6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloniečių arba Herono algoritmas. Jau žiloje senovėje reikėjo mokėti traukti kavadratinę šaknį. Yra išlikęs

Transkriptas

1 6. ŠAKNIES RADIMO ALGORITMAS Istorija. Babiloiečių arba Heroo algoritmas. Jau žiloje seovėje reikėjo mokėti traukti kavadratię šakį. Yra išlikęs Heroo iš Aleksadrijos gyveusio I mūsų eros amžiuje veikalas Metrika kuriame aprašytas šakies radimo iš 7 algoritmas: Kadagi 7 eturi raioalios šakies tai ją surasime su meka paklaida taip: artimiausias skaičiui 7 kvadratas yra 79 turitis šakį 7; padalikime 7 iš 7; gausime 6 ir 3 ; pridėkime 7 ; gausime 53 ir. Paimkime šito pusę; gausime Vadiasi šakis iš 7 apytiksliai lygi Iš tikrųjų padaugię iš tokio pat skaičiaus gausime 7 ; taigi skirtumas sudarys 36 -ąją 36 vieeto dalį. Jei orėtume padaryti skirtumą mažesį už 36 -ąją dalį tai vietoje 79 paėmę 7 ir atlikę tą patį gautume skirtumą kuris būtų daug mažesis už Šis algoritmas tik aprašytas Heroo bet maoma kad jis buvo žiomas jau babiloečiams. Todėl jis ir vadiamas Heroo arba babiloiečių. Užduotis 6.. Apskaičiuokite kvadratię šakį iš 3 audodami Heroo algoritmą. Uždaviio formalizavimas. Pabadykime aprašyti šį algoritmą šiuolaikie matematikos kalba: ieškome kvadratiės šakies iš skaičiaus >. pasirekame pirmąją reikšmę b b > ; (6.) apibrėžiame a = ; b (6.) b = ( a ) + b ; a = b ir t.t. Jei turime skaičius a b tai sekačius apibrėžiame taip b + ( a b ) (6.3) a+ =. b + (6.4) Geometriė iterpretaija. Reikia ubrėžti hiperbolę y = ir tiesę y =. Sekų savybės. Aritmetiiai skaičiavimai ir geometriė iterpretaija rodo kad seka { a } didėja o seka { b } mažėja. Be to abi sekos koverguoja (greitai) į kvadratię šakį iš. Pabadykime tai įrodyti aaliziškai. b b b > < a = = < = b b b b (6.5) b = ( a+ b) < ( b+ b) = b (6.6) a+ b = ab < = b (6.7)

2 b < b a = < = a. (6.8) b b Tęsdami samprotavimus idukija gautume kad a < a <... < a <... b > b >... > b >... (6.9) a < b ab =. Įvertisime skirtumą b a: a+ b b a b a < b a = a =. Galime daryti prielaidą kad b a bk ak < k kokiam ors k. Tada gauame ak + bk bk ak b a bk+ ak+ < bk+ ak = ak = =. (6.) k Vadiasi matematiės idukijos metodu įrodėme Lema 6.. Sekos apibrėžtos formulėmis tekia sąlygą b a b a < =... Galime reziumuoti ir labiau geometrizuoti tai ką gavome - itervalų seką I = [ a b] kuri tekia sąlygas: [ a+ b+ ] [ a b] (6.) lim( b a ) =. (6.) Matematikai jau gaa seiai tikėjo(xix amžiuje) kad realiųjų skaičių aibė yra tokia kad bet kokia itervalų seka tekiati aksčiau miėtas savybes apibrėžia vieitelį realųjį skaičių. Matematiėje literatūroje tai vadiama Lema 6.. (Susitraukiačiųjų itervalų lema) Jei itervalų I = [ a b] seka tekia sąlygas tai egzistuoja vieitelis realusis skaičius α priklausatis visiems itervalams I arba a α b. Įrodymas. Pirmoji sąlyga (6.) reiškia kad a a+ b+ b t.y. seka { a } yra didėjati o seka { b } - mažėjati. Be to seka { a } yra aprėžta iš viršaus b o seka { b } - aprėžta iš apačios a. Pagal mootoiškų aprėžtų sekų savybę abi sekos turi ribas kurias pažymėkime a = lim a b= limb. Pasiaudokime atrąja lemos sąlyga (6.) = lim( a b) = lim a lim b = a b a = b. Galime apibrėžti α = a = b. Seka { a } yra didėjati o seka { b } - mažėjati todėl a = lim a a b= lim b b m. m m Taigi am α bm m. Sakykime egzistuoja toks β tekiatis visas lemos 6. sąlygas ir α β. Apibrėžkime ε = β α >. Tada

3 α β b a < ε = α β > N. Toks N egzistuoja bet kokiam ε es lim( b a ) =. Iš to išplaukia kad α = β. Moralas. Abi itervalų galų sekos { a}{ b } koverguoja į tą vieitelį tašką priklausatį visiems itervalams. Grįžkime prie šakies radimo algoritmo. Užduotis buvo surasti tokį kuris tekitų sąlygą =. Mes aprašėme algoritmą kuris pagamia dvi koverguojačias į tą patį skaičių α sekas tekiačias lygbę a b =. Perėję šioje lygybėje prie ribos gausime αα =. Vadiasi realusis skaičius kurio egzisteiją garatuoja susitraukiačiųjų itervalų lema ir yra tas kurio ieškojome. Jį įprasta žymėti simboliu.pats šakies simbolis yra stilizuota raidė r (radi lot. šakis). Niutoo liestiių algoritmas. Kita šakies algoritmo iterpretaija. Sakykime reikia rasti kvadratię šakį iš skaičiaus > t.y. rasti tokį kad =. Tai perrašome = ir agriėjame fukiją f( ) =. Reikia rasti lygties f( ) = šakį. I.Niutoas (643-77) sugalvojo algoritmą tokios lygties šakiai rasti. Pasirikime pradię reikšmę >. Nubrėžkime per tašką ( f( )) fukijos grafiko liestię. Jos lygtis y = f( ) + f ( )( ) y = + ( ) = ( + ). (6.3) Ieškome liestiės susikirtimo taško su -sų ašimi t.y. spredžiame lygtį = ( + ). (6.4) Iš čia gauame + = = +. Šią reikšmę pažymėkime. Ir t.t. jei turime reikšmę tai apibrėžiame + = +. (6.5) Gavome tą patį algoritmą kaip ir Heroo ( = b =... ). Mes jau įrodėme kad seka { } yra mažėjati ir > >. Galime audotis mootoiškų aprėžtų sekų savybe apie ribos egzistavimą. Pažymėkime lim = α. Pereikime prie ribos lygybėje (6.5). Gausime lim + = lim + lim α = ( α+ ) (6.6) α α = α α = Reikia pastebėti kad iš elygybės > > išplaukia > ir α >. 3

4 Sekos Koši kovergavimo kriterijus. Nevisada sekos būa mootoiškos arba pasiseka sudaryti sekų porą tekiačią susitraukiačių itervalų lemos sąlygas. Būtų gerai gauti bedresį sekos kovergavimo kriterijų. Kažkokią mitį duoda susitraukiačiųjų itervalų lema. Jos sąlygose figūruoja dvi sekos { a}{ b }. Jei imsime m> tai gausime a am < bm b. Be to b a kai. Bet kokiam εε> galima rasti tokį N kad > N b bm < b a < ε. (6.7) Gavome įdomią sąlygą kurią tekia seka { b }. Praūzų matematikas Ogiusteas Koši (Augusti Cauhy ) vieas iš Matematiės aalizės kūrėjų pastebėjo kad gautos sąlygos pakaka sekos kovergavimui. Nereikia jokio mootoiškumo. Suformuluosime tiksliau. Teorema 6.3. (Koši kovergavimo kriterijus). Tam kad seka { } koverguotų būtia ir pakakama kad ji tekitų sąlygą: εε > Nm ; > N m < ε. (6.8) Ši sąlyga vadiama Koši sąlyga o sekos tekiačios Koši sąlygą vadiamos Koši sekomis arba fudametaliosiomis. Įrodymas. Būtiumas. Tai elemetarioji teigiio dalis. Sakykime lim = a. Reikia įrodyti kad seka { } tekia Koši sąlygą. Viskas remiasi akivaizdžia elygybe m = a+ a m (6.9) a + a m Pasirikę bet kokį εε> galime rasti N kad ε > N a < m ε. ε < (6.) m> N m a < Pakakamumas. Šios dalies įrodymą atidėsime vėlesiam laikui. Pradžiai pastebėsime kad sekos kovergavimui eužteka tik to kad skirtumas tarp gretimų sekos arių + artėtų į ulį. Pavyzdys 6.. Nagriėkime seką H = (6.) Akivaizdu kad H+ H = kai. Paimkime m=. Tada + Hm H = H H = (6.) + + > = = Paėmę εε< bet kokį N ir bet kokį > N galėsime rasti tokį mm = kad H H = H H > > ε. (6.3) m m Įrodėme kad seka { H } apibrėžta (6.) lygybe etekia Koši sąlygos. Iš Koši H ekoverguoja. kriterijaus (teorema 6.3) išplaukia kad seka { } 4

5 Užduotis 6.. Įrodykite kad lim H = lim( ) =+. Kaip jau miėjome Koši kriterijaus pakakamumą įrodysime vėliau. Dabar pabadysime taikyti Koši kriterijų šakies radimo algoritme. Įrodysime kad seka { } apibrėžta sąryšiu (6.5) kai > tekia Koši sąlygą. Įvertisime skirtumą + = + + = ( ) + (6.4) ( ) = ( ) + = Mes jau buvome įrodę kad seka { } tekia sąlygą >. Tada > > > >. (6.5) < < < <. Iš (6.4) ir (6.5) išplaukia +. (6.6) Pritaikę šią elygybę dar kartą gausime +. (6.7) Dabar galime įvertiti skirtumą m. Paimkime m= + p. Įvertikime + p = + p + p + + p + p + + p p + p + + p + p p p (6.8) + + = p p = Matome kad galutiiame reiškiyje ėra kitamojo p ir kad galutiis įvertis priklauso tik uo. Kai auga į begalybę tas įvertis artėja į ulį. Vadiasi εε > N; p p! > N + p < < ε (6.9) 5

6 Įrodėme kad seka + = + > tekia Koši sąlygą. Tada lim = α. Perėję prie ribos lygybėje (6.5) ir pakartoję veiksmus (6.6) gauame α =. Mes išagriėjome labai rimtą pavyzdį kuriame veikia Koši kriterijus. Patikriti Koši sąlygą ebuvo labai paprasta. Kokrečiu pavyzdžiu mes pademostravome vieą fudametaliausių matematiės aalizės teoremų. Ateityje dažai audosimės Koši kriterijumi. Tai bus vieas svarbiausių įrakių garatuojatis ribos egzistavimą. Matematikoje pirmiausia išsiaiškiama objekto egzisteija po to tiriamos jo savybės o galiausiai ieškomas ir pats objektas. Užduotis 6.. Pritaikykite Koši kriterijų sekai + = q + a čia q ir a realieji skaičiai. Kaip kovergavimas priklauso uo parametrų qa? Seka usakyta kaip ir geometriės progresijos sumų seka tik parametras a eturi pradiio ario prasmės. Užduotis 6.3. Sugalvokite -tojo laipsio šakies radimo algoritmą ir trimis būdais įrodykite jo kovergavimą. Tai suki užduotis. Pavyzdys 6.. Atvirkštiio skaičiaus algoritmas. Kaip skaičiuoklis skaičiuoja atvirkštiį skaičių t.y. kiekvieam > surada =. Mes turėtume žioti kad elektroika ar itegraliės shemos atlieka tik sudėties ir daugybos veiksmus (dar logiius veiksmus). Pabadysime samprotauti kaip ir kvadratiės šakies radimo algoritme. Parašykime lygtį. =. Ją galime pertvarkyti = = = =. Kuri iš šių lygčių tika? Pasirikime paskutiiąją. Pažymėkime f( ) = ir ubrėžkime fukijo grafiką. Jis yra žiomas iš viduriės mokyklos kurso. Lygties = sprediys ir bus. Pasirekame tokį kad > ir >. Parašome liestiės lygtį y = f( ) + f ( )( ) y = ( ). (6.3) Suradame liestiės susikirtimo tašką su absise = ( ) = ( ). Pažymėkime šią reikšmę t.y. = ( )... = ( + ). (6.3) 6

7 Nubrėžkime šiai sekai voratiklį. Tam reikia ubrėžti tiesę y = ir parabolę y = ( ). Iš voratiklio matyti kad seka didėja ir koverguoja į reikšmę usakytą tiesės y = ir parabolės y = ( ) susikirtimu. Mootoiškų sekų teorema garatuoja ribos egzistavimą. Koši kriterijaus taikymas (paašiai kaip kvadratiės šakies algoritme) leistų įvertiti kaip greitai koverguoja. Pažymėkime g ( ) = ( ). Pabadykime įvertiti skirtumą + = g ( ) g ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) (6.3) = ( ) ( )( + ) = ( )( ( + )) Būtų gerai jei atrasis daugiklis būtų kiek galima mažesis. Jis bus mažas kai bus arti / ir bus didelis jei arti ulio. Paimkime 3. Tada ir visi kiti sekos 4 ariai tekis tą pačią elygybę. Tada ( + ) + = 4 4 (6.33) 3 ( + ) =. Gavome elygybę +. (6.34) Mes tokią elygybę (6.6) jau buvome sutikę aksčiau. Ji garatuoja Koši sąlygą taigi ir sekos kovergavimą. Dabar susiesime Koši kriterijų su kitomis egzisteijos teoremomis. Teigiys 6.. Jei teisigas Koši kriterijus tai teisiga ir susitraukiačiųjų itervalų lema. Duota: ) Itervalų I = [ a b] seka tekiati sąlygas a) I + I arba a a+ < b+ b b) lim( b a) =. ) Teisiga: jei seka { } tekia Koši sąlygą tai lim. Įrodyti: Egzistuoja vieitelis αα I arba a α b. Įrodymas. Jei paimsime mm > tai a am < bm b. Iš čia bm b < b a (6.35) am a < b a. Kadagi seka{ b a} artėja į ulį tai sekos { a}{ b } tekia Koši sąlygą. Vadiasi egzistuoja jų ribos. Tolimesis įrodymas visiškai toks pat koks buvo įrodymas remiatis mootoiškų aprėžtų sekų ribų egzistavimu. 7