PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 9 m. liepos d. įsakymu Nr. (..)-V-9 9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija I dalis Užd. Nr. 4 5 6 8 9 Ats. B D A C B C C D B D 65 Eur (arba 65). 5 Eur (arba 5). II dalis 4,5 (arba 4, arba 9 ). 4. 4 (arba 4). 4.. 5. (arba 6!). 5. 4. 6 x (;5 ) (arba x 5, arba (,5)). lg (arba log log a log 5 log a log log 5 ). a, arba, kai log log a, arba a log5 a >, a, arba, arba log 5 8 (; ) 9. 5. 9. 6. a (arba a, arba a > ). Nacionalinis egzaminų centras, 9 m.
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija III dalis Pastaba. III dalyje pateiktas atsakymas be sprendimo vertinamas taškų. Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas. 5 Už teisingą f 5sin cos 6. Ats.:.. f ( x) 5sin x cos(x) 5sin x cos x sin x, Už teisingą cos(x) formulės pritaikymą. arba f ( x) 5sin x cos(x) arba 5sin x sin 5sin x sin 5sin x sin x, x sin x x sin x(sin x,5), 5sin x sin x sin x(sin x,5). Už gautą teisingą sandaugą. Pastabos Atvirkštinis įrodymo būdas. cos x sin x(sin x,5) sin x 5sin x 5sin x cos x 5sin x. Už šį sprendimą skiriami taškai. Suvedant į lygtį. Sudarome lygtį ir keliame klausimą, kokiems x ji galioja. cosx 5sin x sin x(sin x,5), cos x 5sin x sin x 5sin x, cos x sin x,. Paskutinė, todėl ir pirma, lygtys galioja visiems realiems skaičiams. Už šį sprendimą skiriami taškai.. sin x(sin x,5), Po tašką už sin x arba sin x,5, kiekvieną teisingai x 8 k, ( k ), sin x,5, išspręstą lygtį. (arba x πk, ( k Z)), Sprendinių nėra. x 8 ; ;8. (arba x π; ; π). Už teisingą Ats.: x 8; ; 8 (arba x πk, k ; ;, arba x π; ; π). Pastaba k Jei vietoje x πk parašyta x ( ) πk, už šį atsakymą skiriamas pirmasis taškas. iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija.4 f ( x) 5sin( x) cos( x) Už teisingą 5sin x cos( x) f ( x), funkcija yra nei f ( x) (5sin x cos( x) ) f ( x), lyginė, nei nelyginė. arba f ( x) sin( x)(sin( x),5) sin x( sin x,5) sin x(sin x,5) f ( x). f ( x) (sin x( sin x,5)) f ( x). Todėl funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė. iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas. x x 6, Už teisingai D 5, 5 x, (netenkina sąlygos). pasirinktą sprendimo būdą (teisingai sudarytą lygtį). Už gautą teisingą Ats.: x.. f ( x) x. Už teisingą Ats.: x.. f ( xa) tg5, Už teisingą xa, x. xa, y f() 6 6. Už teisingą y 6..4 I būdas Už pasirinktą k tg 5, todėl teisingą sprendimo y x b, būdą. A (; 6), Už gautą teisingą 6 b, b. Ats.: y x. II būdas Už pasirinktą y f ( ) f ()( x ). teisingą sprendimo būdą. y 6 ( )( x ). Už gautą teisingą y x. Ats.: y x. 4 iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija.5 4 I būdas S OBC OB OC ( 6) S x x dx x x 6x,5, 4,5,5 Ats.:. II būdas Sfigūros. 49 4,5, S ( x ) dx ( x x 6) dx x x 4,5,5. Ats.:. x x 6x Už teisingai apskaičiuotą trikampio OBC plotą. Už teisingą figūros, apribotos parabole ir x ;, ašimis, kai ploto išreiškimą apibrėžtiniu integralu. Už teisingą pirmykštę funkciją. Už gautą teisingą Po vieną tašką už teisingą figūrų, apribotų parabole ir tiese, plotų išreiškimą apibrėžtiniais integralais. Už teisingą pirmykštę funkciją. Už gautą teisingą 5 iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija III būdas (( x ) ( x x 6)) dx ( x ) dx ( x x ) dx ( x ) dx x x x x x 49 9 9 49. Ats.:. Pastaba Sprendimas S ( x ( x x 6)) dx x x vertinamas taškais. x dx x Po vieną tašką už teisingą figūrų, apribotų parabole ir tiese, plotų išreiškimą apibrėžtiniais integralais. Už teisingą pirmykštę funkciją. Už gautą teisingą x Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas Už teisingai apskaičiuotą prizmės pagrindo plotą. V S pagrindo H, 8 S, S ABC 4, ABC a 4 (arba sin 6 4 4 aa ), Už sudarytą teisingą lygtį prizmės pagrindo kraštinės ilgiui apskaičiuoti. a 6, Už gautą teisingą a 4. Ats.: 4. Pastaba Tegul AC x, tada Spagrindo,5x (pirmas taškas už apskaičiuotą pagrindo plotą), x 8 (antras taškas už teisingai sudarytą lygtį), x = 4 (trečias taškas už teisingai 4 išspręstą lygtį). 6 iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas. Už teisingą AB h. Ats.: AB h.. Pagal kosinusų teoremą: Už teisingai 5 pasirinktą sprendimo h h hh cos5, būdą (pvz., pritaikytą kosinusų teoremą). 5 h, Už gautą teisingą h 5 (arba h 55 ). Ats.: 5 (arba 55 ). iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas 4 5 4. B C Už teisingą b N A M D a BM BA AM a b. Ats.: a b. 4. I būdas Už teisingą BC BN ANM ~ CNB (pagal du kampus), tai, AM NM BN : NM :. BN BM a b. Ats.: a b. II būdas Nubrėžkime atkarpą BD. Taškas N yra ABD BN pusiaukraštinių susikirtimo taškas, todėl. NM BN BM a b. Už gautą teisingą Už teisingą BN : NM :. Už gautą teisingą Ats.: a b. 4.. B C Už teisingą N vektoriai kolinearūs. A M D K I būdas BK BN NK BK NK 4 NK BK NK BK. 4 II būdas BK 4BN taškai B, K ir N yra vienoje tiesėje BK NK. Arba BK 4BN NK ir BK yra vienoje tiesėje NK BK. Už teisingą vektoriai kolinearūs. 8 iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 4.. Už gautą teisingą NK BK NK BK 8 6. 4 4 4 Arba BK 4BN BN : NK : NK BK 6. 4 Ats.: 6. Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas 5 4 b a a b b 5, Už teisingai sudarytą a a lygtį. (arba b 5 ), b4 9 a Už teisingai, pritaikytą a b4 geometrinės 9 9 a, a 9 ( a)(9 a) 8, 9a a 9 a 8, a a a 8 5, 8a 5, a arba a 6 (netenkina sąlygos). Ats.: a, b 5. progresijos apibrėžtį. Už gautą teisingą kvadratinę lygtį. Už gautą teisingą Pastabos b a a b, b 4 9 a Už pirmąją lygtį pirmas taškas. Už antrąją lygtį antras taškas.. a b 4 b 5, Už ekvivalentų pertvarkymą iki trečias taškas. Už teisingą atsakymą a 8a 5, a, b 5 ketvirtas taškas. a a, Už lygčių sistemą a d b, skiriamas pirmas taškas. Jis skiriamas tik už tokią a d a lygčių sistemą, t. y. būtina, kad kairioji pusė būtų užrašyta tik per du naujus nežinomuosius: a ir. d b a, Už lygčių sistemą bq b 4, skiriamas antras taškas. Būtina, kad papildomų naujų nežinomųjų b q 9 a būtų tik du, t. y. b ir q. Už teisingą a ir b apskaičiavimą skiriami trečias ir ketvirtas taškai. 9 iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Užd. Sprendimas ir atsakymas Taškai Vertinimas 6 5 Skaičius ab c yra lyginis, kai: įvykis A sandauga ab yra nelyginė ir skaičius c nelyginis (t. y. a, b ir c visi nelyginiai skaičiai); įvykis B sandauga ab yra lyginė ir skaičius c lyginis (t. y. bent vienas iš skaičių a ir b lyginis taip pat c lyginis skaičius). Tikimybė, kad a, b ir c visi nelyginiai skaičiai, yra 5 5 P ( A) (arba P ( A) ). 99 999 Įvykis C bent vienas iš skaičių a ir b lyginis, 5 P( C ) P(C) 99 arba 49 5 49 P ( C) 99 99 99 5 98 49 4 98 98 49 49 P ( B) P( C) 99 98 99 todėl tikimybė, kad 5 549 4849. 999 999 999 549 999, 98, 98 ab c yra lyginis skaičius, yra:, Už teisingai išvardytą bent vieną atvejį, kada skaičius ab c yra lyginis. Už teisingai apskaičiuotą įvykio A tikimybę. Už teisingai apskaičiuotą tikimybę, kad bent vienas iš skaičių a ir b yra lyginis. Už teisingai apskaičiuotą įvykio B tikimybę. Už gautą teisingą Ats.: 4849. 999 Pastabos Pažymėkime įvykius: al pirmojo ištraukto rutulio numeris yra lyginis, an pirmojo ištraukto rutulio numeris yra nelyginis, analogiškai bl ir bn antrojo rutulio numeriai yra lyginis ir nelyginis, cl ir cn trečiojo rutulio numeriai yra lyginis ir nelyginis. Tada P(L skaičius ab + c yra lyginis) P(anbncn albncl alblcl anblcl) P(anbncn) + + P(albncl) + P(alblcl) + P( anblcl), nes šie įvykiai yra poromis nesutaikomi. P(L) P(an )P(bn )P(cn) + P(al )P(bn )P(cl ) + P(al )P(bl )P(cl ) + P(an)P(bl )P(cl ), nes rutulių traukimas yra nepriklausomas vienas nuo kito. 5 5 5 49 5 49 49 49 49 5 49 49 4849 P(L). 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 999 Taškas skiriamas už bent vieną palankų atvejį: anbncn, albncl, alblcl arba anblcl. Pirmas taškas skiriamas už išvardytą bent vieną atvejį, kai skaičius ab c yra lyginis, t. y. anbncn, albncl, alblcl arba anblcl.. Už bent vieną iš keturių šių atvejų teisingai apskaičiuotų tikimybių skiriamas antras taškas, už visas keturias teisingai apskaičiuotas tikimybes skiriamas trečias taškas, už teisingą sumą, t. y. P(L) ketvirtas taškas, o už įvykio L apibrėžimą penktas taškas. 5 5 5 49 5 49 49 49 49 5 49 49 4849 Trumpiau: už P(L) skiriami 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 99 999 4 taškai. Už L apibrėžimą skiriamas dar vienas taškas, taigi iš viso 5 taškai. Sprendimas, remiantis klasikiniu tikimybės apibrėžimu. iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Visų bandymo baigčių skaičius n 999999 99 999. Už šį skaičių skiriamas pirmas taškas. (a, b, c) Įvykiui palankių baigčių skaičius (N, N, N) 5 55 5, (N, L, L ) 5 4949 5, (L, N, L ) 49 549 5, (L, L, L ) 49 49 49 649. Už bent vieną teisingą iš šių keturių skaičių skiriamas antras taškas, už visus keturis teisingai išvardytus ir apskaičiuotus skaičius skiriamas trečias taškas. Įvykiui L (suma ab + c yra lyginė) palankių baigčių skaičius m 5 549 49 4849. m 4849 Įvykio L tikimybė P(L). n 999 Už teisingą tikimybę P(L) skiriamas ketvirtas taškas. Už L apibrėžimą skiriamas penktas taškas. iš
9 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija iš