-as kontrolinis darbas (KD-) Kompleksiniai skaičiai. Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su kompleksinio skaičiais. 2. Kompleksinio skaičiaus geometrinis vaizdavimas. Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas.. 3. Veiksmai su skaičiais duotais trigonometrine forma. Skaičių sandauga santykis kėlimas laipsniu šaknies traukimas. 4. Kompleksinio skaičiaus rodiklinė forma. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais duotais rodikline forma. ) atlikti veiksmus su kompleksiniais skaičiais duotais algebrine forma. 2) atlikti veiksmus su kompleksiniais skaičiais duotais trigonometrine forma 3) atlikti veiksmus su kompleksiniais skaičiais duotais rodikline forma 4) pervesti kompleksinius skaičius iš vienos formos į kitą. 5) pavaizduoti kompleksinį skaičių plokštumoje.. Kokį skaičių vadiname kompleksiniu? Kas žymima simboliu i? 2. Koks kompl. skaičius vadinama grynai menamu? 3. Kokie kompl. skaičiai vadinami lygiais? Jungtiniais? 4. Apibrėžkite veikmus su kompleksiniais skaičiais duotais algebrine forma. 5. Kaip vaiduojami plokštumoje kompl. skaičiai? 6. Kas yra kompl. skaičiaus modulis ir argumantas? Kaip jie randami? 7. Kokia yra kompl. skaičiaus rtrigonometrinė forma. Kaip randama trigonometrinė forma jei žimone algebrinę ir atvirkščiai? 8. Apibrėžkite veikmus su kompleksiniais skaičiais duotais trigonometrine forma. 9. Kaip gaunama kompl. skaiąiaus rodiklinė forma? 0. Apibrėžkite veikmus su kompleksiniais skaičiais duotais rodikline forma.. Kaip gaunama algebrinė forma žinant rodiklinę kompl. skaičiaus formą? Matricos. Determinantai. Tiesinių lygčių sistemos.. Matricos. Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su matricomis. Matricų daugyba. 2.2-os ir 3-os eilės determinantai Apibrėžimai skaičiavimas 3. N-os eilės determinantas. Adjunktai jų apibrėžimai ir skaičiavimas. N-os eilės determinanto apibrėžimas 4. Determinantų savybės. 5. Tiesinių lygčių sistemos ( TLS ). Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. TLS užrašymas matricų pagalba. 6. Elementarūs TLS pertvarkymai. Ekvivalenčios TLS. 7. Kramerio metodas TLS spręsti. Sąlygos formulės sprendinių skaičius. 8. Gauso metodas TLS spręsti. Trikampio ir trapecijos pavidalo TLS jos sprendimas. Sprendinių skaičius.. 9. Homogeninių tiesinių lygčių sistemos. Sistemų suderinamumas sprendinių skaičius. ) atlikti veiksmus su matricomis 2) skaičiuoti 2-os ir 3-os eilės determinantus 3) skaičiuoti determinantus remiantis jų savybėmis 4) atlikti elementarius TLS pertvarkymus 5) spręsti TLS Kramerio ir Gauso metodai. Kas yra matrica jos matavimai?
2. Kokių tipų būna matricos? 3. Kokie yra tiesiniai matricų veiksmai? 4. Kaip dauginamos matricos? 5. Ką vadiname 2-os determinantu ir kaip jį apskaičiuoti? 6. Ką vadiname 3-os eilės determinantu kaip jį apskaičiuoti? 7. Ką vadiname matricos adjunktu kaip jį rasti? 8. Kaip skleisti n-tos eilės determinantą eilute arba stulpeliu? 9. Išvardinkite determinantų savybes 0. Kokias lygtis vadiname tiesinėmis kas yra jų sprendiniai?. Ką vadiname tiesinių lygčių sistemomis (TSL)? Kaip apibrėžiami jų sprendiniai? 2. Užrašykite kurią nors TSL matriciniu pavidalu. 3. Į kokius tipus skirstomos TSL pagal sprendinių skaičių? 4. Kokie yra elementarūs TSL pertvarkymai? 5. Kokios yra Kramerio formulės TSL spręsti? 6. Kokiai TSL spręsti yra naudojamos Kramerio formulės? Kiek gauname sprendinių? 7. Kokia sistema vadinama trikampio pavidalo? 8. Kokia sistema vadinama trapecijos pavidalo? 9. Kada yra taikomas Gauso metodas TSL spręsti? Kada TSL turi tik vieną sprendinį daug ir nė vieno? 20. Kokią sistemą vadiname tiesinių homogeninių lygčių sistema (THSL)? 2. Kada THSL turi ir netrivialių sprendinių? Tiesiniai veiksmai su vektoriais. Vektorių sandaugos. Vektoriai Pagrindinės sąvokos apibrėžimai veiksmai: suma skirtumas daugyba iš skaičiaus. 2. Vektorių koordinatės Vektorių projekcijos. Vektorių skaidymas baziniais vektoriais. Vektoriaus koordinatės kai žinomos pradžios ir galo taškų koordinatės. 3. Veiksmai su vektoriais kai žinomos jų koordinatės. Vektorių suma skirtumas daugyba iš skaičiaus. Vektoriaus ilgis. 2. Vektorių skaliarinė sandauga. Skaliarinės sandaugos apibrėžimas savybės skaičiavimas. Kampas tarp vektorių. Vektorių statmenumas. 3. Vektorių vektorinė sandauga. Vektorinės sandaugos apibrėžimas savybės skaičiavimas. Vektorių kolinearumo sąlyga. 4. Vektorių mišrioji sandauga jos geometrinė prasmė. Mišriosios sandaugos apibrėžimas savybės skaičiavimas. Vektorių komplanarumo sąlyga. 5. Vektorių statmenumo kolinearumo komplanarumo apibrėžimai ir sąlygos. ) rasti vektoriaus koordinates apskaičiuoti jo ilgį. 2) atlikti veiksmus su vektoriais kai žinomos jų koordinatės. 3) skaičiuoti vektorių skaliarinę vektorinę mišriąją sandaugas ir mokėti jas taikyti 4) patikrinti vektorių statmenumą kolinearumą komplanarumą naudoti šias sąlygas uždaviniuose. 5) rasti kampą tarp vektorių.. Kokie dydžiai vadinami skaliariniais vektoriniais? 2. Kas yra vektorius jo ilgis? Koks vektorius vadinamas vienetiniu nuliniu? 3. Kokie vektoriai vadinami lygiais kolineariais komplanariais? 4. Geometriniai veiksmai su vektoriais: suma skirtumas daugyba iš skaičiaus. 5. Ką vadiname vektoriaus projekcija ašyje? 6. Kokie vektoriai vadinami ortais? 7. Ką vadiname baze plokštumoje erdvėje? 8. Kokia vektorių bazė plokštumoje erdvėje vadinama ortonormuota? 9. Kaip skaidomas vektorius baziniais vektoriais? 2
0. Ką vadiname vektoriaus koordinatėmis?. Kaip randamos vektoriaus koordinatės jei žinomi jo pradžios ir galo taškų koordinatės? 2. Kam lygus vektoriaus ilgis jei žinomos jo koordinatės? 3. Kokie yra tiesiniai veiksmai su vektoriais kai žinomos vektorių koordinatėmis? 4. Kas yra vektorių skaliarinė sandauga? 5. Kada skaliarinė sandauga lygi nuliui? teigiama? neigiama? 6. Kokia yra vektorių statmenumo sąlyga? 7. Išvardinkite skaliarinės sandaugos savybes. 8. Kaip skaičiuojama skaliarinė sandauga kai žinomos vektorių koordinatėmis? 9. Kaip rasti kampą tarp vektorių? 20. Kas yra vektorių vektorinė sandauga? 2. Kokia yra vektorių kolinearumo sąlyga? 22. Išvardinkite vektorinės sandaugos savybes. 23. Kaip skaičiuojama vektorinė sandauga kai žinomos vektorių koordinatėmis? 24. Kas yra vektorių mišrioji sandauga? 25. Kokia yra vektorių komplanarumo sąlyga? 26. Išvardinkite mišriosios sandaugos savybes. 27. Kokia yra geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė? 28. Kaip skaičiuojama mišrioji sandauga kai žinomos vektorių koordinatėmis 29. Apibrėžkite vektorių kolinearumą komplanarumą nustatykite vektorių statmenumo kolinearumo komplanarumo sąlygas -o atsiskaitymo uždavinių pavyzdžiai. Išspręsti sistemą Gauso metodu x+ 3z = 2; 2x z = 4; x+ 2 = ; x ) 3x+ 4 2z = ; 2) 2x+ 5 ; 3) 4) 3x =. x 2. x+ 3 z = 2 3x+ 4 3z = 0.. Raskite vektoriaus koordinates ir ilgį jei a) A(.-20) B(-250) b) A(-508) B(-) c) K(0-3) B(05-2). 2. Patikrinkite ar vektoriai kolinearūs: a) a r = ( 25 ) ir b = 6i 2 j+ 3k b) c = 5i 0 j+ k ir d = 0i 20 j+ c) a= 2i 5k ir b r = (460). 3. Patikrinkite ar vektoriai statmeni: a) a r = ( 43) ir b r = ( 0 34) b) a= 2i 5k ir b r = ( 42) c) a r = i ir b = 2 j + 4k. 4. Patikrinkite ar vektoriai komplanarūs; a) a r = ( 3 30) b r = (00 ) c v = (00 ) r b) a= i + j k b = 2i + 2 j c = 3i +. r 6. Rasti ab r kai a) a r π = 5 b = 3 α = 6 3x+ 4 2z = x = 5x+ 0 0. b) a r = 2 b = 6 α = 45 0. 7. Rasti a b kai a) a r = ( 2 3) b = 3i + 5 j 3
r b) a= 2i + k b = i k. 8. Trikampio viršūnės yra taškuose A(2;6;0) B(-6;) C(-3;;0). Rasti jo perimetrą. 9. Keturkampio viršūnės A(-534) B(--75) C(6-5-3) D(25-4). Įrodyti kad jis yra trapecija. 0. a r = ( ;3;2 ) b r = (3; ). Rasti a b. r. a= 3i j+ b = 3i + 4k. Apskaičiuoti ( 3a+ b)( a 2b). r 2. a = 2 b = 3 c = 4 a π b ( a r c ) = 6 π ( b c r ) = 4. r v v r Rasti ( a 3b )(2a+ c). r 3. Duoti vektoriai a= ( 2; ;0) b = (4;;) c = ( 3; 2). Rasti koordinates vektorių a) 2a + b r b) a 3b + 4c. r v r 5. Raskite vektoriaus 3 a+ 2b ilgį kai a= j+ b = 4i + j+ 3k. 6. Raskite vektoriaus b r kolinearaus vektoriui a r = (062) koordinates kai b r = 0 7. Su kuriomis α ir β reikšmėmis vektoriai a r = ( α 25) ir b r = ( ; β ; 4) kolinearūs? 8. Su kuria α reikšme vektoriai a= 2 i + α j+ 4k ir b = 3 i + 2 j+αk yra statmeni? 9. Su kuria α reikšme vektoriai a= 2 i + α j+ 4k b = 3 i + 2 j+αk ir c r = ( ; 2) yra komplanarūs? 20. Duoti vektoriai a r = (;3 ) ir b r = ( 2;4; ). Raskite a) jų sudaromo lygiagretainio plotą. b) aukštinę 2. Trikampio viršūnės yra taškuose A(3;-2;) B(3;2) C(;2;5). Raskite a) kampo A didumą b) trikampio plotą. 22. Patikrinkite ar taškai A(5;-;-) B(4;2;2) C(53) D(805) yra vienoje plokštumoje. 23. Duoti 4-i taškai A(5;-2) B(-;) C(2;;) D(2;-2;0). Tai yra gretasienio viršūnės nesančios vienoje plokštumoje. a) apskaičiuokite šio gretasienio tūrį. b) raskite gretasienio aukštinę. 4. Atlikite veiksmus su kompleksiniais skaičiais iaskite realiąsias ir menamas komponentes: (+ i)( 2i) 3 6i+ ) (+ i) ; 2) i+ ; 3+ i 7i 5. Išspręskite lygtis: 2 ) z 2z+ 5= 2) 5z 2 + 2z+ 0= 6. Užrašykite skaičius trigonometrine forma: ) z = 3+ i; 2) z = 5; 3) z = 3 i; 4) z = 2i; 5) z = 2+ 2i; 7) z = 4; 5. Duota kad z = 2i ir z2 = 3+ 3i. Užrašykite šiuos skaičius rodikline forma ir apskaičiuokite: z z 2 ; 6. Apskaičiuokite 3 ) 2+ 2 3i; 2) 9i; 4
KD- pavyzdys. Matricos. Pagrindinės sąvokos apibrėžimai. Veiksmai su matricomis. arba. Vektorių skaliarinė sandauga. Skaliarinės sandaugos apibrėžimas savybės. Kampas tarp vektorių. Vektorių statmenumas.pvz. 2. z = 3+ z = 2+ 2i. Parašyti šiuos skaičius trigonometrine forma iasti z ; i 3. Išspręsti sistemą Gauso metodu x 3; 2x+ 2 8; 3x+ 5; 7x 7. 4. Rasti vektorių a r ir b v sudaromo lygiagretainio plotą kai a= i + 2 && j+ 3k ir b = i +. Literatūra Eil. Leidimo Leidinio autoriai ir pavadinimas Leidykla Nr. metai. 2008 V.Pekarskas. Trumpas matematikos kursas Kaunas. Technologija 2. 997 B.Godvaiša J.Šinkūnas. Matematika 2. Vilnius. Žiburio leidykla z 2 3. 2009 A. Apynis E. Stankus. Matematikos pagrindai. ISEN 978-9955-879-83- 4. 2005 D. Švitra. Aukštosios matematikos praktikumas. I dalis. 5. 2004. I.Matiukienė A.Pekarskienė V.Sabatauskienė. Tiesinė algebra ir diferencialinis skaičiavimas. 6. 2000 I.Matiukienė A.Pekarskienė V.Sabatauskienė. Tiesinė algebra ir diferencialinis skaičiavimas. Uždavinių rinkinys su sprendimais 7. 983 N. Bogomolovas. Matematikos uždavinynas technikumams. Vilnius. TEV leidykla Vilnius. TEV leidykla Kaunas.Technologija Kaunas.Technologija Vilnius. Mokslas 5