lgebra ir geometrija informatikams. Paskaitu¾ konspektas Rimantas Grigutis 7 paskaita Matricos. 7. pibr eµzimas. Matrica yra m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾turinti staµciakamp e lentel e su joje i¾rašytais skaiµciais a ij ; i m; j n: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn µcia skaiµcius a ij yra matricos i- oje eilut eje ir j- ame stulpelyje. Skaiµciu¾ a ij µzym esime ir taip : a ij () ij : Visu¾matricu¾, turinµciu¾m eiluµciu¾ir n stulpeliu¾, aib ¾e µzym esime M mn : Sakysime, kad dvi matricos (a ij ) ir (b ij ) iš M mn yra lygios, ; jei a ij b ij su visais i ir j: Matricu¾aib eje M mn yra apibr eµziami šie veiksmai: matricu¾sud etis, matricos daugyba iš skaiµciaus, matricu¾ daugyba. Matricu¾ sud etis: ; + (a ij ) + (b ij ) (a ij + b ij ) ; t.y. ( + ) ij () ij : Matricos daugyba iš skaiµciaus: (a ij ) (a ij ) ; t.y. () ij () ij : 7.2 pibr eµzimas. ) Matricos priešinga matrica vadinsime matrica ¾( ) : 2) Nuline matrica vadinsime matrica¾ O.
Matricu¾aib eje M mn ; kurioje apibr eµzti sud eties ir daugybos išskaiµciaus veiksmai, yra teisingos šios savyb es( µcia ; skaiµciai, ;, 2 M mn ): V.(sud eties asociatyvumas) ( + ) + + ( + ) : V2.(sud eties komutatyvumas) + + : V3.(nulin es matricos egzistavimas) O + : V4.(priešingos matricos egzistavimas) + ( ) O: V5. ( + ) + : V6. ( + ) + : V7. () () : V8. : 7.3 pibr eµzimas. Tegu ; :::; s 2 M mn ; o ; :::; s skaiµciai: Matrica¾ + + s s vadina matricu¾ ; :::; s tiesine kombinacija. Parodysime kaip tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema¾ reikšti stulpeliu¾ tiesine kombinacija. Tegu turime tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema¾ 8 a x + a 2 x 2 + + a n x n b >< a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 : () >: a m x + a m2 x 2 + + a mn x n b m Paµzym ekime stulpelius: a a 2 ; 2 a m a 2 a 22 a m2 ; :::; n a n a 2n a mn Tada tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema ¾() galima uµzrašyti ir taip: x + x 2 2 + + x n n : ir Taigi, norint išspr ¾esti tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema ¾ () reikia stulpeli¾ išreikšti stulpeliu¾ ; 2 ; :::; n tiesine kombinacija. Matricu¾ sandauga. 7.4 pibr eµzimas. Matricu¾ ir sandauga apibr eµziama tik tada, kai matricos stulpeliu¾ skaiµcius sutampa su matricos eiluµciu¾ skaiµciumi. Jeigu (a ij ) 2 M mn ir (b ij ) 2 M nr, tai matrica 2 M mr ir 2 b b 2 b m :
() ij nx () is () sj a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj : s 7.5 Pavyzdµziai. ) 2 3 3 4 + 2 3 + 3 ( ) + 2 ( 4) + 3 3 3 : 2) Sandauga 3 4 2 3 neapibr eµzta. 3 3 5 3 2 4 3) 2 4 7 5 6 3 2 3 5 7 4) : 4 7 2 9 34 Matome, kad matricu¾ sandauga ne visada apibr eµzta, o net kai apibr eµzta - ne visada komutatyvi (3),4) pavyzdµziai). Tiesinu¾ lygµciu¾ sistema ¾() galima uµzrašyti ir taip: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Matricu¾ sandaugos savyb es: x x 2 x n S. () () () : S2.( sandaugos asociatyvumas) () () : S3. (distributyvumas) ( + ) + : S4. (distributyvumas) D ( + ) D + D: 7.6 Sandaugos asociatyvumo i¾rodymas. Jeigu lygyb es () () abi pus es yra apbr eµztos, tai 2 M mn ; 2 M nr ; 2 M rs. Tada 2 M mr, () 2 M ms ir 2 M ns, () 2 M ms : Taigi matricos () ir () yra to paµcio dydµzio. Turime b b 2 b m : 3
(() ) ij rx P n u nx v rx () iu () uj u (() iv () vu ) () uj v rp () iv u () vu () uj rx P n u nx P r v nx v () iv () vu () uj v () iv u () iv () vj µia pasinaudojome skaiµciu¾ distributyvumo savybe: rx u v np d uv rx (d u + d u2 + + d un ) u () vu () uj ( ()) ij : (d + d 2 + + d n ) + (d 2 + d 22 + + d 2n ) + + (d r + d r2 + + d rn ) (d + d 2 + + d r ) + (d 2 + d 22 + + d r2 ) + + (d n + d 2n + + d rn ) nx nx rp (d v + d 2v + + d rv ) d uv : I¾rodyta. v v u Paaiškinsime matricu¾ sandaugos veiksmo apibr eµzim a¾ tiesininiu¾ keitiniu¾ kompozicijos veiksmu. Tegu turime du tiesinius kintamu¾ju¾ keitinius: ir y b x + b 2 x 2 + + b n x n y 2 b 2 x + b 22 x 2 + + b 2n x n... y k b k x + b k2 x k + + b kn x n z a y + a 2 y 2 + + a k y k z 2 a 2 y + a 22 y 2 + + a 2k y k... z m a m y + a m2 y 2 + + a mk y k. Uµzrašykime šiuos keitinius matricomis: y x y 2 x 2 ir y k x n 4 z z 2 z m y y 2 y k ;
µcia (a ij ) 2 M mk ir (b ij ) 2 M kn - keitiniu¾ matricos. Tada tiesinio keitinio matrica z c x + c 2 x 2 + + c k x n z 2 c 2 x + c 22 x 2 + + c 2k x n... z m c m x + c m2 x 2 + + c mk x n c c k c m c mk z z 2 z m yra lygi : x x 2 x n x x 2 x n : 7.7 pibr eµzimas. Kvadratin e matrica I n ( ij ) 2 M nn ; ij vadinama n osios eil es vienetine matrica: I n : 7.8 Teiginys. Su visomis matricomis 2 M nm teisingos lygybes: I m I n. Kvadratiniu¾ matricu¾ aib e M n kaip realiu¾ju¾ skaiµciu¾ aib es pl etinys. ; kai i j ; kai i 6 j Kvadratiniu¾matricu¾aib eje M nn M n yra apibr eµztos šios operacijos: matricu¾ suma, matricos sandauga išskaiµciaus ir matricu¾sandauga. Šiu¾operaciju¾atµzvilgiu teisingos V-V8 ; S-S4 savyb es.iš 4.8 teiginio turime, kad teisinga ir dar viena savyb e S5 (vienetin es matricos egzistavimas). I n I n su visomis 2 M n µzinome, kad realiu¾ju¾ skaiµciu¾ aib eje R taip pat yra teisingos V-V8 ; S-S4 savyb es. Ir tai n era atsitiktinumas, nes skaiµciu¾aib es R ir matricu¾aib es f I n 2 M n j 2 Rg yra abipus vienareikšmis(bijektyvus) ryšis( funkcija) apibr eµztas formule 5
f () I n Tikrai, jei f () f (), tai I n I n ir : eto ši funkcija išlaiko operacijas : su visais, 2 R: Tikrai ir f ( + ) f () + f () f ( ) f () f () f ( + ) ( + ) I n I n + I n f () + f () f () () I n ( I n ) ( I n ) ( I n ) f () f () : µziūr edami i¾realiuosius skaiµcius kaip i¾matricas I n, suprantame, kad aib e R yra matricu¾ aib es M n poaibis: R M n : Taµciau R n era paprastas M n poaibis, nes abiejose aib ese yra panašiai apibr eµziamos pagrindin es operacijos. Ši¾panašum a¾ mes išreišk eme apibr eµzdami operacijas išlaikanµci a¾ abipus vienareikšmišk a¾ funkcija¾ f. eto abiejose aib ese teisingos V-V8 ; S-S4 savyb es. Galima sakyti, kad matricu¾ aib e M n paveldi skaiµciu¾ aib es R savybes. et ar visas? Jau µzinome, kad tikrai ne. Juk skaiµciams būdingas sandaugos komutatyvumas: S6.(sandaugos komutatyvumas) Su visais a ir 2 R teisinga negalioja matricu¾aib eje M n : Taigi prapl etus skaiµciu¾aib ¾e R matricu¾aibe M n prarandamas sandaugos komutatyvumas. Ir tai dar ne viskas. Prisiminkime, kad kiekvienas nenulinis aib es R skaiµcius turi atvirkštini¾: 7S.(atvirkštinio elemento egzistavimas)su visais 2 R; 6 egzistuoja atvirkš- tinis skaiµcius:, toks, kad ( ) : tvirkštinio skaiµciaus egzistavimas i¾galina aib eje R apibr eµzti dalybos operacija¾ išnenulinio skaiµciaus, o tuo paµciu ir tiesin es lygties x sprendima, ¾ kai 6 : 6
r matricu¾ aib e M n paveldi ši a¾ savyb ¾e. tsakymas - ne. et yra nemaµzai matricu¾, kurios turi atvirkštines. Išnagrin ekime ši¾ klausima. ¾ 7.9 pibr eµzimas(atvirkštin es matricos apibr eµzimas) Sakome, kad kvadratin e matrica 2 M n turi atvirkštin ¾e matrica, ¾ jeigu egzistuoja tokia kvadratin e matrica 2 M n ; kad I n : Matricos atvirkštin ¾e matrica ¾µzymi : 7. Teiginys (atvirkštin es matricos vienatinumas). Jeigu ir yra matricos atvirkštin es, tai : I¾rodymas.Tegu matricos ir yra matricos atvirkštin es: Tada I¾rodyta. I n ir I n : I n () () I n 7. Teorema( matricu¾ turinµciu¾ atvirkštines poµzymiai) Tegu 2 M n : Visos µzemiau pateiktos salygos ¾ yra ekivalenµcios.. Matrica - neišsigimusi. 2. Homogeniniu¾ tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema X O turi vienint eli¾ sprendini¾. x µia X ir O : x n 3. det 6 : 4. Matrica turi atvirkštin ¾e matric a. ¾ b 5. Su kiekvienu stulpeliu tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema X suderinta. b n Prieši¾rodant ši a¾ teorema¾ be i¾rodymo suformuluosime teigini¾, kuriuo pasinaudosime teoremos i¾rodyme. 7.2 Teiginys. Tegu matricos ir tokios, kad apibr eµzta : Tada 7
rank() rank; rank() rank: 7. Teoremos i¾rodymas. Jau aukšµciau mat eme, kad, 2 (3 paskaitos 3. išvada ) ir, 3 (praeitos paskaitos teiginys). Dabar i¾rodysime teiginius tokia tvarka ) 5 ) 4 ) : ) 5: Turime, kad rank n: Tada Tod el n rank rank(j) n: rank rank(j) n ir pagal Kroneckerio-apellio 3.9 teorema¾ tiesiniu¾ lygµciu¾ sistema X suderinta. I¾rodyta. 5 ) 4: Turime, kad su kiekvienu stulpeliu suderinta. Tegu stulpelis X yra sistemos X sistemos X b b n tiesiniu¾lygµciu¾sistema X sprendinys, stulpelis X 2 - sprendinys ; :::; stulpelis X n - sistemos X sprendinys. Tada kvadratinei matricai Y (X jx 2 j jx n ) teisinga: Y (X jx 2 j jx n ) I n: Parodysime, kad teisinga ir Y I n ; t.y. matrica Y : Turime 8
n ranki n ranky ranky n: Tod el ranky n ir matricai Y, kaip ir matricai ; galioja mūsu¾ teoremos 5 salyga, ¾ iškurios mes turime, kad egzistuoja matrica Z; su kuria Y Z I n : Tada Y Y I n Y Y Z Y I n Z Y Z I n : Irodyta. 4 ) : Tegu matrica turi atvirkštin ¾e: Tada ir I n : rank ranki n n n rank rank n; tod el rank n ir matrica yra neišsigimusi. Irodyta. Teorema i¾rodyta. 7.3 Pratimas. Su kiekviena kvadratine matrica nagrin ekime matrica ¾ ~ n n nn a a n a n a nn ; µcia ij ( ) i+j M ij ; M ij matricos minoras. Skaiµciu¾ ij vadiname adjunktu, o paµci a¾ matrica ¾ ~ - jungtine matricai matrica. Pasinaudoj ¾e adjunktu¾ savybe a i j + a i2 j2 + + a in jn det, jei i j, jei i 6 j ; 9
i¾rodykite, kad det ~. PRIEDS. Matricu¾ transponavimas. a a n 7.4 pibr eµzimas. Tegu..... a m a mn vadiname transponuota matrica. Turime T () ij ji : Matricos transponavimo veiksmas tenkina šias savybes: T. ( + ) T T + T ; kai ; 2 M mn : T2. () T T ; su visais : T3. () T T T ; kai 2 M mr ; 2 M rn : T4. T T : Kaip pavyzdi¾ i¾rodysime T3 savyb ¾e. : Matrica¾ T a a m..... a n a mn rx u () T ij () ji T uj T iu rx u rx () ju () ui u T iu T uj T T ij : I¾rodyta. Matricu¾, turinµciu¾ atvirkštines, savyb es 7.5 Teiginys. Tegu ; 2 M n matricos, turinµcios atvirkštines. Tada:. matrica, turinti atvirkštin ¾e, ir () : 2. matrica, turinti atvirkštin ¾e, ir ( ) : 3. Matrica I n turi atvirkštin ¾e. 4. Matrica T turi atvirkštin ¾e: T ( ) T : I¾rodymas.. () ( ) ( ) I n I n ir ( ) () ( ) I n I n : 2 ir 3. akivaizdu.
4. T ( ) T ( ) T I T n I n ir ( ) T T ( ) T I T n I n : I¾rodyta. lgebrin es struktūros: vektorin e erdv e, kūnas 7.6 pibr eµzimas. Matematiniu¾ objektu¾ aib e V, kurioje apibr eµzta sud etis ir daugyba iš skaiµciaus, priklausanµcio R; ir šie veiksmai tenkina savybes V V 8 ; vadinama vektorine erdve virš R: Turime, kad matricu¾ aib e M mn yra vektorin e erdv e virš R: Tuo atveju, kai m ; sakome, kad turime eiluµciu¾ vektorin¾e erdv¾e M n R n ( vadiname aritmetine eiluµciu¾vektorine erdve), o kai n ; sakome, kad turime stulpeliu¾vektorin¾e erdv¾e M m R m ( vadiname aritmetine stulpeliu¾ vektorine erdve). 7.7 pibr eµzimas. Matematiniu¾ objektu¾ aib e, kurioje apibr eµzta sud etis ir daugyba, ir šie veiksmai tenkina savybes analogiškos savyb ems V V 4 ir S2-S7 vadinama kūnu. µzinime du kūno pavyzdµzius: realiu¾j u¾ skaiµciu¾ kūna¾ R ir racionaliu¾j u¾ skaiµciu¾ kūna¾ Q: tkreipkime d emesi¾ i¾ tai, kad sveiku¾ju¾ skaiµciu¾ aib e Z n era kūnas, nes joje neišpildyta savyb e S7. Diagonaliosios, trikamp es ir simetrin es matricos. 7.8 pibr eµzimas. Kvadratin e matrica D vadinama diagonalia matrica. d d 2 d n Diagonali matrica yra neišsigimusi tada ir tik tada, kada visi i¾striµzain eje esantys skaiµciai nelygūs nuliui: d i 6 : Tokios matricos atvirkštin e yra lygi: D d d 2 d n :
Nesud etingai yra skaiµciuojamas diagonalios matricos laipsnis: d k D k d k 2 : d k n 7.9 pibr eµzimas. Kvadartin e matrica, kurios elementai () ij ; kai i < j, vadinama viršutine trikampe matrica, o kurios elementai () ij ; kai i > j, vadinama apatine trikampe matrica. 7.2 Pavyzdys. a a 2 a 3 a 4 a 22 a 23 a 24 a 33 a 34 a 44 viršutin e trikamp e matrica a a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 4 a 42 a 43 a 44 apatin e trikamp e matrica 7.2 Teorema. () Jei yra viršutin e trikamp e matrica, tai T - apatin e trikamp e matrica ir atvirkšµciai: jei yra apatin e trikamp e matrica, tai T - viršutin e trikamp e matrica. (2) Jei ir yra apatin es trikamp es matricos, tai ir yra apatin e trikamp e matrica. Jei ir yra viršutin es trikamp es matricos, tai ir yra viršutin e trikamp e matrica. (3) Jei yra neišsigimusi apatin e trikamp e matrica, tai yra apatin e trikamp e matrica. Jei yra neišsigimusi viršutin e trikamp e matrica, tai yra viršutin e trikamp e matrica. I¾rodym a¾ paliekame skaitytojui. 7.22 Pavyzdµziai. Nagrin ekime viršutines trikampes matricas 3 2 4 3 5 4 2 6 7 Tada 2
3 2 5 4 6 3 2 5 4 6 4 3 2 7 3 5 5 4 5 38 42 5 6 2 5 7.23 pibr eµzimas. Kvadratin e matrica, kurioje () ij () ji ; vadinama simetrine matrica. 4.24 Pavyzdys. 8 6 6 5 3 3 2 5 5 3 4 4 2 d d 2 d 3 d 4 7.25 Teorema. Tegu, yra tos paµcios eil es simetrin es matricos, o 2 R:Tada () T simetrin e matrica. (2) + ir - yra simetrin es matricos (3) yra simetrin e matrica. (4) simetrin e matrica tada ir tik tada, kai. (5) Jei yra neišsigimusi, tai yra simetrin e matrica. 7.26 Pavyzdys. Nekomutatyviu¾ simetriniu¾ matricu¾ sandauga n era simetrin e matrica 2 4 2 2 3 5 2 4 2 2 5 : 2 3 2 Komutatyviu¾ simetriniu¾ matricu¾ sandauga yra simetrin e matrica 2 2 7 6 2 7 2 6 2 7 2 6 : 7 2 2 6 3
7.27 Išvada. Tos paµcios eil es simetrin es matricos sudaro vektorin ¾e erdv ¾e virš R. Pasteb ekime, kad su visomis matricomis( nebūtinai kvadratin emis) matricos T ir T yra simetrin es matricos: 5 4 2 7 3 4 6 2 3 2 3 2 5 7 4 3 4 6 2 3 2 5 7 4 3 4 6 5 4 2 7 3 4 6 2 3 42 37 7 37 53 34 7 34 6 7 7 4 8 25 6 25 99 6 53 : 7.28 Teorema: Jei yra neišsigimusi matrica, tai T ir T yra taip pat neišsigimusi matrica. I¾rodymas paliekamas skaitytojui. 4