Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Dydis: px
Rodyti nuo puslapio:

Download "Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF"

Transkriptas

1 Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 2 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

2 Tiesinės duomenų struktūros Panagrinėsime keletą žinomų ir įvairiuose taikymuose naudojamų tiesinių duomenų struktūrų. Priklausomai nuo pasirinktos programavimo kalbos, joje gali būti atitinkamas duomenų tipas (pavyzdžiui, LISP kalboje yra duomenų tipas sąrašas) arba gali tekti konstruoti reikiamą duomenų struktūrą, naudojantis kitais programavimo kalbos pateikiamais duomenų tipais. Nagrinėdami duomenų struktūras, kartu apibrėšime ir darbui su jomis reikalingas operacijas bei keletą būdų, kaip tos duomenų struktūros gali būti realizuotos.

3 Sąrašas Sąrašas arba tiesinis sąrašas (angl. list or linear list) yra sutvarkytas rinkinys (tiesinė seka) elementų, struktūrizuotų taip, kad kiekvienas elementas, išskyrus pirmą, turi vienintelį prieš jį einantį elementą ir kiekvienas elementas, išskyrus paskutinį, turi vienintelį po jo einantį elementą. Kiekvienas sąrašo elementas saugo tam tikrus duomenis. Sąrašo pradžia ir pabaiga dažnai dar vadinamos galva (angl. head) ir uodega (angl. tail) atitinkamai.

4 Sąrašo operacijos Sukurti tuščią sąrašą Patikrinti, ar sąrašas tuščias Patikrinti, ar sąrašas pilnas (teoriškai sąrašas gali būti bet kokio ilgio, bet praktinėse realizacijose sąrašo ilgis būna daugiau ar mažiau ribotas, priklausomai nuo pasirinkto sąrašo realizavimo būdo) Suskaičiuoti sąrašo elementus Gauti n-tojo sąrašo elemento duomenis Įterpti naujus duomenis (naują elementą) prieš n-tąjį elementą Panaikinti n-tąjį sąrašo elementą Rasti sąrašo elemento numerį su nurodytais duomenimis. Išvesti sąrašo elementus Tai nėra visos operacijos, kurias galima atlikti su sąrašu, bet šis rinkinys yra pakankamas, kad naudojantis šiomis operacijomis, būtų galima atlikti bet kokius veiksmus su sąrašu.

5 Galimos papildomos operacijos Įterpti naujus duomenis po n-tojo elemento Įterpti naujus duomenis sąrašo pradžioje Įterpti naujus duomenis sąrašo pabaigoje Panaikinti pirmą sąrašo elementą Panaikinti paskutinį sąrašo elementą Prijungti kitą sąrašą duoto sąrašo pabaigoje Įterpti naujus duomenis prieš pirmą elementą su nurodytais duomenimis Įterpti naujus duomenis po pirmo elemento su nurodytais duomenimis Pereiti prie kito sąrašo elemento Įterpti naujus duomenis prieš einamąjį elementą Įterpti naujus duomenis po einamojo elemento Sunaikinti sąrašą (sunaikinti visus sąrašo elementus)

6 Sąrašų tipai Nusileidžiant arčiau realizacijos galima apibrėžti vienpusį ir dvipusį sąrašus. Vienpusis sąrašas sąrašas, kurio kiekvienas elementas žino tik, koks elementas yra po jo. Dvipusis sąrašas sąrašas, kurioje kiekvienas elementas žino, koks elementas yra po jo ir koks prieš jį. Vienpusis ir dvipusis sąrašai yra apibendrintos duomenų struktūros sąrašas patikslinimai, jau dalinai nusakantys duomenų struktūros realizaciją: tiek pačią duomenų struktūrą (pavyzdžiui, kiek elementas turi nuorodų), tiek galimas operacijas (pavyzdžiui, operacija Pereiti prie ankstesnio sąrašo elemento pakankamai natūrali dvipusio sąrašo atveju; vienpusiam sąrašui tokią operaciją, žinoma, galima būtų realizuoti, bet nėra tikslinga). Kai kuriuose taikymuose tikslinga naudoti specifinį sąrašo atvejį ciklinį sąrašą. Ciklinis sąrašas - sąrašas, kuriame po paskutinio elemento seka pirmas sąrašo elementas. Savo ruožtu ciklinis sąrašas gali būti tiek vienpusis, tiek dvipusis.

7 Realizacija (1) Masyvas, kurio elementai tokie patys kaip sąrašo elementai (t.y. elementuose nėra saugoma jokių papildomų nuorodų). Tokiu būdu galima vaizduoti tiek vienpusį, tiek dvipusį sąrašą, nes jokios išreikštinės nuorodos nesaugomos, einamasis, kitas ir ankstesnis elementai nustatomi pagal indeksus. Papildomai tereikia žinoti sąrašo elementų skaičių. Sąrašo pradžia yra pirmas masyvo elementas (jei sąrašas nėra tuščias, elementų skaičius daugiau už 0), sąrašo galas nustatomas pagal elementų skaičių (jei masyvas indeksuojamas nuo 1, tai paskutinis sąrašo elementas yra masyvo elementas su indeksu lygiu elementų skaičiui). Privalumai: maksimaliai paprasta struktūra; paprasta operacijų realizacija; laikomi tik patys duomenys (nereikia saugoti nuorodų). Trūkumai: masyvo dydis turi būti nusakytas iš anksto, todėl gali būti arba naudojama tik nedidelė jo dalis, arba pritrūkti vietos; elemento įterpimo/naikinimo operacijos yra neefektyvios, nes reikia perstumti kitus elementus.

8 Realizacija (2) Du masyvai: pirmame saugomi duomenys, antro masyvo atitinkamame elemente (su tuo pačiu indeksu) saugoma nuoroda į po jo einantį elementą (jei sąrašas vienpusis) arba nuorodos į po jo ir prieš jį einančius elementus (jei sąrašas dvipusis). Jei programavimo kalba leidžia, galima duomenis ir nuorodą apjungti į viena tipą ir naudoti vieną masyvą. Papildomai būtina žinoti sąrašo pradžios (pirmo jo elemento) indeksą masyve (arba požymį, kad sąrašas tuščias). Sąrašo galo nustatymui gali būti arba (1) saugomas sąrašo elementų skaičius, arba (2) paskutinio sąrašo elemento indeksas masyve, arba (3) sąrašo galas gali būti nustatomas pagal tai, kad elementas neturi nuorodos į po jo einantį elementą. Tradiciškai nuorodų masyve saugomas ir laisvų elementų sąrašas. Privalumai (lyginant su 1-u būdu): elemento įterpimas/naikinimas pakankamai efektyvus, nes nereikia perstumti kitų elementų. Trūkumai (lyginant su 1-u būdu): operacijų realizacija gerokai sudėtingesnė reikia papildomos atminties nuorodoms saugoti. Trūkumai: masyvo (tuo pačiu ir sąrašo) dydis turi būti nusakytas iš anksto, todėl gali būti arba naudojama tik nedidelė jo dalis, arba pritrūkti vietos.

9 Realizacija (3) Dinaminis sąrašas: tokio sąrašo elementai būtų sudaryti iš sąrašo duomenų ir vienos (vienpusio sąrašo atveju) arba dviejų (dvipusio sąrašo atveju) rodyklių. Privalumai: atmintis naudojama tik egzistuojantiems sąrašo elementas, t.y. nerezervuojama vieta potencialiems elementams; elemento įterpimas/naikinimas pakankamai efektyvus. Trūkumai operacijų realizacija sudėtingesnė (ji palyginama su 2-o būdo operacijų realizacija). kiekvienai nuorodai saugoti reikia daugiau atminties (rodyklė užima daugiau atminties nei tipas, kuriuo indeksuojama, pavyzdžiui, sveikų skaičių).

10 Stekas Stekas (angl. stack) yra sąrašas, kuriame elementai gali būti įterpiami/naikinami tik jo pradžioje, vadinamoje viršūne (angl. top). Taigi stekas yra specifinis sąrašas su apribotomis operacijomis. Tai LIFO (Last In First Out) duomenų struktūra, atitinkanti lietuvišką patarlę "kas pirmas į maišą, paskutinis iš maišo". Kiekvienas steko elementas saugo tam tikrus duomenis. Gyvenime steką atitiktų, pavyzdžiui, automato apkaba (rusiškai ir pati duomenų struktūra taip vadinama - "magazin").

11 Operacijos Sukurti tuščią steką Patikrinti, ar stekas tuščias Patikrinti, ar stekas pilnas Įdėti (angl. push) naują elementą į steką Išimti (angl. pop) elementą iš steko Sunaikinti steką Pastebėkime, kad steko atveju elemento įterpiamo/naikinamo operacijos turi specifinius pavadinimus, labiau atitinkančius jų prasmę. Nagrinėjant apibendrintą steko realizaciją, pirmiausia pažymėkime, kad nėra prasmės jo vaizduoti kaip dvipusio sąrašo. Kadangi stekas yra atskiras sąrašo atvejis, jo realizacijai galėtų būti panaudoti visi bet kokio sąrašo realizavimo būdai aptarti anksčiau, tačiau naudoti du masyvus (arba masyvą papildytą nuorodomis) nėra prasmės, nes viduriniai steko elementai negali būti liečiami". Trumpai aptarsime kitų dviejų būdų privalumus ir trūkumus steko atveju.

12 Steko realizacijos 1. Masyvas, kurio elementai tokie patys kaip steko elementai. Steko viršūnė paskutinis užpildytas masyvo elementas, t.y. užpildytas masyvo elementas su maksimaliu indeksu. Privalumai: maksimaliai paprasta struktūra; paprasta operacijų realizacija; laikomi tik patys duomenys (nereikia saugoti nuorodų). Trūkumai: masyvo (tuo pačiu ir steko) dydis turi būti nusakytas iš anksto, todėl gali būti arba naudojama tik nedidelė jo dalis, arba pritrūkti vietos. Reikia pastebėti, kad elemento įterpimo/naikinimo operacijos steko atveju efektyvios. 2. Dinaminis sąrašas. Privalumai: atmintis naudojama tik egzistuojantiems steko elementams, t.y. nerezervuojama vieta potencialiems elementams. Trūkumai: operacijų realizacija truputį sudėtingesnė (reikia mokėti dirbti su rodyklėmis); reikia daugiau atminties, nes saugomi ne tik duomenys, bet ir nuorodos (rodyklės).

13 Steko naudojimo pavyzdys Stekas taip pat gali būti naudojamas, pavyzdžiui, postfiksinių (angl. postfix) išraiškų skaičiavimui. Mes esame įpratę išraiškas rašyti tokia forma: (A + B) * C. Ji vadinama infiksine (angl. infix) forma, nes operacija yra tarp operandų (operandas operacija operandas). Galimos ir kitos išraiškų užrašymo formos: postfiksinė (angl. postfix), kurioje operacija eina po operandų (operandas operandas operacija), ir prefiksinė (angl. prefix), kurioje operacija eina prieš operandus (operacija operandas operandas). Pastarosios formos dar vadinamos lenkiška ir atvirkštine lenkiška forma. Jos ypatingos tuo, kad išraiškose nereikia skliaustų, todėl jas skaičiuoti žymiai paprasčiau. Postfiksinių išraiškų pavyzdžiai: A B + C * = (A + B) * C * + = 2 * * 4 2 / + = 5 * / 2

14 Postfiksinės išraiškos skaičiavimo algoritmas 1. Išskirti eilinį elementą iš išraiškos 2. Jei išskirtas elementas yra operandas, padėti jį į steką. 3. Jei išskirtas elementas yra operacija, ištraukti iš steko operandus, atlikti operaciją ir gautą rezultatą padėti į steką. (Pastaba: pirmuoju iš steko išimamas antras operandas, pavyzdžiui, jei operacija yra "/" ir stekas (2, 4), tai bus skaičiuojama išraiška 4 / 2.) 4. Jei išraiška baigta nagrinėti, rezultatas yra steke, priešingu atveju kartoti žingsnius 1-3. Panagrinėkime, kaip veikia algoritmas, skaičiuodamas išraišką: * +

15 Eilė Eilė (angl. queue) yra sąrašas, kuriame elementai gali būti įterpiami tik į galą, o naikinami tik pradžioje. Taigi eilė (kaip ir stekas) yra specifinis sąrašas su apribotomis operacijomis. Tai FIFO (First In First Out) duomenų struktūra (kartais angliškai ji dar vadinama FIFO stack). Operacijos: Sukurti tuščią eilę Patikrinti, ar eilė tuščia Patikrinti, ar eilė pilna Įdėti (angl. enqueue) naują elementą į eilę Išimti (angl. dequeue) elementą iš eilės Gauti pirmo eilės elemento duomenis, neišimant jo iš eilės Gauti eilės elementų skaičių Sunaikinti eilę Kiekvienas eilės elementas saugo tam tikrus duomenis. Nėra prasmės jos vaizduoti kaip dvipusio sąrašo. Naudoti du masyvus (arba masyvą papildytą nuorodomis) irgi neprasminga.

16 Eilės realizacijos 1. Masyvas, kurio elementai tokie patys kaip eilės elementai Privalumai: maksimaliai paprasta struktūra gana paprasta operacijų realizacija laikomi tik patys duomenys (nereikia papildomos atminties nuorodoms saugoti) Trūkumai: masyvo (tuo pačiu ir eilės dydis turi būti nusakytas iš anksto, todėl gali būti arba naudojama tik nedidelė jo dalis, arba pritrūkti vietos. Reikia pastebėti, kad elemento įterpimo/naikinimo operacijos eilės atveju gali būti realizuotos efektyviai: panaikinus pirmą eilės elementą visai nebūtina visus elementus perstumti, pakanka saugoti pirmo eilės elemento indeksą masyve. 2. Dinaminis sąrašas Privalumai: atmintis naudojama tik egzistuojantiems eilės elementams, t.y. nerezervuojama vieta potencialiems elementams. Trūkumai: operacijų realizacija truputį sudėtingesnė (reikia mokėti dirbti su rodyklėmis); reikia daugiau atminties, nes saugomi ne tik duomenys, bet ir nuorodos (rodyklės).

17 Dekas Dekas (angl. deck or dequeue) yra sąrašas, kuriame elementai gali būti įterpiami/naikinami tik pradžioje ir gale. Taigi dekas (kaip ir eilė bei stekas) yra specifinis sąrašas su apribotomis operacijomis. Dekas dar vadinamas abipusiu steku (arba abipuse eile), nes galima įsivaizduoti, kad dekas yra du slankiai sujungti stekai, kurių viršūnėse galima atlikti elementų įterpimo/naikinimo operacijas. Operacijos: Sukurti tuščią deką Patikrinti, ar dekas tuščias Patikrinti, ar dekas pilnas Įterpti naujus duomenis (naują elementą) į deko pradžią Išimti elementą iš deko pradžios (gaunami elemento duomenys) Įterpti naujus duomenis (naują elementą) į deko pabaigą Išimti elementą iš deko pabaigos (gaunami elemento duomenys) Gauti deko pradžios elemento duomenis, neišimant jo iš deko Gauti deko pabaigos elemento duomenis, neišimant jo iš deko Gauti deko elementų skaičių Sunaikinti deką Kiekvienas deko elementas saugo tam tikrus duomenis.

18 Deko realizacijos 1. Masyvas, kurio elementai tokie patys kaip deko elementai Privalumai: maksimaliai paprasta struktūra gana paprasta operacijų realizacija laikomi tik patys duomenys (nereikia papildomos atminties nuorodoms saugoti) Trūkumai: masyvo (tuo pačiu ir deko dydis turi būti nusakytas iš anksto, todėl gali būti arba naudojama tik nedidelė jo dalis, arba pritrūkti vietos. Reikia pastebėti, kad elemento įterpimo/naikinimo operacijos deko atveju gali būti realizuotos efektyviai: pakanka saugoti pirmo ir paskutinio deko elementų indeksus masyve. 2. Dinaminis sąrašas Privalumai: atmintis naudojama tik egzistuojantiems deko elementams, t.y. nerezervuojama vieta potencialiems elementams. Trūkumai: operacijų realizacija truputį sudėtingesnė (reikia mokėti dirbti su rodyklėmis); reikia daugiau atminties, nes saugomi ne tik duomenys, bet ir nuorodos (rodyklės).

19 Kokia duomenų struktūra tiktų VU? VU sudaro kamieniniai padaliniai (pvz., fakultetai, institutai, centrai) Juose yra šakiniai padaliniai (pvz., katedros) ir t.t. Pastebėkime, padalinių tipų pavadinimai primena medį!?..

20 Medis Medis yra tokia hierarchinė duomenų struktūra, kurioje: į kiekvieną elementą (viršūnę), išskyrus vieną, vadinamą medžio šaknimi, yra tik vienintelė nuoroda iš kito elemento (viršūnės), iš kiekvieno elemento (viršūnės) gali būti viena arba daugiau nuorodų į kitus elementus (viršūnes) iš šaknies einant nuorodomis galima pasiekti visas kitas viršūnes.

21 Medis (2) Viena medžio viršūnė (į kurią nėra nuorodų) vadinama medžio šaknimi (angl. root). Viršūnė, iš kurios nėra nuorodų į kitas viršūnes, vadinama lapu. Kiekviena nuoroda su viršūnėmis, į kurias galima patekti, pradėjus eiti ta nuoroda, vadinama medžio šaka arba pomedžiu (nes ši struktūra be pradinės nuorodos savo ruožtu yra medis). Pastebėkime, kad tradiciškai duomenų struktūra medis piešiama iš viršaus žemyn (skirtingai nei auga medžiai gamtoje).

22 Medis (3) Santykiams tarp medžio viršūnių įvardinti naudojamos tėvovaiko tipo sąvokos. A A, B, C, D, E, F medžio viršūnės (nodes). D B E F C A yra B ir C tėvas (parent), analogiškai, B yra D, E ir F tėvas, o B ir C yra tėvo A vaikai (children). B ir C turi tą patį tėvą, todėl jie vadinami broliais (siblings). A neturi tėvo ir vadinama medžio šaknimi (root). Jei viršūnė neturi vaikų (D, E, F ir C), ji vadinama lapu (leaf). Medis, kuris neturi viršūnių yra tuščias (empty).

23 Dvejetainis medis Dvejetainis medis (binary tree) tai toks medis, kurio kiekviena viršūnė turi ne daugiau kaip 2 vaikus. Medis yra dvejetainis, jeigu: tuščias, arba yra pavidalo: r Tk Td kur r viršūnė, Tk kairysis pomedis (left subtree) ir Td dešinysis pomedis (right subtree) taip pat yra dvejetainiai medžiai.

24 Dvejetainio medžio pavyzdys

25 Medžio aukštis Medžio aukštis (height) tai viršūnių skaičius nuo šaknies iki tolimiausio lapo. Šio medžio aukštis yra 5.

26 Viršūnės lygis (level) Jei viršūnė medžio šaknis, tai jos lygis 1. Jei viršūnė nėra medžio šaknis, jos lygis vienetu didesnis už tėvo lygį. Medžio aukštį galima apibrėžti ir taip: * Jei medis tuščias, jo aukštis 0. * Jei medis nėra tuščias, jo aukštis lygus maksimaliam viršūnių lygiui.

27 Pilnas (full) dvejetainis medis Pilnas (full) dvejetainis medis tai dvejetainis medis (aukščio h), kuris: - turi visus lapus h lygyje; - visos mažesnio už h lygį viršūnės turi 2 vaikus. Patogu naudotis šiais rekursyviais apibrėžimais : Jei T yra tuščias, tai T yra pilnas dvejetainis medis, kurio aukštis 0. Jei T nėra tuščias ir aukštis h > 0, tai T yra pilnas dvejetainis medis, jeigu jo šaknies pomedžiai irgi yra pilni dvejetainiai medžiai.

28 Užbaigtas (complete) dvejetainis medis Užbaigtas (complete) dvejetainis medis, kurio aukštis h, tai dvejetainis medis, kuris: - yra pilnas iki aukščio h-1, - lygyje h pildomas iš kairės į dešinę. Arba dvejetainis medis T, kurio aukštis h, yra užbaigtas, kai: * Visos viršūnės iki h-2 lygio turi po 2 vaikus. * Jei viršūnė turi dešinįjį lygio h paveldėtoją, tai visi lapai jos kairiajame pomedyje yra lygio h, t.y. pomedyje turime visas h lygio viršūnes.

29 Subalansuotas medis Subalansuotas pagal aukštį (height balanced) medis tai medis, kurio kiekvienos viršūnės kairiojo ir dešiniojo pomedžio aukščiai skiriasi ne daugiau kaip vienu lygiu. Dvejetainis medis yra visiškai subalansuotas (completely balanced), jei kairieji ir dešinieji kiekvienos viršūnės pomedžiai yra to paties aukščio.

30 Teorema 1. Teoremos Pilnas h (h >= 0) aukščio medis turi 2 h 1 viršūnę. Teorema 2. Medis, kurio aukštis h, turi ne daugiau kaip 2 h 1 viršūnę. Teorema 3. Medžio su N viršūnių minimalus aukštis yra [log 2 (N+1)].

31 Dvejetainio medžio apėjimas Dvejetainio medžio apėjimo tvarkos klasifikuojamos pagal tai, kada aplankoma pati viršūnė (nuskaitomi jos duomenys). Šiuo požiūriu galimos trys apėjimo tvarkos: VKD: aplankyti Viršūnę; apeiti Kairįjį pomedį; apeiti Dešinįjį pomedį. KVD: apeiti Kairįjį pomedį; aplankyti Viršūnę; apeiti Dešinįjį pomedį. KDV: apeiti Kairįjį pomedį; apeiti Dešinįjį pomedį; aplankyti Viršūnę

32 Medžio apėjimo pavyzdys E J R Apeinant medį kiekviena tvarka, gautume tokius rezultatus: VKD: J E C G R C G KVD: C E G J R KDV: C G E R J

33 Išraiškos saugojimas dvejetainiame medyje A * + C B Apeidami medį pagal VKD strategiją, gausime prefiksinę išraišką * + A B C Apeidami medį pagal KVD strategiją, gausime infiksinę išraišką A + B * C kad veiksmai būtų atliekami reikiama tvarka, šią išraišką reikia papildyti skliaustais. Apeidami medį pagal KDV strategiją, gausime postfiksinę išraišką A B + C *

34 Dvejetainis paieškos medis Dvejetainis paieškos medis (binary search tree) tai dvejetainis medis, kurio viršūnėse saugomos reikšmės sutvarkytos taip: Viršūnės reikšmė yra didesnė už visas reikšmes jos kairiajame pomedyje. Viršūnės reikšmė yra mažesnė už visas reikšmes jos dešiniajame pomedyje. Kairysis ir dešinysis pomedžiai yra dvejetainiai paieškos medžiai.

35 Dvejetainio paieškos medžio pavyzdys J E R C G Norint atspausdinti dvejetainio paieškos medžio duomenis didėjimo tvarka, reikia naudoti KVD medžio apėjimą. Medis vadinamas paieškos medžiu, nes jame galima efektyviai ieškoti informacijos.

36 Paieška Patikrinti viršūnę Jei ieškoma reikšmė lygi viršūnės reikšmei, baigti darbą "reikšmė rasta". Jei ieškoma reikšmė mažesnė už viršūnės reikšmę, pereiti į kairįjį pomedį ir kartoti nuo 1-o žingsnio (jei jis tuščias, baigti darbą "reikšmė nerasta"). Jei ieškoma reikšmė didesnė už viršūnės reikšmę, pereiti į dešinįjį pomedį ir kartoti nuo 1-o žingsnio (jei jis tuščias, baigti darbą "reikšmė nerasta"). Įvertinkime žingsnių skaičius: - geriausiu atveju, - blogiausiu atveju, - tikėtinu atveju.

37 Įterpimas Patikrinti viršūnę. Jei įterpiama reikšmė lygi viršūnės reikšmei, baigti darbą "tokia reikšmė jau yra". Jei įterpiama reikšmė mažesnė už viršūnės reikšmę, - jei kairysis pomedis netuščias, pereiti į jį ir kartoti nuo 1-o žingsnio - jei kairysis pomedis tuščias, sukurti jame naują viršūnę su įterpiamais duomenimis Jei įterpiama didesnė už viršūnės reikšmę, - jei dešinysis pomedis netuščias, pereiti į jį ir kartoti nuo 1-o žingsnio - jei dešinysis pomedis tuščias, sukurti jame naują viršūnę su įterpiamais duomenimis Šis algoritmas yra skirtas reikšmių aibės saugojimui, bet jį (arba pačia duomenų struktūrą) galima modifikuoti reikšmių rinkinio saugojimui.

38 Išmetimas Duomenų išmetimo iš dvejetainio paieškos medžio algoritmas: 1. Rasti viršūnę su išmetamais duomenimis. 2. Jei viršūnė yra lapas, panaikinti viršūnę ir baigti darbą. 3. Jei viršūnė nėra lapas, sukeisti jos reikšmę su tinkamos viršūnės reikšme ir išmesti tą viršūnę (tęsti algoritmą nuo 2-o žingsnio). Tinkama sukeitimui viršūnė yra - turinti didžiausią reikšmę iš viršūnės kairiojo pomedžio - turinti mažiausią reikšmę iš viršūnės dešiniojo pomedžio

39 Dvejetainių paieškos medžių optimalumas Tarkime, kad reikšmės į medį ateina atsitiktine tvarka. Norime išsiaiškinti, kiek vidutiniškai daugiau palyginimo operacijų prireiktų, ieškant elemento gautame medyje negu ieškant elemento visiškai subalansuotame medyje. Iš pradžių paverskime medį į 2-medį. Visas medžio viršūnes laikykime skrituliais, o visus tuščius pomedžius (nulines rodykles) pavaizduokime kvadratėliais. Tampa Visos duoto medžio viršūnės tampa naujo 2-medžio vidinėmis viršūnėmis, o naujos išorinėmis (lapais). Sėkminga paieška sustos prie vidinės 2-medžio viršūnės, nesėkminga prie lapo. Remiantis tokia duomenų struktūra galima įrodyti teoremą.

40 Teorema Teorema: Vidutinis palyginimo operacijų skaičius vidutiniame dvejetainiame paieškos medyje su n viršūnių apytiksliai lygus 2ln n (2ln 2)(log 2n) 2ln Išvada: Vidutiniškam dvejetainiam paieškos medžiui apytiksliai reikia 1,39 karto daugiau palyginimo operacijų negu visiškai subalansuotam medžiui. Kitaip tariant, vidutinė paieškos nesubalansuotame dvejetainės paieškos medyje kaina yra 39 procentais didesnė.

41 Dvejetainio medžio realizacijos 1. Dinaminis: elementai su 2 rodyklėmis (tokie patys kaip dvipusiam sąrašui). 2. Masyve: šaknis saugoma elemente su indeksu 1; viršūnės, saugomos elemente su indeksu N: - vaikai saugomi elementuose su indeksais 2N ir 2N+1; - tėvas saugomas elemente su indeksu N div 2. Aptarti privalumus ir trūkumus.

42 Prioritetinė eilė Gyvenime ne kartą esame susidūrę su situacija, kai yra eilė, bet atsiranda žmonių, kurie aptarnaujami be eilės. Jei tokių atsiranda daug, tai susidaro eilė be eilės... Apibendrinę turime tokią situaciją: - gali būti daugiau nei viena eilė; - kiekvienos eilės elementai turi vienodus prioritetus; - pirmiausia aptarnaujami elementai iš eilės su didžiausiu prioritetu; - elementai su vienodu prioritetu aptarnaujami eilės tvarka. Duomenų struktūra, užtikrinanti tokį elementų aptarnavimo eiliškumą, vadinama prioritetine eile (angl. Priority Queue).

43 Prioritetinės eilės operacijos Sukurti tuščią prioritetinę eilę Patikrinti, ar prioritetinė eilė tuščia Patikrinti, ar prioritetinė eilė pilna Įdėti naują elementą į prioritetinę eilę Išimti elementą iš prioritetinės eilės Sunaikinti prioritetinę eilę Toliau aptarsime prioritetinės eilės realizacijas. Svarbu atkreipti dėmesį, kad realizacijų aptarime vaizduojami tik elementų prioritetai (elementų reikšmės nevaizduojamos).

44 Prioritetinės eilės realizacija masyvu Realizacijoje masyvu elementai dažniausiai išdėstomi prioritetų didėjimo tvarka. Tai užtikrina, kad elementas su didžiausia prioriteto reikšme bus masyvo gale min max Išėmimas: išimamas paskutinis elementas. Įdėjimas: randama teisinga pozicija elementas turi būti įterptas pagal savo prioritetą o tarp turinčių tokį prioritetą kaip pirmasis o po to perstumiami visi elementai, kad atsirastų vietos naujam elementui.

45 Prioritetinės eilės realizacija tiesiniu sąrašu Realizacijoje tiesiniu sąrašu elementai dažniausiai išdėstomi prioritetų mažėjimo tvarka, t.y. elementas su didžiausia prioriteto reikšme yra sąrašo pradžioje Išėmimas: išimamas pirmas elementas. Įdėjimas: einama sąrašu tol, kol randama elementui tinkama vieta naujas elementas turi būti įterptas prieš pirmą elementą, turintį mažesnį prioritetą už naują elementą arba sąrašo gale.

46 Prioritetinės eilės realizacija dvejetainiu paieškos medžiu Elementai dėstomi kaip tradiciniame dvejetainiame paieškos medyje tik ne pagal raktus, bet pagal prioritetus. Tokios realizacijos ypatumas yra tame, kad elementas su didžiausia prioriteto reikšme bus pačioje dešinėje viršūnėje. Taigi reikia sekti dešiniuosius vaikus, kol atsiras viršūnė be dešiniojo vaiko. Būtina atkreipti dėmesį, kad viršūnėje saugomas ne 1 elementas, bet eilė elementų, turinčių viršūnėje nurodytą prioritetą.

47 Klausimai?

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF

Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 7 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2015-04-13 Grafai Grafas aibių pora (V, L). V viršūnių (vertex) aibė, L briaunų (edge) aibė Briauna

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 15 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-28 Grįžtamasis ryšys Ačiū visiems dalyvavusiems Daug pagyrimų Ačiū, bet jie nepadeda tobulėti.

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Algoritmai ir duomenų struktūros (ADS) 13 paskaita Saulius Ragaišis, VU MIF saulius.ragaisis@mif.vu.lt 2018-05-14 Šaltinis Paskaita parengta pagal William Pugh Skip Lists: A Probabilistic Alternative to

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 2 paskaita 2019-02-13 Algoritmo sąvoka Algoritmas tai tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint gauti rezultatą. Įvesties duomenys ALGORITMAS Išvesties duomenys

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 3 paskaita 2019-02-20 2 paskaitos papildymas Realaus skaičiaus konvertavimas į kitą skaičiavimo sistemą Pirminių dvynių paieškos algoritmas Tiesinio sąrašo realizacija,

Detaliau

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7. PAPRASČIAUSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof. d LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA 7 PAPRASČIAUSIOS DIFERENIALINĖS LYGTYS (07 09) Teorinę medžiagą parengė ir septintąją užduotį sudarė prof dr Eugenijus Stankus Diferencialinės lygtys taikomos sprendžiant

Detaliau

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun

4 skyrius Algoritmai grafuose 4.1. Grafų teorijos uždaviniai Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v 1,v 2,...,v N } (angl. vertex) ir briaun skyrius Algoritmai grafuose.. Grafų teorijos uždaviniai... Grafai Tegul turime viršūnių aibę V = { v,v,...,v N (angl. vertex) ir briaunų aibę E = { e,e,...,e K, briauna (angl. edge) yra viršūnių pora ej

Detaliau

Algoritmø analizës specialieji skyriai

Algoritmø analizës specialieji skyriai VGTU Matematinio modeliavimo katedra VGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija Paskaitų kursas. 5-oji dalis. Turinys 1 2 KPU euristiniai sprendimo algoritmai KPU sprendimas dinaminio programavimo

Detaliau

PS_riba_tolydumas.dvi

PS_riba_tolydumas.dvi Funkcijos riba ir tolydumas Ribos apibrėžimas Nykstamosios funkcijos Funkcijos riba, kai x + Skaičių sekos riba Neaprėžtai didėjančios funkcijos Neapibrėžtumai Vienpusės ribos Funkcijos tolydumas Funkcijos

Detaliau

Microsoft Word - 15_paskaita.doc

Microsoft Word - 15_paskaita.doc 15 PASKAITA Turinys: Išimtys Išimtys (exceptions) programos vykdymo metu kylančios klaidingos situacijos, nutraukiančios programos darbą (pavyzdžiui, dalyba iš nulio, klaida atveriant duomenų failą, indekso

Detaliau

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3)

Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) Lietuvos mokinių matematikos olimpiada Rajono (miesto) etapo užduočių 11-12 klasei sprendimai 2015 m. 1 uždavinys. Aistė užrašė skaičių seką: 1 (2 3) 4, 4 (5 6) 7, 7 (8 9) 10,..., 2014 (2015 2016) 2017.

Detaliau

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only]

Microsoft PowerPoint Dvi svarbios ribos [Read-Only] Dvi svarbios ribos Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške apibrėžimas. Tolydžiųjų funkcijų atkarpoje savybės. Trūkiosios funkcijos. Trūko taškų

Detaliau

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i

Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas Sveikieji skaičiai int Suma (int X[], i Pagrindiniai algoritmai dirbant su sveikųjų ir realiųjų skaičių masyvų reikšmėmis Sumos skaičiavimo algoritmas int Suma (int X[], int n) int s = 0; s = s + X[i]; return s; double Suma (double X[], int

Detaliau

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak

* # * # # 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės Sferos lygtis Tarkime, kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiak 1 TIESĖS IR PLOKŠTUMOS 1 1 Tiesės ir plokštumos 1.1 Lygtys ir taškų aibės 1.1.1 Sferos lygtis Tarkime kad erdvėje apibrėžta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema Sfera su centru taške ir spinduliu yra

Detaliau

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų

Atranka į 2019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų Atranka į 019 m. Pasaulinę ir Vidurio Europos matematikos olimpiadas Sprendimai Artūras Dubickas ir Aivaras Novikas 1. Mykolas sugalvojo natūraliųjų skaičių seką a 1, a, a 3,..., o tada apibrėžė naują

Detaliau

Slide 1

Slide 1 Duomenų struktūros ir algoritmai 1 paskaita 2019-02-06 Kontaktai Martynas Sabaliauskas (VU MIF DMSTI) El. paštas: akatasis@gmail.com arba martynas.sabaliauskas@mii.vu.lt Rėmai mokykloje Rėmai aukštojoje

Detaliau

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l

9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro l 9 paskaita 9.1 Erdvės su skaliarine daugyba Šiame skyriuje nagrinėsime abstrakčias tiesines erdves, kurioms apibrėžta skaliarinė daugyba. Jos sudaro labai svarbu normuotu ju erdviu šeimos pošeimį. Pilnosios

Detaliau

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta

GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta GRAFŲ TEORIJA Pasirenkamasis kursas, Magistrantūra, 3 sem. 2018 m. rudens semestras Parengė: Eugenijus Manstavičius Įvadas Pirmoji kurso dalis skirta grafų algoritmams, tačiau apibrėžus gretimumo matricą

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2015 m. sausio 29 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2018 m. spalio 30 d. nutarimo Nr redakcij

PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2015 m. sausio 29 d. nutarimu Nr (Lietuvos banko valdybos 2018 m. spalio 30 d. nutarimo Nr redakcij PATVIRTINTA Lietuvos banko valdybos 2015 m. sausio 29 d. nutarimu Nr. 03-10 (Lietuvos banko valdybos 2018 m. spalio 30 d. nutarimo Nr. 03-202 redakcija) PRIĖMIMO Į TARNYBĄ LIETUVOS BANKE TVARKOS APRAŠAS

Detaliau

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1

10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 10 Pratybos Oleg Lukašonok 1 2 Tikimybių pratybos 1 Lema Lema 1. Tegul {Ω, A, P} yra tikimybinė erdvė. Jeigu A n A, n N, tai i) P (lim sup A n ) = P ( k=1 n=k A n ) = lim P ( n k n=ka n ), nes n=ka n monotoniškai

Detaliau

MatricosDetermTiesLS.dvi

MatricosDetermTiesLS.dvi MATRICOS Matricos. Pagrindiniai apibrėžimai a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn = a ij m n matrica skaičių lentelė m eilučių skaičius n stulpelių skaičius a ij matricos elementas

Detaliau

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil

TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eil TIESINĖ ALGEBRA Matricos ir determinantai Matricos. Transponuota matrica. Nulinė ir vienetinė matrica. Kvadratinė matrica. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai. Minorai ir adjunktai. Determinantų

Detaliau

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa

III. SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 3.1 Indukcijos aksioma Natūraliu ju skaičiu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje. Nors natūralaus skaičiaus sa III SVEIKI NENEIGIAMI SKAIČIAI 31 Indukcijos aksioma Natūraliu aibės sa voka viena svarbiausiu matematikoje Nors natūralaus skaičiaus sa voka labai sena, bet šio skaičiaus buveinės sa voka buvo suformuluota

Detaliau

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis

DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis DB sukūrimas ir užpildymas duomenimis Duomenų bazės kūrimas Naujas bendrąsias DB kuria sistemos administratorius. Lokalias DB gali kurti darbo stoties vartotojasadministratorius. DB kuriama: kompiuterio

Detaliau

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali

VI. TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 6.1 Teoremos apie tolydžiu funkciju tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami reali VI TOLYDŽIU IR DIFERENCIJUOJAMU FUNKCIJU TEOREMOS 61 Teoremos apie tolydžiu tarpines reikšmes Skaitytojui priminsime, kad nagrinėdami realiu ju skaičiu savybes atkreipėme dėmesi i tokia šios aibės elementu

Detaliau

Microsoft Word - DSEA-3s.doc

Microsoft Word - DSEA-3s.doc 3. Rūšiavimo algoritmai Rūšiavimas yra viena iš bazinių kompiuterių darbo operacijų kompiuteris vidutiniškai apie 25 procentus viso skaičiavimo laiko sunaudoja rūšiavimui. Rūšiavimo kaip algoritmo tikslas

Detaliau

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10 KD-1)

(Microsoft Word - Pasiruo\360imas EE 10  KD-1) -as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas.

Detaliau

VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė:

VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė: VILNIAUS KOLEGIJA AGROTECHNOLOGIJ FAKULTETAS CHEMIJOS KATEDRA Tyrimas: STUDENTAI APIE KURSINĮ DARBĄ Dalykas: LABORATORIJ VEIKLA Tyrimą atliko lektorė: Jolanta Jurkevičiūtė m. Tyrimo tikslas išsiaiškinti

Detaliau

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga

VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) Vertinimo kriterijai 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga VADOVĖLIO VERTINIMO KRITERIJŲ APRAŠAI 1. MEDŽIAGOS TINKAMUMAS VERTYBINĖMS NUOSTATOMS UGDYTI(S) 1.1. Tekstinė ir vaizdinė medžiaga atitinka pagrindines demokratijos vertybes ir principus (asmens ir tautos

Detaliau

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA

VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ PROGRAMA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2007 m. rugsėjo 6 d. įsakymu Nr. ISAK-1790 VERSLO IR VADYBOS TECHNOLOGIJŲ BENDROJI PROGRAMA MOKINIAMS, BESIMOKANTIEMS PAGAL VIDURINIO UGDYMO

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį.

TAIKOMOJI MATEMATIKA IR KIEKYBINIAI METODAI. Rašto darbas serija 3081 variantas Nustatykite funkcijos f(x) = x+2 x 6 cos ( 3x) apibrėžimo sritį. 00 Nustatykite funkcijos f() = +2 6 cos ( 3) apibrėžimo sritį (, 0) (0, 2) (2, + ) 2 (, 2) ( 2, + ) 3 (, 2] 4 [ 2, + ) 5 [2, ) 6 (, 2] 7 (, + ) 8 [ 2, 0) (0, + ) 0 (, 2) (2, + ) { a + b, kai 7, Raskite

Detaliau

(Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkrič

(Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkrič (Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2017 m. lapkričio d. FORMAI PRITARTA 2014-2020 m. Europos Sąjungos

Detaliau

Elektroninių pažymėjimų tvarkymo sistema

Elektroninių pažymėjimų tvarkymo sistema Data: 2019-09-16 Valstybinio socialinio draudimo fondo valdyba Turinys 1. Įžanga... 3 1.1. Dokumento tikslas... 3 1.2. Terminai ir santrumpos... 3 2. Perskaitykite pirmiausia... 4 2.1. Ką rasite šiame

Detaliau

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ

UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIUS ĮSAKYMAS DĖL UGDYMO PLĖTOTĖS CENTRO DIREKTORIAUS 2016 M. VASARIO 29 D. ĮSAKYMO NR. VK-24 DĖL BENDROJO UGDYMO DALYKŲ VADOVĖLIŲ TURINIO VERTINIMO TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO

Detaliau

DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas

DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas DBVS realizavimas Pagrindiniai DBVS komponentai Duomenų saugojimas diske Paruošė J.Skučas Seminaro tikslai Trumpai apžvelgti pagrindinius DBVS komponentus Detaliai nagrinėjami optimalaus duomenų dėstymo

Detaliau

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul

Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7.1 Apibr eµzimas. Matrica A yra m eiluµciu¾ir n stul lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais

Detaliau

VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS

VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS Suvestinė redakcija nuo 2010-07-23 iki 2011-02-03 Įsakymas paskelbtas: Žin. 2007, Nr. 106-4364, i. k. 1072055ISAK000VA-66 VALSTYBINĖS MOKESČIŲ INSPEKCIJOS PRIE LIETUVOS RESPUBLIKOS FINANSŲ MINISTERIJOS

Detaliau

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, C(2017) 4679 final KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO SPRENDIMAS (ES) / dėl bendros sistemos techninių standa

EUROPOS KOMISIJA Briuselis, C(2017) 4679 final KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO SPRENDIMAS (ES) / dėl bendros sistemos techninių standa EUROPOS KOMISIJA Briuselis, 2017 07 11 C(2017) 4679 final KOMISIJOS ĮGYVENDINIMO SPRENDIMAS (ES) /... 2017 07 11 dėl bendros sistemos techninių standartų ir formatų, kad EURES portale būtų galima susieti

Detaliau

Dažniausios IT VBE klaidos

Dažniausios IT VBE klaidos Dažniausios IT VBE klaidos Renata Burbaitė renata.burbaite@gmail.com Kauno technologijos universitetas, Panevėžio Juozo Balčikonio gimnazija 1 Egzamino matrica (iš informacinių technologijų brandos egzamino

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL VIENKARTINIŲ LEIDIMŲ PURKŠTI AUGALŲ APSAUGOS PRODUKTUS IŠ ORO IŠDAVIMO IR GALIOJIMO PANAIKINIMO

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL VIENKARTINIŲ LEIDIMŲ PURKŠTI AUGALŲ APSAUGOS PRODUKTUS IŠ ORO IŠDAVIMO IR GALIOJIMO PANAIKINIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTRAS ĮSAKYMAS DĖL VIENKARTINIŲ LEIDIMŲ PURKŠTI AUGALŲ APSAUGOS PRODUKTUS IŠ ORO IŠDAVIMO IR GALIOJIMO PANAIKINIMO TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO 2017 m. rugpjūčio 1 d. Nr.

Detaliau

Viešoji konsultacija dėl dezinformacijos apie Lietuvą sklaidos mažinimo užsienyje 2019 m. kovo mėn., Vilnius KONTEKSTAS KONSULTACIJOS TIKSLAS VIEŠOSIO

Viešoji konsultacija dėl dezinformacijos apie Lietuvą sklaidos mažinimo užsienyje 2019 m. kovo mėn., Vilnius KONTEKSTAS KONSULTACIJOS TIKSLAS VIEŠOSIO Viešoji konsultacija dėl dezinformacijos apie Lietuvą sklaidos mažinimo užsienyje 2019 m. kovo mėn., Vilnius KONTEKSTAS TIKSLAS VIEŠOSIOS POLITIKOS PRIORITETAS Lietuvai priešiškos šalys jau ilgą laiką

Detaliau

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general

PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos general PATVIRTINTA Lietuvos statistikos departamento generalinio direktoriaus ir Muitinės departamento prie Lietuvos Respublikos finansų ministerijos generalinio direktoriaus 2014 m. spalio 30 d. įsakymu Nr.

Detaliau

ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m.

ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m. ĮSIVERTINIMO IR PAŽANGOS ATASKAITA 2017 2018 M. M. (2018 M.) Įstaigos kodas 190138895 Mokyklos pavadinimas Kauno Varpo gimnazija Savivaldybė Kauno m. 1. Už kurį laikotarpį pateikiate ataskaitą? (pasirinkite)

Detaliau

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx

Printing AtvirkstineMatrica.wxmx AtvirkstineMatrica.wxmx / Atvirkštinė matrica A.Domarkas, VU, Teoriją žr. [], 8-; []. Figure : Toliau pateiksime atvirkštinės matricos apskaičiavimo būdus su CAS Maxima. su komanda invert pavyzdys. [],

Detaliau

Muzikos duomenų bazės NAXOS Music Library naudojimo vadovas Turinys Kas yra NAXOS Music Library... 2 Kaip pradėti naudotis... 3 Kaip atlikti paiešką..

Muzikos duomenų bazės NAXOS Music Library naudojimo vadovas Turinys Kas yra NAXOS Music Library... 2 Kaip pradėti naudotis... 3 Kaip atlikti paiešką.. Muzikos duomenų bazės NAXOS Music Library naudojimo vadovas Turinys Kas yra NAXOS Music Library... 2 Kaip pradėti naudotis... 3 Kaip atlikti paiešką... 3 Paprastoji paieška... 3 Išplėstinė paieška... 3

Detaliau

Verslui skirta Facebook paskyra pilna sudėtingų terminų bei funkcijų Facebook Pixel, conversion rate ir taip toliau. Tačiau darbas su klientais social

Verslui skirta Facebook paskyra pilna sudėtingų terminų bei funkcijų Facebook Pixel, conversion rate ir taip toliau. Tačiau darbas su klientais social Verslui skirta Facebook paskyra pilna sudėtingų terminų bei funkcijų Facebook Pixel, conversion rate ir taip toliau. Tačiau darbas su klientais socialiniuose tinkluose prasideda nuo keleto gerokai mažesnių

Detaliau

Privalomai pasirenkamas istorijos modulis istorija aplink mus I dalis _suredaguotas_

Privalomai pasirenkamas istorijos modulis istorija aplink mus I dalis  _suredaguotas_ P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14-19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS,

Detaliau

Microsoft Word - Palmolive_Drogas_full_rules_April_2019.doc

Microsoft Word - Palmolive_Drogas_full_rules_April_2019.doc Žaidimo Pirkite bet kurį PALMOLIVE produktą parduotuvėse Drogas ir laimėkite SPA Vilnius dovanų kuponą! rengimo taisyklės: 1. ŽAIDIMO UŽSAKOVAS, ORGAIZATORIUS IR PRIZŲ KOORDINATORIUS 1.1. Žaidimo užsakovas

Detaliau

VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450)

VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450) VABALNINKO BALIO SRUOGOS GIMNAZIJA Vabalninko Balio Sruogos gimnazija K.Šakenio g. 12, Vabalninkas, Biržų raj. Tel. (8-450) 54275 El.p.rastine@vabalninko.birzai.lm.lt. GIMNAZIJOS VEIKLOS KOKYBĖS ĮSIVERTINIMO

Detaliau

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V

L I E T U V O S J A U N Ų J Ų M A T E M A T I K Ų M O K Y K L A 2. TRIKAMPIŲ ČEVIANOS ( ) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė V L I T U V O S J U N Ų J Ų T T I K Ų O K Y K L. TRIKPIŲ ČVINOS (017 019) Teorinę medžiagą parengė ir antrąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas dmundas azėtis atematikos pamokose nagrinėjamos

Detaliau

AAA.AIEPI.Mokymu_medziaga_MOK_VI_07.Vandens_inventorizacijos_duomenu_tvarkymas.v.0.4

AAA.AIEPI.Mokymu_medziaga_MOK_VI_07.Vandens_inventorizacijos_duomenu_tvarkymas.v.0.4 Informacinės sistemos eksploatacinė dokumentacija AIVIKS MOKYMO MEDŽIAGA 07. Vandens inventorizacijos duomenų tvarkymas Aplinkos apsaugos agentūra Aplinkosauginės informacijos elektroninių paslaugų išvystymas

Detaliau

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas

Microsoft PowerPoint Ekstremumai_naujas Kelių kintamųjų funkcijos lokalūs ekstremumai. Ekstremumų egzistavimo būtina ir pakankama sąlygos. Sąlyginiai ekstremumai. Lagranžo daugikliai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmės uždaroje srityje.

Detaliau

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o

Detaliau

Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis

Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis Java esminės klasės, 1 dalis Išimtys, Įvestis/išvestis Klaidų apdorojimas C kalboje If (kazkokia_salyga) { klaidos_apdorojimas(); return... } Tokio kodo apimtis galėdavo sekti iki 70-80proc. Klaidų/išimčių

Detaliau

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation KAIP FORMUOJAMASIS VERTINIMAS PADEDA SIEKTI INDIVIDUALIOS PAŽANGOS: REFLEKSIJA KOKYBĖS SIEKIANČIŲ MOKYKLŲ KLUBO KONFERENCIJA MOKINIŲ UGDYMO(SI) PASIEKIMAI. SAMPRATA IR SKATINIMO GALIMYBĖS Doc. dr. Viktorija

Detaliau

124

124 APLINKOS APSAUGOS AGENTŪROS DIREKTORIUS Į S A K Y M A S DĖL PREKYBOS NE MĖGĖJŲ ŽVEJYBOS ĮRANKIAIS TVARKOS APRAŠO PATVIRTINIMO 2012 m. gruodžio 20 d. Nr. Vilnius Vadovaudamasis Lietuvos Respublikos mėgėjų

Detaliau

QR algoritmas paskaita

QR algoritmas paskaita Turinys QR algoritmas 4 paskaita Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 4 5 TA skaitiniai metodai ( MIF VU) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 40 TA skaitiniai

Detaliau

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas

ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas ktu kompiuterių katedra Programavimas asembleriu Darius Birvinskas Ignas Martišius Algimantas Venčkauskas Turinys 1 Skaičiavimo sistemos 3 11 Sveikųjų dešimtainių skaičių išreiškimas dvejetaine, aštuntaine

Detaliau

LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIUS-KALĖJIMAS TVIRTINU Direktorius Viktoras Davidenko TARNYBINIO PATIKRINIMO DĖL LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIAUS-KALĖJIMO APS

LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIUS-KALĖJIMAS TVIRTINU Direktorius Viktoras Davidenko TARNYBINIO PATIKRINIMO DĖL LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIAUS-KALĖJIMO APS LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIUS-KALĖJIMAS TVIRTINU Direktorius Viktoras Davidenko TARNYBINIO PATIKRINIMO DĖL LUKIŠKIŲ TARDYMO IZOLIATORIAUS-KALĖJIMO APSAUGOS IR PRIEŽIŪROS SKYRIAUS (DUOMENYS NESKELBTINI)

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA PATVIRTINTA VDU Rasos gimnazijos Visuotinio dalininkų susirinkimo 2018 m. gegužės 17 d. protokolu Nr. DSP-04 ASMENŲ PRIĖMIMO Į VYTAUTO DIDŽIOJO UNIVERSITETO RASOS GIMNAZIJĄ KRITERIJŲ IR KLASIŲ KOMPLEKTAVIMO

Detaliau

Veiksmų programų administravimo

Veiksmų programų administravimo (Pasiūlymų dėl projektų atrankos kriterijų nustatymo ir keitimo forma) PASIŪLYMAI DĖL PROJEKTŲ ATRANKOS KRITERIJŲ NUSTATYMO IR KEITIMO 2015 m. gegužės 19 d. FORMAI PRITARTA 2014 2020 m. Europos Sąjungos

Detaliau

Microsoft Word ESMA CFD Renewal Decision (2) Notice_LT

Microsoft Word ESMA CFD Renewal Decision (2) Notice_LT ESMA35-43-1562 ESMA pranešimas Pranešimas apie ESMA sprendimo dėl produktų intervencinės priemonės, susijusios su sandoriais dėl kainų skirtumo, atnaujinimo 2019 m. sausio 23 d. Europos vertybinių popierių

Detaliau

Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas , S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠ

Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas , S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠ Kelmės rajono Kražių gimnazija Įmonės kodas 190093592, S.Dariaus ir S. Girėno g.2, Kražiai, Kelmės rajonas 2016 m. kovo 18 d. FINANSINIŲ ATASKAITŲ AIŠKINAMASIS RAŠTAS I. BENDROJI DALIS Kelmės rajono Kražių

Detaliau

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t

Teorinių kontrolinių sąlygos ir sprendimai Vytautas Kazakevičius 2016 m. gruodžio 20 d. Teiginiai ( ). 1. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį t Teorinių kontrolinių sąlygos sprendimai Vytautas Kazakevičius 206 m. gruodžio 20 d. Teiginiai (206-09-4).. (0.05 t.) Užrašykite formule tokį teiginį: jei iš dviejų teigiamų skaičių vienas yra mažesnis

Detaliau

Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1

Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1 Standartinių gamybinių operacijų brėžiniai, sutartiniai žymėjimai 1 TURINYS 1. Gręžimas lankstams: 1.1 2-iejų skylių gręžimas durelėms 80mm atstumu...3 1.2 2-iejų skylių gręžimas durelėms 100mm atstumu...5

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS REGIONINĖS PLĖTROS ĮSTATYMO NR. VIII-1889 PAKEITIMO ĮSTATYMAS 2014 m. rugsėjo 18 d. Nr. XII-1094 Vilnius 1 straipsnis. Lietuvos R

LIETUVOS RESPUBLIKOS REGIONINĖS PLĖTROS ĮSTATYMO NR. VIII-1889 PAKEITIMO ĮSTATYMAS 2014 m. rugsėjo 18 d. Nr. XII-1094 Vilnius 1 straipsnis. Lietuvos R LIETUVOS RESPUBLIKOS REGIONINĖS PLĖTROS ĮSTATYMO NR. VIII-1889 PAKEITIMO ĮSTATYMAS 2014 m. rugsėjo 18 d. Nr. XII-1094 Vilnius 1 straipsnis. Lietuvos Respublikos regioninės plėtros įstatymo Nr. VIII-1889

Detaliau

Projektas PATVIRTINTA Alytaus Sakalėlio pradinės mokyklos direktoriaus įsakymu Nr. V- ALYTAUS SAKALĖLIO PRADINĖS MOKYKLOS ELEKTRONINIO DIENYNO T

Projektas PATVIRTINTA Alytaus Sakalėlio pradinės mokyklos direktoriaus įsakymu Nr. V- ALYTAUS SAKALĖLIO PRADINĖS MOKYKLOS ELEKTRONINIO DIENYNO T PATVIRTINTA Alytaus Sakalėlio pradinės mokyklos direktoriaus 2019- įsakymu Nr. V- ALYTAUS SAKALĖLIO PRADINĖS MOKYKLOS ELEKTRONINIO DIENYNO TVARKYMO NUOSTATAI I SKYRIUS BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Alytaus Sakalėlio

Detaliau

UAB VALENTIS PRIVATUMO POLITIKA Uždaroji akcinė bendrovė Valentis (toliau Valentis arba mes), įgyvendindama 2016 m. balandžio 27 d. Europos Parlamento

UAB VALENTIS PRIVATUMO POLITIKA Uždaroji akcinė bendrovė Valentis (toliau Valentis arba mes), įgyvendindama 2016 m. balandžio 27 d. Europos Parlamento UAB VALENTIS PRIVATUMO POLITIKA Uždaroji akcinė bendrovė Valentis (toliau Valentis arba mes), įgyvendindama 2016 m. balandžio 27 d. Europos Parlamento ir Tarybos reglamento (ES) 2016/679 dėl fizinių asmenų

Detaliau

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx)

(Microsoft Word - Versta i\360 angli\360ko vertimo i\360 dan\370 k.docx) Versta iš angliško vertimo iš danų k. Neoficialus vertimo tekstas Žiniasklaidos atsakomybės įstatymas 1 dalis Taikymo sritys 1 straipsnis. Šis įstatymas taikomas šioms žiniasklaidos priemonėms: 1) nacionaliniams,

Detaliau

VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS

VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS VALSTYBINIO SOCIALINIO DRAUDIMO FONDO VALDYBOS PRIE SOCIALINĖS APSAUGOS IR DARBO MINISTERIJOS DIREKTORIAUS Į S A K Y M A S DĖL ELEKTRONINĖS DRAUDĖJŲ APTARNAVIMO SISTEMOS NAUDOJIMO TAISYKLIŲ PATVIRTINIMO

Detaliau

Projektas

Projektas PATVIRTINTA Kauno technologijos universiteto Lietuvos socialinių tyrimų centro Vytauto Didžiojo universiteto Sociologijos mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 8 d. posėdžio nutarimu Nr.

Detaliau

Printing triistr.wxmx

Printing triistr.wxmx triistr.wxmx / Triįstrižainių lygčių sistemų sprendimas A.Domarkas, VU, Teoriją žr. []; [], 7-7; []. Pradžioje naudosime Gauso algoritmą, kuriame po įstrižaine daromi nuliai. Po to grįždami į viršų virš

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM

LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYM LIETUVOS RESPUBLIKOS AZARTINIŲ LOŠIMŲ ĮSTATYMO NR. IX-325 2, 10, 15, 16, 29 STRAIPSNIŲ PAKEITIMO IR ĮSTATYMO PAPILDYMO 15 1, 16 1 STRAIPSNIAIS ĮSTATYMAS 2017 m. lapkričio 21 d. Nr. XIII-771 Vilnius 1 straipsnis.

Detaliau

LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 79/11 DIREKTYVOS KOMISIJOS DIREKTYVA 2007/16/EB 2007 m. kovo 19 d. įgyvendinanti Tarybos direktyv

LT Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 79/11 DIREKTYVOS KOMISIJOS DIREKTYVA 2007/16/EB 2007 m. kovo 19 d. įgyvendinanti Tarybos direktyv 2007 3 20 Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 79/11 DIREKTYVOS KOMISIJOS DIREKTYVA 2007/16/EB 2007 m. kovo 19 d. įgyvendinanti Tarybos direktyvą 85/611/EEB dėl įstatymų ir kitų teisės aktų, susijusių

Detaliau

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee

TAIKOMOJI MATEMATIKA. 1-ojo testo pavyzdžiai serija **** variantas 001 x x + 12 lim = x 4 2x 8 1 2; 3 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; 7 ; riba nee 001 x 1 2 + x + 12 lim x 4 2x 1 2; 0; 2 1 2; 5 1; 6 2; ; 1 2 4 riba neegzistuoja; 14x 2 2 + 29 lim x 1x 2 + 4x + 9 1 1; 2 29 9 ; ; 4 0; 5 riba neegzistuoja; 6 1 14; 14 1; 14 x + 1 lim x 4 x 4 1 riba neegzistuoja;

Detaliau

Microsoft Word - KMAIK dėstytojų konkurso ir atestacijos aprašas (3)

Microsoft Word - KMAIK dėstytojų konkurso ir atestacijos aprašas (3) PATVIRTINTA: Kauno miškų ir aplinkos inžinerijos kolegijos Direktoriaus 2011-05-19 įsakymu Nr. 1-119 KAUNO MIŠKŲ IR APLINKOS INŽINERIJOS KOLEGIJOS DĖSTYTOJŲ ATESTAVIMO BEI KONKURSŲ EITI PAREIGAS ORGANIZAVIMO

Detaliau

5_3 paskaita

5_3 paskaita EKONOMIKOS INŽINERIJA Parengė: doc. dr. Vilda Gižienė 4. PRODUKTO GAMYBOS TECHNOLOGIJA Temos: 4.7.Įmonės pelnas ir jo maksimizavimas 4.7.1. Konkuruojančios firmos pajamos. 4.7.2. Pelno maksimizavimas trumpuoju

Detaliau

Microsoft Word - Paslauga _leidimai išvezti iš LR_ Į-29 AP-15.doc

Microsoft Word - Paslauga _leidimai išvezti iš LR_ Į-29 AP-15.doc PATVIRTINTA Kultūros paveldo departamento prie Kultūros ministerijos direktoriaus 2014 m. vasario 5 d. įsakymu Nr. Į-29 KULTŪROS PAVELDO DEPARTAMENTO PRIE KULTŪROS MINISTERIJOS ADMINISTRACINĖS PASLAUGOS

Detaliau

Projektas

Projektas 1 PRIEDAS PATVIRTINTA Vytauto Didžiojo universiteto Menotyros mokslo krypties doktorantūros komiteto 2019 m. gegužės 28 d. posėdžio nutarimu Nr.1 ATVIRO KONKURSO Į MENOTYROS MOKSLO KRYPTIES DOKTORANTŪROS

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos užsienio reikalų ministro 2012 m. gegužės 25 d. įsakymo Nr. V-91 (Lietuvos Respublikos užsienio reikalų ministro 2013 m. gruodis 19 d. įsakymo Nr. V-270 redakcija) ASOCIACIJŲ

Detaliau

DUOMENŲ TEIKIMO SUTARČIŲ REGISTRUI ELEKTRONINIU BŪDU

DUOMENŲ TEIKIMO SUTARČIŲ REGISTRUI ELEKTRONINIU BŪDU DUOMENŲ TEIKIMO SUTARČIŲ REGISTRUI ELEKTRONINIU BŪDU SUTARTIS NR. Valstybės įmonė Registrų centras (toliau Įmonė), atstovaujama generalinio direktoriaus Sauliaus Urbanavičiaus, veikiančio pagal Valstybės

Detaliau

HISREP sutartis notarams

HISREP sutartis notarams DUOMENŲ TEIKIMO LIETUVOS RESPUBLIKOS HIPOTEKOS REGISTRUI ELEKTRONINIU BŪDU SUTARTIS NR. Valstybės įmonė Registrų centras (toliau Įmonė), atstovaujama direktoriaus Sauliaus Urbanavičiaus, veikiančio pagal

Detaliau

Priedai_2016.indd

Priedai_2016.indd 1 testo užduočių vertinimo kriterijai Užd. Nr. Sprendimas ar atsakymas Taškai Vertinimas 1 Pasirinktas variantas D 1 Už teisingą atsakymą. 2 a) 939 1 Už teisingą atsakymą. 2 b) 1538 1 Už teisingą atsakymą.

Detaliau

SIŪLOMO ĮRAŠYTI Į KOMPENSAVIMO SĄRAŠUS VAISTINIO PREPARATO FARMAKOEKONOMINĖS VERTĖS NUSTATYMO PROTOKOLAS (data) Vertinimas pirminis patiksl

SIŪLOMO ĮRAŠYTI Į KOMPENSAVIMO SĄRAŠUS VAISTINIO PREPARATO FARMAKOEKONOMINĖS VERTĖS NUSTATYMO PROTOKOLAS (data) Vertinimas pirminis patiksl SIŪLOMO ĮRAŠYTI Į KOMPENSAVIMO SĄRAŠUS VAISTINIO PREPARATO FARMAKOEKONOMINĖS VERTĖS NUSTATYMO PROTOKOLAS 2017-11-27 (data) Vertinimas pirminis patikslintas Vilnius (sudarymo vieta) Paskutinio vertinimo

Detaliau

Mažeikių r. Tirkšlių darželio „Giliukas“ metinio veiklos vertinimo pokalbio su darbuotoju tvarkos aprašas

Mažeikių r. Tirkšlių darželio „Giliukas“ metinio veiklos vertinimo pokalbio su darbuotoju tvarkos aprašas PATVIRTINTA Mažeikių r. Tirkšlių darželio Giliukas: Direktoriaus 2017 m. vasario 22 d. įsakymu Nr. V1-8 METINIO VEIKLOS VERTINIMO POKALBIO SU DARBUOTOJU TVARKOS APRAŠAS I. SKYRIUS ĮVADINĖ DALIS 1. Metinio

Detaliau

VALSTYBINĖS KELIŲ TRANSPORTO INSPEKCIJOS

VALSTYBINĖS KELIŲ TRANSPORTO INSPEKCIJOS Suvestinė redakcija nuo 2015-03-27 iki 2016-08-17 Įsakymas paskelbtas: Žin. 2012, Nr. 68-3519, i. k. 1122213ISAK002B-240 VALSTYBINĖS KELIŲ TRANSPORTO INSPEKCIJOS PRIE SUSISIEKIMO MINISTERIJOS VIRŠININKO

Detaliau

AB FREDA

AB FREDA PATVIRTINTA Kauno Simono Daukanto progimnazijos direktoriaus 2018 m. rugpjūčio 20 d. įsakymu Nr. KAUNO SIMONO DAUKANTO PROGIMNAZIJOS VAIZDO DUOMENŲ TVARKYMO TAISYKLĖS I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Kauno Simono

Detaliau

lec10.dvi

lec10.dvi paskaita. Euklido erdv_es. pibr_ezimas. Vektorin_e erdv_e E virs realiuju skaiciu kuno vadinama Euklido erdve, jeigu joje apibr_ezta skaliarin_e sandauga, t.y. tokia funkcija, kuri vektoriu porai u; v

Detaliau

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu

Logines funkcijos termu generavimo algoritmas pagristas funkciniu modeliu KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ INŽINERIJOS KATEDRA Tomas Žemaitis LOGINĖS FUNKCIJOS TERMŲ GENERAVIMO ALGORITMAS PAGRĮSTAS PROGRAMINIO PROTOTIPO MODELIU Magistro darbas

Detaliau

INTERVIU CIKLAS DĖL PRAMONĖS 4.0 EKOSISTEMOS VYSTYMO PRIEMONIŲ KAS DALYVAVO? 20 6 apdirbamosios gamybos įmonių (t.y. 25 % Panevėžio regiono apdirbamos

INTERVIU CIKLAS DĖL PRAMONĖS 4.0 EKOSISTEMOS VYSTYMO PRIEMONIŲ KAS DALYVAVO? 20 6 apdirbamosios gamybos įmonių (t.y. 25 % Panevėžio regiono apdirbamos INTERVIU CIKLAS DĖL PRAMONĖS 4.0 EKOSISTEMOS VYSTYMO PRIEMONIŲ KAS DALYVAVO? 20 6 apdirbamosios gamybos įmonių (t.y. 25 % Panevėžio regiono apdirbamosios gamybos įmonių, kurių apyvarta > 2 mln. Eur) švietimo

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS ENERGETIKOS MINISTRO

LIETUVOS RESPUBLIKOS ENERGETIKOS MINISTRO Suvestinė redakcija nuo 2017-12-02 Įsakymas paskelbtas: Žin. 2011, Nr. 147-6900, i. k. 111203NISAK0001-293 LIETUVOS RESPUBLIKOS ENERGETIKOS MINISTRO Į S A K Y M A S DĖL PREKYBOS GAMTINĖMIS DUJOMIS TAISYKLIŲ

Detaliau

Neformaliojo vaikų švietimo aktualumas ir veiklos gairės

Neformaliojo vaikų švietimo aktualumas ir veiklos gairės Telšių rajono savivaldybės patirtis, įgyvendinant NVŠ lėšų skyrimo ir panaudojimo tvarką Irena Daubarienė, Telšių rajono savivaldybės administracijos Švietimo, kultūros, sporto ir jaunimo reikalų skyriaus

Detaliau

PATVIRTINTA

PATVIRTINTA VALSTYBINĖS TERITORIJŲ PLANAVIMO IR STATYBOS INSPEKCIJOS PRIE APLINKOS MINISTERIJOS VIRŠININKAS ĮSAKYMAS DĖL VALSTYBINĖS TERITORIJŲ PLANAVIMO IR STATYBOS INSPEKCIJOS PRIE APLINKOS MINISTERIJOS VIRŠININKO

Detaliau

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIUS PAŽYMA DĖL STRAIPSNIO-INTE

LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIUS PAŽYMA DĖL STRAIPSNIO-INTE LIETUVOS RESPUBLIKOS VYRIAUSIOSIOS RINKIMŲ KOMISIJOS POLITINIŲ PARTIJŲ IR POLITINIŲ KAMPANIJŲ FINANSAVIMO KONTROLĖS SKYRIUS PAŽYMA DĖL STRAIPSNIO-INTERVIU KULTŪRINIS ELITAS YRA UZURPAVĘS KULTŪRĄ IR ATSIRIBOJĘS

Detaliau

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la

VIEŠO NAUDOJIMO Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją la Aplinkos oro teršalų koncentracijos tyrimų, atliktų 2017 m. rugpjūčio 11 25 d. Šiltnamių g. 23 Vilniaus mieste, naudojant mobiliąją laboratoriją, rezultatų apžvalga Vilnius, 2017 m. Turinys Įžanga... 3

Detaliau

Microsoft Word - Naudotojo gidas_aplikacijai_

Microsoft Word - Naudotojo gidas_aplikacijai_ Mokėjimų už automobilio stovėjimą, naudojantis programa m.parking išmaniuosiuose telefonuose, naudotojo gidas Puslapis 1 iš 10 Programa m.parking Vilniuje galima sumokėti vietinę rinkliavą tik už naudojimąsi

Detaliau

final_Duju_rinkos_stebesesnos_ataskaita_2011_I_ketv

final_Duju_rinkos_stebesesnos_ataskaita_2011_I_ketv Valstybinė kainų ir energetikos kontrolės komisija GAMTINIŲ DUJŲ RINKOS STEBĖSENOS ATASKAITA UŽ 2011 M. I KETV. Vilnius, 2011 2 Valstybinė kainų ir energetikos kontrolės komisija Algirdo g. 27, LT-03219

Detaliau

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s},

DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, DISKREČIOJI MATEMATIKA. Grafai serija 5800 variantas 001 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūnių bei briaunų aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai

Detaliau

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt

airbnb-pwc-taxguide-lithuania-lt Šį vadovą parengė nepriklausoma apskaitos įmonė 2018 m. rugsėjo LIETUVA SU TRUMPALAIKE NUOMA SUSIJĘ MOKESČIŲ KLAUSIMAI Toliau pateikta informacija yra gairės, padėsiančios susipažinti su kai kuriais mokesčių

Detaliau

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas

Detaliau