Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas.

Turinys Diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodai. Įvadas. Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 2017-05-29 Egzamino klausimai: 1) Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis. Pagrindiniai apibrėžimai ir savokos. 2). 3) Antros eiles tiesinių lygčių klasifikacija. 4) Antros eiles tiesinių lygčių kanoniniai pavidalai. 5) Pradinės ir kraštinės salygos. Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2005 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 1 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 2 / 36 Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis (arba matematinės fizikos lygtys) apibūdina saryšį tarp nežinomos funkcijos ir jos dalinių išvestinių. DL dalinėmis išvestinėmis dažnai taikomos fizikoje ir technikoje. Pastaraisiais metais labai padidėjo DL dalinėmis išvestinėmis taikymas biologijoje, chemijoje, kompiuterių moksluose (ypač vaizdo apdorojime ir grafikoje) ir ekonomikoje. Visose šiose srityse yra saveika tarp kelių nepriklausomų kintamųjų, bandoma apibrėžti šių kintamųjų funkcijas ir modeliuoti įvairius procesus užrašant atitinkamas šių funkcijų diferencialines lygtis. Jei nežinomos funkcijos (-jų) reikšmė tam tikru momentu priklauso tik nuo to, kas vyksta lokaliai, taško aplinkoje, gaunama diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis. Analiziniai sprendimo metodai taikomi tik kanoninėms diferencialinėms lygtims (DL) dalinėmis išvestinėmis nesudėtingoje srityje. Lygtys su kintamais koeficientais, lygtys sudėtingose srityse ir netiesinės lygtys bendru atveju negali būti išspręstos analiziškai. Net ir tais atvejais, kai galima rasti analizinį sprendinį, jis dažnai užrašomas begaline eilute. Iš principo ja galima apskaičiuoti, bet praktiškai dažnai konvergavimas yra lėtas. Skaitiniai metodai pagrįsti tolydžiojo kintamojo pakeitimu į diskretųjį. Diferencialinis uždavinys pakeičiamas diskrečiuoju su baigtinių nežinomųjų skaičiumi. Tokiu būdu randamas tik tikslaus sprendinio artinys. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 3 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 4 / 36 1 Daugeliui netiesinių lygčių dalinėmis išvestinėmis būdingi nestabilumai; mažos paklaidos, atsirandančios aproksimuojant lygties koeficientus, pradines arba kraštines salygas, gali sukelti didelius skaitinio sprendinio nukrypimus nuo tikslaus sprendinio. Tokius reiškinius tiria chaoso teorija. 2 Uždavinio diskretizavimas gali būti netrivialus. Skirtingų tipų DL skaitiniai sprendimo metodai skiriasi. 3 Sparčiai tobulėjant skaičiavimo technikai nuolat kuriami vis nauji skaitiniai metodai, leidžiantys išnaudoti naujas galimybes tiriant vis sudėtingesnius modelius. Bendrasis diferencialinės lygties dalinėmis išvestinėmis pavidalas funkcijai u(x 1, x 2,..., x n ) yra čia F(x 1, x 2,..., x n, u, u x1, u x2,..., u xi,... ) = 0, (1) x 1, x 2,..., x n yra nepriklausomieji kintamieji, u nežinoma funkcija, u xi žymi dalinę išvestinę u/ x i. Bendruoju atveju, sprendžiant lygtį, reikalaujama papildomų salygų, pavyzdžiui, pradinių salygų (kaip dažnai daroma paprastųjų diferencialinių lygčių teorijoje) arba kraštinių salygų. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 5 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 6 / 36 Pagrindinis teorinis klausimas yra nustatyti, kada uždavinys, kurį sudaro lygtis ir papildomos salygos, yra teisingai suformuluotas. Prancūzų matematikas Jacques Hadamard (1865-1963) įvedė korektiškumo savoka. Pagal jo apibrėžima, uždavinys yra vadinamas korektišku, jeigu jis tenkina visas tris salygas: 1 Egzistavimas. Egzistuoja uždavinio sprendinys. 2 Vienatis. Yra ne daugiau kaip vienas sprendinys. 3 Stabilumas. Maži pokyčiai lygtyje arba papildomuose salygose duoda mažus sprendinio pokyčius. Jei nors viena iš šių salygų neišpildyta, sakoma, kad uždavinys yra nekorektiškas. Daugelis klasikinių matematinės fizikos uždavinių yra korektiški. Lygties eilė. pagal lygties eilę. Lygties eilė apibrėžiama kaip aukščiausios išvestinės eilė. Jei aukščiausios išvestinės eilė yra k, tai diferencialinės lygties eilė yra k. u t = u x transporto lygtis (pirmosios eilės), u t = ku xx šilumos laidumo lygtis (antrosios eilės), u tt = c 2 u xx banginė lygtis (antrosios eilės), u tt + u xx = 0 Laplaso lygtis (antrosios eilės), u tt + u xx = f (t, x) Puasono lygtis (antrosios eilės), u t + u xxx + uu x = 0 Kortevego de Vryso lygtis (trečiosios eilės), u 2 := u 2 x + u 2 y = c 2 eikonalo lygtis (pirmosios eilės). Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 7 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 8 / 36

Tiesinės/netiesinės lygtys. Kita klasifikacija į dvi grupes: tiesinė, arba netiesinė lygtis. Lygtis yra vadinama tiesine, jei diferencialinėje lygtyje F(x 1, x 2,..., x n, u, u x1, u x2,..., u xi,... ) = 0, F yra tiesinė funkcija ir nežinomos funkcijos u, ir jos išvestinių atžvilgiu. y 2 u x + e xy u y + cos(x 2 + y 2 )u = x 5 yra tiesinė lygtis, u 2 x + u 2 y = 1 yra netiesinė lygtis. Netiesinės lygtys dažnai dar skirstomos pagal netiesiškumo tipa. Jei netiesiškumas lygtyje yra tik pagal nežinoma funkcija, tokios lygtys dažnai vadinamos pusiau tiesinėmis (semilinear). Jei netiesinė lygtis yra tiesinė funkcija auksčiausios eilės išvestinių atžvilgiu. Tokios lygtys vadinamos kvazitiesinėmis. Pavyzdžiui, šios dvi lygtys yra netiesinės: u xx + u yy = u 3 pusiau tiesinė, u xx + u yy = u 2 u kvazitiesinė. Čia u žymi funkcijos u gradiento norma. Skaliarinė lygtis ir lygčių sistema. DL su viena nežinoma funkcija vadinama skaliarine lygtimi. m lygtys su l nežinomomis funkcijomis vadinamos m lygčių sistema. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 9 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 10 / 36 Tegu C k (D) žymi visų k kartus tolydžiai diferencijuojamų srityje D funkcijų aibę. Pažymėkime C 0 (D) (arba C(D)) tolydžiųjų funkcijų iš D aibe. k-osios eilės diferencialinės lygties sprendinys yra k kartų diferencijuojama funkcija. Aibės C k funkcija, tenkinančia k-osios eilės diferencialinę lygtį, vadinsime klasikiniu (arba stipriu) diferencialinės lygties sprendiniu. kartais taip pat nagrinėsime neklasikinius sprendinius. Tokie sprendiniai vadinami silpnais sprendiniais. Atkreipkite dėmesį, kad bendru atveju sprendžiami uždaviniai, sudaryti iš diferencialinės lygties ir papildomų salygų. Siekiant, kad stiprus DL sprendinys būti stiprus viso uždavinio sprendinių, tam tikri reikalavimai keliami ir papildomoms salygoms. Diferencialiniai operatoriai Atvaizdis iš vienos funkcijų erdvės į kita funkcijų erdvę vadinamas operatoriumi. Operatoriaus L veiksma į funkcija u žymėsime L[u]. Nagrinėsime operatorius, apibrėžtus (funkcijų) dalinėmis išvestinėmis. Tokie operatoriai, kurie faktiškai yra skirtingų C k klasių atvaizdai, vadinami diferencialiniais operatoriais. Operatorius, kuris tenkina saryšį L[a 1 u 1 + a 2 u 2 ] = a 1 L[u 1 ] + a 2 L[u 2 ], čia a 1, a 2 yra konstantos, u 1, u 2 funkcijos, vadinamas tiesiniu operatoriumi. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 11 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 12 / 36 Superpozicijos principas Tiesinė diferencialinė lygtis apibrėžia tiesinį operatorių: lygtis gali būti užrašyta kaip L[u] = f, čia L tiesinis operatorius, o f funkcija. Tiesinė diferencialinė lygtis L[u] = 0 vadinama homogenine lygtimi. Pavyzdys. Operatorius L = 2 x 2 2 y 2. L[u] = u xx u yy = 0 homogeninė lygtis, L[u] = u xx u yy = x 2 nehomogeninė lygtis. Tiesiniai operatoriai atlieka svarbų vaidmenį matematikoje, ypač matematinės fizikos lygčių teorijoje. Svarbi jų savybė yra Superpozicijos principas: jei bet kuriems i, 1 i n funkcija u i tenkina tiesinę diferencialinę lygtį L[u i ] = f i, tai tiesinė kombinacija v := n i=1 α iu i tenkina diferencialinį lygtį L[v] = n i=1 α if i. Atskiru atveju, jei kiekviena funkcija u 1, u 2,..., u n tenkina homogeninę lygtį L[u] = 0, tai bet kuri šių funkcijų tiesinė kombinacija irgi tenkina šia lygtį. Superpozicijos principas leidžia sudaryti sprendinį iš atskirų sprendinių. Taip pat superpozicijos principas reikalingas tiesinės diferencialinės lygties sprendinio vienaties įrodyme. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 13 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 14 / 36 1 pavyzdys. Išspręskite lygtį u xx = 0. Nagrinėkime lygtį kaip paprastaj a diferencialinę lygtį kintamojo x atžvilgiu, o į y žiūrėsime kaip į parametra. Bendrasis sprendinys yra u(x, y) = A(y)x + B(y). Atkreipkite dėmesį, kad sprendinių yra labai daug, nes A(y) ir B(y) yra bet kokios funkcijos. 2 pavyzdys. Išspręskite lygtį u xy + u x = 0. Galima suvesti uždavinį į paprastaj a diferencialinę lygtį įvedant v = u x. Nauja funkcija v(x, y) tenkina lygtį v y + v = 0. Traktuodami x kaip parametra, gauname v(x, y) = C(x)e y. Integruojant v gauname sprendinį: u(x, y) = D(x)e y + E(y). Dažniausiai naudojamas metodas yra atlikti tokį kintamųjų pakeitima, kad lygtis taptų paprastesne. Yra naudingas superpozicijos principas, kuris leidžia išskaidyti sudėtinga uždavinį į paprastesnius. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 15 / 36 3 pavyzdys. Raskime banginės lygties u tt 4u xx = sin t + x 2000 atskirajį sprendinį. Panaudosime banginės lygties tiesiškuma. Pagal superpozicijos principa, galima išskaidyti u = v + w, taip, kad v ir w yra šių uždavinių sprendiniai v tt 4v xx = sin t, (2) w tt 4w xx = x 2000. (3) Kiekvienos iš šių lygčių sprendinys gali būti lengvai rastas: 1 v(x, t) = sin t, w(x, t) = 4 2001 2002 x2002. Tada 1 u(x, t) = sin t 4 2001 2002 x2002. Yra daug kitų sprendinių. Pavyzdžiui, lengva patikrinti, kad jei pridėsime prie sprendinio funkcija f (x 2t), čia f (s) yra bet kokia du kartus diferencijuojama funkcija, gauname nauja sprendinį. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 16 / 36

Antros eilės tiesinių lygčių su dviem nepriklausomais kintamaisias klasifikacija 0470858826c02 JWBK073-Duffy February 1, 2006 13:46 Char Count= 0 hiperbolinės (pvz., banginė lygtis), parabolinės (pvz., šilumos laidumo lygtis), elipsinės lygtys (pvz., Laplaso lygtis). 14 Finite Difference Methods in Financial Engineering Convection diffusion Black Scholes PDE Parabolic Elliptic Hyperbolic Diffusion Heat equation Poisson Laplace 1st order Shocks Hamilton Jacobi Friedrichs systems 2nd order Wave equation To Figure pačio 2.1 PDE tipoclassification lygčių sprendiniai turi daug bendrų kokybinių savybių. Atliekant kintamųjų pakeitima, lygtis gali būti pertvarkyta į kanoninį pavidal where wea, have susijusį used the (common) su joshorthand tipu. notation Olga Štikonienė (MMT MIF VU) ux = u x, u DL, y = modeliai u 2017-05-29 17 / 36 y uxx = 2 u x 2, u yy = 2 u y 2 uxy = 2 u x y andthecoefficients A, B,C, D, E, F and G arefunctionsof x and y ingeneral. Equation (2.3) is linear because these functions do not have a dependency on the unknown function u = u(x, y). We assume that equation (2.3) is specified in some region of (x, y) space. Note the presence of the cross (mixed) derivatives in (2.3). We shall encounter these terms again in later hiperbolinė taške (x, y), jei chapters. Equation (2.3) subsumes well-known equations in mathematical physics as special cases. For example, the Laplace equation (2.1) is a special case, having the following values: Sakoma, kad lygtis (4) yra δ(l)(x, y) = b(x, y) 2 a(x, y)c(x, y) > 0, A = C = 1 B = D = E = F = G = 0 parabolinė taške (x, y), jei δ(l)(x, y) = 0, elipsinė taške (x, y), jei δ(l)(x, y) < 0. A detailed discussion of (2.3), and the conditions that determine whether it is elliptic, hyperbolic or parabolic, is given in Carrier and Pearson (1976). We give the main results in this section. The discussion in Carrier and Pearson (1976) examines the quadratic equation: Tegul Ω R 2 yra sritis. Lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elipsinė) srityje, jei ji yraaξ hiperbolinė x 2 + 2Bξxξy + Cξ (atitinkamai, y 2 = 0 parabolinė, elipsinė) (2.6) visuose taškuose (x, y) Ω. where ξ(x, y) is some family of curves in (x, y) space (see Figure 2.2). In particular, we wish to find the solutions of the quadratic form by defining the variables: Transformacija (ξ, η) = ( ξ(x, y), η(x, y) ) yra vadinama koordinačių keitimu (arba neišsigimusia transformacija), θ = ξx jei jos jakobianas J := ξ x η(2.7) y ξ y η x nelygus ξy nuliui bet kuriame taške (x, y). Lema. Tiesinės antros eilės DL dalinėmis išvestinėmis dviejų kintamųjų lygties tipas yra invariantas keičiant koordinates. Kitaip tariant, lygties tipas nepriklauso nuo koordinačių sistemos. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 19 / 36 (2.4) (2.5) Nagrinėjama lygtis turi forma L[u] = au xx + 2bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = g, (4) čia a, b,..., f, g duotos funkcijos nuo x, y, ir u(x, y) yra nežinoma funkcija. Patogumo dėlei užrašome daugiklį 2 prieš koeficienta b. Tarkime, kad koeficientai a, b, c vienu metu negali būti lygūs nuliui. Operatorius L 0 [u] = au xx + 2bu xy + cu yy yra vadinamas operatoriaus L pagrindine dalimi. Daugelis (4) lygties sprendinių pagrindinių savybių nustatomos pagal pagrindinę dalį, tiksliau, pagal diskriminanto δ(l) := b 2 ac ženkla, pagal kurį ir klasifikuosime lygtis. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 18 / 36 Pagrindinės matematinės fizikos lygtys šilumos laidumo lygtis (parabolinė) banginė lygtis (hiperbolinė) Laplaso lygtis (elipsinė) u tt = a 2 u xx + g, yra antros eilės tiesinės lygtys. Čia u t = k u, u = 0. u := u xx + u yy a = const. Bendru atveju, jei (4) lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elipsinė) srityje D, tada galima rasti tokia koordinačių sistema, kurioje lygtis turi kanoninį pavidala. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 20 / 36 Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas l[w] = w ξη + l 1 [w] = G(ξ, η), čia l 1 yra pirmos eilės tiesinis diferencialinis operatoriaus, G yra funkcija. Pastaba. Hiperbolinės lygties kanoninio pavidalo pagrindinė dalis nesutampa su banginiu operatoriumi. Galima parodyti, kad tiesinis koordinačių keitimas perveda banginę lygtį u tt a 2 u xx = 0 į w ξη = 0. Parabolinės lygties kanoninis pavidalas l[w] = w ξξ + l 1 [w] = G(ξ, η), Elipsinės lygties kanoninis pavidalas l[w] = w ξξ + w ηη + l 1 [w] = G(ξ, η), Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 21 / 36 Daugelis modelių susiję su operatoriumi u = 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 (erdvėje R 3 ), u = 2 u x 2 + 2 u y 2 (erdvėje R 2 ). Šis operatorius vadinamas laplasianu. Elipsinės lygtys: u = 0 Laplaso lygtis (aprašo magnetinius ir stacionariuosius šilumos laukus); u = f (x, y) Puasono lygtis (taikoma elektrostatikoje, tamprumo teorijoje); Laplaso lygtis yra viena iš svarbiausių DL dalinėmis išvestinėmis Ši lygtis yra Puasono lygties atskiras atvejis. Laplaso lygties sprendiniai vadinami harmoninėmis funkcijomis. Laplaso lygtis turi labai daug taikymų, pavyzdžiui, šilumos laidumo uždavinyje temperatūros laukas yra harmoninis, kai pasiekta pusiausvyra. Lygtis yra labai svarbi mechanikoje, elektromagnetizme, tikimybių teorijoje, kvantinėje mechanikoje, gravitacijos teorijoje, biologijoje ir kt. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 22 / 36 Hiperbolinės lygtys: u tt = a 2 u xx + f (x, t) vienmatė banginė lygtis (aprašo stygos svyravimus); u tt = a 2 (u xx + u yy ) + f (x, y, t) dvimatė banginė lygtis (aprašo membranos svyravimus); Parabolinės lygtys: u t = a 2 u + f šilumos laidumo lygtis (aprašo nestacionariuosius šilumos laukus). Daugelis mechanikos (stygos svyravimai, plonos membranos svyravimai, garsas) ir fizikos reiškinių (elektromagnetiniai virpesiai) aprašomi banginę lygtimi (virpesių, svyravimų lygtimi). Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 23 / 36 The mathematical equation that caused the banks to crash The Black-Scholes equation was the mathematical justification for the trading that plunged the world s banks into catastrophe tiny www.theguardian.com/science/2012/feb/12/ black-scholes-equation-credit-crunch Finite Difference Methods in Financial Engineering: A Partial Differential Equation Approach Daniel J. Duffy Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 24 / 36

Bendru atveju diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis turi be galo daug sprendinių. Siekiant gauti vienintelį diferencialinės lygties sprendinį reikia pridėti papildomas salygas. Pradinės salygos užduodamos pradiniu laiko momentu. nustato sprendinio (arba jo išvestinės) būsena ant srities krašto. 174 Elliptic equations Kitas papildomų salygų tipasthedl Laplace dalinėmis equation is a special išvestinėmis, case of a more general turintis equation: daug taikymų, yra kraštinės salygos. Tai yra salygos, u = F(x, nustatančios y), (7.3) sprendinio (arba jo išvestinės) where Fbūsen is a given function. a ant Equation srities (7.3) was krašto. used by the French mathematician Simeon Poisson (1781 1840) in his studies of diverse problems in mechanics, Kaip pavyzdį, nagrinėkime Laplaso lygtį gravitation, electricity, and magnetism. Therefore it is called Poisson s equation. In order to obtain a heuristic understanding of the results to be derived below, it is useful to provide Poisson s equation with a simple physical interpretation. For this u = 0, (x, y, z) Ω. purpose we recall from the discussion in Chapter 1 that the solution of Poisson s equation represents the distribution of temperature u in a domain D at equilibrium. The nonhomogeneous term F describes (up to a change of sign) the rate of heat production in D. For the benefit of readers who are familiar with the theory of electromagnetism, we point out that u could also be interpreted as the electric potential in the presence of a charge density F. In order to obtain a unique temperature distribution, we must provide conditions for the temperature (or temperature flux) at the boundary D. There are several basic boundary conditions (see the discussion in Chapter 1). Tarkime, kad Ω yra aprėžta. Siekiant gauti vienintelį sprendinį, reikia apibrėžti sprendinio u elgesį ant krašto Ω. Definition 7.1 The problem defined by Poisson s equation and the Dirichlet boundary condition u(x, y) = g(x, y) (x, y) D, (7.4) Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 25 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) for a givendl, function modeliai g, is called the Dirichlet problem. In Figure 2017-05-29 7.1 we depict the 26 / 36 problem schematically. Definition 7.2 The problem defined by Poisson s equation and the Neumann boundary condition Elipsinėms lygtyms užduodamos tik kraštinės salygos. Trys jų pagrindiniai tipai: Pirmojo tipo kraštinė salyga, kai užduodamos funkcijos reikšmės krašte Ω, t.y. u(x, y, z) = f (x, y, z), (x, y, z) Ω, vadinama Dirichle salyga; Taip pat ant krašto gali būti užduota funkcijos išvestinė pagal normalę n u(x, y, z) = f (x, y, z), (x, y, z) Ω, čia n žymi išvestinę normalės kryptimi ant krašto Ω. Ši salyga vadinama Neumano salyga; Trečiojo tipo (Robino salyga) kraštinė salyga aprašo ryšį tarp funkcijos u ir jos išvestinę normalės kryptimi ant krašto: α(x, y, z) n u(x, y, z) + u(x, y, z) = f (x, y, z), (x, y, z) Ω. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 27 / 36 Dirichlė uždavinys u(x, y) = g(x, y), (x, y) D Neumano uždavinys n u(x, y) = g(x, y), (x, y) D Robino uždavinys nu(x, y) = g(x, y) (x, y) D, (7.5) D u =g u =F D Figure7.1 AschematicdrawingforthePoissonequationwithDirichletboundary conditions. g žinoma funkcija. su duotaja funkcija g, n žymi vienetinę išorinę normalę ant krašto D n žymi išvestine n kryptimi (t. y. n = n ). u(x, y) + α(x, y) n u(x, y) = g(x, y), (x, y) D čia α ir g duotosios funkcijas. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 28 / 36 Taikymuose sritis dažnai būna kampuota, pavyzdžiui, stačiakampis. Prie kampo kraštas yra nediferencijojamas, todėl sprendinys nevisada yra toks glodus, kaip mes norėtume. nagrinėsime tik klasikinius sprendinius, t.y. sprendinius, priklausančius C 2 (D). Kartais reikės papildomų salygų ant krašto. Kartais turi apsiriboti sprendiniais iš C 1 ( D). Kaip pavyzdį, nagrinėkime šilumos laidumo lygtį u t = k u, (x, y, z) Ω, t > 0. (5) Pirmojo tipo kraštinė salyga, kai užduodama temperatūra krašte Ω, t.y. u(x, y, z, t) = f (x, y, z, t), (x, y, z) Ω, t > 0, (6) vadinama Dirichle salyga vokiečių matematiko Johanas Lejeune Dirichle (1805-1859) garbei. Pavyzdžiui, ši salyga yra naudojama, kai turime duomenų apie matuojama temperatūra ant srities krašto, arba kai tiriamas temperatūros pasiskirstymas priklausomai nuo įvairių išorinių šilumos salygų. Tarkime, kad Ω yra aprėžta. Siekiant gauti vienintelį sprendinį, reikia užduoti ne tik pradines salygas, bet ir apibrėžti sprendinio u elgesį ant krašto Ω. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 29 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 30 / 36 Taip pat ant krašto gali būti užduota temperatūros išvestinė pagal normalę n u(x, y, z, t) = f (x, y, z, t), (x, y, z) Ω, t > 0, (7) čia n žymi išvestinę normalės kryptimi ant krašto Ω. Ši salyga vadinama Neumano salyga vokiečių matematiko Carl Neumann (1832-1925) garbei. Išvestinė normalės kryptimi n u aprašo srauta per krašta. Pavyzdžiui, nepraleidžiamas kraštas modeliuojamas naudojant salyg a (7) f = 0. Trečiojo tipo kraštinė salyga aprašo ryšį tarp funkcijos u ir jos išvestinę normalės kryptimi ant krašto: α(x, y, z) n u(x, y, z, t) + u(x, y, z, t) = f (x, y, z, t), (x, y, z) Ω, t > 0. (8) Tai yra trečiojo tipo kraštinė salyga. Kartais ji taip pat vadinama Robino salyga. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 31 / 36 Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 32 / 36

Iliustruosime kraštinių salygų fizikinę prasmę, nagrinėdami stygos lygtį u tt c 2 u xx = f (x, t), a < x < b, t > 0. (a) Kai stygos galai užfiksuoti, užduodama Dirichlė kraštinė salyga: u(a, t) = β 1 (t), u(b, t) = β 2 (t), t > 0. (b) Galima užduoti įtempimo jėga stygos galuose. Šis atvejis yra susijęs su Neumano kraštine salyga u (a) u x (a, t) = β 1 (t), u x (b, t) = β 2 (t), t > 0. u (b) Pavyzdžiui, kai stygos galai gali laisvai judėti skersine kryptimi, homogeninė Neumano salyg a β 2 = 0. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 33 / 36 Pradinės salygos Paraboliniai lygčiai u t = k u, neskaitant kraštinių salygų, papldomai reikalinga pradinė salyga u(x, y, z, 0) = u 0 (x, y, z). Hiperboliniai lygčiai, neskaitant kraštinių salygų, reikia dviejų pradinių salygų. Pavyzdys. Panagrinėkime banginę lygtį u tt c 2 u xx = 1 f (x, t). ρ Natūralu užduoti dvi pradines salygas stygos padėčiai ir greičiui: u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u 1 (x). Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 34 / 36 Pavyzdys. Šilumos laidumo uždavinį baigtiniame intervale: u t ku xx = 0 0 < x < L, t > 0, u(0, t) = u(l, t) = 0 t 0, u(x, 0) = f (x) 0 x L, čia f yra pradinės salygos, o k yra teigiama konstanta. Pradinių ir kraštinių salygų suderinamumo salyga f (0) = f (L) = 0. The method of separation of variables u = 0 t u t ku xx = 0 u(x,0) = f(x) u = 0 L Šilumos laidumo lygtis aprašo temperatūros raida vienalyčiame šilumai laidžiame ilgio L strype (t.y. strypas yra siauras, o jo šonuose palaikoma pastovi temperatūra). Strypo temperatūra pradiniu laiko momentu u(x, 0) x yra žinoma. Figure 5.1 The initial Olgaboundary Štikonienė value (MMT problem MIF VU) for the heat equationdl, together modeliai with 2017-05-29 35 / 36 the domain. Žinomi analiziniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai, pavyzdžiui, Furjė (kintamųjų atskyrimo) metodas, kai sprendinys gali būti užrašytas kaip sudėtingos strūkturos begalinės eilutės suma, tačiau jų taikymas dažnai būna ribotas. Todėl diferencialinių lygčių sprendimui plačiai taikomi skaitiniai metodai. Olga Štikonienė (MMT MIF VU) DL, modeliai 2017-05-29 36 / 36 assume that there is no internal source that heats (or cools) the system. Note the problem (5.1) (5.3) is an initial boundary value problem that is linear and ogeneous. Recall also that the boundary condition (5.2) is called the Dirichlet ition. At the end of the present section, we shall also discuss other boundary itions. e start by looking for solutions of the PDE (5.1) that satisfy the boundary itions (5.2), and have the special form u(x, t) = X(x)T (t), (5.4) re X and T are functions of the variables x and t, respectively. At this step we ot take into account the initial condition (5.3). Obviously, we are not interested e zero solution u(x, t) = 0. Therefore, we seek functions X and T that do not sh identically. ifferentiate the separated solution (5.4) once with respect to t and twice with ect to x and substitute these derivatives into the PDE. We then obtain XTt = kxxxt., we carry out a simple but decisive step the separation of variables step. move to one side of the PDE all the functions that depend only on x and to the r side the functions that depend only on t. We thus write Tt kt = X xx X. (5.5) e x and t are independent variables, differentiating (5.5) with respect to t lies that there exists a constant denoted by λ (which is called the separation tant) such that Tt kt = X xx = λ. (5.6) X