1 skyrius

Transkriptas

1 VILNIAUS UNIVERSITETAS VALERIJONAS DUMSKIS STOCHASTINĖS PUSIAUSVYROS PAIEŠKOS METODŲ TYRIMAS IR TAIKYMAS Dakaro dseraca Technologos moksla Informakos nžnera 7 T Vlnus 4

2 Dseraca renga 9 3 meas Vlnaus unerseo Maemakos r nformakos nsue. Mokslns adoas prof. habl. dr. Leondas Sakalauskas Vlnaus unerseas echnologos moksla nformakos nžnera 7 T.

3 Padėka Nuošrdža dėkou mokslnam adou prof. habl. dr. Leondu Sakalausku už nuolanes r erngas mokslnes konsulacas per dokoranūros sudas už paarmus r pasūlymus be nuolanį dėmesį dėkou Vlnaus unerseo Maemakos r nformakos nsuo drekoru prof. habl. dr. Gnauu Dzemyda už sapusšką paramą suduoan dokoranūroe dėkou MII duomenų analzės skyraus operacų yrmo sekoraus darbuooams be dokoranams už bendradarbamą r supramą. Askra noru padėko dseracos recenzenams doc. dr. Audrone Jakaene r doc. dr. Igoru Belou adža skačusems dseracą r paekusems daug erngų paarmų be krnų pasabų. Rešku padėką Šaulų unerseo Maemakos r nformakos fakuleo dekanu prof. dr. Daru Šaučūnu sems Informakos r Maemakos kaedrų darbuooams už sokeropą pagalbą ruošan šą dseracą. Tap pa noru padėko sems draugams r armesems už ų paramą kanrybę suprangumą r melę. Ypač dėkou anūkams Ola r Edardu už ų smalsumą r norą šmok skay nes a mane skano drb. Valeronas Dumsks 3

4 Rezumė Dseracos obekas heerogennų agenų modelo yrmas r akymas sochasnėms Nešo r Sakelbergo pusausyroms modeluo Mone Karlo meodu. Darbo kslas nusay heerogennų agenų įaką ekonomno burbulo susdarymu sukur r šr deų lygų sochasno programamo specalų uždanų be sochasnės Nešo pusausyros paeškos Mone Karlo algormus. Nearų būsenų burbulų r ų grūčų denfkamas laba sarbus ekonomka be fnansams. Dseracoe paekas burbulo pradžos denfkamo maemans models kurį akan buo šras Leuos neklnoamoo uro burbulas. Esan neapbrėžumu sprendmus dažna prma kel ndda kurų neresa nesuampa. Tokose suacose akoma ena š pusausyros koncepcų būen sochasnė Nešo pusausyra. Darbe šra sochasnė Nešo pusausyra r pasūlyas os gradennės paeškos algormas. Sochasnės Nešo pusausyros gradennės paeškos algormas šras sprendžan elekros rnkos su šanksnas sandoras uždanį. Ka sprendma prmam herarchška a suacos modeluoamos daugelo lygų modelu. Deų lygų models yra askras daugelo lygų modelo aes. Opmzamo uždanys kuro kslo funkcoe r rbomuose yra sąlygnės rzkos rekšmė angl. Condonal Value a Rsk CVaR yra deų lygų uždanys. Dseracoe pasūlyas oko uždano sprendmo algormas r esnu uždanu šra o elgsena. Je sochasns deų eapų esns uždanys sprendžamas rekšmngų mčų meodu a rg gaunamas deų lygų uždanys. Dseracoe pasūlyas sochasno deų eapų esno uždano sprendmo rekšmngų mčų algormas r parodya kad s ledža sumažn eracų kekį rekalngą sprendnu rekamu kslumu ras. 4

5 Dseracą sudaro penk skyra leraūros sąrašas r predas. Bendra dseracos apms 3 puslapų 9 paekslų r lenelų. Dseracos rezulaa prsay arpaunėse mokslnėse konferencose 3 pranešma r Leuos mokslnėse konferencose 4 pranešma. Darbo rezulaa paskelb mokslo lednuose referuoamuose prpažnose arpaunėse duomenų bazėse Leuos mokslo arybos parnas sąrašas: CEEOL r Inde Coperncus srapsna r srapsns prmas spausdnmu MaScNe MahemacalReews srapsns. Tarpaunų konferencų darbuose įraukuose į Mokslnės nformacos nsuo sąrašą publkuoas srapsns recenzuoamoe Leuos arpaunės konferencos medžagoe srapsns. 5

6 Absrac The research subec of he dsseraon s he analyss of he model of heerogenous agens and s applcaon for modellng sochasc Nash and Sackelberg equlbrums applyng he Mone Carlo mehod. The am of he dsseraon s o denfy he mpac of heerogeneous agens on he formaon of he economc bubble o creae and eamne algorhms for specal bleel sochasc programmng problems and for search of he sochasc Nash equlbrum applyng he Mone Carlo mehod. Idenfcaon of unsusanable saes bubbles and her crashes n economcs and fnances s of maor mporance. The hess offers a mahemacal model for denfcaon of he begnnng of he bubble. Ths model has been appled for he analyss of he real esae bubble n Lhuana. In cases of uncerany decsons are ofen made by seeral ndduals whose neress do no concde. In such suaons one of he conceps of he equlbrum s he sochasc Nash equlbrum. The dsseraon eamnes he sochasc Nash equlbrum and offers he algorhm for graden search of hs equlbrum. The algorhm for graden search of he sochasc Nash equlbrum was eamned by solng he problem of elecrcy marke wh preceden agreemens. The suaons n whch decsons are made herarchcally are modelled employng he mulleel model. The bleel model s a separae case of he mulleel model. The opmzaon problem where he obece funcon and consrans conan condonal alue a rsk s a bleel problem. The dsseraon offers he algorhm for solng such problem and by solng he es problem he behaour of he algorhm s nesgaed. If we sole a wo sage sochasc lnear problem employng he mehod of mporance samplng we also oban he bleel programmng problem. The dsseraon proposes he algorhm for solng he wo sage sochasc lnear problem employng he mehod of mporance samplng and 6

7 demonsraes ha hs algorhm enables o reduce he number of eraons whch s necessary for fndng he soluon wh proper accuracy. The dsseraon consss of fe chapers he ls of references and he append. The oal olume of he dsseraon s 3 pages here are 9 fgures and ables. The resuls of he dsseraon were presened a nernaonal 3 papers and naonal 4 papers scenfc conferences. Research resuls were announced n scenfc publcaons and n reewed recognsed nernaonal daa bases he ls approed by he Scence Councl of Lhuana: arcles and arcle acceped for prnng n scenfc ournals whch are ncluded n CEEOL and Inde Coperncus arcle n MaScNe Mahemacal Reews publcaon n Inernaonal conference proceedngs ncluded n he ls of he Insue of Scenfc Informaon publcaon n reewed Lhuanan nernaonal conference proceedngs. 7

8 Turnys Padėka... 3 Rezumė... 4 Absrac... 6 Turnys... 8 Žymenys r sanrumpos... Paekslų sąrašas... 3 Lenelų sąrašas Įadas Tyrmų srs Problemos akualumas Tyrmų obekas Tyrmų kslas r uždana Mokslns nauumas Praknė darbo rekšmė Gname egna Darbo rezulaų aprobamas Darbo rezulaų publkamas Dseracos srukūra... skyrus. Pusausyros paeškos uždana..... Pusausyros sąoka..... Heerogennų agenų models HAM Deų lygų programamas Bleel programmng BP Nekooperana lošma Nekooperano lošmo models Pusausyros sąoka nekooperanuose lošmuose Sochasnė Nešo pusausyra Nešo pusausyros egzsenca r os pusausyros paeškos meoda

9 .5. Mone Karlo meodas Mone Karlo meodas obekų r procesų elgsena r Mone Karlo meodas įerčams gau Mone Karlo meodas opmzamu... 4 Skyraus šados skyrus. Fnansnų krzų pusausyros modelų yrmas Fnansna burbula r ų grūys Ponz schema Maemanė fnansnų burbulų r ų grūčų apbrėžs Burbulų r grūčų maemans apbrėžmas Burbulų r grūes maemans apbrėžmas esan deų pų nddams Paprasas heerogennų agenų models HAM Skyraus šados skyrus. Deų lygų sochasna uždana Sochasns programamas ka CVaR paenka į kslo funkcą r rbomus VaR r CVaR rzkos maa Uždano formuluoė Mone Karlo įerča Sochasns opmzamo algormas Algormo esamas Rekšmngų mčų meodas deų eapų esnam sochasnam uždanu Sochasno programamo obulnmas akan rekšmngų mčų meodą Mone Karlo rekšmngų mčų meodas sochasnam programamu Rekšmngų mčų meodo yrmas... 8 Skyraus šados skyrus. Sochasnės Nešo pusausyros paeška

10 5.. Sochasnė Nešo pusausyra Sochasnės Nešo pusausyros uždanys Gradennės paeškos meodas Sochasns Nešo pusausyros models elekros rnka su šanksnas sandoras... 9 Skyraus šados Darbo šados Leraūra... Predas...

11 Žymenys r sanrumpos N... n lošėų nddų abė X -oo lošėo galmų eksmų abė... n X eksmų profls X X... X n u : X -oo lošėo naudngumo šlošo funkca u u... u lošėų naudngumo funkcų rnknys n N X u normalo nekooperano lošmo forma ~ preferencos sąryšs ka prmenybė ekama bagme bagmę... sraegų ekorus n preš kų lošėų be -oo lošėo konroluoama sraegų ekoraus dals sraegų ekorus -oo lošėo sraegų ekoraus komponenė r kų lošėų be -oo lošėo sraegų ekoraus dals P A arba PrA įyko A kmybė enmaė Eukldo erdė enmaės Eukldo erdės nenegamas puserds n n maamų Eukldo erdė elemenarųų įykų abė sgma algebra P kmybns maas kuro anko funkca P kmybnė erdė p : n elemenaruss įyks kmybnėe erdėe P E maemanės ls z ~ p z passkrsęs pagal kmybnį ankį p z ~ N z passkrsęs pagal normalųį dėsnį kuro durks yra o sandarns nuokryps.

12 Ef... funkcos f : n durks n D g z askno dydžo z dspersa g ažlgu [ ] ma rbnė rekšmė CVaR [ f ] sąlygnė rzkos rekšmė praradmų funkca f pre rekšmngumo lygmens N normaluss paskrsymo kuro durks r dspersa dėsns n passkrsymo -kanls pre n lasės lapsnų F funkcos F gradenas aške F funkcos F gradeno įers aške NF fundamenalsų skačus NS čarsų skačus GNM Gondan r Wlson globalus Nuono meodas BP deų lygų programamo uždanys angl. bleel programng CVaR sąlygnė rzkos rekšmė angl. Condonal Value a Rsk VaR rzkos rekšmė angl. Value a Rsk HAM heerogennų agenų models.

13 Paekslų sąrašas 3. pa. Normalzuoos skrumų sumos pa. Neklnoamoo uro kanų ndeksas nuo 5 k pa. Kana r eksponennė rendo kreė baznė lna pa. Kana r eksponennė rendo kreė baznė lna du nddų pa5 3.5 pa. Kanos neralo pabagoe r pradžoe be NS r NF sanyka pa. Kana pagal HAM r real kana pa. Fundamenalsų dals pa. Čarsų dals pa. Čarsų r fundamenalsų dalų sanyks pa. Vdunės rekšmės pa. Ieracų skačaus rekalngo uždanu šspręs sanykns dažns pa. Bendras Mone Karlo bandymų skačus pa. Mone Karlo mes dyds pa. Generaorų kslo funkcos pa. Generaorų kslo funkcų gradena pa. Generaorų kslo funkcų pasklomo neralų lga pa. Hoelngo T saskos r Fšero skrsno kanlo sanyks pa. Generaorų gamnam keka r bendras keks pa. Imes lgo kmas

14 Lenelų sąrašas 4. lenelė. Sąlygnės rzkos opmzamo algormas lenelė. Tesnų funkcų duomenys r opmzamo rezulaa lenelė. CVaR opmzamo rezulaų grafka ka knamųų skačus n yra lygus lenelė. Rekšmngų mčų algormas deų eapų esno sochasno programamo uždanu lenelė. Sochasnės Nešo pusausyros paeškos algormas lenelė. Keka pagal suars r kašų funkcos lenelė. Uždano sprendmo rezulaa lenelė. Leuos neklnoamoo uro kanų ndeksas 9 meas.. lenelė. Marca A ekora b c h ekoraus durks r nuokryps... 3 lenelė. Marca W... 4 lenelė. Vekorus a lenelė. Marca T

15 . Įadas.. Tyrmų srs Pusausyros būsena r su a susę klausma akualūs daugelu ekonomkos erslo be fnansų aldymo srčų. Paprasa pusausyra yra kuro nors dnamno proceso šdaa. Sarbu nusay kuroms sąlygoms esan egzsuoa pusausyra r e egzsuoa a ar yra ennelė kap pasekama pusausyra 3 kek yra sabl o pusausyra. Pusausyros paeška laba sarb ekonomnės analzės akymams: prognozuoan bagmę r įernan nkamas modelo paramerų rekšmes lygnan ekspermeno rezulaus su modelo prognozėms esuoan suproekuoą mechanzmą. Takomuosuose uždanuose dažna analzuoama Nešo pusausyra kuroe nė enas š lenkynauančų nddų lošėų beselgančų nekooperuoa neur kenmo am nenaudnga enpusška kes sao sraegą ka k ndda lakos pusausyros sraegos. Je lošėa prma sprendmus herarchška a urme Sakelbergo pusausyrą. Daugelye ekonomkos r fnansų srčų susdurama su enokos ar kokos rūšes duomenų neapbrėžumu payzdžu paklausa prklauso nuo am krų asknų dydžų arba ka kurų paramerų negalma ksla nusay ar šmauo. Toku aeu reka nagrnė sochasnę pusausyrą. Praknuose uždanuose ka esama daug skrngų nddų lošėų enka r ų elgsenos dnamką nusay pasarosos rbnus aeus be ras paramerų rekšmes pre kurų š dnamka eda į pusausyrą... Problemos akualumas Je prman sprendmą dalyaua keleas lošėų kurų neresa nesuampa r e negal kooperuos oks lošmas adnamas nekooperanu lošmu. Jame lošėas rnkdamass š am galmų sraegų seka maksmzuo mnmzuo sao kslo funkcą kuros rekšmė prklauso r nuo kų lošėų sraegų. 95 meas J. Nešas pasūlė nekooperanams lošmams pusausyros koncepcą. Esan pusausyra pasak Nešo nė enas lošėas 5

16 neur kenmo kes sao sraegos s oku aeu gauų ą paį arba mažau e s k lošėa lakos pusausyros sraegų. Per keleą pasarųų dešmmečų įarų sochasnės Nešo pusausyros modelų su neapbrėžas duomenms buo pasūlya skrngems praknams uždanams spręs. Daugels pusausyros suacų modeluoama deų lygų sprendmo prėmmo modelas kuruose sarb sprendmo prėmmo arka. Te modela adnam Sakelbergo lošmas kuruose lesna sraegų abė yra nusakoma ko paramerno opmzamo uždano opmalas sprendnas. Šo po modela akom įarose sryse kur ršuname lygye lyders maksmzuoa mnmzuoa sao kslo funkcą prklausančą ek nuo o ek r nuo pasekėo sraegos be o pasrenka sraegą į kurą reaguoans pasekėas prma sprendmą apaname lygye ap kad maksmzuoų mnmzuoų sao kslo funkcą. Laba dažna reka įern ne k šlošį ar praradmą kure prklauso nuo asknų dydžų be r rzką. Rzkos įernmo klausma yra laba sarbūs fnansų rnkose. Tada į modelį reka įrauk kurį nors rzkos maą: a gal bū rzkos rekšmė VaR angl. Value a Rsk ar sąlygnė rzkos rekšmė CVaR angl. Condonal Value a Rsk..3. Tyrmų obekas Dseracos obekas heerogennų agenų modelo yrmas r akymas sochasnės Nešo r Sakelbergo pusausyrų modelamu Mone Karlo meodu..4. Tyrmų kslas r uždana Darbo kslas nusay heerogennų agenų įaką ekonomno burbulo susformamu sudary r šr deų lygų sochasno programamo specalų uždanų be sochasnės Nešo pusausyros paeškos Mone Karlo algormus. Šam kslu įgyendn numay oke uždana: 6

17 . Sukonsruo ekonomno burbulo r o grūes maemanį modelį be praky į Leuos neklnoamoo uro burbulu šr.. Sudary Mone Karlo algormą sąlygne rzka opmzuo esan rbomuose sąlygne rzka. 3. Alk rekšmngų mčų meodo yrmą r į praky esno deų eapų sochasno programamo uždanu spręs. 4. Alk sochasnės Nešo pusausyros yrmą r sudary algormą os pusausyros paeška įern šo algormo elgseną..5. Mokslns nauumas Nau alko yrmo rezulaa:. Pasūlyas ekonomno burbulo r o grūes maemans models į kurį įrauk deų skrngų pų agena.. Sudaryas r šras sochasno programamo uždano kuro kslo funkcoe r rbomuose yra sąlygnė rzkos rekšmė sprendmo Mone Karlo algormas. 3. Sudaryas r šras rekšmngų mčų algormas prakyas deų eapų esno sochasno programamo uždanu spręs. 4. Sudaryas r šras sochasnės Nešo pusausyros paeškos Mone Karlo algormas o sabdymu prakan sasnus krerus..6. Praknė darbo rekšmė Prakna darbo rezulaa:. Pasūlyas nearos būsenos burbulo r o grūes maemans models kurs prakyas Leuos neklnoamoo uro burbulo yrmu.. Sudaryas Mone Karlo algormas sąlygne rzkos rekšme opmzuo ka esama rbomų sąlygne rzkos rekšme; algormas šras sprendžan sugeneruous esnus uždanus. 3. Sudaryas deų eapų esno sochasno programamo rekšmngų mčų algormas kurs šras sprendžan esnį uždanį. 7

18 4. Sudaryas algormas sochasnės Nešo pusausyros paeška; s prakyas elekros ekmo su šanksnas sandoras uždanu spręs..7. Gname egna. Į ekonomno burbulo maemanį modelį įraukus deų skrngų pų agenus čarsus r fundamenalsus gaunamas kslesns burbulo pradžos r o grūes nusaymas.. Sochasnės Nešo arba Sakelbergo pusausyros nuoseklos Mone Karlo paeškos algorma pasžym geru konergamu r ledža nusay pusausyros sraegą normu kslumu sabdan algormą pagal sasnį krerų..8. Darbo rezulaų aprobamas Tyrmų rezulaa buo prsay r apar:. Ponz modellng of he real esae marke Knowledge-based echnologes and OR mehodologes for sraegc decsons of susanabled deelopmen : 5h nernaonal Vlnus conference EURO-mn conference KORSD-9 Sepember 3 Ocober 3 9. Fnansnų burbulų yrmas LMD LI konferenca Šaula. 3. The mahemacal defnon of he fnancal bubbles and crashes 3-o Leuos aunųų mokslnnkų konferenca: Operacų yrma erslu r socalnams procesams LOTD Vlnus. 4. Sąlygnės rzkos CVaR esan rbomams sochasns opmzamo algormas LMD LIII konferenca 6 Klapėda. 5. Sąlygnė rzka deų lygų uždanu h EUROPT Workshop on Adances n Connuous Opmzaon EUROPT Šaula. 6. On Rsk Aerson Opmzaon by Mone Carlo Mehod Inernaonal Workshop Sochasc Programmng for Implemenaon and Adanced Applcaons STOPROG - July 3-6 Nernga. 8

19 7. Sochasnės Nešo pusausyros paeškos algormas 6-o mokslnė kompuernnkų konferenca Kompuernnkų denos 3 Šaula: ŠU 3 m. rugsėo 9 d..9. Darbo rezulaų publkamas Tyrmo rezulaa publkuo šuose mokslo lednuose:. V. Dumsks. 4 Reduced game and s soluons Leuos maemakos rnknys. 44 spec. nr. p ISSN V. Dumsks L. Sakalauskas 9. Ponz modellng of he real esae marke Knowledge-based echnologes and OR mehodologes for sraegc decsons of susanabled deelopmen : 5h nernaonal Vlnus conference EURO-mn conference Sepember 3 Ocober 3 9 : Seleced papers eded by M. Grasserbauer L. Sakalauskas E. K. Zaadskas Vlnus p ISBN V. Dumsks L. Sakalauskas.. The mahemacal defnon of he bubbles and crashes Jaunųų mokslnnkų darba 4 37 p. 7 ISSN V. Dumsks V. Gugues L. Sakalauskas.. On Rsk Aerson Opmzaon by Mone Carlo Mehod Inernaonal Workshop Sochasc Programmng for Implemenaon and Adanced Applcaons STOPROG - Proceedngs July 3-6 Nernga p. 9 3 ISBN V. Dumsks L. Sakalauskas. 3. Rekšmngų mčų meodas deų eapų sochasnam esnam uždanu Jaunųų mokslnnkų darba Nr. 4 p. 4 ISSN V. Dumsks L. Sakalauskas. 4. Sochasnės Nešo pusausyros paeškos algormas Jaunųų mokslnnkų darba Nr. 4 prmas spauda ISSN

20 .. Dseracos srukūra Dseracą sudaro penk skyra leraūros sąrašas r predas -ass skyrus įadas. -ame skyrue formuluoam pusausyros paeškos uždana: heerogennų agenų models deų lygų sochasno programamo uždanys Nešo pusausyros models r alekamas analns ų yrmas. 3-ame skyrue prsaom rnkos fnansnų burbulų r ų grūčų yrma akan Ponz schemą r pasūlyą fnansnų burbulų r ų grūčų maemanį modelį be heerogennų agenų modelį. 4-ame skyrue prsaom deų lygų sochasno programamo uždana uždanys kuro kslo funkcoe r rbomuose yra CVaR deų eapų sochasno esno programamo uždano sprendmas rekšmngų mčų meodu. 5-ame skyrue prsaom sochasnės Nešo pusausyros paeškos algormo be o akymo yrmo rezulaa. Darbo pabagoe suformuluoos šados paeka leraūra r predas.

21 skyrus. Pusausyros paeškos uždana Šame skyrue paekama bendros pusausyros paeškos uždanų analns yrmas būen nekooperano lošmo models deų lygų programamo uždanys heerogennų agenų models kure yra panaudoam kuose skyruose sochasnės pusausyros paeškos meodams r algormams sudary. Apbrėžama Nešo pusausyros sąoka nekooperanams lošmams r apželgama deermnsnės pusausyros paeškos algorma. Sakelbergo pusausyra kur dažna pasako nekooperanuose lošmuose yra nagrnėama deų lygų programamo požūru. Kadang sochasnės pusausyros paeškos srs yra laba pla os neįmanoma aprėp enoe dseracoe darbe yra šskr r šr kel pna sochasnų Nešo r Sakelbergo pusausyrų paeškos uždana. Sudary sochasnės pusausyros paeškos meoda be algorma šr prakus darbe sudaryą Mone Karlo meodką kur paekama šame skyrue. J. Nash 95 pasūlė kooperanų r nekooperanų lošmų eorų suenodnmą adnamąą Nešo programą. y. kooperanį lošmą nagrnė kap am krą nekooperanį lošmą. Pagal Nešo programą galma ras okį nekooperanį lošmą kurame kur nors Nešo pusausyra gal bū sprendnys duoam kooperanam lošmu. Tos programos rezulaa apželg R. Serrano darbe 5. Kooperanį lošmą galma nagrnė r ku požūru. y. duoo kooperano lošmo lošėus padalname į d dals apbrėždam duoam lošmu redukuoą lošmą. y. okį lošmą kurame ena dals lošėų dalyaua o ka ne. B. Peleg 986 nusaė kap redukuoo lošmo saybėms apbrėž pradno lošmo sprendnus. V. Dumsks 4 paekė redukuoo kooperano lošmo ką araną r šyrė o saybes... Pusausyros sąoka Sąoka pusausyra anglškas akmuo equlbrum yra klus š loynų kalbos r reška lygus equal + balansas lbra. Šs ermnas reška kad ssema ekama konkuruoančų eksnų yra subalansuoa. Fzkos

22 mokslo aspeku a rekšų kad kūnas yra ramybės būsenos arba uda olyga ka sų į ekančų ėgų asoamo yra lyg nulu. Chemos mokslas uo ermnu nusakyų būseną ka reakcų gres r oms arkšnų reakcų gres yra as pas. Ekonomkos moksle a apbūdnų suacą bagmę kuroe ekonomnės ėgos okos kap pasūla r paklausa yra subalansuoos r e nėra poeko š šorės neskeča ekonomnų knamųų rekšmės. Payzdžu sakoma kad rnkoe yra pusausyra e kana nusaoma ap kad prekų r paslaugų keks kurį parduoda pardaėa lygus kanų r paslaugų keku kurį perka prkėa. Toka kana adnama konkurencne kana. Paskrsymo nklų adoas paslaugų ekėas komunkacos rnkoe ekėas ekmo grandye eka kap lyders r prma sprendmą prmas. Tada pasekėa ų nklų arooa perpardaėa renkas sao sraegą adoaudames lydero prmu sprendmu. Daugelo lygų programame r lošmų eoroe okos rūšes herarchno sprendmo prėmmo uždana yra nagrnėam sengans suras Sakelbergo pusausyros sprendnus. Je nekooperaname lošme nuo kų lošėų sraegų prklauso ne k duoo lošėo šlošo funkca be r am lesnos sraegos a urme apbendrną Nešo pusausyros uždanį. L. Sun paekė specalų deų lygų su daugelu pasekėų programamo uždanį į kurį ransformuoamas apbendrnas Nešo pusausyros uždanys. Kap ega M. Parksson r L. Wyner 997 neapbrėžumas būdngas beek sų herarchnų uždanų akymams r o nepasymas ar supaprasnmas gal branga kanuo. Skrng auora neenoda įrauka neapbrėžumą į akymus. M. Sakawa r H. Kaagr nagrnėa deų lygų esno programamo uždanus su asknas koefcenas akydam nerakyų neryškų angl. fuzzy programamą. C. Cromk r M. Parksson prsao herarchno opmzamo uždanų su neapbrėžas duomenms akymus. O. Ozaln r k. mdam ka bagnį scenarų kekį formuluoa deų lygų kuprnės uždano sochasnį praplėmą

23 kurame lydero sprendmo pasrnkmas sukela neapbrėžumą pasekėo kuprnės alpa. A. De Kok r G. Muraore modeluoa ekmo grandes kuroe prekų paklausa yra sochasnė koordnamą r opmzamą kap deų lygų uždanį. J. Ryu r k. nagrnėa deų lygų esan neapbrėžumu sprendmo prėmmo uždanį kurame prmame lygye sprendmas prmamas dėl paskrsymo o anrame lygye sprendmas prmamas dėl gamybos 4. Je paeka oko uždano sprendmo algormą kurs paremas paramernu programamu. E. Roghanan r k. ra ą paį uždanį be e neapbrėžumą rakuoa kap rbomų kmybnį aeį kur rboma gal bū nepaenkn daugausa su am kra kmybe 7. V. Kalashnko r k. paeka deų lygų daugelo eapų sochasnį opmzamo modelį skrą duų ekmo grandes kuro apmča subalansuo paskrsymo nkle esan asknėms eneo kanoms r askne paklausa. Tame modelye duų ekmo frma yra lyders o amzdyno operaorus pasekėas. L. Cheng r k. paeka deų lygų kanų formamo r užsakymų arp gamnoo r perpardaėo modelį esan olyga passkrsčusa paklausa 9. Šuo aeu e nagrnėa CVaR kap perpardaėo kslo funkcą. Kad būų galma ras opmalas nelgalakų prekų kanas esan rboems paėgumams rekalng įplaukų admnsramo modela payzdžu ešbučų mašnų nuomos aalnų koncernų organzacų admnsramu. Vsapusškas kanų formamo models pralo bū sudaryas š sochasnų dnamnų r lošmo eoros elemenų... Heerogennų agenų models HAM Rnkos kanų dnamkos paašknmas r prognozė dažnausa remas am kras fundamenalas fakoras. Te fakora gal bū duomenys ape prekų asargas gamybos paėgumus ekonomnę prognozę r ada remans šas fakoras galma prognozuo aees kanas. Ta padeda gera paaškn realą paklausą r pasūlą. Tačau ka kurose rnkose eka r nesamo fakorus kurs duoda parauklą grąžą. Tag fundamenalas fakoras 3

24 pagrįsas modelas negalma paaškn kanų dnamkos kurą nulema spekuluooa nes ų įakos negalma paaškn fundamenalas fakoras. Ekonomnės realybės modelamo meu yra prmamos radcnės r gera žnomos prelados: raconalų lūkesčų hpoezė efekyos rnkos hpoezė r pško ageno nddo koncepca. Be buo parodya Homes 6 kad os prelados yra logška nesudernamos r kad pagal modelus gau duomenys nesuampa su emprnas duomenms. Raconalų lūkesčų hpoezė pasklauan a Fredman 953; Lucas 97 buo akoma ekonomkos eoroe. Raconalų lūkesčų hpoezė posuluoa kad s nesuooa be ssemnės klados įerna aees kanas. M. Fredman argumenuoa 953 kad raconalūs nesuooa spekuluooa nešgyenų konkurencnėe rnkoe ačau C. Homes parodė 6 kad pagal raconalų lūkesčų eorą negal bū okų sandorų: e enas nddas ur daugau nformacos r nor parduo a poencalus prkėas numanys ape erės sumažėmą r neprks. Ka efekyos rnkos hpoezė arba nformaya efekyos rnkos hpoezė Fama 965 ega kad prekyba sueka są nformacą per kaną. Prekės kanos paskemą lema fundamenalūs ekonomna fakora: paklausa r pasūla. Be payzdžu Shller pasebmas kanos paskemo neakmas akcų r oblgacų fundamenaloms rekšmėms..3. Deų lygų programamas Bleel programmng BP Deų lygų programamo uždana BP dažna nagrnėam kap herarchna modela arba Sakelbergo lošma kuruose enas lošėas lyders ur prlegą loš prmas r s paskelba sao sprendmą kam lošėu pasekėu arba kems lošėams pasekėams. BP uždanuose sprendmo knamass yra suskadyas į du ekorus r y. Prmo lygo sprendmo prėmėas lyders konroluoa ekorų sprendmo prėmėas pasekėas konroluoa ekorų y m n. o anro lygo 4

25 Je norma sumodeluo herarchno sprendmo prėmmo proceso neapbrėžumus a būna nagrnė sochasnus deų lygų programamo uždanus. Tada urme.. uždanį: ršuns lygs mn E F y y. ka enknamos sąlygos G y ča y yra oko apans lygs mn E f y y uždano sprendnys. ka enknamos sąlygos g y n ča m y yra elemenaruss įyks kmybnėe erdėe P funkcos m n F : f : G m n r : g : m n enkna am kras negruonumo dferencuonumo be šklumo sąlygas maas P yra absoluča olydus r gal prklausy nuo. y. s yra apbrėžamas įedus anko funkcą p : n E yra maemanės les pagal asknį dydį smbols... uždano askr aea ram 4 skyrue. Ka anro apano lygo uždanys pakečamas o KKT Karush Kuhn Tucker Karush 939; Kuhn r Tucker 95 opmalumo sąlygoms ada.. uždanu urme ekalenų eno lygo uždanį: mn E F y ka enknamos sąlygos y s G y g y T ye f y yg y g y... s.3 ča s R yra Lagranžo daugkla. Deų lygų programamo uždano apbendrnmas yra maemano programamo su rbomas pusausyra uždanys kurame ko uždano prmos elės opmalumo sąlygos yra rbomuose. Deų lygų programamo uždanys gaunamas kap herarchno deų lygų modelo arba Sakelbergo lošmų Sackelberg 934 kuruose enas lošėas lyders ur prlegą prmas paskelb sao sprendmą preš 5

26 ką lošėą pasekėą maemanė formuluoė. Ašku ča gal bū askrų šo uždano aeų payzdžu ršuno lygo rbomuose gal nebū askno dydžo. Funkcos F G f g gal bū specalaus padalo payzdžu esnės. Je askna dydža yra dskree r ur bagnį rekšmų skačų a.. uždanį galma performuluo kap deermnuoą galbū laba ddelį. Dabarnu meu sochasno programamo modela yra plača naudoam ka norma realaus reškno įarus neapbrėžumus įrauk į kuramą modelį. Daugelye šos rūšes modelų į kslo funkcą įraukam asknų dydžų durka. Tačau okoe formuluoėe galma nepasebė r nenusay eksremalų efekų kure gaunam mnmzuoan ar maksmzuoan durkus nes ča laukamo durko mnmumas ar maksmumas argu ar gal bū garanuoas esan įarems rekšmngumo lygams. Todėl rekalnga nagrnė neapbrėžumą r rzkos konrolę karu. Vadnas į modelį reka įrauk ne k kslo funkcos rekšmės opmzamą be r am kro rzkos mao opmzamą..4. Nekooperana lošma.4.. Nekooperano lošmo models Lošmų eoroe nagrnėam modela kuras modeluoamos suacos ka neprklausom sau naudos eškanys ndda lošėa sraegška sąekaua arpusaye. Takan modelus galma r įarų srčų ekonomkos ča sorška yra daugausa akymų polkos bologos pschologos lngskos elekomunkacos r k. suacas. Lošmų eoroe yra d plačos yrmų srys: kooperana lošma r nekooperana lošma. Nekooperanų lošmų sąokos nerekėų supras esmuka. y. kad ča modeluoamos k os suacos kurose konflkuoa skrngų nddų neresa. Tap nėra nors nekooperanų lošmų eoroe daugausa ramos būen okos suacos. Karu reka pažymė kad 6

27 kooperana lošma kap dar adnam koalcnas lošmas nagrnėa r as suacas kurose nddų neresa nebūna suampa. Esmns šų deų rūšų modelų skrumas nekooperanuose modeluose pagrndns modelo elemenas yra nddas lošėas su o lms preferencoms r galmas o eksmas o kooperanuose lošmuose pagrndns modelo elemenas yra grupė koalca. Opmzamo eora os sanėe formuluoėe esns r neesns programamas ar dnamnėe formuluoėe opmalus aldymas ar aracns skačamas gal bū nagrnėama kap specalūs nenulnės sumos sana r dnamna lošma kuruose yra k enas lošėas. Nekooperans lošmas gal bū paekamas įaroms formoms. Vena š ų yra normalo forma. y. kekeno lošėo naudngumas paekamas kekena būsena. Askru aeu a būsena prklauso k nuo lošėų eksmų rnkno. Tesa būsena gal papldoma prklausy r nuo am kro askno eksno. Kadang daugels kų nekooperano lošmo paekmo formų gal bū suesos į normaląą formą a yra ena š fundamenalųų lošmų eoroe. Apbrėžmas. Normalo lošmo forma. Bagns normalosos formos lošmas yra reeas N X u kurame abės begalnu. N yra bagnė lošėų kure ndeksuo abė; X X... X n ča abė kekenas ekorus eksmų proflu; n lošėų X yra bagnė lošėo galmų eksmų... n X adnamas u u... u ča u : X real -oo lošėo naudngumo n šlošo funkca. Tokos formos lošma gal bū azduoam n maamų marca. Ka X yra bagnės a lošmas adnamas bagnu prešngu aeu 7

28 Paprasa sraega yra mšros sraegos kuroe paprasa sraega pasrenkama su kmybe lyga askras aes. Je kekenam eksmu prskrama nenulnė kmybė a urme sška mšras sraegas. Lošėa dažna ur prm sprendmus neapbrėžumo sąlygoms nes e yra: nekr dėl aplnkos obekyų paramerų ne sška nformuo ape įykus lošme nekr dėl kų lošėų eksmų kure nėra deermnuo nekr dėl kų lošėų raconalumo..4.. Pusausyros sąoka nekooperanuose lošmuose J. Neumann r O. Morgensern kooperanus lošmus lakė daug sarbesnas odėl rys keradala ų monografos Neumann Morgensern 944 yra skr būen kooperanams lošmams. Dabarnu meu prešnga sarbausose knygose daugau eos užma Nešo pusausyros sąoka nekooperanų lošmų sąoka Fudenberg r Trole 99; Myerson 99; Osborne r Rubnsen 994. Yra rys prežasys:. Kooperanų lošmų eoroe gnoruoama šorė. y. kad koalca gal bū ekama a neprklausančų lošėų eksmas.. Kooperanų lošmų eoroe daroma prelada kad Pareo efeky bagmė yra pasekama. 3. Kooperanų lošmų eoroe daroma prelada kad ddžo koalca sų lošėų koalca gal susformuo. aes susklosė odėl kad kooperana lošma paprasa aprašom charakerngos funkcos forma kuroe be kuros koalcos šloša gal bū gau neprklausoma nuo koalca neprklausančų lošėų. aes susęs su į sprendno koncepcą įraukamas efekyumo aksomų rekalamas. 3 aes gaunamas odėl kad rekalauama superadyų lošmų kure daugausa r nagrnėam leraūroe efekyumo. 8

29 Še kooperanų lošmų bruoža yra problemšk nes daugelu lošmų eoros akymų ekonomkoe šorė yra sarb Pareo efekyumo nėra r ddžo koalca nesusformuoa. Pakanka peržūrė klasknį Courno duopolos modelį. Nekooperanų lošmų eoroe Nešo pusausyros sąoka yra esmnė. Nešo pusausyroe kurs nors lošėas enpusška nukrypdamas nuo os ka k lakos pusausyros sraegų šloša mažau arba ek pa. Tag nė enas lošėas neur kenmo nukryp nuo Nešo pusausyros. Nešo pusausyros sąoka kap sprendno koncepca eksmnga nes yra logška nuosekl koherennė. Ta koncepca kuroe suderna: a kėno šlošo maksmzamas raconalus elgesys b korekška lošėų prognozė ape kų lošėų elgesį raconalūs lūkesča. Be o nusaya kad a ledža prognozuo elgesį prognozę ekspermenų meu ben au ka subeka ur pakankamą nagrnėamo lošmo parį. Tačau Nešo pusausyra ur r keleą rūkumų. Daugels lošmų ur nemaža okų pusausyrų r lošėams neašku kurą š ų pasrnk. Je lošėa ur sąlygas komunkuo preš pradėdam loš e gal pasrnk pusausyrą deryboms dėl o Nešo pusausyra dar adnama saęs prermo susarmu angl. self-enforcng agreemen. Be ne sada pakanka derybų įaroe pašaln. Tesa r be komunkamo daug pusausyrų dažna nesukura problemos. Ta būna uo aeu ka ena pusausyra sems yra žyma geresnė. Dea ne s lošma ur enoką ar koką pusausyrą į kurą lošėa naūrala orenuoas. Neg ka Nešo pusausyra ėra ennelė lošėų raconalumas pas saame negaranuoa kad pusausyra bus paseka nes lošėo mnmas ką k lošėa darys gal k š dales ak eksmų egą. Vena š nekooperanų lošmų eoros srčų yra mechanzmo proekamas angl. mechansm desgn. Mechanzmo proekamo eora yra 9

30 ekonomkos eoros nžneros dals. Veksmo pradža am kro kslo seks. Tada rama ašknamas koks mechanzmas. y. lošmas urėų bū sukonsruoas kad kslas būų pasekas pusausyroe uo aeu sakoma kad lošmas realzuoa kslą. Kas žodžas lošmas yra pasrenkamas o ne duoas. Prmanys sprendmus lošėa pagal sao preferencas erna galmas bagmes kuros gaunamos prklausoma nuo ų prmamų eksmų. Preferenca gal bū nusakoma kslo funkca kurą lošėas seka maksmzuo šuo aeu kslo funkca adnama naudngumo arba pelno funkca arba seka mnmzuo šuo aeu kslo funkca adnama kašų arba nuosolo funkca. Je lošmas nėra ralus a lošėo kslo funkcos rekšmė prklauso mažausa nuo eno ko lošėo eksmų sprendmo knamoo bendru aeu nuo sų lošėų. Todėl lošėas negal sao kslo funkcos opmzuo neprklausoma nuo kų lošėų eksmų. Tag urme lošėų galmų eksmų rnknus r sprendmo prėmmas yksa be kooperacos. Tradcnuose lošmų eoros akymuose sekama suras lošmo pusausyrą. y. sraegų kurų lošėa neur kenmo kes abę. Žnomos keleas šysyų pusausyros koncepcų. Gera žnoma Nešo pusausyra Nash 95 Sakelbergo pusausyra Sackelberg 934 r Pareo pusausyra Wang 993. Šų pusausyros koncepcų akymas skrnga moyuoamas prklausoma nuo akymo sres nors os karas persdenga ar suampa. Nešo pusausyros n lošėų lošmu defnca seama su sraegų rnkno ekorum... n kurį paogu užrašy ap:. Ča yra kų lošėų be -oo lošėo konroluoama ekoraus dals. e N Apbrėžmas. Lošme N X u ekorus * X yra Nešo pusausyra * u * * u X 3 * r X..4 Šs Nešo pusausyros apbrėžmas nka am aeu ka lošėų kslas yra maksmzuo sao naudngumo šlošo funkcą. Je lošėų kslas

31 mnmzuo sao naudngumo praradmų funkcą a.4 nelygybė kečama į prešngą. Modernos organzacos r nžnernės ssemos ur daug nddų prmančų sprendmus. Kekenas š ų prmdamas sprendmą seka sao kslų. Laba dažna ndda yra nesuskooperaę r ų sprendma arpusaye keras. Ta sukela būnybę ras Nešo pusausyrą. Tokos decenralzuoo sprendmo prėmmo problemos s dažnau domna ekonomsus operacų yrmo specalsus nžnerus kadang oke uždana plača akom ekonomkoe r nžneroe. Dals Leuos mokslnnkų paekė sarų pasūlymų lošmų eora plėo r gln. Dseracos konekse ypač akualūs darba kure skr nekooperanams lošmams r kure susę su nagrnėama ema. Venas š okų mokslnnkų būen E. Vlkas 963 sukūrė aksomų ssemą charakerzuoančą marcnų lošmų pusausyrą. Sao dėą. y. aksomoms apbrėž nekooperano bagno lošmo pusausyros aškus s praęsė ėlesname darbe Vlkas 968. Aksomos formuluoamos funkconalu - ekoru f apbrėžam sų lošėų šlošų funkcų abėe. Aksomų ssemoe yra rys konsrukyaus po aksomos: monoonškumo domnamo obekyumo. Tokį funkconalą galma nerpreuo kap lošėų šlošų ekorų ka s lošėa loša opmala. Tada monoonškumo aksoma galma suek oką prasmę: e du lošma ur suampančas paras suacas r kekenoe ų lošėu bagmė ename lošme yra geresnė negu kame lošme a dalyamas prmaame am yra rezulayesns už dalyamą kame lošme ka lošėa elgas opmala. Domnamo aksoma ega kad lošėas nepardamas oko nuosolo gal nesrnk akazdža blogos sraegos. Obekyumo aksoma rekalaua kad lošėo šlošo maamo skalė suapų su o naudngumo maamo skale. Kadang ča lygnamos skrngų lošmų pusausyros suacos a apbūdnama kuras pusausyros suacas laky panašoms r kuruos lošmus panašas. Ča ap pa šskram sunkūs lošma. y. oke kuruose yra kelos 3

32 nedomnuoamos pusausyros suacos. Esan okems sunkems lošmams ma mn prncpo nebepakanka norn šspręs okus lošmus. Todėl lošėų elgeso prognozamu reka asželg į ų pscholognus socalnus r kokus fakorus. J. Harsany 964 prmass paaroo rzkos domnamo sąoką neprklauso lošmo eora apbrėždamas nekooperano lošmo bendrąį sprendnį. E. Vlkas 968 daro preladą kad be kuro sunkaus lošmo aeu kekenas lošėas žno aprornes subekyas suacų passkrsymo kmybes r įrodo eoremą kad o pasūlyų rų aksomų ssema yra suderna r plna. Tą funkconalą ekorų E. Vlkas adna lošmo rekšme. Žnoma okos lošmo rekšmės saybės š esmės prklauso nuo lošėų subekyų kmybų ape suacų passkrsymą. Bendrų resursų pasdalmo lošmas prmą karą buo suformuluoas 957 meas. Šs lošmas yra sudėngas kadang dažnausa s neur Nešo pusausyros be nuya ašku kad egzsuoa sablus raconalus lošėų elgesys. Tokam lošmu M. B. Iskako 8 apbrėža saugų sraegų pusausyros sąoką. J yra plaesnė už Nešo pusausyros sampraą. M. B. Iskako apbrėža pusausyra laba panaš į E. Vlko 99 kooperanams lošmams apbrėžą V sprendnį kurs apbrėžamas aroan grasnmų r konragrasnmų sąokas. V sprendnį sudaro okos bagmės kurų nė ena koalca nenor assaky arba e r norėų ames o negal padary. Duooo lošmo saybės laba prklauso nuo ame dalyauančų lošėų skačaus. Payzdžu rų lošėų lošmo yrmas š esmės skrss nuo deų asmenų lošmo analzės. Naūralus klausmas: kap bus olau ka lošėų bus daugau negu rys. V. Bubels 979 sao mokslname darbe įrodė eoremą kad n lošėų lošmą galma sues į rų asmenų lošmą. Nors a ransformaca sudėnga ačau š esmės pagal ą eoremą pakanka šnagrnė rų asmenų lošmus Sochasnė Nešo pusausyra fgūruoa Praknėse decenralzuoo sprendmo prėmmo ssemose dažna neapbrėžumas. Payzdžu ekonomnėse ssemose kaša 3

33 paklausa r daugels kų elemenų yra nepasoūs r uos šmauo sunku. Tokos suacos rekalaua į modelus įrauk neapbrėžumą. Todėl prasmnga nagrnė Nešo pusausyrą esan neapbrėžumu. Pagal neenodus sprendmo prėmmo krerus galma skrnga apbrėž sochasnę Nešo pusausyrą. Tarkme kad neapbrėž ssemos paramera yra neprklausom sochasna kname ada bendra sochasnė decenralzuoo sprendmo prėmmo ssema nusakoma ap:... n sprendmą prmanys ndda -oo sprendmą prmančoo nddo konroluoamas ekorus u... -oo sprendmą prmančoo nddo naudngumo n kslo funkca ča paramerus askns ekorus nusakans am krus g... -oo sprendmą prmančoo nddo rbomų n funkca. Kadang ssemos paramera yra sochasna a kslo funkca r rboma rg sochasna. Skrngems aldymo kslams pasek akoma ankama Nešo pusausyra. Bendru aeu sprendmą prmanys ndda seka opmzuo sao kslo funkcos maemanę lį esan kų funkcų maemanų lčų am krems rbomams. Tag urme okį modelį: ma E[ g E[ u ka... n ] ] n.5 Ašku kad -oo nddo sprendmas prklauso nuo kų nddų sprendmo kurį žymėsme n. Šuo aeu Nešo pusausyra yra apbrėžama.6. * * * Apbrėžmas. Lesnas sprendnys... adnamas Nešo pusausyra e s enkna n

34 * * * E[ u... * * * E[ u... * *... * * n ] *... ] n.6 r be kuram lesnam * * * * * n. Tarkme kad -ass nddas žno kų nddų sraegą ada o opmal reakca gal bū paeka aazdamu r. Akazdu kad n lošėų Nešo pusausyra bus.7 lygčų ssemos sprendnys. r... n.7 Kap aran Nešo pusausyra yra ekornės funkcos r... r r... r neudamas aškas. n n Tarkme mnmzamo uždanį: R... n r. Nagrnėsme okį n mn R... n... n n... n D.8 ča D yra -oo lošėo lesnų sprendnų modelye.5 Je opmalus * * * * * * sprendnys... enkna lygį R... a r * n n * * * *... n. Vadnas... ur bū Nešo pusausyra. Je skano n * * * * * * sprendmo procese gauname kad... enkna R... n n * * * ča yra mažas egamas skačus a ekorų... galma n rakuo kap Nešo pusausyrą. Prešngu aeu.7 lygčų ssema nesudernama r Nešo pusausyros nėra..6 Nešo pusausyra.5 uždano konkrečam aeu rama 5 skyrue Nešo pusausyros egzsenca r os pusausyros paeškos meoda Šame poskyrye paekam ka kure Nešo pusausyros nekooperanuose lošmuose egzsencos egna r aparam os pusausyros paeškos algorma kure gal bū akom sochasnės pusausyros sraegoms nusay. Normalosos formos nekooperano 34

35 lošmo modelį galma užrašy aroan naudngumo funkcas arba preferencos sąryšus. Nešo pusausyros egzsencos eoremose nekooperanam lošmu prmu aeu sąlygos formuluoamos naudngumo funkcoms o anru aeu preferencoms. Nekooperano lošmo models prmu aeu yra G X u... N ča... N yra lošėa X yra lošėų sraegų abės o u yra lošėų naudngumo funkcos. Nekooperano lošmo models anru aeu yra G X ~ N... ča 35 ~ yra lošėų preferencos. Jegu lošėų preferencos enkna am kras aksomas a remans Neuman r Morgensern eorema egzsuoa naudngumo funkcos u : X [ ] ča X X... X X N. Je sraegos yra parenkamos su am kra kmybe a urme mšrąsas sraegas. J. Nešo eorema bagnu nekooperanu lošmu yra oka. eorema. Nash. Kekenas bagns lošmas ur mšrų sraegų Nešo pusausyrą. Paprasų sraegų Nešo pusausyros egzsenca yra sarbesnė ne mšrų sraegų Nešo pusausyros egzsenca. Prma paprasų sraegų aeu nerekalauama lošėų preferencų loerų abėe. Anra mšrų sraegų pusausyros egzsenca dažna yra kap šada š paprasų sraegų pusausyros egzsencos. Galma suformuluo egzsencos eoremą ka sraegų abės yra begalnės. y. lošmas nėra bagns. eorema. Debreu Glcksberg Fan. Tarkme duoas nekooperans lošmas G X u N r... X yra neušča kompaknė r škla mernės erdės abė u... N yra olyd pagal... N r įgauba pagal.tada duoame lošme egzsuoa ben ena paprasų sraegų Nešo pusausyra. eorema remamas 5 skyrue. eoremoe sraegų abų šklumo r šlošų įgaubumo rekalama yra esmna. Be o eoremoe eoe funkcų įgaubumo pakakų rekalau kaz įgaubumo Reny 8. Prmas Nešo eoremos įrodymas remas neudamo aško Brauero eorema r nėra konsrukyus. y. įrodymo procese nesukonsruoamas pas pusausyros aškas. Tag urn pusausyros egzsamo įrodymą pralu

36 dar ras būdą kap ą pusausyros ašką denfkuo. C. E. Lemke r J. T. Howson 964 pasūlė algormą Nešo pusausyra ras bmarcno lošmo aeu. Vėlau šs algormas buo praplėsas n lošėų nekooperanams lošmams. Yra žnoma kad nekooperano deų asmenų lošmo Nešo pusausyros paeška asmpoška yra ne lengesnė už Nešo pusausyros paešką n lošėų lošme Chen r k. 9. Ta kek nekėa nes lošėo šlošs mšrų sraegų aeu deų asmenų lošme yra esns ko lošėo ažlgu prešnga ne n lošėų lošme. Alekan skačamus paselkus gerausus dabar žnomus sprendklus mnėas esškumas ledža lengau ras sprendnį praknams deų ne n asmenų lošmams. Tag asmpons sudėngumas as pas o emprnė elgsena skras. C. E. Lemke r J. T. Howson ako esnės algebros operacas Nešo pusausyra suras. 97 meas J. T. Howson praplėė šį algormą polmarcnu lošmu kurs ap pa ur esnę srukūrą. Kems lošmams ur bū akom bendresno pobūdžo algorma payzdžu S. Gondan r R. Wlson 3 globalus Nuono meodas GNM. GNM yra C. E. Lemke r J. T. Howson meodas apbendrnas a prasme kad dem duoems lošėams r ankama parnkam saro ašku eracos sraegų erdėe yks a pača raekora. Tačau GNM eka ne ap efekya nes naudoama raekoros o ne aško skačamo echnka. Ta yra ddels skrumas prakname prakyme payzdžu S. Gondan r R. Wlson 4 pasūlė spręs daugelį polmarcnų lošmų surandan GNM gerą saro ašką. Anksčau nežnoa kap panaudo eornį ekalenumą arp deų lošėų r n asmenų lošmų nes n asmenų lošmo redukca į deų asmenų lošmą yra nekonsruky. Tačau U. Fege r I. Talgam-Cohen paekė esognę n asmenų lošmo redukcą į deų asmenų lošmą per polmarcnus lošmus. Ta ledža efekyn pusausyros paeškos n asmenų lošme algormą. Prma lošmas paerčamas esnu akan konsrukyą redukcą o ada gauam lošmu prakomas algormas Wrgh r k.. 36

37 Brauero eoremos šuolakns įrodymas kurs remas Spernero lema paeka būdą aproksmuoam Brauero eoremos neudamam ašku oku būdu r Nešo pusausyra suras nors as algormas r yra eksponenno sudėngumo..5. Mone Karlo meodas Daug nžneros ekonomkos r kų mokslų akomųų uždanų yra sprendžam kompueru sugeneraus am kras sasnes ms. Je mnėu būdu sprendžamas uždanys a sakoma kad a alekama Mone Karlo meodu. Mone Karlo meoda gal bū aroam ka norma: sebė obekų r procesų elgseną generuoam askna obeka r procesa įern sudėngas analnes šraškas pz. į kuras įena daugalypa negrala sudėngos marcnės šraškos r pan. šspręs sudėngą lygčų ssemą..5.. Mone Karlo meodas obekų r procesų elgsena r Be kuro Mone Karlo meodo pagrndas yra olyga passkrsčusų asknų skačų generaorus. y. procedūra kur generuoa nerale n asknų skačų z z... z... begalnę seką. Je reka sugeneruo asknį knamąį passkrsčusį pagal kurį nors nebūna olygųį dėsnį a galma alk ransformacos arba prėmmo r amemo meodu Rubnsen r Kroese 7. Vekorus z z... z n kuro komponenės yra askna dydža adnamas asknu ekorum. Bendresnu aeu asknų knamųų rnknu { z } įardy aroamas askno proceso ermnas. Asknų procesų sugeneramo echnka skras ek kek skras pays askna procesa Kroese r k.. 37

38 .5.. Mone Karlo meodas įerčams gau Sarbu šsaškn kap yra akomas Mone Karlo meodas ka sekama įern skanes rekšmes payzdžu maemanę lį šreškamą daugalypu negralu. Tarkme kad ekspermeno macos duomenys z z... N z yra neprklausom r passkrsę pagal ą paį dėsnį kuro anko funkca yra p. Tarkme kad reka įern durkį: l E f z ča z ~ p. Tarsme kad l. Tada durko įers mča { z } yra ~ N f f z..9 N Tarkme kad dydžo f z dspersa yra bagnė r lyg. Tada pakankama ddelems N askns dyds f ~ yra apykra passkrsęs pagal N l / N dėsnį a šplauka š cenrnės rbnės eoremos. Je dspersa yra nežnoma a gal bū įerna mes dspersa ~ f ~ D N f z N. kur pagal ddžųų skačų dėsnį arėa į ka N. Galma įern rekšmngumu durko l pasklomo neralą ~ ~ ~ D ~ D f / f /. N N ča yra passkrsymo N kanls. Veoe pasklomo neralo ~ galma m sandarnės paklados įerį D / N arba sanyknės paklados ~ įerį D / ~ f N. Įernmo procedūra kur adnama paprasu Mone Karlo angl. crude Mone Carlo CMC meodu yra: sugeneruo z z... z N ~ p payzdžu alkus neprklausomas macas apskačuo durko l įerį ~ f r pasklomo neralą. Skanų dydžų įernmas Mone Karlo macoe gal bū alkas efekyau aroan žnomą nformacą ape macos modelį. Galma aky 38

39 dspersos sumažnmo būdus. y. rekšmngų mčų meodą ar sluoksnuoų mčų meodą žr. Kroese. Venas dažnausa akomų dspersos sumažnmo būdų a rekšmngų mčų meodas kurs ypač parankus mažoms kmybėms įern. Tarkme reka įern dydį l E p H z H z p z dz. Ča H yra real funkca r p yra askno ekoraus z kmybns anks kurs adnamas nomnalu anku. Indeksas p pre maemanės les operaoraus E rodo kad s yra skačuoamas p ažlgu. Tarkme yra kas kmybns anks oks kad Hp yra domnuoamas g. y. z H z p z. Naudoan ankį g l galma šrekš ap: p z l H z z dz E z p z H z. Tag z e z... z N ~ a k N ˆ k f z l H z k. N k z yra l įers. Tankų sanyks W z f z/ z yra adnamas kėnumų sanyku. Rekšmngų mčų meodo algormas yra oks:. Pasrnk rekšmngų mčų ankį g kurs domnuoa Hf.. Sugeneruo... N z z ~ r ras Y H z f z / z... N. 3. Įern l. y. ras lˆ be ras rekšmngumu l pasklomo ~ ~ neralą ˆ D ˆ D l / l / ča žym passkrsymo N N N kanlį o D ~ yra sandarns nuokryps mča N z... z. Sunkausa akan rekšmngų mčų meodą yra suras rekšmngų mčų passkrsymą. Je bloga parnkas anks a s lems pasklomo neralo įernmo kslumą. Teorška opmalus * 39

40 mnmzuoa l ~ f z dspersą r oku būdu yra uždano mn D [ H z ] z sprendnys ča D ~ yra dspersa ažlgu Mone Karlo meodas opmzamu Darbe apsrboa uždanas kuruose kslo funkca r rbomų funkcos yra eno eksremumo r glodža dferencuoamos šreškamos asknų funkcų enknančų Lpšco sąlygą maemane lm. Kap žnoma kmybns maas ur rs dedamąsas: dskrečąą sngularąą r absoluča olydžąą. Je kmybns maas dskreuss a maemanė ls šreškama sorne funkca su soras kure lygūs dskrečųų įykų kmybėms. Tokas aeas opmzamo ar pusausyros paeškos uždanys suedamas į deermnuoą opmzamo uždanį. Reka pažymė kad mao sngularumas kmybns maas passkrsęs nulno Borelo mao ačau konnuumo galos abėe praknuose uždanuose pasako rea. Tačau e maas yra absoluča olydus. y. nusakomas anko funkca a maemanė ls šreškama daugalypu negralu kurs analška apskačuoamas k laba reas aeas. Tačau funkcos kuros šreškamos maemane lm ka maas yra absoluča olydus yra glodža dferencuoamos nors glodnamos funkcos enkna k Lpšco sąlygą. y. bendru aeu nėra dferencuoamos Shapro Rubnsen r Melamed 998 Barkuė r Sakalauskas 7. Uždanus ka maas yra absoluča olydus prakška neįmanoma spręs deermnuoas opmzamo meodas. Tačau funkcos šreškamos maemane lm ka maas yra absoluča olydus gal bū aproksmuoamos sasno modelamo būdu Mone Karlo meodu. Ka erus galma pasnaudo sochasno dferencamo meodas r įern okų funkcų gradenus arba šesnes ap pa sasno modelamo būdu. Dseracoe nagrnėam sochasnės pusausyros uždana ka lošėų asknės kslo arba rbomų funkcos enkna k Lpšco sąlygą ačau galmų aplnkos kuroe eka lošėa scenara yra passkrsę pagal 4

41 absoluča olygųį maą. Tokems uždanams spręs akom sochasnės aproksmacos dno aško angl. neror pon mes durko aproksmacos angl. Sample Aerage Appromaon - SAA arba nuoseklos paeškos meoda. Sochasnės aproksmacos meoda buo bene prme pasūly spręs sochasnams uždanams ačau še meoda nėra plača akom prakkoe nes e susę su opmzamo žngsno regulamu kurs ne sada yra aškus prakška nėra žnom pakm šų algormų sabdymo būda. Vdno aško meoda susę su sudėngas marcnas skačamas r dar nėra gera šplėo. SAA meoda sėkmnga akom sochasnam esnam kelų eapų programamu ačau šų meodų akymas neesnam sochasnam programamu yra susęs su sudėngu skamennų algormų akymu. Todėl sochasnės pusausyros paeškoe še meoda nėra plača akom. Sochasnės pusausyros paeškos uždana ram daugau eorška prakname akyme yra daug arų klausmų. Mokslnėe leraūroe yra žnomos įarų sochasnės paeškos uždanų maemanės formuluoės ačau skamennų sochasnės paeškos algormų kūrmas k pradnėe sadoe payzdžu Xu r Zhang 3 paekė mes durko aproksmacos SAA meodo aprašymą r į šbandė laba paprasam uždanu. Sekan sukur skamennus sochasnės pusausyros paeškos meodus galma pasnaudo parm kur yra sukaupa kuran r plėoan skalarno sochasno programamo meodus be algormus. Dseracoe yra kuram r plėoam nuoseklos Mone Karlo paeškos Baraksan r Moron Carol r Dalang 996 Homem-d-Mello r Shapro 998 Sakalauskas 4 meoda sochasnės pusausyros paeškos uždanams spręs pasnaudoan šų meodų plėoe sochasname programame. Nuoseklos Mone Karlo algormų esmę sudaro knamo ūro Mone Karlo mčų serų generamas sekan ras uždano sprendnį rekamu kslumu kurs yra nerpreuoamas sasška. y. apskačuoam kslo funkcos r rbomų pasklaune nerala be krnama sasnė hpoezė ape gauo sprendno opmalumą. 4

42 Skyraus šados. Sochasnės pusausyros paeškos uždana dažna pasžymnys herarchne srukūra būdng įaroms mokslo srms nžnera ekonomka fnansams logska ačau uos galma formuluo kap pusausyros paeškos uždanus su škloms enknančoms Lpšco sąlygas šlošo funkcoms r asknas aplnkos scenaras passkrsčusas pagal dskreųį ar olydųį kmybnį dėsnį.. Daugels sprendmų yra prmam decenralzuoa dėl ddelo neprklausoma sprendmus prmančų nddų e gal bū heerogenna skačaus. 3. Sochasnės pusausyros paeška su dskrečasas passkrsymas gal bū suedama į deermnsnį uždanį. Sochasnės pusausyros paeškos uždanų su olydžasas passkrsymas sprendmo algorma gal bū kuram prakan Mone Karlo meodą r sasnų šadų eorą. 4

43 3 skyrus. Fnansnų krzų pusausyros modelų yrmas Šame skyrue fnansna burbula nagrnėam Ponz schemos be K. Waanabe r k. 7 pasūlyo meodo požūru. K. Waanabe r k. meodas ledža denfkuo fnansno burbulo pradžą pagal kanos dergamą nuo baznės lnos. Leuos neklnoamoo uro burbulo aeu ka burbulas rumpam nusoo aug buo pasebėa kad pagal šį meodą dergamo nebėra. Todėl darbe pasūlya į fnansno burbulo modelį įrauk heerogennus agenus fundamenalsus r čarsus. Skyraus rezulaa publkuo V.Dumsks L. Sakalauskas 9 darbuose e buo prsay r apar KORSD - 9 LMD LI LOTD - konferencose. 3.. Fnansna burbula r ų grūys Pusausyros sąlygų paeška r yrmas akom modeluo daugelu ekonomnų procesų. Nesan ekonomkos pusausyros ampa near. y. paklmus lyd nuosmuka. Šų paklmų r nuosmukų chaoškas ysymass dažnausa susęs su fnansnas burbulas. Realose rnkose karas galma pasebė fnansnų pramdžų elemenų. 7 meas Izaokas Nuonas praradęs ūksančų sarų serlngų pasakė: Aš galu apskačuo dangaus kūnų udėmą be ne žmonų pamšmą. Šą ddžulę as lakas sumą s prarado ename š prmųų Europos burbulų Peų ūrų bendroės burbule. Prmass labausa žnomas Europos spekulayuss burbulas įyko Olandoe angl. Tulpenmane Tulpų mana prmoe XVII a. pusėe. Dažna srukūrna ekonomkos paskema nesamproauančus nesuoous gal pres pre kladngos mnes ape nauą ekonomką kura būdngas nenurūksamas augmas žnoma karu r nepalauamas kanų augmas. Toke nesuooa elgas kap banda Baneree 99. Nagrnėan ekonomnų burbulų rešknus galma r schemas pagal kuras grąžos nesuooams mokamos š ų pačų arba š sekančų 43