2.3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.1. Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją y = x, x > 0, taško x = 1 aplinkoje. Pradžiai pakeiskime kintamuosius x= 1+ h. Gausime fu

Transkriptas

1 .3. FUNKCIJOS TOLYDUMAS 3.. Pvyzdys. Ngriėime fuciją y =, > 0, tšo = plioje. Prdžii peisime itmuosius = + h. Gusime fuciją y = + h, h>. Iešoime toios pirmojo lipsio fucijos y = + h, uri būtų didesė už vdrtię šį. Koioms reišmėms teisig elygybė + h + h, h, h>? (3.) Pelime (3.) elygybę vdrtu + h + h+ h, (3.) h( ) h. Jei =, ti troji (3.) elygybė bus visd teisig. Glime pršyti tois elygybes + h + h, h 0, (3.3) lim + h =. h 0 Ki h < 0, ti fuciją y = + h, h> vertiti iš pčios reii itip. Tiėti, d bus teisig toi elygybė + h + h, + h+ h + h, (3.4) h+ h 0, h( + h) 0, < h< 0. Dugilii iriojoje psutiės (3.4) elygybės pusėje yr priešigų želų. Todėl ji teisig. Iš či gume, d + h + h + h, < h< 0, (3.5) lim + h =. h 0 Gvome, d fucijos y = + h ribos iš irės ir dešiės tše h = 0 yr lygios. Tigi ir bedr rib lim + h =. Jei pimsime bet oį tšą >, 0, ti glime h 0 tip pertvryti fuciją = + = + = +. (3.6) Jei pžymėsime h =, ti mtome, d h 0, i. Vdisi, lim = lim + = lim + =. (3.7) Reiėtų dr psičuoti ribą lim. Neglime tiyti pertvrymų (3.6), es = 0. 0 Todėl ribą sičiuosime pgl pibrėžimą, t.y. spręsime elygybę 0 < < ε, 0 < < ε. Mtome, d glime pimti δ = ε. Tigi lim = 0. Vdisi, įrodėme, d 0

2 lim =,, 0. (3.8) 3.. Apibrėžims Fuciją f, pibrėžtą ibėje AA,!, vdisime tolydži tše, A, jei lim f( ) = f( ) ; tolydži ibėje A, jei ji tolydi ievieme ibės A tše. Sąryšis (3.8) reiši, d vdrtiė šis yr tolydi itervle [0; + ). Kvdrtiės šies tolydumą glim įrodyti ir pprsčiu. ( )( + ) = + = + i (3.9) = < ε..5 Jei pimsime δ =.5 ε, ti < δ, > 0 < ε. (3.0) 3.3. Pstb. Prisimiime seos či y = + ribos sičivimą. Glim ršyti y = + = + =, (3.) = + yr poseis žiomos seos z = +, uri overguoj į e. lim y = lim + = lim + = lim (3.) = lim + = lim = e = e. Mes pstrosiose lygybėse udojmės vdrtiės šies tolydumu ir pgridie fucijos ribų teorem (rb sudėtiės fucijos rib). Jei eorime rb eglime udotis fucijos tolydumu (jo tuo metu dr eturėjome), ti reii gudruti + + = +. (3.3)

3 Dbr ju glim pereiti prie ribos (pirm įsitiius, d ribos egzistuoj). Išrišoje (3.) reii ti vieos seos + ribos egzistvimo, o (3.3) biejų Užduotis. ) Įrodyite fucijų y =, y =, = 4,5,... tolydumą. b) Apsičiuoite sirtigis būdis ribą i y = +, " Pvyzdys. Ngriėime fuciją y =, 0. Žiome, d lim =,lim = Ki bet vie viepusė rib yr begliė, ti liome, d fucij yr etolydi tme tše Pvyzdys. y = si, 0. Ngriėime rgumetų ses { }, > 0,lim = 0 ir titims fucijos reišmių ses = π, y = si = si π = 0, lim y = 0. π π = π + π, y = si = si π + = si =. π π Pėmę bet oį,, glime rsti toį ( ), ( ), d si ( ) =. Td =, y = si = si( π + ( )) = si ( ) =. π + ( ) Tigi fucijos rib, i 0 būdms teigims, eegzistuoj. Aišu, fucij ėr tolydi tše = Apibrėžims. Jei fucijos f bet vie viepusė rib (t.y. rib iš irės r iš dešiės) tše yr begliė r išvis eegzistuoj, ti some, d fucij f tše turi tros rūšies trūį. Tigi bi fucijos iš pvyzdžių 3.5 ir 3.6 tše = 0 turi tros rūšies trūį Pvyzdys. Fucij y =. Užršyime fucijos lizię išrišą < 0, =, = + ; 0 <, = 0, = ; <, =, = ;... < +, =, =. Apsičiuoime ribs iš irės ir dešiės tšuose =,!, (3.4) 3

4 lim( ) = lim( ) = ( ) =, lim( ) = lim( ) = = 0. Mtome, d sveiuose sičiuose egzistuoj fucijos ribos iš irės ir dešiės, bet jos ėr lygios Apibrėžims. Jei fucij tše turi elygis bigties ribs iš irės ir dešiės, ti some, d fucij turi pirmos rūšies trūį tme tše. Fuciją vdime tolydži iš dešiės, jei lim f( ) = f( ), tolydži iš irės, jei lim f( ) = f( ). Mes esme sutię dvi lbi svrbis fucijs y = ir y =. Pgriėime pirmąją.!, < + =. (3.5) lim = lim = lim ( ) =, (3.6),, < < lim = lim = lim =. (3.7),, < < < + Iš ( ) mtome, d fucij y = tolydi iš dešiės Užduotis. Įrodyite, d fucij y = tolydi iš irės. 3.. Teigiys (Aritmetiės tolydžių fucijų svybės). Jei f, g: A! tolydžios tše, ti f ± g tolydi tše, f g tolydi tše, f tolydi tše, jei ( ) 0 g g. Įrodyms. Ti tiesiogiė logišų fucijų ribų svybių išvd. lim( f( ) + g( )) = lim f( ) + lim g( ) (ribų svybė) = f( ) + g( ). (fucijų tolydums) Tip pt įrodomos ir itos svybės. 3.. Teigiys (Sudėtiės fucijos tolydums). Syime, fucij f :!! ( y = f( )) tolydi tše, b= f( ), fucij g :!! ( z = g( y)) tolydi tše b. Td sudėtiė fucij z = g( f( )) tolydi tše. Įrodyms. Ti tip pt tiesiogiė sudėtiės fucijos ribos išvd. Tčiu įrodymą pteisiu. Syime, c= g( b) = g( f( )). Reii įrodyti, d lim g( f( )) = c. (3.8) εε, > 0, δδ, > 0, y b < δ g( y) c < ε, (3.9) δ, η, η > 0, < η f( ) b < δ. (3.0) εε, > 0, ηη, > 0, < η g( f( )) c < ε. Psutiioji eilutė reiši (3.8). 4

5 3.3. Trigoometriių fucijų tolydums. Jei liysime, d trigoometriės fucijos yr geri pibrėžtos, ti iš elygybės (.5) ir elemetrių trigoometriių fucijų svybių gume + si si = si cos (3.) si = si. Ši elygybė reiši fucijos y = si tolydumą. Alogiši įrodyite osiuso tolydumą (prtims mie). Iš teigiio 3. išplui tgeto ir otgeto tolydums tuose tšuose, ur fucijos pibrėžtos (vrdilis elygus uliui) Elemetriosios fucijos. Teigiii 3., 3. leidži ostruoti ujs tolydžiąsis fucijs iš turimų. Vie pprsčiusių tolydžių fucijų yr y =. Td iš teigiio 3. išplui, d polioms p ( ) =,!, yr tolydi fucij visoje reliojoje tiesėje. Rciolioji fucij (dviejų poliomų styis) p ( ) f( ) = yr tolydi visoje tiesėje, išsyrus tuos tšus, ur vrdilis q ( ) = 0. q ( ) Kvdrtiės šies tolydums ir teigiys 3. leidži teigti, d fucij f( ) = p( ), či p polioms, yr tolydi ibėje A= {!, p( ) 0}. Kip ti ą įrodėme, trigoometriės fucijos ir įvirios jų ombicijos yr tolydžios fucijos. Kd espoetiė fucij yr tolydi, įrodysime sečime syrelyje. Lipsiės, rodiliės, trigoometriės, jų tvirštiės fucijos ir fucijos, urios gumos iš miėtų bigtiiu sičiumi ritmetiių opercijų rb sudrt sudėties fucijs vdimos elemetriosiomis. Elemetriųjų fucijų sąvo ėr visiši griežt. Syrelyje.4 pmtysime, d elemetriosios rodiliės fucijos pibrėžims yr visiši eelemetrus. = 0 5