VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika (01P

VILNIAUS UNIVERSITETAS LAURA ŽVINYTĖ DISKRETUS TOLYGUSIS RIBINIS DĖSNIS ADITYVIOSIOMS FUNKCIJOMS Daktaro disertacija Fiziniai mokslai, matematika 0P) Vilnius, 207

Disertacija rengta 20-207 metais Vilniaus universitete Mokslinis vadovas - rof. dr. Gediminas Steanauskas Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, matematika - 0P)

Turinys Žymėjimai 5 Įvadas 7 Literatūros ažvalga. Istorinis kontekstas, klasikiniai rezultatai............2 Stiriai adityviųjų funkcijų sekų skirstinių ν x n x, f x n) < u) ribiniai rezultatai............ 2.3 Stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais argumentais skirstinių ribiniai dėsniai.................... 25 2 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekoms su aslinktais irminiais 28 2. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos.......... 28 2.2 Lemų įrodymai......................... 30 2.3 Pagrindinio rezultato įrodymas................ 33 3 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekų sumoms su aslinktais argumentais 39 3. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos.......... 39 3.2 Lemų įrodymai......................... 4 3.3 Pagrindinio rezultato įrodymas................ 45 4 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekų sumoms su aslinktais irminiais 49 4. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos.......... 49 4.2 Lemų įrodymai......................... 52 4.3 Pagrindinio rezultato įrodymas................ 58 Išvados 62 3

Literatūra 63 4

Žymėjimai N natūraliųjų skaičių aibė P irminių skaičių aibė R realiųjų skaičių aibė m, n natūralieji skaičiai q,,, 2,... irminiai skaičiai [x] skaičiaus x sveikoji dalis f x x 2) stiriai adityviųjų funkcijų seka πx) skaičius irminių skaičių, ne didesnių už realųjį teigiamą skaičių x ϕx) Oilerio funkcija εx) nykstanti funkcija ωn) skaičiaus n irminių daliklių skaičius a b ekvivalentu nelygybei a cb ν x n x,...) natūraliųjų skaičių, neviršijančių x ir tenkinančių sąlygą, esančią daugtaškio vietoje, dažnis 5

fx) gx) fx) reiškia, kad gx) = F x u) F u) skirstinių F x u) silnasis konvergavimas į asiskirstymo funkciją F u), kai x An) = n Bn) = Gu) = n f) f 2 ) ) /2 u /2 2π) /2 dx e x2 Πu, λ) Puasono skirstinys su arametru λ > 0 : Πu, λ) := k=0,,... k<u λ k k! e k Bu, γ, N) binominis skirstinys su arametrais γ 0, ) ir N N: Bu, γ, N) := k=0,,...,n k<u N k γ k γ) N k Uu, L) diskretus tolygusis skirstinys su arametru L N, L 2: Uu, L) := L k=0,,...,l k<u 6

Įvadas Disertacijoje ristatomos gautos būtinos ir akankamos sąlygos stiriai adityviųjų funkcijų sekų skirstinių ν x x, f x + ) < u), ν x n x, f x n) + g x n + ) < u), ν x x, f x + ) + g x + 2) < u) silnajam konvergavimui į diskretų tolygųjį skirstinį. aibrėžimas. Aritmetinė funkcija f vadinama adityviąja, jei su bet kokia ora tarusavyje irminių skaičių m ir n teisinga lygybė fm n) = fm) + fn). 2 aibrėžimas. Jei adityvioji funkcija fn) tenkina sąlygą f k ) = f), kiekvienam k N ir kiekvienam irminiam, tai fn) vadinama stiriai adityviąja funkcija. Darbe nagrinėjamos stiriai adityviųjų funkcijų sekos f x ) įgyjančios reikšmes 0 arba bet kuriam irminiam skaičiui. Tuomet f x n) = f x ) = n =: f. n n fx)= Aktualumas Darbo tyrimų objektas yra stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais irminiais, adityviųjų funkcijų sekų sumų bei sumų su aslinktais irminiais silnas konvergavimas į ribinį dėsnį. Tyrimo objektas ir srendžiami uždaviniai riskirtini tikimybinei skaičių teorijai. Idėja nagrinėti stiriai adityviųjų funkcijų su skirtingais argumentais ribinį elgesį nėra nauja. 7

P.D.T.A. Elliott o ir J. Kubiliaus monografijose [5], [6], [8] gaa rasti daugumą klasikinių rezultatų ir jų istorinį kontekstą. Adityviųjų funkcijų ribinių teoremų irmieji rezultatai buvo gauti P. Erdős o ir A. Wintner io [2] 939) bei P. Erdős o ir M. Kac o [] 940). Adityviųjų funkcijų sumų ribinio elgesio irmieji rezultatai yra gauti W.J. LeVeque o [9] 949). Bendresni rezultatai vėliau yra gauti J. Kubiliaus [8], G. Halász o [3], I. Kátai [7], A. Hildebrand o [4], P.D.T.A. Elliott o [5] [8] ir kitų autorių žr. [20], [22], [23], [34], [36], [42]). Jų darbuose yra nagrinėjamos adityviųjų funkcijų skirtingos klasės. Adityviųjų funkcijų su aslinktais irminiais atvejus yra nagrinėję M.B. Barban as, A.I. Vinogradov as ir B.V. Levin as [], I. Kátai [5] ir kiti autoriai žr. [3], [4], [6], [6], [33], [35], [40], [4]). Šie silnojo konvergavimo rezultatai buvo įrodyti remiantis skirtingais metodais. Buvo naudoti elementarusis, rėčio, charakteristinių funkcijų, faktorialinių momentų metodai bei Kubiliaus modelis. Adityviųjų funkcijų sekų skirstinių silną konvergavimą į ribinį Puasono skirstinį nagrinėjo J. Šiaulys ir G. Steanauskas straisniuose [27] [29], [33] [36]. Suformuluotiems teiginiams įrodyti buvo naudotas faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodai. Bernulio, geometrinis, binominis, diskretus tolygusis asiskirstymai kai ribiniai dėsniai buvo nagrinėti straisniuose [37] [39]. Stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais irminiais, sumų su aslinktais argumentais bei sumų su aslinktais irminiais skirstinių silnas konvergavimas į diskretų tolygųjį skirstinį nebuvo nagrinėtas. Gauti rezultatai aibūdina adityviųjų funkcijų sekų skirstinių ribinį elgesį ir gali būti taikomi matematiniuose tyrimuose, kuriuose reikia žinių aie adityviųjų funkcijų skirstinių asimtotikas. Tikslas ir uždaviniai Darbo tikslas ištirti stiriai adityviųjų funkcijų sekų skirstinių silno- 8

jo konvergavimo į diskretų tolygųjį dėsnį atvejus. srendžiami šie uždaviniai: Tikslui asiekti buvo suformuluoti ir įrodyti stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais irminiais asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį būtinas ir akankamas sąlygas; suformuluoti ir įrodyti stiriai adityviųjų funkcijų sekų sumų su aslinktais argumentais asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį būtinas ir akankamas sąlygas; suformuluoti ir įrodyti stiriai adityviųjų funkcijų sekų sumų su aslinktais irminiais asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį būtinas ir akankamas sąlygas. Metodai Disertacijoje suformuluotoms teoremos įrodyti buvo naudoti faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodai. Mokslinis naujumas Disertacijoje ateikti rezultatai yra nauji. Jie yra teorinio obūdžio. Iki šiol diskretus tolygusis ribinis dėsnis stiriai adityviųjų funkcijų sekoms buvo mažai nagrinėtas žr. [39]). Diskretus tolygusis asiskirstymas kai ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekų su aslinktas irminiais, adityviųjų funkcijų sekų sumoms su aslinktais argumentais bei sumoms su aslinktais irminiais nebuvo nagrinėtas. Arobacija Disertacijos rezultatai buvo ristatyti šeštojoje tartautinėje konferencijoje "Analitic and Probabilistic Methods in Number Theory" Palanga, Lietuva, 206), tai at Lietuvos matematikų draugijos konferencijose 204, 205, 206). 9

Publikacijos. G. Steanauskas, L. Žvinytė, Discrete uniform it law for additive functions on shifted rimes, Nonlinear Anal. Model. Control, 24):437-447, 206. 2. G. Steanauskas, L. Žvinytė, Discrete uniform distribution for a sum of additive functions, Lith. Math. J, 573):39-400, 207. 3. J. Šiaulys, G. Steanauskas, L. Žvinytė, Discrete uniform it law for a sum of additive functions on shifted rimes, Lith. Math. J., 207, įteiktas saudai. Padėka Yatingą adėką skiriu savo moksliniam vadovui rof. dr. G. Steanauskui už agalbą visų studijų metu, už suteiktas žinias ir įžvalgas. Jos buvo labai naudingos rašant disertaciją. Tai at dėkoju savo šeimai už moralinį alaikymą. 0

Literatūros ažvalga Šiame skyriuje ristatomi tikimybinės skaičių teorijos uždaviniai adityviųjų funkcijų fn) ribinio skirstinio egzistavimo roblemos bei jų istorinis kontekstas. Ažvelgiami gauti ribiniai rezultatai šių adityviųjų funkcijų skirstinių:. ν x n x, fn) < u); 2. ν x n x, fn) αx) βx) < u); 3. ν x x, f+) αx) βx) < u); 4. ν x {n x, f n) + f 2 n + ) αx) < u}; 5. ν x { n x, s j= f j n+a j ) A j x) B j x) } < u. Tai at ristatomi gauti ribiniai rezultatai šių stiriai adityviųjų funkcijų sekų skirstinių:. ν x n x, f x n) < u); 2. ν x { x, f x + ) < u}; 3. ν x {n x, f x n) + g x n + ) < u}; 4. ν x { x, f x + ) + g x + 2) < u}.. Istorinis kontekstas, klasikiniai rezultatai Pirmieji srendžiami uždaviniai buvo adityviųjų funkcijų fn) skirstinių ν x n x, fn) < u) silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį būtinų ir akankamų sąlygų formulavimas ir įrodymas. Pirmieji rezultatai buvo gauti P. Erdős o ir A. Wintner io [2] 939).

. teorema Erdős-Wintner, 939). Adityvioji funkcija fn) turi ribinį skirstinį tada ir tik tada, kai šios eilutės f) >, f) f), f) f 2 ) konverguoja. Kai šios sąlygos yra atenkintos, ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra ) + m= e itfm ) Ribinis skirstinys yra gryno tio ir yra tolydus tada ir tik tada, kai eilutė diverguoja. f) 0 Vėliau buvo srendžiamas bendresnis tikimybinės skaičių teorijos uždavinys aibrėžti kada egzistuoja funkcijos αx) R ir βx) > 0, x, kad adityviųjų funkcijų fn) skirstiniai m ). ν x n x, silnai konverguotų į ribinį dėsnį. fn) αx) βx) < u).) Šiuo atveju P. Erdős o ir A. Wintner io teoremoje αx) = 0 ir βx) =. Atskiru atveju, kai αx) = gauta P.Erdős o teorema. x f).2 teorema P.Erdős, 938). Tegul αx) = f), βx) = x f) f). 2

Jeigu eilutės f) > konverguoja, tai skirstinys, f) f 2 ) ν x n x, fn) αx) < u) silnai konverguoja į ribinį dėsnį. Ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra f) > ) + g) + g))e itf)/, f) čia g) = + ) m e itfm). m= Ribinis skirstinys yra gryno tio ir yra tolydus tada ir tik tada, kai eilutė diverguoja. f) 0 Svarbus rezultatas davęs naują ostūmį adityviųjų aritmetinių funkcijų skirstinių asimtotinių savybių tyrimams yra P. Erdős o ir M. Kac o teorema []. Tai at ji svarbi tikimybinėje skaičių teorijoje kai centrinė ribinė teorema adityviosioms funkcijoms. Pažymėkime αx) = Ax) := x βx) = Bx) := x f), f 2 ) ) /2..3 teorema Erdős-Kac, 940). Tegul fn) stiriai adityvioji funkcija, kuriai f) visiems irminiams. Jeigu Bx), kai x, tai ν x n x, fn) Ax) Bx) čia Gu) standartinis normalusis skirstinys. 3 < u) Gu),

P. Erdős o ir A. Wintner io bei P. Erdős o ir M. Kac o teoremos yra irmieji adityviųjų funkcijų ribinių teoremų avyzdžiai, turėję didelę įtaką tikimybinės skaičių teorijos raidai. Vėliau P. Erdős o ir M. Kac o metodą išlėtė J. Kubilius 954-955). J. Kubiliaus darbai yra svarus indėlis tikimybinėje skaičių teorijoje. Jo monografijoje [8] gaa rasti klasikinius rezultatus ir agrindinius tikimybinės skaičių teorijos uždavinius. J. Kubilius yra aibrėžęs jo vardu avadintą klasę H. Sakoma, kad stiriai adityvioji funkcija f riklauso Kubiliaus H klasei, jeigu Bn), kai n, ir egzistuoja nearėžtai didėjanti funkcija r = rn), kuriai ln rn) ln n 0 ir Brn)) Bn). Suformuluota ir įrodyta J. Kubiliaus teorema.) skirstiniams, kai funkcija fn) riklauso Kubiliaus H klasei..4 teorema Kubilius, 954). Tarkime fn) stiriai adityvioji funkcija, riklausanti klasei H. Pasiskirstymo funkcijos ν x n x, fn) Ax) Bx) < u) silnai konverguoja į ribinį skirstinį, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja nemažėjanti funkcija Kv), kad visuose funkcijos tolydumo taškuose B 2 x) x f)<vbx) f 2 ) Kv), kai x. Kai ši sąlyga yra atenkinta, ribinio dėsnio charakteristinė funkcija φt) gaunama iš Kolmogorovo formulės ln φt) = ribinio dėsnio vidurkis lygus 0, o disersija lygi. eitv itv) dkv),.2) v2 4

97 m. neriklausomai P.D.T.A. Elliott as ir C. Ryavec as [0] bei B.V. Levin as ir N.M. Timofeev as [43] gavo asiskirstymo funkcijų ν x n x, fn) αx) < u) silnojo konvergavimo į ribinį skirstinį būtinas ir akankamas sąlygas..5 teorema. Tegul fn) reali adityvioji aritmetinė funkcija, αx) realioji funkcija, aibrėžta, kai x. Pasiskirstymo funkcijos ν x n x, fn) αx) < u) konverguoja į ribinį skirstinį, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia konstanta c, su kuria fn) = c log n + hn), ir eilutės konverguoja. aibrėžiama tai h) >, h) h 2 ) Be to, kai šios sąlygos yra atenkintos, funkcija αx) yra αx) = c log x + x h) Ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra h). čia + ict h) > w t) h) h) it w t)e, w t) = ) + k= e ithk ) Ribinis skirstinys yra gryno tio ir yra tolydus tada ir tik tada, kai eilutė diverguoja. f) 0 k ). 5

Analogiški uždaviniai buvo nagrinėti ir aslinktų irminių skaičių aibėse, t. y. asiskirstymo funkcijų ν x x, f + ) αx) βx) < u).3) silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį būtinų ir akankamų sąlygų formulavimas ir įrodymas. Analogiškai.,.2 ir.5 teoremoms buvo gautos stiriai adityviųjų funkcijų su aslinktais irminiais skirstinių silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį sąlygos [44], [6]..6 teorema Timofeev, 99). Tarkime, fn) reali stiriai adityvioji funkcija. Pasiskirstymo funkcijos ν x x, f + ) < u) turi ribinį dėsnį tada ir tik tada, kai eilutės konverguoja. f) >, f) f), f) f 2 ).7 teorema Elliott, 980). Tegul fn) reali stiriai adityvioji funkcija, kuriai eilutės konverguoja. Tegul f) > ϕ), f) f 2 ) ϕ) Tuomet asiskirstymo funkcijos αx) = x f) f) ϕ). ν x x, f + ) αx) < u) silnai konverguoja į ribinį dėsnį, kai x. 6

.8 teorema Timofeev, 99). Tegul fn) reali stiriai adityvioji funkcija, aibrėžta tokiu būdu fn) = c log n + hn). Pasiskirstymo funkcijos ν x x, f + ) αx) < u) silnai konverguoja į ribinį skirstinį, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia konstanta c, su kuria eilutės konverguoja. aibrėžiama tai h) >, h) h 2 ) Be to, kai šios sąlygos yra atenkintos, funkcija αx) yra αx) = c log x + x h) h). Analogiškai.4 teoremai buvo suformuluotos ir įrodytos stiriai adityviųjų funkcijų su aslinktais irminiais askirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį būtinos ir akankamos sąlygos []..9 teorema Barban-Vinogradov-Levin, 965). Tegul fn) stiriai adityvioji funkcija, riklausanti klasei H. Pasiskirstymo funkcijos ν x x, f + ) αx) βx) < u) silnai konverguoja į ribinį skirstinį, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia asiskirstymo funkcija Kv), kad kai x. B 2 x) x f)<vbx) f 2 ) Kv), Kai ši sąlyga yra atenkinta, ribinio dėsnio charakteristinė funkcija φt) gaunama iš Kolmogorovo.2) formulės, ribinio dėsnio vidurkis lygus 0, o disersija lygi. 7

Buvo nagrinėtas dar vienas tikimybinės skaičių teorijos uždavinys adityviųjų funkcijų sumų ribinio skirstinio egzistavimas. šioje srityje yra gauti W.J. LeVeque o [9] 949). Pirmieji rezultatai.0 teorema LeVeque, 949). Tegul fn) stiriai adityvioji funkcija, f) visiems irminiams, o eilutė f 2 ) diverguoja. Tada fn) Ax) ν x n x, Bx) < u, fn + ) Ax) Bx) < u 2 ) Gu )Gu 2 ). Ši teorema yra svarbi tikimybinėje skaičių teorijoje kai centrinė ribinė teorema adityviųjų funkcijų sumoms. Iš jos išlaukia ωn) ωn + ) ν x n x, 2 log log x ) < u Gu). Bendresnius rezultatus vėliau yra gavę J. Kubilius [8], G. Halász as [3], I. Kátai [7], A. Hildebrand as [4], P.D.T.A. Elliott as [5] [8], N.M. Timofeev as ir H.H. Usmanov as [42] ir kt. A. Hildebrand as [4] 988) ritaikė Erdős o-wintner io teoremos rincius adityviųjų funkcijų skirtumo ribiniam rezultatui gauti. įrodymui buvo taikytas charakteristinių funkcijų metodas. Teoremos. teorema Hildebrand, 988). Tegul f stiriai adityvioji funkcija. Pasiskirstymo funkcijos ν x {n x, fn + ) fn) < u} silnai konverguoja į ribinį skirstinį, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja realusis skaičius c toks, kad funkcijai hn) = fn) c log n eilutės konverguoja. h) h) 2, h) > Jei šios sąlygos yra atenkintos, tai ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra 8

2 + 2 ) Re m e ithm ) Dar o keleto metų N.M. Timofeev as ir H.H. Usmanov as [42] 992) gavo stiriai adityviųjų funkcijų f, f 2 skirstinių m ). ν x {n x, f n) + f 2 n + ) αx) < u}.4) silnojo konvergavimą į ribinį dėsnį būtinas ir akankamas sąlygas..2 teorema Timofeev-Usmanov, 992). Tegul f, f 2 stiriai adityviosios funkcijos. Tam, kad.4) asiskirstymo funkcijos silnai konverguotų į ribinį dėsnį, būtina ir akankama, kad egzistuotų tokie realieji skaičiai c, c 2, su kuriais eilutė min{, h 2 )} + min{, h 2 2 )}) konverguotų, čia funkcija h j ) = f j ) c j log, j =, 2. Be to, kai šios sąlygos yra atenkintos, funkcija αx) turi avidalą čia αx) = c + c 2 ) log x + x h = h, kai h,, kai h >, h ) + h 2 ), ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra + itc + c 2 ) 2 + m= m eith m) + e ith 2 m) ) J. Kubilius monografijoje [8] įrodė bendrąjį skirstinių )) e it h )+h 2 )). 9

{ ν x n x, f n + a ) A x) +... + f sn + a s ) A s x) B x) B s x) } < u.5) silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį atvejį. Čia f i, i =,..., s, stiriai adityviosios funkcijos, kurios riklauso klasei H..3 teorema Kubilius, 964). Tegul f n),..., f s n) stiriai adityviosios funkcijos, riklausančios klasei H, ir a,..., a s skirtingi fiksuoti natūralieji skaičiai..5) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į ribinį skirstinį su disersija s, kai x, tada ir tik tada, kai egzistuoja nemažėjanti funkcija Kv) tokia, kad s j= B 2 j x) x f j )<vb j x) f 2 j ) Kv), x visuose funkcijos Kv) tolydumo taškuose. Ribinio dėsnio charakteristinės funkcijos logaritmas aibrėžtas.2) lygybe. Atskiras šios teoremos atvejis yra stiriai adityviųjų funkcijų sumų konvergavimas į standartinį normalųjį skirstinį..4 teorema Kubilius, 964). Tegul a,..., a s skirtingi natūralieji skaičiai ir f n),..., f s n) realios stiriai adityviosios funkcijos. Jeigu kiekvienam ɛ > 0 kai x, tai B 2 j x) x f j ) >ɛb j x) f 2 j ) 0, j =,..., s), kai x. ν x {n x, s j= f j n + a j ) A j x) sbj x) } < u Gu), Ir vėliau gauta nemažai rezultatų aie adityviųjų funkcijų sumų asiskirstymus. Šiuos uždavinius srendė I. Kátai, N.M. Timofeev as, G. Steanauskas ir kiti autoriai. 20

.2 Stiriai adityviųjų funkcijų sekų skirstinių ν x n x, f x n) < u) ribiniai rezultatai Pastaraisiais metais buvo gautos stiriai adityviųjų funkcijų sekų f x, x 2, skirstinių silnojo konvergavimo į konkrečius ribinius dėsnius būtinos ir akankamos sąlygos. Tirti atvejai, kai f x ) įgyja reikšmę 0 arba bet kuriam irminiam skaičiui. Nagrinėtas stiriai adityviųjų funkcijų sekų asiskirstymo funkcijų ν x n x, f x n) < u).6) silnas konvergavimas į šiuos ribinius dėsnius: Puasono, Bernulio, geometrinį, binominį, diskretų tolygųjį žr. [37] [39])..6) asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į tam tikrą dėsnį sąlygos nusakytos šioje J. Šiaulio įrodytoje teoremoje [30]..5 teorema Šiaulys, 999). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams. Pasiskirstymo funkcijos ν x n x, f x n) < u) silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją tada ir tik tada, kai riba f 2... l x i j,i j 2... l = g l egzistuoja kiekvienam fiksuotam natūraliajam skaičiui l. skirstinio charakteristinė funkcija yra Be to, ribinio + l= g l e it ) l..7) l! Toms.6) asiskirstymo funkcijoms, kurių ribinis skirstinys turi baigtinę atramą, silnojo konvergavimo į ribinį dėsnį sąlygos buvo gautos J. Šiaulio straisnyje [3]..6 teorema Šiaulys, 2000). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė, f x ) {0, } visiems irminiams. Pasiskirstymo funkcijos 2

ν x f x n) < u) silnai konverguoja į asiskirstymo funkciją F ξ u), čia ξ atsitiktinis dydis su baigtine atrama {0,, 2,..., L }, L 2, tada ir tik tada, kai egzistuoja konstanta D 2 tokia, kad su #{ D : f x) = } L, f D< x /L+) = 0, L k= f,..., k D, i j,i j x /L+) < k+,..., L+ x 2... L+ x 2... L+ = 0, + l k= l k f, 2,..., l D i j,i j 2... l + f,..., k D, i j,i j x /L+) < k+,..., l x 2... l x f x /L+) <, 2,..., l x 2... l x 2... l = g l, 2... l l =, 2,..., L. Be to, ribinio skirstinio charakteristinė funkcija nusakoma.7) formule..5 ir.6 teoremos yra teorinis agrindas.6) asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į konkrečius ribinius dėsnius būtinų ir akankamų sąlygų suradimui..6) asiskirstymo funkcijų silnojo konvergavimo į Puasono dėsnį su arametru λ sąlygos gautos J. Šiaulio [32] 2002)..7 teorema Šiaulys, 2002). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams. Pasiskirstymo funkcijos ν x f x n) < u) silnai konverguoja į Puasono dėsnį su arametru λ tada ir tik tada, kai yra teisingos šios trys sąlygos: 22

maxf x = 0, f x = λ, f log x x log = 0. Du skirtingus šios teoremos įrodymus gaa rasti [26], [32] straisniuose. Straisnyje [26] teorema įrodyta remiantis tikimybiniu, analiziniu ir momentų metodais. Parastesnis teoremos įrodymas ateiktas straisnyje [32]. Čia įrodymas aremtas faktorialinių momentų metodu. Stiriai adityviųjų funkcijų sekų silnojo konvergavimo į binominį ribinį dėsnį būtinos ir akankamos sąlygos buvo gautos J. Šiaulio ir G. Steanausko straisnyje [38]..8 teorema Šiaulys-Steanauskas, 20). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams. Pasiskirstymo funkcijos ν x f x n) < u) silnai konverguoja į ribinį binominį dėsnį Bu, γ, N) su arametrais γ / {/, P} ir N N, kai x, tada ir tik tada, kai f x N+ < x... f f x N+ f x N+ < l x 2... l x x N+ < 2... l x 2... l x kiekvienam fiksuotam l =, 2,..., N. = 0, = N! 2... l N l)! γl, = N! 2... l N l)! γl,.9 teorema Šiaulys-Steanauskas, 20). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams. 23

Pasiskirstymo funkcijos ν x f x n) < u) silnai konverguoja į ribinį binominį dėsnį Bu, γ, N) su arametrais γ = /q, q P, ir N N, kai x, tada ir tik tada, kai kiekvienam akankamai dideliam x galioja viena iš dviejų sąlygų: ) f xq) = 0, ir kiekvienam fiksuotam l =, 2,..., N f x N+ < x... f x N+ < l x 2... l x f x N+ = 0 2... l = N! N l)! ) l, q arba 2) f x N+ < 2... l x 2... l x f xq) =, = N! 2... l N l)! f x N, q ir kiekvienam fiksuotam l =, 2,..., N f x N < x x... f N < 2... l x 2... l x f x N < l x 2... l x 2... l = 2... l = = 0 ) l q N )! N l)! N )! N l)! ) l. q ) l, q Tai at buvo gautos stiriai adityviųjų funkcijų sekų silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį ribinį dėsnį būtinos ir akankamos sąlygos [39]..20 teorema Šiaulys-Steanauskas, 202). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams. Pasiskirstymo funkcijos ν x f x n) < u) silnai konverguoja į ribinį diskretų 24

tolygųjį dėsnį Uu, L), kai x, tada ir tik tada, kai L = 2 ir kiekvienam akankamai dideliam x galioja viena iš dviejų sąlygų: arba f x 2) =, f x /2 = 0, f 2< x = 0.8) f x /2 < x = 2..9) Pastarosios teoremos buvo įrodytos remiantis faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodais. Silnojo konvergavimo į konkrečius ribinius dėsnius avyzdžius gaa rasti straisnyje [37]..3 Stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais argumentais skirstinių ribiniai dėsniai Plačiai tirtas stiriai adityviųjų funkcijų skirstinių silnasis konvergavimas į Puasono dėsnį. Straisniuose [33] [35] yra gautos būtinos ir akankamos sąlygos skirstinių ν x x, f x + ) < u), ν x n x, f x n) + g x n + ) < u), ν x x, f x + ) + g x + 2) < u) silnajam konvergavimui į Puasono dėsnį..2 teorema Šiaulys-Steanauskas, 2007). Tegul f x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibė tokia, kad f x ) {0, } visiems irminiams ir log x f x γ <q x q = 0 25

kiekvienam γ 0, ). Pasiskirstymo funkcijos ν x f x + ) < u) silnai konverguoja į Puasono dėsnį su arametru λ, kai x, tada ir tik tada, kai maxf q x f q x q = 0, q = λ..22 teorema Šiaulys-Steanauskas, 2007). Tegul f x ir g x, x 2, yra dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir f log x x log + g x ) log = 0. Pasiskirstymo funkcijos ν x n x, f x n)+g x n+) < u) silnai konverguoja į Puasono dėsnį su arametru λ, kai x, tada ir tik tada, kai max f x f x + maxg x + g x ) = 0, ) = λ..23 teorema Šiaulys-Steanauskas, 2007). Tegul f x ir g x, x 2, yra dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir log x f x α <q x q + g x α <q x ) = 0 q kiekvienam α 0, ). Pasiskirstymo funkcijos ν x x, f x + ) + g x + 2) < u) silnai konverguoja į Puasono dėsnį su arametru λ, kai x, tada ir tik tada, kai max f q x q + maxg q x 26 ) = 0, q

f q x q + g q x ) = λ. q 27

2 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekoms su aslinktais irminiais Šiame skyriuje ateikiamos stiriai adityviųjų funkcijų sekų su aslinktais irminiais asiskirstymo funkcijų ν x x, f x + ) < u) = πx) silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį x fx+)<u 2.) Uu, L) := k=0,,...,l k<u L, 2.2) čia L N, L 2, būtinos ir akankamos sąlygos. Teorema buvo įrodyta remiantis faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodais. Tai at buvo įvesta sąlyga, aribojanti adityviųjų funkcijų elgseną dideliems irminiams skaičiams H) sąlyga). Galbūt ši roblema yra išsrendžiama kitais metodais vz. Kubiliaus modelis ar kt.). Tačiau ir šiais atvejais iškils didelių irminių skaičių roblema. 2. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos 2. teorema. Tegul f x, x 2, stiriai adityviųjų funkcijų aibė. Tarkime f x ) {0, } visiems irminiams ir log x f x γ < x = 0 H) kiekvienam γ 0, ). 2.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į ribinį diskretų tolygųjį dėsnį Uu, L), kai x, tada ir tik tada, kai L = 2 ir f x 3) =, f x 3 = 0. 2.3) 28

Teoremos įrodymas remiasi žemiau ateiktomis lemomis. 2.3 2.5 lemos aibūdina askirstymo funkcijų ν x f x + ) < u) faktorialinių momentų ribinę elgseną. 2.2 lema [9]). Kiekvienai adityviajai, įgyjančiai realiąsias reikšmes funkcijai h, visiems realiesiems b ir sveikiesiems a teisingas įvertis ν x h + a) = b) 4 + x h) 0 /2 2.3 lema. Tegul f x, x 2, aibė stiriai adityviųjų funkcijų, kurioms f x ) {0, } visiems irminiams. Jeigu 2.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją F u) su šuoliu taške u = 0, kai x, tai dydis βl, x) := πx) x f x +)f x +) )... f x +) l+), l =, 2,.... turi baigtinę ribą βl, x) = g l, 2.4) čia g l yra ribinio dėsnio l-asis faktorialinis momentas. 2.4 lema [33], Lema 2). Jeigu stiriai adityviųjų funkcijų aibė f x tenkina 2. teoremos sąlygas ir tai f x, 2.5) βl, x) = f, 2,..., l x i j, i j ) 2 )... l ) + ε lx), l =, 2,.... Iš šio teiginio ir 2.4) lygybės skirstinių ν x f x + ) < u) konvergavimo atveju turime, kad f, 2,..., l x i j, i j kiekvienam l {, 2,... }. ) 2 )... l ) = g l 2.6) 29

2.5 lema. Tegul f x, x 2, aibė stiriai adityviųjų funkcijų, kurioms f x ) {0, } visiems irminiams ir atenkinta sąlyga H). Jeigu 2.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į asiskirstymo funkciją F ξ, čia ξ- atsitiktinis dydis su baigtine atrama {0,,..., L }, L 2, tai egzistuoja konstanta D 2 tokia, kad su #{ D : f x) = } L, 2.7) f,..., l D i j, i j f D< x /L = 0, 2.8) ) 2 )... l ) = g l, 2.9) l =, 2,..., L. Be to, ribinio skirstinio charakteristinė funkcija yra + L l= Iš 2. teoremos gauname šį avyzdį. 2. avyzdys. Tegul f x ) = g l l! eit ) l., jei = 3,, jei x α < x α+ε x, 0 kitais atvejais, čia ε x > 0 ir ε x log x 0, kai x. Tuomet ν x f x + ) < u) Uu, 2), x. 2.2 Lemų įrodymai 2.3 lemos įrodymas Tarkime, kad 2.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į ribinę asiskirstymo funkciją F u) su šuoliu taške u = 0. Iš silnojo konvergavimo išlaukia, kad ν xf x + ) = 0) = F 0+) F 0) c > 0. 30

Naudojant šį įvertį, straisnyje [33] 0) nelygybė) buvo įrodyta, kad Pasinaudoję šiuo įverčiu gauname, kad πx) x fx+)=k = πx) visiems k l + 2. Taigi, βl, x) l, l. 2.0) x fx+)=k kk )... k l ) kk )... k l ) kk )... k l ) βl + 2, x) l kk )... k l ) F k+) F k) = ν x f x + ) = k) l kk )... k l ) visiems k l + 2. Fiksuokime l N ir asirinkime K > l + 2. Naudojant 2.0) įvertį analogiškai kai [33] gauname βl, x) = πx) + πx) = K k=l = g l x fx+)>k = K k=l x fx+) K f x + )f x + ) )... f x + ) l + ) f x + )f x + ) )... f x + ) l + ) f x + ) l f x + ) l kk )... k l + ) πx) x fx+)=k βl +, x) + O K l kk )... k l + )F k+) F k )) + ε K,l x) + O l K l kk )... k l +)F k+) F k ))+ε K,l x)+o l K l k=k+ = g l + ε K,l x) + O l k=k+ + O l k l)k l ) K ) ) = g l + ε K,l x) + O l K Perėjus rie ribos, kai x ir tada K, gauname 2.4) lygybę. 2.3 lema įrodyta. 3 ) ). )

2.5 lemos įrodymas Šios lemos įrodymas anašus į 4 išvados iš [3] būtinumo įrodymą. Iš lemos sąlygų turime, kad egzistuoja toks k {0,,..., L }, kuriam ν xf x + ) = k) = F ξ k+) F ξ k) c > 0. Iš 2.2 lemos turime, kad ν x f x + ) = k) Taigi, gauname 2.5) nelygybę. 4 + f x /2. 2.) Tada agal 2.4 lemą, galioja 2.6) lygybė. Tegul d 2 fiksuotas natūralusis skaičius. Jeigu x/d L > d, iš 2.6) lygybės turime, kad Tardami, kad g L su f, 2,..., L d i j,i j ) 2 )... L ). su #{ d : f x) 0} L, gauname rieštarą sąlygai g L = 0. Taigi, visiems fiksuotiems natūraliesiems d. Imkime su #{ d : f x) 0} L a d = su #{ d : f x) 0}. Seka a d d 2) įgyja sveikąsias reikšmes, yra nemažėjanti ir arėžta. Taigi, egzistuoja toks natūralusis skaičius D 2, kuriam su #{ D : f x) 0} = a d, kai d D. Kadangi a d L visiems natūraliesiems d, tai gauname, kad yra išildyta 2.7) sąlyga. 32

Kita vertus, iš šių samrotavimų išlaukia, kad f x) = 0 visiems fiksuotiems irminiams > D. Todėl gauname, kad D< x maxf = 0. Kadangi kiekvienai orai i, j, i < j L, f D<,..., L x /L i = j )... L ) max f f D< x x L 0, x, tai 2.6) lygybė rodo, kad g L su f D< x /L Taigi, iš sąlygos g L = 0 gauname 2.8). Paskutinė lemos 2.9) sąlyga L išlaukia iš 2.6), 2.8) lygybės ir H) sąlygos. 2.5 lema įrodyta.. 2.3 Pagrindinio rezultato įrodymas Būtinumas. Tarkime, kad ν x f x + ) < u) Uu, L), 2.2) kai x, su arametru L 2. Iš 2.3 lemos gauname, kad βx, l) = L )! L l)! l + ), kai l =, 2,..., L. Reikšmės g l yra ribinio skirstinio faktorialiniai momentai. Diskretaus tolygiojo skirstinio atveju išlaukia, kad g k = g = L 2, g 2 = L )L 2)... L k) k + L )L 2) 3, k = 3, 4,..., L,, 33

g k = 0, k = L, L +,.... Iš 2.2) turime, kad ν xf x + ) = 0) = U0+, L) U0, L) = L > 0. Taigi, 2.5) nelygybė išlaukia iš 2.) nelygybės, kai k = 0. Dabar taikysime 2.4 lemą. Reikšmės g l yra ribinio skirstinio faktorialiniai momentai. Akivaizdu, kad g l g l k g k visiems l = 2, 3,... ir visiems k =, 2,..., l. Konkrečiu atveju Todėl g 2 g 2. L )L 2) 3 L 2 Išsrendus astarąją nelygybę gauname, kad L 5. Atskirai nagrinėkime atvejus L = 2, 3, 4, 5. Tegul L = 2. Šiuo atveju ) 2. g = 2, g 2 = g 3 = = 0. Naudojant 2.5 lemą egzistuoja D 2, kad su #{ D : f x) = } = κ, f D< x /2 f D = 0, = 2. 2.3) Jei κ =, tai iš šių samrotavimų ir H) sąlygos gauname, kad yra gaas tik vienas atvejis f x 3) = dideliems x ir f x 3 = 0. 34

Jei κ = 0, tai f x ) = 0 kiekvienam fiksuotam ir akankamai dideliems x. Šiuo atveju 2.3) lygybė nėra teisinga. Iš to išlaukia, kad atvejis κ = 0 nėra gaas. Tegul L = 3. Tada g =, g 2 = 2 3, g 3 = g 4 = = 0. Iš 2.5 lemos turime, kad egzistuoja D 2, su kuriuo teisingos šios sąlygos: su #{ D : f x) = } = κ 2, f D< x /3 D = 0, f =, 2.4) f, 2 D 2 ) 2 ) = 2 3. 2.5) Visų irma, tarkime, kad κ = 2. Iš 2.4) ir H) sąlygos turime, kad f x ) = f x 2 ) = dideliems x ir + 2 = fiksuotiems irminiams, 2, kai < 2. Kadangi astaroji lygybė nėra teisinga jokioms skirtingų irminių, 2 oroms, tai atvejis κ = 2 nėra gaas. Iš 2.5) lygybės išlaukia, kad atvejai κ =, κ = 0 tai at negai. Tegul L = 4. Tada g = 3 2, g 2 = 2, g 3 = 3 2, g 4 = g 5 = = 0. Pagal 2.5 lemą egzistuoja tokia konstanta D 2, kuriai su #{ D : f x) = } = κ 3, 2.6) 35

f, 2, 3 D i j, i j f D< x /4 f f, 2 D 2 D = 0, = 3 2, 2.7) ) 2 ) = 2, Iš 2.8) išlaukia, kad κ negali būti 0, ir 2. ) 2 ) 3 ) = 3 2. 2.8) Tarkime, kad κ = 3. Tuomet iš 2.6) ir 2.7) lygybių matyti, kad egzistuoja tokie fiksuoti irminiai < 2 < 3, kuriems f x ) = f x 2 ) = f x 3 ) = dideliems x ir + 2 + 3 = 3 2. 2.9) Tačiau nėra tokių irminių, kuriems galiotų 2.9) lygybė. Taigi, atvejis κ = 3 tai at nėra įmanomas. Tarkime, kad L = 5. Tuomet g = 2, g 2 = 4, g 3 = 6, g 4 = 24 5, g 5 = g 6 = = 0. Pagal 2.5 lemą egzistuoja tokia konstanta D 2, kuriai su #{ D : f x) = } = κ 4, f, 2, 3 D i j, i j f D< x /5 D = 0, f = 2, 2.20) f, 2 D 2 ) 2 ) = 4, ) 2 ) 3 ) = 6, 36

f, 2, 3, 4 D i j, i j ) 2 ) 3 ) 4 ) = 24 5. 2.2) Iš 2.2) lygybės gauname, kad κ negali būti lygus 0,, 2 ir 3. Tarkime, kad κ = 4. Tuomet iš 2.20) išlaukia, kad egzistuoja tokie irminiai < 2 < 3 < 4, kuriems f x ) = f x 2 ) = f x 3 ) = f x 4 ) = dideliems x ir Tačiau + 2 + 3 + 4 = 2. + 2 + 3 + 4 + 2 + 4 + 6 < 2. Taigi, atvejis κ = 4 tai at neįmanomas. Pakankamumas. Tarkime, kad tenkinama teoremos 2.3) sąlyga bei aildoma H) sąlyga. 2.5) įvertis išlaukia iš 2.3) sąlygos. Tuomet naudojant 2.4 lemą gauname, kad jei l > ir Imkime βl, x) = kai x 2 ir t R. Kadangi f, 2,..., l x i j, i j ) 2 )... l ) = 0, β, x) = 2. ψ x t) = πx) x e itf x+), e itr r e it ) rr ) e it 2 2 visiems r {0} N, tai turime, kad ψ x t) = + β, x) e it ) + Oβ2, x)). Perėję rie ribos askutinėje lygybėje darome išvadą, kad ψ xt) = e it + ). 2 37

Bet tai ir yra diskretaus tolygiojo skirstinio Uu, 2) charakteristinė funkcija. Taigi, teoremos akankamumas įrodytas. 2. teorema įrodyta. 38

3 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekų sumoms su aslinktais argumentais Šiame skyriuje ateikiamos stiriai adityviųjų funkcijų sekų sumų su aslinktais argumentais asiskirstymo funkcijų ν x n x, f x n) + g x n + ) < u) = [x] n x fxn)+gxn+)<u 3.) silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį Uu, L), L N, L 2, būtinos ir akankamos sąlygos. Teorema buvo įrodyta remiantis faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodais. Tai at buvo įvesta sąlyga, aribojanti adityviųjų funkcijų elgseną dideliems irminiams skaičiams 3.2) sąlyga). Galbūt ši roblema yra išsrendžiama kitais metodais vz. Kubiliaus modelis ar kt.). Tačiau ir šiais atvejais iškils didelių irminių skaičių roblema. 3. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos 3. teorema. Tegul f x ir g x, x 2, yra dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams. Be to, tarkime, kad log x x f x ) + g x )) log = 0. 3.2) 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į diskretų tolygųjį ribinį dėsnį Uu, L), kai x, tada ir tik tada, kai L = 2 ir 2< x f x 2) + g x 2) =, 3.3) f x ) + g x ) = 0. 3.4) Šios teoremos įrodymas aremtas askirstymo funkcijų ν x f x n)+g x n+ ) < u) faktorialinių momentų ribine elgsena. Ji ateikiama 3.2, 3.4, 3.5 lemose. 39

3.2 lema [34]). Tegul f x ir g x, x 2, yra stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams. Jeigu 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją, kai x, tai dydis φx, l) := x turi baigtinę ribą l n x k=0 f x n) + g x n + ) k), l =, 2,... φx, l) =: φ l, 3.5) čia φ l yra ribinio dėsnio l-asis faktorialinis momentas. Iš kitos usės, jei 3.5) riba egzistuoja kiekvienam fiksuotam natūraliajam l ir eilutė l= 2 l φ l l! konverguoja, tai 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją, kurios charakteristinė funkcija yra + l= φ l l! e it ) l. 3.6) 3.3 lema [3]). Tegul h adityvioji funkcija, įgyjanti realiąsias reikšmes. Tuomet įvertis n x hn)=a x x h) 0 /2 teisingas visiems realiesiems skaičiams a ir x 2. 3.4 lema. Tegul f x ir g x, x 2, yra dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir 3.2) sąlyga yra atenkinta. Jeigu 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokį ribinį dėsnį, tai l k=0 l k,..., k, k+,..., l x i j,i j f )... f k )g k+ )... g l )... k k+... l = φ l 3.7) visiems fiksuotiems natūraliesiems l. Be to, ribinis dėsnis turi 3.6) charakteristinę funkciją. 40

3.5 lema. Tegul f x ir g x, x 2, dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės ir f x ), g x ) {0, } visiems irminiams bei 3.2) sąlyga yra atenkinta. Jeigu 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į asiskirstymo funkciją F ξ su baigtine atrama {0,, 2,..., L }, L 2, tai egzistuoja konstanta D 2 tokia, kad l k=0 l k su #{ D : f x) + g x ) 0} L, 3.8) D< x,..., k, k+,..., l D i j,i j f x ) + g x ) = 0, 3.9) f )... f k )g k+ )... g l )... k k+... l = φ l, 3.0) l =, 2,..., L. Be to, ribinio skirstinio F ξ charakteristinė funkcija yra 3.6) ir φ l = 0, kai l L. Iš 3. teoremos gauname avyzdį. 3. avyzdys. Tegul stiriai adityviosios funkcijos f x ir g x aibrėžtos tai f x ) =, jei = 2 ir x nelyginis, 0 kitais atvejais, g x ) =, jei = 2 ir x lyginis, 0 kitais atvejais. Tada ν x f x n) + g x n + ) < u) Uu, 2), x. 3.2 Lemų įrodymai 3.4 lemos įrodymas Pirmiausia įrodysime, kad x f x ) + g x ). 3.) Tarkime, kad 3.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į ribinį skirstinį F ξ. Šis ribinis skirstinys yra atsitiktinio dydžio ξ, įgyjančio sveikąsias reikšmes, skirstinys. Taigi, egzistuoja toks natūralusis a, kuriam 4

F ξ a+) F ξ a) > 0. Tarkime, kad a 0 mažiausias toks sveikasis skaičius. Tuomet Kadangi inf ν xn x, f x n) + g x n + ) = a 0 ) = F ξ a 0 +) F ξ a 0 ) > 0. ν xn x, f x n) a 0 ) ν x n x, f x n) + g x n + ) = a 0 ) > 0, tai tam tikram sveikajam a, 0 a a 0 turime inf ν xn x, f x n) = a ) > 0. Iš šios nelygybės ir 3.3 lemos išlaukia, kad x f x ). Atitinkamai gae įvertinti funkcijos g x elgseną. Taigi, 3.) nelygybė yra teisinga. Tegul δ fiksuotas, teigiamas ir akankamai mažas skaičius. Aibrėžkime dvi naujas, stiriai adityviąsias funkcijas f x ir g x tai: f x ) := Kiekvienam ε > 0 f x ), jei x δ, 0, jei > x δ, g x ) := g x ), jei x δ, 0, jei > x δ. ν x n x, fx n) + g x n + ) f x n) g x n + ) ) > ε ν x n x, fx n) f x n) ε > )+ν x n x, g x n + ) g x n + ) > ε ) 2 2 ν x n x, n : fx ) f x ) ) + ν x n x, n + : g x ) g x )) x δ < x f x ) + g x ). 3.2) 42

Bet iš 3.2) sąlygos gauname, kad x δ < x f x ) + g x ) = 0. 3.3) Tai reiškia, kad 3.) asiskirstymo funkcijos ir asiskirstymo funkcijos ν x fx n) + g x n + ) < u ) 3.4) konverguoja į tą atį ribinį skirstinį ir šių ribinių skirstinių faktorialiniai momentai sutama. Tegul l fiksuotas skaičius. Iš 3.4) skirstinių faktorialinių metodų turime, kad φx, l) = x = x l n x k=0 l k=0 l k fx n) + g x n + ) k ) n x f x n) fx n) )... fx n) k ) ) g x n + ) g x n + ) )... g x n + ) l k )). 3.5) Naudojant funkcijų f x ir g x adityvumą 3.5) lygybės vidinę sumą gae errašyti tai kuri yra lygi,..., k, k+,..., l x δ i j,i j =,..., k, k+,..., l x δ i j,i j,..., k, k+,..., l x δ i j,i j n x... k n k+... l n+ f )... f k )g k+ )... g l ), f )... f k )g k+ )... g l ) + O... k k+... l f )... f k )g k+ )... g l )... k k+... l )) x + O x lδ x log l x ). Taigi, turime, kad φx, l) = + O l k=0 l k x δ < x,..., k, k+,..., l x i j,i j f x ) + g x ) f )... f k )g k+ )... g l )... k k+... l x 43 f x ) + g x ) l + O x lδ x log l x ).

Pasirinkus δ /l iš 3.) ir 3.3) gauname 3.7). 3.4 lema įrodyta. 3.5 lemos įrodymas Šios lemos įrodymas anašus į 4 išvados iš [3] būtinumo įrodymą. Remiantis 3.4 lema 3.7) lygybė galioja kiekvienam natūraliajam l. Tegul d 2 fiksuotas natūralusis skaičius. Jeigu x/d L > d, tai iš 3.7) lygybės turime, kad φ L su L k=0 L k Darant rielaidą, kad,..., k, k+,..., L d i j,i j f )... f k )g k+ )... g L )... k k+... L. su #{ d : f x) + g x ) 0} L, gauname rieštarą sąlygai φ L = 0. Todėl su #{ d : f x) + g x ) 0} L kiekvienam fiksuotam, natūraliajam d. Imkime Seka a d a d = su #{ d : f x) + g x ) 0}. d 2) įgyja sveikąsias reikšmes, yra nemažėjanti ir arėžta. Vadinasi, egzistuoja natūralusis D 2, kad su #{ D : f x) + g x ) 0} = a d, kai d D. Kadangi a d L visiems natūraliesiems d, tai gauname 3.8) sąlygą. Kita vertus, iš šių samrotavimų išlaukia, kad f x) + g x )) = 0 visiems fiksuotiems irminiams > D. Taigi, max f x ) + g x ) x 0 D< x 44 = 0. 3.6)

Pagal 3.) ir 3.6) kiekvienai orai i, j, i < j L, turime, kad D<,..., k, k+,..., L x i = j f )... f k )g k+ )... g L )... k k+... L f x ) + g x ) max D< x x f x ) + g x ) L 0, kai x. Iš čia ir 3.7) lygybės turime, kad φ L su L k=0 L k D< x Taigi, iš sąlygos φ L = 0 išlaukia 3.9). f x ) k D< x g x ) L k Paskutinė 3.0) lemos sąlyga išlaukia iš 3.7) ir 3.9) lygybės. 3.5 lema įrodyta.. 3.3 Pagrindinio rezultato įrodymas Būtinumas. Tarkime, kad ν x f x n) + g x n + ) < u) Uu, L), kai x, su arametru L 2. Diskretaus tolygiojo skirstinio atveju turime, kad ribinio skirstinio faktorialiniai momentai yra φ k = L )L 2)... L k) k + φ k = 0, k = L, L +,...., k =, 2,..., L, Iš 3.7) išlaukia, kad φ 2 φ 2. Todėl Iš čia gauname, kad L 5. L )L 2) 3 L 2 Pagal 3.5 lemą turime, kad fiksuotiems D 2 teisingos šios sąlygos : ) 2. 45

su #{ D : f x) + g x ) 0} =: κ L, D< x f x ) + g x ) Atskirai nagrinėsime atvejus L = 2, 3, 4, 5. Tegul L = 2. Šiuo atveju κ, Iš 3.5 lemos turime, kad = 0. φ = 2, φ 2 = φ 3 = = 0. D f x ) + g x ) = 2. 3.7) Jei κ =, tai iš šių samrotavimų gauname, kad yra gaas tik vienas atvejis: dideliems x ir 2< x f x 2) + g x 2) = f x ) + g x ) = 0. Jei κ = 0, tai f x ) + g x ) = 0 kiekvienam fiksuotam irminiam ir akankamai dideliems x. Šiuo atveju 3.7) lygybė nėra teisinga. Iš to išlaukia, kad atvejis κ = 0 nėra gaas. Tegul L = 3. Tada κ 2, Iš 3.5 lemos turime, kad φ =, φ 2 = 2 3, φ 3 = φ 4 = = 0. D f x ) + g x ) =, 3.8), 2 D 2 f x )f x 2 ) + 2f x )g x 2 ) + g x )g x 2 ) 2 = 2 3. 3.9) Visų irma, tarkime, kad κ = 2. Nėra tokių dviejų skirtingų irminių, 2 D, kuriems f x i ) + g x i ) 0, i =, 2. Taigi, 3.8) sąlyga nėra tenkinama. 46

Atvejams κ = ir κ = 0 3.9) sąlyga nėra išildyta. Tegul L = 4. Tada κ 3, φ = 3 2, φ 2 = 2, φ 3 = 3 2, φ 4 = φ 5 = = 0. Iš 3.5 lemos turime, kad D f x ) + g x ) = 3 2, 3.20), 2 D 2 f x )f x 2 ) + 2f x )g x 2 ) + g x )g x 2 ) 2 = 2,, 2, 3 D 2, 3, 2 3 fx )f x 2 )f x 3 ) + 3f x )f x 2 )g x 3 ) 2 3 + 3f x )g x 2 )g x 3 ) + g x )g x 2 )g x 3 ) 2 3 = 3 2 Iš 3.2) lygybės išlaukia, kad κ negali įgyti reikšmių 0,, ir 2. ). 3.2) Tarkime, kad κ = 3. Tuomet turi egzistuoti trys skirtingi irminiai skaičiai, 2, 3 D, kuriems f x i ) + g x i ) 0. Tačiau nėra tokių irminių, kad 3.20) lygybė būtų teisinga. Tarkime L = 5. Tuomet κ 4, φ = 2, φ 2 = 4, φ 3 = 6, φ 4 = 24 5, φ 5 = φ 6 =... = 0. Iš 3.5 lemos turime, kad D f x ) + g x ) = 2, 3.22), 2 D 2 f x )f x 2 ) + 2f x )g x 2 ) + g x )g x 2 ) 2 = 4,, 2, 3 D 2, 3, 2 3 fx )f x 2 )f x 3 ) + 3f x )f x 2 )g x 3 ) 2 3 + 3f x )g x 2 )g x 3 ) + g x )g x 2 )g x 3 ) 2 3 = 6 ), 3.23) 47

4 k=0 4 k, 2, 3, 4 D i j,i j f )... f k )g k+ )... g 4 ) 2 3 4 = 24 5. 3.24) Iš 3.24) lygybės išlaukia, kad κ negali būti lygus 0,, 2 ir 3. Atvejis κ = 4 nėra gaas dėl 3.22) lygybės. Teoremos būtinumas įrodytas. Pakankamumas. Iš teoremos 3.4) sąlygos išlaukia, kad 3.) ir 3.3) sąlygos yra teisingos. Tuomet iš 3.2) turime, kad, konvergavimo atveju 3.) ir 3.4) skirstiniai silnai konverguoja į tą atį ribinį skirstinį. Todėl užtenka nagrinėti 3.4) skirstinio faktorialinių momentų φx, l) konvergavimą. Iš 3.3), 3.4) ir 3.5) gauname, kad φx, l) = l k=0 l k,..., k, k+,..., l x i j,i j f )... f k )g k+ )... g l )... k k+... l = 0, kai l = 2, 3,... ir f x ) + g x ) φx, ) = x = f x2) + g x 2) 2 = 2. Iš 3.2 lemos išlaukia, kad 3.) skirstiniai silnai konverguoja į diskretų tolygųjį skirstinį Uu, 2). Teorema įrodyta. 48

4 Diskretus tolygusis ribinis dėsnis adityviųjų funkcijų sekų sumoms su aslinktais irminiais Šiame skyriuje ateikiamos stiriai adityviųjų funkcijų sekų sumų su aslinktais irminiais asiskirstymo funkcijų ν x x, f x + ) + g x + 2) < u) = πx) x fx+)+gx+2)<u 4.) silnojo konvergavimo į diskretų tolygųjį skirstinį Uu, L), L N, L 2, būtinos ir akankamos sąlygos. Kai ankstesniuose skyriuose, teorema buvo įrodyta remiantis faktorialinių momentų bei charakteristinių funkcijų metodais. Šiems skirstiniams tai at buvo įvesta sąlyga aribojanti adityviųjų funkcijų elgseną dideliems irminiams skaičiams 4.2) sąlyga). 4. Pagrindinis rezultatas ir aildomos lemos 4. teorema. Tegul f x ir g x, x 2, yra dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės. Tarkime, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir log x x γ < x f x ) + g x ) = 0 4.2) kiekvienam γ 0, ). 4.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į ribinį diskretų tolygųjį skirstinį Uu, L), kai x, tada ir tik tada, kai L = 2, x 3,5 f x ) + g x ) = 0 4.3) ir kiekvienam akankamai dideliam x gaas vienas iš atvejų f x 3) + g x 3) = ir f x 5) + g x 5) = 0 4.4) arba f x 3) + g x 3) = 0 ir f x 5) + g x 5) = 2. 4.5) 49

Teoremos įrodymas remiasi toliau ateiktomis lemomis. 4.2 lema [2]). Tegul K teigiamas realusis skaičius. Tada egzistuoja toks realusis skaičius L, kad tolygiai visiems x 2 max d x /2 log x) L d,v)= li x πx, d, v) φd) x log x) K. 4.3 lema [35]). Tegul f x ir g x, x 2, dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės, tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir x f x ) + g x ) c. 4.6) Tai at tegul natūraliesiems l βl, x) := πx) x f x + ) + g x + 2)) f x + ) + g x + 2) )... f x + ) + g x + 2) l + ). Tuomet βl, x) l,c. 4.4 lema. Tegul f x ir g x, x 2, dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir tegul 4.6) nelygybė atenkinta. Jeigu 4.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją F u), kai x, tai βl, x) = β l, l =, 2,..., 4.7) čia β l yra ribinio dėsnio l-asis faktorialinis momentas. 4.5 lema. Tegul stiriai adityviųjų funkcijų aibėms f x ir g x galioja 4. teoremos sąlygos ir 4.6) nelygybė atenkinta. Jeigu 4.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į kažkokią asiskirstymo funkciją F u), kai x, tai β l = l k=0 l k, 2,..., l x i j,i j f x )... f x k )g x k+ )... g x l ) φ 2... l ). 4.8) 50

4.6 lema. Tegul f x ir g x, x 2, dvi stiriai adityviųjų funkcijų aibės tokios, kad f x ), g x ) {0, } visiems irminiams ir tegul 4.2) sąlyga atenkinta. Jeigu 4.) asiskirstymo funkcijos silnai konverguoja į atsitiktinio dydžio ξ asiskirstymo funkciją F ξ su baigtine atrama {0,,..., L }, L 2, tai egzistuoja konstanta D 2 tokia, kad l k=0 l k su #{ D : f x) + g x ) 0} L, 4.9) D< x,..., k, k+,..., l D i j,i j f x ) + g x ) f )... f k )g k+ )... g l ) φ 2... l ) = 0, 4.0) = β l, 4.) l =, 2,..., L. Be to, ribinio dėsnio F ξ charakteristinė funkcija yra lygi + L l= Iš 4. teoremos išlaukia avyzdys. β l l! eit ) l. 4. avyzdys. Tegul f x ) =, jei = 3 ir x nelyginis, 0, jei = 3 ir x lyginis, 0, jei = 5 ir x nelyginis,, jei = 5 ir x lyginis, 0 kitais atvejais, g x ) = 0, jei = 3, 0, jei = 5 ir x nelyginis,, jei = 5 ir x lyginis, 0 kitais atvejais. Tuomet ν x f x + ) + g x + 2) < u) Uu, 2), x. 5

4.2 Lemų įrodymai 4.4 lemos įrodymas Kiekvienam k l + 2 teisingas įvertis βl + 2, x) = πx) x h)=m m=l+2 mm )... m l ) Naudojant 4.3 lemą bei šį įvertį, gauname, kad πx) Todėl x fx+)+gx+2)=k πx) kk )... k l ). x h)=m βl + 2, x) kk )... k l ) l kk )... k l ). F k+) F k) = ν x f x +)+g x +2) = k) l kk )... k l ) 4.2) kiekvienam k l + 2 ir riba egzistuoja. K K k=l kk )... k l + )F k+) F k)) = β l 4.3) Fiksuokime l N, asirinkime K > l + 2 ir adalinkime βl, x) į dvi sumas: βl, x) = πx) + πx) x fx+)+gx+2) K f x + ) + g x + 2)) f x + ) + g x + 2) )... f x + ) + g x + 2) l + ) x fx+)+gx+2)>k f x + ) + g x + 2))f x + ) + g x + 2) )... f x + ) + g x + 2) l + ) f x + ) + g x + 2) l f x + ) + g x + 2) l. Pertvarkome βl, x) išraišką ir, asinaudoję 4.3 lema, gauname βl, x) = = K k=l K k=l kk )... k l + ) πx) x fx+)+gx+2)=k βl +, x) + O K l kk )... k l + )F k+) F k)) + ε K,l x) + O l K l 52 ). )

Iš 4.2) ir 4.3) išlaukia, kad βl, x) = β l k=k+ = β l + O l kk )... k l+)f k+) F k))+ε K,l x)+o l K l k=k+ + ε K,l x) + O l k l)k l ) K ) = β l + ε K,l x) + O l K Paskutinėje lygybėje erėjus rie ribos, kai x artėja į begalybę, tada K artėja į begalybę, gauname 4.7) sąryšį. 4.4 lema įrodyta. 4.5 lemos įrodymas Tegul ˆfx ir ĝ x yar dvi naujos stiriai adityviosios funkcijos, aibrėžtos lygybėmis: ˆf x ) = f x ), jei x δ, 0, jei > x δ, ĝ x ) = g x ), jei x δ, 0, jei > x δ, čia konstanta δ > 0 yra mažas dydis ir bus asirinktas vėliau. Kievienam teigiamam ε ν fx x + ) + g x + 2) ˆf x + ) ĝ x + 2) ) > ε fx ν x + ) ˆf x + ) ) ε > + ν x g x + 2) ĝ x + 2) > ε ) 2 2 ν x q + : fx q) ˆf x q) ) + ν x q + 2 : g x q) ĝ x q)). 4.4) ). ) Dešiniosios usės irmasis dėmuo neviršija πx) x δ <q x+ x q + f x q) log x x δ <q x f x q) q + x. Analogiškas įvertis yra ir 4.4) antrojo dešiniosios usės dėmens. Tuomet ν x fx + ) + g x + 2) ˆf x + ) ĝ x + 2) > ε ) log x x δ <q x f x q) + g x q) q + = ε δ x), 4.5) x 53

nes 4.2) sąlyga galioja. Tai reiškia, kad ν x ˆfx + ) + ĝ x + 2) < u ) F u), kai x. Taigi, faktorialiniai momentai βl, x) ir ˆβl, x) := πx) l x k=0 turi tą ačią ribą β l, l =, 2,.... ˆfx + ) + ĝ x + 2) k ) Fiksuokime l N. Iš žinomų kombinatorikos lygybių išlaukia, kad ˆβl, x) = πx) l k=0 l k x ˆf x + ) ˆf x + ) )... ˆf x + ) k + ) ĝ x + 2)ĝ x + 2) )... ĝ x + 2) l k) + ). 4.6) Funkcijų ˆf x ir ĝ x stirus adityvumas reiškia, kad ˆf x + ) ˆf x + ) )... ˆf x + ) k + ) = ĝ x + 2)ĝ x + 2) )... ĝ x + 2) l k) + ) q q 2...q k + q k+ q k+2...q l +2 q i q j,i j ˆf x q ) ˆf x q 2 )... ˆf x q k )ĝ x q k+ )ĝ x q k+2 )... ĝ x q l ). 4.7) Sveikiesiems skaičiams k ir k 2 x k + k 2 +2 = πx, k k 2, v), čia v toks vienintelis sveikasis skaičius, kuriam v 2 mod k, v mod k 2 ir v k k 2. Pasirinkime δ = /3l). Iš 4.6) ir 4.7) turime 54

ˆβl, x) = πx) l k=0 l k q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j f x q )... f x q k ) = li x πx) + πx) l k=0 g x q k+ )... g x q l ) πx, q q 2... q l, v) l k l k=0 l k q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j Sumai S 2 įvertinti taikome 4.2 lemą: S 2 l πx) q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) φq q 2... q l ) f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) πx, q q 2... q l, v) Naudojant žinomus įverčius gauname S = l k=0 l k = = q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j l k=0 l k l k=0 + O l l k πx, q li x q 2... q l, v) φq q 2... q l ) f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) φq q 2... q l ) q,q 2,...,q l x δ q i q j,i j + O l log x q,q 2,...,q l x q i q j,i j q,q 2,...,q l x maxq,...,q l )>x δ Iš 4.2) ir 4.6) sąlygų turime q,q 2,...,q l x maxq,...,q l )>x δ ) li x =: S + S 2. φq q 2... q l ) l f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) φq q 2... q l ) q x f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) q q 2... q l l x γ <q x l f x q) + g x q) q f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) φq q 2... q l ) f x q )... f x q k )g x q k+ )... g x q l ) q q 2... q l f x q) + g x q) q 55 q x f x q) + g x q) q log x. )) + O log x l + ε lx). l log x.

4.5 lema įrodyta. 4.6 lemos įrodymas Lemos įrodymas anašus į 4 išvados iš [3] būtinumo įrodymą. Iš lemos sąlygų gauname, kad egzistuoja toks k {0,,..., L }, kuriam ν xf x + ) + g x + 2) = k) = F ξ k+) F ξ k) c. Iš to išlaukia, kad inf ν xf x + ) {0,,..., k}) ν x f x + ) + g x + 2) = k) c. Iš 2.2 lemos matyti, kad kai a = 0,,..., k. Todėl ν x f x + ) = a) 4 + x f x ) /2, ν x f x + ) {0,,..., k}) k 4 + x f x ) /2. Iš astarojo įverčio gauname, kad Analogiškai gauname 4.6) lygybė yra atenkinta. x x f x ) g x ).. Tuomet agal 4.5 lemą, 4.8) lygybė galioja. Tegul d 2 fiksuotas natūralusis skaičius. Jeigu x/d L > d, tai iš 4.8) lygybės gauname β L su Tariant, kad L k=0 L k,..., k, k+,..., L d i j,i j f x )... f x k )g x k+ )... g x L )... k k+... L. su #{ d : f x) + g x ) 0} L, 56