PARETO ATSITIKTINIŲ DYDŽIŲ GEOMETRINIS MAKS STABILUMAS

KAUO TECHOLOGIJOS UIVERSITETAS FUDAMETALIŲJŲ MOKSLŲ FAKULTETAS TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KATEDRA Gitar Juozulyait PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ GEOMETRIIS MAKS STABILUMAS Magistro darbas Vadovas prof. dr. J. A. Aksomaitis KAUAS, 200

2 KAUO TECHOLOGIJOS UIVERSITETAS FUDAMETALIŲJŲ MOKSLŲ FAKULTETAS TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KATEDRA TVIRTIU K at edros ved j as doc. dr.. List opadskis 200 06 05 PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ GEOMETRIIS MAKS STABILUMAS Taikomosios matematikos magistro baigiamasis darbas Vadovas prof. dr. J. A. Aksomaitis 200 06 03 Recezetas Atliko doc. dr. K. Padvelskis FMMM - 8 gr. st ud. 200 06 0 G. Juozulyait 200 05 25 KAUAS, 200

KVALIFIKACIö KOMISIJA 3 Pirmiikas: Leoas Saulis, profesorius (VGTU) Sekretorius: Eimutis Valakevičius, docetas (KTU) ariai: Algimatas Joas Aksomaitis, profesorius (KTU) Vytautas Jailiois, docetas (KTU) Vidmatas Povilas Pekarskas, profesorius (KTU) Rimatas Rudzkis, habil. dr., vyriausiasis aalitikas (DB ORD Bakas) Zeoas avickas, profesorius (KTU) Arūas Barauskas, dr., vice-prezidetas projektams (UAB Baltic Amadeus )

SATRAUKA 4 Šiame darbe agri jau viemačių ir dvimačių Pareto atsitiktiių dydžių geometriį maks stabilumą. Įrodžiau, kad viematis Pareto skirstiys yra geometriškai maks stabilus, kai α. Tačiau ra geometriškai maks stabilus, kai α. audodamasi geometriio maks stabilumo kriterijumi dvimačiams Pareto atsitiktiiams dydžiams, įrodžiau, kad dvimat Pareto skirstiio fukcija ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos (kai α, β ir α, β ). Taip pat dvimat Pareto skirstiio fukcija ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s priklausomos (kai α, β ir α, β ). Dvimačių Pareto skirstiių tyrimas pateik elauktus rezultatus. Gauta, kad dvimat Pareto skirstiio fukcija ra geometriškai maks stabili, kai α, β. Tačiau viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos yra geometriškai maks stabilios, kai α, β.

5 Juozulyait G. Geometric max stability of Pareto radom variables : Master s work i applied mathematics / supervisor prof. dr. J. A. Aksomaitis; Departmet of Applied mathematics, Faculty of Fudametal Scieces, Kauas Uiversity of Techology. Kauas, 200. 67 p. SUMMARY I this work I aalyzed geometric max stability of uivariate ad bivariate Pareto radom variables. I have proved, that uivariate Pareto distributio is geometrically max stable whe α. But it is ot geometrically max stable whe α. Usig the criterio of geometric max stability for bivariate Pareto radom variables, I have proved, that bivariate Pareto distributio fuctio is ot geometrically max stable, whe vectors compoets are idepedet (whe α, β ad α, β ). Also bivariate Pareto distributio fuctio is ot geometrically max stable, whe vectors compoets are depedet (whe α, β ad α, β ). Research of bivariate Pareto distributios submitted uexpected results. Bivariate Pareto distributio fuctio is ot geometrically max stable, whe α, β. But margial Pareto distributio fuctios are geometrically max stable, whe α, β.

TURIYS 6 ĮVADAS... 8. TEORIö DALIS... 9.. MAKSIMUMŲ SCHEMOS SĄVOKA... 9.2. RIBIöS MAKSIMUMŲ TEOREMOS... 9.3. MAKS STABILIEJI SKIRSTIIAI....4. GEOMETRIŠKAI MAKS STABILIEJI SKIRSTIIAI... 2.5. MAKSIMUMO PERKöLIMO TEOREMA... 2.6. DVIMAČIO VEKTORIAUS SKIRSTIIO FUKCIJA... 3.7. EPRIKLAUSOMIEJI IR PRIKLAUSOMIEJI ATSITIKTIIAI DYDŽIAI... 4.8. GEOMETRIIO MAKS STABILUMO KRITERIJUS... 4.9. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS... 5 2. TIRIAMOJI DALIS IR REZULTATAI... 7 2.. VIEMAČIŲ PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ MAKSIMUMŲ AALIZö... 7 2.2. DVIMAČIO PARETO SKIRSTIIO GEOMETRIIO MAKS STABILUMO TYRIMAS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS EPRIKLAUSOMOS... 20 2.3. DVIMAČIO PARETO SKIRSTIIO GEOMETRIIO MAKS STABILUMO TYRIMAS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS PRIKLAUSOMOS... 22 2.4. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS EPRIKLAUSOMOS... 25 2.5. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS PRIKLAUSOMOS... 28 3. PROGRAMIö REALIZACIJA IR ISTRUKCIJA VARTOTOJUI... 33 DISKUSIJA... 38 IŠVADOS... 40 REKOMEDACIJOS... 4 PADöKOS... 42 LITERATŪRA... 43 PRIEDAS. PAKLAIDA IR ĮVERTIS (EPRIKLAUSOMŲ KOMPOEČIŲ ATVEJU)... 44 2 PRIEDAS. PAKLAIDA IR ĮVERTIS (PRIKLAUSOMŲ KOMPOEČIŲ ATVEJU)... 46 3 PRIEDAS. STRAIPSIS VIEMAČIŲ IR DVIMAČIŲ PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ MAKSIMUMO ASIMPTOTIö AALIZö... 49 4 PRIEDAS. PROGRAMOS TEKSTAS... 5

PAVEIKSLŲ SĄRAŠAS 7 2. pav. Paklaidos 2.2 pav. Paklaidos ( ) ( x) grafikas, kai p-fiksuotas, o x-kitatis... 9 ( ) ( x) grafikas, kai x-fiksuotas, o p-kitatis... 20 2.3 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α 2, β 2... 26 2.4 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 20, α, β... 27 2.5 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai 50, y 4, α 2, β 2... 27 2.6 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, y 4, α 2, β 2... 28 2.7 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α 2, β 2... 3 2.8 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai 20, y 0, α 2, β 2... 3 2.9 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 5, y 4, α 2, β 2... 32 3. pav. Pagridiis programos lagas... 33 3.2 pav. Paklaidos ir įverčio paviršius, kai -fiksuotas... 34 3.3 pav. Klaida... 34 3.4 pav. Paklaidos ir įverčio paviršius, kai 50, α, β... 35 3.5 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai y 4, 0, α 3, β 3... 36 3.6 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir fiksuoti... 36 3.7 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir y fiksuoti... 37 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 20, α 3, β 3... 44 2 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α, β... 44 3 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α 4, β 4... 45 4 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, 50, α 3, β 3... 45 5 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 4, y 8, α, β... 46 6 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 0, α 3, β 3... 46 7 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α, β... 47 8 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α 4, β 4... 47 9 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 5, 20, α 4, β 4... 48 0 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, y 5, α, β... 48 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai y 5, 0, α 2, β 2... 49

ĮVADAS 8 Ekstremaliųjų reikšmių teorija tai deriys, įtraukiatis atūralius reiškiius, taip pat sud tigus matematiius rezultatus įvairių procesų ir įvairių fukcijų. Apskritai ekstremaliosios reikšm s yra eįprastai didel s ar mažos kitamųjų reikšm s. Pavyzdžiui, up s ar jūros vades pakilimo lygis, kritulių kiekis, eormaliai aukšta ar žema temperatūra, didelis v jo greitis ir pa. Statisti ekstremaliųjų reikšmių aaliz taikoma aalizuoti jų paplitimą ir dydį, siekiat geriausiai paaudoti turimą iformaciją, suprasti vykstačius procesus ir umatyti būsimas reikšmes. Šiuo metu ekstremaliųjų reikšmių teorijos taikymai apima socialiius mokslus, medicią, fiasus, draudimą, ekoomiką, ižieriją ir etgi astroomiją. Šiame darbe agri jau viemačių ir dvimačių Pareto skirstiių geometriį maks stabilumą. Pareto skirstiys pavaditas italų ekoomisto ir sociologo Vilfredo Pareto (848-923) garbei. Pirmą kartą Paretas jį paaudojo aprašydamas pajamų pasiskirstymą. V. Paretas paaiškio, kad didel dalis gyvetojų turi mažas pajamas, tačiau tik maža dalis gyvetojų turi dideles pajamas. Ekoomikoje yra audojami tie skirstiiai, kurių uodegos yra sukios. D l šios priežasties V. Paretas pasiūl skirstiius, kurie vadiami Pareto vardu. Pareto skirstiys taip pat taikomas draudime, fiasuose, klimatologijoje, aftos ir dujų telkiių modeliavime. Pareto skirstiys audojamas apibūditi ekstremalias oro sąlygas. tyrimas. Darbo tikslas: viemačių ir dvimačių Pareto atsitiktiių dydžių geometriio maks stabilumo Darbo uždaviiai: Ištirti viemačių Pareto atsitiktiių dydžių geometriį maks stabilumą, kai α ir α. Jeigu geometriio maks stabilumo ra, ištirti asimptotiį maks stabilumą. Ištirti dvimačių Pareto atsitiktiių dydžių geometriį maks stabilumą, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir, kai vektoriaus kompoet s priklausomos (kai α, β ir α, β ). Jeigu geometriio maks stabilumo ra, ištirti asimptotiį maks stabilumą. Dvimačių Pareto skirstiių atveju įvertiti kovergavimo greitį ribi se teoremose. Atlikti kovergavimo greičio įverčių kompiuterię aalizę. Šia tematika skaitytas praešimas VIII studetų moksli je koferecijoje Taikomoji matematika. Praešimo medžiaga pateikta 3 priede.

. TEORIö DALIS.. MAKSIMUMŲ SCHEMOS SĄVOKA 9 Sakykime, kad arių maksimumo struktūrą X,, X, 2 K X - viemačiai atsitiktiiai dydžiai. Apibr žkime pirmųjų sekos ( X, X, ) Z max 2 K, X. Tarkime, u u (x), - tokia realaus kitamojo fukcijų seka, kad skirstiio fukcijų seka H ( u ( x)) P( Z u ( x)) < silpai koverguoja į eišsigimusią skirstiio fukciją H (x). Taip apibr žta struktūra Z kartu su prielaidomis apie atsitiktiių dydžių seką { X, } bei fukcijų seką {, } schemą. Jei atsitiktiiai dydžiai {, } F (x), o ormavimo fukcija u tiesi, t.y. u sudaro maksimumų X yra epriklausomi ir vieodai pasiskirstę su skirstiio fukcija u ( x) a b x, a + tai tokia maksimumų schema vadiama klasikie. R, b > 0..2. RIBIöS MAKSIMUMŲ TEOREMOS Sakykime, {, j } X j epriklausomų, vieodai pasiskirsčiusių atsitiktiių dydžių seka su skirstiio fukcija F( x) P( X j < x), j. Pažym kime ( X, X, ) Z max 2 K, X. Tarkime, kad egzistuoja tokios cetravimo ir ormavimo kostatų sekos {, } { > 0, } b, kad a ir lim P( Z < a + b x) H ( x) (.) kiekvieame fukcijos H (x) tolydumo taške (čia H (x) eišsigimusi skirstiio fukcija). Toks kovergavimas vadiamas silpuoju skirstiio fukcijos kovergavimu [5].

Sakysime, kad skirstiys F priklauso ribiio skirstiio H traukos sričiai (žym sime F D(H ) ), jei egzistuoja tokios cetravimo ir ormavimo kostatų sekos, kad tekiama lygyb (.). Pažym kime viršutiį ribiį skirstiio fukcijos F (x) tašką { x : F( ) } ω ( F) sup x <. Suformuluosime teoremas [5], kurias turi tekiti skirstiys F, kad jis priklausytų kurio ors eišsigimusio ribiio skirstiio traukos sričiai. Taip pat pateiksime cetravimo ir ormavimo kostatų parikimo būdą.. Teorema. Tarkime, ω (F) +, ir egzistuoja tokia teigiama kostata α, kad x > 0 yra tekiama lygyb : Tuomet F D ). Čia ( H α, H, α F( tx) x 0 α lim. (.2) t F( t) ( x) 0, x 0; exp( x α ), x> 0. Cetravimo ir ormavimo kostatas galima parikti tokiu būdu: a 0, b if x : F( x)..2 Teorema. Tarkime ω (F) <, o skirstiio fukcija tekia sąlygą (.2). Tuomet F D ). Čia ( H 2α, H 2, α F * ( x) F( ω ( F) ) x exp( ( x) ( x), x 0. α ), x< 0; Cetravimo ir ormavimo kostatas galima parikti tokiu būdu: a ω(f), b ω ( F) if x : F( x)..3 Teorema. Tarkime, su bet kokia baigtie kostata a itegralas ω ( F ) ( F( y)) dy yra baigtiis. Itervale ( a( F), ω ( F)) apibr žkime fukciją a (.3) R( t) F( t) ω ( F ) ( F( y)) dy. t

Jei x R egzistuoja riba lim t ω ( F ) F( t+ xr( t)) e F( t) x, (.4) tai F D ). Čia ( H 3, 0 H (,0 3 x x) exp( e ), x R Cetravimo ir ormavimo kostatas galima parikti tokiu būdu: a if x : F( x), b R( a ). Pastaba. Šiose teoremose pateiktas cetravimo ir ormavimo kostatų a ir b parikimo būdas ra vieitelis. Mes et egalime teigti, kad tai yra pats paprasčiausias kostatų parikimo būdas ir, kad taip pariktos kostatos yra geriausios, tačiau jis yra geras tuo, kad yra paprastas ir kostruktyvus..4 Teorema. Klasiki je maksimumų schemoje egzistuoja tik trys H, H, ) eišsigimusio ribiio skirstiio tipai..,.2,.3 ir.4 teoremų įrodymai pateikti [5]. (, α 2, α H 3, 0.3. MAKS STABILIEJI SKIRSTIIAI. Apibr žimas. Skirstiio fukcija F( x ) vadiama maks stabiliąja, jeigu egzistuoja tokios ormalizavimo kostatos a ir b > 0, su kuriomis galioja lygyb Yra tik trys maks stabilieji skirstiiai: H F, γ ( xb + a ) F( x). 0, x 0; ( x) γ exp( x ), x> 0. H 2, γ γ exp( ( x) ), x< 0; ( x), x 0. Tai įrodyta [5]. x H ( x) exp( e ), x R. 3

.4. GEOMETRIŠKAI MAKS STABILIEJI SKIRSTIIAI 2.2 Apibr žimas [8]. Skirstiio fukcija F (x) vadiama geometriškai maks stabiliąja, jeigu egzistuoja tokios ormalizavimo kostatos a ir b > 0, su kuriomis galioja lygyb čia imties dydis ir Kadagi epriklauso uo visų geeruojačioji fukcija tai geometriio maks stabilumo kriterijus yra: ( ). Z a P < x F( x), b X j ir jo skirstiys yra geometriis: k ( ) ( ) P k p p, k. g ( z) pz ( p ) Z a P < x g F xb + a b p ) F( xb + a ( p ) F( xb a ) + z ( ( )) ( ) F x Aalogiškai apibr žiama asimptotiškai maks stabili skirstiio fukcija F (x), kai p p 0,.,.5. MAKSIMUMO PERKöLIMO TEOREMA Tarkime, kad yra dvi atsitiktiių dydžių sekos: { X j, } su skirstiio fukcija F( x) P( X < x), j ; {, } sveikas teigiamas reikšmes ir epriklausatys uo visų {, j } Pažym kime j j - epriklausomieji atsitiktiiai dydžiai - atsitiktiiai dydžiai, įgyjatis tik X j. Z max( X,..., X )..5 Teorema. Tarkime, kad egzistuoja tokios ormalizavimo kostatų sekos { a } { b, }, su kuriomis, ir

Z a lim P( b ) H ( x), 3 (.5) Tada Z lim P( lim P( Teoremos formulavimas ir įrodymas pateiktas [] ir [6]. < x) A( x). (.6) a z ) Ψ( x) H ( x) da( z). (.7) b 0.6. DVIMAČIO VEKTORIAUS SKIRSTIIO FUKCIJA Tarkime, kad (, ),(, ),...,(, ) skirstiio fukcija X Y X Y X Y yra epriklausomi ir vieodai pasiskirstę vektoriai su 2 2 Pažym kime vektorių maksimumą [5]: čia ( ) Z ir ( 2) Skirstiio fukcija: Z yra koordiačių maksimumai: ( ) F( x, y) P X < x, Y < y, i,. ( ) ( 2) i ( ) ( 2) (, ) Z Z Z ; Z max( X, X,..., X ), 2 Z max( Y, Y,..., Y ). 2 ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )) P( Z x, y ) P Z x, Z y P X x,..., X x, Y y,..., Y y P X, Y x, y,..., X, Y x, y F ( x, y) i Dvimačio atsitiktiio dydžio skirstiio fukcijos savyb s:. Skirstiio fukcijos F( x, y ) reikšm s: 2. lim F( x; y) F ( x), lim F( x; y) F ( x) y x ( ) ( ) ( ) P X x; F x P X x, i 0 F( x, y). arba + P( Y y) F ( x) P( Y y) 3. lim F( x; y) y x arba ( ) 2 +. ; j F + ; +. 2

4. lim F( x; y) lim F( x; y) lim F( x; y) 0. x y y x 4 5. Skirstiio fukcija F( x, y ) yra emaž jati: ( ) ( ) ( ) ( ) F x ; y F x ; y, kai x > x 2 2 F x; y F x; y, kai y > y. 2 2 6. Skirstiio fukcija F( x, y ) yra tolydi iš deši s: ( 0, 0 ) (, ) F x+ y+ F x y..7. EPRIKLAUSOMIEJI IR PRIKLAUSOMIEJI ATSITIKTIIAI DYDŽIAI Tarkime, kad F( x, y ), F ( x ) ir F ( y ) yra atsitiktiio vektoriaus (, ) bei Y skirstiio fukcijos. 2 X Y ir jo koordiačių X.3 Apibr žimas. Atsitiktiius dydžius X ir Y vadiame epriklausomais, jei su visais 2 ( x, y) R t.y., jei ( <, < ) ( < ) ( < ) P X x Y y P X x P Y y (, ) ( ) ( ) F x y F x F y. (.8) 2 % % 2 Jeigu ors vieai skaičių porai ( x, y) R (, ) ( ) ( ) F x% y% F x% F y% (.9) 2 tai atsitiktiiai dydžiai X ir Y vadiami priklausomais [3]..8. GEOMETRIIO MAKS STABILUMO KRITERIJUS.4 Apibr žimas [4]. Dvimatę skirstiio fukciją F( x, y ) vadiame geometriškai maks stabiliąja, jeigu egzistuoja tokios ormalizavimo kostatos { a p, b p} ir { p2, p2} ( ) ( 2) p p Z a Z a bp2 b p2 ( ) 2 P x, y F x, y čia yra geometriis atsitiktiis dydis su parametru p : k ( ) ( ) P k p p, k, 0< p<., a b, su kuriomis

Pasiaudoję pilosios tikimyb s formule gauame: 5 ( ) ( 2) p p Z a Z a 2 ( ) ( 2) P x, y P( Zk xbp + ap, Zk ybp2+ ap2) P( k) bp b p2 k k ( p p,..., k pk pk, p2 p2,..., k p2k p2k) ( ) P X xb + a X xb + a Y yb + a Y yb + a P k ( ) ( p p p2 p2) ( ) ( p p p2 p2) k F xb + a, yb + a P k g F xb + a, yb + a ; k čia g ( ) z yra geometriio atsitiktiio dydžio geeruojačioji fukcija: k pz g( z) Mz z P( k). p z k ( ) Taigi, geometriio maks stabilumo kriterijus dvimatei skirstiio fukcijai yra: pf( xbp + ap, ybp2+ a p2) ( p) F( xbp ap ybp2 a p2) +, + (, ) F x y. (.0).9. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS Tarkime, kad (, ),(, ),...,(, ) X Y X Y X Y yra epriklausomi ir vieodai pasiskirstę dvimačiai 2 2 atsitiktiiai dydžiai su skirstiio fukcija su kuriomis ( ) F( x, y) P X < x, Y < y, i,. Tarkime, kad egzistuoja tokios ormalizavimo kostatos: {, ;, 2 } a a2, 2 ( ) ( 2) Z a Z a i i { b, b > 0;, 2 }, 2 lim P x, y H ( x, y) b b 2 čia H( x, y ) yra eišsigimusi dvimat skirstiio fukcija. Pažym kime o tiems ( x, y ) su kuriais ( ) ( ) 2 2 ; (.) u ( x, y) F( xb + a, yb + a ), (.2) H x, y > 0, pažym kime ν ( x, y) u ( x, y) + l H ( x, y). (.3) Reikia pasteb ti, kad lygyb (.) yra ekvivaleti lygybei (, ) ir šiuo atveju ( ) H x, y e u x y. ( ) ( ) lim u x, y u x, y > 0, (.4)

.6 Teorema. Tarkime, tekiama (.) lygyb. Visiems ( x, y ) su kuriais H( x, y ) > 0, teisigas kovergavimo greičio įvertis u 6 ( x, y) ir 2 čia ( ) ( 2) Z a Z a, (, ) (, ) 2 P x y H x y x y b b 2 (, 2,, 2, ) H ( x, y) R ( x, y) + R ( x, y) + R ( x, y) R ( x, y), R 2 4 2 u ( x, y) 2 u ( x, y), ( x) + 2 (.5) q, (.6) o 0 < q, s< parekami taip, kad 2 ν ( x, y) R2, ( x) ν ( x, y) +, 2 s (.7) Teoremos įrodymas pateiktas [7]. 2 u 2 ( x, y) q, (, ) 3 3 ν x y s.

2. TIRIAMOJI DALIS IR REZULTATAI 2.. VIEMAČIŲ PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ MAKSIMUMŲ AALIZö 7 Tarkime, kad X, X 2,..., X yra epriklausomi atsitiktiiai dydžiai su Pareto skirstiio fukcija ( ) F x Atsitiktiis dydis pasiskirstęs pagal geometriį skirstiį: Atsitiktiiai dydžiai, x, α > 0. (2.) x α k ( ) ( ) P k p p, k. X j, j ir yra tarpusavyje epriklausomi. Rasime Pareto atsitiktiių dydžių maksimumo ribiį skirstiį, kai α, bei cetravimo ir ormavimo kostatas. Kadagi ϖ (F) +, tai galima taikyti. teoremą. Tikriame. teoremos sąlygą (.2): + α α F( tx) ( tx) ( tx) lim lim lim x t F( t) t t α + x α α t t Parekame cetravimo ir ormavimo kostatas: α. a 0, o iš sąlygos: Gauame ribiį maksimumo skirstiį: agri sime maksimumo geometriį stabilumą. 2. Teorema. Jeigu α, tai b if x : F( x) gauame, kad 0, x 0; α lim P Z < x H, α ( x) α exp( x ), x> 0. ( ) Z max X, X,..., X 2 b α. Jeigu α, tai p P( Z xb( p) + a( p) ) P Z x +, p p x x. (2.2) α lim P( Z xb( p) + a( p) ) lim P Z xp Ψ( x), p 0 p 0 (2.3)

čia ribi skirstiio fukcija 8 α x Ψ ( x), α α + x + x Kai α, galioja tolygusis kovergavimo greičio įvertis: x 0. (2.4) p ( x) + p sup () 0; x (2.5) čia Ψ ( ) α ( x) P Z xp ( x) Įrodymas. Kai,. p p α parekame ormalizavimo kostatas a( p), b( p). p ormalizuodami maksimumą Z gauame: x+ p x+ p P( pz p+ x) P Z g F. p p Kadagi geometriio skirstiio geeruojačioji fukcija tai g ( z) pz, z, p z ( ) P Z x+ p p pf p p x p x+ p + p( x ), x. p x+ p p px x ( p) F ( p) p x+ p Pirmoji teoremos dalis įrodyta. (2.6) Kai α, parekame ormalizavimo kostatas a( p ) 0, b( p) p α. Tada α pf xp p α α x p x p α α P p Z x P Z xp, α x p+ α ( p) F xp ( p) α x p Tuomet x α p. α x α lim P p Z x Ψ( x), p 0 α α + x + x x 0. (2.7)

Pažym kime: α α α 2α α 2α α α ( ) x p x x p+ x px x + px x α ( x) P Z xp Ψ ( x) α α α α x p+ + x x p+ x + p α α ( x p+ )( x + ) Gauame, kad p ( sup ) ( x) 0, + p x ( )( ) 9 (2.8) čia Ψ ( ) α ( x) P Z xp ( x) Atroji teoremos dalis įrodyta.. Kai α, Pareto skirstiio fukcija (2.) yra geometriškai maks stabili (2.2). Tai įrod me pirmoje teoremos dalyje (2.6). Kai α, Pareto skirstiio fukcija (2.) yra asimptotiškai pusiau maks stabili (2.3), kai p 0. Tai įrod me atroje teoremos dalyje (2.7). Žiodami Pareto skirstiį (2.) ir ribię skirstiio fukciją (2.4), bei ormalizavimo kostatas a( p ) 0 ir b( p) p α, gauame tolygujį kovergavimo greičio įvertį (2.5). Įvertisime paklaidą (2.8): ( ) ( ) 2. pav. Paklaidos x grafikas, kai p-fiksuotas, o x-kitatis.

20 2.2 pav. Paklaidos ( ) ( x) grafikas, kai x-fiksuotas, o p-kitatis. Iš 2. pav. matome, kai x art ja į +, paklaida art ja prie ulio. Iš 2.2 pav. matome, kai p art ja prie ulio, paklaida taip pat art ja prie ulio. 2.2. DVIMAČIO PARETO SKIRSTIIO GEOMETRIIO MAKS STABILUMO TYRIMAS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS EPRIKLAUSOMOS Tarkime, turime dvimačius epriklausomus vektorius ( ) ( ) ( ) skirstiio fukcija yra dvimat Pareto: F( x, y), α β + α β α β x y x y x y Vektorių koordiat s yra taip pat epriklausomos. Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos yra: ( ) X, Y, X, Y,..., X, Y, kurių 2 2 x, y ; α, β > 0. (2.9) F x, x, α > 0; (2.0) 2 ( ) x α F y, y, β > 0. (2.) y β

2. Teigiys. Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.9) ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir α, β. Įrodymas. Dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.9) geometriį maks stabilumą tikrisime audodamiesi geometriio maks stabilumo kriterijumi (.0): pf( xbp + ap, ybp2+ ap2) ( p) F( xbp ap ybp2 ap2) +, + 2 p + bp, ap 0 ( xbp + ap) ( ybp2+ ap2) ( xbp+ ap)( ybp2+ a 2) p p ( p) + bp2, ap2 0 p ( xbp + ap) ( ybp 2+ ap2) ( xbp+ ap)( ybp 2+ ap2) p p p p p p p p p + p + x y x y x y x y p p p p p p p p p p p p p p p ( p) + p x y x y + + + + x y x y x y x y p p p p p p p p p + + x y x y x y x y F x y p p p p p p p p p p p + + + + + + x y x y x y x y x y x y x y x y 2. teigiys įrodytas. (, ) Kadagi dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.9) ra geometriškai maks stabili, tai tikriame dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.9) asimptotiį maks stabilumą, kai p 0 ( α, β ): p p p p + x y x y lim p 0 p p p p p + x + y + + + x y x y x y x y egauame asimptotiio maks stabilumo, kai p 0. 2.2 Teigiys. Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.9) ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir α, β. Įrodymas. Dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.9) geometriį maks stabilumą tikrisime audodamiesi geometriio maks stabilumo kriterijumi (.0):

pf( xbp + ap, ybp2+ ap2) ( p) F( xbp ap ybp2 ap2) +, + 22 p + α β α β ( xbp + ap ) ( ybp2+ ap2) ( xbp + ap) ( ybp2+ a 2) α p bp p, ap 0 α ( p) bp2 p, ap2 0 + α β α β ( xbp+ a p) ( ybp2+ ap2) ( xbp + ap ) ( ybp2+ ap2) p p p p p p p p p + p α β α β x y x y + α β α β x y x y p p p p p p p p p p p p p p p ( p) + p α β α β α β α β α β α β x y x y + + + + x y x y x y x y p p p p p p p p p + α β α β x y x y + α β α β x y x y F x, y p p p p p p p p p p p + + + x α y β x α y β x α y β x α y β + + + α β α β α β α β x y x y x y x y 2.2 teigiys įrodytas. ( ) Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.9) ra geometriškai maks stabili. Tikrisime dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.9) asimptotiį maks stabilumą, kai p 0 ( α, β ): p p p p + α β α β x y x y lim p 0 α p p p p p + x + y + + + α β α β α β α β x y x y x y x y egauame asimptotiio maks stabilumo, kai p 0. β 2.3. DVIMAČIO PARETO SKIRSTIIO GEOMETRIIO MAKS STABILUMO TYRIMAS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS PRIKLAUSOMOS Tarkime, kad vektoriaus ( X, Y ) kompoet s yra priklausomos. Tirsime atvejį, kai F( x, y) +, α β α β x y x + y x, y ; α, β > 0. (2.2)

23 Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos yra: F x, x, α > 0; (2.3) 2 ( ) ( ) x α F y, y, β > 0. (2.4) y β 2.3 Teigiys. Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.2) ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s priklausomos ir α, β. Įrodymas. Dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.2) geometriį maks stabilumą tikrisime audodamiesi geometriio maks stabilumo kriterijumi (.0): pf( xbp + ap, ybp2+ ap 2) ( p) F( xbp ap ybp2 ap2) +, + p + bp, ap 0 ( xbp + ap ) ( ybp2+ ap2) ( xbp + ap ) + ( ybp2+ ap2) p ( p) + bp2, ap2 0 ( xbp ap ) ( ybp2 ap2) ( xbp ap ) ( ybp2 ap2) p + + + + + p p p p p p p + p + x y x y p x y x y p + + p p p p p p p p p p p p ( p) + + + + p + x y x+ y p x y x+ y p x y x+ y p p p p p p p p + + x y x+ y p x y x+ y p p p p p p p p + + + + + + x y x + y p x y x + y p x y x + y p x y x + y p 2.3 teigiys įrodytas. F( x, y) Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.2) ra geometriškai maks stabili. Taigi tikriame asimptotiį maks stabilumą ( α, β ): p p p + x y x y p + + + + + + + x y x+ y p x y x+ y p lim p 0 p p p x y x y egauame asimptotiio maks stabilumo, kai p 0. ( )

2.4 Teigiys. Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.2) ra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s priklausomos ir α, β. Įrodymas. Dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.2) geometriį maks stabilumą tikrisime audodamiesi geometriio maks stabilumo kriterijumi (.0): pf( xbp + ap, ybp2+ ap2) ( p) F( xbp ap ybp2 ap2) +, + 24 p + α β α β ( xbp+ ap ) ( ybp 2+ ap2) ( xbp + ap) + ( ybp2+ a p2) α bp p, ap 0 α ( p) bp 2 p, ap2 0 + α β α β ( xbp + ap ) ( ybp2+ ap2) ( xbp + ap ) + ( ybp2+ ap2) p p p p p p p + p α β α β + α β α β x y x + y p x y x + y p p p p p p p ( p) + p + + + α β α β α β α β α β α β x y x + y p x y x + y p x y x + y p p p p + α β α β x y x + y p F x y p p p + + + α β α β α β α β x y x + y p x y x + y p 2.4 teigiys įrodytas. (, ) β ): Tikrisime dvimat s Pareto skirstiio fukcijos (2.2) asimptotiį maks stabilumą ( α, p p p + x y x + y p α β α β lim p 0 p p p α β α β + + + + x + y x + y α β α β α β α β x y x + y p x y x + y p ( ) Dvimat Pareto skirstiio fukcija (2.2) ra asimptotiškai maks stabili, kai p 0.

2.4. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS EPRIKLAUSOMOS 25 Tarkime, turime dvimačius epriklausomus vektorius ( ) ( ) ( ) skirstiio fukcija yra dvimat Pareto: F( x, y), α β + α β α β x y x y x y X, Y, X, Y,..., X, Y, kurių 2 2 x, y ; α, β > 0. (2.5) Rasime dvimačių Pareto atsitiktiių dydžių maksimumo ribiį skirstiį, kai α, β. Tarkime, kad egzistuoja tokios cetravimo ir ormavimo kostatas: a 0, b α ir a 2 0, b2 α, su kuriomis (.): ( ) ( 2) Z a Z a α β 2 x y P x, y H( x, y) e b b 2 čia H( x, y ) yra eišsigimusi dvimat skirstiio fukcija. Gauame (.2): u( x, y) + + ( xb + a ) ( xb + a ) ( xb + a ) ( xb + a ) x y x y, (2.6) α β α β α β α β 2 2 2 2 Maksimumo ribiį skirstiį (2.6) ir išraišką (2.7) įstatome į (.3): ( x, y ) l x y x y e ν + + + x y x y x y x y α β x y α β α β α β α β α β α β Taikydami.6 teoremą, visiems ( x, y ) su kuriais kovergavimo greitį (.5) lygyb je. Įstatę (2.7) į (.6), o (2.8) į (.7) gauame: u ( x, y) 2 ir ( ). (2.7). (2.8) H x, y > 0, įvertisime R 2 4 2 + 2 α β α β x y x y + α β α β x y x y ( x, y) +, q, 2 R 2, α β x y ( x, y) +, α β x y 2 s 2 (2.9) (2.20) o 0 < q, s< parekami taip, kad

26 2 + α β α β 2 x y x y q, s. α β 3 3 x y Įstatę (2.9) ir (2.20) išraiškas gauame kovergavimo greičio įvertį (.5) lygyb je: ( ) ( 2) Z a Z a, (, ) (, ) 2 P x y H x y x y b b 2 2 4 2 2 2 + α β α β + α β α β α β x α y β x y x y x y x y x y e + + + + 2 α β q x y 2 s 2 4 2 2 + 2 α β α β x y x y + α β α β + x y x y α β x y + +. 2 α β q x y 2 s Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai -fiksuotas, 50, α 2, β 2 (2.3 pav.). 2.3 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α 2, β 2.

Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai -fiksuotas, 20, α, β (2.4 pav.). 27 2.4 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 20, α, β. Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafiką, kai 50, y 4, α 2, β 2, o x-kitamas (2.5 pav.). 2.5 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai 50, y 4, α 2, β 2.

28 Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafiką, kai x 0, y 4, α 2, β 2, o -kitamas (2.6 pav.). 2.6 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, y 4, α 2, β 2. Iš 2.3 pav. ir 2.4 pav. matome, kai x ir y did ja, paklaida ir įvertis art ja prie ulio. Iš 2.5 pav. matome, kai x did ja, paklaida ir įvertis taip pat art ja prie ulio. Iš 2.6 pav. matome, kai did ja, paklaida ir įvertis art ja prie ulio. Daugiau paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikų pateikta priede (kai vektoriaus kompoet s epriklausomos). 2.5. KOVERGAVIMO GREIČIO ĮVERTIS, KAI VEKTORIAUS KOMPOETöS PRIKLAUSOMOS Tarkime, kad vektoriaus ( X, Y ) kompoet s yra priklausomos. Tirsime atvejį, kai F( x, y) +, x, y ; α, β > 0. (2.2) α β α β x y x + y Rasime dvimačių Pareto atsitiktiių dydžių maksimumo ribiį skirstiį, kai α, β.

29 Tarkime, kad egzistuoja tokios cetravimo ir ormavimo kostatas: a 0, b α ir a 2 0, b2 α, su kuriomis (.): ( ) ( 2) + Z a Z a α β α β 2 x y x + y P x, y H( x, y) e b b 2 čia H( x, y ) yra eišsigimusi dvimat skirstiio fukcija. Gauame (.2):, (2.22) u( x, y) + + α β α β α β ( xb ) ( 2 2) ( ) ( 2 2) x y a xb a xb a xb a α β + + + + x + y Maksimumo ribiį skirstiį (2.22) ir išraišką (2.23) įstatome į (.3): (2.23) ( x, y ) l x y e ν + + + x + y x y x + y + + α β α β x y x + y α β α β α β α β Taikydami.6 teoremą, visiems ( x, y ) su kuriais kovergavimo greitį (.5) lygyb je. Įstatę (2.23) į (.6), o (2.24) į (.7) gauame: u ( x, y) 2 ir ( ). (2.24) H x, y > 0, įvertisime R 2 4 2 + 2 α β x y + α β x y α β α β x + y x + y ( x, y) +, q, 2 R 2, + α β α β x + y x + y ( x, y) + +, α β α β x + y x + y 2 s o 0 < q, s< parekami taip, kad 2 (2.25) (2.26) 2 + α β x y α β x + y 2 q, + s. α β 3 3 α β x + y x + y Įstatę (2.25) ir (2.26) išraiškas gauame kovergavimo greičio įvertį (.5) lygyb je:

30 ( ) ( 2) Z a Z a, (, ) (, ) 2 P x y H x y x y b b 2 2 4 2 + 2 α β x y + α β x y α β α β x + y x + y α β x y e + + + + 2 α β q α β x + y x + y 2 2 4 + 2 + α β α β α β 2 x + y x + y x y + α β α β x y x y α β + x + y + + 2 2 s + q 2 + α β α β x + y x + y + +. α β α β x y x y 2 s + + Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai -fiksuotas, 00, α 2, β 2 (2.7 pav.).

3 2.7 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α 2, β 2. Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafiką, kai 20, y 0, α 2, β 2, o x-kitamas (2.8 pav.). 2.8 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai 20, y 0, α 2, β 2.

Braižome paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafiką, kai x 5, y 4, α 2, β 2, o 32 -kitamas (2.9 pav.). 2.9 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 5, y 4, α 2, β 2. Iš 2.7 pav. matome, kai x ir y did ja, paklaida ir įvertis art ja prie ulio. Iš 2.8 pav. matome, kai x did ja, paklaida ir įvertis taip pat art ja prie ulio. Iš 2.9 pav. matome, kai did ja, paklaida ir įvertis art ja prie ulio. Daugiau paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikų pateikta 2 priede (kai vektoriaus kompoet s priklausomos).

3. PROGRAMIö REALIZACIJA IR ISTRUKCIJA VARTOTOJUI 33 Vartotojo sąsaja yra sukurta audojat Matlab 6.5. programiį paketą. Matlab 6.5. paketas remiasi esud tiga ir laksčia programavimo kalba, kuria patogu aprašyti spredžiamus matematiius uždaviius ir juos pavaizduoti grafiškai. Sukurtas programos M failas pavadiimu programa.m, o programos lagas pavadiimu programa.fig. Vartotojas or damas prad ti darbą su programa turi urodyti katalogą, kuriame yra programos failas (Curret directory). Vartotojo sąsaja sukurta audojatis Matlab modulį Guide. orit atidaryti programos lagą (3. pav.), Matlab darbo lauke reikia parašyti žodelį programa ir paspausti Eter. 3. pav. Pagridiis programos lagas. Pagridiiame programos lage (3. pav.) reikia pasirikti, kurio dvimačio Pareto skirstiio paklaidą ir kovergavimo greičio įvertį agri sime (kai vektoriaus kompoet s priklausomos ar, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos).

34 Pasirekame dvimačio Pareto skirstiio paklaidą ir kovergavimo greičio įvertį, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos. Galimi keturi atvejai (3. pav.). Pasirekame pirmą atvejį. Paspaudę mygtuką Paklaidos ir įverčio paviršius, kai fiksuotas atsidaro lagas (3.2 pav.) 3.2 pav. Paklaidos ir įverčio paviršius, kai -fiksuotas. Pirmiausia įvedame pradiius parametrus. Jeigu vartotojas įveda eteisigą parametro reikšmę, jis yra iformuojamas apie padarytą klaidą (3.3 pav.). Jeigu parametrai teisigai įvesti, paspaudžiame mygtuką Braižyti. ubraižomi paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršiai (3.4 pav.). or dami įvesti aujus parametrus ir ubraižyti aują grafiką, paspaudžiame mygtuką Valyti. or dami sugrįžti į pagridiį programos lagą, paspaudžiame mygtuką Grįžti. or dami baigti programos darbą, paspaudžiame mygtuką Baigti. 3.3 pav. Klaida.

35 3.4 pav. Paklaidos ir įverčio paviršius, kai 50, α, β. Kiti galimi dvimačio Pareto skirstiio paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio atvejai, kai vektorių kompoet s epriklausomos. Paspaudus mygtuką Paklaidos ir įverčio grafikas, kai y ir fiksuoti atsidaro lagas, kuriame įvedus pradiius parametrus ubraižomas grafikas (3.5 pav.). Paspaudus mygtuką Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir fiksuoti atsidaro lagas (3.6 pav.). Paspaudus mygtuką Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir y fiksuoti atsidaro lagas (3.7 pav.).

36 3.5 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai y 4, 0, α 3, β 3. 3.6 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir fiksuoti.

37 3.7 pav. Paklaidos ir įverčio grafikas, kai x ir y fiksuoti. Aalogiškai pasirekame dvimačio Pareto skirstiio paklaidą ir kovergavimo greičio įvertį, kai vektoriaus kompoet s priklausomos. Taip pat galimi keturi atvejai (3. pav.).

DISKUSIJA 38 Atlikdami viemačio Pareto skirstiio ( ) F x, x, α > 0, x α geometriio maks stabilumo tyrimą, kai α, gavome, kad viematis Pareto skirstiys yra geometriškai maks stabilus. Tačiau, kai α, viematis Pareto skirstiys ra geometriškai maks stabilus. Gavome, kad viemat Pareto skirstiio fukcija yra asimptotiškai pusiau maks stabili, kai p 0. Atlikdama geometriio maks stabilumo tyrimą viemačiui Pareto skirstiiui, r miausi prof. A. Aksomaičio straipsiu Perk limo teorema ir geometriškai maks-stabilieji atsitiktiiai dydžiai. Atlikome geometriio maks stabilumo tyrimą dvimačiams Pareto skirstiiams, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir, kai vektoriaus kompoet s priklausomos. Gavome, kad dvimatis Pareto skirstiys, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos F( x, y) +, α β α β x y x + y x, y ; α, β > 0, ra geometriškai maks stabilus (kai α, β ir α, β ). Taip pat ra asimptotiškai maks stabilus, kai p 0. Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos yra: F x, x, α > 0; 2 ( ) ( ) x α F y, y, β > 0. y β Įrod m,kad viemat Pareto skirstiio fukcija F ( x ) yra geometriškai maks stabili, kai α. Tai skirstiio fukcija F2( y ) taip pat bus geometriškai maks stabili, kai β. Tačiau gauamas elauktas rezultatas. Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos F ( x ) ir F2( ) y yra geometriškai maks stabilios, o dvimat Pareto skirstiio fukcija, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos, ra geometriškai maks stabili (kai α, β ). Kai α, viemat Pareto skirstiio fukcija F ( ) asimptotiis pusiau maks stabilumas, kai 0 x ra geometriškai maks stabili. Gauamas p. Tai skirstiio fukcija F ( ) 2 y taip pat ra geometriškai maks stabili, ir asimptotiis pusiau maks stabilumas gauamas, kai p 0 (kai β ). Taigi viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos F ( x ) ir F2( ) y ra geometriškai maks stabilios. Dvimat Pareto skirstiio fukcija, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos, taip pat ra geometriškai maks stabili (kaiα, β ). Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos

F ( x ) ir F2( ) y yra asimptotiškai pusiau maks stabilios. Tačiau dvimat Pareto skirstiio fukcija, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos, ra asimptotiškai maks stabili, kai p 0 (kaiα, β ). Kai vektoriaus kompoet s yra priklausomos, tyr me atvejį, kai F( x, y) +, α β α β x y x + y x, y ; α, β > 0, ra geometriškai maks stabili (kai α, β ir α, β ). Taip pat ra asimptotiškai maks stabili, kai p 0. Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos, kai vektoriaus kompoet s priklausomos sutampa su viemat mis margialiosiomis Pareto skirstiio fukcijomis, kai vektoriaus kompoet s epriklausomis. Taigi priklausomų kompoečių atveju gauame aalogiškus rezultatus, kaip ir epriklausomų kompoečių atveju. Literatūroje eradau dvimat s Pareto skirstiio fukcijos, kuri būtų geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos. Tačiau yra atvejų, kai dvimat Pareto skirstiio fukcija yra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s priklausomos. Prof. A. Aksomaičio ir I. Ivaovie s straipsyje Atsitiktiių vektorių geometriis maks (mi) stabilumas yra pateikta dvimat Pareto skirstiio fukcija, kuri yra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus kompoet s priklausomos: Viemat s margialiosios Pareto skirstiio fukcijos taip pat yra geometriškai maks stabilios. F ( x, y ), 0, 0, 0, 0. x y x> y> α > β > α β + + F ( x ), 0, 0; x x > α > + α F ( x ), 0, 0; y x > α > + β 39

IŠVADOS 40. Kai α, viemat Pareto skirstiio fukcija yra geometriškai maks stabili. 2. Kai α, viemat Pareto skirstiio fukcija ra geometriškai maks stabili. Ribi skirstiio fukcija (kai p 0 ) yra taip pat Pareto. Gauamas asimptotiis maks stabilumas. 3. Kovergavimo greitis p atžvilgiu yra p eil s, kai p 0. 4. Dvimat s Pareto skirstiio fukcijos ra geometriškai maks stabilios, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir, kai vektoriaus kompoet s priklausomos. Taip pat dvimat s Pareto skirstiio fukcijos ra asimptotiškai maks stabilios, kai p 0. 5. Dvimačio Pareto skirstiio atveju, kai kompoečių skaičius yra eatsitiktiis, kovergavimo greičio eil atžvilgiu yra.

REKOMEDACIJOS 4 Gair s tolesiems šios temos tyrimams: Atlikti geometriio mi stabilumo tyrimą viemačiams Pareto skirstiiams. Atlikti geometriio mi stabilumo tyrimą dvimačiams Pareto skirstiiams, kai vektoriaus kompoet s epriklausomos ir, kai vektoriaus kompoet s priklausomos. Įvertiti kovergavimo greičio įvertį miimumo ribi je teoremoje. Atlikti kompiuterię įverčio aalizę.

PADöKOS 42 uoširdžiai d koju savo darbo vadovui prof. dr. J. A. Aksomaičiui, už gerus patarimus, puikias id jas, pataisymus.

LITERATŪRA 43. Aksomaitis A., Perk limo teorema ir geometriškai maks-stabilieji atsitiktiiai dydžiai. Liet. matem. rik., T. 43, spec. r., 2003, 673-676 psl. 2. Аксомайтис А., Неравномерная скорость сходимости в пределъной теорем макс-схемы, Liet. Mat. Rik., 988. T. 28, 2-25 c. 3. Aksomaitis A., Tikimybių teorija ir statistika. Kauas: Techologija, 2000, 344 psl. 4. Aksomaitis A., Ivaovie I., Atsitiktiių vektorių geometriis maks (mi) stabilumas. Liet. matem. rik., LMD darbai, 50, 2009, 402-206 psl. 5. Галамбош Я., Асимптотическая теория зкстремальных поредковых статистик М. Наука, 984, 303 c. 6. Гнеденко Б. В., Гнеденко Д. Б., О распределении Лапласа и логистическом как предельных в теории вероятностей. Сердика, 982,. T. 8, с. 229-234. 7. Jokimaitis, A., Daugiamačių atsitiktiių dydžių ekstremaliųjų reikšmių asimptotika, Disertacija mokslų daktaro laipsiui, Vilius, 998. 8. Satheesh S., Uikrisha air., O the stability of geometric extremes, Joural of the Idia Statistical Associatio, Vol. 42, 2004, p. 99-09. 9. www.mathworks.com

PRIEDAS. PAKLAIDA IR ĮVERTIS (EPRIKLAUSOMŲ KOMPOEČIŲ ATVEJU) 44 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 20, α 3, β 3. 2 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α, β.

45 3 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α 4, β 4. 4 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, 50, α 3, β 3.

46 5 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 4, y 8, α, β. 2 PRIEDAS. PAKLAIDA IR ĮVERTIS (PRIKLAUSOMŲ KOMPOEČIŲ ATVEJU) 6 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 0, α 3, β 3.

47 7 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 00, α, β. 8 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio paviršius, kai 50, α 4, β 4.

48 9 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 5, 20, α 4, β 4. 0 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai x 0, y 5, α, β.

49 pav. Paklaidos ir kovergavimo greičio įverčio grafikas, kai y 5, 0, α 2, β 2. 3 PRIEDAS. STRAIPSIS VIEMAČIŲ IR DVIMAČIŲ PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ MAKSIMUMO ASIMPTOTIö AALIZö 8-OJI STUDETŲ TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KOFERECIJA VIEMAČIŲ IR DVIMAČIŲ PARETO ATSITIKTIIŲ DYDŽIŲ MAKSIMUMŲ ASIMPTOTIö AALIZö Gitar Juozulyait, Algimatas Aksomaitis Kauo techologijos uiversitetas Sakykime, kad X, X 2,..., X yra epriklausomi atsitiktiiai dydžiai su Pareto skirstiio fukcija F x, x, α > 0. ( ) Atsitiktiis dydis pasiskirstęs pagal geometriį skirstiį: x α k ( ) ( ) P k p p, k. Atsitiktiiai dydžiai X j, j ir yra tarpusavyje epriklausomi. agri sime maksimumų Z max X, X,..., X geometriį stabilumą. ( ) 2

Teorema. Jeigu α, tai Jeigu α, tai P( Z xb( p) + a( p) ), x. x α x lim P( Z xb( p) ) Ψ( x), p 0 α α + x + x Kai α, galioja tolygusis kovergavimo greičio įvertis: () α čia ( x) P Z xp Ψ( x) Įrodymas. Kai, ormalizuodami maksimumą. p p α parekame a( p), b( p) Z gauame: p ( x) + p sup () 0; x. p x 0. x+ p x+ p P( pz p+ x) P Z g F. p p 50 tai Kadagi geometriio skirstiio geeruojačioji fukcija yra pz g( z), z, p z ( ) x+ p pf x+ p p p( x ) P Z, x. p x+ p px x ( p) F p Pirmoji teoremos dalis įrodyta. Kai α, parekame ormavimo kostatas a( p ) 0, b( p) Tada Tuomet Pažym kime: Gauame, kad Atroji teoremos dalis įrodyta. p α. α pf xp α x p α α P p Z x P Z xp α, x p. α x p+ α ( p) F xp α x α lim P p Z x Ψ x p 0 α α + x + x ( ) x 0. α α () x p x p α ( x) P Z xp Ψ ( x) x p+ + x x p+ + x ( )( ) α α α α p ( x) + p sup () 0. x Literatūra. Aksomaitis A. Perk limo teorema ir geometriškai maks-stabilieji atsitiktiiai dydžiai. Liet. matem. rik.,4 (spec. r.), 2003. 2. Aksomaitis A. Tikimybių teorija ir statistika. - Kauas: Techologija, 200. 347 p. 3. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. - Москва: Наука, 984, 304 с.

4 PRIEDAS. PROGRAMOS TEKSTAS. 5 fuctio varargout programa(varargi) gui_sigleto ; gui_state struct('gui_ame', mfileame,... 'gui_sigleto', gui_sigleto,... 'gui_opeigfc', @programa_opeigfc,... 'gui_outputfc', @programa_outputfc,... 'gui_layoutfc', [],... 'gui_callback', []); if argi & isstr(varargi{}) gui_state.gui_callback str2fuc(varargi{}); ed if argout [varargout{:argout}] gui_maifc(gui_state, varargi{:}); else gui_maifc(gui_state, varargi{:}); ed % ----Atidaro programos laga. fuctio programa_opeigfc(hobject, evetdata, hadles, varargi) hadles.output hobject; axes(hadles.axes); cla set(hadles.axes,'visible','off'); set(hadles.edit,'visible','off'); set(hadles.edit2,'visible','off'); set(hadles.edit3,'visible','off'); set(hadles.edit4,'visible','off'); set(hadles.edit5,'visible','off'); set(hadles.text,'visible','off'); set(hadles.text2,'visible','off'); set(hadles.text3,'visible','off'); set(hadles.text4,'visible','off'); set(hadles.text5,'visible','off'); set(hadles.text6,'visible','o'); set(hadles.text7,'visible','o'); set(hadles.text8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','o'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off');

set(hadles.pushbutto9,'visible','o'); set(hadles.pushbutto0,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','o'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto5,'visible','o'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','o'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','off'); guidata(hobject, hadles); 52 % ------------------------------------------------------------------- fuctio varargout programa_outputfc(hobject, evetdata, hadles) varargout{} hadles.output; % ------------------------------------------------------------------- fuctio popupmeu_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed % --- Baigia programos darba. fuctio pushbutto_callback(hobject, evetdata, hadles) delete(hadles.figure); % --- Braizo paklaidos ir ivercio pavirsiu, kai fiksuotas(epriklausomos) fuctio pushbutto2_callback(hobject, evetdata, hadles) hadles.; alfahadles.alfa; betahadles.beta; [x,y]meshgrid(:0.:0, :0.:0); for i:legth(x); for j:legth(y); f(-x(i,j)^(-alfa)/-y(i,j)^(-beta)/+(x(i,j)^(-alfa)*y(i,j)^(- beta))/(^2))^; Hexp(-x(i,j)^(-alfa)-y(i,j)^(-beta)); paklaida(i,j)abs(f-h); u*(-(-x(i,j)^(-alfa)/-y(i,j)^(-beta)/+(x(i,j)^(-alfa)*y(i,j)^(- beta))/(^2))); vu+log(h); q2*u^2/(3*); sabs(v)/3; if (u/</2) & q>0 & q< & s>0 & q<

R2*u^2/+2*u^4/(^2)*/(-q); R2abs(v)+v^2/2*/(-s); delta(i,j)h*(r+r2+r*r2); ed ed ed surf(x,y,paklaida); xlabel('x','fotsize',2,'fotweight','bold'); ylabel('y','fotsize',2,'fotweight','bold'); zlabel('paklaida, Ivertis','Fotsize',2,'Fotweight','Bold'); hold o surf(x,y,delta); 53 % ---------------------------------------------------- fuctio edit_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed % ---Ivedama x reiksme. fuctio edit_callback(hobject, evetdata, hadles) x_strigstr2double(get(hobject,'strig')); if (isa(x_strig) (x_strig < )) set(hobject,'strig',); errordlg('eteisigai įvesta x reikšm (x>)!!!','klaida'); else xx_strig; hadles.xx; guidata(hobject,hadles); ed % --------------------------------------------------- fuctio edit2_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed % ---Ivedama y reiksme. fuctio edit2_callback(hobject, evetdata, hadles) y_strigstr2double(get(hobject,'strig')); if (isa(y_strig) (y_strig < )) set(hobject,'strig',); errordlg('eteisigai įvesta y reikšm (y>)!!!','klaida');

else yy_strig; hadles.yy; guidata(hobject,hadles); ed 54 % --------------------------------------------------- fuctio edit3_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed % ---Ivedama reiksme. fuctio edit3_callback(hobject, evetdata, hadles) _strigstr2double(get(hobject,'strig')); if (isa(_strig) (_strig < 5)) set(hobject,'strig',); errordlg('eteisigai įvesta reikšm (>5)!!!','Klaida'); else _strig; hadles.; guidata(hobject,hadles); ed % --------------------------------------------------- fuctio edit4_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed % ---Ivedama alfa reiksme. fuctio edit4_callback(hobject, evetdata, hadles) alfa_strigstr2double(get(hobject,'strig')); if (isa(alfa_strig) (alfa_strig < 0)) set(hobject,'strig',); errordlg('eteisigai įvesta alfa reikšm (alfa>0)!!!','klaida'); else alfaalfa_strig; hadles.alfaalfa; guidata(hobject,hadles); ed

% --------------------------------------------------- fuctio edit5_createfc(hobject, evetdata, hadles) if ispc set(hobject,'backgroudcolor','white'); else set(hobject,'backgroudcolor',get(0,'defaultuicotrolbackgroudcolor')); ed 55 % ---Ivedama beta reiksme. fuctio edit5_callback(hobject, evetdata, hadles) beta_strigstr2double(get(hobject,'strig')); if (isa(beta_strig) (beta_strig < 0)) set(hobject,'strig',); errordlg('eteisigai įvesta beta reikšm (beta>0)!!!','klaida'); else betabeta_strig; hadles.betabeta; guidata(hobject,hadles); ed % --- Paklaidos ir ivercio pavirsius, kai fiksuotas(epriklausomos). fuctio pushbutto3_callback(hobject, evetdata, hadles) set(hadles.edit,'visible','off'); set(hadles.edit2,'visible','off'); set(hadles.edit3,'visible','o'); set(hadles.edit4,'visible','o'); set(hadles.edit5,'visible','o'); set(hadles.text,'visible','off'); set(hadles.text2,'visible','off'); set(hadles.text3,'visible','o'); set(hadles.text4,'visible','o'); set(hadles.text5,'visible','o'); set(hadles.axes,'visible','o'); set(hadles.text6,'visible','o'); set(hadles.text7,'visible','off'); set(hadles.text8,'visible','o'); set(hadles.pushbutto3,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','o'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','off'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','off'); set(hadles.pushbutto0,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','off');

set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','off'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','o'); 56 % --- Grazia i pradiii laga. fuctio pushbutto4_callback(hobject, evetdata, hadles) axes(hadles.axes); cla set(hadles.axes,'visible','off'); set(hadles.edit,'visible','off'); set(hadles.edit2,'visible','off'); set(hadles.edit3,'visible','off'); set(hadles.edit4,'visible','off'); set(hadles.edit5,'visible','off'); set(hadles.text,'visible','off'); set(hadles.text2,'visible','off'); set(hadles.text3,'visible','off'); set(hadles.text4,'visible','off'); set(hadles.text5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto5,'visible','o'); set(hadles.pushbutto6,'visible','o'); set(hadles.pushbutto7,'visible','o'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','o'); set(hadles.pushbutto0,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','o'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto5,'visible','o'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','o'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.text6,'visible','o'); set(hadles.text7,'visible','o'); set(hadles.text8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','off');

57 % --- Paklaidos ir ivercio grafikas, kai y ir fiksuoti(epriklausomos). fuctio pushbutto5_callback(hobject, evetdata, hadles) set(hadles.edit,'visible','off'); set(hadles.edit2,'visible','o'); set(hadles.edit3,'visible','o'); set(hadles.edit4,'visible','o'); set(hadles.edit5,'visible','o'); set(hadles.text,'visible','off'); set(hadles.text2,'visible','o'); set(hadles.text3,'visible','o'); set(hadles.text4,'visible','o'); set(hadles.text5,'visible','o'); set(hadles.axes,'visible','o'); set(hadles.text6,'visible','o'); set(hadles.text7,'visible','off'); set(hadles.text8,'visible','o'); set(hadles.pushbutto3,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','o'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','o'); set(hadles.pushbutto5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto6,'visible','o'); set(hadles.pushbutto7,'visible','off'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','off'); set(hadles.pushbutto0,'visible','off'); set(hadles.pushbutto,'visible','off'); set(hadles.pushbutto2,'visible','off'); set(hadles.pushbutto3,'visible','off'); set(hadles.pushbutto4,'visible','off'); set(hadles.pushbutto5,'visible','off'); set(hadles.pushbutto6,'visible','off'); set(hadles.pushbutto7,'visible','off'); set(hadles.pushbutto8,'visible','off'); set(hadles.pushbutto9,'visible','o'); % --- Braizo paklaidos ir ivercio grafika, kai y ir fiksuoti(epriklausomos). fuctio pushbutto6_callback(hobject, evetdata, hadles) yhadles.y; hadles.; alfahadles.alfa; betahadles.beta; x:0.:0; for i:legth(x) f(-x(i)^(-alfa)/-y^(-beta)/+(x(i)^(-alfa)*y^(-beta))/(^2))^;