sukims vykst pieš likodžio odyklę; piešigu tveju kmps γ likoms eigimu Tkime, kd tiesės t i t duotos lygtimis Rsime kmpą γ y = mx + i y = mx + Bėžiyje uodytu tveju kmps ϕ, y tikmpio ABC piekmpis, todėl ϕ = ϕ+ γ Vdisi γ = ϕ ϕ, o tgγ = tg( ϕ ϕ) Glim įsitikiti, kd pskutiė lygybė tik i kitis tvejis Iš jos gume tgγ tgϕ tgϕ = + tgϕ tgϕ Nos kmpi ϕ i ϕ sąlygoje eduoti, bet iš duotųjų lygčių žiome tgϕ = m i tgϕ = m 60
Todėl glutii tgγ m m = + m m Jei tiesės t i t y lygigečios, ti ϕ= ϕ Vdisi, šiuo tveju (0) b tgϕ = tgϕ m = m Atvikščii, jei m = m, b tgϕ = tgϕ, ti, tuėdmi omey, kd ϕ i ϕ y tp 0 i π, gume ϕ= ϕ Vdisi, tiesės t i t y lygigečios Tigi įodėme, kd tiesės y lygigečios td i tik td, ki jų kypties kooficieti y lygūs Jei t i t y sttmeos, ti π π ϕ = ϕ+ b ϕ = ϕ + ; biem tvejis tgϕ = ctgϕ = ; tgϕ b m = () m Legv įsitikiti i tvikščii: ki ptekit pstoji sąlyg, ti tiesės t i t y sttmeos Vdisi, dvi tiesės y sttmeos vie kiti td i tik td, ki jų kypties koeoficieti y vies kitm tvikštiii i piešigų žeklų skičii Db tkime, kd tiesės t i t duotos bedosiomis lygtimis x + by + c = 0 i x + by + c = 0 Ki b i b elygūs uliui, tų tiesių kypties koeficieti bus tokie: m =, m = b b Šis m i m išišks įsttę į (0) fomulę, gume + b b tgγ = + b b 6
b b tgγ = b bb Duotos tiesės bus lygigečios, ki m = m, ty b = b Vdisi, tiesės, duotos bedomis lygtimis, bus lygigečios td i tik td, ki lygčių koeficieti pie kitmųjų x i y popocigi m Tiesių, duotų bedomis lygtimis, sttmeumo sąlyg gum iš (3) lygybės, imt m =, b = Td b bb 0 = Pvyzdys: Pšysime lygtį tiesės, eičios pe tšką (, ) i lygigečios tiesėi Ieškomoji lygtis bus šitoki: x 3y+ 3= 0 x 3y+ c = 0 Kdgi tšks (, ) y šioje tiesėje, ti Iš či c = 4 Vdisi, ieškomoji lygtis y 3 + c = 0 x 3y+ 4= 0 Plokštum edvėje Bedoji plokštumos lygtis Tegu = i+ bj+ ck Psiekme bet kokį tšką M 0( x0, y0, z0) i pe tą tšką išvedme plokštumą p sttmei vektoiui Psiekme kitą tšką M ( xyz,, ) plokštumoje p: uuuuuu M M = ( x x ) i+ ( y y ) j+ ( z z ) k ; 0 0 0 0 uuuuuu - vdims omliiu vektoium plokštumi p M 0M 6
uuuuuu MM, = x ( x) + by ( y) + cz ( z) = 0, ( ) 0 0 0 0 x + by + cz x0 by0 cz0 = 0 pžymime Tegu x0 by0 cz0 = d, tuomet x + by + cz + d = 0 Ti bedoji plokštumos lygtis kooditiėj fomoj uuuuuu ( MM, ) = 0 0 Pstoji lygtis vdim bedąją plokštumos lygtimi vektoiėje fomoje Nomliė plokštumos lygtis uu Tegu 0 = = i cosα + j cos β + k cos, = + b + c Vektoius uu 0 - vdims omuotu omliiu vektoium (omliiu otu) uuuu Imme ( OM, 0 ) 0 cos α,cos β,cos γ, { } -skliię sdugą, kui lygi vektoius OM uuuu pojekciji į omlę 0, uuuu ( 0 ) OM { x, y, z} uuuu OM, = p= x cosα + y cos β + z cosγ 63
Iš či gume plokštumos p omlię lygtį: xcosα + ycos β + zcosγ p = 0, ( p > 0) Lygtys x + by + cz + d = 0 i x cosα + y cos β + z cosγ p = 0 y ekvivlečios, ty tie ptys tški teki bi lygtis (šiuo tveju plokštumos p tški) Kip i tiesės tveju bedąją plokštumos lygtį suvesime į omlię lygtį, dugidmi iš omuojčio dugiklio M Tuomet M = cos α, Mb = cos β, Mc = cosγ, M b c α β γ ( + + ) = cos + cos + cos =, M = + b + c, M =± Md = p < 0 i M žeklą ekmės pgl d: ki d<0, ti psiekme M>0; ki d>0, ti M<0 3 Plokštumos, eičios pe tis duotus tškus, lygtis Tys tški pili pibėži plokštumą Tegu M ( xyz,, ) bet kuis plokštumos p tšks, o tški M, M, M 3 fiksuoti plokštumoje p Tuomet mišioji sdug 64
x x y y z z uuuuu uuuuuu uuuuuu ( MM, MM, MM) = x x y y z z = 0 3 x x y y z z 3 3 3 Ti i y ieškomoji lygtis NAMŲ DARBAS x y z Išvesti šię plokštumos p lygtį: + + = b c 4 Kmps tp plokštumų u Tegu, -omliii vektoii plokštumoms p i p Kmps tp plokštumų y lygus kmpui ϕ tp omlės vektoių Tegu p : x+ b y+ c z+ d = 0, p : x+ b y+ c z+ d = 0 65
u uu (, ) u uu cos ϕ = u uu ; tegu = (, b, c), = (, b, c) + bb + cc u uu Td cosϕ = Kd plokštumos y lygigečios? Ki plokštumų p i p omliii vektoii i uu kolieūs, ty = λ u uu b c = λ b = λb λ = = = b c c = λc d Jei i = λ, ti plokštumos sutmp d Kd plokštumos sttmeos? Ki (, ) = 0 + bb + cc = 0 NAMŲ DARBAS Duot: x + by + cz + d = 0, x + by + cz + d = 0 d Koks lygčių sistemos gs, ki = λ, = λ? d 5 Tško tstums iki plokštumos 66
Tegu plokštumos p lygtis x + by + cz + d = 0 i tegu tšks Qx ( 0, y0, z 0) y šli plokštumos p Imkime bet kuį tšką Px (, y, z ) plokštumoje p i išveskime jme omlę { bc,, } plokštumi p h lygi uuu PQ pojekciji į omlės vektoių, ty uuu uuu PQ, ( PQ, ) h= ppq = PQ cos α, uuu uuu cosα = uuu h = PQ Ab kooditiime pvidle: h uuu ( PQ, ) x ( x ) + by ( y ) + cz ( z ) x + by + cz ( x + by + cz ) 0 0 0 = = = 0 0 0, bet tšks P pikluso plokštumi p, ty x+ by+ cz = d, tigi h x + by + cz + d 0 0 0 = i Jei plokštum užduot omlie lygtimi, tuomet: b c = cosα ; = cos β ; cos = ; = M Či p = Md h= x cosα + y cos β + z cos p 0 0 0 3 Tiesė edvėje 3 Įviios tiesės lygtys Tiesę edvėje pili pibėži tšks M 0( x0, y0, z 0) i psiikt kyptis s = ( m,, l) : pe tšką M 0 lygigečii vektoiui s išveskime tiesę T Tegu M ( xyz,, ) - bet kuis tiesės T tšks Įveskime pžymėjimus: uuuuu uuuu = OM ; = OM = 0 + ts 0 0 Či t R vdims pmetu; s - tiesės kypties vektoium, s = ( m,, l) Tiesės T lygties vektoiis pmetiis pvidls: lygigetus tiesei T T: = 0 + ts, t R 67
Tiesės T kooditiė - pmetiė lygtis: T: x = x0 + tm, y = y0 + t, z = z0 + tl Eliimvę pmetą t šiose lygtyse, gume tiesės T koię lygtį : x x y y z z t = = = m l 0 0 0 Či m + + l 0 x x0 y y0 z z0 Pvz: ki = =, tiesė ei 0 0 l lygigečii O z šii pe tšką M( x0, y 0,0) : NAMŲ DARBAS Kip todys tiesė, ki l = 0, o m, 0? Nubėžti tiesės T eskizą ------- o ------- Tegu tuime koię tiesės lygtį: x x0 y y0 z z0 = =, m l Pdlyję vdiklius iš kypties vektoius s ilgio s = m + + l, gume: x x0 y y0 z z0 = = cosα cos β cos Ją vdisime tiesės omlie lygtimi ( či,, α β - kmpi tp tiesės T ( b kypties vektoius s ) i šių Ox,Oy,Oz titikmi ) 68
3 Bedoji tiesės lygtis Bedoji tiesės lygtis edvėje pibėžim kip dviejų plokštumų p i p susikitimo liij, ty λ, ( i ekolieūs) p p : : x + by + cz + d = 0, x + by + cz + d = 0 Tuomet lygčių sistemos koeficietų mticos glo dug spediių A b c = b c gs ( A ) = i sistem tui be NAMŲ DARBAS Duot lygčių sistem p p : : x + by + cz + d = 0, x + by + cz + d = 0 Jos gs = ( A) = ( A/ B) = Kip guti koię tiesės lygtį? Kip pšyti tiesės kypties vektoių s? T = p p 0 ( - pjūvis) Piškiims: tegu xy-, bziii ežiomieji, z - lisvs ežiomsis Fiksuojm bet kokią eikšmę z = z0, tuomet vieeikšmiški sudme x0, y 0 tokius, kd tšks M ( x0, y0, z0) T Kdgi ekolieus u uu, ti = s 0 y tiesės T kypties vektoius, i j k s = b c b c Liek į koię tiesės T lygtį sušyti duomeis 33 Atstums uo tško iki tiesės edvėje Tegu tšks Qx ( 0, y0, z 0) y šli tiesės T i tegu Px (, y, z ) - bet kuis tiesės T tšks Td uuu h= PQ siα, uuu PQ s siα = uuuu u, PQ s uuu h PQ s = u s 69
Tigi, oit sti tstumą uo tško Q iki tiesės T, eiki susti bet vieą tšką P, piklustį tiesei T 34 Tiesės, eičios pe du duotuosius tškus, lygtis Duoti du tiesės tški Ax (, y, z ) i B( x, y, z ) Reiki užšyti tos tiesės lygtį Šiuo tveju tiesės kypties vektoiumi imme vektoių, kuio koodites dme tip: uuu uuu uuu AB= OB OA= ( x i + y j+ z k) ( xi + y j+ zk) = ( x x ) i + ( y y ) j+ ( z z ) k Vdisi, tuime duotos tiesės kypties vektoių s = ( x x, y y, z z) Žiodmi tšką Ax (, y, z ), pe kuį ei tiesė, i tos tiesės kypties vektoių, glime užšyti jos lygti, emdmiesi koie lygtimi: x x y y z z = = x x y y z z 35 Kmps tp tiesių Sttmeumo i lygigetumo sąlygos Duotos tiesių T i T koiės lygtys: x x y y z z x x y y z z = = i = = m l m l Kmpu tp šių tiesių vdisime kmpą ϕ, kuį sudo tų tiesių kypčių vektoii s = mi + j+ lk i s = mi+ j+ lk Vdisi kmpo tp jų kosiuss : mm + + ll cosϕ = s s Či s = m + + l, s = m + + l Jei tiesės sttmeos, ti s s i ( s, s ) = 0, b mm + + ll = 0 Jei tiesės T i T lygigečios, vektoii s i s y kolieūs i jų kooditiės m l popocigos: = = m l 36 Atstums tp dviejų psilekičių tiesių Duotos dvi psilekičios ( esiket i elygigečios ) tiesės T i T 70
x x y y z z x x y y z z T : = = ; T : = = m l m l Reiki sti tumpiusią tstumą h tp šių tiesių Jeigu tiesės psileki (esiket i ė lygigečios), ty jos ė vieoje plokštumoje, tuomet vektoii uuuuuu u uu M M = ( x x, y y, z z ) s = ( m,, l ) s = ( m,, l ) ekomplūs,, u uu Vektoius = s, s y sttmes biem tiesėms Kdgi tšks M( x, y, z ) y pimoje tiesėje, o M ( x, y, z) - toje, ti vektoius MM tumpiusis tstums tp dviejų tiesių: uuuuuu pojekcij į vektoių i y mūsų ieškoms uuuuuuu uuuuuu uuuuuu ( MM, ) ( MM, s, s) h= P M M = = s, s Či išiškos skityklyje vektoių miši sdug x x y y z z m l m l 0, es vektoii ekomplūs; vdiklyje vektoiė sdug : i j k s, s = m l m l 37 Tiesės i plokštumos bedieji tški Tegul duot tiesė, kuios koiė lygtis: 7
I plokštum, kuios lygtis: x x0 y y0 z z0 = = m l Ax + By + Cz + D = 0 Reiki sti tiesės i plokštumos beduosius tškus Tm eiki spęsti ktu tiesės i plokštumos lygtis, kuių ežiomieji y x,y,z x x0 y y0 z z0 Tegul = = = t m l Td tiesės lygtį glim užšyti pmetiiu pvidlu: x = x0 + mt, y = y0 + t, z = z0 + lt ( ) Guts x,y,z eikšmes įsttome į plokštumos lygtį: ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) A x + mt + B y + t + C z + lt + D= 0, Ax + By + Cz + D + t Am + B + Cl = 0 0 0 0 ( ) Glimi tys tveji: ) Am + B + Cl 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D td t = ; Am+ B+ Cl įsttę t eikšmę į () lygtis, gusime tiesės i plokštumos susikitimo tšką; ) Am + B + Cl = 0, o Ax0 + By0 + Cz0 + D 0; ; td () lygtis etui spediių, es tiesė lygigeti plokštumi ( s ) 3) Am + B + Cl = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, td tiesė y plokštumoje, es ši tiesė lygigeti plokštumi ( s ) i ei pe tšką M 0( x0, y0, z 0), kuis y plokštumoje Vdisi, sąlygos (3) y būtios i pkkmos, kd tiesė būtų giėjmoje plokštumoje (3) 38 Kmps tp tiesės i plokštumos Kmps tp tiesės i plokštumos lygus kmpui tp tiesės i jos pojekcijos plokštumoje 7
Tegu tiesės T lygtis : x x0 y y0 z z0 = =, m l o plokštum p užduot lygtimi: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 Td vektoius s, lygigetus tiesei T, kooditės s = ( m,, l) Psiudojt skliiės sdugos svybemis, kmpą Θ tp vektoių i s glim pskičiuoti tip: cos Θ= Am + B + Cl A + B + C m + + l Kmps α tp mūsų giėjmos tiesės i plokštumos bus ppildtis Θ iki π, o td Glutii, π cosθ= cos α = si α siα =± Am + B + Cl A + B + C m + + l Či bu žeklus imme dėl to, kd tiesei glim suteikti bet kuią iš dviejų kypčių Jei tiesė y lygigeti plokštumi, ti siα = 0, i tiesės bei plokštumos lygigetumo sąlyg y: Am + B + Cl = 0 Jei tiesė sttme plokštumi, ti vektoii i s lygigetūs i jų kooditės y popocigos: A B C = = m l 73
4 Atos eilės keivės Atos eilės keivės ti keivės, kuių lygtys y tojo lipsio Bedoji tojo lipsio lygtis y Ax Bxy Cy Dx Ey F + + + + + = 0, () ku bet vies iš kooficietų A,B,C elygus 0 ( jei A= B= C = 0, lygtis pimojo lipsio ) Imt skitigs () lygties koeficietų eikšmes, gumos įviių tos eilės keivių lygtys Atos eilės keivės vdimos kūgio pjūviis, es jos gumos, plokštum kett (pjut) sukimosi kūgį Bet kui tojo lipsio lygtis Dekto koodičių sistemoje gli eikšti tik vieą iš šių keivių pskitimą, elipsę, hipebolę, pbolę 4 Apskitims Apskitims ti geometiė viet tškų, lygii utolusių uo vieo i to pties tško, vdimo pskitimo cetu Tuime pskitimą, kuio cets y tšks Cb, (, ) o spidulys lygus ( pv) Nomliė pskitimo lygtis: ( x ) + ( y b) = Jei A( b, ) - bet kuis pskitimo tšks, ti CA = b CA = () Atstums tp dviejų tškų A( xy, ) i Cb: (, ) CA x y b = ( ) + ( ) (3) Iš () i (3) fomulių gume: ( x ) ( y b) + = (4) Kiekvies pskitimo tšks A( xy, ) teki (4) lygtį Legv įsitikiti, kd tški, estys šli pskitimo, (4) lygties etekitigi (4) lygtis y pskitimo, tuičio cetą Cb (, ) i spidulį, lygtis Ji vdim omlie pskitimo lygtimi Ki pskitimo cets y koodičių pdžios tšks, gume tokią pskitimo lygtį: x + y = (4) lygtyje tskliudę skliustus i pegupvę ius, gume 74
x + y x by + + b = 0 Ši lygtis y tskis () lygties tvejis, ki A= C =, B = 0, D =, E = b, Vdisi, pskitims tiki y tos eilės keivė Db įsitikisime, kd bedoji tojo lipsio lygtis Ax Bxy Cy Dx Ey F + + + + + = 0 F = + b pibėži pskitimą, jei koeficieti pie koodičių kvdtų y lygūs i jei ė io su koodičių sdug, ty jei A = C i B = 0, ti Ax Ay Dx Ey F + + + + = 0 (5) y pskitimo lygtis Tuo tikslu visus (5) lygties ius pdlime iš A ( A 0) : D E F + + + + = 0 A A A x y x y Po to pie biejų pusių pidedme po D 4 A i 4 EA, o F A pekelime į dešię pusę: y D D E E x + + + + + = D + E F A 4A A 4A 4A 4A A Db kiėje lygties pusėje tuime pilus kvdtus: D E D E 4 AF + x+ + y+ = A A 4A (6) Glimi 3 tveji: ) tvejis Jei D + E 4AF D E AF + 4 > 0, ti ši lygtis sutmp su (4) lygtimi, imt = Vdisi, ki 4A D E AF D E =, b =, A A + 4 > 0, (5) lygtis pibėži pskitimą, kuio D E cets y tšks, A A, o spidulys lygus D + E 4AF A )tvejis Ki D E AF + 4 = 0, (6) lygtį glime šyti šitip: 75
D E x+ + y+ = 0 A A D E Ją teki tik vies tšks, Šiuo tveju (5) lygtis eiški pskitimą, kuio spidulys A A lygus uliui 3) tvejis Pgliu, ki D + E 4AF < 0, (6) lygtis visiški etui spediių, es, imdmi bet kokis x i y eikšmes, kiėje pusėje gume teigimą skičių (b 0), kuis egli būti lygus eigimm skičiui, esčim dešiėje pusėje Šiuo tveju skome, kd (5) lygtis eiški memą pskitimą Noit sti pskitimo cetą i spidulį, ki duot jo lygtis, eiki duotąją lygtį pkeisti omlie 4Elipsė Elipsė ti geometiė viet tškų, kuių kiekvieo tstumų uo dviejų pstovių tškų, vdimų elepsės židiiis, sum y pstovus dydis Židiii y žymimi idėmis F, F Atstumi iki bet kuio elipses tško žymimi (uo F ) i (uo F ) i vdimi spiduliis vektoiis Pstovi sum žymim : Atstums tp židiių F, F žymims c Jei c = 0, ti = i elipsė tmp pskitimu Visd c< Jeigu c=, tšks A gli būti tik tkpos FF tšks + = (7) Koiė elipsės lygtis: x y + =, b ku c = b Elipsės lygties fom pikluso uo to, kip pekm koodičių sistem Lygtis y ppščiusi, jeigu x ei pe tškus F, F, o koodičių cets O y tkpos FF viduio 76
tšks: F( c,0), F( c,0) Jei tško A kooditės y x,y, ti FA ( x c) y = = + +, (8) F A ( x c) y = = + (9) Įsttę (8) i (9) į (7), gume: ( ) ( ) x + c + y + x c + y = (0) Pikisime diklus Tuo tikslu (0) pdugisime iš jugtiės išiškos: 4xc x + xc + c + y x + xc c y ( x c) y ( x c) y = = + + + () ( ) Sudėjus (0) i () lygtis, liek tik vie škis: c x x c y Pkėlę bi lygybės () puses kvdtu, gume: + = ( + ) + () b c cx x x xc c y + + = + + + c c = x + y Pžymėję c = b ( Ši lygtis vdim koie elepsės lygtimi Lygybę () glime užšyti i tip: b x y b c > 0, es > c), gume + =, o pdlyję iš x y + = (3) b b, tuime c c = + x= + ε x, = x= ε x c Či ε = - elipsės eksceticitets Kdgi c<, ti elipsės tveju ε < Legv įsitikiti, kd elipsė su dideliu eksceticitetu y lbiu ištęst, egu su mžu eksceticitetu 77
Elipsės fom (3) lygties kiėje pusėje y dviejų dydžių kvdtų sum Jei tšks M ( xy, ) teki šią lygtį, ti i tški M ( xy, ), M ( x, y), M ( x, y) 3, tip pt teki lygtį Tigi koodičių pdžios tšks O y elipsės simetijos cets, o koodičių šys - simitijos šys Tiesės AA = i BB = b vdimos pgidiėmis šimis, be to, AO = OA = i BO= OB = b; či - didžioji pusšė, b - mžoji pusšė Pgidiių šių skitos su elipse tškus vdisime elepsės višūėmis Atkp FF = c vdim elipsės židiių uotoliu Jei c = 0, židiii sutmp ( = ) i elipsė vist pskitimu Iš (3) lygties mtyti, kd: x, b x, tigi x i x ; x b, b x b, tigi x b i b x b Elipsės bežims Noit tikslii ubėžti elipsę, eiki pimti ilgio siūlą, jo glus pitvititi tškuose F i F, įtempti pieštuko smigliu i leisti pieštukui judėti tip, kd siūls visą liką būtų įtempts 4 Hipebolė Hipebolė ti geometiė viet tškų, kuių kiekvieo tstumų uo dviejų pstovių tškų, vdimų hipebolės židiiis, skitums y pstovus (bsoliučiuoju didumu) Pstovūs tški židiii y žymimi idėmis F, F Atstums tp židiių žymims c, ty tkp FF = c Pstovų skitumą žymime, be to, c> Bet kuio keivės tško A( xy, ) tstumus uo židiių F i F pžymėję FA =, FA =, pgl pibėžimą gume =± 78
Kip i elipsės tveju, koodičių pdžios tšku pekme tkpos FF viduio tšką, o x šimi tiesę, eičią pe tškus F i F i ukeiptą iš F į F, y šimi tiesę, eiči pe O i sttmeą x šii Hipebolės koiė x y lygtis: = b Tokioje koodičių sistemoje (4) lygybė y ( + ) + ( ) + =± x c y x c y Pikię diklus, gusime Kdgi c >, ti glime pžymėti x y c = c = b, i užšyti hipebolės koię lygtį: x y = (5) b Hipebolės fom Kip i elipsės tveju, koodičių pdžios tšks O y hipebolės simetijos cets, o koodičių šys hipebolės simetijos šys Abscisių šis x ket hipebolę dviejuose tškuose, kuie vdimi hipebolės višūėmis Odičių šies hipebolė eket, todėl ši šis vdim memąj šimi Stykis c vdims eksceticitetu Kdgi c>, ti hipebolės tvėju ε > Koodičių šys y hipebolės simetijos šys, td užtek sti jos pvidlą vieme koodičių ketvityje, pvz, pimjme (5) lygtį užšysime tip: b y = x (6) Ki x =, ti y = 0 Ti y miimli y eikšmė Didėjt x, eiboti didėj y i td (6) lygybę glim supstiti: b y x (7) Ti tiesės, vdimos hipebolės simptote, lygtis Didėjt x, hipebolės (6) i jos simptotės (7) tškų skitums tėj pie ulio: 79
( x x ) lim = lim = = 0 x x x+ x + Hipebolės bėžims Hipebolę (5) bižome tip: pžymime višūių tškus (0, ) i (0, ), ubėžime simptotes, ty tieses, eičis pe koodičių pdžios tšką (0,0) i tškus ( b,, ) (, b), bėžime keives, eičis pe titikms višūes i, didėjt x kooditei, tėjčis pie simptočių 44Pbolė Pbolė - ti geometiė viet tškų, kuių tstumi uo pstovus tško, vdimo pbolės židiiu, i pstovios tiesės y lygūs Pstovus tšks židiys y žymims F Pstovi tiesė vdim pbolės diektise Pbolės tško tstums žymims i vdims spiduliu- vektoiumi, o tstums uo diektisės d Stykis = ε vdims d eksceticitetu Pbolės koiė lygtis: y = px Pbolės židiio tstumą uo diektisės žymime p, vdime pbolės pmetu i likome teigimu Piksime koodičių sistemą Tegul koodičių pdžios tšks y iš židiio F į diektisę uleisto sttmes viduio tšks O, x šis tiesė, eiti pe tškus O i F i ukeipt iš O p p į F, y šis sttme x šii Židiio kooditės F (,0), diektisės lygtis x = Td bet kuio pbolės tško spidulio vektoius ilgį glim užšyti p x y x p = + = + p es pgl pbolės pibėžimą = d, o d = x+ Pikię diklus, gusime koię pbolės lygtį: y = px (8) 80
Pbolės fom Abscisių šis x y pbolės simetijos šis, es keivės lygtį teki simetiškų jos tžvilgiu tškų Ax (, y ) i A( x, y) kooditės Ji vdim pgidie pbolės šimi Pbolės višūė, ty tšks, kuime ji ket pgidię šį, y koodičių pdžios tšks O (0,0) Simetijos ceto pbolė etui Ki x didėj, eiboti didėj i kooditė y, todėl pbolės škos tolst į beglybę Pbolės bėžims Bet kuis pbolės tšks gli būti dms, ki žioms pbolės židiys i diektisė Sujugę tiese bet kuį diektisės tšką A su židiiu F, iš jo bėžime sttmeį diektisei Bėžime kitą sttmeį tiesės tkpi AF iš jos viduio tško C iki susikitimo tške B su pimuoju sttmeiu (5pv) Kdgi Δ ABC =Δ CFB (sttūs tikmpii tui po du lygius sttmeis), ti AB = d, FB = i = d Vdisi, tšks B y pbolės tšks 5 Atos eilės pvišii Plokštum pibėžim pimojo lipsio lygtimi Todėl plokštum ktis vdim pimos eilės pvišiumi Atos eilės pvišii ti pvišii, kuie pibėžimi ojo lipsio lygtimi Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L + + + + + + + + + = 0, (9) ku bet vies iš kooficietų A,B,C elygus 0 Atos eilės pvišii: sfe, elepsoids, hepeboloids, pboloids 5Sfe Sfe (utulio pvišius) ti pvišius, kuio kiekvies tšks vieodu tstumu utolęs uo vieo i to pties tško, vdimo sfeos cetu Tuime sfeą, kuios cets y tškscx ( 0, y0, z 0), o spidulys lygus R (6 pv): 8
Sfeos lygtis: ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R 0 0 0 Jei A( xyz,, ) - bet kuis sfeos tšks, ti CA = R b CA = R (0) Atstums tp dviejų tškų A( xyz,, ) i Cx ( 0, y0, z 0) : CA = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) () 0 0 0 Iš (0) i () fomulių gume: ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R () 0 0 0 Kiekvies sfeos tšks A( xyz,, ) teki () lygtį, tigi () lygtis y sfeos, tuičios cetą Cx ( 0, y0, z 0) i spidulį R, lygtis Legv įsitikiti, kd () lygtis y (9) lygties tskis tvejis () lygtyje tskliudę skliustus i pegupvę ius, gume x + y + z x x y y z z+ x + y + z R = 0 0 0 0 0 0 0 Ši lygtis gum iš (9) lygties, ki A= B= C =, D= E = F = 0, G = x0, H = y0, K = z, L = x + y + z R Vdisi, sfe tiki y tos eilės pvišius 0 0 0 0 Glim įodyti i tvikštiį teigiį: jei (9) lygtyje A= B= C 0, D= E = F = 0, ti ši lygtis y kokios os sfeos lygtis 5 Elipsoids Elipsoids ti pvišius, guts sukt elipsę pie vieą iš pgidiių jos šių Koiė elipsės lygtis plokštumoje y 8
x y + =, (3) b ku c = b Est tokim lygties pvidlui, elipsės (3) šis b sutmp su koodičių y šimi, o c su z šimi Sukimosi pvišius, guto sukt šią elipsę pie Oz šį (7 pv), lygtį glim užšyti tip: x + y z + = b b c x y z + + = (4) b b c Sukt pie Oy šį, lygtis tmp toki: y x + z + = b b c x y z + + = (5) c b c b Kiekvieo (4) lygties tško koodites (x,y,z) pkeitus (X,Y,Z), ki x = X, y = Y, z = Z, (4) lygtį glim užšyti X Y Z + + = (6) b c Geometiški toki defomcij eikštų besisukčio tško ppildomą judėjimą lygigečii su Ox šimi Jeigu > b, vykst tempimo defomcij, jeigu b> - giuždimo( suspudimo) defomcij Pvišius, pšyts (6) lygtimi, vdims tišiu elipsoidu 53 Hipeboloids Hipebolės, ubėžtos yoz plokštumoje, lygtis: 83
x b y = (7) c Sukt ši keivę pie Oz šį, gums pvišius, vdims vieškiu sukimosi hipeboloidu Jo fomulė: x + y z x y z = b + = b c b b c (8) b Atlikus defomciją, logišką elipsoido tvejui, ty pkeitus x = X, y = Y, z = Z, iš (8) lygties gume (8) vieškio hipeboloido (8 pv) lygtį: X Y Z + + = (9) b c Kett šį pvišių plokštumomis, lygigečiomis xoy plokštumi, gum elipsė (vieškio sukimosi hipeboloido tveju - pskitims) Sukt hipebolę pie eliąją šį Ox, gums sukimosi pvišius, vdims dviškiu hipeboloidu (9 pv) 84
Jo lygtis gum iš (7), pkeitus z y + z c c Td dviškio hipeboloido lygtis: x y z = (30) c c 54 Pbolids Sukimosi pbolids ti pvišius, gums sukt pbolę šį (0 pv) y = pz, x = 0 pie Oz Sukimosi pboloido lygtis: x y pz + = (3) z Defomvę sukimosi pboloidą, ty jo tškus (x,y,z) pkeitę (X,Y,Z), či x = Z (p i q y vieodo žeklo dydžii), gusime pvišių = X, p y = Y, q x p y + = z, (3) q vdimą elipsiiu pboloidu: 85
Kett šį pvišių plokštumomis Y = h X = h, gumos pbolės Kett elipsiį pboloidą plokštum Z = h, pjūvio plokštumoje gum elipsė Kett sukimosi pboloidą plokštum, lygigeči su xoy plokštum ( z = h), gums pskitims Elipsiio pboloido (3) lygtyje pkeitus žeklą, gum lygtis pvišius, vdimo hipeboliiu pboloidu: x p y = z, či p i q vieodo žeklo ( p > 0, q > 0) q Kett hipeboliį pboloidą plokštum, lygigeči xoy plokštumi ( z = h), gume hipebolę 86