Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu konspektas Intuityviai realiu ju skaičiu seka vadinama realiu ju skaičiu aibė, kurios elementai (vadinami

Vigirdas Mackevičius 2. Sekos riba Paskaitu kospektas Ituityviai realiu seka vadiama realiu aibė, kurios elemetai (vadiami sekos ariais) suumeruoti atūraliaisiais skaičiais (pradedat galbūt e vieetu, o kokiu ors kitu atūraliuoju skaičiumi), pvz., {x, IN} = {x, x 2,..., x,...}, {a 5, a 6,...}. Pastaba. Griežtai seka apibrėžiama kaip fukcija f : IN IR. Jos reikšmės f() vadiamos sekos ariais. prasta jas (reikšmes) žymėti kokia ors raide, kurios ideksas lygus argumetui, pvz., x = f(), IN. Seka {x, IN} mes trumpai žymėsime {x }. Sakoma, kad skaičius x yra sekos {x } riba, jei su,,pakakamai dideliais eilės umeriais sekos ariai x yra,,kiek orima arti skaičiaus x. Griežtas apibrėžimas skamba taip: 2.. Apibrėžimas. Sakoma, kad seka {x } turi riba x IR, jei su kiekvieu (,,kiek orima mažu ) ε > 0, atsiras toks (,,pakakamai didelis ) eilės umeris N IN, kad x x < ε su visais > N. Tokiu atveju rašoma x = x (trumpai x = x) arba x x, (trumpai x x). Taip pat dar sakoma: x koverguoja i x arba x artėja prie x. Taigi x = x ε > 0, N IN : x x < ε, kai > N. Jei seka turi riba, sakoma, kad ji koverguoja. Priešigu atveju sakoma, kad ji diverguoja. Pastabos.. Kartais apibrėžime vietoj N IN patogu imti N IR, turit omeyje, kad elygybėje > N skaičiai tik atūralieji. 2. Dažai ribos apibrėžima patogu formuluoti audojat aplikos sa voka. Skaičiaus x IR ε-aplika vadiamas itervalas U ε (x) := (x ε, x + ε). Tada x = x ε > 0, N IN : x U ε (x), kai > N. (,,Sekos ariai x yra kiek orima mažoje skaičiaus x aplikoje, kai sekos ariu eilės umeriai yra pakakamai dideli.) 3. Kol kas agriėjame tik baigties ribas, t.y. ribas, kuriu reikšmės realieji skaičiai. Vėliau susipažisime ir su begaliėmis ribomis +, ir. VM-TEX, 209 0 22

2 V. Mackevičius 2. Sekos riba 2.2. Pavyzdžiai. ) Patikrisime, kad = 0. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada 0 = < ε, kai > ε. Iš čia matome, kad su bet kokiu ε > 0 paėme N := ε turėsime 0 < ε, kai > N. Remiatis ribos apibrėžimu tai ir reiškia, kad = 0. 2) Imkime seka 3 si 5 cos 2 x :=, IN. sitikisime, kad x = 0. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada x 0 = kai > (8/ε) 2. 3 si 5 cos 2 3 si + 5 cos 2 3 + 5 = 8 < ε, Taigi gavome, kad su bet kokiu ε > 0 paėme N := (8/ε) 2, turėsime x 0 < ε su visais > N. Tai ir reiškia, kad x = 0. 3) sitikisime, kad seka x =, IN, (baigtiės) ribos eturi. Tarkime priešigai, kad ši seka turi riba x. Tada paėmus ε =, atsiras toks N IN, kad x x <, kai > N, arba x = (x x) + x x x + x < x +, > N, t.y. < x +, kai > N, ir (galutiai) < ( x + ) 2, > N. Gavome, kad atūraliu aibė yra aprėžta iš viršaus (skaičiumi ( x +) 2 ) prieštara! Gautoji prieštara i rodo, kad agriėjama seka (baigtiės) ribos eturi. 4) Nagriėkime seka x = ( ), IN. sitikisime (prieštaros būdu), kad ši seka ribos eturi. Tarkime, kad x = x. Paėmus ε =, atsiras toks N IN, kad x x <, kai > N. Imdami = 2k > N, gauame x x = x <, o imdami 2 = 2k + > N, gauame x 2 x = x = + x <. Iš šiu dvie elygybiu turime 2 = ( + x) + ( x) + x + x < + = 2, t.y. 2 < 2 prieštara!

2. Sekos riba V. Mackevičius 3 2.3. Apibrėžimas. Seka {x } vadiama a) aprėžta iš viršaus, jei jos reikšmiu aibė aprėžta iš viršaus, t.y. M IR : IN, x M; b) aprėžta iš apačios, jei jos reikšmiu aibė aprėžta iš apačios, t.y. M IR : IN, x M; c) aprėžta, jei ji yra aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios, t.y. M, M 2 IR : IN, M x M 2. Pastaba. Pastaruoju atveju pažymėje M := max{ M, M 2 } gausime paprastesi,,simetriška aprėžtos sekos {x } apibrėžima : M R + : IN, x M. 2.4. Teigiys. ) Kiekviea koverguojati seka yra aprėžta. 2) Koverguojati seka gali turėti tik viea riba. rodymas. ) Tarkime, kad x = x. Paimkime ribos apibrėžime ε =. Tada N IN : x x <, kai > N. Iš čia (plg. su 2.3.3 pavyzdžiu) x x x + x < x +, kai > N. Pažymėkime M := max{ x, x 2,..., x N, x + }. Tada x M, IN. 2) Tarkime, kad seka turi dvi ribas x ir y, x < y. Paimkime ε lygu pusei atstumo tarp x ir y, t.y. ε := (y x)/2 > 0. Tada N IN : x x < ε, kai > N, ir N 2 IN : x y < ε, kai > N 2. Paimkime bet koki 0 > max{n, N 2 }. Tada x 0 x < ε ir x 0 y < ε. Todėl y x = (x 0 x) + (y x 0 ) x 0 x + x 0 y < 2ε = y x, ir gavome prieštara.

4 V. Mackevičius 2. Sekos riba 2.5. Teigiys. (Veiksmai su ribomis.) Tarkime, kad x x ir y y,. Tada a) x + y x + y, ; b) x y xy, ; c) jei y 0, tai x y x y,. rodymas. a) Laisvai pasirikime ε > 0. Remiatis ribos apibrežimu, ir N IN : x x < ε 2, kai > N, N 2 IN : y y < ε 2, kai > N 2. Pažymėkime N := max{n, N 2 }. Tada Iš čia x x < ε 2 ir y y < ε, kai > N. 2 (x + y ) (x + y) = (x x) + (y y) x x + y y < ε 2 + ε = ε, kai > N. 2 Tai reiškia, kad x + y x + y,. b) vertisime skirtuma x y xy = (x y x y) + (x y xy) = x (y y) + y(x x) x y y + y x x. Kadagi seka {x } aprėžta, tai ( ) M IR + : x M, IN. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada ε N IN : y y < 2(M + ), kai > N, ir N 2 IN : x x < ε 2( y + ), kai > N 2. Tada iš ( ) su visais > N := max{n, N 2 } gauame ε x y xy M 2(M + ) + y ε 2( y + ) < ε 2 + ε 2 = ε. Tai reiškia, kad x y xy,.

2. Sekos riba V. Mackevičius 5 c) vertisime skirtuma x x = x y y x y y y y = x y xy + xy y x y y y x x + x y y y y = x x y Kadagi y y 0,, tai Iš čia + x y y. y y N IN : y y < y 2, kai N. y = y (y y ) y y y > y y 2 = y 2, kai > N. Todėl y < 2 y, kai > N. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada ir N 2 IN : x x < ε y 4, kai > N 2, N 3 IN : y y < ε y 2 4( x + ), kai > N 3. Tada, imdami > N := max{n, N 2, N 3 }, iš ( ) turime x x < ε y y 2 + ε 2 = ε. Tai reiškia, kad x y x y,. 2.6. Teigiys. (Perėjimas prie ribos elygybėse.) ) Jei x x ir y y, x < y, tai N IN : x < y, kai > N; 2) jei x y, x x ir y y, tai x y; 3) jei x y z, x x bei z x, tai ir y x. ( ) Ši savybė juokais dažai vadiama,,dpp,,dvie policiiku pricipu.

6 V. Mackevičius 2. Sekos riba rodymas. ) Pažymėkime ε := y x 2 > 0. Tada N IN : x x < ε ir y y < ε, kai > N, ir todėl x < x + ε = y ε < y, kai > N. 2) Jei būtu priešigai, t.y. x > y, tai remdamiesi ) dai turėtume, kad N IN : x > y, kai > N, prieštara! ir Iš čia 3) Laisvai pasirikime ε > 0. Tada N IN : x x < ε, kai > N, N 2 IN : z x < ε, kai > N 2. x ε < x y z < x + ε, kai > N := max{n, N 2 }, t.y. y x < ε, kai > N. Pagal ribos apibrėžima tai reiškia, kad y x,. 2.7. Pavyzdžiai. ) Visu pirma pastebėsime, kad iš elygybiu x < y, IN, ir kovergavimo x x bei y y eišplaukia, kad x < y. Pavyzdžiui, x = 0 < = y, IN, bet x = y = 0. 2) Nagriėkime seka y = 2 + + 2 + 2 + 2 + 3 +... + 2 +, IN. vertisime jos arius iš abie pusiu sekomis, kuriu ribas gaa legvai paskaičiuoti ir i sitikiti, kad jos (laimei!) sutampa: t.y. ( + ) 2 + ( + ) 2 + + ( + ) 2 x := y 2 + 2 + + 2, IN, + y = =: z, IN. Kadagi x ir z, tai remiatis,,dpp ir y.

2. Sekos riba V. Mackevičius 7 2.8. Apibrėžimas. Tarkime, kad turime seka {x } ir griežtai didėjačia atūraliu seka { k, k IN}: < 2 <... < k < k+ <.... Seka {x k, k IN}, vadiama sekos {x } posekiu (arba dalie seka). Jei sekos {x } posekis {x k } turi riba, tai ši riba vadiama sekos {x } dalie riba. Pastabos. ) Seka gali etureti ribos, bet gali turėti dalie riba. Pavyzdžiui, seka x = ( ), IN, eturi ribos, bet turi dvi dalies ribas ( ir ). 2) Jei seka {x } turi riba, tai visi jos posekiai turi ta pačia riba. Taigi, koverguojačios sekos turi tik viea dalie riba, sutampačia su jos riba. 2.9. Teigiys. (Vejerštraso teorema apie koverguojati poseki.) Kiekviea aprėžta seka {x } turi koverguojati poseki. rodymas. Kadagi sekos reikšmiu aibė aprėžta, tai atsiras itervalas [a, b], kuriame yra visos sekos ariu reikšmės. Padalikime ši itervala i du vieodo ilgio itervalus [a, (a + b)/2)] ir [(a + b)/2, b]. Bet vieame iš yra be galo daug sekos ariu. Pažymėkime ji [a, b ] (jei i abu itervalus pateka be galo daug sekos ariu, imame bet kuri iš ). Imkime bet kuri sekos ari x [a, b ]. Itervala [a, b ] vėl padalikime i du vieodo ilgio itervalus ir pažymėkime [a 2, b 2 ] ta iš, i kuri pateka be galo daug ariu. Imkime sekos ari x 2 [a 2, b 2 ] su eilės umeriu 2 > toks arys tikrai atsiras, es itervale [a 2, b 2 ] yra be galo daug sekos {x } ariu. Te sdami toliau, gausime tokia i dėtu itervalu seka {[a k, b k ]} ir toki sekos {x } poseki {x k, k IN}, kad ) x k [a k, b k ], k IN; 2) b k a k = (b a)/2 k 0, k. Remiatis i dėtu itervalu aksioma, atsiras taškas x IR, priklausatis visiems itervalams [a k, b k ], t.y. a k x b k, k IN. Kadagi 0 b k x b k a k 0, tai, remiatis,,dpp, (b k x) = 0 ir todėl b k = (b k x) + x = x. Paašiai k k k a k = x. Kadagi a k x k b k, k IN, tai, remiatis,,dpp, ir x k = x. Taigi k k sukostravome koverguojati sekos {x } poseki {x k }. 2.0. Teorema. (Sekos kovergavimo Koši kriterijus.) Tarkime, kad {x } seka. Tada šie du teigiiai yra ekvivaletūs: ) Seka {x } koverguoja (i koki ors x IR); 2) ε > 0, N IN : x x m < ε, kai m, > N (,,sekos ariai yra kiek orima arti vieas uo kito, kai eilės umeriai yra pakakamai dideli ). Pastaba. Sekos, pasižymičios atra ja savybe, vadiamos fudametaliosiomis sekomis arba Koši sekomis. Teorema tvirtia, kad realiu seka koverguoja tada ir tik tada, kai ji yra Koši seka. Ši realiu aibės savybė vadiama pilumu. Šios savybės eturi, pavyzdžiui, racioaliu aibė. Tuo i sitikiti gaa paėmus bet kokia koverguojačia racioaliu seka, kurios riba yra iracioalusis skaičius.

8 V. Mackevičius 2. Sekos riba rodymas. Būtiumas ( 2). Tarkime, kad x = N IN : x x < ε 2, kai > N. Iš čia x x m = (x x) (x m x) x. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada x x + x m x < ε 2 + ε 2 = ε, kai, m > N. Pakakamumas (2 ). Pradžioje i sitikisime, kad seka {x } (kuriai išpildyta atroji sa lyga) yra aprėžta. Imdami ε = gauame, kad Tada arba N IN : x x m <, kai m, > N. x x N+ <, kai > N, x = (x x N+ ) + x N+ x x N+ + x N+ Pažymėkime < x N+ +, kai > N. M := max{ x, x 2,..., x N, x N+ + }. Tada akivaizdu, kad x M, IN. Remiatis 2.9 teorema, seka {x } turi koverguojati poseki {x k }. Pažymėkime x = k x k. sitikisime, kad x yra ir visos sekos riba. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada N IN : x x m < ε, kai m, > N. 2 Kita vertus, K IN : x k x < ε, kai k > K. 2 Paėme bet koki k > K, su kuriuo k > N, gauame x x = (x x k ) + (x k x) x x k + x k x < ε 2 + ε 2 = ε, kai > N. Tai ir reiškia, kad x = x.

2. Sekos riba V. Mackevičius 9 2.. Pavyzdžiai. ) Nagriėkime seka x := si 2 + si 2 2 2 + + si 2, IN. Naudodami Koši kriteri, i sitikisime, kad ši seka koverguoja. Laisvai pasirikime ε > 0. Imdami > m, i vertisime skirtuma si(m + ) x x m = 2 m+ + + si 2 si(m + ) si + + 2 m+ 2 2 m+ + + 2 = 2 ( m+ 2 ) m 2 < 2 m < ε, kai m > N := log 2 ε. Taigi seka {x } koverguoja. 2) Jau esame i sitikie, kad seka x = ( ), IN, eturi ribos. Dabar dar karta tuo i sitikisime, tik ši karta audosime Koši kriteri. Kadagi x + x = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 2, tai imdami ε = 2 matome, kad sekos fudametalumo sa lyga eišpildyta. (Iš tikru, priešigu atveju su pakakamai dideliu N turėtume, kad x m x < 2, kai m, > N. Bet ka tik i sitikiome, kad imdami m = + > > N turime x m x = 2.) Taigi seka {x } diverguoja. 3) Nagriėkime seka x = + 2 + +, IN. I sitikisime, kad ji diverguoja. Tam epakaka, kaip praeitame pavyzdyje, palygiti gretimus arius. Su visais IN turime x 2 x = + + + 2 + + 2 2 + 2 + + 2 = 2. Imdami ε = /2 matome, kad agriėjama seka etekia fudametalumo sa lygos. (Iš tikru, priešigu atveju su pakakamai dideliu N turėtume, kad x m x < /2, kai m, > N. Bet ka tik i sitikiome, kad imdami m = 2 > > N turime x m x /2.) Taigi seka {x } diverguoja. 2.2. Apibrėžimas. Seka {x } vadiama a) didėjačia, jei x + x su visais IN; b) mažėjačia, jei x + x su visais IN; c) griežtai didėjačia, jei x + > x su visais IN; d) griežtai mažėjačia, jei x + < x su visais IN. Didėjačios ir mažėjačios sekos vadiamos mootoiškomis. 2.3. Teigiys. Didėjati (mažėjati) seka {x } koverguoja tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta iš viršaus (atitikamai iš apačios) ir tokiu atveju x = sup x, IN

0 V. Mackevičius 2. Sekos riba t.y. sekos riba yra lygi jos reikšmiu aibės tiksliajam viršutiiam rėžiui (atitikamai x = if IN x ). rodymas (didėjačiai sekai).,,=. Jau i rodyta, es kiekviea (ebūtiai mootoiška) koverguojati seka yra aprėžta (2.4. teigiys). sup IN,, =. Tarkime, kad didėjati seka {x } yra aprėžta iš viršaus. Pažymėkime a := x IR. sitikisime, kad a = x. Laisvai pasirikime ε > 0. Kadagi a ε ėra sekos {x } reikšmiu aibės supremumas, tai N IN : x N > a ε. Tada dėl sekos mootoiškumo > N, a ε < x N x a < a + ε, t.y. x a < ε, kai > N. Taigi a = x. 2.4. Pavyzdžiai. ) rodysime, kad = 0, jei q >. q atvejis: q >. Pažymėkime x := q, IN. I sitikisime, kad ši seka yra mažėjati pradedat pakakamai dideliu eilės umeriu. Nagriėkime satyki x + x = ( + )q q + = + q = ( + ) q q <,. Remiatis 2.6. teigiiu, atsiras toks N IN, kad x + x <, kai > N, arba x + < x, kai > N. Tai reiškia, kad seka {x, > N} yra mažėjati. Kadagi ši seka aprėžta iš apačios (apatiis rėžis ulis), tai, remiatis 2.3 teigiiu, ji turi riba. Pažymėkime x := x. Perėje rekuretiėje lygybėje x + = ( + ) q x, IN, prie ribos, kai, gauame x = q x, t.y. x = 0. 2 atvejis: q <. Tada, remiatis pirmuoju atveju, = q q 0 = q 0. 2) rodysime, kad =. Laisvai pasirikime ε > 0. Kadagi, mes turime i sitikiti, kad < ε su pakakamai dideliais. Turime < ε < + ε < ( + ε) ( + ε) <.

2. Sekos riba V. Mackevičius Imdami pavyzdyje q = + ε, gauame, kad ( + ε) = 0 < = N IN : <, kai > N, ( + ε) t.y. < ε, kai > N, Tai ir reiškia, kad 2 ) Kaip išvada gausime, kad a =, a > 0. =. atvejis: a. Šiuo atveju N IN : a N. Tada a kai N. Kadagi kraštiiu ariu ribos lygios, kai, tai pagal,,dpp ir 2 atvejis: 0 < a <. a = 3) rodysime, kad q! a = 0, q IR. Šiuo atveju atv. ====== =. atvejis: q > 0. Pažymėkime x := q!. Tada x + x = q+! ( + )!q = q + 0 <,. a =. Todėl atsiras toks N IN, kad x + x <, kai > N, t.y. seka {x } mažėja (pradedat (N + )-uoju ariu). Kadagi seka aprėžta iš apačios (x > 0), tai egzistuoja x := x IR. Perėje prie ribos lygybėje x + = 2 atvejis: q < 0. Šiuo atveju q! = q 0 = q 0,.!! 3 atvejis: q = 0. Akivaizdu (visi sekos ariai lygūs uliui). q + x, gauame x = 0 x = 0. 4) sitikisime, kad egzistuoja (matematikoje labai svarbi!) riba ( + ). Pažymėkime x = ( + ), y = ( + )+. Mes i rodysime, kad seka {y } yra mažėjati ir todėl turi riba, es ji akivaizdžiai aprėžta iš apačios (y ). Iš čia išplauks, kad ir agriėjamoji seka {x } turi (ta pačia ) riba : x = y /( + /) = y.

2 V. Mackevičius 2. Sekos riba Palygikime gretimus sekos y arius: ( ) + y + = ( ) y = ( + )+ ( ) + + = (2 ) ( + ) 2 + + 2 = < + + 2 =. + ( + 2 Priešpaskutie elygybe gavome pasiaudoje žioma Berulio elygybe : ( + x) + x, x >, IN. Taigi y < y, >, t.y. seka {y } yra mažėjati. ) Pastaba. Kodėl mes tiesiogiai ei rodiėjome sekos {x } ribos egzistavimo? Pasirodo, kad pati seka {x } taip pat yra mootoiška, tačiau didėjati (gaa i rodyti paašiai). Deja, jos aprėžtumas iš viršaus ėra toks akivaizdus jam i rodyti reikėtu papildomu pastagu. Todėl pasiaudoje pagalbie seka {y } ta pati rezultata gauame,,pigiau. 2.5. Apibrėžimas. e := ( + ) 2,78288284.... 2.6. Apibrėžimas. Tarkime, kad duota seka {x }. Sakoma, kad ) = + (arba x +, ), jei Δ IR, N IN : x > Δ, kai > N; 2) = (arba x, ), jei Δ IR, N IN : x < Δ, kai > N; 3) = (arba x, ), jei = +. 2.7. Apibrėžimas. Išplėstie realiu aibe (arba tiese) vadiama aibė IR := IR {+, }, kurioje, be i prastiiu veiksmu ir tvarkos realiu tiesėje IR, apibrėžti tokie veiksmai ir sa ryšiai: a) < x < +, x IR; b) x + (± ) = ±, x IR; { ±, x > 0, c) x (± ) =, x < 0. ; d) sup A := +, jei aibė A IR ėra aprėžta iš viršaus arba + A; if A :=, jei aibė A IR ėra aprėžta iš apačios arba A.

2. Sekos riba V. Mackevičius 3 2.8. Pastabos. ) Baigtiiu ir begaliiu ribu sa vokas gaa suvieoditi paaudojat aplikos sa voka. Taško x IR ε-aplika vadiamas itervalas U ε (x) := (x ε, x + ε). Taško + Δ-aplika vadiamas itervalas (Δ, + ] := {x IR : x > Δ}. Taško Δ-aplika vadiamas itervalas [, Δ) := {x IR : x < Δ}. Tada bedras ribos apibrėžimas skamba taip: Sakoma, kad = x IR, jei bet kokiai taško x aplikai U egzistuoja toks x N IN, kad x U, kai > N. 2) Sekos daliės ribos sa voka be pakitimu apibrėžiama ir begaliiu ribu atveju: jei sekos {x } posekis {x k } turi riba (baigtie arba begalie ), tai ji vadiama sekos dalie riba. 3) Išplėstiėje tiesėje lieka eapibrėžti reiškiiai ± + ( ), ± (± ), 0 (± ) ir pa. 2.9. Teigiys. Tarkime, kad {x } ir {y } yra realiu sekos. a) Jei x + ir y C IR, IN, tai x + y + ; b) jei x ir y C IR, IN, tai x + y ; c) jei x > 0, tai x 0 x jei x < 0, tai x 0 x + ; ; jei x 0, tai x 0 x ; d) x + ir y x = y + ; e) mootoiška seka {x } aibėje IR visada turi riba (baigtie arba begalie ). rodymas. a) Laisvai pasirikime Δ IR. Tada N IN : x > Δ C, kai > N. Gauame x + y > (Δ C) + C = Δ, kai > N. Tai ir reiškia, kad x + y +. b) Aalogiškai. c) (atvejis x > 0).,,=. Laisvai pasirikime Δ IR. Nemažidami bedrumo gae laikyti, kad Δ > 0. Tada N IN : 0 < x < Δ, kai > N, tai yra N IN : x > Δ, kai > N. Tai reiškia, kad x +.,, =. Laisvai pasirikime ε > 0. Tada N IN : x > ε, kai > N, t.y. N IN : ε < 0 < x < ε, kai > N. Tai reiškia, kad x 0. Like du atvejai agriėjami aalogiškai. d) Laisvai pasirikime Δ IR. Tada N IN : x Δ, kai > N. Todėl ir y Δ, kai > N. Tai reiškia, kad ir y +. e) Jei seka aprėžta, tai ji turi riba, priklausačia IR (2.3 teigiys). Jei seka {x } eaprėžta, tai, pavyzdžiui, didėjačios sekos atveju Δ IR, N IN : x N > Δ. Tada dėl sekos mootoiško didėjimo x x N > Δ, kai > N. Tai reiškia, kad x = +.

4 V. Mackevičius 2. Sekos riba 2.20. Apibrėžimas. Sekos x IR, IN, viršutie ir apatie ribomis vadiamos jos didžiausia ir mažiausia daliės ribos (su sa lyga, kad jos egzistuoja). Jos žymimos atitikamai x ir x (arba sup x ir if x ). 2.2. Teigiys. Bet kokia seka x IR, IN, turi viršutie ir apatie ribas, kurios lygios atitikamai ir x = sup k x k = sup{x, x +,...} x = if x k = if{x, x +,...}. k Pastaba. Ribos s := IN, ir s := sup k k sup x k ir i := if k x k, IN, yra mootoiškos. rodymas (apatiei ribai). Pažymėkime i := if k x k, Toliau išskirsime du atvejus. i := i = x. x k visada egzistuoja, es sekos i := if x k, k atvejis: i < +. Imkime bet kokia seka {j }, su kuria j > i, IN, ir j i,. (Gaa imti, pavyzdžiui, j = i +, IN.) Kadagi i = if{x, x 2, x 3,...} < j, tai IN : i x < j. Kadagi i + = if{x +, x +2, x +3,...} < j +, tai 2 > : i + x 2 < j +. Te sdami toliau, gausime toki sekos {x } poseki {x k }, kad i k + x k < j k +, k IN. (Čia 0 := 0.) Pereikime šioje elygybėje prie ribos, kai k. Kadagi kraštiiu ariu riba lygi i, tai (remiatis,,dpp ) ir x k = i, t.y. skaičius i yra sekos {x } daliė riba. k Dar reikia i sitikiti, kad skaičius i yra mažiausia sekos {x } daliė riba. Tam imkime bet koki sekos {x } poseki {x k }, kuris turi riba. Tada, perėje prie ribos elygybėje x k i k, k IN, gauame i, t.y. bet kuri sekos {x } daliė riba yra e mažesė už i. k x k 2 atvejis: i = +. Tada x i i = +,. Todėl ir x + = i, (2.9.d teigiys). Taigi vieitelė (ir mažiausia) sekos daliė riba yra lygi i = +.

2. Sekos riba V. Mackevičius 5 2.22. Pavyzdžiai. ) x = ( ), IN. Kadagi x 2k = ir x 2k+ =, k k tai seka turi dvi dalies ribas, lygias ir. (Kitu daliiu ribu seka egali turėti, es urodyti posekiai {x 2k } ir {x 2k+ },,išsemia visa seka {x }.) Iš čia x = ir x =. 2) x = ( ), IN. Aalogiškai x = +, x =. 3) x = ( ), IN. Aalogiškai x = +, x = 0. 2.23. Išvada. Seka {x } turi riba tada ir tik tada, kai x = x. Tokiu atveju x = x = x. rodymas.,,=. Jei egzistuoja x := x, tai seka turi tik viea dalie riba x. remiatis 2.20 apibrėžimu, x = x = x.,, =. Pažymėkime x := turime elygybe Todėl, x = x. Naudodami akstesius pažymėjimus, i x s, IN. Kadagi pagal prielaida i x ir s x, tai, remiatis,,dpp, ir x x.