Ps_2004.pmd

Transkriptas

1 3 FINANSØ RINKOS TEORIJØ TAIKYMAS Remigijus Leipus Vilniaus universieas, Maemaikos ir informaikos insiuas Naugarduko g. 4 LT-35 Vilnius El. p. remigijus.leipus@maf.vu.l Rimas Norvaiša Vilniaus universieas, Maemaikos ir informaikos insiuas Naugarduko g. 4 LT-35 Vilnius El. p. norvaisa@kl.mii.l Sraipsnyje oliau apþvelgiama modernioji finansø rinkos eorija ir keleas kiø naujausiø eorijø. Maemainiai finansø inþinerijos aspekai askleidþiami aparian pasirinkimo pirki sandorio sàþiningosios kainos problemà. Daugiausia dëmesio skiriama F. Black ir M. Scholes pasiûlyam ðios problemos sprendimui. Finansø ekonomerijos uþdaviniai grindþiami rinkos silizuoais fakais, apariami jø modeliavimo bûdai ir problemos. Sraipsnio pabaigoje apþvelgiamos efekyviosios rinkos hipoezës adekvaumo problemos ir galimi jø sprendimai. Pagrindiniai þodþiai: modernioji finansø rinkos eorija; efekyviosios rinkos hipoezë; finansø inþinerija; Black-Scholes formulë; finansø ekonomerija; finansø rinkos anomalijos; elgsenos finansø eorija; finansø rinkos veikëjø eorija. Ávadas Anrame sraipsnyje, skirame finansø rinkos eorijoms, apariamos os jø dalys, kurios yra iesiogiai susijusios su aikymu. Pirmame sraipsnyje (Leipus, Norvaiða 3) apara finansø rinkos maemainio modelio sampraa ir efekyviosios rinkos hipoezë (ERH). Aiðkinos akcijos kainos ir gràþos sàvokos, sàþiningojo loðimo hipoezë, apara analiinë ERH forma ir fundamenaliosios verës sàvoka. Ypaè daug dëmesio skira diskreaus ir olydaus laiko modeliavimo ypaybëms iðryðkini bei problemoms, susijusioms su olydaus laiko kainos kiimo apraðymu. Nagrinëa, kaip akcijos kainos kiimas apraðomas geomeriniu Wiener procesu ir keliais alernayviais procesais. Sraipsnyje sieka iðdësyi pagrindinius finansø maemaikos rezulaus. Prisaan arbiraþo eorijà, paaiðkinos pirmoji ir anroji fundamenaliosios verybiø ákainojimo eoremos bei pagrindinës sàvokos: bearbiraþë rinka, rizikai neuralus maas ir pilnoji rinka. Aparian porfelio eorijà, askleisa, kaip kapialo verybiø ákainojimo modelá nusako efekyviojo porfelio savybës. Ðiame sraipsnyje, varojan as paèias sàvokas ir suarinius þenklus, modernioji finansø rinkos eorija apþvelgiama oliau. Pirmame skyriuje apariami finansø inþinerijos maemainiai aspekai. Nagrinëjan pasirinkimo pirki sandorá, nurodomas sàþiningosios kainos problemos sprendimas,. y. Black-Scholes formulë (sraipsnio priede paeikiamas vienas pirmøjø ðios formulës árodymø). Be o, aiðkinama, kaip ði formulë iðvedama remianis rizikai neuralaus mao egzisavimu. Pirmo skyriaus pabaigoje rumpai apþvelgiamos ir kios finansø inþinerijos krypys. Remigijus Leipus profesorius, fiziniø mokslø habiliuoas dakaras, Vilniaus universieo Maemaikos ir informaikos fakuleo Ekonomerinës analizës kaedra, Maemaikos ir informaikos insiuo vyriausiasis mokslo darbuoojas. Veiklos sriys: laiko eiluèiø analizë, finansø ekonomerika, finansø maemaika. Darbas ið dalies remiamas Lieuvos valsybinio mokslo ir sudijø fondo pagal programà Lieuvos ekonomikos maemainiai modeliai makroekonominiams procesams prognozuoi (regisracijos Nr. C-34). Rimas Norvaiða profesorius, fiziniø mokslø habiliuoas dakaras, Vilniaus universieo Maemaikos ir informaikos fakuleo Ekonomerinës analizës kaedra, Maemaikos ir informaikos insiuo vyriausiasis mokslo darbuoojas, Bachelier finansø draugijos narys. Veiklos sriys: ðiurkðèiøjø funkcijø analizë, finansø maemaika ir maemainë ekonomika.

2 3 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika Anrame skyriuje, skirame finansø ekonomerijai, apariami pagrindiniai finansø rinkos silizuoi fakai, o jø modeliavimo ypaumai askleidþiami laiko eiluèiø modeliais. Skyriaus pabaigoje prisaoma nauja finansø ekonomerijos krypis, kuri orienuojasi á asiikinio proceso, pasirenkamo modeliuojan kainos kiimà, rajekorijos saisiná verinimà. Treèiame skyriuje apþvelgiamos naujausios finansø rinkos eorijos. Daugiausia dëmesio skiriama ERH problemoms, kylanèioms, kai mëginama paaiðkini finansø rinkos anomalijas. Askleidþiama, kaip ðias problemas keina spræsi dvi oliausiai paþengusios eorijos: elgsenos finansø eorija ir finansø rinkos veikëjø eorija. Be o, apþvelgiama ir keleas kiø naujausiø finansø rinkos eorijø.. Finansø inþinerija Tarkime, kad rizikingas verybinis popierius (akcija, porfelis ar k.) aprašomas asiikiniu procesu S = { S() : T}, apibrëþu ikimybinëje erdvëje ( Ω,F, P). Dabaries laiko momenu = bûsimoji ðio verybinio popieriaus kaina S( T ) neþinoma, nes priklauso nuo dabar neþinomo aeiies scenarijaus Ω. Ði neþinomybë sukuria rizikà. Norin jà sumaþini, galima pirki iðvesinæ finansinæ priemonæ, vadinamà pasirinkimo sandoriu (opion). Panagrinëkime pasirinkimo pirki sandorá (call opion). Jis sueikia eisæ pirki verybiná popieriø S laiko momenu = T uþ ið ankso suarà vykdymo kainà K. Tai reiškia, kad sandorio išmoka laiko momenu = T yra okia: H + ( ω) : = [ S ( T, ω) K ] : = max{ S ( T, ω) K, }, ω Ω. Kokia yra šio sandorio sàþiningoji kaina (fair price) pradiniu momenu =, kai jo finansinë iðmoka H yra neþinoma? Paþymëkime ðià kainà V. Iki 973 m., kol nebuvo iðspausdini fundamenalûs Fisher Black ir Myron Scholes (973) bei Rober C. Meron (973) sraipsniai, visuoinai priimo asakymo á ðá klausimà nebuvo. Tradiciniu akuarijø poþiûriu, sàþiningoji kaina (ji galëjo bûi þinoma dar Chrisiaan Huygens 657 m. ir Jacob Bernoulli 73 m.) bûø asiikinio dydþio H vidurkis ikimybinio mao P aþvilgiu: () *Apie L. Bachelier mokslinio darbo aplinkybes rašoma M. S. Taqqu () sraipsnyje. **Èia ir oliau (I, ) nurodo ( ) formulæ R. Leipaus ir R. Norvaišos (3) sraipsnyje. V = EH = Ω H ( ω) P ( dω). Jei oks asakymas enkina, belieka pasirinki verybinio popieriaus S kainos kiimà nusakaná asiikiná procesà. Jo pasirinkimas yra viena ið pagrindiniø moderniosios finansø rinkos eorijos problemø, nes enka rinkis arp modelio adekvaumo ir jo maemainio sudëingumo. Pirmame sraipsnyje (Leipus, Norvaiða 3: 7) minëjome, kad 9 m. Louis Bachelier pasiûlë akcijos kainà S modeliuoi aikan maemainæ konsrukcijà, kuri vëliau buvo pavadina Wiener procesu, ir gerokai pasûmëjo á prieká jau ilgus amþius rukusias pasirinkimo sandorio sàþiningosios kainos paieðkas. Po penkeriø meø, nieko neþinodamas apie L. Bachelier pasiûlymà, Alber Einsein sugalvojo beveik okià paèià maemainæ konsrukcijà, kuri jam leido áverini dalelës judëjimo am ikra rajekorija ikimybæ. 9 m. sueikian A. Einsein Nobelio fizikos mokslø premijà, ðis jo aradimas buvo paminëas karu su reliayvumo ir kvanine eorijomis, o L. Bachelier aukðo áverinimo negavo ne uþ diseracijà Spekuliacijos eorija *. Pagal moderniàjà finansø rinkos eorijà, akcijos kaina S paprasai aprašoma geomeriniu Wiener procesu, apibrëþu (I.4)** sàryðiu: S σ () () = S( ) exp W () + µ σ, T,

3 33 èia W = { W () : } Wiener procesas, realusis skaièius, eigiamas skaièius, vadinamas kinamumu (volailiy). Áraðæ S ( T ) iðraiðkà á () formulæ ir suskaièiavæ vidurká EH, gauume Huygens-Bernoulli kainà. Taèiau F. Black ir M. Scholes (973) pasiûlë visiðkai kioká sàþiningosios kainos problemos sprendimà ikimybiná maà P reikia pakeisi okiu ikimybiniu mau P*, kad geomerinis Wiener procesas S apø maringalu. Tada finansinës iðmokos H sàþiningoji kaina bûø okia: ( ) P ( dω) V = E* H = H ω *. Ω Ši formulë aikoma uo aveju, kai rinkoje yra oks nerizikingas verybinis popierius S, kurio kaina visada lygi. Jei rinkos nerizikingo verybinio popieriaus kaina nusakoma olydþiøjø sudëiniø palûkanø norma r >, ai sàþiningàjà kainà galima uþrašyi aip: V = E* He rt = S rt ( ) Φ ( d ) Ke Φ ( d σ T ), (3) èiaφ sandarinis normalusis skirsinys,. y. kiekvienam x R x u / ( x) = e du, Φ π o ln d = ( S( ) / K ) + ( r + σ / ) T. σ T Kodël Black-Scholes kainà reikëø laikyi sàþiningesne uþ Huygens-Bernoulli kainà? Pirmiausia dël o, kad kiekviena kaina, besiskiriani nuo Black-Scholes kainos, sukuria arbiraþo galimybæ sandorio pirkëjui arba pardavëjui. F. Black ir M. Scholes (973), be sàþiningosios kainos nusaymo, numao ir finansavimosi porfelio sraegijà, leidþianèià sandorio pardavëjui sukaupi sandorio iðmokai bûinà pinigø sumà be papildomø iðlaidø. Dël o maþëja rizika, susijusi su sandorio kaina. Tokia apsauga nuo rizikos (hedging), vadinama rizikos draudimu, yra anroji prieþasis Black-Scholes kainà laikyi sàþiningesne uþ Huygens-Bernoulli kainà. F. Black ir M. Scholes sprendþian sàþiningosios kainos problemà, daug áakos urëjo Franco Modigliani ir Meron Miller (958) sraipsnis. Jame auoriai, sumaniai pasirëmæ arbiraþo argumenu, árodë eiginá, kuris prieðaravo iki ol vyravusiam poþiûriui, kad ámonës verë priklauso nuo kapialo srukûros ir dividendø poliikos. F. Black ir M. Scholes, pasirëmæ uo paèiu arbiraþo argumenu, árodë, kad sandorio kaina nepriklauso nuo verybinio popieriaus S ikëinos gràþos normos. Tuo jø gaui rezulaai labiausiai ir skyrësi nuo anksesniø rezulaø... Black-Scholes formulë Pasirinkimo pirki sandorio sàþiningoji kaina (þr. (3) formulæ) vadinama Black- Scholes formule. Mark P. Krizman (: 99) jà áverino aip: Black-Scholes formulës aradimas reiðkë ne ik ai, kad iðspræsa sudëinga problema. Tai reiðkë ir iðsamesná ekonomikos suvokimà sukuri analiiniai finansiniø iðmokø ákainojimo meodai ir ið pagrindø pakeisa rizikos valdymo prakika bei finansø inþinerija. Toliau M. P. Krizman (: ) raðë: <...> be jokios abejonës, [Black-Scholes formulë] yra vienas didþiausiø laimëjimø ekonomikos isorijoje. Ðis aradimas neliko nepasebëas ir Nobelio premijos arankos komieo. 997 m. spalá M. Scholes karu su R. C. Meron uþ naujà iðvesiniø finansiniø priemoniø ákainojimo meodà buvo apdovanoas Nobelio ekonomikos mokslø premija. Nors Nobelio premija paprasai nëra sueikiama po miries, buvo nukrypa nuo radicijos ir ja iesiogiai paþymëas 995 m. mirusio F. Black indëlis sprendþian pasirinkimo sandoriø ákainojimo problemà. Black-Scholes formulë (þr. priedà) árodoma ais avejais, kai: - rizikingos akcijos S kainos kiimas nusakomas am ikro pavidalo asiikiniu procesu (þr. () formulæ), kinamumas þinomas ir yra pasovus visà laikoarpá [, T ];

4 34 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika - nerizikingo verybinio popieriaus S palûkanø norma r > þinoma ir yra pasovi visà laikoarpá [, T]; - uþ rizikingà akcijà S nemokami dividendai, sandorio finansinës operacijos (ransacions) nemokamos; - galima laisvai skolinis arba skolini be koká akcijos S kieká. Kas asiinka ais avejais, kai ben viena ðiø sàlygø nëra paenkinama, pavyzdþiui, kai visos sandorio finansinës operacijos yra mokamos? Kadangi akcijos kaina S, o karu ir F. Black bei M. Scholes sukura finansavimosi sraegija kina be galo daþnai, arodyø, kad rizikos draudimo reali kaina urëø bûi begalinë. Tokie klausimai verë ieškoi Black-Scholes formulës apibendrinimø. Tø paieðkø rezulaas pirmame sraipsnyje apara arbiraþo eorija (Leipus, Norvaiða 3: 7 ), pagal kurià sandorio ákainojimas grindþiamas pradinio ikimybinio mao P keiimu jam ekvivalenèiu ir rizikai neuraliu ikimybiniu mau P*. Remianis (I.) formule, kur =, sandorio sàþiningoji kaina apraðoma sàryðiu V = E* [ H / S( T )] = H, kai finansinë iðmoka H apibrëþa (I.) lygybe. Ar H reikðmë suampa su (3) Black- Scholes formulës deðiniàja puse? Kaip paaiðkës, asakymas yra eigiamas. Jei uo ikie, galie praleisi ðá kiek maemaizuoà árodymà ir pereii prie naujos emos. Kad asakyume á iðkelà klausimà, reikia gaui (I.) formulës iðraiðkà uo aveju, kai finansinë iðmoka H apibrëþa () lygybe. Apibrëþkime funkcijà f lygybe f ( x) : = [ x K / S ( T )] +, kur x realusis skaièius. Tada finansinë iðmoka (þr. () lygybæ) ágyja oká pavidalà: H = S ( T ) f ( S* ( )), T èia S * = S / S yra diskonuoos kainos kiimo procesas. Mao P* aþvilgiu S* yra difuzinis procesas su aiinkamu generaoriumi L*. Tarkime, kad h = h( x, ) yra Cauchy uþdavinio L * + h =, h = f (, T ), sprendinys. Priaikius Iô formulæ, sprendiniui h galioja oks sàryðis: h ( S* (), ) = h( S* ( ),) + ( S* () s, s) ds* ( s), T. h x H Taigi (I.9) lygybë eisinga, kai α () s = ( h / x) ( S* () s, s) ir h( S ( ),) H = *. Naudodamiesi Feynman-Kac sprendinio išraiðka, gauname okià lygybæ: h / ( ) + σu T σ ( T ) ( x, ) = f xe ln = xφ π ( x / K ) + rt + σ ( T ) / ln( x / K ) + rt σ ( T ) σ T e Ke u / rt du = Φ σ T /. Dabar jau akivaizdu, kad finansinës iðmokos H reikðmë suampa su (3) Black-Scholes S * = S. formulës deðiniàja puse, nes ( ) ( ).. Kios finansø inþinerijos krypys Pirmiausia reikëø pasakyi, kad pagal () formulæ apskaièiuoa sandorio iðmoka yra ik viena ið daugelio galimø. Labai panaðiai galima ákainoi pasirinkimo parduoi sandorá, kai aeiies momeno = T finansinë iðmoka H = [ K S ( T )] +. Tokie pasirinkimo pirki ir parduoi sandoriai dar vadinami europieiðkaisiais pasirinkimo sandoriais. Kur kas sudëingesnio ákainojimo meodo reikia, kai rizika maþinama

5 35 vadinamuoju amerikieiðkuoju pasirinkimo sandoriu. Jis skiriasi nuo europieiðkojo uo, kad ágyjama eisë pirki ar parduoi verybiná popieriø S uþ kainà K be kuriuo momenu nuo = iki = T. Europieiðkojo ir amerikieiðkojo sandoriø kainos gali bûi skiringos. Sunkumø asiranda ais avejais, kai finansinë iðmoka yra sudëingesnë nei paprasa maksimumo funkcija. Pavyzdys vadinamasis vidurkinis, arba azijieiðkasis, sandoris, kurio finansinë iðmoka momenu = T yra okia: T H = S K T + () s ds. Svarbûs ie finansø inþinerijos darbai, kuriuose, apraðan verybinio popieriaus S kainos kiimà, geomeriná Wiener procesà (þr. () formulæ) siekiama pakeisi kiu, kiek galima realià rinkà labiau aiinkanèiu, asiikiniu procesu. Ðiuo meu jau visø pripaþásama, kad prielaida, jog pagrindinis neþinomasis Black-Scholes formulës parameras kinamumas yra pasovus ir nepriklauso nuo laiko, yra nesuderinama su daugeliu realioje rinkoje pasiaikanèiø reiðkiniø. Paskuiniu deðimmeèiu buvo sukura daug eorijø ir modeliø, kuriais sieka kaip nors iðspræsi ðià problemà ar jos iðvengi. Visos ðios eorijos paprasai vadinamos sochasinio kinamumo (sochasic volailiy) eorijomis. Kai kurias ið jø aparsime kiame skyriuje, o èia ik pasakysime, kad paprasèiausia yra nagrinëi gerokai bendresnio pobûdþio kainos kiimà, apraðomà ðia sochasine inegraline lygimi: S u u () = S ( ) + S ( u) d µ ( s) ds + σ ( d W ), T, èia µ = { µ () : T} ir σ = { σ () : T} yra okie asiikiniai procesai, su kuriais egzisuoja vieninelis šios lygies sprendinys S () S ( ) + exp ( s) () s σ = +. µ ds σdw (4) Be o, asiikinis procesas, vadinamas kinamumo funkcija, uri bûi grieþai eigiamas. Toká ðios funkcijos pavadinimà paeisina olydaus laiko gràþos proceso, apibrëþo (I.3) lygybe, išraiška: ds R() : = = () s ds + dw, T. µ σ (5) S Tuo aveju, kai µ () µ, o σ () σ, verybinio popieriaus kaina S yra as pas geomerinis Wiener procesas (þr. () formulæ). Europieiðkojo pasirinkimo sandorio sàþiningàjà kainà nusayi uo aveju, kai verybinio popieriaus S kainos kiimas nusakomas (4) lygybe, galima modifikuojan ankðèiau apraðyà meodà. Tuo ikslu enka apibendrini arbiraþo, pilnosios rinkos ir sandorio dinamiðkojo akarojimo sàvokas (Shiryaev 999). Tai, kad (4) lygybës kinamumo funkcija gali bûi asiikinë, leidþia adekvaèiau modeliuoi kainø pokyèius.. Finansø ekonomerija Finansø ekonomerija yra ekonomerijos mokslo ðaka, ðio mokslo meodus aikani finansø rinkai iri. Finansø ekonomerijos yrimai apima ne ik finansiniø duomenø savybes, be ir ai, kaip finansø rinkos modeliai aiinka realià rinkà. Ðiuo meu pagal yrimo objekà galima skiri ben dvi finansø ekonomerijos krypis. Viena ið jø orienuojasi á ekonomeriniø modeliø, leidþianèiø apraðyi iriamø finansiniø duomenø savybes, paieðkà. Paprasai okie modeliai kuriami iðskirian keleà kinamøjø ir juos susiejan funkcine priklausomybe, pasiþyminèia pageidaujamomis

6 36 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika *Kai kuriuos ðios krypies darbø rezulaus paminëjome, apardami askiras finansø rinkos eorijos dalis, o iðsamià ðios krypies darbø apþvalgà galima rasi, pavyzdþiui, J. Y. Campbell, A. W. Lo, A. C. MacKinlay (997) ir A. W. Lo, A. C. MacKinlay (999) knygose. Ðiame skyriuje apþvelgsime ik finansiniø duomenø savybiø yrimà. **Daþniausiai ekonofizikos yrimø rezulaai skelbiami ik fizikø þurnaluose, jø veikla plëojasi askirai nuo finansø ekonomisø veiklos. Pavyzdþiui, J.-P. Zigrand (: ) paþymi: arodo, kad daugelis auoriø [fizikø] ignoruoja gausià finansø lieraûrà, kurioje jau buvo sprendþiamos os paèios problemos, ir apskriai vengia konakø su finansø ekonomisø bendruomene. O vienas ið ekonofizikos pradininkø J. D. Farmer (999: 6), dirbanis Sana Fe insiue, raðo: Ne be pagrindo daugelis ekonomisø mano, kad fizikø pasirodymas jiems priklausanèiame pasaulyje yra iesiog fizikø áþûlumo, puikybës ir arogancijos aspindys. Fizikai niekada nepasiþymëjo kuklumu, o kai kurie ið jø aip paeikia savo minis, kad ik dar labiau susiprina ðá sereoipà. Bus sunku áveiki kulûriná barjerà, skirianá ðias dvi grupes. Apie ekonofizikos iðakas, keliamus uþdavinius ir pavojus, kylanèius, kai fizikos meodai aikomi ekonomikoje, daugiau paskaiyi galima Z. Burda, J. Jurkiewicz ir M. Nowak (3) sraipsnyje. savybëmis. Tais avejais, kai finansiniai duomenys sebimi vienodais laiko arpais, pagrindiniai ekonomeriniai modeliai yra finansiniø laiko eiluèiø modeliai. Taèiau kuriami ir skiringiems laiko arpams bûdingas finansiniø duomenø savybes leidþianys askleisi modeliai. Kaip okiø ekonomeriniø modeliø pavyzdá galima nurodyi ávairius olydaus laiko asiikinius procesus. Pirmame sraipsnyje apara finansø rinkos modelio sampraa (Leipus, Norvaiða 3: 6) skiriasi nuo ðiame skyriuje minimo ekonomerinio modelio sampraos pasarasis ið esmës grindþiamas saisiniais meodais. Kurian finansø rinkos modelá, daromos ávairios eorinës prielaidos: ERH, arbiraþo nebuvimo, asiikinio klaidþiojimo hipoezës ir pan. Saisinis verinimas, kaip okios eorinës prielaidos aiinka realius finansinius duomenis, ir yra kios finansø ekonomerijos krypies pagrindas*. Reikëø paminëi, kad paskuinájá deðimmeá á finansø ekonomerijos yrimus ypaè akyviai ásiraukë fizikai. Jie ne ik ëmë aikyi naujus yrimo meodus, be ir pirmieji pradëjo kaupi bei iri duomenis, dabar vadinamus labai aukðo daþnio duomenimis (keliø sekundþiø rukmës laiko inervalai). Tai leido apiki naujas kainø kiimo savybes ir empiriðkai iri olydaus laiko finansø rinkos modelius. Ði veiklos sriis sparèiai plëojasi. Ji daþnai vadinama saisine finansø eorija, finansø rinkos saisine mechanika arba iesiog ekonofizika, o ðios sriies yrëjai kvanais (quans = quaniaive analyss). Ekonofizika apima ne ik saisinæ finansiniø duomenø analizæ. Kaip raðo vienas ðios sriies pradininkø ir lyderiø Jean-Philippe Bouchaud (: 38), remdamasi naujausiais empiriniais duomenimis, ekonofizika siekia obulini rizikos modelius, iðvesiniø finansiniø priemoniø ákainojimo meodus ir kuri naujus kainos susidarymo mechanizmø modelius, kurie leisø geriau paaiðkini rinkø anomalijas**... Silizuoi fakai Empiriðkai irian finansø rinkà, fakus nereai siekiama paaiðkini ekonominës, poliinës ar kiokios informacijos pasirodymo aplinkybëmis. Arodyø, kad okiø skiringø finansiniø priemoniø, kaip grûdø aeiies pardavimo sandoriai, IBM akcijos ar valiuos kursai, kiimo savybës urëø bûi skiringos, nes yra lemiamos nevienodø aplinkybiø. Be paskuiniojo ðimmeèio kainø kiimo yrimai rodo, kad saisiniu poþiûriu visi ðie verybiniai popieriai uri daug bendrø bruoþø. Bendros skiringø rinkø verybiniø popieriø kiimo savybës paprasai vadinamos silizuoais fakais (sylized facs). Bene pays paprasèiausi finansiniø, kaip ir kiø ekonominiø, duomenø silizuoi fakai yra pasovus didëjimas ir sezoniðkumas. Pirmasis ið jø ai verybiniø popieriø kainø didëjimas, o anrasis kainø priklausomumas nuo okiø veiksniø, kaip meø laikai, Kalëdos ir pan. Sezoniðkumas apraðomas periodine funkcija ir paprasai paðalinamas ið kainos aikan sandarinius meodus. Taigi akcijos kaina priklauso nuo veiksniø, lemianèiø jos didëjimo endencijà, ekonomerijoje vadinamà rendu m(), ir nuo ávairiausiø asiikiniø poveikiø, kurie vadinami riukšmu X() arba asiikinius svyravimus aiinkanèia ciklo dalimi. Paprasai ariama, kad X= { X () : T} yra sacionarusis asiikinis procesas. Remianis ekonominiais argumenais, verybinio popieriaus kainos S = { S () : T} elgsena aprašoma X( ) funkcija S () = me ( ). Trendo funkcija m modeliuojama dviem pagrindiniais µ bûdais. Vienu bûdu rendas nusakomas neasiikine funkcija m() = Ae, èia ir A yra konsanos. Tokiu aveju kainos logarimas yra okio pavidalo: èia () = α + µ X (), ln S + α := ln A. Trendo funkcijà m modeliuojan anruoju bûdu, remiamasi buvusia µ S ir parameru aip, kad m() = S ( ) e. Šiuo aveju kainos reikðme ( )

7 37 rendas aprašomas asiikine funkcija, odël modelis vadinamas sochasinio rendo modeliu. Esan sochasiniam rendui, kainos logarimas yra okio pavidalo: *Èia ir oliau visiems baiginæ dispersijà uriniems asiikiniams dydþiams ξ, η þymëi naudojame okius sandarinius kovariacijos ir koreliacijos þymenis: Cov( ξ, η) := E ( ξ Eξ )( η Eη) ir Corr( ξ, η) : = Cov( ξ, η) / DξDη. () = ln S( ) + µ X (). ln S + Kuris ið ðiø dviejø bûdø labiau inka finansø rinkos silizuoiems fakams modeliuoi, paaiðkëja, paikrinus aiinkamas saisines hipoezes. Finansiniø duomenø savybëms analizuoi paprasai aikomas sochasinio rendo modelis, nes realûs duomenys neprieðarauja, kad ln S() ln S( ) ransformacija elgiasi kaip sacionaraus asiikinio proceso rajekorija. Be o, okia ransformacija nepriklauso nuo kainos maavimo vieneø. Tolesnei kainos analizei reikëø aikyi subilesnius meodus riukðmo komponenei X iri. Tam ikram laiko inervalui (, T ] logarimine gràþa, arba iesiog gràþa (jei aiðku ið konekso), vadinama okia kainos ransformacija: r (, ) : ln S ( ) ln S (( ) ), =,..., N, N : = [ T / ] T / ; = (6) èia [x] þymi realiojo skaièiaus x sveikàjà dalá. Toliau / vadinsime daþniu. Daugelyje ekonomeriniø modeliø, panaðiai kaip ir diskreaus laiko finansø rinkos modelyje, =. Tokiu aveju gràþà þymësime r : = r (,), =,..., T. Daþniausiai skaièiuojamos kasdieniø duomenø logariminës gràþos. Paskuiniuoju deðimmeèiu asirado echniniø galimybiø kaupi bei analizuoi ir vadinamuosius aukðo daþnio duomenis. Kaip bus raðoma oliau, empirinës logariminiø gràþø savybës priklauso nuo daþnio. Be þemo daþnio duomenø, kai yra meai ar mënesiai, nagrinëjami ir aukðo daþnio duomenys, kai yra valandos ar minuës, bei labai aukðo daþnio duomenys, kai yra sekundës, ar ne nuosekliai fiksuojami visi kainø pokyèiai,. y. duomenys neagreguojami. Kaupiamø aukðo daþnio duomenø saisinei analizei imamos aikyi ðiuolaikinës maemaikos eorijos. Kaip pavyzdá galima nurodyi sparèiai populiarëjanèius funkcinës duomenø analizës meodus, kai aukðo daþnio duomenys aproksimuojami asiikine funkcija su reikðmëmis aiinkamoje funkcinëje erdvëje (Laukaiis ; Laukaiis, Raèkauskas ). Viena ið svarbiausiø finansiniø duomenø empirinës analizës sàlygø yra saisiniø savybiø invarianiðkumas laiko aþvilgiu. Jei praeiies duomenø savybës neuri nieko bendra su dabaries ir aeiies kainø kiimu, ai iri okius duomenis beprasmiðka. Todël svarbi saisinës analizës prielaida yra funkcijos r (, ) sacionarumo hipoezë: kiekvienam,..., k ir s aiinkamø vekoriø { r (, ),..., r ( k, ) } ir { r ( + s, ),..., r ( k + s, ) } ikimybiniai skirsiniai yra lygûs. Jei ði prielaida eisinga, ai nuo nepriklauso nei funkcija F ( u) : = P( r (, ) > u), u >, vadinama gràþos skirsinio uodega, nei kovariacija vadinama funkcija C () s : = Cov ( r (, ), r ( + s, ) )*. Sacionarumo prielaida nëra vieninelë bûina riukðmo komponenës saisinio yrimo sàlyga. Bûina ikrini ir ai, ar naudojami saisiniai áverèiai konverguoja á aiinkamas riukðmo charakerisikas, nes prieðingu aveju os charakerisikos gali ir neegzisuoi. Pavyzdþiui, jei okia charakerisika yra Ef ( r (, ) ), pagal sacionarumo prielaidà nepriklausani nuo, ai reikëø ásiikini, kad, didinan N, N suma ( / N ) = f ( r (, )) kuria nors prasme arëja prie baiginio skaièiaus. Silizuoi fakai sieini su ávairiais reiðkiniais. Svarbiausi ið jø skirsinio uodega ir kovariacijos elgsena. Skirsinio sunkios uodegos. Dideli kainø pokyèiai rinkoje vyksa daug daþniau nei uo aveju, jei logariminës gràþos bûø apibûdinamos normaliuoju skirsiniu. Ðis efekas galëø bûi paaiðkinamas uo, kad logariminës gràþos skirsinys uri sunkià a uodegà,. y. kuriam nors baiginiam skaièiui a > galioja sàryðis F ( u) u, kai u. Paþymëina, kad Wiener proceso W pokyèiai W () W ( ) uri normaløjá skirsiná, kurio uodega vadinama lengva. Vienas pirmøjø sunkiø uodegø efekà pa-

8 38 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika sebëjo Benoi Mandelbro (963, 997). Jis pasiûlë W keisi simeriniu -sabiliuoju procesu X α. Priminsime, kad X α pokyèiø skirsiniai uri sunkias uodegas, kuriø a = α <. Taèiau vëlesni yrimai parodë, kad finansiniø duomenø logarimines gràþas geriau aproksimuoja ie sunkias uodegas urinys skirsiniai, kuriø parameras yra < a < 4. Be o, pasebëa, kad skiringø logariminës gràþos daþniø uodegø savybës yra nevienodos. Kol kas iðsamiausiai iðiros kasdieniø duomenø logariminës gràþos. Asimerija. To paies absoliuinio dydþio logariminës gràþos eina su nevienodo dydþio kinamumo reikðmëmis kinamumas bûna didesnis po neigiamos gràþos,. y. krius kainai. Ðis reiðkinys paprasai aiðkinamas jauresniu invesuoojø reagavimu á neigiamà nei á eigiamà informacijà. Dël okios asimerijos kovariacija arp gràþos ir bûsimø kinamumo reikðmiø yra neigiama. Ði kovariacijos savybë dar vadinama svero efeku (leverage effec) (Black 976). Kinamumo klaserizacija. Tikëina, kad finansiniø duomenø didelio kinamumo laikoarpiai ir maþo kinamumo laikoarpiai eina vienas paskui kià,. y. galima mayi kinamumo klaserizacijà. Taylor efekas. Paèios gràþos r yra beveik nekoreliuoos, o jø absoliuiniø dydþiø δ laipsniø r ( δ > ) koreliacija yra nenulinë. Sipriausia koreliacija pasiaiko absoliuiniø gràþø aveju, kai δ =. Ðià savybæ pirmà karà paminëjo Sephen J. Taylor (986), odël ji karais vadinama Taylor efeku. δ δ Ilgalaikë aminis. Koreliacijos arp r ir rs áveris, didëjan s, gæsa lëai panaðiai kaip laipsninë funkcija. Tas pa pasakyina ir apie kinamumo áverèiø koreliacijà. Dar sakoma, kad ðie dydþiai pasiþymi sipriu pasovumu (persisence). Gràþø kvadraø ar absoliuiniø dydþiø ilgalaikæ aminá mëginama pagrási ávairiomis hipoezëmis, kuriø daugelis remiasi ávairiø nesacionarumø (rendø, ðuoliø ir pan.) egzisavimu (Lobao, Savin 998). Taèiau ebëra daug neaiðkumø, o paaiðkini ðá ilgalaikës aminies fenomenà vienas akualiausiø ðiuolaikinës finansø ekonomerijos uþdaviniø. Suminë Gauso savybë. Esan þemesniems daþniams, logariminiø gràþø r (, ) skirsinys (ávairiø jis yra skiringas) ampa vis labiau panaðus á normaløjá skirsiná. Tai, kad kai kurie silizuoi fakai nevienodi esan skiringiems daþniams, rodo, kad diskreaus laiko finansø rinkos modeliai nëra pakankamai obuli. Finansø rinkos silizuoiems fakams modeliuoi aikomi ávairûs laiko eiluèiø meodai. Ið kiø ðiam ikslui skirø meodø paminësime ekonofizikos meodus, pagrásus neseniai apika analogija arp urbulencijos reiðkinio, bûdingo hidrodinamikai, ir valiuos kursø kiimo (Manegna, Sanley ; Voi ). Dar vienas meodas, leidþianis modeliuoi finansø rinkos silizuous fakus, yra finansø rinkos veikëjø eorija, kurià aparsime paskuiniame skyriuje... Ekonomeriniai laiko eiluèiø modeliai Vienas ið pagrindiniø finansø ekonomerijos uþdaviniø sukuri okius ekonomerinius modelius, kurie leisø kiek galima iksliau apraðyi apinkamus silizuous fakus. Kai empiriniai duomenys nepriklauso nuo laiko inervalo, daþniausiai aikomi laiko eiluèiø modeliai. Modeliø pavadinimas rodo, kad duomenys inerpreuojami kaip krypinga asiikiniø dydþiø seka X, =,,,..., kur indeksas yra diskreaus laiko kinamasis. Tokios sekos narius susiejæ funkcine priklausomybe, urësime laiko eiluës modelio pavyzdá. Gráþkime prie finansø rinkos silizuoø fakø. Silpna logariminiø gràþø koreliacija lyg ir reikðø, kad gràþas galima laikyi nepriklausomais ar beveik nepriklausomais asiikiniais dydþiais. Jei aip, ai silpna koreliacija urëø bûi ir arp be kuriø logariminës gràþos funkcijø. Tai nëra áprasiniø laiko eiluèiø savybë. Pavyzdþiui, jei X, =,,..., yra sacionarus Gauss procesas, kur kovariacinë funkcija

9 39 d (, X ) C 4d Cov X ~, < d </, ai X kovariacija ekvivaleni funkcijai, d kuri yra maþesnë uþ funkcijà su visais =, 3,.... Taèiau ai prieðarauja Taylor efekui, pagal kurá logariminiø gràþø koreliacija nusveriama kinamumo koreliacijos. Maemaiðkai ði savybë paprasèiausia išreiškiama aip: r ( ) = σ (, ) ε,, èiaε nepriklausomi vienodai pasiskirsæ (daþniausiai sandariniai normalieji) asiikiniai dydþiai, o σ (, ) > asiikinis dydis. Daþniausiai σ (, ) yra gràþos sàlyginis viduinis kvadrainis nuokrypis D ( r (, ) F ( ) ), kai Fτ þymi informacijà, prieinamà iki momeno iminai. Toliau aparsime ik oká avejá, kai = : r = σ ε, =,,,..., èia r : = r (,) ir : σ (,) σ =. Siekdami askleisi šio modelio savybes, arkime, kad kiekvienam =,,... F yra generuoa asiikiniø dydþiø rs, ε s, s, o yra F maus asiikinis dydis. Jei ( ) = E ε F ir E ( ε F ) =, ai gràþos r sàlyginis vidurkis lygus, o sàlyginë dispersija lygi σ : E ( F ) = ir D( ) = σ. r r F Tokia savybë vadinama sàlyginiu heeroskedasiðkumu (gr. heero skiringa, skédasis dispersija). Kadangi asiikinis dydis σ nëra sebimas, jo kiimui nusakyi reikia pasirinki ekonomeriná modelá. Daþniausiai kinamumo kvadraas σ modeliuojamas dviem bûdais. Vienu aveju ariama, kad σ iesiðkai priklauso nuo baiginio skaièiaus anksesniø gràþos kvadrao reikðmiø r, r,... ir galbû baiginio skaièiaus anksesniø reikðmiø σ, σ,.... Tai yra apibendrino auoregresinio sàlyginio heero- skedasiðkumo, arba GARCH, modelis. Kiu aveju ariama, kad σ priklauso nuo kio asiikinio dydþio ai sochasinio kinamumo modelis. GARCH modeliai. Kai p, q sveikieji skaièiai, kinamumo GARCH(p,q) modelis reiškia, kad kiekvienam galioja okia lygybë: σ = + p + q α βiσ i α jr j, i= j= > α j j =, j..., α, (..., q), β ( j =, p) èia. Pirmasis ðá modelá, kur p =, pasiûlë Rober F. Engle (98)*, o vëliau já apibendrino Tim Bollerslev (986). Taikan GARCH modelá, galima modeliuoi okius silizuous fakus, kaip kinamumo klaserizacija, Taylor efekas ir sunkios uodegos. Pasaruosius du efekus apima ir ARCH() modelis. Tiksliau, jei = α + αr σ ir r yra sacionarioji seka, ai: (7) (8) *Uþ ðá ir kius sàlyginio heeroskedasiðkumo laiko eiluèiø sriies darbus 3 m. R. Engle buvo áeika Nobelio ekonomikos mokslø premija (þr. Pinigø sudijos 3, Nr. 4, p. 8 4). E s ( r r ) =, Corr ( r, r ) = α. s s Be o, jei yra sandariniai normalieji asiikiniai dydþiai ir Er = α / ( α) =, 4 ai Er = 3 ( α ) / ( 3α ) 3 su sàlyga 3α. Taigi mayi, kad apimamas ir sunkiø uodegø efekas. Nagrinëjan gràþas, kuriø kinamumas apraðomas GARCH(p,q) modeliu, gràþos kvadraà paogu r uþrašyi klasikiniu auoregresijos-slenkamojo vidurkio, arba ARMA, proceso pavidalu. Priminsime, kad { v } yra balojo riukšmo seka, jei Ev =, Dv = cons > ir Cov ( v, v s ) =, kai s. Sakoma, kad asiikinis pro- v aþvilgiu, jeigu: cesas X enkina ARMA(p,q) lygá balojo riukðmo sekos { } X = µ + φ X φ p X p + v + θv θ v q q èia realusis skaièius, o paramerai φ,..., φ p, θ,..., θq parinki aip, kad lygis urëø sacionarø sprendiná. ARMA lygies sprendinys egzisuoja, jeigu daugianariai, (9)

10 4 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika p q ( z) φz... φ ir θ ( z) + θz θ neuri bendrø nuliø ir φ ( z) φ pz qz su visais z iš apskriimo z =. Jei σ apibrëþa (8) lygimi ir m = max{ p, q}, ai gràþos kvadraas r = σ ε enkina ARMA(m,p) lygá balojo riukðmo sekos v = σ ( ε ) aþvilgiu. Be o, mayi, kad v sudaro maringaliniø skirumø sekà. Pailiusruosime ai paprasu GARCH(,) modelio aveju. Ið ikrøjø, jei σ = α + α r β σ, ai + ( r σ ) = α + α r + β σ + v = α + ( α + β ) r + v β v, = σ + r r. y. enkina ARMA(,) lygá. (9) lygimi apibrëþo asiikinio proceso X kovariacinë funkcija gæsa eksponeniniu greièiu. Tokia savybë vadinama rumpalaike aminimi. Kadangi ARMA seka negali urëi ilgalaikës aminies efeko, naudojama ARMA modelio amaina FARIMA modelis, sukuras Clive W. J. Granger* ir Roselyne Joyeux (98). Sakoma, kad asiikinis procesas X enkina FARIMA(,d,) lygá, jeigu d ( L ) X = v : X = d j ( L) v = b L v, j= j kur / < d < /, L skiruminis operaorius, apibrëþas lygybe L v = v j, o b j nario z j koeficienas, gaunamas funkcijà ( z) d skleidþian Taylor eilue. FARIMA(p, d, q) procesas bûø gaunamas áraukian aiinkamas auoregresijos ir slenkamojo vidurkio dalis. FARIMA lygá enkinanis asiikinis procesas X pasiþymi laipsniðkai gæsanèia kovariacine funkcija Cov( X, X d ) ~ C, aigi yra ilgalaikës aminies procesas. FARIMA modelio analogas gràþø kvadraams modeliuoi vadinamas FIGARCH modeliu. Ðis Richard T. Baillie, Tim Bollerslev ir Hans O. Mikkelsen (996) pasiûlyas modelis paprasèiausiu aveju uþraðomas aip: j *C. W. J. Granger 3 m. buvo apdovanoas Nobelio ekonomikos mokslø premija uþ koinegravimo meodø iðplëojimà (þr. Pinigø sudijos 3, Nr. 4, p. 8 4). **Išsamiai ARCH modeliai aprašomi T. Bollerslev, R. Y. Chou, K. F. Kroner (99), T. Bollerslev, R. E. Engle, D. B. Nelson (994) ir N. Shephard (996) sraipsniuose. d ( L ) r = α + v, èia, kaip ir anksèiau, v = r σ. Nors ðis modelis plaèiai aikomas, jo eorinës savybës dar nepakankamai nuodugniai iðiros (Kazakevièius, Leipus 3). Dar vienas GARCH modelio rûkumas yra susijæs su asimerijos efeko nebuvimu: kinamumas vienodai reaguoja ir á eigiamas, ir á neigiamas o paies absoliuinio dydþio gràþas. Rober F. Engle ir Vicor K. Ng (993) þodþiais, naujienø áakos kreivë, grafiðkai pereikiani sàryðá σ = f ( r ), yra simeriðka. Ðiai problemai spræsi sukuros ávairios ARCH modeliø amainos: GJR-ARCH (Glosen ir k. 993), TARCH (Zakoian 994), HARCH (Müller ir k. 997) modeliai. Jais, be kiø savybiø, galima apraðyi ir svero efekà, nusakyà nelygybe Cov( r, σ ) <. Problemos, susijusios su asimerijos efeku ir ilgalaike aminimi, iš dalies išsprendþiamos iesiniu ARCH (LARCH) modeliu (Giraiis ir k., 4). LARCH modelyje iesiðkai priklauso nuo praeiies gràþø r, r,..., skiringai nei ARCH ipo modeliuose, kur priklauso σ nuo praeiies gràþø kvadraø**. Sochasinio kinamumo modeliai. Sochasinio kinamumo modeliu paprasai vadinamas oks gràþos modelis (þr. (7) lygybæ), kuriame nepriklausomi vienodai pasiskirsæ asiikiniai dydþiai, o kinamumas yra ðio pavidalo: ( ), =,,..., σ = f η kai f neneigiama funkcija, o sacionarus asiikinis procesas. Funkcijos f kinamasis vadinamas paslëpuoju, arba laeniniu, kinamuoju. Skiringai nei ARCH ipo modeliuose, kur kinamumas valdomas sebëjimø, sochasinio kinamumo modeliuose kinamumas yra valdomas paramero. Ðá paslëpà kinamàjá galima inerpreuoi kaip am ikrà asiikiná informacijos srauà, paenkaná á finansø ()

11 4 rinkà ið ðalies. Daþniausiai funkcija f yra eksponeninë. Tuome, be kiø savybiø, aikan ávairias sochasinio kinamumo modelio amainas, galima gana paprasai modeliuoi asiikiniø dydþiø ln asimerijos efekà ir ilgalaikæ aminá. Daþniausiai () modelyje figûruojanis procesas laikomas Gauss arba ARMA ipo procesu. Kaip parodë Peer M. Robinson (), Gauss ipo procesas leidþia naudois gana didele neiesiniø funkcijø f klase ir modeliuoi daugelá silizuoø fakø, arp jø ir ilgalaikæ aminá. Kias populiarus sochasinio kinamumo modelis yra η ( ) e f η =, kai yra ARMA arba FARIMA ipo slenkamojo vidurkio procesas. Daniel B. Nelson (99) pasiûlyas eksponeninis GARCH (EGARCH) modelis yra oks: ( ε ), r =, = exp + σ ε σ a b j g j j= = ε, o paramerai θ, γ parenkami asiþvelgian á asimerijà, pasiaikanèià arp finansiniø duomenø. EGARCH(p,q) modelis aiinka avejá, kai η = lnσ yra ARMA(p,q) seka. Pavyzdþiui, EGARCH(,) modelis nusakomas okiomis lygimis: r σ ε lnσ = α + β lnσ g ( ε ). èia g ( z) θz + γ ( z E ) =, + Toks () modelis, kai koeficienai b j aiinka FARIMA modelio svorius, vadinamas FIEGARCH modeliu. T. Bollerslev ir H. O. Mikkelsen (996) askleidë, kad, be asimerijos efeko, jis leidþia modeliuoi ilgalaikæ aminá arp logariminiø kinamumø. Kias svarbus sochasinio kinamumo modelis (Breid ir k. 998, Harvey 998) aprašomas šia formule: () r = σ, = exp + ε σ a b jξ j, j= () èia ξ nepriklausomi vienodai pasiskirsæ asiikiniai dydþiai su nuliniu vidurkiu ir vieneine dispersija, nepriklausomi nuo sekos { ε }, o b j aiinka ARMA arba FARIMA modelá. Donaas Surgailis ir Marie-Claudie Viano () nagrinëjo oká () modelá, kur sekos { ξ } ir { ε } nebûinai nepriklausomos, ir karu apibendrino daugelá ankðèiau minëø EGARCH ir SV modeliø. Jie iðyrë okias modelio savybes, kaip ilgalaikë aminis, momenø egzisavimas, asimerija, ribinës eoremos*. R. F. Engle ir V. K. Ng (993) eigë, kad dël eksponeninës srukûros EGARCH(,) modelio reikðmës per daug iðkraipomos, esan didelëms gràþø r reikðmëms. Dël ðio rûkumo, bûdingo eksponeniniams modeliams, ir dël komplikuoesnio nei ARCH modeliuose paramerø verinimo jie nëra pays inkamiausi gràþoms modeliuoi..3. Ekonomeriniai olydaus laiko modeliai Skyriaus apie finansø inþinerijà pabaigoje buvo uþsimina apie olydaus laiko procesø klasæ (þr. (4) lygybæ), apibendrinanèià geomeriná Wiener procesà. Dabar arsime, kad ðià klasæ apibrëþian naudojamas asiikinis procesas yra konsana, þymima a paèia raide. Tada asiikinis procesas *Dealiau ARCH ir sochasinio kinamumo modeliø savybës apraðomos L. Giraièio, R. Leipaus ir D. Surgailio (3) apþvalgoje. S () S ( ) ( u) σ = exp du + dw, T, µ σ (3) ið esmës priklauso ik nuo kinamumo funkcijos σ = { σ () : T}. Kiekvienam (, T ] olydaus laiko proceso S reikðmës (þr. (6) lygybæ) apibrëþia logari-

12 4 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika minæ gràþà r(, ) diskreaus laiko momenais =,..., N, kai N = [ T / ] T /. Ar aip apibrëþa gràþa uri savybiø, panaðiø á anksèiau iðvardinus silizuous fakus, ir kaip os savybës priklauso nuo kinamumo funkcijos? Tai vienas ið pagrindiniø finansø ekonomerijos klausimø, já jau aparëme raðydami apie gràþà r (, ), modeliuojamà (7) sàryðiu. Taigi, áraðæ (3) lygybe apibrëþo olydaus laiko proceso S reikðmes á logariminës gràþos (6) formulæ, gauname, kad kiekvienam =,..., N galioja okia lygybë: du + ( ) ( ) r (, ) = µ σ ( u) σdw. (Paþymëina, kad ði logariminës gràþos iðraiðka skiriasi nuo R ( ) R (( ) ), kai R yra olydaus laiko gràþa, apraðoma (5) formule.) Jei kinamumo funkcija yra konsana, ai r (, ) yra seka nepriklausomø asiikiniø dydþiø, pasiskirsèiusiø pagal normaløjá dësná. Tokiu aveju logariminës gràþos nesuampa su daugeliu realios rinkos silizuoø fakø. Tai reiðkia, kad geomerinis Wiener procesas nëra adekvaus realios kainos apraðymo bûdas. Todël ima ieðkoi kiø kainos apraðymo bûdø. Svarbiausias (4) formulëje yra paskuinis narys, priklausanis nuo sochasinio inegralo M () : = σ dw,. Tarkime, kad asiikiniai procesai ir Wiener procesas W yra nepriklausomi, o kinamumo funkcija oks procesas, kad inegralas () = σ : σ ( u) du karu su. Tada, apibrëþus asiikiná procesà γ () : = inf { u : σ ( u) > },, kompozicija W () : = M ( γ () ), yra kias Wiener procesas, nepriklausanis nuo σ, ir lygybë { ( )} { () } W () = (4) M σ (5) reiðkia procesø skirsiniø lygybæ. Alikus nesudëingus skaièiavimus, mayi, kad (7) lygybe apibrëþo diskreaus laiko modelis ir asiikiniø dydþiø seka σd W = M () M ( ), =,..., T, uri as paèias charakerisikas. Todël galima ikëis, kad (7) diskreaus laiko modelis ir èia nagrinëjamas (4) modelis, o karu ir olydaus laiko (3) modelis ekonomeriniu poþiûriu yra panaðûs. Peer K. Clark (973) pasebëjo, kad (5) skirsiniø lygybë leidþia olydaus laiko modelá finansiðkai inerpreuoi. Wiener proceso laiko pakeiimas W ( σ () ) gali bûi supranamas kaip kainos kiimo priklausomumas nuo prekybos akyvumo (apimies) skiringais laikoarpiais: omis dienomis, kai invesuoojas negauna naujos informacijos, prekyba yra vangi ir kainos keièiasi lëai, o kai pasirodo nauja informacija, prekyba ampa akyvesnë ir kainos keièiasi sparèiau. Vadinasi, kaina urëø bûi sebima finansiniø operacijø laiko, kuris yra naûrali skalë, aþvilgiu. Toks procesui σ priskiriamas chronomero vaidmuo paskaino modeliuoi kainas olydaus laiko asiikiniais procesais su pakeisu laiku. Kaip minëjome, asiikinio proceso, nusakyo (3) formule, savybës ir ai, ar jos aiinka finansø rinkos silizuous fakus, ið esmës priklauso ik nuo kinamumo funkcijos. Ðios funkcijos kiimà ir jos priklausomumà nuo papildomo neapibrëþies ðalinio galima nusakyi okia inegraliniø lygèiø sisema: S σ () () = µ S ( u) du + σsd W, ( ) () = a σ ( u) du + b σ d W, kai, a, b, realiosios konsanos, o W (), W () Wiener procesai su be kokia arpusavio priklausomybe. Tokia kainos modeliavimo forma, pasiûlya John Hull ir

13 43 Alan Whie (987), vadinama olydaus laiko sochasinio kinamumo modeliu. Ðis modelis inkamas analizei, nes galima paprasai áverini pasirinkimo sandorio kainà. Vis dëlo jo savybës sunkiai suderinamos su finansø rinkos silizuoais fakais. Kiai olydaus laiko sochasinio kinamumo modeliø klasei priklauso okie modeliai, kai kinamumo funkcijos kvadraas modeliuojamas Ornsein-Uhlenbeck lygies sprendiniu: S σ { ( ) du + σsd W }, () = S ( ) exp µ + βσ ( u) () = λ σ ( u) du + Z ( λ), èia, realieji skaièiai, >, o Z Lévy procesas su eigiamais pokyèiais, nepriklausanis nuo Wiener proceso W. Svarbi okio kinamumo funkcijos apraðymo savybë yra ai, kad Ornsein-Uhlenbeck lygies sprendinys σ λ λ( s) () e σ ( ) + e dz ( λs), T, = yra sacionarus su fiksuou (nepriklausanèiu nuo ) vienmaèiu marginaliuoju skirsiniu F ada ir ik ada, kai F yra saviskaidus (selfdecomposable). Ole E. Barndorff-Nielsen ir Neil Shephard () mano, kad inkamiausias skirsinys F yra apibendrinasis Gauss avirkšinis (generalized inverse Gaussian) skirsinys GIG(v,, ), kurio ankis: Cons x v exp ( δ x + γ x), x >, èia δ, γ ir < v < yra paramerai. Ið galimø paramero reikðmiø labiausiai auoriø populiarinamas avejis, kai v = /,. y. F yra Gauss avirkšinis normalusis (normal inverse Gaussian) skirsinys. Teigiama (6) sochasinio kinamumo modelio savybë yra jo inkamumas analizei oks modelis leidþia nesunkiai suskaièiuoi ar áverini daug sprendinio charakerisikø. Be o, ðis sochasinio kinamumo modelis yra pakankamai lanksus ir ekonomerine prasme, jis pasiþymi okiais silizuoais fakais, kaip sunkios uodegos, kinamumo klaserizacija ir Taylor efekas. Galiausiai nagrinëjan n nepriklausomø Ornsein-Uhlenbeck lygies sprendiniø n sumas w = () j jσ j ir pereinan prie ribos, kai n, galima apiki ir ilgalaikës aminies reiðkiná. (6).4. Trajekorijø savybës Be saisiniø kainos proceso savybiø, paskuiniais meais pradëos iri ir verybiniø popieriø kainos proceso rajekorijø savybës. Kadangi okia rajekorija realiai nëra sebima, gali kili klausimas, kas ið ikrøjø iriama. Ðiuo aveju daroma prielaida, kad sebima ik ásivaizduojamos rajekorijos aproksimacija. Toks poþiûris paogus a prasme, kad leidþia ikrini olydaus laiko finansø rinkos modelius ir jø ryðá su rizika. Galima numanyi, kad, kuo ásivaizduojamoji kainos kreivë vingiuoesnë, uo labiau kainos svyravimai susijæ su rizika. Asiikinio proceso X : = { X (, ω) : T, ω Ω}, apibrëþo ikimybinëje erdvëje ( Ω,F, P), rajekorija yra kiekviena funkcija X ( ω ) = { X (, ω) : T}, jei ω Ω. Tikimybinio mao P aþvilgiu beveik visos rajekorijos pasiþymi ik am asiikiniam procesui bûdingomis rajekorijø savybëmis. Kaip minëjome (Leipus, Norvaiða 3: 6), beveik kiekviena Wiener proceso rajekorija pasiþymi okia -Hölder savybe, kur yra be kuris skaièius, grieþai maþesnis nei /. Ðia savybe pasiþymi ir geomerinis Wiener procesas. Tirian okias savybes, susiduriama su problema, kad jos priklauso nuo rajekorijos visuose be kurio inervalo aðkuose, o realûs duomenys rodo okios rajekorijos elgsenà ik baiginëje aðkø aibëje. Todël iesiogiai

14 44 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika okiø savybiø iri daþniausiai neámanoma, ai ámanoma padaryi ik neiesiogiai susiejan skiringas asiikinio proceso savybes. Pavyzdþiui, paskuiniais meais apo populiaru iri aðkø, kuriø aplinkoje rajekorija uri -Hölder savybæ, aibës srukûrà. Tokios aibës yra labai sudëingos, jø (frakalinë) dimensija vadinama rajekorijos singuliarumo spekru, o jø yrimas mulifrakaline analize. Neiesiogiai singuliarumo spekrà galima iri empiriðkai, jei arsime, kad gràþos procesas yra Lévy asiikinis procesas. Nors daugumos minëø procesø rajekorijos yra rûkios, aèiau jos yra pakankamai reguliarios, kad okiø procesø pokyèiø empiriniø momenø elgsena leisø áverini singuliarumo spekrà (þr. Con ). Ið ikrøjø mulifrakaline procesø prigimimi finansø maemaika iesiogiai nesiremia, o susidomëi ja, arodo, bus paskainusi skysèiø ekëjimo urbulencijos eorija. Mûsø nuomone, kur kas reikðmingesnis olydaus laiko finansø rinkos eorijai yra gràþos proceso rajekorijos p-variacijos baiginumas (þr. (I.7) formulæ). Ðia savybe jau rëmëmës, aiðkindami olydaus laiko finansø rinkos modelá. Be o, skiringai negu -Hölder savybë, dydis υ { < } ( X )( ω) : = inf p > : υ p ( X ( ω) ; [, T ]) yra korekiðkai apibrëþas ir lygus konsanai beveik su visais ω Ω, kai paenkinos minimalios sàlygos. Tokiu aveju υ ( X ) yra vadinamas p-variacijos indeksu. Ði savybë prieðinga minëam mulifrakaliðkumui a prasme, kad visiems iki ðiol finansø maemaikos naudoiems asiikiniams procesams X, υ ( X ) yra konsana, priklausani ik nuo X, be ne nuo rajekorijos. Pavyzdþiui, ikimybinio mao P aþvilgiu beveik visada υ ( X ) = Wiener procesui W, υ( X α ) = α simeriniam -sabiliam procesui X α, α (,], ir υ( B H ) =/ H frakaliniam Brown judesiui B H, H (,) (èia W, X ir B / yra as pas Wiener procesas). Teorinë akcijos kainø kiimo analizë labai priklauso nuo o, ar gràþos proceso R p-variacijos indeksas υ ( R) yra lygus, ar maþesnis nei. Taigi bûø ádomu, naudojanis akcijos kainos kiimo duomenimis, ðias alernayvas skiri saisiðkai. Tokia yrimø krypis buvo argumenuojama Rimo Norvaiðos ir Donna M. Salopek (, ) darbuose, kur pasiûlyi du p-variacijos indekso verinimo meodai, priaikyi Olsen & Associaes finansiniams duomenims iri. 3. Posmodernizmas: eorinës alernayvos Modernioji finansø rinkos eorija, pagrása ERH, vis daþniau kriikuojama, nes jos nepakanka paaiðkini daugeliui finansø rinkose vyksanèiø reiðkiniø, vadinamø rinkos anomalijomis. Anksesniame sraipsnyje minëa, kad empiriniø rezulaø, prieðaraujanèiø ERH ar jos iðvadoms, asirado apie 98 m. (Leipus, Norvaiða 3: 9). Tie rezulaai paskaino ERH verini kriiškiau. 3.. Teorinës ERH problemos Nesunku suvoki, kodël prielaida apie racionalø invesuoojø elgesá yra kriikuoina. Ne pavirðuiniðki invesuoojø elgesio yrimai rodo, kad daugelis jø kreipia dëmesá á ðaluinæ informacijà. Galima sakyi, kad invesuoojai prekiauja remdamiesi riukðmu, o ne informacija (Black 986). Taèiau dar svarbiau, kad nukrypimai nuo racionalaus elgesio yra ne asiikiniai, o sisemingi. D. Kahneman ir M. Riepe (998) skyrë ris okiø sisemingø nukrypimø rûðis: nukrypimus, susijusius su poþiûriu á rizikà, aeiies neapibrëþumo verinimà nusiþengian Bayes aisyklëms ir sprendimø priklausomumà nuo problemos paeikimo formos. Pirma, rizikos verinimas daþnai neaiinka von Neumann-Morgensern racionalumo sampraos, nusakomos ikëino naudingumo eorija (expeced uiliy heory). Pagal ðià eorijà, naudingumas sieinas ik su ikëino uro lygiu. Tyrimai rodo, kad sprendimus karais gali lemi padëis rinkoje ir(ar) uro pokyèiai. Be o, á eigiamus

15 45 uro pokyèius reaguojama kiaip nei á neigiamus uro praradimø vengiama. Ðia savybe galima paaiðkini fakà, kad invesuoojai nenoriai parduoda akcijas, kuriø kainos pradeda krisi. Tokie invesuoojø eikiamø pirmenybiø yrimai apibendrinami D. Kahneman ir A. Tversky (979, 99) perspekyvø eorijoje (prospec heory), kuri sukura kaip alernayva ikëino naudingumo eorijai. Anra, numaydami aeiies ávykius, kasdieniniame gyvenime þmonës daþniausiai vadovaujasi labai rumpa informacija apie praeiies ávykius. Ta informacija gali bûi asiikinë, neiðsami, ji gali neurëi áakos aeiies ávykiams. Paprasai vienø aeiies ávykiø galimumo verinimas priklauso nuo kiø ávykiø ir iðreiðkiamas sàlygine ikimybe, kuri su besàlygine ikimybe siejama formule P ( A I B) = P( A B) P( B). Toks pirminës reikðmës sueikimas sàlyginëms ikimybëms vadinamas Bayes aisykle arba Bayes poþiûriu. Prakiðkai sàlyginës ikimybës nëra áverinamos iksliai, o klaidø, padaromø numaan aeiies kainø pokyèius, padariniai ypaè skaudûs, kaip pavyzdþiui, kai rumpa akcijos kurso kiimo duomenø eiluë klaidingai eksrapoliuojama á aeiá*. Treèia, invesuoojø sprendimai gali priklausyi nuo o, kaip paeikiama ar jø suvokiama problema. Pavyzdþiui, didesnë porfelio dalis bus invesuojama á rizikingas akcijas ada, kai invesuoojas urës þiniø apie ilgo laikoarpio rizikingø akcijø gràþas, o ne apie obligacijø gràþas. Kai invesuoojas urës þiniø ik apie rumpo laikoarpio rizikingø akcijø kinamumà, á rizikingas akcijas bus invesuojama maþiau (Benarzi, Thaler 995). Invesuoojø elgesys, labiau lemiamas jø psichologijos, o ne ekonominiø moyvø, paaiðkina daugelá rinkoje naudojamø sraegijø, vadinamø rinkos senimenais. Jei ERH eorinis pagrindimas priklausyø ik nuo o, ar invesuoojai elgiasi racionaliai, ai jø iracionalumo pripaþinimo fakas akivaizdþiai paneigø moderniàjà finansø rinkos eorijà. Taèiau, kaip minëa anksesniame sraipsnyje (Leipus, Norvaiða 3: 9), iracionaliø invesuoojø buvimas neprieðarauja ERH, jei kiekvieno jø poveikis kainoms yra asiikinis. Vis dëlo, pagal D. Kahneman ir A. Tversky, invesuoojø veiksmai, nukrypsanys nuo racionalaus elgesio, yra ne asiikiniai, o lemianys vienas kià. Invesuoojø iracionalumas sieinas su priimamø sprendimø klaidomis, kurias nuolaos karoja daugelis invesuoojø. Tokios nuolainës klaidos bûdingos ne ik privaiems, be ir insiucinams invesuoojams, valdaniems ávairiø fondø invesicijas. Svarbiausias argumenas ERH eorijai pagrási arbiraþo negalimumas efekyviojoje rinkoje. Kiais þodþiais, dël nuolainiø iracionaliø invesuoojø veiksmø realioje rinkoje galimi akcijø kainø nukrypimai nuo jø pusiausvyros kainos racionaliø invesuoojø yra asveriami arbiraþu. Ðis argumenas yra problemiðkas ada, kai realioje rinkoje arbiraþas yra ir rizikingas, ir brangus. Taèiau ai jau ne arbiraþas, o ai, kas daþnai vadinama ribou arbiraþu (limied arbirage). Šie argumenai rodo, kad implikacija rinka yra efekyvi rinka yra bearbiraþë nëra apverèiama,. y. rinka yra bearbiraþë / rinka yra efekyvi. *Iracionalaus invesuoojø elgesio ir jo psichologiniø moyvø yrinëjimo pradininkai buvo D. Kahneman ir A. Tversky (973). Taigi rinkoje, kur nëra arbiraþo galimybiø, akcijø kainos gali skiris nuo pusiausvyros kainø. Skiri efekyviàjà rinkà ir arbiraþo galimybiø nebuvimà yra svarbu, nes, kaip maëme, moderniojoje finansø rinkos eorijoje arbiraþo negalimumu remiamasi iesiogiai, sueikian ðiai savybei iðskiriná vaidmená. Vis dëlo ekonominiu poþiûriu svarbesnis arodo rinkos efekyvumas, leidþianis ikëis opimalaus iðekliø paskirsymo per akcijø pusiausvyros kainas.

16 46 Pinigø sudijos 4 Ekonomikos eorija ir prakika 3.. Finansø rinkos anomalijos Akivaizdþiausios ir daþniausiai svarsomos finansø rinkos anomalijos yra pereklinis kinamumas ir finansiniai burbulai. Pereklinis kinamumas. Akcijø kainø kinamumas gali gerokai pranoki kinamumà, kuris aiðkinamas remianis moderniàja finansø rinkos eorija. Kaip pereklinio kinamumo pavyzdys daþnai nurodoma 987 spalio 9 d. prasidëjusi finansø krizë. Tà dienà Dow Jones Indusrial Average indeksas nukrio,6 proceno ai didþiausias finansø isorijoje per dienà ávykæs kainø pokyis. Ðios ir kiø finansø rinkos kriziø yrimai* parodë, kad nauja informacija kainai neuri didelës áakos (Culer ir k. 989). Tokia iðvada prieðarauja ERH, pagal kurià akcijø kainø kiimà lemia ik nauja informacija. Tirdamas akcijø rinkà, Rober J. Shiller (98) nusaë, kad rinkos kinamumas gali 5 3 karø virðyi naujos informacijos lemiamà kinamumà. Panaðias iðvadas padarë ir uo paèiu meu obligacijø rinkà yræ Sephen F. LeRoy ir Richard D. Porer (98). Verinan ðià anomalijà nesuariama, kas svarbiau ekonominës ar psichologinës prieþasys. Ðis klausimas akualus ir invesuoojams jei nusveria psichologinës prieþasys, prognozuojan akcijø kursà echninë ir fundamenalioji analizë maþai euri reikðmës. Finansiniai burbulai. Finansø rinkai, kaip ir kioms ekonominës srukûros sudedamosioms dalims, bûdinga, kad kainø lygis ir jø kilimo spara karais nenormaliai padidëja. Tie pakilimai, runkanys keleà mënesiø ar ne meø, neiðvengiamai baigiasi saigiu kainø kriimu iki normalaus lygio. Tokie reiðkiniai vadinami finansiniais burbulais. Be 987 m. finansø krizës, minëina Japonijos finansø rinkos ir visos jos ekonomikos bûklë maþdaug iki 99 m. vadinamoji Japonijos burbulo ekonomika. Pagal numanomas susidarymo prieþasis finansiniai burbulai skirsomi á racionaliuosius ir iracionaliuosius. Sakoma, kad finansinis burbulas yra racionalus, kai aorûkis arp akcijos kainos ir fundamenaliosios verës yra asiradæs ne dël naujos informacijos, o gali bûi paaiðkinamas racionaliu rinkos veikëjø elgesiu. Analiiðkai racionalus burbulas paaiðkinamas iðvedan fundamenaliosios verës formulæ (I.). Jei ransversalumo sàlyga nëra paenkina, ai analiinë ERH forma (þr. (I.6) lygá), kaip lygis akcijos kainos S aþvilgiu, uri be galo daug sprendiniø. Bendras os lygies sprendinio pavidalas yra sebima akcijos kaina = fundamenalioji verë + racionalusis burbulas, arba S () = S () + b(). Nesunku pasebëi, kad aip apibrëþam asiikiniam procesui b = b : =,,... eisinga okia lygybë: { () } b + µ [ ]. ( ) = E b() F *Apie finansø rinkos krizes raðoma vieno ið ekonofizikos pradininkø D. Sornee (3) knygoje. Jei b ( ), ai ðis sàryðis reiðkia burbulo b sochasiná didëjimà, inerpreuojamà kaip kainø kilimo lûkesèiø didëjimà (þr. Blanchard, Fischer 989). Karais eigiama, kad racionaliojo burbulo egzisavimas nesuderinamas su kiomis ERH iðvadomis (Diba, Grossman 988). Kia finansiniø burbulø aiðkinimo krypis remiasi prielaida, kad dalies rinkos veikëjø lûkesèiai nëra racionalûs jie priklauso nuo uþgaidø, madø, gandø ir kiokio riukðmo. Ðis poþiûris iðpopuliarëjo, pasirodþius Rober J. Shiller (989) darbui. Remdamasis savo paies alikais empiriniais pereklinio kinamumo yrimais, R. J. Shiller kainø nukrypimus daugiausia aiðkino visuomenës psichologija. Akcijø kainos kiimo eorija, grindþiama rinkos veikëjø psichologija, karais vadinama iesiog uþgaidø modeliu (fads model). Uþgaida vadinamas be koks kainos nuokrypis nuo fundamenaliosios verës, asirandanis dël socialiniø ar psichologiniø veiksniø nulemo invesuoojø sraegijø pasikeiimo. Formaliai oks akcijos kainos S kiimas pereikiamas Lawrence H. Summers (986) pasiûlyu sàryðiu: ln S () = ln S () + F () ir F () = λ F ( ) + ε,