TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų savybės. Aukštesniųjų eilių determinantai. Atvirkštinė matrica Veiksmai su matricomis: matricų sudėtis, matricos daugyba iš skaičiaus, matricų sandauga. Atvirkštinės matricos apibrėžimas ir egzistavimas. Atvirkštinės matricos skaičiavimas. Matricinės lygtys. 1
!! - + * Matricos Matrica skaičių lentelė matricos (lentelės eilučių skaičius lentelės (stulpelių skaičius matricos elementai, " elementų indeksai eilutės numeris " stulpelio numeris PAVYZDYS, ( +,, ( *,, Nulinė matrica 2
* Transponuota matrica transponavimo operacija pavyzdys * matrica stulpelis matrica eilutė, 3
Kvadratinė matrica kvadratinė matrica ( -tosios eilės kvadratinės matricos pagrindinė įstrižainė šalutinė įstrižainė kvadratinės matricos - kvadratinė ir simetrinė matrica; simetrinė matrica! ". bendrumo kvantorius: visiems, kiekvienam, koks bebūtų egzistavimo kvantorius: egzistuoja, yra, galima rasti 4
Antrosios ir trečiosios eilės determinantai Antrosios eilės determinantas Trečiosios eilės determinantas 5
PAVYZDYS + + + -tosios eilės determinantas Elementų minorai ; ; 6
Elementų adjunktai ; ; ; 7
Determinanto savybės 1. Pastaba. Visos determinanto savybės, kurios galioja eilutėms, galioja ir stulpeliams. 2. Tarkime, kad kvadratinė matrica gauta iš kvadratinės matricos, sukeitus vietomis dvi jos eilutes. Tada, t. y. šie du determinantai skiriasi tik ženklu. Išvada. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus nuliui. (Turime. 3. Išvada. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, lygus nuliui. 8
4. Išvada. Determinantas nesikeičia, jei prie vienos jo eilutės pridėti kita jo eilutę.
Determinanto skleidimo formulės Šios formulės yra vadinamos determinanto skleidiniais! -tosios eilutės ir " -tojo stulpelio elementais. Pastaba. Jei determinanto skleidimo formulėje paimti kurio nors stulpelio (eilutės elementus ir kito sulpelio (eilutės adjunktus, suma bus lygi nuliui. Įrodymas. Sudarykime tokį determinanta Šis determinantas yra lygus. Paimkime vietoje elementų -tojo stulpelio ( " elementus. Šis determinantas turės du vienodus stulpelius ir todėl jis lygus nuliui. Taigi! " 9
+ + Determinantu skaičiavimas Skleidimo formulės taikymas + + 10
+ + + Deteminanto savybių taikymas Atimkime iš determinanto antrojo stulpelio pirmajį stulpelį, padauginta iš : Dabar skleidžiame determinanta antrojo stulpelio elementais: 11
Operacijos su matricomis Matricu sudėtis Matricų * ir Matricų sudėties savybės: komutatyvumas asociatyvumas Nulinė matrica - - - sudėtis * 12
+ Matricos daugyba iš skaičiaus + * asociatyvumas distributyvumas: 1 2 Matricų skirtumas:,+ * Matricu sandauga! + " 13
+ + Vienetinė matrica, Kronekerio simbolis matrica + Matricų daugyba nėra komutatyvi: bendru atveju :! kai! " kai " n-tosios eilės kvadratinė
Matricų daugybos asociatyvumas:, distributyvumas: 1 2 Sandaugos transponuota matrica. kartu
vadi- Atvirkštinė matrica Apibrėžimas. Atvirkštine kvadratinei matricai name tokia matrica, kad Kvadratinė matrica gali turėti tik viena atvirkštinę matrica. Įrodymas. Tarkime, kad kita atvirkštinė matrica. Tada. Tarkime, kad. Tada Čia matricos elementų adjunktai. Jie surašyti taip, kaip transponuotos matricos elementai. neegzis- Jei tuoja. atvirkštinė matrica 14
PAVYZDYS Raskime matricos atvirkštinę matrica.
Matricinės lygtys,, Išspręskime matricines lygtis, kai.,,,, 15