IŠVESTINIŲ TAIKYMAI Pagrindinės analizės teoremos Monotoninės funkcijos išvestinė Funkcijos ekstremumai Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale Kreivės iškilumas Funkcijos grafiko asimptotės Liopitalio taisyklė 1
Pagrindinės analizės teoremos Tarkime, kad funkcija y = f(x) tolydi intervale x (a, b). Sakome, kad taške c (a, b) ji įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę, jei f(x) f(c) (f(x) f(c)) ( x (a, b). Jei taške x = c egzistuoja funkcijos y = f(x) išvestinė, tai f (c) = 0. (Rolio teorema.) Tarkime, kad funkcija y = f(x) diferencijuojama (turi išvestinę) kai x [a, b] ir f(a) = f(b). Tada egzistuoja (bent vienas) taškas c (a, b), kad f (c) = 0. (Lagranžo teorema). Tarkime, kad galioja Rolio teoremos sąlygos. Tada egzistuoja (bent vienas) taškas c (a, b), kad f(b) f(a) = f (c) = 0. b a (Funkcijos pastovumo požymis). Tarkime, kad galioja Rolio ir Lagranžo teoremų sąlygos ir( c (a, b)) f (c) = 0. (Visame intervale išvestinė lygi nuliui). Tada( x 1, x 2 (a, b)) f(x 1 ) = f(x 2 ), t. y. funkcija y = f(x) yra pastovi (konstanta). 2
Monotoninės funkcijos išvestinė Tarkime, kad ( x 1 < x 2 (a, b)) galioja viena nelygybė: f(x 1 ) < f(x 2 ) didėjančioji funkcija f(x 1 ) f(x 2 ) nedidėjančioji funkcija f(x 1 ) > f(x 2 ) mažėjančioji funkcija f(x 1 ) f(x 2 ) nemažėjančioji funkcija Jei funkcija y = f(x) intervale (a, b) mažėja (didėja), tai ( x (a, b)) f (x) 0 (f (x) 0). Jei f (x) > 0 (f (x) < 0), tai funkcija intervale didėja (mažėja). 3
Funkcijos ekstremumai Tarkime, kad x (a, c) f (x) > 0 ir x (c, b) f (x) < 0. Tada intervele (a, c) funkcija yra didėjančioji, o intevale (c, b) mažėjančioji. Taigi taške x = c funkcija įgyja maksimumą. Jei taške x = c funkcija diferencijuojama, tai f (c) = 0. Užrašome funkcijos Teiloro formulę f(x) f(c) + f (c)(x c) + f (c) (x c)2 2 Tarkime, kad f (c) = 0. Tada iš formulės matome, kad taške x = c gali būti funkcijos ekstremumas (maksimumas arba minimumas). Jei f (c) > 0 minimumas f (c) < 0 maksimumas f (c) = 0? PAVYZDYS y = x 2, y (0) = 0, y (0) = 2 > 0 maksimumas PAVYZDYS y = x 3, y (0) = 0, y (0) = 0 nėra ekstremumo 4
Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės intervale y = f(x), x [a, b] x j [a, b] kritiniai taškai: f (x j ) = 0, arba y (x j ) neapibrėžta (pavyzdžiui, x neapibrėžta, kai x = 0) Funkcijos y = f(x) didžiausia ir mažiausia reikšmės yra tarp šių f(a), f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n ), f(b) 5
Kreivės iškilumas Funkcijos y = f(x) grafikas vadinamas iškilu žemyn (aukštyn) intervale x (a, b), kai kreivės lankas yra virš liestinės (po liestine), nubrėžtos (nubrėžta) per bet kurį to lanko tašką. Liestinės lygtis taške y 0 = f(x 0 ) lygtis y = f (x 0 )(x x 0 ) + y 0 Jei y > 0, funkcijos grafikas iškilas žemyn. Pavyzdžiui, y = x 2, y = 2 > 0. Jei y < 0, funkcijos grafikas iškilas aukštyn. Pavyzdžiui, y = x, y = 1 4x 3 < 0. Kreivės taškas x = c vadinamas perlinkio tašku, jei intervale (a, c) funkcijos grafikas iškilas aukštyn, o intervale (c, b) žemyn, arba atvirkščiai. Jei taške x = c antroji funkcijos išvestinė keičia y (x) ženklą, taškas c yra perlinkio taškas. Pavyzdžiui, y = x 3, y (x) = 6x < 0, kai x < 0 ir y (x) > 0, kai x > 0. Taigi grafikas iškilas aukštyn, kai x (,0) ir iškilas žemyn, kai x (0,+ ). Taškas x = 0 perlinkio taškas. 6
Funkcijos grafiko asimptotės Tiesė y = kx+b vadinama funkcijos grafiko y = f(x) asimptote, kai x + (x ), jei lim (f(x) kx b) = 0 x + Tiesė y = kx+b yra grafiko asimptotė, tada ir tik tada, kai lim x + f(x) x = k, lim (f(x) kx) = b. x + PAVYZDYS y = x2 + x x 1 = x + 2 + 2 x 1 7
Liopitalio taisyklė Jei lim f(x) = 0 (arba = ) ir lim g(x) = 0 x a x a (arba = ) ir egzistuoja riba Tada egzistuoja riba lim x a lim x a f (x) g (x) = A. f(x) g(x) = A. PAVYZDYS lim x 0 1 cos x x 2 = [ ] 0 0 = lim x 0 sin x 2x = 1 2. 8